2.5《等比数列前n项和》(第1课时)
2.5等比数列的前n项和公式(1)
解：2) q 1 2,a3 52a1 (1) a = n = , n 2a= ±q1) 2 说明：.∴ q = 1 n 1 即 意q(1 q 1 的取值， 1 在利用公时式一定要注 应把它作为第一素考虑 当代入公式 an = a1q , sn .=2，2， ， q = 1时，数列为常数列 21 - q 得： ， 2 S = na 1 , n n, n a 所以.在五个变量 =12q,2 4na, Sn中，知三可求 4 1 a5 na1q (1-q ) , 82[1-( -1) n ] 二，并要根据具体题目 选择适当的公式 .n a1
七.新课导学，作业布置
(1).探究等比数列前n项和的性质 (2).用等比数列解决实际问题 (3).会用分组求和法的方法求等比数列的 前n项和 (4).预习课本 p56-58 (5).习题2.5 A组 第1、2题
湖南省长沙市一中卫星远程学校
分析：由等比数列的通项公式可知，任一项 皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为： Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1 ①
如果将等式①两边同乘q，则得到一个新的等式
qSn=
a1q+a1q2+a1q3 + …+a1qn—1 +a1qn
n
②
Sn-qSn=a1-a1qn ①-②得:
a1 - a1q a1 1 q n ⑴当q≠1时 Sn= 1 q 1 q
⑵当q=1时
(1-q)Sn=a1-a1qn
Sn=na1
三、总结升华，得出结论
等比数列的前n项和公式 a1 (1 q n ) (q 1) an= a1qn-1 Sn 1 q na (q 1) 1
2.5.1等比数列前n项和公式(第1课时)
若q=1，则 S3=3 a1 , S 6 6a1 , S 9 9a1 由 a1 0可得S3 S 6 2S 9，与题设矛盾
q 1 a1 (1 q ) a1 (1 q ) 2a1 (1 q ) 1 q 1 q 1 q
3 6 9
整理，得q3+q6=2q9
各个格子里的麦粒数依次是:
1, 2, 22, 23, 24, 25,…,263,
发明者要求的麦粒总数就是: 1+ 2+22+23+24+25+…+263.
通项: an=2n-1
前n项和:Sn
等比数列的求和
引入新课
1 2 2 2
2 3
2
4
263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 ,, 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 麦粒的总数为:
2
3
63
S64 1 2 2 2 2 .
2 3 63
S64 1 2 2 2 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 2(1 2 2 2 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 2 2 2 2 2 .
1 243
.
已知等比数列an 中,
练习１.
2或-3
1 a1 2 , S3 14.则q
a3 8或18 2 a1 1, a4 216 则 q -6 , S4 185
a1、q、n、a n、sn
第二章 2.5 第1课时 等比数列前n项和公式
§2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和公式学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n项和公式知识点二 错位相减法1．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，也可以用这种方法．思考 如果S n ＝a 1＋a 2q ＋a 3q 2＋…＋a n q n －1，其中{a n }是公差为d 的等差数列，q ≠1.两边同乘以q ，再两式相减会怎样？知识点三 使用等比数列求和公式时注意事项(1)一定不要忽略q ＝1的情况；(2)知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用S n ＝a 1(1－q n )1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用S n ＝a 1－a n q 1－q； (3)在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．1．在等比数列{a n }中，a 1＝b ，公比为q ，则前3项和为b (1－q 3)1－q.( ) 2．求数列{n ·2n }的前n 项和可用错位相减法．( )3.a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1.( ) 4．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( )题型一 等比数列前n 项和公式的直接应用例1 求下列等比数列前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.反思感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立． 跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数．题型二 前n 项和公式的综合利用例2在等比数列{a n}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.反思与感悟 (1)a n ＝a 1qn －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ⎝⎛⎭⎪⎫或S n ＝a 1－a n q 1－q 两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解． (2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1(1－q n )1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q 1－q比较方便． 跟踪训练2 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝ .题型三 利用错位相减法求数列的前n 项和例3 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．反思感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．分期付款模型典例小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)[素养评析]本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和S n等于()A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.1723．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )A ．179B ．211C ．243D ．2754．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为 ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n ，则S n ＝ .1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( )A ．4－2100B ．4＋2100C ．4－2－98D ．4－2－1002．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝48，S n ＝93，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－114．已知数列{a n }是等差数列，若a 2＋2，a 4＋4，a 6＋6构成等比数列，则数列{a n }的公差d 等于() A ．1 B ．－1C ．2D ．－25．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.236．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( ) A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米二、填空题8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝ .9．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝ .10．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ . 11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝ .三、解答题12．(2018·绵阳检测)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .14．在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2 B.(2n －1)23 C ．4n －1 D.4n －1315．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．。
