高三数学第二轮专题讲座复习：函数图象及图象性质的应用
三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习
(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
高三数学第二轮专题讲座复习：函数图象及图象性质的应用
①
又有 f(－ 1)＜ 0,即－ a+b－c＜ 0
②
① +②得 b＜ 0,故 b 的范围是 (－∞ ,0)
解法二 如图 f(0)=0 有三根 0,1,2，∴ f (x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)( x－ 2)=ax3－3ax2+2ax, ∴ b=－3a, ∵当 x>2 时， f(x)>0，从而有 a>0, ∴b＜ 0
则 f(a)=S△AB′C= S梯形 AA′C′ C－S△AA′B′－S△CC′B
1
1
= (A′ A+C′ C)= ( a
2
2
1 a 2 ), g(a)= S△A′BC′ = A′ C′· B′ B=B′ B= a 1
2
1
(2) f (a) g(a) 1 ( a 2
a 2 2 a 1)
1 [( a 2 a 1) ( a 1 a)]
3 已知函数 f (x) =log 2(x+1)，将 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位，再将图象上所有点的
纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变 )，得到函数 y=g(x)的图象， 则函数 F(x)=f(x)－ g(x)的最
大值为 _________ 三、解答题
y
C
B
4 如图，在函数 y=lg x 的图象上有 A、B、C 三点， 它们的横
学生巩固练习
1 当 a≠ 0 时， y=ax+b 和 y=bax 的图象只可能是 (
)
y
1
o
Ax
y
1
o
Bx
y
1
o
Cx
y
1
o
高三数学第二轮专题讲座复习：综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题
张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题 高考要求函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样 本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力 重难点归纳在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用 综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能 因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件 学法指导 怎样学好函数 学习函数要重点解决好四个问题 准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终 数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数 近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系 函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容 在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑 高考试题涉及5个方面 (1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中 (三)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换 (四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决 纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识典型题例示范讲解 例1设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41); (2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→ 命题意图本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝f (x 1)·f (x 2) 错解分析不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形 技巧与方法 由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x xx x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键解 因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x x x x f f f +=≥, x ∈［0,1］又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2 f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2 又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41 (2)证明 依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R 又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R ∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R 将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解 由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21)=［f (n 21)］n =a 21∴f (n21)=a n 21 又∵f (x )的一个周期是2 ∴f (2n +n 21)=f (n 21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n 21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n 例2甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 命题意图 本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力 知识依托运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法 错解分析不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件 技巧与方法 四步法 (1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价 解法一 (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ,全程运输成本为y =a ·v S +bv 2·v S =S (v a +bv ) ∴所求函数及其定义域为y =S (va +bv ),v ∈(0,c ] (2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴S (va +bv )≥2S ab ① 当且仅当v a =bv ,即v =b a 时，①式中等号成立若b a ≤c 则当v =b a 时，有y min ＝2S ab ；若b a >c ,则当v ∈(0,c ]时，有S (v a +bv )－S (ca +bc ) =S ［(v a －c a )+(bv －bc )］=vcS (c －v )(a －bcv )∵c －v ≥0,且c >bc 2, ∴a －bcv ≥a －bc 2>0 ∴S (v a +bv )≥S (c a +bc ),当且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，有y min ＝S (ca +bc )； 综上，为使y 最小，当b ab ≤c 时，行驶速度应为v =b ab , 当b ab >c 时速度应为v =c 解法二 (2)∵函数y =S (v a +bv ), v ∈(0,+∞),当x ∈(0, ba )时，y 单调减小，当x ∈(b a ,+∞)时y 单调增加，当x =b a 时y 取得最小值，而全程运输成本函数为y =Sb (v +vb a), v ∈(0,c ∴当b a ≤c 时，则当v =b a 时，y 最小，若ba >c 时，则当v =c 时，y 最小例3 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4(1)求证 f (x )为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值(1）证明 令x =y =0,得f (0)=0令y =－x ,得f (0)=f (x )+f (－x ),即f (－x )=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）解 1°,任取实数x 1、x 2∈［－9,9］且x 1＜x 2,这时，x 2－x 1>0,f (x 1)－f (x 2)=f ［(x 1－x 2)+x 2］－f (x 2)=f (x 1－x 2)+f (x 2)－f (x 1)=－f (x 2－x 1)因为x >0时f (x )＜0,∴f (x 1)－f (x 2)>0∴f (x )在［－9，9］上是减函数 故f (x )的最大值为f (－9),最小值为f (9)而f (9)=f (3+3+3)=3f (3)=－12,f (－9)=－f (9)=12∴f (x )在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12 学生巩固练习1 函数y =x +a 与y =log a x 的图象可能是( )2定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)其中成立的是( )A①与④B②与③C①与③D②与④3若关于x的方程22x+2x a+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是____4设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值参考答案:1解析分类讨论当a>1时和当0＜a＜1时答案 C2解析用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b)即①与③成立答案 C3解析设2x=t>0，则原方程可变为t2+at+a+1=0 ①方程①有两个正实根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆1)1(421212attattaa解得a∈(－1,2－22]4解(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2+|－x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a2+1,f(－a)=a2+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a)此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)①当x≤a时，函数f(x)=x2－x+a+1=(x－21)2+a+43,若a≤21,则函数f(x)在(－∞,a]上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1若a>21,则函数f(x)在(－∞,a]上的最小值为f(21)=43+a,且f(21)≤f(a)②当x≥a时，函数f(x)=x2+x－a+1=(x+21)2－a+43;当a≤－21时，则函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(－21)=43－a,且f(－21)≤f(a)若a>－21,f(x)在［a,+∞)上单调递增，f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1综上，当a≤－21时，函数f(x)的最小值是43－a,当－21＜a≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1;当a>21时，函数f(x)的最小值是a43。
