贵州省遵义市仁怀一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)

贵州省遵义市仁怀一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，N={1，2，3，4}，则M∩N=( )A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{2，3} D．{1，2，4}2．若复数z满足（1+i）•z=i，则z的虚部为( )A．﹣B．﹣C．D．3．平面向量、的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=( )A．B．C．3 D．74．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种B．10种C．9种D．8种5．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )A．B．C．D．6．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为( )A．3 B．6 C．8 D．127．设，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )A．①②B．①③C．②④D．③④9．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是( )A．B．C．（﹣∞，3]∪10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，1+）D．（1+，+∞）12．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，（其中S n为{a n}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=( ) A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=__________．14．已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是__________．15．设函数f（x）=若f（﹣4）=f（0），则函数y=f（x）﹣ln（x+2）的零点个数有__________个．16．已知A、B、C三点在球心为O的球面上，AB=AC=2，∠BAC=90°，球心O到平面ABC的距离为，则球O的表面积为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．18．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；下面的临界值表供参考：p（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=AD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C右焦点F（1，0），且e=．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B都不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．已知函数f（x）=（x﹣e）（lnx﹣1）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若m是f（x）的一个极值点，且点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足条件：ln（x1•x2）=lnx1•lnx2+2．（ⅰ）求m的值；（ⅱ）求证：点A，B，P（m，f（m））是三个不同的点，且构成直角三角形．选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=lg（|x+3|+|x﹣7|）﹣a．（1）当a=1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）如果∀x∈R，f（x）＞0，求a的取值范围．贵州省遵义市仁怀一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，N={1，2，3，4}，则M∩N=( ) A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{2，3} D．{1，2，4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．解答：解：由M={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}，N={1，2，3，4}，则M∩N={2，3}．故选C．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．2．若复数z满足（1+i）•z=i，则z的虚部为( )A．﹣B．﹣C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：∵（1+i）•z=i，∴z===，∴z的虚部为，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．平面向量、的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=( ) A．B．C．3 D．7考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：根据题意，由的坐标，可得||，进而可得•的值，利用公式|+|2=2+2•+2，计算出|+|2，开方可得答案．解答：解：根据题意，=（2，0），则||=2，又由||=1且、夹角为60°，则•=2×1×cos60°=1，|+|2=2+2•+2=4+2+1=7；则|+|=；故选B．点评：本题考查数量积的运用，注意先根据的坐标，求出的模．4．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种B．10种C．9种D．8种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果解答：解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选 A点评：本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题5．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．6．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为( )A．3 B．6 C．8 D．12考点：循环结构．专题：图表型．分析：第一次进入循环时，x←2×x，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体，依此类推，最后一次：x←2×x=48，n=1+3=4，不满足n≤3，退出循环体，利用得到最后一次中x的值将以上过程反推，从而得出输入的x值．解答：解：模拟程序的执行情况如下：x←2x，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体；x=2×（2x）=4x，n=2+1=3，满足n≤3，执行循环体；x=2×（4x）=8x，n=3+1=4，不满足n≤3，退出循环体，由8x=48即可得x=6．则输入的x值为：6．故选B．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理．7．设，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较；不等式比较大小．分析：根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．解答：解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．点评：本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )A．①②B．①③C．②④D．③④考点：平行投影及平行投影作图法．专题：空间位置关系与距离．分析：本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．解答：解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C点评：本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．9．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是( ) A．B．C．（﹣∞，3]∪考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．分析：本题利用特殊位置法解决．将P就放在棱A1B1上的点A1处，利用其特殊性，结合三垂线定理进行判断即可．解答：解：（特殊位置法）将P点取为A1，作OE⊥AD于E，连接A1E，则A1E为OA1在平面AD1内的射影，又AM⊥A1E，∴AM⊥OA1，即AM与OP成90°角．故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及考查空间想象力、特殊化思想方法，属于基础题．11．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，1+）D．（1+，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为钝角三角形只要∠AF2B为钝角即可，由此可知，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．解答：解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），故选D．点评：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．12．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，（其中S n为{a n}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=( )A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2考点：数列与函数的综合；函数的周期性．专题：综合题；压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：先由函数f（x）是奇函数，f（﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且S n=2a n+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．解答：解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，∴a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选C．点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．