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和的求解练习(含解析)新
第1课时 等比数列前n 项和的求解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为() A ．63 B ．64 C ．127 D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127.答案：C2．设在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为() A.154B.152C.74D.72解析：根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1（1－q 4）（1－q ）·a 1q 2＝（1－q 4）（1－q ）q 2＝1－24（1－2）×22＝154. 答案：A3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于()A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为()A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. 因为S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m ＋1＝9，所以q m＝8. 所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8， 所以q ＝2. 答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________．解析：因为S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，所以a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1（1－833）1－8＝4a 1（299－1）7＝47×30＝1207.答案：12077．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n－1， 所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)－n＝2（1－2n）1－2－n＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －28．(2016·某某卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1， 所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1121 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n 及其前n 项和S n ； (2)设b n ＝1＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前10项和T 10.解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1，S n ＝1（1－3n ）1－3＝3n－12.(2)由(1)知b n ＝1＋log 3a n ＝1＋(n －1)＝n ， 则1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T 10＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②① —②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.B 级 能力提升1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2B.13(2n －1)2C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，即S n ＝2n－1，则S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，则a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)．答案：D2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则该数列的项数n ＝________．解析：a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）q 4a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2.因为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1－2）1－q ＝－a 11－q ＝1，所以a 11－q ＝－1.所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝q n－1＝15，所以q n＝16，即(q 4)n4＝24，所以n4＝4，所以n ＝16.答案：163．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝5，4a 23＝a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝2，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设＝a nb n b n ＋1，求数列{}的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 23＝a 2a 6得4a 23＝a 24，所以q 2＝4，由条件可知q >0，故q ＝2，由a 1＋2a 2＝5得a 1＋2a 1q ＝5，所以a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由b n ＋1＝b n ＋a n 得b n ＋1－b n ＝2n －1，故b 2－b 1＝20，b 3－b 2＝21，……，b n －b n －1＝2n －2(n ≥2)，以上n －1个等式相加得b n －b 1＝1＋21＋…＋2n －2＝1·（1－2n －1）1－2＝2n －1－1，由b 1＝2，所以b n ＝2n －1＋1(n ≥2)．当n ＝1时，符合上式，故b n ＝2n －1＋1(n ∈N *)．(3)＝a nb n b n ＋1＝b n ＋1－b n b n b n ＋1＝1b n －1b n ＋1， 所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝12－12n ＋1.。
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和aa高二数学
• 『规律总结(zǒngjié)』 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn 中，a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时 ，均可以用a1，q列方程组求解．