高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)
专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。
另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。
这些高考时常出现。
图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。
通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。
在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。
在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。
考点展示1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是B2.函数xy 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21+=x y3. 函数)(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于x 轴对称，则函数)(x f 的解析式是2)1(2+-x4. 方程223x x -+=的实数解的个数为 25. 函数)1(x f y+=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。
定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2a bx +=对称。
定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b ax ω-=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2b ax -=对称。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质
第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
余弦函数与正切的图象及性质 讲义-2022届高三数学二轮复习
余弦函数的图象及性质知识精讲一. 函数()cos f x x =称之为余弦函数我们知道cos sin()2y x x x R π==+∈，由此可知，余弦函数cos y x = 图象与正弦函数图象相同，根据图象的平移我们就可以得到余弦函数的图象，即： 将正弦函数图象整体向左平移2π个单位，既可得到余弦函数图象. 二. 余弦函数的图象余弦函数图象的作法：1. 五点作图法：找出五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来2. 图象平移法：将正弦函数图象整体向左平移2π个单位，即为余弦函数图象三．余弦函数的性质1. 定义域：R2. 值域：[]1 1-，3. 奇偶性：偶函数4. 最小正周期：2T π=5. 单调区间：单调递增区间2 2) k k k Z πππ-∈（，， 单调递减区间2 2) k k k Z πππ+∈（，， 6. 对称轴：π x k k Z =∈， 7. 对称中心：0) 2k k Z ππ+∈（，，三点剖析一. 方法点拨1. 用正弦图象()sin f x x =转换成余弦图象()cos f x x =的方法：图象整体向左平移2π个2π3π2ππ2Oyx单位即可得到，正弦函数图象经过原点，而当0x =余弦函数图象经过最高点()0 1，，故正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数.2. 余弦函数图象的平移和转换可参考正弦函数图象的方法. 二．重点题型及解题思路1.涉及余弦函数求值域问题：（1）形如cos cos a x by c x d+=+ 型的函数可以通过将cos x 看成一个整体则可通过分离常数法求出值域 （2）形如sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+的函数则可利用换元法求函数最值（令21sin cos sin cos 2t t x x x x -=+=，）（3）形如22sin (cos )cos y A x x B x C =++或的函数通过换元转化为二次函数求解（4）形如cos()y A x B ωϕ=++的形式：已知x 的取值范围，求得x ωϕ+的范围，根据三角函数图像求出cos()x ωϕ+的范围，进而求得cos()A x B ωϕ++的范围，即为()f x 的值域2.涉及余弦函数求单调性的问题：设函数cos()y A x B ωϕ=++单调递增区间的求法，设22 k x k k Z ππωϕπ-+≤+≤∈，，解得x 的范围即为()f x 的单调递增区间；单调递减区间的求法，设22 k x k k Z πωϕππ≤+≤+∈，，解得x 的范围即为()f x 的单调递减区间．3.涉及余弦函数求解析式问题：可参照正弦函数求解析式的方法余弦函数的性质例题1、 函数1y =+1cos 2x -的定义域为 ． 例题2、 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A.y ＝lnx B.y ＝x 2＋1 C.－y ＝sinx D.y ＝cosx例题3、 若将函数2cos2y x =的图像向右平移12π个单位长度，则平移后函数的一个零点是（ ）A.506π（，）B.706π（，）C.103π-（，）D.106π（，）例题4、 函数()123cos log 2xf x x π=- 零点个数是（ ）A.2 3 C.4D.5随练1、 函数y =2cos 1x + ） A.[2-,2]()33k k K Z ππππ+∈ B.[2-,2]()66k k K Z ππππ+∈C.2[2,2]()33k k K Z ππππ++∈D.22[2-,2]()33k k K Z ππππ+∈余弦函数有关的值域问题例题1、 函数])35,6[)(3cos(πππ∈-=x x y 的最小值是______． 例题2、 函数c 5[,]6os26f x x x ππ=∈（），的值域是_________．例题3、 函数2cos -1y x =的最大值、最小值分别是（ ）A.2,-2B.1,-3C.1,-1D.2,-1例题4、 函数cos 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ）A.,1πB.2π，C.21π，D.22π，例题5、 函数22cos cos 1y x x =++﹣，ππ[,]22x ∈-的图象大致为（ ） A. B. C. D.随练1、 函数cos 24f x x π=（）（﹣）在区间[0]2π，上的最小值为（ ） A.1﹣B.2C.0 2余弦函数有关的单调性问题例题1、 函数cos y x =的一个单调递增区间为（ ） A.()22ππ-，B.0π（，）C.3()22ππ， D.2ππ（，）例题2、 求函数cos(3)4y x π=-的单调递减区间例题3、 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A.13(,),44k k k Z ππ-+∈B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C.13(,),44k k k Z -+∈D.13(2,2),44k k k Z -+∈例题4、 已知函数f （x ）＝sin （cosx ）－x 与函数g （x ）＝cos （sinx ）－x 在区间π(0,)2都为减函数，设x 1，x 2，x 3∈（0，π2），且cosx 1＝x 1，sin （cosx 2）＝x 2，cos （sinx 3）＝x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ） A.x 1＜x 2＜x 3 B.x 3＜x 1＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 2＜x 3＜x 1随练1、 函数32cos 23y x π=-﹣（）的单调递减区间是（ ） A.263k k ππππ++（，）k Z ∈（） B.36k k ππππ-+（，）k Z ∈（） C.32234k k ππππ++（，）k Z ∈（） D.2236k k ππππ-+（，）k Z ∈（）余弦函数有关的对称问题例题1、 函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）A. B. C. D.例题2、 函数cos 43y x π=+（）的图像的相邻两个对称中心间的距离为（ ） A.8π B.4π C.2π D.π例题3、 函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像与函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A.有相同的对称轴但无相同的对称中心B.有相同的对称中心但无相同的对称轴C.既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴随练1、 函数123log cos(2)2y x π-=的单调递增区间是（ ）A.,[]44k k ππππ+﹣k Z ∈（） B.,]4[k k πππ﹣k Z ∈（） C.[3,]44k k ππππ+﹣k Z ∈（） D.,[]4k k ππππ+﹣k Z ∈（）正切函数的图像及性质知识精讲一．函数()tan f x x =称之为正切函数二．正切函数的图象类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数tan y x =，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的图象，作法如下： 1. 作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆．2. 把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．