2010全国高中数学联赛模拟试题(一) 新人教A版

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高中数学模块1 高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。

若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析由题意可得，∁R B＝{x|x<1}，结合交集的定义可得，A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案 D解析将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 [2，＋∞)解析要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案－7解析根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案－2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。

【人教A版】高中数学必修一第一、二章复习题(含答案)

人教A 版必修一第一、二章阶段性复习试题一、选择题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则u C A =( )A. {}2,4,6B. {}1,3,6,7C. {}1,3,5,7D. ∅ 2.下列函数中,在区间(0,)+∞上是增函数的是( )A. 21y x =-+B.23y x =-+C. 3log y x =D.1()2x y =3．函数f (x 3log (4)x -的定义域是（）A. ∅ B .()1,4 C. [)1,4 D. (-∞，1) [4，+∞]4.下列四组函数中表示同一函数的是（）（A ）f （x ）=x ，g （x ）=2)x ( （B ）f （x ）=x 2，g （x ）=xx 3（C ）f （x ）=2x ，g （x ）=|x| （D ）f （x ）=0，g （x ）=4x -+x 4-5．若==x x 则,25102（） A 、51lgB 、5lgC 、5lg 2D 、51lg 2 6.函数223,[0,3]y x x x =-++∈的值域是( )A.(,4]-∞ B [4,)+∞ C.[0,3] D.[0,4]7.⎩⎨⎧>≤=0,log 0,3)(2x x x x f x 则)]41([f f =（）A 、9B 、91C 、1D 、 3 8．已知()bx ax x f +=2是定义在[]a a 2,1-上的偶函数，那么b a +的值是（） A.31-B.31C.21D.21- 9.三个数为0.233log 0.2,3,0.2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A.a c b >> B.a b c << C. a c b << D. a b c >> 10.已知42()f x ax bx x m =+-+，(2)1f =，则(2)f -=（） A.5 B.0 C. 3 D. -211.设奇函数()x f 在()0,∞-上为减函数，且()02=f ，则()()023>--xx f x f 的解集为（）A.()()+∞⋃-,20,2B.()()2,02,⋃-∞-C.()()∞+⋃-∞-.22.D.()()2,00,2⋃- 12. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是( ) A.0<m ≤4 B.0≤m ≤1 C.m ≥4 D.0≤m ≤4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式_____________ 14. 已知()x f 是在R 上的奇函数，当0<x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31，那么___________21=⎪⎭⎫⎝⎛f 15.设.__________,12154==+==m ba mb a 则且,. 16．设函数()f x x x bx c =++，给出下列4个命题：①0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实数根；②0c =时，()y f x =是奇函数；③()y f x =的图象关于点()0,c 对称；④方程()0f x =至多有2个不相等的实数根．上述命题中的所有正确命题的序号是．三、解答题 17.化简求值（1）10.500.25325277()()()16988----+（2）2(lg 2)lg 2lg50lg 25+•+18. 已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}．(1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19. 高一（1）班某个研究性学习小组进行市场调查，某生活用品在过去100天的销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足()()N t t t t g ∈≤≤+-=,1001110.前40天的价格为()()4018≤≤+=t t t f ，后60天的价格为()()10041695.0≤≤+-=t t t f . ⑴试写出该种生活用品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； ⑴试问在过去100天中是否存在最高销售额，是哪天？20.已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明； (3)求f ⎝⎛⎭⎪⎫22的值．21. （本小题满分12分）已知函数y =M 。

人教版高中数学选修二高二化学《模拟(一)》试题.docx

高中化学学习材料（灿若寒星**整理制作）D．苯酚有毒但可以制成药皂，具有杀菌消毒的功效2.下列各物质中，互为同系物的是A．CHCl3和氯乙烷 B．HCOOCH3和CH3COOHCH2OHOH CH3CH2CH3 C．和D．和3.有机物的正确命名为A．2-乙基-3，3-二甲基戊烷 B．3，3-二甲基-4-乙基戊烷C．3，3，4-三甲基已烷 D．3，4，4-三甲基已烷5.欲除去下列物质中混入的少量杂质（括号内为杂质），不能．．达到目的的是A．乙酸乙酯（乙酸）：加饱和碳酸钠溶液，充分振荡静置后，分液。

B．乙醇（水）：加入新制生石灰，蒸馏。

C．溴苯（溴）：加入NaOH溶液，充分振荡静置后，分液。

D．乙酸（乙醇）：加入金属钠，蒸馏。

6.为了鉴定溴乙烷中溴元素的存在，试分析①～⑤的各步实验，其中操作顺序合理的是①加入AgNO3溶液②加入NaOH溶液③加热④用HNO3酸化溶液⑤加入NaOH溶液醇溶液A ．①②③⑤B ．②③④①C ． ④③⑤①D ．④②⑤③7.下列物质能发生消去反应的是8.某有机物结构简式为，则用Na 、NaOH 、NaHCO 3与等物质的量的该有机物恰好反应时，消耗Na 、NaOH 、NaHCO 3的物质的量之比为： A ．3∶3∶2 B ．3∶2∶1 C ．1∶1∶1 D ．3∶2∶29.下列各组混合物中，可以用分液漏斗分离的是A ．溴苯和水B ．苯和乙醇C ．酒精和水D ．溴苯和苯 10.可用于鉴别以下三种化合物的一组试剂是COOHCH 3C OOOHOCH 3CH 2CH CH 2CH CHCOOH乙酰水杨酸丁香酚肉桂酸① 银氨溶液 ② 溴的四氯化碳溶液 ③ 氯化铁溶液 ④ 氢氧化钠溶液 A ．②与③B ．③与④C ．①与④D ．①与②11.有机物分子中原子间（或原子与原子团间）的相互影响会导致物质化学性质的不同。

下列事实不能说明上述观点的是 A ．苯酚能跟NaOH溶液反应，乙醇不能与NaOH 溶液反应 B ．乙烯能发生加成反应，乙烷不能发生加成反应C ．甲苯能使酸性高锰酸钾溶液褪色，苯不能使酸性高锰酸钾溶液褪色D ．苯在50℃～60℃时发生硝化反应而甲苯在30℃时即可12.下图为实验室制取少量乙酸乙酯的装置图。

高中数学周练卷1测评(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

周练卷(一)一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩(∁U B)＝(B)A．{3}B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}解析：∵∁U B＝{2,5}，A＝{2,3,5}，∴A∩(∁U B)＝{2,5}．故选B.2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(C)A．1 B．3C．5 D．9解析：因为x∈A，y∈A，x－y的值分别为0，－1，－2,1,0，－1，2,1,0，由集合中元素互异性知，B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{－2，－1,0,1,2}．故选C.3．已知下面的关系式：①a⊆{a}；②0∈{0}；③0∈∅；④{1}∈{1,2}．其中正确的个数是(A)A．1 B．2C．3 D．4解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可知，①错误，②正确，③错误，④错误．故选A.4．集合M＝{(x，y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}，N＝{－3,1}，则M与N的关系是(D)A．M＝N B．M⊆NC．M⊇N D．M，N无公共元素解析：因为M＝{(x，y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}＝{(－3,1)}是点集，而N＝{－3,1}是数集，所以两个集合没有公共元素，故选D.5．已知：全集U＝{x|－3<x≤4}，A＝{x|－3<x≤－1}，B＝{x|－1<x≤4}，则不正确的选项是(C)A．A∪B＝U B．A∩B＝∅C．A∪(∁U B)＝U D．(∁U A)∩(∁U B)＝∅解析：∁U B＝{x|－3<x≤－1}，A∪(∁U B)＝{x|－3<x≤－1}，故C 不正确，故选C.6．有关集合的性质：(1)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；(2)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(3)A∪(∁U A)＝U；(4)A∩(∁U A)＝∅.其中正确的个数有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，正确；(2)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，正确；(3)A ∪(∁U A )＝U ，正确；(4)A ∩(∁U A )＝∅，正确，则正确的个数有4个，故选D.7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <3或x ≥7}，B ＝{x |x <a }．若(∁U A )∩B ≠∅，则实数a 的取值X 围为( A )A ．{a |a >3}B ．{a |a ≥3}C ．{a |a ≥7}D ．{a |a >7}解析：因为A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以∁U A ＝{x |3≤x <7}，又(∁U A )∩B ≠∅，则a >3.故选A.8．对于数集M ，N ，定义M ＋N ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，M ÷N ＝{x |x ＝a b ，a ∈M ，b ∈N }．若集合P ＝{1,2}，则集合(P ＋P )÷P的所有元素之和为( D )A.272B.152C.212D.232解析：由题意得P ＋P ＝{2,3,4}，(P ＋P )÷P ＝{2,3,4}÷{1,2}＝{1，32，2,3,4}，所以集合(P ＋P )÷P 的所有元素之和为1＋32＋2＋3＋4＝232.故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知a 2∈{a,1,0}，则a 的值为－1.解析：由元素的确定性可知a2＝a或a2＝1或a2＝0.若a2＝a，求得a＝0或a＝1，此时集合为{0,1,0}或{1,1,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去；若a2＝1，求得a＝－1或a＝1，a＝1时，集合为{1,1,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1；若a2＝0，求得a ＝0，此时集合为{0,1,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．综上所述，a＝－1.10．设A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a ＝1.解析：由A∩B＝{3}得3∈B，又a2＋4≥4，所以a＋2＝3，解得a＝1.11．设集合M＝{x|x>1，x∈R}，N＝{y|y＝2x2，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R，y∈R}，则(∁R M)∩N＝{x|0≤x≤1}，M∩P＝∅.解析：因为M＝{x|x>1，x∈R}，所以∁R M＝{x|x≤1，x∈R}，又N ＝{y|y＝2x2，x∈R}＝{y|y≥0}，所以(∁R M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因为M ＝{x|x>1，x∈R}表示数集，而P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R，y∈R}表示点集，所以M∩P＝∅.三、解答题(共45分)12．(15分)已知集合A＝{2,5，a＋1}，B＝{1,3，a}，且A∩B＝{2,3}．(1)某某数a 的值及A ∪B ；(2)设全集U ＝{x ∈N |x ≤6}，求(∁U A )∩(∁U B )．解：(1)∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈A ，即a ＋1＝3，得a ＝2，则A ＝{2,5,3}，B ＝{1,3,2}，A ∪B ＝{1,2,3,5}．(2)由题得U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，(∁U A )∩(∁U B )＝{0,1,4,6}∩{0,4,5,6}＝{0,4,6}．13．(15分)已知集合A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |5－a <x <a }．(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若C ⊆B ，某某数a 的取值X 围．解：(1)A ∪B ＝{x |2<x <10}．∵∁R A ＝{x |x ≤2或x ≥7}，∴(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)①当C ＝∅时，满足C ⊆B ，此时5－a ≥a ，得a ≤52；②当C ≠∅时，要C ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a <a ，5－a ≥2，a ≤10，解得52<a ≤3.由①②，得a ≤3.∴a的取值X围是{a|a≤3}．14．(15分)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题：(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B 中有多少个元素．解：(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．(2)因为A×B＝{(1,2)，(2,2)}，所以A＝{1,2}，B＝{2}．(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B 中有12个元素．。