第十六页，共五十页。
〔跟踪练习1〕 (2015·重庆文，16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝92. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算．
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• 1．等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的前n项和公式
已知量 公式
首项、公比与项数
Sn＝__a_1_n1_a－_1 _q_n_q＝1 ___1_－__q____q≠1
首项、末项与公比 Sn＝__a_1－_n_aa_1 _nq_q＝1
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(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得 Tn＝b111－－22n＝b1(2n－1)， 由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk. ∵S6＝T4，S5＝－9， ∴6331bb11－ －65kk＝ ＝1－5b91，， 解得k＝8.
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
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第二章
数列(shùliè)
等比数列 的前 项和 2.5
(děnɡ bǐ shù liè)
n
课时 第1
(kèshí)
等比数列的前n项和
第二页，共五十页。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
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自主预习(yùxí)学案
《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计
《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计一、教学目标1. 知识与技能：掌握等比数列的概念和性质，能够求等比数列的第n项；掌握等比数列的前n项和的计算公式；能够解决一些实际问题，应用等比数列的前n项和的计算公式进行计算。
2. 过程与方法：通过讲解、演示、示例分析等方式引导学生理解等比数列的概念和性质；通过举例和引导，让学生自主发现并掌握等比数列前n项和的计算公式；通过实际问题的引入，培养学生应用数学知识解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高数学学习的积极性；通过培养思维能力，提高学生的解决实际问题的能力；建立合作学习的氛围，培养学生的团队协作精神。
2. 教学难点：如何引导学生发现等比数列的前n项和计算公式；如何应用等比数列的前n项和计算公式解决实际问题。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、彩色粉笔、PPT；学生课前准备的练习册。
四、教学过程Step 1 引入新知识（15分钟）1. 通过一些日常生活中的场景介绍等比数列，并引导学生思考：（1）你们在购物时是否遇到过折扣问题？是否觉得价格之间存在某种规律？（2）在旅行中，大部分的车票、门票都是按照一定比例的折扣出售的。
你们有没有想过，如果给定了第一项和公比，如何求前n项的和呢？（3）在金字塔的设计中，每一层的砖块数量都是前一层数量的2倍，那么你们有没有想过，如何计算指定层数金字塔的砖块总数呢？2. 引出本节课的内容：等比数列的前n项和的计算方法。
Step 2 等比数列的概念和性质（10分钟）1. 引导学生回顾等差数列的概念，并通过问题引出等比数列的概念。
（1）请大家回顾一下我们之前学的等差数列，能否从中总结出什么规律？（2）为什么等差数列的通项公式能够找到等差数列中任意一项？（3）如果将等差数列进行分割，每一项分割成两部分，两部分的比例保持不变，这样的数列是否存在？2. 让学生通过运算验证等比数列的概念和性质。
等比数列的概念和性质：如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比值等于同一个非零常数，那么这个数列就是等比数列。
2.5 §1等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n项和第一课时教学目标1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法．2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．知识回顾1.等比数列的定义及数学表达式：2.等比数列的通项公式：3.等比数列的性质：知识探究探究（一）等比数列前n项和公式的推导问题导思：对于数列1，2，22，23，…，2n，…问题1：该数列的首项和公比分别是多少？问题2：该数列的前n项和S n怎样表示呢？问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题4：那么该数列2S n的表达式如何？问题5：S n与2S n的表达式中有许多相同项，你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？探究新知：等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，如何求它的前n项和S n呢？问题1：等比数列的前n项和S n怎样表示呢？问题2：前n项和S n采用什么方法，怎样化简呢？问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题4：需要构造另一个式子，而要达到消项的目的，就须使两式具有相同的项，如何构造式子？问题5：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？思考：你还有其他方法去推导等比数列前n项和公式吗？1.等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)a 1(1－q n )1－q(q ≠1)思考1：根据求和公式，要求一个等比数列的前n 项和，一般要先求出哪些量？思考2：能否将S n 和用a 1， q ，a n 来表示？思考3：q ≠1时，应该怎样选用哪个公式？探究（二）错位相减法求和问题 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n2n }前n 项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n∴12S n ＝_______________________________ ∴S n －12S n ＝_______________________________即12S n ＝__________________＝__________________ ∴S n ＝__________________＝__________________小结：典例讲练例1.设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求公比q 的值．例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .变式：在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .例4.求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ＝______________．例5.求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．课堂小结：这节课我们主要学习了什么？ 首项、末项与公比 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝a 1－qa n1－qq2.两种方法：错位相减、解方程推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．3.三种数学思想：类比、方程、分类讨论 课后作业1.