【金识源】高中数学新人教A版必修5教案 2.2 等差数列 等差数列的概念及通项公式课标分析
最新人教A版必修5高中数学 §2.2等差数列(一)教案(精品)
a2 a1 d 即： a 2 a1 d
a3 a 2 d 即： a3 a 2 d a1 2d
a 4 a3 d 即： a 4 a3 d a1 3d
及 …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： a n a1 (n 1)d 方 ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 a1 和公差d，便可求得其通项
1 教师课时教案 学生活动
教
问题与情境及教师活动 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等
学
差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。
过
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前 项减后项来求；
程
⑵．对于数列{ a n },若 a n － a n 1 =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差。
等差数列的概念，等差数列的通项公式。 等差数列的性质
问题与情境及教师活动
教学环节与 活动设计
学
过
程
及
方
法
1
Ⅰ.课题导入 [创设情境] 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种 方法—— 列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映 数列的特点。下面我们看这样一些例子。 课本P36页的4个例子： ①0，5，10，15，20，25，… ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征 ？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常 数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等—— 应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一 个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课
高中数学 2.2等差数列教案 新人教A版必修5
等差数列教学设计教学目标1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题2. 通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.3. 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.教学难点教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用教学难点等差数列的通项公式与递推公式的结合与应用教学过程回顾练习：观察该数列的性质。
【从第二项开始，每一项减去前一项的差都是3】观察与思考下面的几个数列性质并给出结论：（1）38，40，42，44，46，48，50，52，54（2）7500，8000，8500，9000，9500，10000定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。
2，5，7，9，11，13，15，172，2，2，2，2，2，2，2，2探究：数列满足判断此数列是否为等差数列。
等差数列通项公式推倒方法：一、不完全归纳法。
二、迭代法。
三、叠加法例：1.求等差数列8，5，2，…的第20项。
2.- 401是不是等差数列- 5，- 9，- 13，…的项？如果是，是第几项？3.请在12，24中间插入一个数字a，使得12，a, 24成等差数列，则a的值为多少。
等差中项a, A, b成等差数列A叫做a,b的等差中项练习：在等差数列中，已知第5项为10，第12项为31，求第7项。
研究：在等差数列中，第p项为q，第q项为p，求第p+q项对通项公式的进一步探讨：练习：数列的通项公式为研究：三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和为116，求这三个数。
实际应用某露天剧场有30排座位，第一排有28个座位，后面每排比前排多2个座位，最后一排有座位__________个。
高中数学等差数列 教案(新人教A版必修5)
数学：2.2《等差数列》教案（新人教A必修5）（原创）一、设计思想1、教材分析：本节内容是在学生学习了数列的一些基本知识之后，转入对特殊数列----等差数列的学习。
是本章的重点内容之一，并且等差数列在日常生活中有着广泛的应用，也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习无论在知识上还是方法上都具有积极的意义。
2、学情分析：学生已具有一定的分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
3、设计理念：设计本节课时，力求强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。
教学时不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情景，让学生自己去发现、证明。
充分体现学生的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生的创造力。
4、教学指导思想：结合学生的实际情况及本节内容特点，我采用的是“问题教学法”，以探究式教学思想为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出结论，从而使学生获得新知识的同时又提高了能力。
二、教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。
三、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。
四、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
五、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。
高中数学新人教A版必修5教案 2.2 等差数列 等差数列的概念及通项公式学情分析
2.2等差数列的概念及通项公式学情分析
学情分析
学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思
想体会逐渐深刻。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖
一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
同时思维的严密性还有待加强.
