2019-2020学年西安市西工大附中高一(下)第一次测试数学试卷(3月份)(含解析)
2020年西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
2020年西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素个数为()A. 2B. 3C. 4D. 62.若复数z=a−2i在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则|z|=()2A. 2B. √2C. 1D. 2√23.自古以来“民以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是()A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 14B. 15C. 16D. 175.设a=0.512,b=0.914,c=log0.3，则a,b,c的大小关系是()．5A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c6. 从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 237. 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( )A. 不变B. 变小C. 变大D. 无法确定8. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=1，则直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A. √22B. √155C. √33D. √639. 已知函数f(x)=sinωx (ω>0)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(x)在[0,π4]上为增函数，则ω=( ) A. 32 B. 3 C. 92 D. 610. 已知函数f(x)=e x ,g(x)=a √x(a ≠0)，若函数y =f(x)的图象上存在点P(x 0,y 0)，使得y =f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线与y =g(x)的图象也相切，则a 的取值范围( )A. (0,1]B. (0,√2e]C. (1,√2e]D. (1√2e ,2e) 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F ，过点F 作圆O ：x 2+y 2=14b 2的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N.若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. 3x ±y =0B. x ±3y =0C. 2x ±y =0D. x ±2y =012. 已知函数g (x )(x ∈R )是偶函数，且g(2+x)=g(2−x)，当x ∈[0,2]时，g(x)=1−x ，则方程g(x)=11−|x |在区间[−10,10]上的解的个数是( ).A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,m)，a⃗+b⃗ =(1,2)，若a⃗//(a⃗+3b⃗ )，则实数m=________．14.设(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为________．15.数列{a n}中，若a n+a n+1=7n+5，n∈N∗，则a1+a100=______ ．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，AB=3，AC=5，D是边BC上的点，AB⊥AD，sinC⋅tan∠ADC=−33．70(1)求cos B；(2)求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面BCC1B1，AC=1，BC=√3，BB1=2，∠B1BC=30°．(1)证明：B1C⊥平面ABC．(2)求二面角B1−A1C−C1的余弦值．19.设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4)，过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．(1)求抛物线的方程；(2)若k PA+k PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；(3)若k PA⋅k PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．20.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973⋅(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求随机变量X的分布列及期望值．21.已知函数f(x)=(x−1)lnx+ax2+(1−a)x−1.(1)当a=−1时，判断函数的单调性；(2)讨论f(x)零点的个数．22. 将参数方程{x =2+sin 2θy =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+|2x +3|，g(x)=|3x −2|．(1)解不等式g(x)<|2x +1|；(2)若对任意的x 1∈R ，任意的x 2∈[0,1]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用交集定义求出A ∩B ={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}.由此能求出A ∩B 中元素的个数． 解：∵集合A ={(x,y)|x ，y ∈N ∗，y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，∴A ∩B ={(x,y)|{y ≥x x +y =8,x,y ∈N ∗}={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． ∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．2.答案：B解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z 对应的点在直线x +y =0上列式求得a ，则答案可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 解：因为复数z =a−2i 2=a 2−i ，所以复数z =a−2i 2在复平面内对应的点的坐标为(a 2,−1)，由复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，可得a 2−1=0⇒a =2，z =1−i ，|z|=√12+(−1)2=√2，故选B ．3.答案：B解析：本题考查条形图的性质的基础知识，是基础题．2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共两年．解：由条形数得：在A中，2010～2016年全国餐饮收入逐年增加，故A正确；在B中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共2个，故B错误；在C中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年，故C正确；在D中，2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上，故D正确．故选B．4.答案：C解析：本题考查程序框图，理解程序的功能是解题的关键．根据程序框图，，当n=14时，，所以到n=15得到S<−3，因此将输出n=15+1=16．故选C．5.答案：D解析：本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b>a>c．故选D．6.答案：B解析：解：从正方形ABCD四个顶点中任取2个点，有AB，BC，CD，DA，AC，BD共有6种结果，若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为AC，BD，2个结果，则对应的概率P=26=13，利用列举法分别列举出对应事件的个数，结合古典概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查概率的计算，利用列举法是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查椭圆离心率的计算，考查学生的计算能力，比较基础．利用离心率公式，分别求出离心率，即可得出结论．解：由题意，第一次变轨前有：a−c=m，a+c=n，则2a=m+n，2c=n−m，∴e=ca =n−mn+m，第二次变轨后有：a′−c′=2m，a′+c′=2n，则2a′=2(m+n)，2c′=2(n−m)，∴e′=c′a′=n−mn+m，∴e=e′．故选：A．8.答案：C解析：根据几何性质得出直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，转化为直角三角形△A1C1B求解，利用边长的关系求解．本题综合考查了直棱柱的几何性质，运用平面问题求解空间角，注意空间思维能力，运算能力的考查，属于中档题．解：∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°∴A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1，∵CC1∩B1C1=C1，∴A1C1⊥面BB1C1C，∴直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，∵CA=CB=CC1=1，AB=√2∴Rt△A1C1B中A1C1=1，A1B=√3，∴sin∠A1BC1=3=√33，9.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，是中档题．f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，可得ω=32k(k∈Z)，f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，可得πω4≤π2且ω>0，由此可解．解：因为函数f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，所以2ω3π=kπ(k∈Z)，即ω=32k(k∈Z)①，又函数f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，所以πω4≤π2且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得ω=32．故选A．10.答案：B解析：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求参数的范围问题，属于综合题．解：由题意f(x)=e x，在点P(x0,y0)处的切线，y=e x0x+e x0(1−x0)，∵g(x)=a√x(a≠0)，∴g′(x)=2x ，令2x=e x0，则知a>0，解得x=a24e2x0，。
2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期3月月考数学(理)试题
西工大附中2020级高三月考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 中的元素的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 2.复数2312i z i +=+-在复平面内对应的点到原点的距离是( )A.B.C.D. 3.虚拟现实（VR ）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR 技术后，VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR 市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是( )A. 该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍B. 该地区2019年的VR 硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C. 该地区2019年的VR 软件收入是2018年的软件收入的3倍D. 该地区2019年的VR 软件收入是2017年的软件收入的6倍4.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则中可填入( )A. 2m m =+B. 1=+m mC. 1m m =-D. 2m m =-5.设124a -=，141log 5b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是( )A. 115B. 110C. 13D. 1307.1970年4月24日，我国发射了自己第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是( )A. 卫星向径的最小值为a c -B. 卫星向径的最大值为a c +C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8.已知在斜三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB =，14AA =，ABC V 的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分.若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) 的A. 12B. 35C. 45D. 29.已知()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 或0B. 12-C. 12D. 10.已知直线l 与曲线x y e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点.若OAB V 的面积为3e ，则点P 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 411.知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF V 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±= 12.已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则( )A. sgn(())0f x >B. 404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. sgn((2))0()f k k Z =∈D. sgn(())|sgn |()f k k k Z =∈二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(3,2)a =-r ，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为________；若()//(2)a b a b μ++r r r r ，则实数μ的值为________.14.若对12233(1)1n n n n n n n x C x C x C x C x +=+++++…两边求导，可得11232(1)23n n n n n x C C x C x-+=++1n n n nC x -++…，通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++值为________.15.已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立，则实数t 的取值范围是________. 16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图所示，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=，AB =.（1）若sin 3C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值.18.如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=.（1）证明：DE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角B CF D --，求λ的值. 19.如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线.（1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(,0)(0)T t t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B 两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且2132k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标. 20.随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.21.已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线2C 的参数方程为2x at y t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）. （1）求1C 和2C 直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈.（1）证明：()||1f x a ≤+；（2）若2a =，且对任意x ∈R 都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k取值范围.的。
陕西省西安市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析
陕西省西安市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°2．下列计算正确的是A．a2·a2＝2a4B．(－a2)3＝－a6C．3a2－6a2＝3a2D．(a－2)2＝a2－43．已知一元二次方程ax2+ax﹣4＝0有一个根是﹣2，则a值是（）A．﹣2 B．23C．2 D．44．如图，AB∥ED，CD=BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（）A．AC=EF B．BC=DF C．AB=DE D．∠B=∠E5．在0，﹣2，3，5四个数中，最小的数是（）A．0 B．﹣2 C．3 D．56．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．310B．15C．12D．7107．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC=()A3B．2 C．3 D3+28．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确9．下列说法中正确的是（）A．检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.C．“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.D．“多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.10．若实数a，b 满足|a|＞|b|，则与实数a，b 对应的点在数轴上的位置可以是（）A．B．C．D．11．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民2015年4月份用电量的调查结果：居民（户） 1 2 3 4月用电量（度/户）30 42 50 51那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是21 12．下列运算正确的是（）A．a﹣3a=2a B．（ab2）0=ab2C822D3×27=9二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=6，BC：AC=1：2，则AB的长为_____．14．哈尔滨市某楼盘以每平方米10000元的均价对外销售，经过连续两次上调后，均价为每平方米12100元，则平均每次上调的百分率为_____． 15．计算221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____.16．点P 的坐标是（a,b ），从-2，-1,0,1,2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P （a,b ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 . 17．已知数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，则一组新数据x 1+8,x 2+8,…,x n +8的平均数是____. 18．不等式1﹣2x ＜6的负整数解是___________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ． （2）探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明 （3）拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．20．（6分）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点处测得正前方小岛的俯角为，面向小岛方向继续飞行到达处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为．如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．21．（6分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．求反比例函数和一次函数的解析式；求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．22．（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．23．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，－3)，C(1，0)三点. (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.25．（10分）尺规作图：校园有两条路OA 、OB ，在交叉路口附近有两块宣传牌C 、D ，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P ．（不写画图过程，保留作图痕迹）26．（12分）如图，已知ABC DCB ∠=∠，ACB DBC ∠=∠．求证AB DC =．27．（12分）如图，直线l 切⊙O 于点A ，点P 为直线l 上一点，直线PO 交⊙O 于点C 、B ，点D 在线段AP 上，连接DB ，且AD ＝DB ．（1）求证：DB 为⊙O 的切线；（2）若AD ＝1，PB ＝BO ，求弦AC 的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故选C．点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.2．B【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得. 【详解】A. a2·a2＝a4，故A选项错误；B. (－a2)3＝－a6，正确；C. 3a2－6a2＝-3a2，故C选项错误；D. (a－2)2＝a2－4a+4，故D选项错误，故选B.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3．C【解析】分析：将x=－2代入方程即可求出a的值．详解：将x=－2代入可得：4a－2a－4=0，解得：a=2，故选C．点睛：本题主要考查的是解一元一次方程，属于基础题型．解方程的一般方法的掌握是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据平行线性质和全等三角形的判定定理逐个分析. 【详解】由//AB ED ，得∠B=∠D, 因为CD BF ，若ABC V ≌EDF V ，则还需要补充的条件可以是： AB=DE,或∠E=∠A, ∠EFD=∠ACB, 故选C 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形判定定理. 5．B 【解析】 【分析】根据实数比较大小的法则进行比较即可． 【详解】∵在这四个数中3＞0，0，-2＜0， ∴-2最小． 故选B ． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，即正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 6．A 【解析】 【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是310． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 7．C 【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt △ADE 可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=1．考点：角平分线的性质和中垂线的性质．8．A【解析】【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．9．