9.26清北班函数的奇偶性单调性
函数的奇偶性与单调性word精品文档13页
函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。
令，得或。
由于在处取得极值，故，即。
（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C.D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C.D.4.若不等式对于一切(0,)成立,则的取值范围是A.0B.–2 C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1 B.0 C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C.D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B.C. D.11.已知函数,若为奇函数,则.12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时,.13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B.C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A 11.a=12. -x-x4 13. B 14. D 15. A 16. B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
高中数学 函数的奇偶性与单调性复习
高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。
根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。
奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。
2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。
3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。
二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。
如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。
2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。
3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。
4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。
三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。
通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。
我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。
高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。
因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。
函数的奇偶性和单调性1-课件
利用单调性研究函数的增 减性
解释如何使用函数的单调性来研 究函数的增减性，以更好地理解 函数的变化趋势和特性。
练习与答案
示例题目及解答
给出一些示例题目，并提供详细的解答和分析，以帮助学生实践和巩固所学的奇偶性和单调 性知识。
讨论函数的极大值点 和极小值点的特性， 以便更好地理解函数 的单调性。
函数单调性的 判定方法
介绍判断函数单调性 的方法和技巧，来帮 助分析和确定函数的 单调性。
奇偶性和单调性的应用
利用奇偶性证明函数对称性
示范如何使用函数的奇偶性来证 明函数是否具有对称性，例如图 像关于y轴的对称性。
利用单调性求函数的极值 点和最值
函数的奇偶性和单调性1PPT课件
通过本课件，我们将深入讨论函数的奇偶性和单调性，并介绍其在数学中的 重要性和应用。准备好迎接数学的奇妙世界吧！
奇偶性
定义奇偶性
介绍什么是奇函数和偶函数，以及如何判断函数的奇偶性。
奇函数和偶函数的图像特征
讲解奇函数和偶函数在坐标平面上的图像特点，以帮助理解和直观理解奇偶性。
告导数和微分的内容，激
忆。
学生能够更好地应用和运
发学生的兴趣和好奇心。
用所学的知识。
练习题目及详细解答
提供一系列练习题目，并附有详细的解答，供学生自我练习并检验自己的掌握程度。
总结
1 本章内容回顾
复习本章所学的奇偶性和
2 解决问题的思路和方
法总结
3 下一章节预告：导数
和微分
单调性的核心概念和要点，
总结解决奇偶性和单调性
引入下一章节的主题，预
函数的奇偶性和单调性-课件
性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义
高考复习-函数的单调性与奇偶性
函数的单调性与奇偶性知识集结知识元函数的单调性与奇偶性知识讲解1．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f （﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．例题精讲函数的单调性与奇偶性例1.下列函数为奇函数且值域为R的是（）A．y=x+B．y=xD．y=ln（x+）C．y=例2.下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x例3.已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则=（）A．2 B．D．C．当堂练习单选题练习1.已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．练习2.已知函数f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1在[-1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．4 B．2 C．1 D．0练习3.已知函数f（x）=，若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1<x2<x3<x4）时，不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则实数k的最小值为（）A．B．2-C．D．-练习4.若函数f（x）=单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）练习5.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式>0的解集是（）A．（-2，0）∪（2，+∝）B．（-∝，-2）∪（0，2）C．（-2，0）∪（0，2）D．（-∝，-2）∪（2，+∝）填空题练习1.已知函数f（x）=那么不等式f（x）≥1的解集为_______________．练习2.函数的单调区间是_________________。
函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题
函数的性质知识要点一、函数的奇偶性1．定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则f(x)是奇函数。
3．简单性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；（2）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇（3）任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 和的形式，则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-== 。