效果分析
1．渗透方程思想，落实《课标》理念
方程思想是高中阶段非常重要的思想，也是学生必须要掌握的。
在五个基本量中确定三个通过解方程或方程组一般都可以得到另两个量。
这方面的内容要确实加强，例子很多不再赘述。
与此同时还要关注计算选择的科学性，提高计算能力。
知三求二并不是简单的模仿。
2．强调掌握基本知识，着意培养计算能力
在等差数列公式教学中，一定要将等差数列与一次函数、二次函数、指数函数联系起来，这对学生来说，既能加深对一次函数、指数函数的认识，又能提升对数列性质的认识。
3．淡化技巧，回归自然
在各种资料中都介绍了关于等差数列的很多性质，但一味强记会事倍功半。
真正的技巧来自于对概念及公式的深入理解，只有自然的想法才是最好的方法。
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高中数学 2.2等差数列说课教案 新人教A版必修5(1)
《等差数列》说课稿各位领导、各位专家，你们好！我说课的课题是《等差数列》。
我将从以下五个方面来分析本课题：一、教材分析1.教材的地位和作用：《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容，是学生在学习了数列的有关概念和学习了给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
另一方面,等差数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，有着广泛的实际应用。
2.教学目标：a.在知识上，要求学生理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能简单运用。
b.在能力上，注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会了函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移到研究数列上来，培养学生的知识、方法迁移能力，提高学生分析和解决问题的能力。
c.在情感上，通过对等差数列的研究，让学生体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。
3.教学重、难点：重点：①等差数列的概念。
②等差数列通项公式的推导过程及应用。
难点：①等差数列的通项公式的推导。
②用数学思想解决实际问题。
二、学情分析对于高二的学生，知识经验已经比较丰富，他们的智力发展已经到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。
三、教法、学法分析教法：本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过提问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析并解决问题。
学法：在引导学生分析问题时，留出学生思考的余地，让学生去联想、探索，鼓励学生大胆质疑，围绕等差数列这个中心各抒己见，把需要解决的问题弄清楚。
四、教学过程我把本节课的教学过程分为六个环节：（一）创设情境，提出问题问题情境（通过多媒体给出现实生活中的四个特殊的数列）1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0， 5 ， 10 ， 15 ， 20 ，……①2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：Kg）：48 ，53 ，58 ， 63 ②3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。
新人教A版必修5高中数学学案教案： (2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式)示范教案
2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式从容说课本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪三维目标一、知识与技能1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.二、过程与方法1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.三、情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.教学过程导入新课师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)(1)0，5，10，15，20，25，…;(2)48，53，58，63，…;(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….请你们来写出上述四个数列的第7项.生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.师作差是否有顺序，谁与谁相减？生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.这就是我们这节课要研究的内容.推进新课等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列{a n}，若a n-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差.师定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)生从“第二项起”和“同一个常数”.师很好！师请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？生数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….师好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.［合作探究］等差数列的通项公式师等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么?生a2-a1=d,即a2=a1+d.师对，继续说下去!生a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;……师好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?生由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d.师很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a n了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?生前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,a n-a n-1=d.将它们相加便可以得到：a n=a1+(n-1)d.师太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.［教师精讲］由上述关系还可得：a m =a 1+(m-1)d ,即a 1=a m -(m-1)d .则a n =a 1+(n -1)d =a m -(m-1)d +(n -1)d =a m +(n -m)d ,即等差数列的第二通项公式a n =a m +(n -m)d .(这是变通的通项公式) 由此我们还可以得到n m a a d n m --=. ［例题剖析］【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项; （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？分析（1）师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?生1 这题太简单了!首项和公差分别是a 1=8,d =5-8=2-5=-3.又因为n =20，所以由等差数列的通项公式，得a 20=8+(20-1)×(-3)=-49.师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.分析（2）生2由a 1=-5,d =-9-(-5)=-4得数列通项公式为a n =-5-4(n -1).由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得-401=-5-4(n -1)成立,解之,得n =100，即-401是这个数列的第100项.师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是a n ,a 1,d ,n 组成的方程(独立的量有三个).说明:(1)强调当数列｛a n ｝的项数n 已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式a n ，判断是否存在正整数n ，使得a n =-401成立.