C【解析】【分析】根据相关的定义(调查方式，概率，可能事件，必然事件)进行分析即可.【详解】A. 检测一批灯泡的使用寿命不适宜用普查，因为有破坏性；B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，如果抛掷10次，就可能有5次正面朝上，因为这是随机事件；C. “367人中有两人是同月同日生”为必然事件.因为一年只有365天或366天，所以367人中至少有两个日子相同；D. “多边形内角和与外角和相等”是可能事件.如四边形内角和和外角和相等.故正确选项为：C【点睛】本题考核知识点：对(调查方式，概率，可能事件，必然事件)理解. 解题关键：理解相关概念，合理运用举反例法.10．D【解析】【分析】根据绝对值的意义即可解答．【详解】由|a|＞|b|，得a与原点的距离比b与原点的距离远，只有选项D符合，故选D．【点睛】本题考查了实数与数轴，熟练运用绝对值的意义是解题关键．11．C【解析】试题解析：10户居民2015年4月份用电量为30，42，42，50，50，50，51，51，51，51，平均数为110（30+42+42+50+50+50+51+51+51+51）=46.8，中位数为50；众数为51，极差为51-30=21，方差为110[（30-46.8）2+2（42-46.8）2+3（50-46.8）2+4（51-46.8）2]=42.1．故选C．考点：1.方差；2.中位数；3.众数；4.极差．12．D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：A、a﹣3a=﹣2a，故此选项错误；B、（ab2）0=1，故此选项错误；C 故此选项错误；D，正确．故选D．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．1 【解析】PC 切⊙O 于点C ，则∠PCB=∠A ，∠P=∠P ， ∴△PCB ∽△PAC ，∴12BP BC PC AC ==, ∵BP=12PC=3，∴PC 2=PB•PA ，即36=3•PA ， ∵PA=12 ∴AB=12-3=1． 故答案是：1. 14．10% 【解析】 【分析】设平均每次上调的百分率是x ，因为经过两次上调，且知道调前的价格和调后的价格，从而列方程求出解． 【详解】设平均每次上调的百分率是x ， 依题意得()2100001x 12100+=，解得：1x 10%=，2x 210%=-（不合题意，舍去）． 答：平均每次上调的百分率为10%． 故答案是：10%． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 15．1a b- 【解析】 原式=()()()()1·ba b a b a b a b a b a b a b a b b a b +-+÷==+-++-- ，故答案为1a b-. 16．【解析】画树状图为：共有20种等可能的结果数,其中点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，所以点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率=420=15.故答案为1 5 .17．8x 【解析】【分析】根据数据x1，x2，…，x n的平均数为x=1n（x1+x2+…+x n），即可求出数据x1+1，x2+1，…，x n+1的平均数．【详解】数据x1+1，x2+1，…，x n+1的平均数=1n（x1+1+x2+1+…+x n+1）=1n（x1+x2+…+x n）+1=x+1．故答案为x+1．【点睛】本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．18．﹣2，﹣1【解析】试题分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的整数解即可．解：1﹣2x＜6，移项得：﹣2x＜6﹣1，合并同类项得：﹣2x＜5，不等式的两边都除以﹣2得：x＞﹣，∴不等式的负整数解是﹣2，﹣1，故答案为：﹣2，﹣1．点评：本题主要考查对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（12；（2）AD﹣2BD；（3）2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =， 再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==，由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌，∴AE=CD ，BE=BD ，∴CD+AD=AD+AE=DE ，∵BDE ∆是等腰直角三角形，∴DE=2BD ，∴DC+AD=2BD ，故答案为2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠，∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，∴CDB AEB ∆∆≌，∴CD AE =，EB BD =，∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =． ∵DE AD AE AD CD =-=-，∴2AD DC BD -=．（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG ⊥AB ，DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==， ∴21BD AD ==+．【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.20．【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB ，由∠CBD ＝45°知BD ＝CD ＝x ，由∠ACD ＝30°知AD ＝tan CD CAD∠3x ，根据AD+BD ＝AB 列方程求解可得．【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD＝x，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵tanCD CADAD ∠=，∴AD＝tan CDCAD∠＝tan30x︒333，由AD+BD＝AB3＝10，解得：x＝3﹣5，答：飞机飞行的高度为（35）km．21．（1）y＝﹣x﹣2；（2）C（﹣2，0），△AOB=6，,（3）﹣4＜x＜0或x＞2. 【解析】【分析】（1）先把B点坐标代入代入y＝mx，求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOC+S△BOC 进行计算；（3）观察函数图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．【详解】解：∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝2×（﹣4）＝﹣8，∴反比例函数解析式为：y＝﹣8x，把A（﹣4，n）代入y＝﹣8x，得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则A点坐标为（﹣4，2）．把A（﹣4，2），B（2，﹣4）分别代入y＝kx+b，得4224k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得12kb=-⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）∵y＝﹣x﹣2，∴当﹣x﹣2＝0时，x＝﹣2，∴点C的坐标为：（﹣2，0），△AOB的面积＝△AOC的面积+△COB的面积＝12×2×2+12×2×4＝6；（3）由图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．22．（1）证明见解析；（2）能；BE=1或116；（3）9625【解析】【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B，又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）能．∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC−EC＝6−5＝1，当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA，又∵∠C＝∠C，∴△CAE ∽△CBA ， ∴CE AC AC CB=， ∴CE ＝2256CB AC =， ∴BE ＝6−256＝116； ∴BE ＝1或116； （3）解：设BE ＝x ，又∵△ABE ∽△ECM ， ∴CM CE BE AB=，即：65CM x x -=， ∴CM ＝22619(3)5555x x x -+=--+， ∴AM ＝5−CM 2116(3)55x =-+， ∴当x ＝3时，AM 最短为165， 又∵当BE ＝x ＝3＝12BC 时， ∴点E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴AE 4=，此时，EF ⊥AC ，∴EM 125=， S △AEM ＝116129625525创=． 23． (1)PM ＝PN ， PM ⊥PN ；(2)△PMN 是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)492． 【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM ＝12CE ，PN ＝12BD ，进而判断出BD ＝CE ，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM ∥CE 得出∠DPM ＝∠DCA ，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD ＝CE ，同（1）的方法得出PM ＝12BD ，PN ＝12BD ，即可得出PM ＝PN ，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法1、先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大＝AM+AN ，最后用面积公式即可得出结论．方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝12BD，PM＝12CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC ＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC ＝∠ACB+∠ABC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACB+∠ABC ＝90°，∴∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面，∴MN 最大＝AM+AN ，连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝90°，∴AM ＝22， 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52，∴MN 最大＝22+52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×（72）2＝492． 方法2、由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝PN ＝12BD ， ∴PM 最大时，△PMN 面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，∴BD ＝AB+AD ＝14，∴PM ＝7，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×72＝492【点睛】本题考查旋转中的三角形,关键在于对三角形的所有知识点熟练掌握.24．（1）223y x x =+-32m =-时，S 最大为278（1）（－1，1）或3322⎛-- ⎝⎭，或3322⎛-+ ⎝⎭，或（1，－1） 【解析】试题分析：（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．（2）设出M 点的坐标，利用S=S △AOM +S △OBM ﹣S △AOB 即可进行解答；（1）当OB 是平行四边形的边时，表示出PQ 的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB 是对角线时，由图可知点A 与P 应该重合，即可得出结论．试题解析：解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c （a≠0），将A （－1，0），B （0，－1），C （1，0）三点代入函数解析式得：93030a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩：，所以此函数解析式为：223y x x =+-．（2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，223m m +-），∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =12×1×（-223m m +-）+12×1×（-m ）-12×1×1=-（m+32）2+278， 当m=-32时，S 有最大值为：S=278-． （1）设P （x ，223x x +-）．分两种情况讨论：①当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PB ∥OQ ，∴Q 的横坐标的绝对值等于P 的横坐标的绝对值，又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得：|-x-（223x x +-）|=1解得： x=0（不合题意，舍去），-1，，∴Q 的坐标为（－1，1）或3322⎛- ⎝⎭，或332222⎛--+ ⎝⎭，； ②当BO 为对角线时，如图，知A 与P 应该重合，OP=1．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=1，Q 横坐标为1，代入y=﹣x 得出Q 为（1，﹣1）．综上所述：Q 的坐标为：（－1，1）或3322⎛-+ ⎝⎭，或3322⎛-+ ⎝⎭，或（1，－1）．点睛：本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．25．见解析.【解析】【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．【详解】如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．26．见解析【解析】【分析】根据∠ABD=∠DCA，∠ACB=∠DBC，求证∠ABC=∠DCB，然后利用AAS可证明△ABC≌△DCB，即可证明结论．【详解】证明：∵∠ABD=∠DCA，∠DBC=∠ACB∴∠ABD+∠DBC=∠DCA+∠ACB即∠ABC=∠DCB在△ABC和△DCB中ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DCB （ASA ）∴AB=DC【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是求证△ABC ≌△DCB ．难度不大，属于基础题．27．（1）见解析；（2）AC ＝1．【解析】【分析】（1）要证明DB 为⊙O 的切线，只要证明∠OBD ＝90即可．（2）根据已知及直角三角形的性质可以得到PD ＝2BD ＝2DA ＝2，再利用等角对等边可以得到AC ＝AP ，这样求得AP 的值就得出了AC 的长．【详解】（1）证明：连接OD ；∵PA 为⊙O 切线，∴∠OAD ＝90°；在△OAD 和△OBD 中，0A 0B DA DB DO DO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAD ≌△OBD ，∴∠OBD ＝∠OAD ＝90°，∴OB ⊥BD∴DB 为⊙O 的切线（2）解：在Rt △OAP 中；∵PB ＝OB ＝OA ，∴OP ＝2OA ，∴∠OPA ＝10°，∴∠POA＝60°＝2∠C，∴PD＝2BD＝2DA＝2，∴∠OPA＝∠C＝10°，∴AC＝AP＝1．【点睛】本题考查了切线的判定及性质，全等三全角形的判定等知识点的掌握情况．。
陕西省西安市西工大附中2019-2020学年高一下学期3月物理试题及答案解析
B．在轨道1、3上经过Q、P点时的加速度aP＞aQ
C．在轨道2、3上的P点时，卫星动能Ek3＞Ek2
D．在轨道2上，卫星由P点到Q点的过程中，引力做负功
12．如图所示，轻弹簧置于光滑水平面上，一端固定在竖直墙壁，另一端自由。现分别用质量不等的两物块将弹簧压缩相同长度后由静止释放，物快离开弹簧的瞬间（）
A．杠铃的重力势能一直增加
B．合力对杠铃一直做正功
C．谌利军对杠铃做功的功率一直增大
D．谌利军对杠铃做功的功率先增大后减小
16．质量为m的汽车在平直路面上匀加速启动，启动过程的速度变化规律如图所示，其中OA为过原点的一条直线，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则（）
A．0~t1时间内，汽车的牵引力等于m
A．H/2
B．H/3
C．H/4
D．H/6
10．汽车以额定功率在水平桌面上行驶，空载时的最大速度为v1，装满货物后的最大速度是v2．已知汽车空车的质量是m0，汽车所受的阻力与车重成正比，则汽车后来所装货物的质量是（）
A． B． C． D．
11．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）
A．木板获得的动能为2J
B．系统损失的机械能为2J
C．木板A的最小长度为1m
D．A、B间的动摩擦因数为0.1
18．如图所示，倾角为30°的足够长斜面与水平面平滑相连，水平面上用轻杆连接的小球A、B以速度 向左运动，小球质量均为m，杆长为 ，当小球B到达斜面上某处P时速度为零。不计一切摩擦，重力加速度为g。则下列说法正确的是（）
2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)
西工大附中2020级高三月考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 中的元素的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分析出集合,A B 分别表示椭圆和函数图像上的点，然后数形结合得出集合的交集中元素的个数. 【详解】集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭表示椭圆2212x y +=上的点组成的集合. 集合B 表示函数3y x =的图像上的点组成的集合. 在同一坐标系中作出椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像，如图.由图可知，椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像有2个公共点. 所以A B I 有2个元素.故选：B【点睛】本题考查集合交集中元素的个数，属于基础题.2.复数2312i z i +=+-在复平面内对应的点到原点的距离是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将复数z 化简，然后得出复数z 在复平面内对应的点的坐标，再求它到原点的距离. 【详解】复数()()()()212233*********i +i i 5i z =+i i i +i ++=+=+=+-- 所以复数3z +i =在复平面内对应的点为()3,1.所以复数3z +i =故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，属于基础题.3.虚拟现实（VR ）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR 技术后，VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR 市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是( )A. 该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍B. 该地区2019年的VR 硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C. 该地区2019年的VR 软件收入是2018年的软件收入的3倍D. 该地区2019年的VR 软件收入是2017年的软件收入的6倍【答案】D【解析】【分析】根据统计图给出的信息和题目条件，对选项进行逐一判断，得出答案.【详解】设该地区2017年VR 市场收入为a ，则由VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番. 所以该地区2018年VR 市场收入为2a ，该地区2019年VR 市场收入为4a .A ．该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍,所以A 正确.B.由图可得该地区2019年的VR 硬件收入为40.7 2.8a a ⨯=.该地区2017年的VR 硬件收入为0.90.9a a ⨯=.该地区2018年的VR 硬件收入为20.8 1.6a a ⨯=. 由0.9 1.6 2.5 2.8a a a a +=<， 所以B 正确.C. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2018年的软件收入为：20.20.4a a ⨯=.所以C 正确D. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2017年的软件收入为：0.10.1a a ⨯=,所以D 不正确.故选：D【点睛】本题考查条形统计图的应用，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则中可填入( )A. 2m m =+B. 1=+m mC. 1m m =-D. 2m m =-【答案】A【解析】【分析】 根据程序运行，将每一个选项代入试运行，算出其输出结果，从而选出答案.【详解】对选项A ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,8S m ==,则()8880S =⨯-=,所以输出结果0S =,所以正确.对选项B ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,5S m ==,则()4544S =⨯-=4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,7S m ==,则()87880S =⨯-=-<，输出结果8S =-,所以不正确.对选项C ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,3S m ==,则()43440S =⨯-=-<，输出结果4S =-,所以不正确.对选项D ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,2S m ==,则()42480S =⨯-=-<,所以输出结果8S =-,所以不正确.故选：A【点睛】本题考查程序框图中循环，考查补全程序结构，属于中档题.5.设124a -=，141log 5b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a << 【答案】B【解析】【分析】 利用对数的单调性可得411log 22b c >>>=，而12a =，可得答案. 【详解】12142a -==，1444411log log 51log 3log 252b ==>>>= 所以a c b <<故选：B【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属于中档题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是( ) A. 115 B. 110 C. 13 D. 130【答案】C【解析】【分析】先分析出,A B 区域可以填的数字，根据古典概率可知，当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大，从而概率最大，得出答案.详解】由题意B 区域标记数字1,4.当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2.当B 区域标记数字4时，A 区域的数字可以为1或2.在图上随机取一点，要使得该点恰好取自标记为1的区域的概率最大，则只需标记数字1的区域的面积最大即可. 显然当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大. 此时标记数字1的区域共有10个小正方形,而在图上共有30个小正方体. 所以所求概率的最大值为：101303P == 故选：C 【点睛】本题考查几何概率的求法，属于中档题.7.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是( )A. 卫星向径的最小值为a c -B. 卫星向径的最大值为a c +C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【答案】D【解析】【分析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案.【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为a c -，卫星向径的最大值为a c +，所以A, B 正确.【当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时， 由12111a c e a c e e--==-++++，可得e 越大，椭圆越扁，所以C 正确. 卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D 不正确.故选：D【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题.8.已知在斜三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB =，14AA =，ABC V 的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分.