3. 描点. （横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．4. 连线．根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线.三. 正切函数的性质1. 定义域：| 2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2. 值域：R3. 周期性：正切函数是周期函数，周期是π．4. 奇偶性：tan()tan x x -=-，正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称．5. 单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数．6. 中心对称点： 0 2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 函数sin y x = cos y x =tan y x = 定义域 RR{|,}2x x k k ππ≠+∈Z值域[1,1]-[1,1]-R 奇偶性 奇函数偶函数 奇函数 最小正周期2πT =2πT =πT =单调区间22)22k k ππππ-+（，增322)22k k ππππ++（，减k Z ∈ 22)k k πππ-（，增 22)k k πππ+（，减k Z ∈)22k k ππππ-+（，增k Z ∈对称轴 ππ(2x k k =+∈Z)π(x k k =∈Z) 无 对称中心 (π,0)()k k ∈Z0)()2k k Z ππ+∈（，π(,0)(2k k ∈Z)三点剖析一. 注意事项1. 正切函数图象的定义域为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z ，值域为全体实数R ，不同于正弦函数和余弦函数定义域是全体实数R ，值域是[1,1]-.2. 关于()()tan f x x ωϕ=+的最小正周期，最小正周期为T πω=，而正弦和余弦函数的最小正周期为2T πω=3. 切记正切函数必须说是在定义域内单调递增，而不能说是在全体实数内单调递增.4. 正切函数图象的中心对称点是π(,0)(2k k ∈Z)，不同于正弦函数图象和余弦函数图象，对称轴只是与x 轴的交点. 5. 正切函数图象没有对称轴.6.正弦函数的单调性质，值域求解析式等问题可类似正余弦函数的求解方法解决正切函数有关的值域问题例题1、 函数tan 24y x π=-（）的定义域为______________． 例题2、 求函数3tan 3y x =-的定义域例题3、 求函数tan y x =3(,)442x x πππ≤≤≠且的值域随练1、 求函数1tan()26y x π=-的定义域、值域正切函数有关的单调性问题例题1、 函数tan f x x =+（）（4π）的单调增区间为（ ） A.k π（﹣ 2π，k π+2π）k Z ∈， B.1k k k Z ππ+∈（，（）），C.k π（﹣34π，k π+ 4π）k Z ∈， D.k π（﹣ 4π，k π+34π）k Z ∈， 例题2、 若()tan()4f x x π=+，则（ ）A.101f f f （﹣）＞（）＞（）B.011f f f （）＞（）＞（﹣）C.101f f f （）＞（）＞（﹣）D.011f f f （）＞（﹣）＞（）例题3、 下列函数中，是奇函数且在区间01（，）内单调递减的函数是（ ） A.12log y x = B.1y x = C.3y x =D.tan y x = 随练1、 已知实数x ，y 满足11()()22x y <，则下列关系式中恒成立的是（ ） A.tanx ＞tany B.ln （x 2＋2）＞ln （y 2＋1） C.11x y> D.x 3＞y 3随练2、 已知tan1,tan2,tan3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c ＞＞ B.a c b ＞＞C.c b a ＞＞D.c a b ＞＞正切函数有关的对称问题例题1、 函数πtan(2)4y x =+的最小正周期为（ ）A.2πB.πC.π2D.π4例题2、 对于函数2tan xy =，下列判断正确的是（ ）． A.周期为π2的奇函数 B.周期为2π的奇函数 C.周期为π的偶函数D.周期为π2的偶函数例题3、 下列函数中，既是奇函数又以π为周期，且在20,π（）上单调递增的是（ ） A.tan 2xy = B.sin y x = C.tan y x = D.cos x随练1、 在函数①y ＝cos|2x |，②πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④y ＝|cosx|中，最小正周期为π的所有函数为（ ）．A.①②③B.①③④C.②④D.①③随练2、 函数53tan 26y x π=+（）的最小正周期为______．拓展1、 函数1sin cos 2y x x -的定义域是____________________． 2、 使函数32cos y x =﹣取得最小值时的x 的集合为（ ） A.{|}2x x k k Z ππ=+∈， B.{|}2x x k k Z π=∈，C.2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭3、 定义：[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][1.5101].5==，﹣﹣，给出下列结论： ①函数[]sin y x =是奇函数；②函数[]sin y x =是周期为π的周期函数；③函数[]sin cos y x x =﹣不存在零点； ④函数[][]sin cos y x x =﹣的值域为[]101﹣，，． 其中正确结论是（ ）A.①③B.②④C.③④D.②③4、 函数lncos 2y x =+（4π）的一个单调递减区间是（ ）A.5(,)88ππ--B.3(,)88ππ--C.(,)88ππ-D.3(,)88ππ-5、 函数π()cos(π)6f x x =-的图象的对称轴方程为（ ）A.2(Z)3x k k =+∈B.1(Z)3x k k =+∈C.1(Z)6x k k =+∈D.1(Z)3x k k =-∈6、 求函数2tan 2tan 3y x x =--在区间[,]34ππ-上的值域7、 下列四个命题中正确的是（ ）A.函数tan y x =+（4π）是奇函数B.函数sin |2y x =+（3π）|的最小正周期是πC.函数tan y x =在∞+∞（﹣，）上是增函数 D.函数cos y x =在每个区间[72,24k k ππππ++]k z ∈（）上是增函数 8、 下列函数中，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ ）A.cos y x =B.sin y x =C.tan y x =D.sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9、 下列坐标所表示的点不是函数tan()26x y π=-的图像的对称中心的是（ ）A.(,0)3πB.5(,0)3π-C.2(,0)3πD.4(,0)3π10、 对于函数tan 2f x x =（），下列选项中正确的是（ ）A.f x （）在（﹣ ，4π）上是递增的B.f x （）在定义域上单调递增C.f x （）的最小正周期为πD.f x （）的所有对称中心为（4k π，0）。
高三数学专题复习函数的性质及应用
函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有个．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= ．（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为 。
构建“学为中心”的高三数学二轮复习课堂——以《函数图象与性质应用》的复习为例
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的图象可能是（ ）
知识 。从 而 实 现 以 学 生 为 主 的 知识 整理 。
紧 接 着 给 出 第 二 组 ： ２ ． 设 ｆ （ ｘ 】 ： ｛ 一 ＋ ６ Ｊ ≥ ！ 若 存 在 互
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递进式设 问， 逐步 增加 难度 ， 注重 对资料的积 累和对各种题
型、 方 法 的归 纳 ， 以及 可 能 引 起 失 分 原 因 的 总结 。
教师 ： 在评价完后追问 ， 真的都掌握 了？学生齐声 回答 “ 是” 。在追问“ 既然都会了 ， 那 同学们 ， 给我找 出些这种类 型
（ 二） 课堂 教学 ： 笔 者在处理 《 函数 图象与 性质应用 》 这
节专题复习课 开展教学设计 ：
ｆ Ｉ ｏ ｇ ２ ｘ ， ｘ ＞ ０ ，
的问题 ． 相互考察检验下 ， 刚才你 们的回答 是否真实有效 ” 。
以此例题展开变式设计 活动。
同学 们 分 成 几 个 小 组 ， 积 极 开展 了讨 论 。 第一组很 快给 出了 ： 变式 练习 １ ： 已知 函数 ｆ 【 ｘ ） 是偶 函
因有 ： 此题融合 的信息较 多 ， 知识 内在 的联 系 复杂起来 ， 学 生不能有效 的把知识信息综合起来 。
从学生做 的情况来看 ， 很多学生缺乏转化的能力 。从 而
让 笔者设置了这节《 函数 图象与性质应用》 的专题课 。课前
准 备的首要任务是了解“ 学情” 。在 对学生 了解 的基础上 ， 认
形成 内化能力并灵活运用知识 ；三是要把握各 题型的 特点 和规律 ， 把握解题方法 ， 初步形成应试技巧 。达到高考考查
高三数学二轮复习讲义专题一函数性质与图象
专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。
本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。
复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。
【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。
解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。
令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。
故集合A 中的元素最多为6个。
（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。
《红对勾讲与练系列》高三文科数学二轮复习专题二第一讲 函数的图象与性质(共85张 P P T)
专题突破方略
专题二
函数与导数
第一讲 函数的图象与性质
主干知识大串联01
创新交汇大盘点03
高考热点全突破02
课时作业
主干知识大串联01
知识梳理 追根求源
1．函数的概念及其表示 两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一 函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2．函数的单调性
又f236π＝f4π－π6＝f－π6， f－π6＋π＝f－6π＋sin－π6， ∴f56π＝f－π6－12. ∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f56π＝0， ∴f236π＝f－π6＝12.故选A.