高中数学 1.2.1函数的概念同步测试新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

第一章1.21.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2xC ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点．二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 [答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考某某卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·某某高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值X 围是________．[答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的X 围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的X 围是[1,2)∪(4,5]．三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．。

高中数学第1章计数原理阶段性测试题一新人教A版高二选修2-3数学试题

第一章计数原理(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数a ＝2－2，则a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝( ) A ．32 B ．－32 C ．1 024 D ．512解析：由题意得a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝(a －2)10，又a ＝2－2，所以原式＝(2－2－2)10＝32.答案：A2．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45解析：依题意知，a 8＝C 81022(－1)8＝180，故选A. 答案：A3．(2019·某某省八校高三联考)某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天，若甲、乙两人需安排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有( )A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种解析：因为甲、乙两人都不排在周三，且安排在相邻两天，所以分两类：①甲、乙两人安排在周一，周二，则有A 22·A 44＝48种；②甲、乙两人安排在周四，周五，周六中的相邻两天，则有2A 22·A 44＝96种，则共有48＋96＝144(种)．答案：B4．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种解析：不同的分派方法⎝ ⎛⎭⎪⎫C 25C 23A 22＋C 15C 14A 22A 33＝150种，故选A.答案：A5．(2019·某某市、某某市部分学校联合模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋228的展开式中x 6的系数为562，则⎠⎛1a (x －cos πx )d x ＝( )A ．2B ．1C.32D.12 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫22＋ax 28的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫228－r (ax 2)r ，∵2r ＝6，∴r ＝3.令r ＝3，则C 38×⎝⎛⎭⎪⎫225×a 3＝562，解得a ＝2，所以⎠⎛1a (x －cos πx )dx ＝⎠⎛12(x －cos πx )dx答案：C6．已知6C x －7x －3＝10A 2x －4，则x 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：由6C x －7x －3＝10A 2x －4，得6·(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝10·(x －4)(x －5)．∴x 2－9x －22＝0，∴x ＝11或x ＝－2(舍)．答案：A7．(2019·某某一中高二月考)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数为( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：因为一种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，所以分两类，第一类，涂前三个圆用三种颜色，有A 33＝6种涂法，则涂后三个圆有C 12C 12＝4种涂法，共有6×4＝24种涂法；第二类，涂前三个圆用两种颜色，则涂后三个圆也用两种颜色，共有C 13C 12＝6种涂法．综上，可得不同的涂色方案的种数为24＋6＝30.答案：C8．设⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 展开式的各项系数之和为M ，其二项式系数之和为N ，若M ＋N ＝272，则n 的值为( )A ．1B ．4C ．3 D.12解析：由题意得M ＝4n ，N ＝2n. ∵M ＋N ＝272，∴4n ＋2n＝272，得n ＝4. 答案：B9．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．C 28A 23 B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25解析：先从后排中抽出2人有C 28种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，即抽出的2人插入前排为A 26.共有C 28A 26种调整方法．故选C.答案：C10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种解析：首先，甲、乙两人同选1门，有4种方法；其次，甲从剩下的3门课中选1门，有3种方法；最后，乙从剩下的2门课中选1门，有2种方法．所以共有4×3×2＝24种．答案：C11．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)，且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝( )A ．250B ．－250C ．256D ．－150解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6或3n ＋1＋n ＋6＝23，∴n ＝52(舍去)或n ＝4.令x＝－1，则(3－x )n＝(3＋1)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝256.∴a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝256.故选C.答案：C12．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为( )A ．1 320B ．1 332C ．2 532D ．2 544解析：共组成A 33＋A 23＝12个这样的三位数，个位数有4个3,4个2 ,4个1，和为24；十位数有2个3,2个2,2个1,6个0，和为12；百位数有4个1,4个2,4个3，和为24，∴这些位数的和为2 544，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2019·某某市高三质量预测)已知⎝⎛⎭⎪⎫1x＋x 2n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为_______________________________________．解析：令x ＝1，得2n ＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 26的展开式的通项T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r x 2r ＝C r6x 3r －6，令3r －6＝3，得r ＝3，故x 3的系数为C 36＝20.答案：2014．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析：由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧n a ＝3，n (n －1)a 2＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9，a ＝3.答案：315．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有________种不同的取法(用数字作答)．解析：依题意，取盒子中6个小球，可以看作6个小球排成一排，在中间插入挡板，由于每次至少取出一个球，所以最多可以插入5个挡板，即C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝25＝32.答案：3216．(2019·某某一中高二月考)将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限)，每人只参加一项，则共有x 种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人，则共有y 种不同的方案，其中x ＋y 的值为________．解析：6名同学报名参加跳绳、接力、投篮三项比赛，每人只参加一项，每人有3种报名方法，根据分步乘法计数原理可得x ＝36＝729.而每项比赛至少要安排一人时，先分组有C 16C 15C 44A 22＋C 16C 25C 33＋C 26C 24C 22A 33＝90(种)，再排列有A 33＝6(种)，所以y ＝90×6＝540.所以x ＋y ＝1 269. 答案：1 269三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)为支援西部开发，需要从8名男干部和2名女干部中任选4人组成支援小组到西部某地支边，要求男干部不少于3人，问有多少种选派方案．解：解法一：男干部有四人时有C 48种选法；男干部有3人时有C 38C 12种选法，故适合条件的选派方案有C 48＋C 38C 12＝182种．解法二：从10名干部中选4名减去2名女干部全被选中的方案数，共有C 410－C 28C 22＝182种．18．(12分)已知(3x 2＋3x )n展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大4 032. (1)求展开式中含x 4的项；(2)求展开式中二项式系数最大的项．解：(1)令x ＝1得展开式各项系数和为4n ，而二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，由题意得4n －2n ＝4 032，即(2n －64)(2n ＋63)＝0，得2n ＝64或2n＝－63，又∵n ∈N *，∴2n＝64，故n ＝6，二项展开式的第r ＋1项为，令12＋r 3＝4，得r ＝0，∴展开式中含x 4的项为T 1＝30·C 06·x 4＝x 4. (2)∵n ＝6，∴展开式中第4项的二项式系数最大，19．(12分)2名女生和4名男生外出参加比赛活动．(1)他们排成一列照相时，若2名女生必须在一起，有多少种排列方法？ (2)他们排成一列照相时，若2名女生不相邻，有多少种排列方法？(3)从这6名学生中挑选3人担任裁判，至少要有1名女生，则有多少种选法？解：(1)有2A 55＝240种． (2)有A 44A 25＝480种． (3)有C 36－C 34＝16种．20．(12分)求证：1＋4C1n＋7C2n＋10C3n＋…＋(3n＋1)C n n＝(3n＋2)·2n－1.证明：设S＝1＋4C1n＋7C2n＋10C3n＋…＋(3n＋1)C n n，①则S＝(3n＋1)C n n＋(3n－2)C n－1n＋…＋4C1n＋1.②①＋②得2S＝(3n＋2)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝(3n＋2)·2n，∴S＝(3n＋2)·2n－1.21．(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球．(1)全部投入4个不同的盒子里；(2)放进不同的4个盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒；各有多少种不同的放法？解：(1)由分步计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进不同的4个盒子里(每盒一个)共有A45种放法．(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C45C14＝20种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C25A44种不同的放法．22．(12分)设x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是关于x的多项式，a，b∈R.(1)求a，b的值；(2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余数．解：(1)由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴C010(x－1)10＋C110(x－1)9＋…＋C810(x－1)2＋C910(x－1)＋C1010－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴[C010(x－1)8＋C110(x－1)7＋…＋C810](x－1)2＋10x－12＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴10x－12＝ax＋b.∴a＝10，b＝－12.(2)∵ax＋b＝28，即10x－12＝28，∴x＝4，∴x10－3＝410－3＝(3＋1)10－3＝C010×310＋C110×39＋…＋C910×3＋C1010－3＝34×(C010×36＋C110×35＋…＋C610)＋40×34＋5×34＋28＝81(C010×36＋C110×35＋…＋C610＋45)＋28，∴所求的余数为28.。

11-12学年高中数学第一章导数及其应用综合检测新人教A版选修2-2

导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1f x 极大f f x 极小f 故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大，最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772. 14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤ta n θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23，当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。

高中数学人教A版选择性必修一模拟检测卷第一次月考(10月)(空间立体几何、直线与圆)