若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) A. 12 B. 35 C. 45D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设1AA 与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sin α的值．【详解】由点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB = 则//EF AB ，过EF 作平面//EFG 底面ABC ，如图. 则111113C EFG A B C EFG V V --=, 13C EFG ABC EFG V V --=. 所以中间部分的体积1111143E FCC ABC A B C V V --==所以11112ABC A B C V -=，设三棱柱111ABC A B C -的高为h 111512ABC A B C ABC V S h h -=⨯==△,则125h =, 设1AA 与底面所成角为α，则11235sin 45h AA α===故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角，关键是明确中间几何体的体积与原三棱柱体积的关系，考查棱柱体积公式的应用，是中档题．9.已知()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 或0B. 12-C. 12D. 【答案】D【解析】【分析】由()f x 是R 上的奇函数，可求出ϕπ=，()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42,k k ω=+∈Z ，再根据()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数有，222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭，从而得到答案. 【详解】由题意，()f x 是R 上的奇函数，则()0sin 0f ϕ==.又0ϕπ<≤，则ϕπ=，即()sin f x x ω=-根据()f x 的图象关于直线4x π=对称，则,42k k Z ππωπ⨯=+∈. 所以42,k k ω=+∈Z .()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，所以222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭. 则223ω≤，又0>ω. 所以2ω=或6ω=.当2ω=时，()sin 2f x x =-，满足条件，()sin 632f ππ=-=- 当6ω=时，()sin 6f x x =-，此时函数()f x 在 ,2212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,1211ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，不满足条件.所以()62f π=- 故选：D【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的奇偶性、对称性和单调性，属于中档题.10.已知直线l 与曲线xy e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点.若OAB V 的面积为3e ，则点P 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】设切点()00,P x y ，由导数得出切线方程，求出切线与坐标轴的交点的坐标，利用面积公式可得()020112x S x e =-，即研究()()2112x f x x e =-的图像与3y e =的交点个数，利用导数求出函数()f x 的单调区间，结合图像可得答案.【详解】设()00,P x y ，e xy '=，则以P 为切点的切线的斜率为：0x k e = 以P 为切点的切线方程为：()000-=-x x y ee x x . 所以()()()0001,0,0,1x A x B x e-- 则()000111122x OAB S OA OB x x e =⨯⋅=⨯-⨯-△ ()020112x x e =- 设()()2112x f x x e =-，则()()()()()211111122x x x f x x e x e x x e '=--+-=+-. 由()0f x '>，得1x <-或1x >,()0f x '<,得11x -<<.所以()f x 在()1-∞-，上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1+¥，上单调递增.又()()2310,1f f e e=-=<，且恒有()0f x ≥成立. 如图所以()f x 的图像与3y e =有1个不同的交点. 所以OAB V 的面积为3e的点P 有1个. 故选：A 【点睛】本题考查利用函数导数研究过曲线上某点处的切线方程和方程的根的个数问题，属于中档题.11.知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF V 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±= 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.【详解】如图所示：设,,G B N 分别为2MAF V 三边与其内切圆的切点，圆心为I .已知MGI △≌MNI △，2F BI △≌2F NI △,AGI △≌ABI △. 即22,,NM MG AG AB F B F N === 由双曲线的定义有：122MF MF a -=. 则121212MF MF MF MN NF MF MG BF -=--=--222AF BF AG AB AG AB =-+=+= 所以22AB a =,即AB a =.又124F F AB =.所以24c a =，又222+=a b c，解得b a= 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a=±=. 故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题.12.已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则( )A. sgn(())0f x >B. 404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. sgn((2))0()f k k Z =∈D. sgn(())|sgn |()f k k k Z =∈ 【答案】C【解析】【分析】先根据函数的周期性和奇偶性作出函数()f x 的图像,再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合可对四个选项进行逐一判断，可得答案.【详解】由()f x 满足(2)()f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数.当[0,1]x ∈时，()f x x =，又()f x 为偶函数，即()()f x f x =-. .当10x -≤≤时，01x ≤-≤，所以()()f x f x x =-=-所以当11x -≤≤时,(),01,10x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩,此时()[]0,1f x ∈.由()f x 是以2为周期的周期函数，()f x 的值域为[]0,1，其图象如下：所以()()()()011sgn 00f x f x f x <≤⎧=⎨=⎩，所以A 不正确.由()f x 是以2为周期的周期函数， 则404111120202222f f +f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确.k Z ∈时，由函数的周期性()()200f k f ==.所以()sgn((2))sgn 00f k ==，所以C 正确.当2k =时，()20f =，所以()sgn((2))sgn 00f ==，而sgn 21=. 此时sgn((2))|sgn 2|f ≠，所以D 不正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶的应用，以及符号函数的性质应用，考查转化的方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(3,2)a =-r ，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为________；若()//(2)a b a b μ++r r r r ，则实数μ的值为________. 【答案】 (1). 135 (2). 12【解析】 【分析】先求出a b μ+rr的坐标，利用()0a b a μ+⋅=rrr可求解第一个空. 然后利用两向量平行的坐标条件可求解第二.个空.【详解】向量(3,2)a =-r，(1,1)b =-r ， ()()()3,2,3,2a b μμμμμ+=-+-=--r r()a b a μ+⊥r r r,则()0a b a μ+⋅=r r r .又()()()33220a b a μμμ+⋅=-⨯-+⨯-=r rr ，解得:135μ=. ()()()26,41,15,3a b +=-+-=-rr()//(2)a b a b μ++r rr r ,则()()()33520μμ-⨯--⨯-=，解得：12μ=故答案为：（1）135 ，（2）12【点睛】本题考查利用向量的垂直和平行求参数，属于基础题.14.若对12233(1)1n n n n n n n x C x C x C x C x +=+++++…两边求导，可得11232(1)23n n n n n x C C x C x -+=++1n n n nC x -++…，通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++的值为________.【答案】35 【解析】 【分析】根据题目给出的方法，对723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导，然后令1x =，可得答案.【详解】由723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导得：()62345612345677554234567x a a x a x a x a x a x a x ⨯⨯-=++++++令1x =可得：123456723436755a a a a a a a =++++++ 故答案为：35.【点睛】本题考查类比方法的推理和赋值法的应用，属于中档题. 15.已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立，则实数t 的取值范围是________. 【答案】()4,2-【分析】先用累加法求出的n a 通项公式, 存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立,则()2max n a m t t >+，可求解答案.【详解】由121111n n n a a a n n n n +=+=+-++. ∴()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+L L1111111111121322n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 112n =- ∴11212n a n=-< 若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立.所以212m t t >+对任意的[1,4]m ∈恒成立.设()212f m mt t =+-，即()0f m <对任意的[1,4]m ∈恒成立.函数()f m 是关于m 的一次或常数函数.所以()()1040f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即221204120t t t t ⎧+-<⎨+-<⎩解得4362t t -<<⎧⎨-<<⎩，即42t -<<所以实数t 的取值范围是42t -<< 故答案为：()4,2-.【点睛】本题考查用累加法求数列的通项公式，考查恒成立和能成立问题，属于中档题.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是________.【答案】2【解析】过点P 作一平面使之与平面1SC B 平行，则该平面与正方体的面11DCC D 的交线为动点Q 的轨迹，从而可求出答案.【详解】由S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点 在线段11D C 上取点M ，使得11114D M D C =，连接PM . 在线段CD 上取点N ，使得14CN CD =，连接MN . 设H 为11D C 的中点，连接1A H SH CH ，，,如图.则有111//,//PM A H A H SC ,所以1//PM SC . 所以//PM 平面1SC B .又//,//SB CH CH MN ,所以//MN SB ，//MN 平面1SC B ,且PM MN M ⋂=所以平面1//SC B 平面PMN .且平面PMN 与正方体的面11DCC D 相交于MN . 所以当点Q 在线段MN 上时，有//PQ 平面1SBC所以MN CH ===.所以点Q .故答案为：2. 【点睛】本题考查空间几何体中轨迹问题，直线与平面的平行的判定的应用，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.如图所示，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=，AB =.（1）若sin C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值. 【答案】（1） 4 （2【解析】 【分析】（1）先由诱导公式sin BAC ∠的值，再由正弦定理求解BC .(2) 延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,得到平行四边形ABFC ，然后在ABF V 中用余弦定理可解得答案.【详解】(1)由90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=. 又()sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∠=∠+︒=∠=由正弦定理有sin sin BC ABBAC C=∠,所以sin 4sin AB BAC BC C ⋅∠===. 所以4BC =.(2)由90BAC BAD ∠=∠+︒,所以BAC ∠为钝角. 又由（1）有sin BAC ∠=，所以1cos 3BAC ∠=-又AE 为BC 边上的中线，延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,如图.则四边形ABFC 为平行四边形,所以1cos cos 3ABF BAC ∠=-∠=则在ABF V 中,4AB AF ==所以2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-⋅∠即21166+3BF BF =-⨯，即23300BF --=.解得：3BF =或BF =（舍去）所以AC =【点睛】本题考查诱导公式，正弦定理和余弦定理的应用， 第（2）问还可以用向量法求解，属于中档题. 18.如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=.（1）证明：DE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角B CF D --，求λ的值.【答案】(1)证明见解析. (2) 2λ=或λ=【解析】 【分析】(1) 取DC 的中点H ,连接,BH AH ，可得AH DE ⊥，再推导出AD DE ⊥，从而得证.(2) 由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直, 以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系,利用向量法，求出λ的值.【详解】(1)取DC 的中点H ,连接,BH AH . 由//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==. 则ABHD 为正方形.所以AH BD ⊥.又平面BDE ⊥平面ABCD ，且平面BDE ⋂平面=ABCD BD .AH ⊂平面ABCD ,所以AH ⊥平面BDE .又DE ⊂平面BDE .则AH DE ⊥.又四边形ADEF 是矩形，则AD DE ⊥,且AD BD D =I . ∴DE ⊥平面ABCD .(2)由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直故以点D 为原点，以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.如图. 设1AB =，则DE AF λ==.所以()1,0,0A ，()1,1,0B ,()0,2,0C ,()0,0,E λ,()1,0,F λ.则()1,1,0BC =-uu u r,()1,2,CF λ=-u u u r ,()=0,2,0DC u u u r . 设平面BFC 的一个法向量为()111,,n x y z =r. 所以00n BC n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即11111020x y x y z λ-+=⎧⎨-+=⎩ 取11,1,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭r设平面DFC 的一个法向量为()222,,m x y z =u r. 所以00m DC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2222020y x y z λ=⎧⎨-+=⎩.取(),0,1m λ=-u r二面角B CF D --.cos ,5m n m n m n⋅==⋅u r ru r r u r r 即2243+13=0λλ- ，解得：24λ=或213λ= 所以2λ=或λ=【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查根据二面角的正弦值求线段的长度之比，考查利用向量的方法解决空间角，属于中档题.19.如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线.（1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(,0)(0)T t t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且2132k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标. 【答案】（1）24y x = （2）()1,0T ，2132k k k +-的定值为0. 【解析】 【分析】(1)根据条件MN 为圆E 的直径，则8MN =，设()()1122,,,M x y N x y ，126x x +=，1268MN x x p p =++=+=，从而可求出p 的值；(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -,直线x ny t =+,则3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++，结合抛物线的方程，将抛物线方程与直线方程联立，写出韦达定理，代入化简即可得出答案. 【详解】(1)设()()1122,,,M x y N x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，M ，E ，F ，N 四点共线. 由条件圆心()3,2E 为MN 的中点，12124,6y y x x +=+=,8MN =. 所以直线MN 过焦点F ，则1268MN x x p p =++=+=.解得：2p =. 抛物线2:4C y x =.(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -，直线x ny t =+.则24x ny t y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ny t --=. 34344,4y y n y y t +=⋅=-.()22223434342168y y y y y y n t +=+-=+3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++. 233344223434122111112144y m y m y m y m m m++y y x x +t k k k +t =----+=+++++-+()()342234442441y m y m m+y +y ++t--=+()()()()()22343434222343444821416y y y y m y y m m+ty y y y ⎡⎤++-+-⎣⎦=++++ ()()()222444416882116416816n t m n t m m+tt n t ⎡⎤--+-⎣⎦=++++ 2224442224211n tn mn tm m mt n t +t----=++++ ()()()()()()2222222224141444442112211n t +mn t n mn nt mn t t n t +t t n t +t --+--==++++++ 当1t =时，()()()()222241412211n t +mn t t n t +t --+++为定值0.故一个定点(1,0)T ，使得21302k k k =+-为定值【点睛】本题考查利用抛物线的定义结合过焦点的弦长求p 的值，考查定点和定值问题，考查计数化简能力，属于难题. 20.随着智能手机普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0的元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.【答案】(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，()=216E X 【解析】 【分析】(1) 用每组数据中该组区间的中点值为代表，利用公式直接可求解. (2)由题意得()212,2N ξ∼，求出()1418P ξ<≤即可求解出答案.(3)由频率分布直方图可知每人获得奖金额为0元的概率为0.02，每人获得奖金额为100元的概率为：0.88，每人获得奖金额为200元的概率为：0.1,X 的取值为0，100，200,300,400. 分布求出概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（1） 由题意有0.005250.005270.04290.29211x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+0.112130.032150.0152170.00521911.6812⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈（千步）（2）由()2,N ξμσ:，由（1）得()212,2N ξ∼所以()()()()1141812+2123261810142P P P P ξξξξ<≤=<≤+⨯=<≤-<≤⎡⎤⎣⎦ ()10.99730.68270.15732≈-= 所以300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数：3000.1573=47⨯. (3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02⨯⨯.每人获得奖金额为100元的概率为：()0.04+0.29+0.112=0.88⨯ 每人获得奖金额为200元的概率为：0.1X 的取值为0，100，200,300,400.()200.02=0.0004P X ==()121000.020.880.0352P X C ==⨯⨯= ()1222000.020.1+0.880.7784P X C ==⨯⨯=()123000.10.880.176P X C ==⨯⨯=()24000.10.01P X ===所以X 的分布列为：()=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216E X ⨯⨯⨯⨯⨯ （元）【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均值，正态分布，离散型随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题. 21.已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【答案】（1）f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数()23322a ax f x x x x --'=-+=()0x >，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果可知0f <，即2a e >，利用分析法，将需要证明想不等式转化为证明1221ae x x ea--<-，只需证明1212ae x x e a -<<<，利用函数的单调性和零点存在性定理可证明122ax e -<<，根据零点存在性定理和单调性证明. 【详解】（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23322a ax f x x x x --'=-+=，①当a≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，由f'（x ）＞0得x >，故f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，要证原不等式成立，只需证明211ln 2e x x a a ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，只需证明1221a e x x e a--<-，只需证明1212ae x x e a -<<<．