答案：A
5．(2014·新课标卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调 递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔
fx1－fx2 x1－x2
>0⇔f(x)在[a，b]
上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔
fx1－fx2 x1－x2
<0⇔f(x)在[a，b]上
是减函数．
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内， f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公 共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复 合函数y＝f[g(x)]的单调性．
答案：A
2．(2014·福建卷)已知函数f(x)＝xc2o＋sx1，，x≤x>00，， 则下列 结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
高三数学第二轮专题讲座复习：灵活运用三角函数的图象和性质解题.doc
高三数学第二轮专题讲座复习：灵活运用三角函数的图象和性质解题高考要求三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 重难点归纳1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3 三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用典型题例示范讲解例1设z 1=m +(2－m 2)i , z 2=cos θ+(λ+sin θ)i , 其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围错解分析 考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题技巧与方法 对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题解法一 ∵z 1=2z 2，∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－si n θ－1=2(s in θ－41)2－89 当sin θ=41时λ取最小值－89，当sin θ=－1时，λ取最大值2 解法二 ∵z 1=2z 2 ∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4)22(4222λ--+m m =1 ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0, 设t =m 2,则0≤t ≤4, 令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0)4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤≤≤--≥0220434589λλλλλ或或 ∴－89≤λ≤0或0≤λ≤2 ∴λ的取值范围是［－89，2］ 例2如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 错解分析 考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活技巧与方法 首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题解 由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程020cos cos 1sin 4sin 2S L v t h L v gt αθαθ==⎧⎪⎨-=-=-⎪⎩ ① ② 由①②整理得 v 0cos θ=.21sin sin ,cos 0gt t L v t L +-=αθα ∴v 02+gL sin α=41g 2t 2+22tL ≥2222412t L t g ⋅=gL 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =21mv 02, ∴v 02=2gh ,∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20αα-=-g ghg v =200(m)即L max =200(m),又41g 2t 2=22222L t h S =+ αθv 0hO∴θααcos 22cos cos ,20⋅====gL gh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30° 例3如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b(1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数解析式错解分析 不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母技巧与方法 数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式解 (1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象∴ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π, 由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈［6,14］例4 已知α、β为锐角，且x (α+β－2π)＞0,试证不等式f (x )=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立证明 若x ＞0，则α+β＞2π∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2π,∴0＜sin(2π－α)＜sin β 0＜sin(2π－β)＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α,∴0＜cos sin αβ＜1,0＜αβsin cos ＜1,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2若x ＜0,α+β＜2π,∵α、β为锐角， 0＜β＜2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π, 0＜sin β＜sin(2π－α),∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(2π－β),∴sin α＜cos β,∴cos sin αβ＞1, αβsin cos ＞1,∵f (x )在(－∞,0）上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立 学生巩固练习1 函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )时间/h 温度/0C 30201014106o y xAoy xBoyxC oyxDo yx2 函数f (x )=cos2x +sin(2π+x )是( ) A 非奇非偶函数 B 仅有最小值的奇函数 C 仅有最大值的偶函数D 既有最大值又有最小值的偶函数3 函数f (x )=(31)｜cos x ｜在［－π，π］上的单调减区间为_________ 4 设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________5 设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0(1)求证 b +c =－1； (2)求证c ≥3； (3)若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值 参考答案1 函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0,2π)时，y ＜0答案 D 2 解析 f (x )=cos2x +sin(2π+x )=2cos 2x －1+cos x =2［(cos x +81)2212-］－1答案 D3 解 在［－π,π］上，y =｜cos x ｜的单调递增区间是［－2π,0］及［2π,π］ 而f (x )依｜cos x ｜取值的递增而递减,故［－2π,0］及［2π,π］为f (x )的递减区间4 解 由－2π≤ωx ≤2π，得f (x )的递增区间为［－ωπ2,ωπ2］，由题设得.230,23: 4232],2,2[]4,3[≤ω<∴≤ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π≥ωππ-≤ωπ-∴ωπωπ-⊆ππ-解得 5 解 (1)∵－1≤sin α≤1且f (sin α)≥0恒成立，∴f (1)≥0 ∵1≤2+cos β≤3,且f (2+c os β)≤0恒成立 ∴f (1)≤0 从而知f (1)=0∴b +c +1=0(2)由f (2+cos β)≤0,知f (3)≤0,∴9+3b +c ≤0 又因为b +c =－1,∴c ≥3(3)∵f (sin α)=sin 2α+(－1－c )sin α+c =(sin α－21c +)2+c －()21(c +)2,当sin α=－1时，［f (sin α)］max =8,由⎩⎨⎧=++=+-0181c b c b 解得b =－4,c =3O B αy x。
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版专题一 函数考点高考要求 1 映射的概念 了解 2 函数的概念 理解 3 函数的单调性的概念 了解 4 简单函数单调性的判断 掌握 5 函数的奇偶性 了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系 了解 8 简单函数的反函数的求法 掌握 9 分数指数幂的概念 理解 10 有理数指数幂的运算性质 掌握 11 指数函数的概念、图象和性质 掌握 12 对数的概念 理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质 掌握 15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3．灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套） 二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分．对函数，常常从以下几个方面加以考查．1知识点函数的解析式 定义域和值域（包括最大值和最小值） 函数的单调性 函数的奇偶性和周期性 函数的反函数 题量27335函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如： 例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞C 、23[,1]D 、23(,1]例2．（天津市）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x yB 、)31(log 13≥+-=x x yC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如 例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．2．对数形结合思想、函数图象及其变换的考查．对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等． 例4．（上海市）设奇函数f (x )的定义域为[-5，5]．若当x ∈[0，5]时f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解是]5,2()0,2( -． 例5．（上海市）若函数y =f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）为（ A ） A 、10-x-1 B 、10x-1 C 、1-10-xD 、1-10x3．