高二第一次月考（10月）模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：选择性必修一第一、二章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与向量(1,1,2)n =-反向的单位向量的坐标为（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎝⎭C ．(1,1,2)--D ．11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用与向量n 反向的单位向量为n n-求解即可.【详解】因为11n =++=，所以与向量n 反向的单位向量为nn -=⎛= ⎝⎛ ⎝⎭．故选：A2．已知直线1:230l ax y -+=与直线()2:310l x a y +-+=，若12l l ⊥，则=a （） A ．6 B ．6-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.【详解】解：因为直线1:230l ax y -+=与直线()2:310l x a y +-+=，且12l l ⊥，所以()()1230a a ⨯+-⨯-=，解得6a =，故选：A.3．若点()1,1P 在圆220x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（）A ．()2-+∞，B ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案. 【详解】解：因为点()1,1P 在圆220x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<.故选：C ．4．如图，三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN =（）A ．()12a b c -++ B ．()12a b c +- C ．()12a b c -+ D ．()12a b c --+ 【答案】D【分析】结合向量线性运算即可求得【详解】M ，N 分别是AB ，OC 的中点，()()111222O O M N O N OM OA B a b c C +-==--=-+++.故选：D.5．某直线l 过点(3,4)B -，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（） A ．43-B ．12-C ．43或12-D ．43-或12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为y kx =，代入点(3,4)B -，则43k =-，解得43k =-，当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，设直线的方程为12x ym m+=，代入点(3,4)B -，则3412m m -+=，解得52m =，所以所求直线的方程为1552x y+=，即250x y +-=，综上，该直线的斜率是43-或12-．故选：D6．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=最小值为（） AB ．5C．D ．10【答案】A【解析】由直线过圆心得,a b 满足的关系式，说明点(,)a b 在一条直线上，由点到平面的距离公式可得最小值．【详解】由题意直线l 过已知圆的圆心，圆心为(2,1)--，∴210a b --+=，即210a b +-=，点(,)a b 在直线210x y +-=上，210x y +-=的点(,)a b 到点(2,2)的距离，∴=故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查二元函数的最值问题．解题方法是利用其几何意义：两点间距离求解，解题关键是求出,a b 满足的条件，得点(,)a b 在一条直线210x y +-=上，从而只要求得定点到直线的距离即可得．7．正四面体A BCD -的棱长为4，空间中的动点P 满足22PB PC +=AP PD ⋅的取值范围为（）A．4⎡-+⎣B．C．4⎡-⎣D ．[]14,2-【答案】D【分析】分别取BC ，AD 的中点E ，F，由题意可得点P 的轨迹是以E 的球面，又AP PD ⋅=24PF -，再求出PF 的最值即可求解【详解】分别取BC ，AD 的中点E ，F ，则222PB PC PE +==所以2PE =故点P 的轨迹是以E 为球心，以2为半径的球面，()()()()AP PD PF FA PF FD PF FA PF FA ⋅=-+⋅+=-+⋅-2224FA PF PF =-=-，又ED =EF =所以min PF EF =max PF EF == 所以AP PD ⋅的取值范围为[]14,2-．故选：D ．8．若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan∴ANB 的最大值为（） A ．12B ．34C ．45D ．43【答案】D【分析】分析出AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，2AB ≤，当M 的坐标为()1,0时，2AB =，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅ 由余弦函数的单调性确定3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大，此时tan ANB ∠最大，最大值为43. 【详解】22240x y x y +--=可化为()()22125x y -+-=，故圆N 的圆心为()1,2由题意可知：AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，所以2AB ≤且AB ≤2AB ≤，当M 的坐标为()1,0时，2AB =，在△NAB 中，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅，又[]0,πANB ∠∈，cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故ANB ∠为锐角，且当3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大，又tan y x =在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，所以当ANB ∠最大时，tan ANB ∠取得最大值，且最大值为43，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（） A ．11AB =B ．AB AC ⊥C ．cos ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线【答案】AB【详解】易得()1,1,3AB =--，()2,2,0AC =-，()1,3,3CB =-，11AB ∴=A 正确; 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cos 11AB CB ABC AB CB⋅∠===⋅C 错误.故选: AB.10．若直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形，则m 的取值为（） A ．23B ．23-C ．29D ．29-【答案】ABD【分析】分1323,////l l l l ，3l 过1l 与2l 的交点三种情况讨论即可.【详解】因为直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形，所以存在1323,////l l l l ，3l 过1l 与2l 的交点三种情况，当13//l l 时，有314234m =≠-，解得29m =-；当23//l l 时，有110234m -=≠-，解得23m =；当3l 过1l 与2l 的交点，则联立340x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，代入3l ，得21314m ⨯-⨯=，解得23m =-；综上：29m =-或23m =或23m =-.故选：ABD.11．已知曲线E 的方程为22x y x y +=+，则（）A ．曲线E 关于直线y x =对称B ．曲线E 围成的图形面积为2π+C ．若点00(,)x y 在曲线E 上，则0x ≤≤D ．若圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则r 【答案】ABC【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答.【详解】对于A ，曲线E 上任意点(,)x y 有：22x y x y +=+，该点关于直线y x =的对称点(,)y x 有22y x y x +=+，即曲线E 上任意点(,)x y 关于直线y x =的对称点仍在曲线E 上，A 正确；对于B ，因点(,)x y 在曲线E 上，点(,)x y -，(,)x y -也都在曲线E 上，则曲线E 关于x 轴，y 轴对称，当0,0x y ≥≥时，曲线E 的方程为22111()()222x y -+-=，表示以点11(,)22为半径的圆在直线1x y +=上方的半圆(含端点)，因此，曲线E 是四个顶点为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以曲线E 围成的图形面积是211224222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，B 正确；对于C ，点00(,)x y 在曲线E 上，则2200002200111(||)(||)222x y x y x y ⇔-+-+=+=，则有2011(||)22x -≤，即01||2x +≤，解得01122x -≤≤，而[[⊆，C 正确；对于D ，曲线E =圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则min r D 不正确. 故选：ABC12．已知P 是圆O ：224x y +=上的动点，点Q (1，0)，以P 为圆心，PQ 为半径作圆P ，设圆P 与圆O 相交于A ，B 两点．则下列选项正确的是（） A ．当P 点坐标为(2,0)时，圆P 的面积最小 B ．直线AB 过定点C ．点Q 到直线AB 的距离为定值D 4AB ≤≤ 【答案】ACD【分析】A 由题意圆P 的面积最小只需||PQ 最小，结合圆的性质判断；B 应用特殊点，讨论P 为圆O 在x 轴交点分别判断直线AB 的位置即可判断；C 由两圆相交弦所在直线的求法确定直线AB，再由点线距离公式判断；D由OP垂直平分AB，结合弦心距、半径、弦长关系得到||AB关于圆P半径的表达式，结合二次函数性质求范围.【详解】A：根据圆的性质知：P点坐标为(2,0)时||PQ最小，此时圆P的面积最小，正确；B：若圆P的半径为r且13r≤≤，如下图，当P为圆O在x轴右侧交点，此时1r=，显然直线AB垂直于x轴，在Q点右侧；如下图，当P为圆O在x轴左侧交点，此时3r=，显然直线AB也垂直于x轴，在Q点左侧；所以直线AB不可能过定点，错误；C：由对称性，不妨设(P m，则222(1)452r m m m=-+-=-，所以圆P方程为22()(52x m y m-+=-，又直线AB为两圆相交弦，则圆P、圆O相减并整理得：直线:2230AB mx m+--=，所以Q到直线AB的距离34d==为定值，正确；D：由题意，OP与AB交于C且OP垂直平分AB，令PC m =，则2224(2)m r m --=-，可得24r m =，故||AB =所以||AB =，正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：选项C 利用两圆相交求相交弦所在直线方程，结合点线距离公式求距离，选项D 通过弦心距、弦长、半径的几何关系得到||AB 关于圆P 半径的表达式.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．把直线210x y -+=绕点(顺时针旋转45°后得到的直线的方程为______．【答案】310x y +-=【分析】利用差角正切公式求旋转后直线斜率，由点斜式写出直线方程.【详解】若α为已知直线倾斜角，将其顺时针旋转45°后的直线倾斜角为45α-︒，而1tan 2α=，故11tan tan 4512tan(45)11tan tan 453112ααα--︒-︒===-+︒+⨯，所以旋转后直线为1(1)3y x --，则310x y +-=.故答案为：310x y +-=14．已知,A B 分别是221:(1)(3)1C x y -+-=，222:(5)(1)4C x y ++-=上的两个动点，点M 是直线0x y -=上的一个动点，则||||MA MB +的最小值为_____________.【答案】5【分析】运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可. 【详解】如图，圆3C 是圆1C 关于直线 0x y -=的对称圆，所以圆3C 的方程为()()22311x y -+-=，圆心为 ()33,1C ，且由图知，1MA MB MA MB +=+213,,,,C B M A C ∴五点共线时， 1MA MB +有最小值，此时，()231235min MA MB C C +=--== 所以MA MB +的最小值为5. 故答案为：5.15．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.【答案】⎡⎣【分析】建立空间直角坐标系，设α与棱1CC 的交点为P ，利用空间向量计算P 到1BD 的最小距离和最大距离可得面积的最值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()12,2,2,0,0,0B D ，设α与棱1CC 的交点为P ，与棱1AA 的交点为G ，则四边形1BGD P 为平行四边形.在面α内过P 作1BD 的垂线，垂足为Q ，则截面的面积为123S BD PQ PQ ==. 