一方面∵a ＞2e 1<<，∴1111022111ln 0222a a a af e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴120a f f e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭122ax e -<；另一方面，令()1ln g x x ex=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=-=，当10x e<<时，g'（x ）＜0；当1x e >时，g'（x ）＞0； 故()min 1110g x g e ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，令ex a=， 则2ln e a a e >-，于是222222ln 0e ae a af a a ea e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，而2222222240e e a e ea a a ---=<<，故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <<综合上述，1212ae x x e a -<<<，即原不等式成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和不等式的证明，重点考查了构造函数和讨论的思想，属于难题，本题的难点是再证明0e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，需要构造函数()1ln g x x ex =+，（x ＞0），并且证明不等式时，经常使用分析法转化.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）. （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值.【答案】(1) 曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=;直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+=(2) ±1 【解析】 【分析】(1)曲线1C 利用平方可消去参数，直线2C 可用代入法消去参数，得到普通方程.(2)利用均值不等式的方法可求出圆的内接矩形面积最大时为内接正方形，即BD =,然后利用圆中的垂径定理结合点到直线的距离可求得答案.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.所以曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=. 直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）.所以直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+=. (2)如图，直线20x ay -+=过定点()2,0-.设,AB m AD n ==. 因为ABCD 为1C 的内接矩形.则BD 为直径,即=4BD 所以2216m n +=.矩形ABCD 对的面积为S ,S mn =.2216822m n mn +≤==,当且仅当m n ==时取等号.圆1C 的半径2r =，圆心到直线2C的距离为：d =由m AB ====，解得：1a =±. 【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，圆的性质，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈. （1）证明：()||1f x a ≤+；（2）若2a =，且对任意x ∈R 都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析. (2) 314k ≤≤ 【解析】 【分析】(1)由()()111x a x x a x a +--≤+--=+结合10x --≤可得221x a x a +--≤+，再由绝对值的三角不等式可证.(2设()()()3g x k x f x =+-分段打开绝对值，即()0g x ≥在R 上恒成立，则每一段均要满足恒大于等于0，从而得到答案. 【详解】【详解】(1)因为()()111x a x x a x a +--≤+--=+……①当且仅当()()101x a x x a x ⎧+-≥⎪⎨+≥-⎪⎩时取等号. 又10x --≤………② 当且仅当1x =时取等号.由①+②得：221x a x a +--≤+,当且仅当1x =时取等号.所以()11f x a a ≤+≤+当且仅当10x a =⎧⎨≥⎩时取等号.(2)当2a =时，()4222232141x x f x x x xx x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩设()()()()()()1342333211341k x k x g x k x f x k x kx k x k x ⎧-++≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪++-≥⎩依题意可知()0g x ≥在R 上恒成立.则需()()102601=43010k g k g k k -≤⎧⎪-=+≥⎪⎨-≥⎪⎪+≥⎩ ，即16341k k k k ≤⎧⎪≥-⎪⎪⎨≥⎪⎪≥-⎪⎩，解得314k ≤≤.实数k 的取值范围:314k ≤≤ 【点睛】本题考查含绝对值不等式的证明，考查绝对值中的三角不等式的应用，考查恒成立问题，属于中档题.。
2019-2020学年陕西省西安市西工大附中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年陕西省西安市西工大附中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列判断不正确的是()A. 命题“若p则q”与命题“若非q则非p”互为逆否命题B. “am2<bm2”是“a<b”的充要条件C. “矩形的两条对角线相等”的否定为假D. 命题“⌀是集合{1,2}的真子集或3∈{1,2}”为真2.已知向量a=(x−1，2)，b=(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A. B. x=−1 C. x=5 D. x=03.已知数列{a n}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N∗，都有a n+1−a n=2n成立，则a2016=．A. 22015−1B. 22016−1C. 22016+1D. 22017−14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=20，且S6−a1=30，则a5的值是()A. 8B. 10C. 4D. 4或105.数列{a n}满足a1=3，a n−a n⋅a n+1=1，A n表示{a n}前n项之积，则A2016的值为()A. −12B. 23C. −1D. 16.在ΔABC中，tan A是以−4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 以上都不对7.某人朝正东方走xkm后，向左转150°，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好√3km，那么x等于()A. √3B. 2√3C. √3或2√3D. 38.已知数列{a n)中，a1=2，a n=1−1a n−1(n≥2)，则a2017等于()A. −12B. 12C. −1D. 29.设a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−3,4)，c⃗=(3,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅c⃗=()A. −3B. 3C. 0D. −1110. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB =50 m ，BC =120 m ，于A 处测得水深AD =80 m ，于B 处测得水深BE =200 m ，于C 处测得水深CF =110 m ，则∠DEF 的余弦值为( ) A.B. C. D.11. 在中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB =1,AC =3，M,N 分别为BC 的三等分点，则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 109 B. 209 C. 89 D. 83 12. 在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2,|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，则△ABC 的面积的最大值为( )A. 5B. 3C. 52D. √52二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =3，b =8，C =π3，则c =______．14. 已知圆O 的内接三角形ABC 的三边长分别为|AB|=4，|BC|=5，|CA|=6，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 已知{a n }为等差数列,若a11a 10<−1,且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n =______．16. 在数列{a n }中，a n =3a n−1+2，a 1=2，则通项a n = ______ ．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 已知点A ，B ，C 是圆心为原点O 半径为1的圆上的三点，∠AOB =60°，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (a,b ∈R)，求a 2+b 2的最小值．18. 如图，已知⊙O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，BC =1，点P 是半圆上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D与圆心分别在PC 两侧．(1)若∠POB =θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数并写出定义域；(2)求出四边形OPDC 面积的最大值，并写出面积取得最大值时的θ的值．19. 在直角坐标系xOy 中，动点M 到F 1(−√3,0)、F 2(√3,0)的距离之和是4．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设过点P(3,0)的直线l 与轨迹C 交于点A 、B ，问是否存在定点Q ，使得QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？若存在，求出点Q 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．20.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．【答案与解析】1.答案：B解析：解：对于A，若p则q的逆否命题是：若非q则非p，故对；对于B，若m=0，则由a<b推不出“am2<bm2”故错；对于C，“矩形的两条对角线相等”的否定是：“矩形的两条对角线不相等”，其假；故对；对于D，∵“⌀是集合{1,2}的真子集”为真，故“⌀是集合{1,2}的真子集或3∈{1,2}”为真．故对．故选B．对于A，根据互为逆否命题的概念即可；对于B，考虑特殊情况(m=0)时，后者不能推出前者；对于C，先写出它的否定后进行判断即可；对于D，含有“或”的命题，只要其中一个正确即为真，从而进行判断正误．本小题主要考查命题的否定、集合的子集、四种命题间的逆否关系、必要条件、充分条件与充要条件的判断等基础知识，考查推理能力、化归与转化思想．属于基础题．2.答案：D解析：∵a=(x−1，2)，b=(2,1)，a⊥b，∴a·b=(x−1，2)·(2，1)=2(x−1)+2×1=2x=0，即x=0．3.答案：B解析：主要考查数列的递推公式和等比数列的前n项和公式．解：a1=1，a n+1−a n=2n∴a2−a1=21,a3−a2=22……a2016−a2015=22015,上式累加可得：a2016−a1=22016−1,故选B．4.答案：A解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 5=20，且S 6−a 1=30，∴5a 1+5×42d =20，6a 1+6×52d −a 1=30，联立解得a 1=0，d =2，则a 5=0+4×2=8．故选：A ．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.答案：D解析：解：∵a 1=3，a n −a n ⋅a n+1=1，∴a n+1=a n −1a n ，得a 2=23，a 3=−12，a 4=3，… ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3=−1，∵2016=3×672，∴A 2016=(−1)672=1．故选：D ．由已知求得数列的前几项，可得数列{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3=−1，则A 2016的值可求．本题考查数列递推式，考查了数列的周期性，是中档题．6.答案：B解析：试题分析：以数列为背景，建立得到角的关系式，进而结合两角和差的三角函数关系式，得到A +B 的值，进而得到三角形的形状。
2020届陕西省西工大附中高一数学下学期3月线上试题
高一下学期第一次网课测试（3月）数学试题一．选择题：（3×12＝36分）1．已知△ABC 中，c 2=a 2+b 2−√3ab ，那么角C 的大小是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知点P （﹣3，5），Q （2，1），向量m →=（2λ﹣1，λ+1），若PQ →∥m →，则实数λ等于（ ） A ．113B ．−113C ．13D ．−133．已知△ABC 中，a ＝1，b =√3，A ＝30°，则B 等于（ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°4．已知平面向量a →=(−2，x)，b →=(1，√3)，且(a →−b →)⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．−2√3B ．2√3C ．4√3D ．6√35．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为（ ）A ．√3a kmB ．a kmC ．√2a kmD ．2a km6．在△ABC ，已知a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN →=13NM →，若AN →=λAB →+μAC →（λ，μ∈R ），则λ+μ的值为（ ） A ．14B ．13C ．1D ．48．在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD＝3，则AN →⋅MN →=（ ） A ．−√7B ．0C ．√7D ．79．平面内△ABC 及一点O 满足AO →⋅AB →|AB →|=AO →⋅AC →|AC →|，CO →⋅CA →|CA →|=CO →⋅CB →|CB →|，则点O 是△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，且sin A +sin C ＝2sin B ，则b 的值为（ ） A ．4+2√3B ．4﹣2√3C ．√3−1D ．√3+111．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC =√2，D ，E 是线段BC 上的点，且DE =13BC ，则AD →•AE →的取值范围是（ ）A ．[89，43]B ．[43，83]C ．[89，83]D ．[43，+∞)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2且△ABC 面积为S =√312(b 2−a 2−c 2)，则△ABC 面积S 的最大值为（ ） A ．2−√3B ．4−2√3C ．8−4√3D ．16−8√3二.填空题（36＝18分）13．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，AC ＝3，则△ABC 的面积等于 ．14．已知点A （﹣1，1）、B （0，3）、C （3，4），则向量AB →在AC →方向上的投影为 ．15．已知向量a →=（4，2），b →=（λ，1），若a →+2b →与a →−b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为 ． 16．若满足条件AB =√3，C =π3的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是 ． 17．已知△ABC 是锐角三角形，若A ＝2B ，则ab 的取值范围是 ．18．如图，等腰三角形ABC ，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，且满足AE →=m AB →，AF →=n AC →，其中m ，n ∈（0，1），m +n ＝1，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则|MN |的最小值为 ．三.解答题（共46分）19．（8分）设e 1→，e 2→是两个不共线向量，知AB →=2e 1→−8e 2→，CB →=e 1→+3e 2→，CD →=2e 1→−e 2→． （1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若BF →=3e 1→−k e 2→，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．20．（8分）已知角A 、B 、C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m →=(2√3sin A2，2cos 2A2)，n →=(cos A2，−1)，m →⊥n →． （1）求角A 的大小； （2）若a =2，cosB =√33，求b 的长．21．（10分）已知|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)⋅(2a →+b →)=61 （1）求a →与b →的夹角θ； （2）求|a →+b →|．22．（10分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b cos C +c ＝2a ． （1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，cos A =17，BD =√1292，求△ABC 的面积．23．（10分）已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π6)． （1）求f （x ）的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且f(A2)=√32，a ＝4，求△ABC 周长的取值范围．。
陕西省西安市西北工业大学附属中学2019-2020学年高一下学期3月测试化学试卷
化学试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 C1-35.5 K-39 Cu-64 Mn-55第一部分（选择题共75分）本部分共30小题，1—15题，每小题2分，共30分，16—30每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1．环保意识是重要的公民意识。
下列气体不属于．空气质量日报监测指标的是．．A．SO2B．CO C．N2D．NO22．关于硝酸的说法正确的是A．硝酸与金属反应时，主要是+5价的氮得电子B．浓硝酸与浓盐酸按3∶1的体积比混合，所得的混合物叫王水C．硝酸电离出的H+离子，能被Zn、Fe等金属还原成H2D．常温下，向浓HNO3中投入Fe片，会产生大量的红棕色气体3．下列物质属于纯净物的是A．漂白粉B．浓硫酸C．液氯D．氨水4．玻璃、陶瓷和水泥是重要的无机非金属材料，它们的主要成分中都含有的元素是A．氮B．硫C．硅D．氯5．从降低成本和减少环境污染的角度考虑，制取硝酸铜最好的方法是A. 铜和浓硝酸反应B. 氧化铜和硝酸反应C. 铜和稀硝酸反应D. 氯化铜和硝酸银反应6．下列反应中，硝酸只表现氧化性的是A.3FeO+10HNO3==3Fe(NO3)3+NO↑+5H2OB.C+4HNO3(浓) CO2↑+4NO2↑+2H2OC.Al(OH)3+3HNO3==Al(NO3)3+3H2OD.3Zn+8HNO3==3Zn(NO3)2+2NO↑+4H2O 7．下列关于硫酸的叙述中，正确的是A．浓硫酸具有吸水性，因而能使蔗糖炭化B．浓硫酸有氧化性，稀硫酸无氧化性C．浓硫酸是一种干燥剂，能够干燥氨气、氢气等气体D．稀释浓硫酸时，应将其沿着器壁慢慢加入到水中，并用玻璃棒不断搅拌8．将等物质的量的镁和铝混合，取等质量该混合物四份，分别加到足量的下列溶液中，充分反应后，放 出氢气最多的是A. 3 mol ·L －1盐酸 B. 4 mol ·L －1 HNO 3溶液 C. 8 mol ·L －1 NaOH 溶液 D. 18 mol ·L －1 H 2SO 4溶液9．下列有关物质用途的说法中，不正确．的是 A ．NH 3常用作制冷剂B ．Fe 3O 4常用于红色油漆和涂料C ．Na 2SiO 3常用作制木材防火剂D ．NaHCO 3常用作面粉发泡剂10．某元素的离子．结构示意图为 ，该元素在周期表中的位置是A ．第5周期零族B ．第6周期第ⅠB 族C ．第5周期第ⅦA 族D ．第6周期第ⅠA 族11．关于现行的元素周期表的说法正确的是 A ．元素周期表有8个副族 B ．元素周期表有18个纵行 C ．短周期是指第一、二周期D ．IA 族的元素全部是金属元素12．某冶炼厂利用炼铜产生的SO 2生产硫酸，变废为宝，化害为利。
西安市高一下学期3月份质量检测数学试题
西安市高一下学期3月份质量检测数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线平行”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分又不必要条件2. （2分） (2017高一下·郑州期末) 已知sin（﹣α）= ，则cos（2α+ ）=（）A . ﹣B .C .D . ﹣3. （2分）函数的最小正周期是（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2017高一上·红桥期末) 在0°～180°范围内，与﹣950°终边相同的角是________．6. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知角的终边经过则 ________.7. （1分） (2018高三上·泰安期中) 圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 ________ ．8. （1分）(2017·成都模拟) 已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且，则x的值是________．9. （1分） (2019高一下·上海月考) 若，则不等式的解集为________．10. （1分） (2017高一下·淮北期末) 化简的结果为________．11. （1分） (2017高一上·江苏月考) 若在第________象限．12. （1分）(2018·济南模拟) 若点在函数的图象上，则 =________．13. （1分） (2016高一上·金华期末) 已知tan（π﹣x）=﹣2，则4sin2x﹣3sinxcosx﹣5cos2x=________．14. （1分） (2020高三上·潮州期末) 函数在处取得最大值，则 ________15. （1分） (2017高一下·运城期末) 化简：sin40°（tan10°﹣）=________．16. （1分） (2018高一下·上虞期末) 若正数满足，则的最小值等于________．三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分） (2019高一下·上海月考) 若角的终边上有一点，且 .（1）判断实数符号，并说明理由；（2）求的值.18. （10分） (2017高一下·沈阳期末) 已知函数．（1）当时，求函数的值域；（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值．19. （10分）已知tanα=2．求tan（α+）的值.20. （15分） (2018高一下·平原期末) 已知， .（1）求的值；（2）求的值.21. （15分）若x＞0，y＞0，且x+y＞2，（1），，时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、。
西工大附中高2019届第一次摸拟考试数学试题(理科)
