2014考研数学三真题与答案

2014年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)设lim n→∞a n =a,且a ≠0，则当n 充分大时有(A )|a n |>|a |2(B ) |a n |<|a |2(C ) a n >a −1n(D ) a n <a +1n【答案】A 。

【解析】【方法1】直接法：由lim n→∞a n =a,且a ≠0，则当n 充分大时有|a n |>|a |2【方法2】排除法：若取a n =2+2n ,显然a =2,且(B )和(D )都不正确；取a n =2−2n,显然a =2，且(C )不正确综上所述，本题正确答案是(A )【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是(A )y =x +sin x (B )y =x 2+sin x (C ) y =x +sin 1x(D ) y =x 2+sin 1x【答案】C 。

【解析】 【方法1】由于limx→∞f(x)x=limx→∞x+sin1xx=1=alim x→∞[f(x)−ax]=limx→∞[x+sin1x−x]=limx→∞sin1x=0=b所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x，故应选(C)解法2考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限lim x→∞[x+sin1−x]=limx→∞sin1=0则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线，故应选(C)综上所述，本题正确答案是(C)【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线(3)设p(x)=a+bx+cx2+dx3.当x→0时，若p(x)−tan x是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是(A)a=0 (B)b=1(C)c=0 (D)d=16【答案】D。

【解析】【方法1】当x→0时，tan x−x ~ 13x3知，tan x的泰勒公式为tan x=x+ 13x3+o(x3)又limx→0p(x)−tan xx3=limx→0a+(b−1)x+cx2+(d−13)x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13【方法2】显然，a=0，lim x→0p(x)−tan xx3=limx→0a+bx+cx2+dx3−tan xx3=limx→0b+2cx+3dx2−sec2x3x2由上式可知，b=1,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。

lim x→0p(x)−tan xx3=limx→02cx+3dx2−sec2x3x2=limx→02c3x+d−13故c=0,d=13综上所述，本题正确答案是(D)。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1−x)−f(1)x,则在区间[0,1]上(A)当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)(B)当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)(C)当f′′(x)≥0时，f(x)≥g(x)(D)当f′′(x)≥0时，f(x)≤g(x)【答案】D。

【解析】【方法1】由于f(0)=g(0),f(1)=g(1),则直线y=f(0)(1−x)−f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f′′(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1−x)−f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)【方法2】令F(x)=f(x)−g(x)=f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x,则F′(x)=f′(x)+f(0)−f(1),F′′(x)=f′′(x),当f′′(x)≥0时，F′′(x)≥0。

则曲线F(x)在区间[0,1]上是凹的，又F(0)=F(1)=0，从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0,即f(x)≤g(x)【方法3】令F(x)=f(x)−g(x)=f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x,则F(x)=f(x)[(1−x)+x]−f(0)(1−x)−f(1)x,=(1−x)[f(x)−f(0)]−x[f(1)−f(x)]=x(1−x)f′(ξ)−x(1−x)f′(η)ξ∈(0,x),η∈(x,1)=x(1−x)[f′(ξ)−f′(η)]当f′′(x)≥0时,f′(x)单调增，f′(ξ)≤f′(η)，从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0,即f(x)≤g(x)综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明(5)行列式|0aa0b00b0cc0d00d|=(A)(ad−bc)2 (B)− (ad−bc)2(C)a2d2−b2c2 (D) b2c2−a2d2【答案】B。

【解析】灵活使用拉普拉斯公式|0aa0b00b0cc0d00d|=−|c0a00d0b0c0ad0b0|=|c da b00000000d cb a|=|c da b|∙[d cb a]=− (ad−bc)2综上所述，本题正确答案是(B)【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算(6)设α1,α2,α3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件【答案】A。

【解析】记β1=α1+kα3,β2=α2+lα3，则(β1，β2)=(α1,α2,α3)[10 01k l]若α1,α2,α3线性无关，则(α1,α2,α3)是3阶可逆矩阵，故r(β1，β2)=r[10 01k l]=2,即α1+kα3,α2+lα3线性无关。