设(),,Q x x x ，()0,2,P y ，则()12,2,2D B =，(),2,PQ x x x y =--.因为1·0D B PQ =，故()()22220x x x y +-+-=即320x y --=，故32y x =-. 因0322x ≤-≤，故2433x ≤≤.又2PQ x ===2433x ≤≤，263PQ ≤≤S ≤≤⎡⎣. 【点睛】空间中点到直线的距离的计算，可把距离放在可解的几何图形中，利用解三角形等方法计算该距离，如果找不到合适的几何图形“安置”该距离，则可以建立空间直角坐标系，通过空间向量的方法计算该距离.16．已知直线l ：40x y -+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为__________．【答案】【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理. 【详解】由题意设点(),4P t t +，()11,C x y ，()22,D x y ，因为PD ，PC 是圆的切线，所以OD PD ⊥，OC PC ⊥，所以,C D 在以OP 为直径的圆上，其圆的方程为:()222244()()224t t t t x y +++-+-=，又,C D 在圆224x y +=上，将两个圆的方程作差得直线CD 的方程为：()440tx t y ++=－，即()()410t x y y ++=－，所以直线CD 恒过定点()1,1Q －，又因为OM CD ⊥，M ，Q ，C ，D 四点共线，所以OM MQ ⊥，即M 在以OQ 为直径的圆22111()()222x y ++-=上，其圆心为11',22O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22r，如图所示:所以'minAMAO r ===－所以AM 的最小值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知圆C 经过()0,2A ，()0,8B 两点，且与x 轴的正半轴相切. (1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l ：30x y -+=与圆C 交于M ，N ，求MN .【答案】(1)22(4)(5)25x y -+-=；(2)【分析】（1）由题意，设圆心(,)C m n 且半径||r n =，由圆所过的点列方程求参数，结合与x 轴的正半轴相切确定圆的方程；（2）利用弦心距、半径与弦长的关系求MN . （1）若圆心(,)C m n ，则圆的半径||r n =，即222()()x m y n n -+-=，又圆C 经过()0,2A ，()0,8B ，则222222441664m n n nm n n n ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩，可得45m n =±⎧⎨=⎩，所以22(4)(5)25x y -+-=或22(4)(5)25x y ++-=，又圆与x 轴的正半轴相切，故圆C 的标准方程为22(4)(5)25x y -+-=. （2）由（1）知：(4,5)C 到直线l==5r ，所以MN =18．（12分）如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,AB A C 的中点.(1)证明：1EF A CD ⊥平面； (2)求点1C 到平面1A CD 的距离.【答案】(1)见解析【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解，（2）利用向量法求解点面距离即可．（1）建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0D ，0，2)E ，F 分别为AB ，1A C 的中点，(2E ∴，1，0)，(1F ，1，1)，1(2DA =，0，2)，(0DC =，2，0)，设平面1A CD 的法向量为(),,m x y z =，则100m DA m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22020x z y +=⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,0,1m =-因为()=101，，EF -，=EF m -，所以//EF mEF ∴⊥平面1A CD ．（2）()10,0,2CC =,()1,0,1m =-,设点1C 到平面1A CD 的距离为d，所以12CC m d m⋅=== 19．（12分）已知ABC 中，点()1,5A -，边BC 所在直线1l 的方程为7180x y --=，边AB 上的中线所在直线2l 的方程为y x =. (1)求点B 和点C 的坐标；(2)以()3,2M 为圆心作一个圆，使得A ，B ，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.【答案】(1)()2,4B -，()3,3C (2)()()223225x y -+-=【分析】（1）由题意，设所求点的坐标，结合中点坐标公式，代入对应直线方程，解得答案；（2）由题意，分别求点M 到,,A B C 的距离，比较大小，可得答案. （1）设()11,B x y ，()22,C x y ，AB 的中点1115,22x y D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可得直线CD 的直线方程：2:l y x =，则22227180y x x y =⎧⎨--=⎩，解得2233x y =⎧⎨=⎩，111115227180x y x y -+⎧=⎪⎨⎪--=⎩，解得1124x y =⎧⎨=-⎩，故()2,4B -，()3,3C .（2） 5AM ==，BM ==1CM ==，由15<<()()223225x y -+-=.20．（12分）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AD AB ===，M ，N分别为AB ，PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求PD 与平面PMC 所成角的正弦值； (3)求平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）若E 为PD 中点，连接,NE AE ，易证AMNE 为平行四边形，则//MN AE ，根据线面平行的判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，求PD 的方向向量与平面PMC 的法向量，应用向量夹角坐标表示求线面角的正弦值；（3）由(1,0,0)n =是面PAD 的一个法向量，结合（2）并应用向量夹角坐标表示求面面角的余弦值；（1）若E 为PD 中点，连接,NE AE ，又M 、N 为AB 、PC 的中点，底面ABCD 为矩形，所以//NE CD 且12NE CD =，而1122AM AB CD ==且//AM CD ，所以//NE AM 且NE AM =，故AMNE 为平行四边形，故//MN AE ，又MN ⊄面PAD ，AE ⊂面PAD ，则//MN 面PAD . （2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，2PA AD AB ===，所以(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(1,0,0)M ，(2,2,0)C ，则(0,2,2)PD =-，(1,0,2)PM =-，(2,2,2)PC =-，若(,,)m x y z =是面PMC 的一个法向量，则202220m PM x z m PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令2x =，故(2,1,1)m =-，所以PD 与平面PMC 所成角的正弦值为|||cos ,|||||2PD m PD m PD m ⋅<>===（3）由（2）知：(2,1,1)m =-是面PMC 的一个法向量，又(1,0,0)n =是面PAD 的一个法向量，所以2cos ,||||6m n m n m n ⋅<>===PMC 与平面PAD 21．（12分）如图，已知圆22:430M x x y -++=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B(1)求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标； (2)求线段AB 中点的轨迹方程；(3)若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，求ST 的最小值.【答案】(1)5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)22111(2)636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭【分析】（1）把直线AB 看成圆P 和圆M 公共弦所在的直线，求出直线方程即可得到定点；（2）利用几何的知识得到AB 中点的轨迹，根据轨迹求方程即可；（3）设切线方程，利用圆心到切线的距离为半径得到12k k +，12k k ，再把ST 表示出来求最小值即可. （1）因为PA ，PB 为圆M 的切线，所以90PBM PAM ∠=∠=︒，所以点,A B 在以PM 为直径的圆P 上，又点,A B 在圆M 上，所以线段AB 为圆P 和圆M 的公共弦，因为圆M ：22430x x y -++=①，所以()2,0M ，PM =，PM 中点为1,22t ⎛⎫⎪⎝⎭，则圆P ：22219224t t x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2220x x y ty -+--=②，②-①得直线AB 的方程为350x ty --=，所以(35)0x ty --=，所以直线AB 过定点5,03⎛⎫⎪⎝⎭.（2）∵直线AB 过定点5,03⎛⎫⎪⎝⎭，AB 的中点为直线AB 与直线MP 的交点，设AB 的中点为F 点，直线AB 过的定点为H 点，易知HF 始终垂直于FM ，所以F 点的轨迹为以HM 为直径的圆，5,03H ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)M ，∵点F 的轨迹方程为22111(2)636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭；（3）设切线方程为(1)y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故(2,0)M 到直线0kx y k t -++=的距离1d ==，即228610k kt t ++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，则()1212ST k t k t k k =+-+=-=故当0=t 时，ST 取得最小值为2． 22．（12分）已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）.（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；（3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.【答案】（1（2）46130a b +-=；（3）M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）连接1O O ，利用1Rt OO T ∆可求1OO T ∠的正弦值.（2）利用直线与圆相切求出过P 且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的,a b 关系式. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，利用1l 、2l 分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等得到()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，整理后可得关于,m n 的方程组，从而可求M 的坐标.【详解】（1）连接1O O ，因为1O T 与O 相切于T ，故1OT O T ⊥.又1OO在1Rt OO T ∆中，1OT =，故1sin OOT ∠ （2）因为过(),P a b 作两圆的切线且切线长相等，46130a b +-=，故,a b 的关系为46130a b +-=. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，则1:0l kx y n km -+-=，2:0l x ky kn m +--=，因为它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等，所以O 到直线1l 的距离等于1O 到直线2l的距离，()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，所以()()()()22222322320m n k mn m n k n m ⎡⎤---+--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦对无穷多个k 恒成立. 故()()()()22223023020m n mn m n n m ⎧--=⎪⎪+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得5212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者1252m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 17．故M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