西工大附中高2019届第一次摸拟考试数学试题(理科)第I 卷选择题(共50 分)大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 若复数-—却(a R , i 为虚数单位位)是纯虚数，则实数 a 的值为1 +2iA . -6B . -2C . 4D . 62. 从原点O 向圆x 2 y 2 -12y 27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间 的劣弧长为A .二B . 2 二C . 4 二D . 6 二x-^0,3.已知点P (x , y )在不等式组 y-1^0,表示的平面区域上运动，x 2y -2 _0A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°7. 在等差数列 玄中，已知印-a 4 -比-盹• ai 5 =2,那么氐的值为 A . -30 B . 15 C . -60 D . -158. 设：•、1为两个不同的平面，I 、m 为两条不同的直线，且丨二圧，m 1 , 有如下的两个命题：①若 二// ：,则I // m ；②若I 丄m ,则二丄-.那么A .①是真命题，②是假命题B .①是假命题，②是真命题C .①②都是真命题D .①②都是假命题则z = x -y 的取值范围是A . [-2，- 1]B . [- 1, 2]C . [-2, 1]D . [1，2]2 24 .双曲线.丄二1(mn = 0)的离心率为2,m nmn 的值为有一个焦点与抛物线y 2 = 4x 的焦点重合，则 A . 83 5.某校共有学生2000名，各年级男、 B . C . 163 女生1 名,D .空 16 人数如表所示.已知在全校学生中随机抽取 抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的 方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的 学生人数为A. 24 B . 18 C . 166 .已知向量 a =(1,2),b =(-2,-4),| c|」5,若(a b) D . 12 5 •c= —,则a 与c 的夹角为29 .已知函数f (x)在R上满足f(1 x) =2f(1-x) - x2 3x 1 ,则曲线y = f(x)在点（1,f （1））处的切线方程是A. x -y -2=0 B . x -y =OC. 3x y_2=0 D . 3x_y_2=010.已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为A. 6 B . 5.5 C . 5 D . 4.5第口卷非选择题（共100 分）、填空题： 本大题共7小题，考生作答 5小题，每小题5分，满分25 分. ）必做题（11〜14题）12. 阅读程序框图，若输入m = 4 , n = 6 ,贝U 输 出a , i13. 函数 f (x^sin(；；)(-^：：x ：：0)若I ef (1) - f (a) =2,则 a 的值为：14. 求定积分的值:11.在 2 3 315的展开式中，任意取出两项都是自然数的概率为: 开始▼输入m, nF --------------a = m^ ii 十 L ----- 1 ---- J(x-0)i =1 整除否乙是 输出a, i）选做题（15〜17题，考生只能从中选做一题） cx=2C 。
2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期3月月考试题数学（理）一、单选题1．已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 中的元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】分析出集合,A B 分别表示椭圆和函数图像上的点，然后数形结合得出集合的交集中元素的个数.【详解】 集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭表示椭圆2212x y +=上的点组成的集合. 集合B 表示函数3y x =的图像上的点组成的集合. 在同一坐标系中作出椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像，如图.由图可知，椭圆2212x y +=和函数3y x =的图像有2个公共点. 所以A B I 有2个元素.故选：B【点睛】本题考查集合交集中元素的个数，属于基础题.2．复数2312i z i +=+-在复平面内对应的点到原点的距离是( ) A 2B ．5C 10D ．23【答案】C【解析】先将复数z 化简，然后得出复数z 在复平面内对应的点的坐标，再求它到原点的距离.【详解】复数()()()()212233*********i +i i 5i z =+i i i +i ++=+=+=+-- 所以复数3z +i =在复平面内对应的点为()3,1.所以复数3z +i =在复平面内对应的点到原点的距离为：23+1=10 .故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，属于基础题.3．虚拟现实（VR ）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR 技术后，VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR 市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是( )A ．该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍B ．该地区2019年的VR 硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C ．该地区2019年的VR 软件收入是2018年的软件收入的3倍D ．该地区2019年的VR 软件收入是2017年的软件收入的6倍【答案】D【解析】根据统计图给出的信息和题目条件，对选项进行逐一判断，得出答案.【详解】设该地区2017年VR 市场收入为a ，则由VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番. 所以该地区2018年VR 市场收入为2a ，该地区2019年VR 市场收入为4a .A ．该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍,所以A 正确.B.由图可得该地区2019年的VR 硬件收入为40.7 2.8a a ⨯=.该地区2017年的VR 硬件收入为0.90.9a a ⨯=.该地区2018年的VR 硬件收入为20.8 1.6a a ⨯=. 由0.9 1.6 2.5 2.8a a a a +=<， 所以B 正确.C. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2018年的软件收入为：20.20.4a a ⨯=.所以C 正确D. 该地区2019年的VR 软件收入为：40.3 1.2a a ⨯=,2017年的软件收入为：0.10.1a a ⨯=,所以D 不正确.故选：D【点睛】本题考查条形统计图的应用，属于基础题.4．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则中可填入( )A ．2m m =+B ．1=+m mC ．1m m =-D ．2m m =-【答案】A 【解析】根据程序运行，将每一个选项代入试运行，算出其输出结果，从而选出答案.【详解】对选项A ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,8S m ==,则()8880S =⨯-=,所以输出结果0S =,所以正确.对选项B ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,5S m ==,则()4544S =⨯-=4,6S m ==,则()4648S =⨯-=8,7S m ==,则()87880S =⨯-=-<，输出结果8S =-,所以不正确.对选项C ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,3S m ==,则()43440S =⨯-=-<，输出结果4S =-,所以不正确.对选项D ，2,4S m ==，则()2424S =⨯-=;4,2S m ==,则()42480S =⨯-=-<,所以输出结果8S =-,所以不正确.故选：A【点睛】本题考查程序框图中循环，考查补全程序结构，属于中档题.5．设124a -=，141log 5b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】利用对数的单调性可得411log 22b c>>>=，而12a =，可得答案. 【详解】 12142a -==，1444411log log 51log 3log 252b ==>>>= 所以a c b <<故选：B【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属于中档题.6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是( )A ．115B ．110C ．13D ．130【答案】C【解析】先分析出,A B 区域可以填的数字，根据古典概率可知，当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大，从而概率最大，得出答案.【详解】由题意B 区域标记数字1,4.当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2.当B 区域标记数字4时，A 区域的数字可以为1或2.在图上随机取一点，要使得该点恰好取自标记为1的区域的概率最大，则只需标记数字1的区域的面积最大即可.显然当B 区域标记数字1时，A 区域的数字为2时，标记数字1的区域的面积最大.此时标记数字1的区域共有10个小正方形,而在图上共有30个小正方体.所以所求概率的最大值为：101303 P==故选：C【点睛】本题考查几何概率的求法，属于中档题.7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是( )A．卫星向径的最小值为a c-B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【答案】D【解析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案.【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为a c-，卫星向径的最大值为a c+，所以A, B正确.当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，由12111a c ea c e e--==-++++，可得e越大，椭圆越扁，所以C正确.卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等. 则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.故选：D【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题.8．已知在斜三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB =，14AA =，ABC V 的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分.若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( )A ．12B ．35C ．45D ．32【答案】B【解析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设1AA 与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sin α的值．【详解】由点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB = 则//EF AB ，过EF 作平面//EFG 底面ABC ，如图.则111113C EFG A B C EFG V V --=, 13C EFG ABC EFG V V --=.所以中间部分的体积1111143E FCC ABC A B C V V --==所以11112ABC A B C V -=，设三棱柱111ABC A B C -的高为h 111512ABC A B C ABC V S h h -=⨯==△,则125h =, 设1AA 与底面所成角为α，则11235sin 45h AA α===故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角，关键是明确中间几何体的体积与原三棱柱体积的关系，考查棱柱体积公式的应用，是中档题．9．已知()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．或0B ．12-C ．12D ． 【答案】D【解析】由()f x 是R 上的奇函数，可求出ϕπ=，()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42,k k ω=+∈Z ，再根据()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数有，222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭，从而得到答案.【详解】 由题意，()f x 是R 上的奇函数，则()0sin 0f ϕ==.又0ϕπ<≤，则ϕπ=，即()sin f x x ω=-根据()f x 的图象关于直线4x π=对称，则,42k k Z ππωπ⨯=+∈. 所以42,k k ω=+∈Z .()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，所以222211T πππω⎛⎫=≥⨯+ ⎪⎝⎭. 则223ω≤，又0>ω. 所以2ω=或6ω=.当2ω=时，()sin 2f x x =-，满足条件，()sin 63f ππ=-= 当6ω=时，()sin 6f x x =-，此时函数()f x 在 ,2212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,1211ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，不满足条件.所以()62f π=- 故选：D【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的奇偶性、对称性和单调性，属于中档题.10．已知直线l 与曲线xy e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点.若OAB V 的面积为3e ，则点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】设切点()00,P x y ，由导数得出切线方程，求出切线与坐标轴的交点的坐标，利用面积公式可得()020112x S x e =-，即研究()()2112x f x x e =-的图像与3y e =的交点个数，利用导数求出函数()f x 的单调区间，结合图像可得答案.【详解】设()00,P x y ，e xy '=，则以P 为切点的切线的斜率为：0x k e = 以P 为切点的切线方程为：()000-=-x x y ee x x . 所以()()()0001,0,0,1x A x B x e-- 则()000111122x OAB S OA OB x x e =⨯⋅=⨯-⨯-△ ()020112x x e =- 设()()2112x f x x e =-，则()()()()()211111122x x x f x x e x e x x e '=--+-=+-. 由()0f x '>，得1x <-或1x >,()0f x '<,得11x -<<.所以()f x 在()1-∞-，上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1+¥，上单调递增.又()()2310,1f f e e=-=<，且恒有()0f x ≥成立. 如图所以()f x 的图像与3y e=有1个不同的交点.所以OAB V 的面积为3e的点P 有1个. 故选：A【点睛】 本题考查利用函数导数研究过曲线上某点处的切线方程和方程的根的个数问题，属于中档题.11．知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF V 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )A 0y ±=B ．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】A【解析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.【详解】如图所示：设,,G B N 分别为2MAF V 三边与其内切圆的切点，圆心为I .已知MGI △≌MNI △，2F BI △≌2F NI △,AGI △≌ABI △. 即22,,NM MG AG AB F B F N === 由双曲线的定义有：122MF MF a -=. 则121212MF MF MF MN NF MF MG BF -=--=-- 222AF BF AG AB AG AB =-+=+=. 所以22AB a =,即AB a =.又124F F AB =.所以24c a =，又222+=a b c ，解得b a=双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a=±=. 故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题.12．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则( )A ．sgn(())0f x >B ．404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．sgn((2))0()f k k Z =∈D ．sgn(())|sgn |()f k k k Z =∈【答案】C 【解析】先根据函数的周期性和奇偶性作出函数()f x 的图像,再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合可对四个选项进行逐一判断，可得答案.【详解】由()f x 满足(2)()f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数.当[0,1]x ∈时，()f x x =，又()f x 为偶函数，即()()f x f x =-.当10x -≤≤时，01x ≤-≤，所以()()f x f x x =-=-.所以当11x -≤≤时,(),01,10x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩,此时()[]0,1f x ∈. 由()f x 是以2为周期的周期函数，()f x 的值域为[]0,1，其图象如下：所以()()()()011sgn 00f x f x f x <≤⎧=⎨=⎩，所以A 不正确.由()f x 是以2为周期的周期函数，则404111120202222f f +f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确.k Z ∈时，由函数的周期性()()200f k f ==.所以()sgn((2))sgn 00f k ==，所以C 正确.当2k =时，()20f =，所以()sgn((2))sgn 00f ==，而sgn 21=. 此时sgn((2))|sgn 2|f ≠，所以D 不正确. 故选：C 【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶的应用，以及符号函数的性质应用，考查转化的方法，属于中档题.二、填空题13．已知向量(3,2)a =-r ，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r，则实数μ的值为________；若()//(2)a b a b μ++r rr r ，则实数μ的值为________.【答案】135 12【解析】先求出a b μ+r r 的坐标，利用()0a b a μ+⋅=r rr 可求解第一个空. 然后利用两向量平行的坐标条件可求解第二个空. 【详解】向量(3,2)a =-r，(1,1)b =-r，()()()3,2,3,2a b μμμμμ+=-+-=--r r又()()()33220a b a μμμ+⋅=-⨯-+⨯-=r rr ，解得:135μ=.()()()26,41,15,3a b +=-+-=-rr()//(2)a b a b μ++r rr r ,则()()()33520μμ-⨯--⨯-=，解得：12μ=故答案为：（1）135 ，（2）12【点睛】本题考查利用向量的垂直和平行求参数，属于基础题.14．若对12233(1)1n n n n nn n x C x C x C x C x +=+++++…两边求导，可得11232(1)23n n n n n x C C x C x -+=++1n n n nC x -++…，通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++的值为________.【答案】35【解析】根据题目给出的方法，对723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导，然后令1x =，可得答案. 【详解】由723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++两边求导得：()62345612345677554234567x a a x a x a x a x a x a x ⨯⨯-=++++++令1x =可得：123456723436755a a a a a a a =++++++ 故答案为：35. 【点睛】本题考查类比方法的推理和赋值法的应用，属于中档题. 15．已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立，则实数t 的取值范围是________.【答案】()4,2-【解析】先用累加法求出的n a 通项公式, 存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立,则()2max n a m t t >+，可求解答案. 【详解】由121111n n na a a n n n n +=+=+-++. ∴()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+L L1111111111121322n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 112n =- ∴11212n a n=-< 若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立.所以212m t t >+对任意的[1,4]m ∈恒成立.设()212f m mt t =+-，即()0f m <对任意的[1,4]m ∈恒成立.函数()f m 是关于m 的一次或常数函数.所以()()1040f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即221204120t t t t ⎧+-<⎨+-<⎩解得4362t t -<<⎧⎨-<<⎩，即42t -<<所以实数t 的取值范围是42t -<< 故答案为：()4,2-. 【点睛】本题考查用累加法求数列的通项公式，考查恒成立和能成立问题，属于中档题.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是________.5a【解析】过点P 作一平面使之与平面1SC B 平行，则该平面与正方体的面11DCC D 的交线为动点Q 的轨迹，从而可求出答案. 【详解】由S 是A B 的中点，P 是A D 的中点在线段11D C 上取点M ，使得11114D M D C =，连接PM . 在线段CD 上取点N ，使得14CN CD =，连接MN . 设H 为11D C 的中点，连接1A H SH CH ，，,如图.则有111//,//PM A H A H SC ,所以1//PM SC . 所以//PM 平面1SC B .又//,//SB CH CH MN ,所以//MN SB ，//MN 平面1SC B ,且PM MN M ⋂=所以平面1//SC B 平面PMN .且平面PMN 与正方体的面11DCC D 相交于MN . 所以当点Q 在线段MN 上时，有//PQ 平面1SBC所以22522a a MN CH a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.所以点Q 的轨迹的长度是52a. 5a . 【点睛】本题考查空间几何体中轨迹问题，直线与平面的平行的判定的应用，属于难题.三、解答题17．如图所示，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且90DAC ︒∠=，22cos DAB ∠=，AB 6=（1）若3sin 3C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值. 【答案】（1） 4 （256【解析】（1）先由诱导公式sin BAC ∠的值，再由正弦定理求解BC .(2) 延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,得到平行四边形ABFC ，然后在ABF V 中用余弦定理可解得答案. 【详解】(1)由90DAC ︒∠=，22cos DAB ∠=. 又()22sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∠=∠+︒=∠=由正弦定理有sin sin BC ABBAC C=∠,所以26sin 34sin 33AB BAC BC C ⋅∠===. 所以4BC =.(2)由90BAC BAD ∠=∠+︒,所以BAC ∠为钝角. 又由（1）有2sin 3BAC ∠=，所以1cos 3BAC ∠=-又AE 为BC 边上的中线，延长AE 到F ，使得AE EF =,连接,BF CF ,如图. 则四边形ABFC 为平行四边形,所以1cos cos 3ABF BAC ∠=-∠= 则在ABF V 中,6,4AB AF ==所以2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-⋅∠即21166+263BF BF =-⨯，即2326300BF BF --=.解得：563BF =或6BF =-（舍去） 所以AC =56【点睛】本题考查诱导公式，正弦定理和余弦定理的应用， 第（2）问还可以用向量法求解，属于中档题. 18．如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=.（1）证明：DE ⊥平面ABCD ； （2）若二面角B CF D --25，求λ的值. 【答案】(1)证明见解析. (2) 2λ=或33λ=. 【解析】(1) 取DC 的中点H ,连接,BH AH ，可得AH DE ⊥，再推导出AD DE ⊥，从而得证. (2) 由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直, 以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系,利用向量法，求出λ的值. 