【例2】 已知数列{a n }的通项公式a n =p n +q ，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析：师 由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要根据什么?生 只要看差a n -a n -1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数.师 说得对，请你来求解.生 当n ≥2时，〔取数列{a n }中的任意相邻两项a n -1与a n (n ≥2)〕a n -a n -1=(p n +1)-［p(n -1)+q ］=p n +q-(p n -p+q)=p 为常数, 所以我们说{a n }是等差数列，首项a 1=p+q ，公差为p.师 这里要重点说明的是：(1)若p=0，则{a n }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，….(2)若p≠0，则a n 是关于n 的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n ，a n )均在一次函数y=px+q 的图象上，一次项的系数是公差p ，直线在y 轴上的截距为q.(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项a n =p n +q(p 、q 是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项. 解：根据题意可知a 1=3，d =7-3=4.∴该数列的通项公式为a n =3+(n -1)×4，即a n =4n -1(n ≥1，n ∈N *).∴a 4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.评述：关键是求出通项公式.(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.解：根据题意可知a 1=10，d =8-10=-2.所以该数列的通项公式为a n =10+(n -1)×(-2)，即a n =-2n +12，所以a 20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n 值，使得a n 等于这个数.解：根据题意可得a 1=2，d =9-2=7.因而此数列通项公式为a n =2+(n -1)×7=7n -5. 令7n -5=100，解得n =15.所以100是这个数列的第15项.(4)-20是不是等差数列0， 213-，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解：由题意可知a 1=0，213=d ,因而此数列的通项公式为2727+-=n a n . 令202727-=+-n ，解得747=n .因为202727-=+-n 没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.课堂小结师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n -a n -1=d (n ≥2);其次要会推导等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d (n ≥1).师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道a n ，a 1，d ，n 中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式a n =a m +(n -m)d 和a n =p n +q(p 、q 是常数)的理解与应用.布置作业课本第45页习题2.2 A 组第1题，B 组第1题.板书设计等差数列的概念、等差数列的通项公式1.定义2.数学表达式 例1.(略)3.等差数列的通项公式 例2.(略) 练习。
高中数学人教A版必修5教案-2.2_等差数列_教学设计_教案_1
教学准备
1. 教学目标
掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题.
2. 教学重点/难点
掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题.
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
等比数列性质请同学们类比得出.
【方法规律】
1、通项公式与前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题.方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法.
2、判断一个数列是等差数列或等比数列，常用的方法使用定义.特别地，在判
断三个实数
a,b,c成等差（比）数列时，常用（注：若为等比数列，则a,b,c均不为0）
3、在求等差数列前n项和的最大（小）值时，常用函数的思想和方法加以解决.
【示范举例】
例1：（1）设等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则前3n项和
为.
（2）一个等比数列的前三项之和为26，前六项之和为728，则
a1= ,q= .
例2：四数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项之和为21，中间两项之和为18，求此四个数.
例3：项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列
的中间项.。
高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列教学设计 新人教A版必修5
等差数列一、教学目标1、通过实例，理解等差数列的概念；2、探索并掌握等差数列的通项公式；3、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；4、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；5、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．二、教学重难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；等差数列的通项公式、性质及应用难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题三、教学过程（一）思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系，由学生归纳和概括出：以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
注意：⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵对于数列{n a },若 n a －1 n a =d (d 是与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差；(3)若d =0, 则该数列为常数列．提问：（1）你能举一些生活中的等差数列的例子吗？（2）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有 2b a A += 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。
高中数学《2.2等差数列》第1课时教案 新人教A版必修5
高中数学《2.2等差数列》第1课时教案新人教A版必修5课题：2.2.1等差数列（1）主备人：执教者：【学习目标】了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项【学习重点】等差数列的概念，等差数列的通项公式【学习难点】等差数列的性质【授课类型】新授课【教具】多媒体、实物投影仪、电子白板【学习方法】诱思探究法【学习过程】 一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。
下面我们看这样一些例所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{na },若na －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2．等差数列的通项公式：dn a an)1(1-+=【或=n a dm n a m )(-+】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}na 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： da a =-12即：da a +=12d a a =-23即：da d a a 2123+=+=个性设计da a =-34即：da d a a3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n)1(1-+=∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项na 。