高中数学模块综合测试(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

选修1-1模块综合测试（一）(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0 D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0 解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. －1<x <0或x >1B. x <－1或0<x <1C. x >－1D. x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x>0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·某某模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·某某省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC. 函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝45πD. 若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值X 围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值X 围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知 |BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D. y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值X 围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c2>a ，∴c a>2.答案：C8．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A. 1∶πB. 2∶πC. 1∶2D. 2∶1解析：设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4， (6－x )∶x ＝4∶2＝2∶1. 答案：D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x2＋1±bax ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4， ∴c 2a2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．[2014·某某五校联考]设函数f (x )＝e x(sin x －cos x )(0≤x ≤2012π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A. －e 2π1－e2012π1－e 2πB. －e 2π1－e1006π1－eπC. －e 2π1－e1006π1－e2πD. －e 2π1－e2010π1－e2π解析：f ′(x )＝(e x)′(sin x －cos x )＋e x(sin x －cos x )′＝2e xsin x ，若f ′(x )<0，则x ∈(π＋2k π，2π＋2k π)，k ∈Z ；若f ′(x )>0，则x ∈(2π＋2k π，3π＋2k π)，k ∈Z .所以当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得极小值，其极小值为f (2π＋2k π)＝e2k π＋2π[sin(2π＋2k π)－cos(2π＋2k π)]＝e2k π＋2π×(0－1)＝－e2k π＋2π，k ∈Z .因为0≤x ≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k ∈[0,1004]，所以函数f (x )的各极小值构成以－e 2π为首项，以e 2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f (x )的各极小值之和为S 1005＝－e 2π－e 4π－…－e2010π＝e2π1－e2010π1－e2π.答案：D11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如下图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·某某高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C. 32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝13ax 3－12ax 2(a ≠0)在区间(0,1)上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：y ′＝ax 2－ax ＝ax (x －1)，∵x ∈(0,1)，y ′>0，∴a <0. 答案：a <014．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值X 围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·某某质检]已知a ∈R ，若实数x ，y 满足y ＝－x 2＋3ln x ，则(a －x )2＋(a ＋2－y )2的最小值是________．解析：(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥x －a ＋a ＋2－y22＝x ＋x 2－3ln x ＋222.设g (x )＝x＋x 2－3ln x (x >0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x＝2x ＋3x －1x，易知g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )≥g (1)＝2，(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥2＋222＝8.答案：816．[2013·某某省某某一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，某某数a 的取值X 围．解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值X 围．解：由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·海淀期末]已知函数f (x )＝(x ＋a )e x，其中a 为常数． (1)若函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，某某数a 的取值X 围； (2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，某某数a 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x，x ∈R .因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立．因为y ＝x ＋a ＋1是增函数，所以满足题意只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1，f (x )，f ′(x )的变化情况如下：f (0)≥e 2，解得a ≥e 2，所以此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)，若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，求解可得此不等式无解，所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)，若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1，所以此时a 不存在．综上讨论，所某某数a 的取值X 围为[e 2，＋∞)．20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|PA |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|PA |＋|PF 1|＝6＋|PA |－|PF 2|.求|PA |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|PA |－|PF 2|的最大值问题，即求|PA |－|PF 2|的最大值问题，如图在△PAF 2中，两边之差小于第三边，即|PA |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时，此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值，易求|AF 2|＝2，这样|PA |－|PF 2|的最大值为2，故|PA |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点A (1，2)在椭圆M 上．(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线l 的方向向量为(1，2)，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1.将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)．故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0，可得m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，故|BC |＝3|x 1－x 2|＝3×16－2m22.又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3，故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m216－2m24≤142×2m 2＋16－2m22＝ 2.因此△ABC 面积的最大值为 2.22．(12分)[2014·某某质检]已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex ，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解之得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．(3)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1ex ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．当k >1时，g (0)＝1>0，g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0，又函数g (x )的图象在定义域R 上连续，由零点存在定理，可知g (x )＝0至少有一实数解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.当k ＝1时，g (x )＝1e x >0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1.。