【详解】(1)取DC 的中点H ,连接,BH AH .由//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==. 则ABHD 为正方形.所以AH BD ⊥.又平面BDE ⊥平面ABCD ，且平面BDE ⋂平面=ABCD BD .又DE ⊂平面BDE .则AH DE ⊥.又四边形ADEF 是矩形，则AD DE ⊥,且AD BD D =I . ∴DE ⊥平面ABCD .(2)由题目条件和（1）可知,,DA DC DE 两两垂直.故以点D 为原点，以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.如图. 设1AB =，则DE AF λ==.所以()1,0,0A ，()1,1,0B ,()0,2,0C ,()0,0,E λ,()1,0,F λ.则()1,1,0BC =-uu u r,()1,2,CF λ=-u u u r ,()=0,2,0DC u u u r . 设平面BFC 的一个法向量为()111,,n x y z =r. 所以00n BC n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即11111020x y x y z λ-+=⎧⎨-+=⎩取11,1,n λ⎛⎫=⎪⎝⎭r 设平面DFC 的一个法向量为()222,,m x y z =u r. 所以00m DC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2222020y x y z λ=⎧⎨-+=⎩取(),0,1m λ=-u r二面角B CF D --25522105cos ,1111m n m n m nλλλλ+-⋅==⋅+⨯++u r ru r r u r r 即2243+13=0λλ- ，解得：24λ=或213λ= 所以2λ=或3【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查根据二面角的正弦值求线段的长度之比，考查利用向量的方法解决空间角，属于中档题.19．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线.（1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(,0)(0)T t t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B 两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且2132k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标.【答案】（1）24y x = （2）()1,0T ，2132k k k +-的定值为0.【解析】(1)根据条件MN 为圆E 的直径，则8MN =，设()()1122,,,M x y N x y ，126x x +=，1268MN x x p p =++=+=，从而可求出p 的值；(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -,直线x ny t =+,则3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++，结合抛物线的方程，将抛物线方程与直线方程联立，写出【详解】(1)设()()1122,,,M x y N x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，M ，E ，F ，N 四点共线. 由条件圆心()3,2E 为MN 的中点，12124,6y y x x +=+=,8MN =. 所以直线MN 过焦点F ，则1268MN x x p p =++=+=.解得：2p =. 抛物线2:4C y x =.(2) 设()()3344,,,A x y B x y ，()1,P m -，直线x ny t =+.则24x ny t y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ny t --=. 34344,4y y n y y t +=⋅=-.()22223434342168y y y y y y n t +=+-=+3412334,,111+y m y m mk k k x x t--===-++. 233344223434122111112144y m y m y m y m m m++y y x x +t k k k +t =----+=+++++-+ ()()342234442441y m y m m+y +y ++t--=+ ()()()()()22343434222343444821416y y y y m y y m m+ty y y y ⎡⎤++-+-⎣⎦=++++ ()()()222444416882116416816n t m n t m m+tt n t ⎡⎤--+-⎣⎦=++++ 2224442224211n tn mn tm m mt n t +t----=++++ ()()()()()()2222222224141444442112211n t +mn t n mn nt mn t t n t +t t n t +t --+--==++++++ 当1t =时，()()()()222241412211n t +mn t tn t +t --+++为定值0.故一个定点(1,0)T ，使得21302k k k =+-为定值本题考查利用抛物线的定义结合过焦点的弦长求p 的值，考查定点和定值问题，考查计数化简能力，属于难题.20．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.【答案】(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，()=216E X 【解析】(1) 用每组数据中该组区间的中点值为代表，利用公式直接可求解. (2)由题意得()212,2N ξ∼，求出()1418P ξ<≤即可求解出答案.(3)由频率分布直方图可知每人获得奖金额为0元的概率为0.02，每人获得奖金额为100元的概率为：0.88，每人获得奖金额为200元的概率为：0.1,X 的取值为0，100，200,300,400. 分布求出概率，列出分布列，求出数学期望.（1） 由题意有0.005250.005270.04290.29211x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+0.112130.032150.0152170.00521911.6812⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈（千步）（2）由()2,N ξμσ:，由（1）得()212,2N ξ∼所以()()()()1141812+2123261810142P P P P ξξξξ<≤=<≤+⨯=<≤-<≤⎡⎤⎣⎦ ()10.99730.68270.15732≈-= 所以300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数：3000.1573=47⨯. (3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02⨯⨯.每人获得奖金额为100元的概率为：()0.04+0.29+0.112=0.88⨯ 每人获得奖金额为200元的概率为：0.1X 的取值为0，100，200,300,400.()200.02=0.0004P X ==()121000.020.880.0352P X C ==⨯⨯= ()1222000.020.1+0.880.7784P X C ==⨯⨯= ()123000.10.880.176P X C ==⨯⨯=()24000.10.01P X ===所以X 的分布列为：()=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216E X ⨯⨯⨯⨯⨯ （元）【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均值，正态分布，离散型随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题.21．已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【答案】（1）f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）证明见解析 【解析】（1）先求函数的导数()23322a ax f x x x x --'=-+= ()0x >，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果可知0f <，即2a e >，利用分析法，将需要证明想不等式转化为证明1221aex x ea--<-，只需证明1212a e x x e a -<<<<，利用函数的单调性和零点存在性定理可证明122ax e -<，根据零点存在性定理和单调性证明. 【详解】（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23322a ax f x x x x --'=-+=，①当a ≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，由f'（x ）＞0得x >故f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．（2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，要证原不等式成立，只需证明211ln 2e x x a a ⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭，只需证明1221a e x x e a --<-，只需证明1212a e x x e a -<<<．一方面∵a ＞2e 1<<，∴1111022111ln 0222a a a af e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴120a f f e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭122ax e -<；另一方面，令()1ln g x x ex=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=-=，当10x e<<时，g'（x ）＜0；当1x e >时，g'（x ）＞0；故()min 1110g x g e ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，令ex a=， 则2ln e a a e >-，于是222222ln 0e ae a af a a ea e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，而2222222240e e a e ea a a ---=<<，故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <综合上述，1212a e x x e a -<<<<，即原不等式成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和不等式的证明，重点考查了构造函数和讨论的思想，属于难题，本题的难点是再证明0e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，需要构造函数()1ln g x x ex =+，（x ＞0），并且证明不等式时，经常使用分析法转化.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）. （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值.【答案】(1) 曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=;直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+= (2) ±1【解析】(1)曲线1C 利用平方可消去参数，直线2C 可用代入法消去参数，得到普通方程.(2)利用均值不等式的方法可求出圆的内接矩形面积最大时为内接正方形，即BD =,然后利用圆中的垂径定理结合点到直线的距离可求得答案. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.所以曲线1C 的直角坐标方程为：224x y +=.直线2C 的参数方程为2x aty t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）.所以直线2C 的直角坐标方程为：20x ay -+=. (2)如图，直线20x ay -+=过定点()2,0-.设,AB m AD n ==. 因为ABCD 为1C 的内接矩形.则BD 为直径,即=4BD 所以2216m n +=.矩形ABCD 对的面积为S ,S mn =.2216822m n mn +≤==,当且仅当22m n ==时取等号.圆1C 的半径2r =，圆心到直线2C 的距离为：221d a=+由22222224221m AB r d a ⎛⎫==-=-= ⎪+⎝⎭，解得：1a =±. 【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程，圆的性质，属于中档题. 23．已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈. （1）证明：()||1f x a ≤+；（2）若2a =，且对任意x ∈R 都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析. (2)314k ≤≤ 【解析】(1)由()()111x a x x a x a +--≤+--=+结合10x --≤可得221x a x a +--≤+，再由绝对值的三角不等式可证.(2设()()()3g x k x f x =+-分段打开绝对值，即()0g x ≥在R 上恒成立，则每一段均要满足恒大于等于0，从而得到答案. 【详解】 【详解】(1)因为()()111x a x x a x a +--≤+--=+……①当且仅当()()101x a x x a x ⎧+-≥⎪⎨+≥-⎪⎩时取等号.又10x --≤………② 当且仅当1x =时取等号.由①+②得：221x a x a +--≤+,当且仅当1x =时取等号.所以()11f x a a ≤+≤+当且仅当10x a =⎧⎨≥⎩时取等号.(2)当2a =时，()4222232141x x f x x x xx x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩设()()()()()()1342333211341k x k x g x k x f x k x kx k x k x ⎧-++≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪++-≥⎩依题意可知()0g x ≥在R 上恒成立.则需()()102601=43010k g k g k k -≤⎧⎪-=+≥⎪⎨-≥⎪⎪+≥⎩ ，即16341k k k k ≤⎧⎪≥-⎪⎪⎨≥⎪⎪≥-⎪⎩，解得314k ≤≤. 实数k 的取值范围: 314k ≤≤ 【点睛】本题考查含绝对值不等式的证明，考查绝对值中的三角不等式的应用，考查恒成立问题，属于中档题.。
陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学(理)试题(解析版)
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A．{1，2，3}B．{1，6，9}C．{1，6}D．{3}2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A．B．C．D．3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（）A．＝﹣+B．＝﹣C．＝+D．＝+5．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A．18B．20C．21D．256．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝x|x|7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A．B．25C．D．318．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g （x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A．B．C．2D．210．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．2111．（5分）已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx ﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A．B．2C．D．512．（5分）已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为．15．（5分）在的展开式中，常数项为．16．（5分）如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18．（12分）如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB 于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．20．（12分）已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A．{1，2，3}B．{1，6，9}C．{1，6}D．{3}【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出B∩C．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}＝{3，6，9，18，27}，C＝{x∈N|3x∈A}＝{1，2，3}，∴B∩C＝{3}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A．B．C．D．【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．【解答】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix ＝cos x +i sin x ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由已知可得e 2i ＝cos2+i sin2，再由三角函数的象限符号得答案． 【解答】解：由题意可得，e 2i ＝cos2+i sin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则（ ）A ．＝﹣+B ．＝﹣C ．＝+ D ．＝+【分析】根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．【解答】解：；∴；∴．故选：A．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A．18B．20C．21D．25【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30＝390＝30×5+d，解得d＝．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d＝5+29×＝21．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝x|x|【分析】根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝x3﹣3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）＝x|x|＝，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A．B．25C．D．31【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为＝4，所以矩形的长等于4×6＝24，宽等于7，由勾股定理求得d＝＝25．故选：B．【点评】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g （x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1﹣2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）＝4，则g（x1）＝g（x2）＝2，或g（x1）＝g（x2）＝﹣2（舍去）．故有g（x1）＝g（x2）＝2，即cos2x1＝cos2x2＝﹣1，又x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x1，2x2∈[﹣4π，4π]，要使x1﹣2x2取得最大值，则应有2x1＝3π，2x2＝﹣3π，故x1﹣2x2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A．B．C．2D．2【分析】化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，得：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，∴圆心坐标C（1，2），半径r＝．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．10．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．21【分析】由y＝2x2（x＞0），求出x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x﹣a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1＝a i，所以{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．【解答】解：∵y＝2x2（x＞0），∴y′＝4x，∴x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x﹣a i），整理，得4a i x﹣y﹣2a i2＝0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1＝a i，∴{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，∴a2+a4+a6＝32+8+2＝42．故选：B．【点评】本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx ﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A．B．2C．D．5【分析】求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【解答】解：F2（c，0），直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|＝＝b，即有|OP|＝＝a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|＝2|OP|＝2a，|MF2|＝2b，可得|MF2|﹣|MF1|＝2a，即为2b﹣2a＝2a，即b＝2a，可得e＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x）＝，根据条件作出函数f（x）与h（x）＝的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【解答】解：由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有4个交点，即函数g（x）的零点个数为4个，故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【解答】解：由y＝2x2，得x2＝，则p＝；由x＝1得y＝2，由抛物线的性质可得|PF|＝2+＝2+＝，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为[0，11]．【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15．（5分）在的展开式中，常数项为﹣40．【分析】根据＝，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【解答】解：∵＝（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•+6•+）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．（5分）如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为2π．【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【解答】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【解答】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，利用正弦定理得：a2﹣b2＝c2﹣bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A＝．