对函数思想的考查．利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题．在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题． 例6．（1）（浙江省）已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞．（2）（全国卷3）设函数2(1),1,()41, 1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为（ A ）A 、(-∞,-2][0,10]B 、(-∞,-2][0,1]C 、(-∞,-2][1,10] D 、[-2,0][1,10]例7．（上海市）已知二次函数y =f 1（x ）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间距离为8，f （x ）= f 1（x ）+ f 2（x ）． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )= f (a )有三个实数解．解：（1）由已知,设f 1(x )=ax 2，由f 1(1)=1，得a =1，故f 1(x )= x 2．设f 2(x )=xk(k >0)，它的图象与直线y =x 的交点分别为A (k ，k )、B (－k ,－k ) 由AB =8，得k =8，故f 2(x )=x 8．所以f (x )=x 2+x8． （2）证法一：由f （x ）=f （a ）得x 2+x 8=a 2+a 8， 即x 8=－x 2+a 2+a 8．在同一坐标系内作出f 2(x )=x 8和f 3(x )= －x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以(0，a 2+a8)为顶点，开口向下的抛物线．因此,，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )=f (a )有一个负数解． 又因为f 2(2)=4,，f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时，f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, 所以当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方． 所以f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )=f (a )有两个正数解． 因此，方程f (x )=f (a )有三个实数解． 证法二：由f (x )=f (a )，得x 2+x 8=a 2+a 8， 即(x －a )(x +a －ax8)=0，得方程的一个解x 1=a ． 方程x +a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0，由a >3，∆=a 4+32a >0，得 x 2=a a a a 23242+--， x 3=aa a a 23242++-，因为x 2<0, x 3>0, 所以x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3．若x 1= x 3，即a =aa a a 23242++-，则3a 2=a a 324+， a 4=4a ，得a =0或a =34，这与a >3矛盾，所以x 1≠ x 3． 故原方程f (x )=f (a )有三个实数解． 例8．（福建高考题）已知f (x )=2324()3x ax x x +-∈R 在区间[－1，1]上是增函数． （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x )=4+2,22x ax - ∵f (x )在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ①设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A ={a |－1≤a ≤1}.方法二：①⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1．∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0， ∴A ={a |－1≤a ≤1}． （Ⅱ）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0，∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，方法一：②⇔ g (－1)=m 2－m －2≥0且g (1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m =0时，②显然不成立；当m ≠0时，②⇔m >0，g (－1)=m 2－m －2≥0 或m <0，g (1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 三、高考热点分析函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．在复习过程中，以下几点值得重视：1．重视对函数概念和基本性质的理解．包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用．对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合．例1．（北京市）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A . a ∈-∞(,]1B . a ∈+∞[,)2C . a ∈[,]12D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识．例2． （福建省）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f —1(x )，则函数y = f —1(1－x )的图象是（ C ）例3．（全国高考题3）已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___-2_____．例4．（湖北省）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4例5．（北京市）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最大 值（填“大”或“小”），且该值为-3．例6．（湖南省）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4例7．（江苏省）设k >1，f (x )=k (x -1)(x ∈R ) ．在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A 、3B 、32C 、43D 、65例8．（上海市）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A , 求实数a 的取值范围． 解：（1）2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1) [1，+ ∞)． （2）由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．因为a <1，所以a +1>2a ，故B =(2a ，a +1)． 因为B ⊆A ，所以2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， 所以21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2] [21，1)．例9．（2003年全国理科高考题）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式|2|1|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2,|2|2,2,1|2|2.|2|121.211,,0.,, 1.(0,][1,).22x c x c x x c c x c y x x c c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞R 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 2．重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题． 例10．（全国高考题1）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 分析：函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上递减等价于0)(≤'x f 恒成立．解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f当0)(≤'x f （x ∈R ）时，)(x f 是减函数.23610()ax x x +-≤∈R .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且所以，所求a 的取值范围是（].3,-∞-说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视． 例11．（重庆市）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ；并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ； （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围． 解：（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-='.0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（2）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f ：.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x ，代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.02522≥+-a a.0)()(,2,.)(212:21成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥x f x f a a a 例12．（2003年江苏高考题）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数nn n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+ ).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>- 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1．进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）．2．在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法． 一些备选例题：1．（2000年春季）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则（ A ）A 、b ∈(-∞，0)B 、 b ∈(0,1)C 、 b ∈(1,2)D 、 b ∈(2,+∞) 分析：显然，（想方程）方程f (x )=0的根为0、1、2，所以，可以设f (x )=ax (x -1)(x -2)，与f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 比较可得：b =-3a ．（想不等式）又x >2时，有f （x ）>0，于是有a >0，故b <0.2．（2000年上海）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[)+∞,1.