反之，设α1,α2线性无关，α3=0，则对于则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关，但α1,α2,α3线性相关，所以α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的必要非充分条件。

综上所述，本题正确答案是(A)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关(7)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5,P(A−B)=0.3,则P(B−A)=(A)0.1(B)0.2(C)0.3 (D)0.4【答案】B。

【解析】A，B独立，则A,B独立，B̅,A也独立,而A−B=AB̅,B−A= BA可用独立性来计算。

P(A−B)=P(AB̅)=P(A)P(B̅)=0.3P(B̅)=1−P(B)=0.5可得P(A)=0.6P(B−A)=P(BA)=P(B)P(A)=0.5×0.4=0.2综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系，概率性质和五大公式(8)设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,σ2)的简单随机样本，则统计量S=12服从的分布为√2|X|(A)F(1,1)(B) F(2,1)(C)t(1)(D)t(2)【答案】C。

【解析】X1−X2~N(0,2σ2)，所以12√2σX3~N(0,σ2),X3σ~N(0,1)，(X3σ)2~χ2(1)X1−X2与X3相互独立，故12√2σ与(X3σ)2也独立。

所以X1−X2√2σ√(3σ)2/1而X1−X2√2σ√(3σ)2/1=12√2|X3|=S综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。

）(9)设某商品的需求函数为Q=40−2p(p为商品的价格)，则该商品的边际收益为。

【答案】20−Q【解析】由题设知收益函数为R=pQ=(40−Q2)Q,则边际收益为dR=20−Q【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用(10)设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域，则D的面积为。

【答案】32−ln2【解析】【方法1】曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域D如下图，则D的面积为yy =2xy +1=0y +x =0xS =∫[2+x ]dx −1−2+∫[2+1x ]dx −12−1=32−ln2【方法2】用二重积分计算面积，即S =∬dxdy D=∫dy ∫dx =−1y−y21∫[−1y +y]dy =2132−ln2【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用(11)设∫xe 2xdx a 0=14,则a =。

【答案】12。

【解析】∫xe 2x dx a0=1∫xde 2x a 0=1xe 2x |0a −1∫e 2x a0dx=(a 2−14)e 2a +14可知(a 2−14)e 2a =0，则a =12【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算(12)二次积分∫dy 10∫(e x2x−e y 2)dx 1y =。

【答案】e−12。

【解析】二次积分的积分区域为D ={(x,y )|0≤y ≤1,y ≤x ≤1}={(x,y )|0≤x ≤1,0≤y ≤x } 交换积分次序得∫dy 10∫(e x 2−e y 2)dx 1y =∫dx ∫(e x2−e y 2)dy x 010=∫(ex 2−∫e y 2dy x 0)dx 10=∫e x 2dx 10−∫(∫e y 2dy)dx x10=∫e x 2dx 10−(x ∫e y 2dy)x 0|01+∫x 1e x 2dx=∫e x 2dx 10−∫e y 2dy 10+12e x 2|01=e −12【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系(13)设二次型f (x 1,x 2,x 3)=x 12−x 22+2ax 1x 3+4x 2x 3的负惯性指数为1，则a 的取值范围是。

【答案】[−2,2] 【解析】 由配方法f (x 1,x 2,x 3)=x 12+2ax 1x 3+a 2x 32−(x 22−4x 2x 3+4x 32)+4x 32−a 2x 32=(x 1+ax 3)2−(x 2−2x 3)2+(4−a 2)x 32负惯性指数为1，故4−a 2≥0，解得a ∈[−2,2] 【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形 (14)设总体X 的概率密度为f (x;θ)={2x3θ2,θ<x <2θ0 , 其他其中θ是未知参数，X 1,X 2,⋯X n 为来自总体X 的简单随机样本，若E(c ∑X i 2n i=1)=θ2,则c =。

【答案】25n【解析】E(c ∑X i 2n i=1)=c ∑EX i 2n i=1=cnEX 2=cn ∫2x 3θ2dx =cn 522θθθ2= θ2, 解得c =25n【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念三、解答题：15~23小题，共94分。