（2）由于，所以：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，整理得：12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，所以：＝3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB 于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处．（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【解答】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2﹣x，OE＝，∴B（2，2﹣x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2﹣x，0），＝（﹣2，2﹣x，﹣x），＝（﹣2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴＝+8＝0，解得x＝（舍）或x＝＝，∴＝，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量＝（0，1，0），＝（，0，﹣x），＝（﹣2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点评】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k 的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【解答】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝，2a＝＝12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|＝，由|AB|＝＝6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由|AB|＝＝6，整理得：，原点O到AB的距离d＝．∴＝＝＝．当时，△AOB面积有最大值为＜9．综上，△AOB面积的最大值为9．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x﹣有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a＝，令g（x）＝，（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．x1+x2＞2⇔x2＞2﹣x1＞1⇔＞，由＝，因此即证明：＞．构造函数h（x）＝﹣，0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a＝，令g（x）＝，（x≠0）．g′（x）＝，可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：x1+x2＞2⇔x2＞2﹣x1＞1⇔＞，由＝，因此即证明：＞．构造函数h（x）＝﹣，0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）＝﹣＝（x﹣1），令函数u（x）＝，（0＜x）．u′（x）＝．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）＝﹣在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴＞．因此x1+x2＞2成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|＝即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n＝4，变形7a+4b＝，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b＝＝＝，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a＝时取等号．∴7a+4b的最小值为．【点评】本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年陕西省西北工业大学附中高一下学期3月网上测试数学试题(解析版)
2019-2020学年陕西省西北工业大学附中高一下学期3月网上测试数学试题一、单选题1．已知ABC ∆中，222c a b =+-，那么角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】由题意根据余弦定理求出cosC 的值，再写出C 的大小． 【详解】∵222c a b =+，∴cos C 2222a b c ab +-===， 又A ∈(0,)π， ∴A ＝6π． 故选：A ． 【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，考查了转化思想，属于基础题．2．已知点P(－3,5)，Q(2，1)，向量()21,1m λλ=-+，若//PQ m u u u r，则实数λ等于 A ．113B ．113-C ．13D ．13-【答案】B【解析】()5,4PQ =-u u u r ，因为PQ m u u u P r r ，所以5584λλ+=-+，解得113λ=-.选B.3．已知ABC V 中，1a =，b =30A =︒，则B 等于（ ）A ．30°B ．30°或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒【答案】D【解析】根据题意和正弦定理求出sin B 的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B ． 【详解】由题意得，△ABC 中，a ＝1，b =A ＝30°，由a bsinA sinB=得，sinB133212b sinAa⨯⋅===，又b＞a，0°＜B＜180°，则B＝60°或B＝120°，故选：D．【点睛】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．4．已知平面向量()2,a x=-v，()1,3b=v，且()a b b-⊥v vv，则实数x的值为（）A．23-B．23C．43D．63【答案】B【解析】∵向量()2,a x=-v，()1,3b=v，∴(3,3)a b x-=--rr∵()a b b-⊥v vv∴()0a b b-⋅=r rr，即313(3)0x-⨯+-=∴23x=故选B5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B3 a kmC．2akm D．2akm【答案】B【解析】先根据题意确定ACB∠的值，再由余弦定理可直接求得AB的值．【详解】在ABC∆中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a 2×12⎛⎫-⎪⎝⎭＝3a 2，∴ABa. 故选:B. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题． 6．ABC ∆中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论. 【详解】 因为cos cos a bB A=， 所以22222222a ba cb bc a ac bc=+-+-，所以22222222()()a b c a b a c b +-=+-， 所以224224a c a b c b -=-， 所以22244()c a b a b -=-， 所以22222()()0a b c a b ---=， 所以220a b -=或222c a b =+， 所以a b =或222+=a b c ，所以三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.7．在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足13AN NM =u u u r u u u u r，若(,)AN AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为( )A ．14B ．13C ．1D ．4【答案】A【解析】设BM tBC =u u u u r u u u r，将AN u u u r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λμ+的值． 【详解】解：设(01)BM tBC t =u u u u r u u u r剟，13AN NM =u u u r u u u u r ， 所以11()44AN AM AB BM ==+u u u r u u u u r u u u r u u u u r1144AB tBC =+u u ur u u u r 11()44AB t AC AB =+-u u ur u u u r u u u r 111()444t AB t AC =-+u u ur u u u r ， 又AN AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r， 所以1111()4444t t λμ+=-+=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来，属中档题．8．在平行四边形ABCD 中，点M,N 分别在边BC,CD 上，且满足BC 3MC =，DC 4NC = ，若AB 4= ，AD 3=，则AN MN ⋅=u u u r u u u u r( )A ．7-B ．0C ．7D ．7【答案】B【解析】分析：由题意画出图形，把向量AN u u u r ，MN u u u u r 转化成向量AD u u u r ，AB u u u r求解即可.详解：如图：BC 3MC =，DC 4NC =，且AB 4= ，AD 3=， 则()()AN MN AD DN MC CN ⋅=++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r311AD AB AD AB 434⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u u ru u u r u u u r u u u r2213AD AB 316u u ur u u u r =-139160316=⨯-⨯=.故答案选B.点睛：本题主要考查向量的几何运算，熟练掌握向量的“三角形运算法则”及“平行四边形运算法则”是解题的关键.意在考查学生的作图能力，运算求解能力，难度一般. 9．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CBAB AC CA CB ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心【答案】C【解析】利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可． 【详解】解：平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO ACAB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ， 可得()0||||AB ACAO AB AC -=u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r g ，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，可得：()0||||CA CBCO CA CB -=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ， 所以O 在ACB ∠的平分线上， 则点O 是ABC ∆的内心． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30B ∠=︒，ABC ∆的面积为32，且sin sin 2sin A C B +=，则b 的值为( )A ．4+23B ．4﹣23C ．3-1D ．3+1【答案】D【解析】先根据三角形面积公式求得ac 的值，利用正弦定理及题设中sin sin 2sin A C B +=，可知a c +的值，代入到余弦定理中求得b ．【详解】解：由已知可得：13sin3022ac ︒=，解得：6ac =，又sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得：2a c b +=， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+- 22()2341263a c ac ac b =+--=--，解得：2423b =+， 13b ∴=+．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．11．如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，,D E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v 的取值范围是（ ）A ．84[,]93B ．48[,]33C ．88[,]93D ．4[,)3+∞【答案】A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合向量的坐标运算法则确定数量积的范围即可. 【详解】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则A （0，1），B （﹣1，0），C （1，0），设D （x ，0），则21,0133E x x ⎛⎫⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．据此有：(),1AD x =-u u u v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u v ，则：222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭u u u v u u u v .据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅u u u r u u u r取得最小值89； 当1x =-或13x =时，AD AE ⋅u u u r u u u r 取得最大值43；AD AE ⋅u u u v u u u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择A 选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 12．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =ABC ∆面积为2223)S b a c =--，则ABC ∆面积S 的最大值为( ) A ．23 B ．423- C ．843- D ．1683-【答案】B【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求8(23)ac -…，根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 【详解】 解：222331)(2cos )sin 2S b a c ac B ac B =--=-=Q ， 3tan 3B ∴=-，56B π=，3cos 2B =-，1sin 2B =，又b =Q 228(2a c ac =++…，8(2ac ∴=…，当且仅当a c =时取等号，111sin 8(24222ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=-…∴面积S 的最大值为4-．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．二、填空题13．在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，3AC =，则ABC ∆的面积等于_____.【解析】利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】解：ABC ∆的面积：123sin 602ABC S ∆=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．已知点(1,1)A -，(0,3)B ，(3,4)C ，则AB u u u v 在AC u u u v方向上的投影为__________． 【答案】2【解析】由已知得到()()1,2,4,3,AB AC ==∴u u u v u u u v 向量AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为142310255AB AC AC⋅⨯+⨯===u u u v u u u vu u u v ，故答案为2. 15．已知向量()4,2a =v，(),1b λ=v ，若2a b +v v 与a b -v v 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．【答案】()(12,1+U【解析】先求出2a b +r r 与a b -r r 的坐标，再根据2a b +r r 与a b -r r 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，． 【详解】Q 向量(4,2)a =r ，(,1)b λ=r ，∴2(42,4)a b λ+=+r r ，(4,1)a b λ-=-r r ，若2a b +r r 与a b -r r 的夹角是锐角，则2a b +r r 与a b -r r 不共线，且它们乘积为正值，即42441λλ+≠-，且()()2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-r r r r 220420λλ=+->，求得11λ<<+2λ≠． 【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键． 16．若满足条件3AB C π==的ABC ∆有两个，则边长BC 的取值范围是_____.【答案】2）【解析】由已知条件，根据正弦定理用a 表示出sin A ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意ABC ∆有两个A 的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin A 的范围，进而求出BC 的取值范围． 【详解】 解：3C π=Q，AB =BC a =，∴由正弦定理得：sin sin AB BC C A=sin aA =，解得：sin 2a A =， 由题意得：当2(,)33A ππ∈时，满足条件的ABC ∆有两个，12a<<2a <<，故答案为：2) 【点睛】本题考查正弦定理的应用，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，中档题． 17．已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是_____.【答案】（23，）【解析】由正弦定理可得：sin 2sin cos 2cos sin sin a A B BB b B B===，根据题意，确定B 的范围，64B ππ<<，再代入求出即可．【详解】 解：2A B =Q ，∴由正弦定理可得：sin 2sin cos 2cos sin sin a A B BB b B B===， Q 当C 为最大角时2C π<，32A B B π+=>，6B π>，当A 为最大角时2A π<，22B π<，4B π<，∴64B ππ<<，可得：23cos 22B <<，、 故(2,3)ab∈， 故答案为：(2,3)． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查了三角形求边角的范围，中档题．18．如图，等腰三角形ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，且满足AE mAB =u u u r u u u r ，AF nAC =u u u r u u u r ，其中m ，(0,1)n ∈，1m n +=，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则||MN 的最小值为_____.【答案】12【解析】根据条件便可得到11(1)(1)22MN m AB n AC =-+-u u u u r u u u r u u u r ，然后两边平方即可得出222(1)(1)(1)(1)MN m n m n =-+----u u u u r ，而由条件1n m =-，代入上式即可得出22331MN m m =-+u u u u r ，从而配方即可求出2MN u u u u r 的最小值，进而得出||MN 的最小值．【详解】解：MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r11()()22AB AC mAB nAC =+-+u u ur u u u r u u u r u u u r 11(1)(1)22m AB n AC =-+-u u u r u u u r ∴22222111(1)(1)(1)(1)442MN m AB n AC m n AB AC =-+-+--u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg22(1)(1)(1)(1)m n m n =-+----； 1m n +=Q ，1n m ∴=-，代入上式得：222(1)(1)MN m m m m =-++-u u u u r2331m m =-+ 2113()24m =-+；(0,1)m ∈Q ；∴12m =时，2MN u u u u r 取最小值14； ||MN ∴的最小值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法．三、解答题19．设1e u r ，2e u u r 是两个不共线向量，知1228AB e e =-u u u r u r u u r ，123CB e e =+u r u u u r u u r ，122CD e e =-u u u r u r u u r．（1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若123BF e ke =-u r u u u r u r，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12k =.【解析】（1）先求出BD u u u r ，只要证明存在实数λ，使得AB BD λ=u u u r u u u r即可；（2）利用向量共线定理即可得出． 【详解】解：（1）证明：124BD CD CB e e =-=-u u u r u u u r u u u r u r u u r122(4)2//AB e e BD AB BD ⇒=-=⇒u u u r u r u u r u u u r u u u r，Q AB u u u r 与BD u u u r有公共点，A ∴、B 、D 三点共线（2）解：B Q 、D 、F 三点共线，∴存在实数λ，使BF BD λ=u u u r u u u r， ∴121234e ke e e λλ-=-u ru u ru ru u r，∴12(3)(4)e k e λλ-=-u r u u r又Q 12,e e u r u u r 不共线，∴3040k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得3λ=，12k =． 【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．20．已知角A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量2,2cos )22A A m =r ，(cos ,1)2A n =-r，m n ⊥r r ．（1）求角A 的大小；（2）若2,cos a B ==，求b 的长．【答案】（1）3A π=（2）3b =【解析】（1）根据两向量垂直时数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则化简0m n ⊥=r r，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，提取2后，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A 的范围求出此角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）由B 的范围及cos B 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值，然后由a ，sin A 及sin B 的值，利用正弦定理求出b 的值即可． 【详解】解：（1）Q m n ⊥r r，∴2,2cos )(cos ,1)222AA A m n =-r rg g2cos 2cos 222A A A=-cos 10A A =--=∴cos 1A A -=， ∴1sin()62A π-=， 0A π<<Q ，∴5666A πππ<-<， ∴66A ππ-=，∴3A π=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，cos B =，∴sin 3B ===， 由正弦定理知：sin sin a b A B=，∴2sin sin a Bb A===．b ∴=． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的运算法则，三角函数的恒等变换及正弦定理．要求学生掌握平面向量垂直时满足的关系及正弦函数的值域，牢记特殊角的三角函数值．21．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=v v vv v v .(1)求a v 与b v的夹角θ；(2)求||a b +v v .【答案】（1）23πθ=；（2【解析】（1）由(23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r 得到6a b ⋅=-r r，又||4,||3a b ==r r 代入夹角公式cos ||||a ba b θ⋅=r rr r ，求出cos θ的值；（2）利用公式||a b +=r r.【详解】（1）因为22(23)(2)6144361a b a b a a b b -⋅+=⇒-⋅-=r r r r r r r r ，所以6a b ⋅=-r r，因为61 cos432||||a ba bθ⋅-===-⋅r rr r，因为0θπ≤≤，所以23πθ=.（2）222||()213a b a b a a b b+=+=+⋅+=r r r r r r r r.