由上述关系还可得：dm a a m)1(1-+=即：dm a a m )1(1--=则：=n adn a )1(1-+=dm n a d n d m am m)()1()1(-+=-+--即等差数列的第二通项公式=n a dm n a m )(-+ ∴ d=nm aa nm-- 三、 特例示范例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 例 3 已知数列{na }的通项公式qpn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？注：①若p=0，则{na }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…②若p≠0, 则{a}是关于nn的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{a}为等差数列的充n要条件是其通项a=pn+q (p、q是常n数)，称其为第3通项公式。
高中数学 2.2等差数列教学案 新人教版必修5
一、课前预习： 1、预习目标：①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； ③体会等差数列与一次函数的关系。
2、预习内容： （1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母d 表示。
（2）、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ， 即=A 2 或=A 。
（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。
（4）、等差数列的通项公式：=n a 。
二、课内探究学案例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项 解：由81=a 385-=-=d 20=n 得：49)3()120(820-=-⨯-+=a2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 14401-=-n 成立解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。
例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。
4km 处的车费记为：2.111=a 公差2.1=d 当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a 所以：2.232.1)111(2.1111=⨯-+=a 例3：数列53-=n a n 是等差数列吗？变式练习：已知数列｛na ｝的通项公式qpn a n +=，其中p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ （指定学生求解） 解：取数列｛na ｝中任意两项na 和1-n a )2(≥n[]q n p q pn a a n n +--+=--)1()(1pq p pn q pn =+--+=)(它是一个与n 无关的常数，所以｛na ｝是等差数列？并且：q p a +=1 p d =三、课后练习与提高 在等差数列{}n a 中，已知,10,3,21===n d a 求n a=已知,2,21,31===d a a n 求=n已知,27,1261==a a 求=d已知,8,317=-=a d 求=1a2、已知231,231-=+=b a ，则b a ,的等差中项为（ ）A 3B 2 C31D 213、2000是等差数列4，6，8…的（ ）A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项 4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（ ） A 第13项 B 第14项 C 第15项 D 第16项 5、在等差数列{}n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于（ ）A 10B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为7、等差数列{}n a 中，0,2511>=d a 且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d 的取值范围是 8、在等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，求首项1a 与公差d9、在公差不为零的等差数列{}na中，21,aa为方程0432=+-axax的跟，求{}na的通项公式。
高中数学 (2.2.2 等差数列通项公式)示范教案 新人教A版必修5
2.2.2 等差数列通项公式从容说课本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果.教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教具准备多媒体及课件三维目标一、知识与技能1.明确等差中项的概念;2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.二、过程与方法1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想;2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n-a n-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).师对，我再找同学说一说等差数列{a n}的通项公式的内容是什么？生1 等差数列{a n}的通项公式应是a n=a1+(n-1)d.生2 等差数列{a n}还有两种通项公式：a n=a m+(n-m)d或a n=p n+q(p、q是常数).师好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：①d =a n -a n -1；②11--=n a a d n ；③mn a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差). ［合作探究］探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？师 本题在这里要求的是什么?生 当然是要用a ，b 来表示数A .师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?生 由定义可得A -a =b -A ，即2b a A +=. 反之，若2b a A +=，则A -a =b -A , 由此可以得⇔+=2b a A a ,A ,b 成等差数列.推进新课我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.［方法引导］等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列2A =a +b ，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列. ［合作探究］师 在等差数列{a n }中，d 为公差，若m,n ,p,q∈N *且m+n =p+q ，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？生 我得到了一种关系a m +a n =a p +a q .师 能把你的发现过程说一下吗？生 受等差中项的启发，我发现a 2+a 4=a 1+a 5,a 4+a 6=a 3+a 7.从而可得在一等差数列中，若m+n =p+q ，则a m +a n =a p +a q .师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a 1，则a m +a n =a 1+(m-1)d +a 1+(n -1)d =2a 1+(m+n -2)d ,a p +a q =a 1+(p-1)d +a 1+(q-1)d =2a 1+(p+q-2)d .因为我们有m+n =p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m +a n =a p +a q .师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n }的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n =p+q,则上面两式的右边相等，所以a m +a n =a p +a q .同样地，我们还有：若m+n =2p,则a m +a n =2a p .