4． 奇偶函数图象的对称性(1)若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；(2)若)(x b f y +=是奇函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：（1） 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数，函数()x x f x a a -=- 是奇函数；（2）函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数；（3）函数1()log 1a x f x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数；（4）函数()log (a f x x = (0a > 且1)a ≠是奇函数。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体地说，一个函数被称为是递增的（或非递减的），如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足f(x1) <= f(x2)；一个函数被称为是递减的（或非递增的），如果对于任意的 x1 和x2（x1 < x2）都满足 f(x1) >= f(x2)；一个函数被称为是严格递增的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) < f(x2)；一个函数被称为是严格递减的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) > f(x2)。
函数的单调性对于函数图像的形状有着重要的影响。
当一个函数递增时，其图像会从左下方向右上方倾斜；当一个函数递减时，其图像会从左上方向右下方倾斜。
严格递增和严格递减是指函数图像不会出现水平的平行线段。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
具体地说，一个函数被称为是奇函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = -f(x)；一个函数被称为是偶函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = f(x)。
此外，如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则被称为是既非奇也非偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, -y) 也在函数图像上；偶函数的图像关于 y 轴对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, y) 也在函数图像上。
既非奇也非偶函数的图像不具备对称性。
3. 函数单调性与奇偶性的关系对于一个函数而言，其单调性与奇偶性有一定的关系。
如果一个函数是奇函数，则它可能是严格递增的或严格递减的；如果一个函数是偶函数，则它可能是递增的或递减的。
但需要注意的是，一个函数的单调性并不决定它的奇偶性，也就是说，递增（或递减）函数可以是奇函数、偶函数或既非奇也非偶函数。
函数的单调性和奇偶性
函数的单调性知识要点1、函数单调性定义：如果对于任意的 x 1、x 2∈（a,b)，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间(a,b)上是增函数（或减函数）,(a,b)叫这个函数的单调递增（或递减）区间，说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性。
2、函数单调性指的是某个区间上的性质，是定义域中的一部分；要说函数是增函数则必须在整个定义域内递增；函数在每个区间上递增也未必是增函数，如正切函数，y = -1/x 等；3、复合函数单调性：同增异减4、判断函数单调性的方法：①定义法，即比较法；②图象法；③复合函数单调性判断法则；6、一些常用的结论：①在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数②函数(0)k y x k x=+>是奇函数，在(,-∞和)+∞上递增；在)⎡⎣和(0上是递减，进而可确定k y ax x =+型函数的的单调区间。
题型归类题型一：判断或证明函数的单调性例1 利用单调性的定义证明函数3()1f x x =-+在（-∞，+∞）上是减函数。
变式训练：讨论函数y =x +a x，（a >0)的单调性。
题型二：利用单调性求参数的值或取值范围例2（2004湖南）若f (x )= -x 2+2ax 与1)(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是题型三：函数单调性的应用例3 已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞。
当1>x 时，,0)(>x f 且).()()(y f x f xy f +=（1） 求)1(f ；（2）证明)(x f 在定义域上是增函数；（3）如果1)31(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围。
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用数学复习：函数的奇偶性与单调性的判定与应用一、引言在数学中，函数是一种重要的概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与单调性是研究函数特性的重要方面。
本文将对函数的奇偶性与单调性的判定方法和应用进行复习和总结。
二、函数的奇偶性的判定与应用1. 奇函数与偶函数的定义奇函数指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。
2. 函数奇偶性的判定方法（1）对于已知函数 f(x)，可根据奇函数和偶函数的定义，通过验证f(-x)与f(x)的关系，来判定函数的奇偶性。
（2）特殊情况下，例如幂函数、正弦函数等具有明显的对称特点的函数，可以直接判断其奇偶性。
3. 奇偶函数的性质（1）奇函数与奇函数相加、相减仍为奇函数。
（2）偶函数与偶函数相加、相减仍为偶函数。
（3）奇函数与偶函数相乘为奇函数。
4. 奇偶函数的应用（1）对称轴：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
根据奇偶函数的性质，可以确定图像的对称轴位置。
（2）函数的简化：奇函数与偶函数的特殊性质，可用于简化复杂的函数表达式。
（3）函数的积分：在某些情况下，奇函数在对称区间上的积分为0，而偶函数在关于y轴对称的区间上的积分具有简化求解的特点。
三、函数的单调性的判定与应用1. 单调递增与单调递减的定义（1）单调递增指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)<=f(x2)，当x1<x2时。
（2）单调递减指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)>=f(x2)，当x1<x2时。
2. 函数单调性的判定方法（1）求导：对于已知函数 f(x)，求其导函数 f'(x)。
若在定义域上f'(x)>=0，则函数在该区间上单调递增；若 f'(x)<=0，则函数在该区间上单调递减。
（2）二阶导数：当一阶导数无法确定函数的单调性时，可求二阶导数，通过二阶导数的正负来判定函数的单调性。
函数的单调性及奇偶性精品讲义
第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数），区间D 为函数y =f (x )的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 （2）函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。
（3）设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在区间M 上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在区间M 上是增函数。
概括起来，即“同增异减II 号” （4）简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合函数的奇偶性、单调性和周期性是函数的重要特征，能够帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
在本文中，我们将探讨函数的奇偶性、单调性和周期性，并采用解析的方式进行说明。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数关于y轴或原点对称的性质。