已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0，a 2=34-，则{a n }的前10项和等于( ) A.()-10-61-3B.()-1011-39C.()-1031-3D.()-1031+32.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则( ) A.11 B.5 C.-8D.-113.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且，则数列的前5项和为( ) A.或5 B.或5 C. D.52S S =369s s =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭158311631161584.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n +1，,则S n =( )A. 2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －15.已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1>0，且2(a n +a n +2)=5a n +1，则数列{a n }的公比q = _______.6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.7.在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于________．8.已知等比数列{a n }的公比为q =-12. （1）若a 3=41，求数列{a n }的前n 项和； （Ⅱ）证明：对任意k ∈N +，a k ，a k +2，a k +1成等差数列.9.已知等差数列{a n }前三项的和为-3，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和.2.5 等比数列的前n 项和第一课时教学目标1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题． 知识回顾1.等比数列的定义及数学表达式：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0).数学符号表述:a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *)2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1(n ∈N *)或a n ＝a m ·q n －m . 3.等比数列的性质：在等比数列{a n }中，若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n =a p ·a q . 推论1:若m+n =2p ，则a m ·a n =a p 2.推论2:若{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积，即a 1a n ＝a 2a n －1＝….知识探究探究（一）等比数列前n 项和公式的推导问题导思：对于数列1，2，22，23，…，2n ，…问题1：该数列的首项和公比分别是多少？【提示】首项为1，公比为2.问题2：该数列的前n 项和S n 怎样表示呢？【提示】数列的前n 项和S n ＝1＋2＋22＋…＋2n -1①问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？【提示】后项=前项×公比。
2.5等比数列前n项和(1)
等比数列的前n 项和【知识要点】1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式推导方法． 【学习要求】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1． 教材开头的问题可以转化成求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= ② 思考：①,②的右边相同的项有 1 ； 如何消去这些相同的项？ 得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn= （q ≠1）； 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成Sn= （q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 当ｑ=１时，Sn= ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？ ； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = ，从函数的角度看，可以由指数函数n q 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()．()A 63 ()B 64 ()C 127()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn ． 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a , =2a ,=3a ,a 的值为 ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = ；n = .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = ；q = .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{.12⋅=-=1.若等比数列{}n a 前n 项的和,5m s n n +=则()=m ．()1-A ()1B ()5-C ()5D ．2. 若等比数列{}n a 前n 项的和,13-=n n s 则此数列为().()A 等差数列 ()B 等比数列 ()C 常数数列 ()D 递减数列．3. 在等比数列{}n a 中，（1）已知64,141=-=a a ，则=q ，=4s ； （2）已知,29,2333==s a ，则=q ，=1a 或=q ，=1a ． 4.如果一个等比数列{}n a 前5项的和为10，前10项的和为50，那么它15项的和 为 ．5. 在等比数列{}n a 中，已知12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ，则求2232221n a a a a +⋅⋅⋅+++．6.已知n s 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,s s s 成等差数列，求证582,,a a a 成等差数列．1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()=24a s ．()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2.（2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-=必修5 2.5 等比数列的前n 项和（教案）【教学目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【重点】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 【难点】1. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式；2. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1．教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①② 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ② 思考：①,②的右边相同的项有 a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ；如何消去这些相同的项？