高中数学学期综合测评(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题答案 C解析对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1，所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0，即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ，最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上．设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右．设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5，所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

高中数学章末检测试卷(一)(含解析)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题

章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是( ) A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合答案 D解析任何一种算法都是由上述三种逻辑结构组成的，它可以含有三种结构中的一种、两种或三种．2．下面一段程序执行后的结果是( )A．6B．4C．8D．10答案 A解析由程序知a＝2,2×2＝4,4＋2＝6，故最后输出a的值为6，故选A.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M处可填入的条件为( )A．k≥31B．k≥15C．k＞31D．k＞15答案 B解析依题意k＝1，S＝0，进入循环，循环过程依次为：S＝0＋1＝1，k＝2×1＋1＝3；S＝1＋3＝4，k＝2×3＋1＝7；S＝4＋7＝11，k＝2×7＋1＝15，终止循环，输出S＝11.结合选项知，M处可填k≥15.4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s为( )A．7B．12C．17D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件输出s＝17，故选C.5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．1B．3C．7D．15答案 C解析由程序框图得S＝0＋20＝1，k＝1；S＝1＋21＝3，k＝2；S＝3＋22＝7，k＝3，输出S的值为7.6．运行如图所示的程序，当输入的数据为75,45时，输出的值为( ) INPUT “输入两个不同正整数m，n＝”；m，nDOIF m＞n THENm＝m－nELSEn＝n－mEND IFLOOP UNTIL m＝nPRINT mENDA．24B．18C．12D．15答案 D解析由程序语句知，此程序是用更相减损术求75,45的最大公约数．7．执行如图所示的框图，输入N＝5，则输出S的值为( )A.54B.45C.65D.56 答案 D解析第一次循环，S ＝0＋11×2＝12，k ＝2；第二次循环，S ＝12＋12×3＝23，k ＝3；第三次循环，S ＝23＋13×4＝34，k ＝4；第四次循环，S ＝34＋14×5＝45，k ＝5；第五次循环，S ＝45＋15×6＝56，此时k ＝5不满足判断框内的条件，跳出循环，输出S ＝56，故选D.8．若如图所示的程序框图的功能是计算1×12×13×14×15的结果，则在空白的执行框中应该填入( )A ．T ＝T ·(i ＋1)B ．T ＝T ·iC ．T ＝T ·1i ＋1D ．T ＝T ·1i答案 C解析程序框图的功能是计算1×12×13×14×15的结果，依次验证选项可得C 正确．9．如图所示的程序运行时，从键盘输入－3，则输出值为( ) INPUT “x＝”；x IF x ＞0 THEN y ＝1 ELSEIF x ＝0 THENy ＝0 ELSEy ＝－1 END IF END IF PRINT y END A ．－3B ．3C ．1D ．－1 答案 D解析由程序知，当x >0时，y ＝1；否则，当x ＝0时，y ＝0；当x <0时，y ＝－1. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.10．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63 答案 B解析由程序框图可知：①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5，输出k ，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15，故选B.11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是4，则判断框内实数m 的取值X 围是( )A ．(2,6]B ．(6,12]C ．(12,20]D ．(2,20] 答案 B解析由程序框图，知第一次循环后，S ＝0＋2＝2，k ＝2；第二次循环后，S ＝2＋4＝6，k ＝3；第三次循环后，S ＝6＋6＝12，k ＝4.∵输出k ＝4，∴循环体执行了3次，此时S ＝12，∴6＜m ≤12，故选B.12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的取值的集合是( )A．{1,2,3,4,5}B．{1,2,3,4,5,6}C．{2,3,4,5}D．{2,3,4,5,6}答案 C解析若输入a＝1，则a＝2×1＋3＝5，i＝0＋1＝1，因为5＞13不成立，所以继续循环；a ＝2×5＋3＝13，i＝1＋1＝2，因为13＞13不成立，所以继续循环；a＝2×13＋3＝29，i＝2＋1＝3，因为29＞13成立，所以结束循环，输出的结果为3，不为2，所以a≠1，排除A，B，若输入a＝6，则a＝2×6＋3＝15，i＝0＋1＝1，因为15>13成立，所以结束循环，输出的结果为1，不为2，所以a≠6，排除D，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．答案 3解析第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a<b；第2次循环：i＝2，a＝3，b＝6，a<b；第3次循环：i＝3，a＝6，b＝3，a>b，输出i的值为3.14．将二进制数110101(2)化成十进制数，结果为________，再将该结果化成七进制数，结果为________．答案53 104(7)解析110101(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝53，然后用除7取余法得53＝104(7)．15．执行如图所示的程序框图，则输出结果S＝________.答案1010解析根据程序框图知，S＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2019＋2020)＝1010，故输出的S 的值为1010.16．阅读下面的程序，该算法的功能是_____________________．S＝0t＝1i＝1DOS＝S＋it＝t*ii＝i＋1LOOP UNTIL i＞20PRINT S，tEND答案求S＝1＋2＋3＋…＋20，t＝1×2×3×…×20三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．解辗转相除法：470＝1×282＋188，282＝1×188＋94，188＝2×94，所以282与470的最大公约数为94.更相减损术：470与282分别除以2得235和141.235－141＝94，141－94＝47，94－47＝47，所以470与282的最大公约数为47×2＝94.18．(12分)下面给出一个用循环语句编写的程序：(1)指出程序所用的是何种循环语句，并指出该程序的算法功能；(2)请用另一种循环语句的形式把该程序写出来．解(1)本程序所用的循环语句是WHILE循环语句，其功能是计算12＋22＋32＋…＋92的值．(2)用UNTIL语句改写程序如下：19．(12分)下列是某个问题的算法，将其改为程序语言，并画出程序框图．算法：第一步，令i ＝1，S ＝0.第二步，若i ≤999成立，则执行第三步；否则，输出S ，结束算法．第三步，S ＝S ＋1i.第四步，i ＝i ＋2，返回第二步．解程序如下： i ＝1 S ＝0WHILE i<＝999 S ＝S ＋1/i i ＝i ＋2 WEND PRINT S END程序框图如图：20．(12分)下列语句是求S ＝2＋3＋4＋…＋99的一个程序，请回答问题： i ＝1 S ＝0DOS ＝S ＋ii ＝i ＋1LOOP UNTIL i ＞＝99PRINT SEND(1)程序中是否有错误？若有，请加以改正；(2)把程序改成另一种类型的循环语句．解 (1)错误有两处：第一处：语句i ＝1应改为i ＝2.第二处：语句LOOPUNTIL i ＞＝99应改为LOOPUNTIL i ＞99.(2)改为当型循环语句为：i ＝2S ＝0WHILE i ＜＝99S ＝S ＋ii ＝i ＋1WENDPRINT SEND21．(12分)输入x ，求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥2，－2，x ＜2的值的程序框图如图所示．(1)指出程序框图中的错误之处并写出正确的算法步骤；(2)重新绘制程序框图，并回答下面提出的问题．①要使输出的值为7，则输入的x 的值应为多少？②要使输出的值为正数，则输入的x 应满足什么条件？解 (1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥2，－2，x ＜2是分段函数，其程序框图中应该有判断框，应该有条件结构，不应该只用顺序结构．正确的算法步骤如下所示：第一步，输入x .第二步，判断x ≥2是否成立．若是，则y ＝3x －2；否则y ＝－2.第三步，输出y .(2)根据(1)中的算法步骤，可以画出程序框图如图所示．①要使输出的值为7，则3x －2＝7，故x ＝3，即输入的x 的值应为3.②要使输出的值为正数，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，3x －2＞0，得x ≥2.故当x ≥2时，输出的值为正数．22．(12分)为了节约用水，学校改革澡堂收费制度，开始实行计时收费，30min 以内每分钟收费0.1元，30min 以上超过部分每分钟收费0.2元，编写程序并画出程序框图，要求输入洗澡时间，输出洗澡费用．解用y (单位：元)表示洗澡费用，x (单位：min)表示洗澡时间，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ，0＜x ≤30，3＋0.2x －30，x ＞30.程序如下：INPUT xIF x ＜＝30 THENy ＝0.1*xELSEy ＝3＋0.2*x －30END IFPRINT yEND程序框图如图所示．。

高中数学模块综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2，设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ．在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ．又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)，使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。

高中数学模块综合测评(一)(含解析)新人教A版选修1_2

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－iC．1 D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值( )【导学号：19220070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】2i1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝2i －12＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( ) A ．直接求出回归直线方程 B ．直接求出回归方程C ．根据经验选定回归方程的类型D ．估计回归方程的参数【解析】散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a 0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01；运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01；运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01；运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01；运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A ．f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B ．因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C ．α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD ．A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4，所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：19220071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：“否”)．【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】是15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________．【解析】由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z ＝1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病患其他病总计高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 总计5060110(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】由列联表中数据可得 k ＝110×20×50－10×30230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b ，1c不能构成等差数列.【导学号：19220072】【证明】假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c，因此b (a ＋c )＝2ac .而由于a ，b ，c 构成等差数列，且公差d ≠0，可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，即1a ，1b ，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)．又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立，只要证1－(ax ＋by )≥0，只要证2－2ax －2by ≥0，又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0，即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x －.【解】 (1)散点图如图，(2)x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a ^＝y －b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．。

高中数学高考模拟测试卷一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

新20版练B1数学人教A 版高考模拟测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U ={x ∈N|x ≤8},集合A ={1,3,7},B ={2,3,8},则(∁U A )∩(∁U B )=()。

A.{1,2,7,8}B.{4,5,6} C.{0,4,5,6} D.{0,3,4,5,6} 答案:C解析:∵U ={x ∈N|x ≤8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},又A ∪B ={1,2,3,7,8},∴(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )={0,4,5,6},故选C 。

2.(2019·黄冈调考)已知函数f (x )=a x(a ∈R),则“0<a ≤14”是“对任意x 1≠x 2,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0”成立的()。