具体来说，若对于定义域内任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)是偶函数；若对于定义域内任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)是奇函数。
我们以常用的函数为例，来说明函数的奇偶性。
例如，f(x)=x²是一个偶函数，因为对于任意x，有f(-x)=(-x)²=x²=f(x)。
再如，g(x)=x³是一个奇函数，因为对于任意x，有g(-x)=(-x)³=-x³=-g(x)。
当然，还有其他类型的函数，如三角函数和指数函数，它们也具有偶函数和奇函数的性质。
二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体来说，若对于定义域内的任意x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)<f(x₂)，则称函数f(x)是递增函数；若对于定义域内的任意x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)>f(x₂)，则称函数f(x)是递减函数。
我们以常见的函数为例，来说明函数的单调性。
例如，f(x)=x²是一个递增函数，因为当x₁<x₂时，有x₁²<x₂²。
再例如，g(x)=x³是一个递增函数，因为当x₁<x₂时，有x₁³<x₂³。
当然，还有其他类型的函数，如指数函数和对数函数，也可以有递增和递减的性质。
三、函数的周期性函数的周期性是指函数在一定范围内的重复性。
具体来说，如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，其中T称为函数的周期。
函数的单调奇偶及周期性_附答案
三、函数的性质 1．函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．2．函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．例4．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<（2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例5．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2}【思路点拨】先求()f x 的解析式，即338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，然后再去解(2)0f x ->这个不等式。
函数的单调性和奇偶性-PPT
❖ 1.增函数 （1）定义
如果函数y f (x)在数集I上满足：对于任意x1, x2 I , 当x1 x2时，f (x1) f (x2 ),则称y f (x)在数集I上单调増， 也称y f (x)在数集I上是增函数。
如果函数y f (x)在某个区间上是增函数，就称该区间
如果函数y= f(x)的定义域关于原点O对称，并且 对定义域内的任意一个值x,都有f(-x)=-f(x), 我们 就称函数y= f(x) 为奇函数.
（2）图象特点
奇函数图象关于原点O成中心对称
二、函数的奇偶性
❖ 2.偶函数 （1）定义
如果函数y= f(x)的定义域关于原点O对称，并且 对定义域内的任意一个值x,都有f(-x)=f(x), 我们 就称函数y= f(x) 为偶函数.
C.y x2 2
D.y 2x2 -1
）
）
4、函数y 3的单调减区间为 x
（）
A.(,0)
B.[0,)
C.(,0), (0,) D.R
5、函数y (x 2)2的单调增区间为 ————————
6、函数y 3 2x的单调减区间为 ————————
二、函数的奇偶性
❖ 1.奇函数
（1）定义
如果函数y f (x)在某个区间上是减函数，就称该区间
为函数y f (x)的单调减区间。 y
（2）图象特点
自左向右逐渐下降
o
x
一、函数的单调性
❖ 函数单调性的判别方法
1.借助于函数的图像。 2.根据单调性的定义来判定。
基础训练
1、判断函数y=4x-2的单调性．
观察函数图像
结论：一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性
观察函数图像
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性在数学的广袤天地中，函数的单调性与奇偶性是两个极为重要的概念。
它们不仅在数学理论中占据关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。
让我们先来聊聊函数的单调性。
简单来说，单调性描述的是函数值随着自变量的变化而变化的趋势。
如果函数在某个区间内，当自变量增大时，函数值也随之增大，那么我们就说这个函数在该区间是单调递增的；反之，如果自变量增大时，函数值反而减小，那这个函数在这个区间就是单调递减的。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是一个单调递增的函数。
当 x 从 1 增加到 2 时，y 的值就从 3 增加到 5。
再看反比例函数 y ＝ 1/x ，它在x ＞ 0 和 x ＜ 0 这两个区间内分别是单调递减的。
当 x 从 1 增加到 2 时，y 就从 1 减小到 1/2 。
那么，我们怎么判断一个函数的单调性呢？通常有两种方法，一种是通过定义来判断。
就是对于给定区间内的任意两个自变量的值 x1 和x2 ，如果当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2) ，那么函数就在这个区间单调递增；如果 f(x1) ＞ f(x2) ，则函数单调递减。
另一种常用的方法是利用导数来判断。
如果函数的导数在某个区间内大于零，那么函数在这个区间单调递增；如果导数小于零，函数就单调递减。
比如函数 y ＝ x²，它的导数是 y' ＝ 2x 。
当 x ＞ 0 时，导数大于零，所以函数在（0, ＋∞）上单调递增；当 x ＜ 0 时，导数小于零，函数在（∞， 0) 上单调递减。
函数的单调性在解决很多实际问题中非常有用。
比如在经济学中，成本函数的单调性可以帮助企业分析成本随产量的变化趋势，从而做出合理的生产决策。
在物理学中，位移随时间的变化函数的单调性可以反映物体运动的速度变化情况。
接下来，我们再谈谈函数的奇偶性。
奇偶性是函数的一种对称性质。
如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么这个函数就是偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那它就是奇函数。
函数的性质——奇偶性、单调性、周期性
函数的性质——奇偶性、单调性、周期性考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([21)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”.单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式： 设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x .)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x . 性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.性质若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+.有关函数周期性的重要结论（如表所示）()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T Tf a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.（1）3|3|36)(2-+-=x x x f ； （2）11)(22-+-=x x x f ；（3）)1(log )(22++=x x x f ；（4）2|2|)1(log )(22---=x x x f ； （5）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .解析 （1）由3|3|36)(2-+-=x x x f 可知⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒⎩⎨⎧≠-+≥-606603|3|0362x x x x x 且，故函数)(x f 的定义域为}6006|{≤<<<-x x x 或，定义域不关于原点对称，故)(x f 为非奇非偶函数.(2)由110101222±=⇒=⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x x ，故函数)(x f 的定义域为}1,1{-，关于原点对称，故0)(=x f ，所以)()()(x f x f x f -==-，所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函数.(3)因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x x x x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数.(4)由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数.(5)当0<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当0>x 时，)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x 说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足.②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(； （2）24|3|3)(x x x f -+-=；（3）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ； （4）|2||2|)(++-=x x x f .变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性. 分析 利用函数奇偶性的定义进行判断.解析 当0=a 时，2)(x x f =，满足)()(x f x f =-，故)(x f 为偶函数； 当0≠a 时，x a x x f x a x x f -=-+=22)(,)(，假设)()(x f x f =-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时0=a ，与前提矛盾；假设)()(x f x f -=-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时022=x ，即0=x ，与条件定义域},0|{R x x x ∈≠矛盾.综上所述，当0=a 时，)(x f 为偶函数；当0≠a 时，函数)(x f 为非奇非偶函数.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称. ②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与xa 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=a x a y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.变式1：函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（ ）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性. 分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到)(x f 与)(x f -的关系.解析 由函数定义域为R 可知定义域关于原点对称.依题意可令0,0==y x ，得2)]0([2)0(2f f =，因为0)0(≠f ，所以1)0(=f .令0=x ，可得)(2)()(y f y f y f =-+，即)()(y f y f -=，所以)()(x f x f -=，故函数)(x f 为偶函数.评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（ ）A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性.变式4：已知)(x f ，)(x g 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .(1)求证：)(x f 为奇函数；(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.【例2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --，则=+a m 2______________.分析 定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件. 解析 因为)(x f 为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以0832=--m m ，且m m m <--832，解得4=m .由函数)(x f 为偶函数得3x 的系数为0，则01=-a ，即1=a ，故62=+a m .变式1：若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （ ）21.A 32.B 43.C 1.D变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.变式3：若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a _____________.变式4：函数k k k x f xx(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________.变式5：函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________.【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________. 解析 当0>x 时，则44)()()(,0x x x x x f x --=---=-<-，因为)(x f 是偶函数，所以)(x f 4)(x x x f --=-=，故当),0(+∞∈x 时，4)(x x x f --=. 评注 解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.【例2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式. 分析 先设)(x f 能写成一个函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，再利用奇偶函数的定义列方程组，解方程组即得.解析 先假设存在)()()(x h x g x f +=……………①其中)(x g 为奇函数，)(x h 是偶函数，则)()()()()(x h x g x h x g x f +-=-+-=-………②由①+②得，2)()()(x f x f x h -+=，由①-②得，2)()()(x f x f x g --=. 由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数)(x f ，都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.变式1：已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（ ） 2.A 415.B 417.C 2.a D变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（ ）A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数【例 2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（ ）3.A 0.B 1.-C 2.-D分析 函数1sin )(3++=x x x f 中x x y sin 3+=为奇函数，借助奇函数的性质求解.解析 令x x x g sin )(3+=，得1)()(+=x g x f ，依题意得，21)(=+a g ，所以1)(=a g .