用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1）；又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qqa a n --11（q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 数列的通项由两部分的积组成，一部分是等差数列，一部分是等比数列 当ｑ=１时，Sn= 1na ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？知其中三个通过联立方程（组）求另外两个； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = n A Aq - ，从函数的角度看可以由指数函数nq 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为()()111,(1).n n n s a s s a n -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩ 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()C ．()A 63 ()B 64 ()C 127 ()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn 答：（1）189n s =；（2）9145n s =-（3）211n s =或55.n s = 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a 2 , =2a 6 ,=3a 18 ,a 的值为 1- ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 解：231010173757197,s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2351011107173757177197.s ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯两式相减得：23101110617272727197,s -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯121014479s +⨯∴=．【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质 例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【审题要津】这里能用的公式有等比数列通项公式与前n 项和公式，而前n 项和公式只有两种情况，直接利用公式或通过通项公式转化．解：（1）①8181112211255,,12225612a q s ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==∴==-； ②8191127,,27,243243a a q ==∴=⨯8116400,,.381q q s <∴=-∴= （2）10410412121008.1212s s ---=-=-- （3）1211128,66n n n a a a a a a -==+=，12,64n a a ∴==或164, 2.n a a ==当1q >时，264126.1n qs q-==-解得2,q =6;n = 当1q <时，642126.1n qs q-==-解得1,2q = 6.n =【方法总结】结合等比数列通项公式与前n 项和公式，正确分析条件，选择恰当的公式求解．【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = 17 .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = -5 ；n = 7 .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = -3 ；q = -2 .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.【审题要津】等差数列、等比数列是数列的特例和基础，注意它们基本公式在解题的思路和作用.解：（1）设数列{}n a 的公差d ，依题意得119421a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15,4a d ==.故{}n a 的通项公式为4 1.n a n =+ （2）由41n a n =+得412,n n b +=当412,2,nn b n b -≥= 所以{}n b 是首项512,b =公比42q =的等比数列. 故得{}n b 的前n 项和()()54442213221.2115n n n s --==-【方法总结】利用基本量、基本公式解题是数列的基本思路和方法. 类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ．【审题要津】观察数列的通项，适当变形后，转化为等差或等比数列求解． 解：（1）拆项法求和()2123n s a a a n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+1(1)(1)12n a a n n s a a +-+∴=-≠-当 (1)1,.2n n a s na +==-（2）错位相减法求和12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s n n n nx x n x x xs +-+⋅⋅⋅++=∴-12)1(2 n n n nx x x x s x -+⋅⋅⋅+++=-∴-121)1( 当1x ≠时，;1)1(12xnx x x s nn n ----= 当1x =时，.2)1(+=n n s n 【方法总结】认真观察分析数列的通项，（1）拆项法求和：适当变形后，转化为两个等差或等比数列求和后再求和差；（2）当数列的通项可化为等差与等比的积或商时，可用错位相减法求和；（3）应用并体会数列求和中的转化的思想方法． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{2⋅=-=.2)94(182)94(182)54(21)21(4422)54(242②① ② ,2)54(2)94(22①,2)54(232,25)(4n (2)b 1.a 4,d }{a ,45)1(45n 4a a ，2n *).(54a ，a .54)1(31)-2(n 3n 2n S S a ，2n 1,S a 1:1n 1n 1n 11n 2112n 21n 1n 1n n n 1221n n n 11+++-++--⋅-+=∴⋅---=⋅----⋅+-=⋅-++⋅+-=--⋅-+⋅-++-=⋅-++⋅+-=∴⋅-=-===+---=-≥∈-=-=-+--=-=≥-==n T n n n T n n T n T n N n n n n n n n n n n n n 得是等差数列且所以时当故适合上式又时当）证明（解1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()C a s =24． ()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2. （2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-= 解：()() 1.1)2(n 2n 1)(2 2n 2221S 两边相减得,2n 2222S 得：2两边乘以,2n 23221S 2n a 即n,2a 知1 2.的等差数列1公差为1,是首项首}{b 因此1,a b 又 1.b 12a 222a 2a b 得22a a 由已知数 (1) n n n n 1n 21n n 2n 1n 21n 1n n 1n nn 11n 1n n n n n n 1n 1n n n 1n +-=⋅+--=⋅+-⋯----=⋅+⋯+⋅+=⋅+⋯+⋅+⋅+=⋅====+=+=+==+=-----+-+由。
2.5等比数列前n项和公式课时1