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:“对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1−x 2<0”等价于“函数f (x )=a x(a ∈R)在R 上为减函数”,即0<a <1,显然“0<a ≤14”是“对任意x 1≠x 2,都有f (f 1)-f (f 2)f 1−f 2<0成立”的充分不必要条件,故选A 项。

3.(2019·某某调考)命题p :∀x ∈[0,+∞),(log 32)x≤1,则()。

A.p 是假命题,p 的否定:∃x 0∈[0,+∞),(log 32)x 0>1 B.p 是假命题,p 的否定:∀x ∈[0,+∞),(log 32)x≥1 C.p 是真命题,p 的否定:∃x 0∈[0,+∞),(log 32)x 0>1 D.p 是真命题,p 的否定:∀x ∈[0,+∞),(log 32)x ≥1 答案:C解析:因为0<log 32<1,所以∀x ∈[0,+∞),(log 32)x≤1,p 是真命题,f p :∃x 0∈[0,+∞),(log 32)x0>1。

【高中数学】新人教A版高二单元素养测评卷（一）[第六章](练习题)

新人教A版高二单元素养测评卷（一）[第六章](2465) 1.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，不同的选法种数是（）.A.60B.45C.30D.122.(1−2x)4的展开式中x2的系数为（）.A.6B.24C.32D.483.4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（）.A.81B.64C.24D.164.(√x mx2)5的展开式中x5的系数是−10，则实数m=（）.A.2B.1C.−1D.−25.为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（）.A.10种B.40种C.80种D.240种6.已知(x−3)7=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a7(x−2)7，则a5=（）.A.−21B.21C.−42D.427.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则三个奇数1，3，5中仅有两个相邻的五位数有（）.A.12个B.24个C.36个D.72个8.已知n∈N∗，设(5x2−1x )n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M−N=992，则展开式中x的系数为（）.A.−250B.250C.−500D.5009.能使C14x=C142x−4成立的x的值为（）.A.2B.4C.6D.1410.对于二项式(1x +x3)n(n∈N∗)，以下判断正确的有（）A.存在n∈N∗，展开式中有常数项B.对任意n∈N∗，展开式中没有常数项C.对任意n∈N∗，展开式中没有含x的一次项D.存在n ∈N ∗，展开式中有含x 的一次项11.已知(1−ax)4(2x −1x )5的展开式的各项系数之和为 16，则 (1x +ax)4展开式的常数项为（） A.−54B.−6C.6D.5412.用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）A.A 93+A 41×A 81×A 82B.A 93+A 41×(A 93−A 83) C.A 51×A 51×A 82+A 41×A 41×A 82D.A 104−A 93−A 51×(A 93−A 82)13.(x −1x )5展开式中x 的系数是 .14.6名同学站成一排，甲、乙两人相邻，丙与丁不相邻，则共有种不同的排法.(用数字作答)15.若(3√x +1x 2)n展开式中的各项系数之和为1 024，则n = ，常数项为 .16. 记a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则（a +b ）（c +d ）（e +f ）为偶数的排列的个数共有．17.为了做好阅兵人员的运输工作，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？ 18.已知(√x 2√x4)n的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.19.如图，一个正方形花圃被分成5份.(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，有多少种不同的种植方法？(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，有多少种不同的放法？ 20.已知(5x √x )n. (1)当n =6时，求：①展开式中的中间一项；②展开式中的常数项.(2)若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中x的系数.21.平面内有9个点，其中有4个点共线，其他无任何三点共线.(1)过任意2个点作直线，有多少条？(2)能确定多少条射线？(3)能确定多少个不同的圆？22.设(q+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a r x r+⋯+a n x n，其中q∈R，n∈N∗.(1)证明：C n rr+1=C n+1r+1n+1，其中r=0，1，2，…，n；(2)当q=1时，化简：∑n r=0a rr+1；(3)当q=n时，记A n=n(a0+a1)2，B n=∑n r=0a r,试比较A n与B n的大小.参考答案1.【答案】:D【解析】:从高一5名学生中选1人有5种选法，从高二4名学生中选1人有4种选法，从高三3名学生中选1人有3种选法，则由分类加法计数原理知，共有5+4+ 3=12(种)选法.故选D.2.【答案】:B【解析】:由已知得展开式的通项为T k+1=(−2)k C4k x k，令k=2，则x2的系数为(−2)2×C42=24.故选B.3.【答案】:A【解析】:∵每名同学都有3种报法，∴4名同学共有3×3×3×3=81(种)报法.故选 A.4.【答案】:C【解析】:由题意得展开式的通项为T k+1=C5k(√x )5−k(mx2)k=m k C5k x5(k−1)2,令5(k−1)2=5，得k=3,∴m3C53=−10，∴m=−1.故选C.5.【答案】:A【解析】:根据题意，将6箱相同规格的医用外科口罩分成四份，每一份依次对应1家医院即可，将6箱相同规格的医用外科口罩排成一排，其中间有5个空当，在5个空当中任选3个，插入挡板，即可将其分为4份，则有C53=10(种)分法，故选 A.6.【答案】:B【解析】:由已知可得(x−3)7=[(x−2)−1]7=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a7(x−2)7，所以a5=C72×(−1)2=21.故选B.7.【答案】:D【解析】:用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，共有A55=120(个).三个奇数中仅有两个相邻，其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻.当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列，组成的五位数共有A33×A33=36(个)；当三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内，组成的五位数共有A 22×A 33=12(个).故符合条件的五位数有120−12−36=72(个)，故选D.8.【答案】:A【解析】:根据题意，在(5x 2−1x )n中，令x =1，可得其展开式的各项系数之和为M =4n ，其二项式系数之和为N =2n .由M −N =992，即4n −2n =992，解得n =5，可得展开式的通项为T r+1=C 5r ·(−1)r ·55−r ·x 10−3r ，令10−3r =1，得r =3，则展开式中x 的系数为−C 53·25=−250，故选A.9.【答案】:B ；C【解析】:∵C 14x=C ，2x−414∴x +2x −4=14或x =2x −4，∴x =6或x =4，故选BC.10.【答案】:A ；D【解析】:该二项展开式的通项为T r+1=C n r (1x )n−r(x 3)r =C n r x 4r−n ，∴当n =4r(r ∈N ∗)时，展开式中存在常数项，A 选项正确，B 选项错误；当n =4r −1(r ∈N ∗)时，展开式中存在含x 的一次项，D 选项正确，C 选项错误.故选AD.11.【答案】:C ；D【解析】:令x =1，则(1−ax)4(2x −1x )5的展开式的各项系数之和为(1−a)4(2−1)5=(a −1)4，则(a −1)4=16，所以a =3或a =−1.当a =3时，(1x+3x)4展开式的常数项为C 42·32·(1x )2x 2=54；当a =−1时，(1x −x)4展开式的常数项为C 42(1x )2(−x)2=6，故选CD.12.【答案】:A ；C ；D【解析】:方法一：先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有A 93种方法；若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位，有A 82种方法；所以没有重复数字的四位偶数共有A 93+A 41×A 81×A 82=2 296(个).方法二：个位是0的不同四位偶数共有A 93个，个位不是0的不同四位偶数有A 41×A 93个，其中包含个位是偶数且千位为0的A 41×A 82个，故没有重复数字的四位偶数共有A 93+A 41×(A 93−A 82)=2 296(个).方法三：若千位为奇数，则没有重复数字的四位偶数有A 51×A 51×A 82个；若千位是偶数，则没有重复数字的四位偶数有A41×A41×A82个.故没有重复数字的四位偶数共有A51×A51×A82+A41×A41×A82=2296(个).方法四：没有重复数字的四位数有(A104−A93)个，没有重复数字的四位奇数有A51×(A93−A82)个，故没有重复数字的四位偶数有A104−A93−A51×(A93−A82)=2296(个).故选ACD.13.【答案】:10【解析】:(x−1x )5展开式的通项为T r+1=C5r x5−r(−1x)r=C5r(−1)r x5−2r，r=0，1， (5)令5−2r=1，解得r=2,∴T3=C52·(−1)2x=10x.14.【答案】:144【解析】:先排丙与丁以外的4人且甲、乙在一起，有A33A22=12(种)排法，再排丙、丁两人，有A42=12(种)排法，∴共有12×12=144(种)排法.15.【答案】:5；405【解析】:(3√x+1x2)n中，令x=1得到展开式的各项系数之和为4n=1024，解得n=5，∴展开式的通项为T r+1=C5r(3√x)5−r·(1x2)r=35−r C5r×x5−5r2，令5−5r2=0，得r=1，∴常数项为34×C51=405.16.【答案】:432【解析】:解：根据题意，a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有A66=720个排列，若（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的对立事件为“（a+b）（c+d）（e+f）为奇数”，（a+b）、（c+d）、（e+f）全部为奇数，有6×3×4×2×2×1=288，故则（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的排列的个数共有720−288=432．故答案为：432．若（a+b）（c+d）（e+f）为偶数的对立事件为“（a+b）（c+d）（e+f）为奇数”，即（a+b）、（c+d）、（e+f）全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有A66种，进而可得所求．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】:由于每队至少抽调1辆，先从每队抽调1辆车，则问题转化为从7个车队中抽调3辆车，分类讨论如下：①3辆车都从1个队抽调，有C 71种方法；②3辆车从2个队抽调，有A 72种方法；③3辆车从3个队抽调，有C 73种方法.综上所述，共有C 71+A 72+C 73=84(种)不同的抽调方法.18(1)【答案】∵(√x 2√x 4)n的展开式中前三项的系数为C n0·(12)，C n1·12，C n 2·(12)2，且它们成等差数列，∴2C n 1·12=C n 0·(12)0+C n 2·(12)2，解得n =8或n =1(舍去)，故二项式系数最大的项为T 5=C 84×(12)4×x =358x .(2)【答案】第r +1项为T r+1=C 8r·(12)r·x4−3r 4，要使第r +1项的系数C 8r ·(12)r最大，r =0，1，2，3，4，5，6，7，8，经检验，当r =2或3时，第r +1项的系数C 8r·(12)r最大，故展开式中系数最大的项为T 3=C 82×14×x 52=7x 52，T 4=C 83×18×x 74=7x 74.19(1)【答案】先对A 部分种植，有4种不同的种植方法，再对B 部分种植，有3种不同的种植方法，对C 部分种植进行分类：①若与B 相同，则D 有2种不同的种植方法，E 有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2=48(种)；②若与B 不同，则C 有2种不同的种植方法，D 有1种不同的种植方法，E 有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2=48(种). 综上所述，共有96种不同的种植方法.(2)【答案】将7个盆栽分成5组，有2种情况： ①若分成2−2−1−1−1的5组，有C 72C 522!种分法；②若分成3−1−1−1−1的5组，有C 73种分法.将分好的5组全排列，对应5个部分，则共有(C 72C 522!+C 73)·A 55=16 800(种)放法.20 (1)①【答案】当n =6时，(5x √x )n=(5x √x )6的展开式共有7项，展开式中的中间一项为T 4=C 63·(5x)3·(−x −12)3=−20×125×x 32=−2 500x 32.②【答案】展开式的通项为T r+1=C 6r ·(−1)r ·56−r ·x 6−3r2，令6−32r =0,得r =4, ∴常数项为T 5=C 64×(−1)4×52=375.(2)【答案】∵展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，且易知展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ，∴4n −2n =240，解得n =4，∴展开式的通项为T r+1=C 4r ·(−1)r ·54−r ·x 4−3r2，令4−3r 2=1，得r =2，∴展开式中x 的系数为C 42×(−1)2×52=6×25=150.21(1)【答案】从共线的4个点中任取2个点构成同一直线，有1条；在共线的4个点中任取1个点，从不共线的5个点中选1个点，可构成4×5=20(条)；从不共线的5个点中选2个点，可构成C 52=10(条). 故一共有1+20+10=31(条).(2)【答案】任取2个点都有2条射线，共有A 92=72(条)，由于根据端点和方向可以确定1条射线，因此4个共线的点确定的射线中有6条是重复射线，因此任取2个点确定的射线共有72−6=66(条).(3)【答案】从不共线的5个点中选3个，则有C 53=10(个)圆，从共线的4个点中选1个点，从不共线的5个点中选2个点，则有C 41C 52=40(个)圆，从共线的4个点中选2个点，从不共线的5个点中选1个点，则有C 42C 51=30(个)圆，故一共有10+40+30=80(个)圆.22(1)【答案】C nr=n!(n−r)!r!，C n+1r+1=(n+1)!(n−r)!(r+1)!，所以C nr r+1·n+1C n+1r+1=n!(n−r)!r!(r+1)·(n+1)(n−r)!(r+1)!(n+1)!=1，即C n r r+1=C n+1r+1n+1成立.(2)【答案】由(1)得C nrr+1=C n+1r+1n+1成立，当q =1时， a r =C ，r n所以∑n r=0a rr+1=∑n r=0C nr r+1=∑n r=0C n+1r+1n+1=1n+1∑n r=0C n+1r+1=1n+1(2n+1−1).(3)【答案】当q =n 时，a r =C n r n n−r ，则a 0=n n ，a 1=n n ，所以A n =n(a 0+a 1)2=n n+1.令x =1，得B n =(n +1)n .设f(x)=lnx x，则f ′(x)=1−lnx x 2.由f ′(x)>0，得0<x <e ，所以f(x)在(0,e)上单调递增；由f′(x)<0，得x>e，所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.所以当n=1，2时，lnnn <ln(n+1)n+1，即lnn n+1<ln(n+1)n,即A nln(n+1)n+1，即lnn n+1>ln(n+1)n，即A n>B n.综上所述，当n=1，2时，A nB n.。