（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意的x ∈[)+∞,1,f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用．当a =21时，f (x )=221++xx ≥222212+=+⋅x x ，当且仅当22,21==x x x 即时等号成立，而[)∞+∉122，也就是说这个最小值是取不到的． 解：(1)当a =21时，f (x )=221++xx ，函数f (x )在区间[)+∞,1上为增函数（证明略），所以当x =1时，取到最小值f (1)=3.5.(2)解法一：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，而函数g (x )=x 2+2x +a 在[)+∞,1上增函数，所以当x =1时，g (x )取到最小值3+a ，故3+a >0，得：a >-3．解法二：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，即a >-x 2-2x 恒成立，这只要a 大于函数-x 2-2x 的最大值即可．而函数-x 2-2x 在[)+∞,1上为减函数，当x =1时，函数-x 2-2x 取到最大值-3，所以a >-3．说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．3．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝100t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0＜y ≤300对t 恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）． 解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为y ＝100＋10xt －10t －100t ，且0≤t ≤16．根据题意0＜y ≤300，∴0＜100＋10xt －10t －100t ≤300．0 1 2 xy由左边得x ＞1＋10（t t11-）＝1＋10〔－2)211(-t ＋41〕， 当t ＝4时，1＋10〔－2)211(-t ＋41〕有最大值3．5．∴x ＞3．5．由右边得x ≤t t 1020+＋1，当t ＝16时，tt 1020+＋1有最小值4．75，∴x ≤4．75． 综合上述，进水量应选为第4级．说明：a 为实数，函数f (x )定义域为D ，若a >f (x )对x D ∈恒成立，则a >f (x )的最大值；若a <f (x )对x D ∈恒成立，则a <f (x )的最小值．4．设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()为实数a x x a x g 32422---⋅=（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值，并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析：（1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．简答：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+-=1024012433x ax x x ax x x f（2）因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值．故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()ax x x f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数()x f 的导数．简答：如果()+∞∈,6a 可解得：8=a ； 如果(]6,2∈a ，可解得：61833>=a ，与(]6,2∈a 矛盾．故当8=a 时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上． 5．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+ (b 、c 为常数),(Ⅰ) 若()f x 在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值；(Ⅱ)若()f x 在12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上单调递增且在12(,)x x x ∈上单调递减,又满足211x x ->，求证：22(2)b b c >+；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小，并加以证明． 解： (Ⅰ)'2()(1)f x x b x c =+-+，由题意得:1和3是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，113,1 3.b c -=+⎧∴⎨=⨯⎩解得3,3.b c =-⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由题得:当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时，'()0f x >；12(,)x x x ∈时, '()0f x <．12,x x ∴是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，则12121,,x x b x x c +=-=222121212212122212(2)24[1()]2[1()]4()41() 1.b bc b b cx x x x x x x x x x x x ∴-+=--=-+--+-=+--=--211x x ->,2221()10,2(2)x x b b c ∴-->∴>+.(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知212(1)()(),x b x c x x x x +-+=-- 即212()(),x bx c x x x x x ++=--+所以2112112()()()(1),t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=-+-2121111,10,0,0,x x t t x t x t x >+>+∴+-<<<∴-<又 2121()(1)0,.t x t x t bt c x ∴-+->++>即。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题二 第一讲函数的图像与性质
④当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时.f (x ＋1)＝1.f (2x )＝1.不合题意．综上.不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞.0)． 故选D ．方法二：∵ f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴ 函数f (x )的图象如图所示．由图可知.当x ＋1≤0且2x ≤0时.函数f (x )为减函数.故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时.f (2x )＞1.f (x ＋1)＝1. 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上.不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞.－1]∪(－1,0)＝(－∞.0)． 故选D ．6．(20xx·江苏卷.5)函数f (x )＝log2x －1的定义域为{x |x ≥2}. [解析] 由log 2x －1≥0.即log 2x ≥log 22.解得x ≥2.所以函数f (x )＝log2x －1的定义域为{x |x ≥2}．7．(20xx·全国卷Ⅲ.16)已知函数f (x )＝ln(1＋x2－x )＋1.f (a )＝4.则f (－a )＝－2.[解析] ∵ f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x2－x )＋1＋ln(1＋x2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2.∴ f (a )＋f (－a )＝2.∴ f (－a )＝－2.命题方向1 函数的图象及其应用例1 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x ).当x ∈[0,2]时.f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ∈[0，1)，－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( A )的取值范围是(－1, 3).log(23．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.若对于任意给定的不等实数x1、x2.不等式x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立.则不等式f(1－x)<0的解集为( C ) A．(－∞.0) B．(0.＋∞)C．(－∞.1) D．(1.＋∞)[解析]由条件式得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0.∴x1<x2时.f(x1)>f(x2).x1>x2时.f(x1)<f(x2).∴f(x)为减函数.又f(x)为R上的奇函数.∴f(0)＝0.∴不等式f(1－x)<0化为f(1－x)<f(0).∴1－x>0.∴x<1.故选C．4.如图.过单位圆O上一点P作圆O的切线MN.点Q为圆O上一动点.当点Q由点P逆时针方向运动时.设∠POQ＝x.弓形PRQ的面积为S.则S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致图象是( B )[解析]S＝f(x)＝S扇型PRQ＋S△POQ＝12(2π－x)·12＋12sin x＝π－12x＋12sin x.则f′(x)＝12(cos x－1)≤0.所以函数S＝f(x)在[0,2π]上为减函数.当x＝0和x＝2π时.分别取得最大值与最小值．又当x从0逐渐增大到π时.cos x逐渐减小.切线斜率逐渐减小.曲线越来越陡；当x从π逐渐增大到2π时.cos x逐渐增大.切线斜率逐渐增大.曲线越来越平缓.结合选项可知.B正确．。
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质课件ppt.ppt
则同时具有以下两个性质的函数是( A ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称.
2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论
中正确的是( D) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
](kZ)上单调递增, 在
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是 (k ,k ],k z 使 g(x) 0 且递减的区间是
12
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(k ,k 5 ],k z ，
6
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∴当 0 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是
(k ,k 5 ],k z ，
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当 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是 (k ,k ],k z .
且f (0) 3 , f ( ) 1 .