2.5等比数列前n 项公式（课时1）课时作业A一、选择题1. 已知一等比数列的各项都是正数，第6项与第5项的差是729，第二项与第一项之差是9，这个数列的前6项的和是（ ）A ．1636B ．1637C ．1638D ．1639 2．等比数列{}n a 中，若842a a =，44S =，则8S 的值等于（ ）A ．12 B. 16 C ．24 D ．32 3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且32S =，634S S -=,则93S S -=（ ）A ．1 B. 2 C ．4 D ．84. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S3S =，则96S S =（ ） A ．12 B ．73 C ．83D ．1 5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为54，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．66B ．64C ．2663D ．2603二、填空题6. 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则公比q 等于 7. 在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9956S =，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+=8. 已知数列{}n a 是等比数列，且10m S =,230m S =，则3m S =三、解答题9. 等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。
10. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式。
（2）求数列{}2na 的前n 项和为nS.课时作业B一、选择题1. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.21或21- D.2或－2 2 已知公比为q ()1≠q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为（ ） A.n nS q B.n n q S C.11-n n q S D.121-n n qa S 3．已知{}n a 是等比数列，24a =，532a =，则12231n n a a a a a a ++++= ( ）A ．8(21)n- B ．8(41)3n -C ．16(21)3n -D ．2(41)3n-4. 等比数列{}n a 的项数为偶数，奇数项之和等于偶数项之和的12，则此数列的公比q =（ ） A .2 B.4 C.6 D.8 5.已知等比数列{}n a 中，有公比2=q ,并且30303212=⋅⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅为（ ） A.92 B.102 C.112 C.202二、填空题6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，634S S =,则4a =7. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则公比q 的值为8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =三、解答题9. 在等差数列{}n a 中，首项13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，首项11b =， 且22b S +12=,{}n b 的公比22S q b =。
第一部分 第二章 2.5 第一课时 等比数列的前n项和
等比数列前 n 项和的重要性质
(1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn，S2n－Sn，S3n －S2n， 4n－S3n， S …成等比数列(其中 Sn， 2n－Sn， 3n－S2n， S S … 均不为 0)，这一性质可直接应用． S偶 (2)等比数列的项数是偶数时， ＝q； S奇 S奇－a1 等比数列的项数是奇数时， ＝q. S偶
理解教材新知
2.5 第 二 章 数 列 等 比 数 列 的 前 第一 课时 把握热点考向 考点一
考点二 考点三
等比
n
项 和
数列
的前n 项和 应用创新演练
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已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. 问题1：若q＝1，则Sn与an有何关系？ 提示：Sn＝na1.
na1q＝1， a11－qn Sn＝ q≠1 1－q
首项a1，末项an与公比q
na1q＝1， Sn＝ a1－anq 1－q q≠1
公式
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1.当公比 q＝1 时，等比数列{an}是常数列，各项均 相等，所以 Sn＝na1. 2.当公比 q≠1 时，等比数列{an}的前 n 项和 Sn 有 a11－qn 两个计算公式，当已知 a1，q 与 n 时利用 计算 1－q a1－anq 较方便；当已知 a1，an 与 q 时，用 较好． 1－q
n
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又∵2
n－1
96 ＝ 3 ＝32，∴n＝6.
Байду номын сангаас
a1－anq 法二：由公式 Sn＝ 及已知条件得 1－q a1－96×2 189＝ ，解得 a1＝3，又由 an＝a1·n－1， q 1－2 得 96＝3·n－1，解得 n＝6. 2
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
内蒙古赤峰二中高一数学新人教B版必修5教案2.5《等比数列的前n项和》(1)
2.5等比数列的前n 项和（1）教学目标1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题. 教学重点 1. 等比数列的前n 项和公式； 2. 等比数列的前n 项和公式推导. 教学难点 灵活应用公式解决有关问题.教学方法 启发引导式教学法教学过程 (I)复习回顾 (1) 定义： (2) 等比数列通项公式： (3) 等差数列前n 项和的推导思想： (4) 在等比数列{}na 中，公比为q ，则1kk a q a+-=II ）探索与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？一．等比数列求和公式 1．公式推导 已知等比数列{}na ，公比为q ，求前n 项和n na a a S+++=Λ21。
分析：先用q n a ,,1表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？2．公式与公式说明1(1)(1)1n n a q S q q -=≠-（1）公式推导方法：错位相减法 特点：在等式两端同时乘以公比q 后两式相减。
（2）1=q 时，)1(1==q na S n（3）另一种表示形式q q a a S n n --=11总结：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(1)1(11q na q qq a S n n 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(111q na q qqa a S n n注意：每一种形式都要区别公比1≠q 和1=q 两种情况。
二．例题讲解例1．课本63页例1例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销量达到30000台（保留到个位）？例3．求等比数列Λ,83,43,23从第7项到第15项的和。
例4．已知等比数列{}na 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，126=n S ，求公比q 与项数n 。
例5 在等比数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，若3221a S =+，4321a S =+，求公比q 。
2.5.1《等比数列的前n项和》说课稿