【高中数学】新人教A版高二模块素养测评卷（一）(练习题)

新人教A版高二模块素养测评卷（一）(1212)1.已知函数f(x)=x2+3x+1，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=（）A.5B.52C.−5 D.−522.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（）A.214B.213C.2313D.24133.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1>0且a6a5=1113，则当S n取得最大值时，n的值为（）A.9B.10C.11D.124.设函数f(x)在(−∞,+∞)上的导函数为f′(x)，若f(lnx)=x+1x ，则f(0)f′(0)=（）A.2B.−2C.1D.e+15.已知S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若a1+a5+a9=15，S7=28，则S20202021=（）A.1009B.1010C.2020D.20216.已知x>1，y>1，且lnx，1，lny成等比数列，则xy有（）A.最小值√eB.最大值2eC.最小值e2D.最大值e7. 随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）A.3000×1.06×7元B.3000×1.067元C.3000×1.06×8元D.3000×1.068元8.定义：设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，若在(a,b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=e x−xlnx−m2x2在(1,4)上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（）A.(−∞，2e−1] B.[e−1，+∞)C.[e4−14,+∞) D.(e,+∞)9.已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=1，公比q=2，则（）A.数列｛a2n｝是等比数列B.数列1a n是递增数列C.数列｛log2a n｝是等差数列D.S10，S20，S30仍成等比数列10.若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y= f(x)的说法中正确的是（）A.在区间(2,4)上单调递减B.在区间(2,3)上单调递增C.x=−3是极小值点D.x=4是极大值点11.已知S n是等差数列｛a n｝(n∈N∗)的前n项和，且S8>S9>S7，则下列四个命题中，真命题是（）A.公差d<0B.在所有的S n<0中，S17最大C.a8>a9D.满足S n>0的n的个数为1512.若函数f(x)=ae x−x−2a有两个零点，则实数a的值可能是（）A.−2B.0C.2D.413.已知e是自然对数的底数，n是自然数，函数f0(x)=xe x，设f n+1(x)为f n(x)的导函数，即f1(x)=f0′(x)=1−xe x ，f2(x)=f1′(x)=x−2e x，f3(x)=f2′(x)=3−xe x，……根据以上规律，推断f2019(x)=.14.已知首项为正数的等比数列｛a n｝的公比q=lgx，且a100<a99<a101，则实数x的取值范围是.15.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a2=3，S5=25，则a n+1Sn +a n5的最小值为.16.如图，直线PT和AB分别是函数f(x)=x3−3x的图像过点P(2,2)的切线(切点为T)和割线，直线PT//x轴，则切线PT的方程为；若A(a，f(a))，B(b，f(b))，b< a<2，则a+b=.17.已知数列｛a n｝为等差数列，a2=3，a4=7.数列｛b n｝是公比为q(q>0)的等比数列，b1=1，b3=4.(1)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项公式；(2)求数列｛a n+b n｝的前n项和S n.18.在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=−25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，｛b n｝是等比数列，，b1=a5，b2=3，b5=−81，是否存在k，使得S k>S k+1且S k+1<S k+2？19.如图，煤场的煤堆形状如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为α(α为常数). (参考数据：π取3.14，1.72=2.89，1.73≈4.91，为计算方便可取3.14×2.89≈9，3.14×4.91≈15)(1)高ℎ与底面半径r有什么关系？(2)若传送带以0.3m3/min的速度往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径r=1.7m时，r对于时间t的变化率.20.设函数f(x)=x2−alnx.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)当a=2时.①求函数f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值；②若存在x1，x2，…，x n∈[1e,e]，使得f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n−1)⩽f(x n)成立，求n的最大值.21.已知数列｛a n｝是无穷数列，a1=a，a2=b，a，b是正整数，且当n⩾2，n∈N∗时，a n+1={a na n−1(a na n−1>1),a n−1 a n (a na n−1⩽1).(1)若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；(2)已知数列｛a n｝中有a k=1(k∈N∗)，求证：数列｛a n｝中有无穷项为1.22.已知函数f(x)=e x−ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a=3，f(x)的图像与y轴交于点A，求f(x)的图像在点A处的切线方程；(3)在(2)的条件下，证明：当x>0时，f(x)>x2−3x+1恒成立.参考答案2.【答案】:B【解析】:根据题意，设这个等比数列为｛a n ｝，其公比为q ，则由a 1=1，a 13=2，得q 12=a 13a 1=2，所以插入的第四个数应为a 5=a 1q 4=q 4=213，故选 B.3.【答案】:C【解析】:∵a 1>0且a 6a 5=1113，∴a 1+5da 1+4d =1113，整理得a 1=−212d ，∴d <0，则S n =na 1+n(n−1)2d =−212nd +n(n−1)2d =d 2(n −11)2−1212d ，∴当S n 取得最大值时，n 的值为11.故选 C.4.【答案】:B【解析】:令lnx =t ，则x =e t ，代入f(lnx)=x+1x得，f(t)=e t +1e t=1+1e t，∴f ′(t)=−1e t，∴f(0)f ′(0)=1+1−1=−2.故选 B.5.【答案】:B【解析】:由已知可得a 1+a 5+a 9=3a 5=15，∴a 5=5，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则{a 5=a 1+4d =5,S 7=7a 1+7×62d =28，解得{a 1=1，d =1，∴a n =n ，∴S 20202021=2020×(2020+1)2×2021=1010.故选B.6.【答案】:C【解析】:∵x >1，y >1，且lnx ，1，lny 成等比数列，∴lnxlny =1⩽(ln⁡ x+ln⁡ y 2)2=(ln⁡ xy)24，即(lnxy)2⩾4，即lnxy ⩾2，即xy ⩾e 2，当且仅当x =y =e 时，等号成立，则xy 有最小值e 2，故选 C.7.【答案】:B【解析】:解：随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y =3000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x =7代入，即可求得y =3000×1.067．2021年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元．故选：B．根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，本题考查2021年年底该地区的农民人均年收入的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】:C【解析】:由题意得f′(x)=e x−ln x−mx−1，∵f(x)=e x−xlnx−m2x2在(1,4)上为“凸函数”，∴f″(x)=e x−1x −m<0在(1,4)上恒成立. ∵f″(x)=e x−1x−m在(1,4)上单调递增，∴e4−m−14⩽0，∴m⩾e4−14.故选 C.9.【答案】:A；C【解析】:由题意得a n=2n−1，∴a2n=22n−1，∴数列｛a2n｝是等比数列，故A正确；∵1a n =12n−1=21−n,∴数列1a n是递减数列，故B不正确；∵log2a n=n−1，∴数列｛log2a n｝是等差数列，故C正确；∵S10=1−2101−2=210−1，S20=220−1，S30=230−1，∴S10,S20,S30不成等比数列，故D不正确. 故选AC.10.【答案】:B；D【解析】:由图可知，在区间(2,4)上f′(x)>0，∴函数f(x)单调递增，故A不正确；在区间(2,3)上f′(x)>0，∴函数f(x)单调递增，故B正确；当x=−3时，函数f′(x)取得极小值，但此时函数f(x)没有取得极小值，故C不正确；当x=4时，f′(x)=0，且当2<x<4时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x>4时，f′(x)<0，f(x)为减函数，∴x=4是函数f(x)的极大值点，故D正确. 故选BD.11.【答案】:A；B；C【解析】:∵S8>S9，且S9=S8+a9，∴S8>S8+a9，即a9<0，又S8>S7，且S8=S7+a8，∴S7+a8>S7，即a8>0，∴d=a9−a8<0，故A，C为真命题. ∵S9>S7，S9=S7+a8+a9，∴S7+a8+a9>S7，即a8+a9>0，又a1+a15=2a8，∴S15=15(a1+a15)2=15a8>0. ∵a1+a16=a8+a9，∴S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)>0，又a1+a17=2a9，∴S17=17(a1+a17)2=17a9<0，故B为真命题，D为假命题. 故选ABC.12.【答案】:C；D【解析】:f′(x)=ae x−1. 当a⩽0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)单调递减，不可能有两个零点. 当a>0时，若x∈(−∞,−lna)，则f′(x)<0，函数f(x)单调递减，若x∈(−lna,+∞)，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故f(x)的最小值为f(−lna)=1+lna−2a.令g(a)=1+lna−2a，a>0，则g′(a)=1a −2，a>0，当a∈(0,12)时，g′(a)>0，g(a)单调递增，当a∈(12,+∞)，g′(a)<0，g(a)单调递减，故g(a)max=g(12)=−ln2<0，所以f(x)min=f(−lna)<0，所以函数f(x)有两个零点. 综上可得，a的取值范围是(0,+∞)，故选CD.13.【答案】:2019−xe x【解析】:f1(x)=f0′(x)=1−xe x ，f2(x)=f1′(x)=x−2e x，f3(x)=f2′(x)=3−xe x，f4(x)=f3′(x)=x−4e x，依此类推，可得f n(x)=(−1)n·x−ne x ，∴f2019(x)=2019−xe x.14.【答案】:(0,110)【解析】:由题意知a99>0，∵a100<a99<a101，∴a100−a99=a99(q−1)<0，a101−a99=a99(q2−1)>0，∴q<−1，即lgx<−1，∴0<x<110，即实数x的取值范围是(0,110).15.【答案】:85【解析】:∵a2=3=a1+d，S5=25=5a1+5×42d，∴a1=1，d=2，∴a n=a1+(n−1)d=2n−1，则a n+1S n +a n5=2nn+n(n−1)+2n−15=2n+2n5−15⩾2√2n·2n5−15，当且仅当2n=2n5时取等号，由于n∈N，故当n=2时，a n+1S n +a n5=2n+2n5−15取得最小值85.16.【答案】:y=2；−2【解析】:由直线PT//x轴，可得直线PT的方程为y=2. 由P(2,2)，A(a,a3−3a)，B(b,b3−3b)三点共线，可得k PA=k PB，易知k PA=a3−3a−2a−2=(a+1)2(a−2)a−2=(a+1)2，同样可得k PB=(b+1)2，则有(a+1)2=(b+1)2，因为a≠b，所以a+1+b+1=0，可得a+b=−2.17(1)【答案】设等差数列｛a n｝的公差为d，则{a2=a1+d=3,a4=a1+3d=7，解得{a1=1，d=2，∴a n=1+(n−1)×2=2n−1.对于等比数列｛b n｝, ∵b1=1，b3=4，b3=b1q2，∴q2=4，又q>0，∴q=2，∴b n= 2n−1.(2)【答案】S n=(a1+a2+⋯+a n)+(b1+b2+⋯+b n)=n(1+2n−1)2+2n−12−1=n2+2n−1.18.【答案】:∵｛b n｝是等比数列，b2=3，b5=−81，∴{b1q=3，b1q4=−81，解得{b1=−1，q=−3，∴b n=−(−3)n−1，∴a5=b1=−1.若S k>S k+1，即S k>S k+a k+1，则只需a k+1<0，同理，若S k+1<S k+2，则只需a k+2>0. 若选①b1+b3=a2，则a2=−1+(−9)=−10，又a5=−1，∴a n=3n−16，∴当k=4时，a5<0，a6>0，符合题意；若选②a4=b4，则a4=b4=27，又a5=−1，∴d=−28，∴等差数列｛a n｝为递减数列，故不存在k，使得a k+1<0，a k+2>0；若选③S5=−25，则S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=−25，∴a3=−5，又a5=−1，∴a n=2n−11，∴当k=4时，a5<0，a6>0，符合题意. 综上可知，若选①，则问题中的k存在，且k的值为4；若选②，则问题中的k不存在；若选③，则问题中的k存在，且k的值为4.19(1)【答案】由题意知，tanα=ℎr，∴ℎ=rtanα.(2)【答案】记t min时煤堆的体积为V，则V=13πr2ℎ=13πr3tanα=0.3t①，∴r=√0.9πtanα3t13②，②式两边对t求导，得r′(t)=13√0.9πtanα3t−23③，(注：①式两边对t求导，同样可得)设r=1.7m时对应的时刻为t0，由①得t0=πtanα0.9×1.73，∴t−23=(πtanα0.9)−23×1.7−2，代入③式得，r′(t0)=13√0.9πtanα3t−23=13√0.9πtan⁡α3·(πtan⁡α0.9)−23×1.7−2=0.3πtanα×1.7−2≈0.39tan⁡α=130tan⁡α(m/min).20(1)【答案】由函数f(x)=x2−alnx，可得f(x)的定义域为(0,+∞)， f ′(x)=2x −ax =2x 2−a x.当a ⩽0时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x)>0，得x >√2a 2，所以函数f(x)在(√2a2,+∞)上单调递增，令f ′(x)<0，得x <√2a 2，所以函数f(x)在(0,√2a2)上单调递减. 综上，当a ⩽0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，函数f(x)在(√2a2,+∞)上单调递增，在(0,√2a2)上单调递减. (2)①【答案】当a =2时，由(1)知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增，故f(x)min =f(1)=1，又f (1e )=1e 2+2<3，5.29=2.72−2<f(e)= e 2−2<2.82−2=5.84，所以f(x)max =f(e)=e 2−2.②【答案】因为e 2−2=f(e)⩾f(x n )⩾f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)⩾(n −1)f(1)=n −1，所以n ⩽e 2−1<7，故n 的最大值为6. 21(1)【答案】∵a 1=2，a 2=1， ∴a 2a 1=12<1，∴a 3=a 1a 2=2. 同理可得，a 4=a 3a 2=2，a 5=a 3a 4=1.(2)【答案】a k =1(k ∈N ∗)，假设a k+1=m . ①当m =1时，依题意有a k+2=a k+3=⋯=1； ②当m >1时，依题意有a k+2=m ，a k+3=1；③当m <1时，依题意有a k+2=1m ，a k+3=1m 2，a k+4=1m ，a k+5=1m ，a k+6=1.综上可知，若a k =1(k ∈N ∗)，则在无穷数列｛a n ｝中，第k 项后总存在数值为1的项，由递推关系式可得，数列｛a n ｝中有无穷项为1. 22(1)【答案】f ′(x)=e x −a ，当a ⩽0时，f ′(x)>0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增. a >0′x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增.(2)【答案】当a=3时，f(x)=e x−3x，令x=0，得f(0)=1，则A(0,1)，因为f′(x)=e x−3，所以f′(0)=1−3=−2，所以f(x)的图像在点A处的切线方程为y−1=−2(x−0)，即y=−2x+1.(3)【答案】令g(x)=f(x)−(x2−3x+1)=e x−x2−1，则g′(x)=e x−2x.令ℎ(x)=e x−2x，则ℎ′(x)=e x−2，所以当0<x<ln2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x>ln2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增, 所以ℎ(x)⩾ℎ(ln2)=e ln⁡2−2ln2=2−2ln2> 0，即g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=1−0−1= 0，故当x>0时，f(x)>x2−3x+1恒成立.。

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2010全国高中数学联赛模拟试题（一）
一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、
方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是
（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2、
函数1
2
-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是
（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0 （D ）x ≤21-或x ≥2 3、
过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB
（O 为原点）的面积最小，则l 的方程为（A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝0 4、
若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则
参数a 的取值范围是
（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、
数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）51 6、
在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3
＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是
（A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程2
1×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是．
2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝．
3、数799被2550除所得的余数是．
4、在△ABC 中，∠A ＝3
π
，sin B ＝
13
5
，则cos C ＝． 5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数()n
2245+（n ∈N ）的个位数字是．
三、（20分）
已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．
求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．
四、（20分）
（1）求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2＋(a ＋2002)x ＋a ＝0的两根
皆为整数．
（2）试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2－2a
＝0有三个整数根．
（20分）
试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2＋(y －7)2
≤r 2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何 ∈R ，都有cos2 ＋x cos ＋y ≥0}之中．
一、（50分）
设a 、b 、c ∈R ，b ≠ac ，a ≠－c ，z 是复数，且z 2－(a －c )z －b ＝0．求证：
()12=-+-+b
ac z c a b a 的充分必要条件是(a －c )2
＋4b ≤0．
二、（50分）
如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：（1） A K ⊥BC ；
（2）
BC
S AQ AP AK ABC
△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．
三、（50分）
给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：
∑==+=+n
i i n j j j i a 1
),,3,2,1(124
．确定和式∑
=+=n
i i
i a S 1
1
2的值（写成关于n 的最简式子）．
A
C
B D Q
K P
第一试
一、选择题：
二、填空题： 1、38181-
或38
1587
； 2、7×2n -1－n 2－2n －3；
3、343；
4、
26
12
35-； 5、{ | ＝2n ＋或2n －2
π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．
三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧
===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧==
=0
21z z y ．
四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．
五、r max ＝24．
第二试
一、证略（提示：直接解出()2
i
42
⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，
然后利用反证法证明必要性）．
二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、
CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BC
S ABC
△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．
三、()1121
2
++-
=n S ．。

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