解答：解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．14．已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．15．设函数f（x）=若f（﹣4）=f（0），则函数y=f（x）﹣ln（x+2）的零点个数有4个．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：先求出b，再做出f（x）=与y=ln（x+2）的图象，即可得出结论．解答：解：∵函数f（x）=，f（﹣4）=f（0），∴b=4，∴f（x）=，f（x）=与y=ln（x+2）的图象如图所示，∴函数y=f（x）﹣ln（x+2）的零点个数有4个，故答案为：4．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．16．已知A、B、C三点在球心为O的球面上，AB=AC=2，∠BAC=90°，球心O到平面ABC的距离为，则球O的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由已知中球面上有A、B、C三点，AB=AC=2，∠BAC=90°，我们可以求出平面ABC截球所得截面的直径BC的长，进而求出截面圆的半径r，根据已知中球心到平面ABC的距离，根据球的半径R=，求出球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．解答：解：由已知中AB=AC=2，∠BAC=90°，我们可得BC为平面ABC截球所得截面的直径即2r==2∴r=又∵球心到平面ABC的距离d=∴球的半径R==2∴球的表面积S=4π•R2=16π故答案为：16π．点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据球半径，截面圆半径，球心距，构成直角三角形，满足勾股定理，求出球的半径是解答本题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设出公比，利用已知条件列出关系式，即可求解公比与首项，然后求数列{a n}的通项公式；（2）通过b n=log2a n，得到通项公式b n，然后求解数列{a n+b n}的前n项和T n．解答：解：（1）设等比数列的公比为q，有，解得a1=2，q=2，所以；（2）由（1）知，有，从而．点评：本题考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，数列求和的方法拆项法的应用，考查计算能力．18．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；下面的临界值表供参考：p（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论解答：解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生为30人，故可得列联表补充如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50（2）∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=AD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（I）由已知易得，AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD的方向向量及平面PAC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．（II）设侧棱PA的中点是E，我们求出直线BE的方向向量及平面PCD的法向量，代入判断及得E点符合题目要求；（III）求现平面APD的一个法向量及平面PCD的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A﹣PD﹣C的余弦值．解答：解：因为∠PAD=90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD=90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．设AD=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．（Ⅰ）证明：，，，所以，，所以AP⊥CD，AC⊥CD．又因为AP∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，则，．设平面PCD的一个法向量是n=（x，y，z），则因为，，所以取x=1，则n=（1，1，2）．所以，所以．因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．（Ⅲ）由已知，AB⊥平面PAD，所以为平面PAD的一个法向量．由（Ⅱ）知，n=（1，1，2）为平面PCD的一个法向量．设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以．即二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．点评：利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C右焦点F（1，0），且e=．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B都不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆C右焦点F（1，0），且e=，求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m与椭圆联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），可得k AD k BD=﹣1，即可得出结论．解答：解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：且c=1，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆的标准方程为．…（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，…又，…因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴，∴7m2+16mk+4k2=0．解得：7m+2k=0或m+2k=0…∴直线l过点或点（2，0）（舍）…点评：本题考查圆锥曲线与方程．直线系过定点时，必需是直线系中的参数为但参数，对于含有双参数的直线系，就要找到两个参数之间的关系把直线系方程化为单参数的方程，然后把x，y当作参数的系数把这个方程进行整理，使这个方程关于参数无关的成立的条件就是一个关于x，y的方程组，以这个方程的解为坐标的点就是直线系过的定点．21．已知函数f（x）=（x﹣e）（lnx﹣1）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若m是f（x）的一个极值点，且点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足条件：ln（x1•x2）=lnx1•lnx2+2．（ⅰ）求m的值；（ⅱ）求证：点A，B，P（m，f（m））是三个不同的点，且构成直角三角形．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可得出切线方程；（II）（i）对于，定义域为（0，+∞）．分类讨论：当0＜x＜e时，当x=e 时，当x＞e时，函数f（x）的单调性即可得出极值点．（ii）若x1=e，与条件lnx1•x2=lnx1•lnx2+2不符，从而得x1≠e．同理可得x2≠e．若x1=x2，由lnx1•x2=lnx1•lnx2+2，此方程无实数解，从而得x1≠x2．由上可得点A，B，P两两不重合．再证明=0即可．解答：解：（Ⅰ），f'（1）=﹣e，又f（1）=e﹣1，∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（e﹣1）=﹣e（x﹣1），即ex+y﹣2e+1=0．（Ⅱ）（ⅰ）对于，定义域为（0，+∞）．当0＜x＜e时，lnx＜1，，∴；当x=e时，f'（x）=1﹣1=0；当x＞e时，lnx＞1，，∴，∴f（x）存在唯一的极值点e，∴m=e，则点P为（e，0）．（ⅱ）若x1=e，则lnx1x2=lnx2+1，lnx1•lnx2+2=lnx2+2，与条件lnx1•x2=lnx1•lnx2+2不符，从而得x1≠e．同理可得x2≠e．若x1=x2，由lnx1•x2=lnx1•lnx2+2，此方程无实数解，从而得x1≠x2．由上可得点A，B，P两两不重合．又=（x1﹣e）（x2﹣e）+（x1﹣e）（x2﹣e）（lnx1﹣1）（lnx2﹣1）=（x1﹣e）（x2﹣e）（lnx1lnx2﹣lnx1x2+2）=0从而PA⊥PB，点A，B，P可构成直角三角形．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．解答：证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，再根据圆、椭圆的标准方程可得结论．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求得M到C3的距离=|sin （θ+α）﹣|，从而求得d取得最小值．解答：解：（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x﹣2y﹣7=0，求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin （θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式，辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=lg（|x+3|+|x﹣7|）﹣a．（1）当a=1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）如果∀x∈R，f（x）＞0，求a的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用；绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，原不等式可变为|x+3|+|x﹣7|＞10，由绝对值的意义求得其解集．（2）根据|x+3|+|x﹣7|≥10对任意x∈R都成立，可得f（x）=lg（|x+3|+|x﹣7|）﹣a＞0的解集为R，∴故1﹣a＞0 恒成立，由此求得a的范围．解答：解：（1）当a=1时，原不等式可变为|x+3|+|x﹣7|＞10，由绝对值的意义可得|x+3|+|x﹣7|表示数轴上的x对应点到﹣3、7对应点的距离之和，而﹣3和7到﹣3、7对应点的距离之和正好等于10，可得其解集为{x|x＜﹣3，或x＞7}．（2）∵|x+3|+|x﹣7|≥|x+3﹣（x﹣7）|=10对任意x∈R都成立．∴f（x）=lg（|x+3|+|x﹣7|）﹣a＞0的解集为R，∴1﹣a＞0 恒成立，∴a＜1．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于基础题．。