【点睛】本题考查数量积的运算及其变形运用，特别注意22||a a=r r之间关系的运用与转化，考查基本运算能力.22．ABC∆中，角A,B,C的对边分别为,,a b c，且（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，1129cos72A BD==，，求ABC∆的面积．【答案】（1）（2）103【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可；（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果试题解析：（1）,由正弦定理，得,因为，所以，所以,因为，所以. （2）法一：在三角形ABD中，由余弦定理得2221292cos222b bc c A⎛⎛⎫=+-⋅⎪⎝⎭⎝⎭所以221291447bc bc=+-，在三角形ABC中，由正弦定理得sin sinc bC B=，由已知得43sin A=，所以sin sin()C A B=+sin cos cos sinA B A B=+53=，所以57c b=由（1），（2）解得7{5bc==所以1sin1032ABCS bc A==V【考点】余弦定理；正弦定理23．已知函数()πf x sinx sin x 6⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭．()1求()f x 的对称轴所在直线方程及其对称中心；()2在ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且A f 22⎛⎫=⎪⎝⎭，a 4=，求ABC V 周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈，对称中心为62k ππ⎛+ ⎝⎭，k Z ∈（2）8,4⎛+⎝ 【解析】分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；（2）由()22Af =，求得A ，再由余弦定理得,b c 的等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得b c +的取值范围，从而得周长范围．详解：（1）()21sin cos 2f x x x x =+1cos2111sin2sin2sin 224423x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭由232x k πππ-=+，∴5122k x ππ=+∴()f x 的对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈由23x k ππ-=，∴62k x ππ=+，∴()f x 的对称中心为62k ππ⎛+ ⎝⎭，k Z ∈ （2）∵4a =，∴22222162cos 3b c bc b c bc π=+-=++，∴()216b c bc +-=，∴()()2164b c b c bc ++-=≤，得：()2643b c +≤，,0b c >，∴b c +≤又b c a +>，∴4b c <+≤∴84a b c <++≤+点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：∵22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A π∈，∴2,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴33A ππ-=，∴23A π=由正弦定理得：42sin sin sin sin 3b c a B C Aπ===∴b B =，c C =∴)2sin sin sin sin 0333b c B C C C C C πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+<< ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2333C πππ<+<，∴4b c <+≤84a b c <++≤∴ABC V的周长范围为8,4⎛+ ⎝。
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2019-2020学年西安市西工大附中高一(下)第一次测试数学试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 在△ABC 中，若c 2−a 2b 2+ab=1，则∠C 的大小为( )A. π6B. π3 C. 2π3D. 5π62. 已知点A(1,0)，B(2,1)，向量a ⃗ =(2,λ)，若a ⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )．A. −2B. 2C. −12D. 123. 已知△ABC 中，a =10，b =5√6，A =45°，则B 等于 ( )A. 60°B. 120°C. 30°D. 60°或120°4. 设向量a ⃗ =(x,x +2),b ⃗ =(2,3)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =( )A. 1B. −1C. 65D. −655. 某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30∘方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是( )A. 15√2kmB. 30kmC. 15kmD. 15√3km6. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若ab =cosBcosA ，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 设M 是△ABC 边BC 上任意一点，且2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( ) A. 14B. 13C. 12D. 18. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 8 B. 12 C. −12 D. −89. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则点O( ) A. 在AB 边的高所在的直线上 B. 在∠C 平分线所在的直线上 C. 在AB 边的中线所在的直线上D. 是△ABC 的外心10. 在△ABC 中，∠B =30°，b =10，c =16，则sin C 等于( )A. 35B. ±35C. ±45D. 4511. 已知平面向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(−3,x)，且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =( )A. −30B. 20C. 15D. 012. 已知△ABC 的面积为S ，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4S =a 2−(b −c)2，bc =4，则S =( )A. 2B. 4C. √3D. 2√3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 在△ABC 中，若C =30°，AC =3√3，AB =3，则△ABC 的面积为______ ．14. 已知点A(−1,1)、B(1,2)、C(−2,1)、D(3,4)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 已知a ⃗ =i −2j ,b ⃗ =i +k j ，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______． 16. 在△ABC 中，sin A =34，a =10，则边长c 的取值范围是_______． 17. 在ΔABC 中，若b =5,B =π4,sinA =13，则a =___________．18. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠CAD =π2，AD =2，AB =BC =CA =4，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = __________．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）19. 如图在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，(1)a ⃗ ，b ⃗ 表示BF ⃗⃗⃗⃗⃗和DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −k e 2⃗⃗⃗ ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值20.已知向量a⃗=(√5,sin2α)，b⃗ =(cos2α,√15).(1)若a⃗⊥b⃗ ，且α∈(π2,π)，求角α的值；(2)若a⃗⋅b⃗ =−8√55，且α∈(5π12,2π3)，求sin2α的值．21.已知向量a⃗=(√3,−1)，b⃗ =(12,√3 2).(Ⅰ)求<a⃗⋅b⃗ >；(Ⅱ)求(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ 的值；(Ⅲ)求|2a⃗+3b⃗ |的值．22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，acosC+ccosA+√2bcosB=0．(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．23.已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC．(1)求∠A的大小；(2)求sin(π2+B)−2sin2C2的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵c2−a2b2+ab=1，即a2+b2−c2=−ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，∵∠C为三角形的内角，∴∠C=2π3．故选：C．利用余弦定理表示出cos C，将已知等式变形后代入求出cos C的值，即可确定出C的度数．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2.答案：B解析：本题考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．利用向量共线定理即可得出．解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)．∵a⃗//AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ−2=0．∴λ=2，故选：B．3.答案：D解析：本题考查正弦定理的应用，注意特殊角的三角函数值的求法．直接利用正弦定理求出B的三角函数值，然后求出角的大小．解：因为△ABC中，a=10，b=5√6，A=45°，由正弦定理可知，sinB=bsinAa =5√6×√2210=√32，又b>a，0°<B<180°，所以B>A，所以B=60°或120°．故选D．4.答案：D解析：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值．解：∵向量a⃗=(x,x+2),b⃗ =(2,3)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗·b⃗ =2x+3(x+2)=5x+6=0，∴x=−65，故选D．5.答案：D解析：解：根据题意画出图形，如图所示，可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，在△ABC中，利用正弦定理得：45sin120∘=BCsin30∘∴BC=15√3(km)，则这时船与灯塔的距离是15√3km．故选：D．根据题意画出图形，如图所示，求出∠CAB与∠ACB的度数，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入即可求出BC的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6.答案：D解析：本题考查正弦定理，三角形的形状的判断，属于基础题．利用正弦定理化简acosA =bcosB ，通过二倍角公式，求出A 与B 的关系，得到三角形的形状． 解：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边分别为a ，b ，c ，若acosA =bcosB ， 所以sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B ， 所以2A =2B 或2A =π−2B ， 所以A =B 或A +B =90°．所以三角形是等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．7.答案：B解析：解：因为M 是△ABC 边BC 上任意一点，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m +n =1， 又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ+μ=13(m +n)=13． 故选B ．利用平面向量基本定理可得，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m +n =1，又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可解得结论． 本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．8.答案：B解析：解：∵AB =2，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16−4=12， 故选：B ．根据向量的几何意义和向量的数量积计算即可． 本题考查了向量的几何意义和向量的数量积属于基础题．9.答案：A解析：取AB 的中点D ，利用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，化简可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而可得点O 在AB 边的高所在的直线上．本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解：取AB 的中点D ，则∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(−2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴点O 在AB 边的高所在的直线上 故选A ．10.答案：D解析：解：△ABC 中，∠B =30°，b =10，c =16， 由正弦定理得，bsinB =csinC ， ∴sinC =csinB b=16×1210=45． 故选：D ．根据题意，利用正弦定理求得sin C 的值． 本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．11.答案：A解析：解：∵平面向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(−3,x)， 且a ⃗ //b ⃗ ， ∴−31=x3，解得x =−9，∴b ⃗ =(−3,−9)，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−3−27=−30． 故选A ．由平面向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(−3,x)，且a ⃗ //b ⃗ ，知−31=x3，解得x =−9，由此能求出a ⃗ ⋅b ⃗ ．本题考查平面向量的数量积的运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.答案：A解析：解：∵4S =a 2−(b −c)2，bc =4，∴4×12bcsinA =2bc −(b 2+c 2−a 2)，可得：8sinA =8−8cosA ，可得：sinA +cosA =1，∴可得：sin(A +π4)=√22，∵0<A <π，可得：π4<A +π4<3π4，∴A +π4=3π4，解得：A =π2， ∴S =12bc =2． 故选：A ．由已知利用三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sin(A +π4)=√22，结合A 的范围可得：π4<A +π4<3π4，进而可求A 的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.答案：9√32或9√34．解析：本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，属于基本知识的考查．由正弦定理可得sinB =√32 ，故可得B =60°或120°，由三角形面积公式分情况讨论即可得解．解：∵由正弦定理可得：，∴B =60°或120°， 当B =60°时， 那么A =90°，△ABC 的面积=12×3√3×3=9√32．当B =120°时，A =180°−120°−30°=30°．△ABC 的面积=12AC ⋅ABsinA =12×3√3×3×sin30°=9√34．故答案为：9√32或9√34．14.答案：13√3434解析：利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出． 本题考查了平面向量的数量积、向量的投影，属于基础题． 解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)． 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ， 则cosθ=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√34，∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ cosθ=√5√5×√34=13√3434． 故答案为：13√3434． 15.答案：(−∞,−2)∪(−2,12)解析：解：a ⃗ =i −2j ,b ⃗ =i +k j ，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =1−2k >0，解得k <12， 又a ⃗ 、b ⃗ 不共线，∴k ≠−2，∴实数k 的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,12). 故答案为：(−∞,−2)∪(−2,12).根据两向量的夹角为锐角知a ⃗ ⋅b ⃗ >0且a ⃗ 、b ⃗ 不共线，由此求出k 的取值范围． 本题考查了平面向量数量积与夹角的应用问题，是基础题．16.答案：(0,403]解析：本题考查了正弦定理和正弦函数的图象与性质，由正弦定理得c =403sinC ，再由正弦函数的图象与性质即可得出结果．解：∵csinC =asinA =403，∴c =403sinC ，∴0<c ≤403，故答案为(0,403]．17.答案：5√23解析：本题考查了运用正弦定理解三角形，正弦定理得a 13=5sin π4，从而得出a 得值． 解：由正弦定理得a sinA =b sinB ，又b =5,∠B =π4,sinA =13，所以a 13=5sin π4，解得a =5√23． 故答案为5√23．18.答案：6−√3解析：本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．选择AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 作为基底，可得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),运用数量积的定义即可解题． 解：∵ ∠CAD =π2，AD =2，AB =BC =CA =4，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14[16+0+4×4·12+2·4(−√32)]=14×(24−4√3)=6−√3． 故答案为6−√3． 19.答案：解：(1)BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −12a ⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ⃗ ． (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，∵A,C,D 三点共线， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，2e 1⃗⃗⃗ −k e 2⃗⃗⃗ =λ(3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )，∴{3λ=2−2λ=−k 得{λ=23k =43, ∴k =43．解析：本题考查了平面向量的线性运算及向量的共线定理，属于中档题．(1)由BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −12a ⃗ ，由DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ⃗ ； (2)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ 及A,C,D 三点共线可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即2e 1⃗⃗⃗ −k e 2⃗⃗⃗ =λ(3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )，从而可得结果．20.答案：解：(1)∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =√5cos2α+√15sin2α=0，变形可得tan2α=−√33，∵α∈(π2,π)，∴2α∈(π,2π)， ∴2α=11π6，∴α=11π12；(2)∵a ⃗ ⋅b ⃗ =√5cos2α+√15sin2α=2√5cos(2α−π3)=−8√55， ∴cos(2α−π3)=−45，∵α∈(5π12,2π3)，∴2α−π3∈(π2,π)， ∴sin(2α−π3)=√1−cos 2(2α−π3)=35，∴sin2α=sin[(2α−π3)+π3]=12sin(2α−π3)+√32cos(2α−π3)=12×35−√32×45=3−4√310．解析：本题考查三角函数公式，涉及平面向量的数量积，属基础题．21.答案：解：(Ⅰ)向量a⃗=(√3,−1)，b⃗ =(12,√3 2).则：a⃗⋅b⃗ =√3⋅12−√32=0，所以：cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=0，由于：0≤<a⃗,b⃗ >≤π，所以：<a⃗,b⃗ >=π2．(Ⅱ)由于：a⃗=(√3,−1)，b⃗ =(12,√3 2).则：|a⃗|=2,|b⃗ |=1，所以：(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1．(Ⅲ)由于|a⃗|=2,|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =0，所以：|2a⃗+3b⃗ |=√4a⃗2+12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=√16+9=5．解析：本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的模的运算，及向量的夹角公式的应用，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用向量的数量积和夹角公式求出结果．(Ⅱ)利用向量的运算法则计算即可．(Ⅲ)利用向量的模的运算求出结果．22.答案：解：(1)在△ABC中，asinA =bsinB=csinC，且acosC+ccosA+√2bcosB=0，∴sinAcosC+sinCcosA+√2sinBcosB=0，∴sin(A+C)+√2sinBcosB=0，∴sinB⋅(1+√2cosB)=0，又∵sinB≠0，∴cosB=−√22．∵B是三角形的内角，∴B=3π4；(2)在△ABM中，BM=1,AM=√5,B=3π4,AB=c，由余弦定理得AM2=c2+(BM)2−2c·BM·cosB，∴c2+√2c−4=0，∵c>0，∴c=√2．在△ABC中，a=2，c=√2，B=3π4，∴△ABC的面积S=12acsinB=1．解析：本题考查两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．(1)根据正弦定理化简，求出cos B，得出角B；(2)由余弦定理求出c，再利用面积公式求出面积即可．23.答案：解：(1)因为(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，由正弦定理有(a+b)(a−b)=(c−b)c，即有b2+c2−a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，又A为锐角，∴A=π3；(2)由题知，sin(π2+B)−2sin2C2=cosB+cosC−1=cosB+cos(2π3−B)−1=sin(π6+B)−1，又在锐角ΔABC中，有{0<B<π20<C=2π3−B<π2,即π6<B<π2所以π3<B+π6<2π3，所以√32<sin(π6+B)≤1，∴sin(π2+B)−2sin2 C2的取值范围是(√32−1,0]．解析：本题主要考查解三角形以及三角函数的性质，基础题型．(1)由(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，由正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，化为b2+ c2−a2=bc，再利用余弦定理即可解得答案．(2)由(1)及sin(π2+B)−2sin2C2利用A，B表示出C，再利用三角函数求出取值范围即可．。