《等比数列前n项和》说课稿且末一中仇怀英本节课选自人民教育出版社2010版高中数学必修5第2章第5节第一课时．一、教材分析1、本节在教材中的地位和作用要上好一节课，就必须钻研教材．只有明确了本节内容在我们高中数学学习中的地位和作用，才能更好地指导我们的教学．等比数列前n项和是前面学习数列、等比数列的深化、延伸、扩展，又是函数、方程思想的特殊体现，等比数列前n项和公式的推导方法又将为以后方程和不等式等的学习打下基础．不难看出，这节内容学习的重要地位和作用．2、目标分析根据教学大纲的要求以及结合本节教材内容的地位、作用、特点等，考虑高一年级学生的认知水平，我确定了如下的三维目标：（1）知识目标：了解等比数列前n项和公式的推导过程；理解方程组法求解S的n思想；掌握等比数列前n项和S的表达式．n（2）能力目标：培养学生的创新能力、发现问题及解决问题的能力和抽象、概括的能力．（3）情感目标：培养学生的观察能力，使学生对数列的学习产生浓厚的兴趣，让他们主动融入学习．3、教学重点与难点为了实现以上三维目标，我确定本节课的重点和难点如下：重点：等比数列前n项和公式推导及应用．难点：等比数列前n项和公式推导方法的探究．二、教法和学法分析建构主义学习理论认为，学习是学习者主动建构新知识的过程，在教学中，老师不仅要传授知识给学生，还要成为他们学习活动的促进者、指导者；学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者、引导者．根据新课程标准理念，我设计了如下的教学法：教法：讲解法发现教学法讲练结合法学法：自主式学习合作式学习探究式学习三、教学过程根据教学内容的特点，我将本节课分为以下几个环节： 1 复习思考1）等比数列的定义．2）等比数列{}n a 的通项公式11-⋅=n n q a a ． 设计意图：复习旧知；为新知的讲解打下基础． 2 引例由成语“聚沙成塔”引出等比数列求前n 项和的问题．设计意图：设置引例的目的是引出课题，结合实例，培养学生对数学学习的兴趣和信心． 3、展示新知难点突破： n S 推导方法的探究． 为突破此难点，我采取了以下做法：1) 小组为单位，讨论探究．体现新课标理念，培养学生的合作精神． 2) 大胆猜测，探寻公式．培养学生仔细观察，积极思维及动手的能力． 3) 应用逻辑推理证明公式．进行推理论证，培养学生严谨的治学态度． 具体做法如下：首先，引导学生认识到：等差数列求n S 的根本思想是方程组思想，根本方法是消元法．消去的是132,,-n a a a ，解出的未知元是n S其次，学生小组讨论探究推导n S 的方法，即怎么构造方程组；小组成果展示，教师点评．设计意图：1) 使学生掌握看清事物本质的能力．2) 培养学生的概括能力．3) 学会类比思想．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，⎩⎨⎧++++=++++=-n n nnn n qa a a a qS a a a a S 32121 做差有：)1(11≠--=q qqa a S n n注意： )1(1==q na S n引导学生继续化简公式，可得到)1(1)1(1≠--=q qq a S n n设计意图：在讲解n S 推导过程时，我选择用板书上、下排列，并使用彩色粉笔，让学生能直观的感觉到求解n S 的过程就是解方程组的过程：消去的是132,,-n a a a ，解出的未知元是n S ． 公式剖析:在选用公式q q a a S n n --=11和qq a S n n --=1)1(1求等比数列前n 项和时应注意：1．方程的思想：知三求一. 2．公式的选取：依已知条件而定．设计目的：使学生熟练公式，会运用公式．例1 数列{}n a 为等比数列．首项为1，第n 项为28，公比为2．求前n 项和．例2 (情景2） 数列{}n a 为等比数列．首项为1，公比为21．求前n 项和． 变式训练：1．求等比数列1，2，4，．．．，从第5项到第10项的和． 2．已知等比数列{}n a 中，若 30,102010==S S ，求30S 4 练习练习１ 等比数列{}n a 中，前6项之和为50，公比为2，求首项．练习２ 等比数列{}n a 中，第2，5项分别为20，50，求第2项到5项的和． 例题和练习题的设计原则：1) 基础性; 2) 灵活性; 3) 思想性; 4) 难度的递进性． 设计目的：1 使学生能熟练运用公式，实现教学目标．掌握重点.2 将陈述性知识转化为程序性知识． 5 总结提炼（自我反思）１）引导学生归纳小结本节课所学内容．２）类比的思想，方程(组)的思想．设计意图：培养学生总结反思的良好习惯6 作业布置知识的掌握需要由浅到深，由易到难．作业布置主要根据由简到难的原则，先让学生学会熟悉选用公式，再进一步到公式的变形应用，巩固知识．1 复习2 必做题：习题2.5：1，2．．选做题：习题2.5：6．3 思考：等比数列{}n a的前n项和S n的最值怎么求？4 预习下节内容设计意图：培养学生的思维能力，拓展其知识面，加深学生对所学知识的深入理解，提高应变能力；正确的预习方式是提高学习效率的重要手段；老师应该帮助学生养成良好的预习习惯．五、板书设计板书设计的好坏直接影响这节课的效果．我的板书设计如下：差数列的前n项和等比数列的前n项和公式推导例１例１变式训练练习１练习１小结作业复习引入设计意图：板书层次分明，能让学生一目了然，助于理解知识．六、教学评价总之，本节课是在建构主义等先进教学理论指导下来设计的，相信通过本节课的学习，绝大部分学生能正确选取、运用等比数列前n项和的两个公式来解决相关问题．。
等比数列前n项和案例
案例课题：2.5等比数列的前n项和（第1课时）教材：数学必修5（人教A版）授课教师：一、教学内容与学情分析本节课的内容是：数学必修五第二章第五节等比数列前n项和第一节，等比数列前n项和公式推导.与等差数列的前n项和公式一样，等比数列的前n项和公式也是数列求和的化简式，用这个公式可以方便地求出任意等比数列的前n项的和，教材中，等比数列前n项和的推导方法时“错位相减法”，这也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的。
也可以让学生探究其它的求和算法，学生已掌握了等比数列的定义及通项公式；并有探究等差数列前n 项和的经验；学生个性活泼，思维活跃，积极性高，已具有对数学问题探究的能力；高中学生智力、非智力因素有很大差别,存在明显的个性差异；还没有建立起运用方程思想、由一般到特殊等数学思想解决问题的思维结构.本节课从学生已有知识出发，创设了有助于激发学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在生动活泼地、主动地、富有个性地学习中获得广泛的数学活动经验.二、教学目标根据《课标》要求和教学内容的结构特征，依据学生的认知能力和数学思维特征，本着素质教育为主的宗旨，特设定目标如下：知识与技能目标：识记等比数列前n项和公式；理解并掌握公式的推导方法、会运用错位相减发解决类似数列求和问题.过程与方法目标：在形成公式的过程中，培养学生观察、分析、从特殊到一般的能力，初步感受数学的错位美，知识间的迁移转换能力，自主发现问题、解决问题的发展能力.情感、态度、价值观目标：本节课的宗旨是学生主体参与.让学生通过观察、联想、猜测、探求、归纳等合情推理，鼓励学生多角度思维、勇于探索。
优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
三、教学重点、难点、关键点本节课的重点是公式的推导、推导方法的迁移运用、公式的简单运用.难点是公式的推导、推导方法的迁移运用.关键点是要通过创设情景引导学生主动探索前n 项和公式的推导，使教学过程体现流畅、自然.让学生在不知不觉中依个性思维进行了“合情推理”的思维训练.四 、课堂过程实施（1）新课背景知识复习1）请同学们说出等比数列的基本量？通项公式？及 q=1时，数列的性质？设计意图：基本量是研究等差、等比数列有关问题的最基本的方法；q 和1的关系是研究等比数列相关问题讨论的一个关键点.也为这节课公式推导方向及注意点作一个必要的铺垫.2）等差数列的前n 项和公式及推导方法？倒序相加法还可迁移运用到哪种数列求和上？设计意图：不只公式是我们应掌握的，还应注重它生成的过程，方法、迁移转换以及学生在这个过程当中所获得的个人体验.3）因式分解:1－q 2＝（1－q ）(1＋q )1－q 3＝（1－q ）(1＋q ＋q 2)1－q 4＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3)1－q 5＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4)……1－q n ＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＋…＋q n -1)设计意图：体现由特殊到一般的不完全归纳思想，为求和公式推导奠定理论基础和知识基础.并且可以让学生在推导中很快获得成功感，有信心继续探索.课堂活动： 三个问题要求同桌互相检查、补充，体现学习的合作精神与多边交流.（2）设计问题，创设情景，引出课题介绍饶有趣味的古印度国王奖励国际象棋发明的典故，然后提出问题：“国王能做到吗？”（“能”，“不能”，同学们争起来了.），“能，还是不能呢？打个比方，你就知道了：用（1+2+22+…+263）粒小麦能从地球到太阳铺设一条10米宽，18米厚的大道.”（学生会露出惊异的表情，急于想知道究竟有多大，有的都忙着算起来了.）“别急呀，如果我又讲了几个故事，要计算a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 20；或（21）2＋（21）3＋（21）4＋…＋（21）14；……呢？” 学生思维活动：通过类比思想，学生抽象出研究问题：等比数列a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , …,a n ，公比是q （q ≠0），试用基本量a 1 ，q 表示s n (其中s n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ）设计意图：学生不仅能很快地领悟到本课的教学目标，而且适时的锻炼了学生从具体事例中抽象出一般的数学问题的能力，急于想找到答案又会让学生带着浓厚的兴趣积极主动的学习新内容.（3）推导等比数列前n 项和公式课堂活动：让同学们先思考，讨论刚才的问题。