这也是等差中项的内容.师注意：由a m+a n=a p+a q推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗?生我举常数列就可以说明了.师举得好!这说明在等差数列中，a m+a n=a p+a q是m+n=p+q成立的必要不充分条件. ［例题剖析］【例1】在等差数列{a n}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.生2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了).生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？生4 因为{a n}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,所以可得d=a4-a3=7-2=5.又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.【例2】(课本P44的例2) 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.师为什么？生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.师这个等差数列的首项和公差分别是多少?生分别是11.2，1.2.师好，大家计算一下本题的结果是多少?生需要支付车费23.2元.(教师按课本例题的解答示范格式)评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.课堂练习1.在等差数列{a n}中，(1)若a5=a,a10=b,求a15.解：由等差数列{a n}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.(2)若a3+a8=m,求a5+a6.解：等差数列{a n}中，a5+a6=a3+a8=m.(3)若a5=6,a8=15,求a14.解：由等差数列{a n}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值.解：等差数列{a n}中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……从而(a11+a12+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.2.让学生完成课本P45练习5.教师对学生的完成情况作出小结与评价.［方法引导］此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第45页习题2.2 A组第4、5题.预习内容：课本P48～P52.预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用.板书设计等差数列通项公式等差中项例题在等差数列{a n}中,若m、n、p、q∈N*且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q。
人教A版必修五第二章2.2等差数列教案.doc
教学设计（一）教学目标1.知识与技能：了解公差的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.2.过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程.3•情感态度与价值观：通过等差数列概念及通项公式的归纳概括，培养学生的观察、分析的能力，积极思维，追求新知的创新意识.（二）教学重点和难点重点：等差数列的概念及通项公式的应用.难点：等差数列通项公式的推导.（三）教学方法采用自主探究与合作交流的教学方法，借助多媒体辅助教学，增强课堂活动的生动性，调动学生参与知识形成过程的主动性与积极性.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入课题［问题1］以下儿个数列有什么共同的特点？(1)1, 2, 3, 4, 5 ...........(2)1,0, 1, 2, 3 ..............(3)1, 1, 1, 1, 1 ...........(4)4, 5, 6, 7, 8 .............(5)2, 0,-2,-4,-6 ........... 学生思考，教师通过多媒体举例让学生分析.通过具体数列体会“等差”特征，激发学生的探究欲望，使学生主动学习.概念形成等差数列的定义(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.(2)符号语言：色一色-1 =d(n>2)a n+\~a n=d 引导学纶通过定义写出符号语言.引导学牛主动参与，去发现新知.概念深化回到引例，让学生分析等差数列的特点. 学生思考后回答，教师举反例让学生体会定义中关键词的作用.让学生抓住本节重点.应用举例例1:判断下列数列是否是等差数列？如果是，说出公差是多少•如果不是，说出为什么.(1)1, 3, 5, 7, 9, .............(2)6, 4, 2, 0, -2, ...........(3)1, 2, 4, 6, 8, .............(4)0, 0, 0, 0, 0, .............例2：已知数列｛©｝满足学生自主思考，回答.教师总结方法，用定义判断或证明一个数列是等差数列.学生独立完成，强化对等差数列本质属性的认识.%1=2,兀詠,则这个数列是等差数列吗？概念形成例3：根据规律填空2, 5, 8, 11, 14,(),() ......... 问7。
高中数学 2.2 等差数列教案 新人教A版必修5
等差数列教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
教学重点：教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用。
准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件。
通项公式是研究一个数列的重要工具。
教学难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
学情分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、情景引入：1．观察梯田图片让学生对等差数列有一个直观的认识。
2．由生活中具体的数列实例引入（1）在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，你能预测出下一次的大致时间吗？1682，1758，1834，1910，1986，（）（2）你能根据规律在（）内填上合适的数吗？1，4，7，10，（），16，…2， 0， -2， -4， -6，（）…引导学生观察：以上3个数列有何规律?引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列. （板书课题）二. 新课探究，推导公式1.学生自主归纳等差数列的概念．如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
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数学学习总结资料
数学学习2.2等差数列的概念及通项公式课标分析
课标分析
课标要求：
①通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式.
②能在具体的情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
课标分析：
①本节课重点是等差数列的概念和通项公式的推导与应用.教学中应重视通过具体实例，使学生理解这种模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.
②在数列教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握等差数列中各量之间的基本关系.
本节课中，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、有效的数学问题，成功地激发了学生的学习兴趣．
①“导”：创设有效的教学情境，激发学生的学习兴趣．
这节课中，依据本课的内容和要求，设计高斯、姚明罚篮和梯子宽度三个数列引例，创设的教学情境关注了学生的实际，达到了调动学生学习主动性，激发了学生学习兴趣的目的，促成了课堂教学向学生自主探究学习方式的转化．
②“学”：探究有效的教学过程，挖掘学生的学习潜能．
这节课中，设计了有效的数学问题，引导学生发现等差数列的共同特点，并归纳出等差数列定义．又如，通项公式的学习，教师通过问题引导学生从等差数列的定义出发，运用数学思想方法，导出其通项公式．整堂课，学生情绪高昂，课堂气氛热烈、融洽．
总之，在这节课中，教师能创设有效的教学情境，引导学生多角度思考问题，解决问题．让学生真正成为学习的主人，教师真正成为组织者、引导者和参与者．让整个课堂焕发出生命活力！。