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(1)求 f (x) 的最小正周期； (2)求 f (x) 的单调递减区间； (3)函数 f (x) 的图象经过怎样的平移才能 使所得图象对应的函数成为奇函数？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第二讲 函数的图象与性质 第二讲 函数的图象与性质教案
第二讲函数的图象与性质[考情分析]1．函数的性质是本部分考查的热点，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题重点，多以选择、填空题形式出现；2.函数图象的识别是考查的热点，多与性质隐含结合命题，注意方法的选择与识别的技巧.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：由题意，令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x 1－cos x＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x 1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (π2)＝sin π1－cos π2＝0， f (3π4)＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C.答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i＝( ) A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称， ∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，m i ＝1x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，m i ＝1x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.答案：B 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x 解析：函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 答案：D函数及其表示[方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[题组突破]1．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是( ) A.109B.19 C ．－19D ．－109 解析：由题意可得：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.故选A.答案：A2．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln x －1的定义域为( ) A ．[1,10]B ．[1,2)∩(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋9x ＋10≥0x －1>0x －1≠1，解得1<x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln x －1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.答案：D3．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2) 解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2ex －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.答案：B[误区警示]分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，求值时要注意判断自变量的取值，否则要分类讨论．函数图象及应用[典例] (1)函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：当x ＝0时，则y ＝ecos 0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cos π＝1e.可排除A ，B ，D ，选C.答案：C (2)函数f (x )＝ln(x －1x)的图象是( )解析：因为f (x )＝ln(x －1x )，所以x －1x ＝x ＋1x －1x >0，解得－1<x <0或x >1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，选B. 答案：B(3)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( )解析：因为f ′(x )＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A ，D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C.选B. 答案：B(4)已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象；因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，选B.答案：B[类题通法]函数图象的识别与判断技巧方法1 特殊点法用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．如本例中(1)．方法2 性质检验法已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．如本例中(2)．方法3 导数法判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．如本例中(3)．方法4 图象变换法有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．如本例中(4)．[演练冲关]1．(2017·长沙模拟)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( ) 解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A.答案：A2．(2017·惠州模拟)函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D.答案：D函数的性质及应用[方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．3．记住几个周期性结论(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，则f (x )为周期函数，且2a 是它的一个周期．(2)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x (a ＞0)，则f (x )为周期函数，且2a 是它的一个周期．[典例] (1)(2016·湖南六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：通解：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0lg x <2或⎩⎪⎨⎪⎧ lg x <0－lg x <2，解得1≤x <100或1100<x <1， 所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100.优解：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )>f (2)可化为|lg x |<2，即－2<lg x <2，解得1100<x <100，故选C. 答案：C(2)(2017·安徽六安一中测试)已知函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域为[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个解析：函数y ＝3－|x |3＋|x |＝63＋|x |－1，易知函数是偶函数，x >0时是减函数，所以函数的图象如图所示，根据图象可知，函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域可能为[－3,0]，[－3,1]，[－3,2]，[－3,3]，[－2，3]，[－1,3]，[0,3]，共7种，所以满足条件的整数对(a ，b )共有7个．故选B.答案：B[类题通法]1．数学思想转化在函数性质的应用，主要是已知偶函数时注意f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．2．求解函数性质的综合问题时注意数形结合思想化抽象为直观．3．注意特殊值、特殊点法在性质中的应用．[演练冲关]1．(2017·甘肃会宁一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a x ＋3a ，x <1ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，12) B ．(－1，12) C ．(－∞，－1] D ．(0，12) 解析：通解：当x ≥1时，ln x ≥0，要使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a x ＋3a ，x <1ln x ，x ≥1的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >01－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12，故选A. 优解：取a ＝－1，则函数f (x )的值域为R ，所以a ＝－1满足题意，排除B 、D ；取a ＝－2，则函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪[0，＋∞)，所以a ＝－2不满足题意，排除C ，故选A.答案：A2．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x 的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12 D.14 解析：由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln(1e ＋1)＋b ，∴b ＝12，∴log 2 12＝－1. 故选B.答案：B3．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f (52)<f (72) B ．f (72)<f (1)<f (52) C ．f (72)<f (52)<f (1) D ．f (52)<f (1)<f (72) 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)，故选B.答案：B新定义下的函数问题[方法结论]新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．[题组突破]1．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：(ⅰ)对任意的x∈[0,1]，恒有f(x)≥0；(ⅱ)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．则下列3个函数中不是M函数的个数是( )①f(x)＝x2②f(x)＝x2＋1 ③f(x)＝2x－1A．0 B．1C．2 D．3解析：在[0,1]上，3个函数都满足f(x)≥0. 当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时：对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x21＋x22)＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(x1＋x2)2＋1]－[(x21＋1)＋(x22＋1)]＝2x1x2－1<0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(212＋－1)－(21x－1＋22x－x x1)＝21x22x－21x－22x＋1＝(21x－1)(22x－1)≥0，满足．故选B.答案：B2．(2017·哈尔滨四校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …fn 个 (x )]}，那么f 2 016(2)的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.答案：C。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质
第二篇 专题六 第1讲一、选择题1．(2021·全国甲卷)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x ).若f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，则f ⎝⎛⎭⎫53＝( C )A ．－53B ．－13C ．13D ．53【解析】 方法一：由题意得f (－x )＝－f (x )， 又f (1＋x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (2＋x )＝f (x )，又f ⎝⎛⎭⎫－13＝13， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝13.故选C.方法二：由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又f (x )为奇函数，所以f (x )是周期函数，且T ＝4⎪⎪⎪⎪0－12＝2， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫53－2＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x -1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 2 3)等于( B )A ．112B ．132C ．152D ．10【解析】依题意f (－3)＋f (log 2 3)＝log 2 4＋22log 2 3－1＝2＋2log 2 92＝2＋92＝132.3．设函数f (x )＝4x 23|x |，则函数f (x )的图象大致为( A )【解析】观察函数解析式发现，x 是以平方、绝对值的形式出现的，所以f (x )为偶函数，排除B ；当x >0时，f (x )＝4x 23x ，当x →＋∞时，f (x )→0，排除C ；因为f (2)＝4×2232＝169<2，选项D 中f (2)>2，所以D 不符合题意．4．(2022·济宁模拟)函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且对于任意的x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1成立．如果f (m )＞m ，则实数m 的取值集合是( C )A ．{0}B ．{m |m ＞0}C ．{m |m ＜0}D ．R【解析】令g (x )＝f (x )－x ， 因为f (x )为奇函数，所以g (x )为R 上的奇函数，不妨设x 1＜x 2， 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1成立可得f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2，即f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，所以g (x 1)＞g (x 2)，即g (x )在R 上单调递减， 由f (m )＞m 得g (m )＞0＝g (0)， 所以m ＜0.故选C.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x －2，则( B ) A ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎫cos π6 B ．f (sin 3)<f (cos 3) C ．f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3<f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3 D ．f (2 020)>f (2 019)【解析】由f (x ＋2)＝f (x )，得f (x )是周期函数且周期为2，根据f (x )在x ∈[－1，0]上的图象和f (x )是偶函数可得f (x )在[0，1]上是增函数．对于A ，0<sin π6<cos π6<1，∴f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6，A 错误； 对于B ，0<sin 3<－cos 3<1，∴f (sin 3)<f (－cos 3)＝f (cos 3)，B 正确； 对于C ，0<－cos4π3<－sin 4π3<1， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3<f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3，C 错误； 对于D ，f (2 020)＝f (0)<f (2 019)＝f (1)，D 错误．