2.5 等比数列的前n项和(一)
2.5 等比数列的前n 项和（一）一．目标定向：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式的证明思路；2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．二．回顾思考1．复习回顾：(1) 等比数列的定义：(2) 等比数列｛a n ｝的公比为q ，则=-+q a a n 1n =-q a q a n n 1(3) 等比数列的通项公式：2．探索研究：国王奖赏国际象棋发明者……你能计算出国际象棋盘中麦粒数吗？（1）6322221++++ =（2）若q ≠1,则121-++++n q q q =（3）对于一般的等比数列｛a n ｝，若q ≠1,其前n 项和112111-++++=n n q a q a q a a S 如何化简？如果q=1呢？（4）等比数列的前n 项和公式可以怎样写？ 三．分组讨论1．分小组就以上几个问题进行交流讨论，教师点拔．2．师生共同小结．四．例题讲释例1．求下列等比数列的前8项和…（1）21，41，81，… (2) 1，2，22，…（3）2，2，2，…例2．在等比数列｛a n ｝中，a 1=1，a n =－32，S n =－21，求公比q 和项数n ．五．当堂检测1．等比数列⋯,81,41,21的前多少项和为6463； 2．等比数列｛a n ｝中，a 1=41，a 3 =1，求S 5； 3．等比数列｛a n ｝中，3a 2=，9a 3=，求其通项公式n a 及其前n 项和n S ．六．探究反思1．甲乙两人约定甲每天都给乙一百元钱，乙则第一天给甲一元钱，第二天给甲两元钱，第三天给甲四元钱，即乙后一天给甲的钱是前一天的两倍。
问10天后甲乙两人谁赢谁亏？ 2（1）求等比数列⋯,b ,b ,b ,132的前n 项和.S n(2)若数列{}n a 的通项公式为n n b a =，求其前n 项和n S。
等比数列前n项和公式(第1课时)(说案)
说课课题：等比数列前n项和公式(第1课时)一、教材分析1.本课教材内容、地位及作用数列是高中代数中的一个重要内容，它不仅有着广泛的实际应用，而且是对学生进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材和进一步学习高等数学的基础知识。
课本把它安排在五种基本初等函数的后面，并把数列作为定义在自然数集（或它的有限子集）上的函数的一列函数值。
这样在学生学习了自变量连续变化的函数之后，又接触到了自变量离散变化的函数，加深了学生对函数概念本质的理解，同时也说明了数列与函数的联系，使这一部分内容与前面知识连接得更为紧凑。
本节教材内容有：等比数列前n项和公式的形成和推理过程、公式的特点及应用等。
按教参的安排、结合课本内容的实际，一节课难以完成，所以我把它分成两个课时：第一课时解决等比数列前n项和公式的形成和推导过程、公式的特点及初步应用等问题；第二课时结合前面所学的有关数列、等差数列的知识及等比数列的知识，着重解决灵活运用等比数列前n项和公式的综合应用问题。
这里主要谈谈第一课时的教学问题。
2.教学目标及重、难点的确定本课题是高中代数（下册）第二章的内容，教学对象是高二学生。
现有的知识结构中已具有的知识有：高一学习的函数的有关知识、高二本节前面已经学过的数列的概念、等差数列的定义、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念和通项公式等。
因而学生学习本节知识有一定的基础，从学生的思维特点看，很容易把本节的等比数列前n项和的公式与已学过的等差数列前n项和公式，从公式的形成、公式的特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。
不利因素是：本节的求和方法是高中代数数列求和方法中最常用的方法之一——“错位相减求和法”，后续学习的过程中要经常用到，而这里是第一次使用本方法，它与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
在公式的推导过程中，这也是一个不利因素。
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qSn
⑴－⑵，得 由此得q≠1时，
a1q a1q a1q
2
n 2
a1q
n
a1q . ⑵
1 q Sn a1 a1q
a1 1 q Sn 1 q
n
,
错位相减法
等比数列的前n项和
a1 1 q n 因此，当q≠1时， S n 1 q
∵
a1q n a1q n1 q an q,
∴
a1 an q Sn 1 q
显然，当q=1时，
Sn na1
等比数列的前n项和表述为：
Sn
{
na1 ,
( q=1).
n
a1 an q a1 1 q , 1 q 1 q
(q≠1).
历史回眸
今有女善织，日自倍，五日织五尺，问 日织几何？——《九章算术》
小结
等差数列
sn n (a1 an ) 2
等比数列
前 n பைடு நூலகம்和公式 或
n(n 1) sn na1 d 2
推导方法
a1、d (q)、an、n、Sn
Sn na1 ( q 1).
a1 (1 q n ) a1 an q = ( q 1); 1 q 1-q
倒序相加法
a1、d、an、n、Sn
方程法、错位相减法
a1、q、an、n、Sn
关系
知三求二
知三求二
（你可能用到的数据： 230 =1073741824）
小结
1.已知 a1 , n, q 则
Sn
{
na 1,
a1 1 q n , 1 q
( q=1).
(q≠1).
( q=1). (q≠1).
已知 a1 , an , q 则
Sn
{
na 1,
a1 an q , 1 q
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
例1
求下列等比数列的前 n 项和：
1 1 1 ， ， （1） 2 4 8
， 3，， 3 3 （2） 1
2
3
例2
1 1 {an }为等比数列，a1 8, q , an , 2 2 求n、Sn .
例3
一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知 富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人 第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元，以后每天所 借的钱数都比上一天多1万；但借钱第一天,穷人还1分钱,第 二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天 后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此 富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。 ”请同学们 思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
等比数列的前n项和（1）
等比数列的前n项和
等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a2 , a3 ,, an , 它的前n项和是 即
Sn a1 a2 a3 an
2 n 2
Sn a1 a1q a1q a1q
a1q .
n1 n
n1
⑴
⑴×q, 得