6．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值为( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.7．(2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|，则f (x )( D ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递减 C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减 【解析】f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln |－2x ＋1|－ln |－2x －1| ＝ln |2x －1|－ln |2x ＋1| ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，12时， f (x )＝ln (2x ＋1)－ln (1－2x )＝ln 2x ＋11－2x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1＋21－2x . ∵y ＝－1＋21－2x 在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递增， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递增．故排除B. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln (－2x －1)－ln (1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减． 故选D.8．对任意实数a ，b ，定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2.设f (x )＝3x +1⊙(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( C )A ．[－1，2]B ．(0，3]C ．[0，2]D ．[1，3]【解析】由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x +1，x ≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减．若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2.故选C.二、填空题9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12，＋∞__．【解析】∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，∴当x ≤0时，x －1≤－1，f (x )＋f (x －1)＝2x ＋1＋2(x －1)＋1＝4x ≥2，无解；当⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －1≤0，即0<x ≤1时， f (x )＋f (x －1)＝4x ＋2(x －1)＋1＝4x ＋2x －1≥2，得12≤x ≤1；当x －1>0，即x >1时，f (x )＋f (x －1)＝4x ＋4x -1≥2，得x >1. 综上，x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.10．(2021·山西太原模拟)若a ＞0且a ≠1，且函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1，在R 上单调递增，那么a 的取值范围是__(1，2]__．【解析】 a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2a －2，解得a ∈(1，2].11．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围是__(－．【解析】当x <0时，f (x )＝x 2＋2x 关于原点对称的函数是y ＝－x 2＋2x (x >0)， 由题意得，y ＝－x 2＋2x (x >0)与y ＝kx ＋2有交点， 即－x 2＋2x ＝kx ＋2(x >0)有解，∴k ＝－x －2x ＋2(x >0)有解，又－x －2x ＋2≤－22＋2，当且仅当x ＝2时等号成立，∴k ≤2－2 2.12．(2020·全国Ⅲ)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__②③__． 【解析】∵f (x )＝sin x ＋1sin x的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }， f (－x )＝sin (－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确． ∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f (x )<0，故④错误． 三、解答题13．(2020·江苏省南京市高三联考)已知f (x )是定义在区间(－1，1)上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (x －1).已知m 满足不等式f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．【解析】当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)，可得f (x )在(－1，0)上单调递减；由f (x )是定义在区间(－1，1)上的奇函数，可得f (x )也是区间(－1，1)上的减函数． 因为f (1－m )＋f (1－m 2)<0， 所以f (1－m )<f (m 2－1)，可得如下不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，1－m >m 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <2，0<m <2或－2<m <0，－2<m <1，解得：0<m <1.所以实数m 的取值范围为(0，1).。
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张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：函数图象及图象性质的应用 高考要求 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用 因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质 重难点归纳 1 熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图象变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等2 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的 题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视典型题例示范讲解例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ),(1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和命题意图 本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题知识依托 把证明图象对称问题转化到点的对称问题错解分析 找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化技巧与方法 数形结合、等价转化(1)证明 设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0), ∵2)2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称，又f (a +x )=f (a －x ), ∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0,∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(2)解 由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根，若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根，∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8即f (x )=0的四根之和为8 例2如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a )(1)求函数f (a )和g (a )的表达式； (2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论命题意图 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等知识依托 充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口错解分析 图形面积不会拆拼技巧与方法 数形结合、等价转化解 (1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B=21(A ′A +C ′C )=21(2++a a ), g (a )=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B 1+a 1(2)()()(221)2f a g a a a a -=++1[(21)(1)]2a a a a =++-+ C'B'A'C B Ao yx111()02211a a a a =-<+++++ ∴f (a )<g (a )例3已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围 解法一 观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ①又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0 ②①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0) 解法二 如图f (0)=0有三根0,1,2，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ,∴b =－3a ,∵当x>2时，f (x )>0，从而有a >0,∴b ＜0 学生巩固练习1 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是( ) 1A o y x 1B o y x 1C o y x 1D o yx2 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )A o y xB o y xC o y xD o yx3 已知函数f (x )=log 2(x +1)，将y =f (x )的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y =g (x )的图象，则函数F (x )=f (x )－g (x )的最大值为_________三、解答题 4 如图，在函数y =lg x 的图象上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m ,m +2,m +4(m >1) (1)若△ABC 面积为S ，求S =f (m ); (2)判断S =f (m )的增减性 5 如图，函数y =23|x |在x ∈［－1,1］的图象上有两点A 、B ，AB ∥Ox 轴，点M (1，m )(m ∈R 且m >23)是△ABC 的BC 边的中点 (1)写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S =f (t ); (2)求函数S =f (t )的最大值，并求出相应的C 点坐标6 已知函数f (x )是y =1102+x －1(x ∈R )的反函数，函数g (x )的图象与函数y =－21-x 的图象关于y 轴对称，设F (x )=f (x )+g (x ) (1)求函数F (x )的解析式及定义域；(2)试问在函数F (x )的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由21o yxAC Boy x -t t AC B Moy x7 已知函数f 1(x )=21x -,f 2(x )=x +2, (1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，求b 的值 8 设函数f (x )=x +x1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x ) (1)求g (x )的解析表达式；(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标；(3)解不等式log a g (x )<log a 29 (0<a <1) 参考答案1 解析 ∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数 仔细观察题目中的直线方程可知 在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a ＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1 故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合答案 A2 解析 由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C 又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降答案 D3 解析 g (x )=2log 2(x +2)(x >－2)F (x )=f (x )－g (x )=log 2(x +1)－2log 2(x +2)=log 21441log 441log )2(122222+++=+++=++x x x x x x x x )1(21111log 2->++++=x x x ∵x +1>0,∴F (x )≤41log 211)1(21log 22=++⋅+x x =－2 当且仅当x +1=11+x ,即x =0时取等号 ∴F (x )max =F (0)=－2 4 解 (1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C (2)S =f (m )为减函数5 解 (1)依题意，设B (t ,23 t ),A (－t , 23t )(t >0),C (x 0,y 0) ∵M 是BC 的中点 ∴20x t +=1,2230y t + =m ∴x 0=2－t ,y 0=2m －23t 在△ABC 中，|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0－23t =2m －3t ∴S =21|AB |·h AB = 21·2t ·(2m －3t ),即f (t )=－3t 2+2mt ,t ∈(0,1)(2)∵S =－3t 2+2mt =－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t =3m时，S max =32m ,相应的C 点坐标是(2－3m , 23m ),若3m>1,即m >3 S =f (t )在区间(0，1］上是增函数，∴S max =f (1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3) 6 解 (1)y =1102+x －1的反函数为f (x )=lg x x +-11(－1＜x ＜1)由已知得g (x )=21+x ,∴F (x )=lg x x +-11+21+x ,定义域为(－1，1)(2)用定义可证明函数u =x x+-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y =lg u 是增函数∴f (x )是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B 7 解 (1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x 的图像如图所示y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成， 其表面积为(2+2)π(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，则可解得b =235-8 (1)g (x )=x －41-x(2)b =4时，交点为(5，4)；b =0时，交点为(3，0)(3)不等式的解集为{x |4＜x ＜29或x >6}-111o yx。