由)(x g y =为奇函数，故1)()(-=-=-a g a g ，所以01)()(=+-=-a g a f ，故选B.评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(m a x m i n =+x f x f .变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（ ）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2变式2：已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4变式3：设函数1sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M题型17 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.【例2.32】求证：函数)0()(>+=a xa x x f 在),[+∞a 上是增函数. 分析 利用函数单调性的定义来证明.解析 设任意的两个实数),[,21+∞∈a x x 且21x x <，则有)1)()()()(2121212121x x a x x x a x a x x x f x f --=++-=-（.因为),[,21+∞∈a x x ，所以a x x >21，0,012121<->-x x x x a ，)()(0)()(2121x f x f x f x f <⇒<-，故)(x f 在),[+∞a 上是增函数.评注 利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+.（1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.【例 2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（ ）),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D 分析 作出函数的图象，找出递减区间，从而确定a 的取值范围. 解析 由5||42+-=x x y 得，)()(x f x f =-，知)(x f y =为偶函数，其图象关于y 轴对称.只要画出当0≥x 时的图象，然后作出其关于y 轴对称的图形即可得到0<x 部分的图象，如图所示.可知，若),(a -∞为函数)(x f 的减区间，则2-≤a .故选B.变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（ ） ]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D变式2：（优质试题上海理7）已知函数a e x f a x ()(||-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________________.变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （ ）A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数变式4：已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）)1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D题型18 函数的周期性思路提示（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+； （2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ；)(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+；)0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f .。
数学北师大版高中必修1函数的单调性及奇偶性
函数的单调性及奇偶性复习专题一、函数的单调性单调递增：对任意的1212,x x A x x ∈<且都有12()()f x f x <，则()f x 在A 上单调递增。
等价形式：：对任意的1212,x x A x x ∈<且都有1212()[()()]0x x f x f x -->（或者1212()()0()f x f x x x ->-）图像的性质：函数图像随着x 的增大而呈上升的趋势。
单调递减：对任意的1212,x x A x x ∈<且都有12()()f x f x >，则()f x 在A 上单调递减。
等价形式：：对任意的1212,x x A x x ∈<且都有1212()[()()]0x x f x f x --<（或者1212()()0()f x f x x x -<-）图像的性质：函数图像随着x 的增大而呈下降的趋势。
几种特殊函数的单调性(0)y ax b a =+≠(0)ay a x=≠ 2(0)y ax bx c a =++≠ay x x=+0a > R()(),0,0,-∞+∞,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()(),0,0,a a-,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()(),,,a a -∞-+∞0a < R()(),0,0,-∞+∞,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()(),0,0,-∞+∞,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x 与g(x)的定义域都为A 则：()-+()()f xg xf x()g x()()f xg x增增增不能确定增减不能确定增减增不能确定减减减减不能确定函数的奇偶性对于函数()f x其定义域关于原点对称，则：偶函数：()()=-f x f x等价形式：()()0--=f x f x函数图像：关于y轴对称。
奇函数：()()=--f x f x等价形式：()()0+-=f x f x函数图像：关于原点对称。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
石家庄精英中学学生课堂导学提纲（A 部清北、重点）
编号：SXTG-必修--018
使用日期： 2017-9-26
周二
编制：马建培
高一数学
第 3 页 (共 1 页)
（1）求函数 f x 的解析式；
ax b 1 2 是定义在 1,1 上的奇函数，且 f 2 1 x 2 5
（2）若 f x 在 1,1 上是增函数பைடு நூலகம்解不等式： f t 1 f t 0
二、探究未知 通过以上知识与典例的分析，在下面写下你的疑惑和收获： (1)_____________________________________________________________________ (2)_____________________________________________________________________ (3)____________________________________________________________________ 高一数学 第 1 页 (共 1 页)
石家庄精英中学学生课堂导学提纲（A 部清北、重点）
编号：SXTG-必修--018
使用日期： 2017-9-26
周二
编制：马建培
函数性质综合应用
班级：_________ 姓名：___________小组：__________ 【学习目标】 1．能求出函数的定义域，并能准确求解函数的值域和最值； 2．能利用函数的单调性和奇偶性的定义，证明函数的单调性和奇偶性，总结判断函数奇偶 性的方法； 3．正确画出分段函数的图像，结合图像判断函数的单调性和奇偶性； 4．能正确将实际问题进行数学建模，注意定义域的限制． 【重点难点】 重点：①熟记函数单调性、奇偶性和最值的符号表示； ②利用定义证明函数的单调性和奇偶性 难点：分段函数作图、识图、用图以及实际问题的数学建模思想． 【导学流程】 一、基础感知 结合函数单调性，思考以下问题： 1．已知函数 f x 是偶函数，且在 0， 上是减函数，证明： f x 在 ,0 上是增函数 解析：证明：任取 x1 , x2 ,0且x1 x2 ，则 x1 __ x2 __ 0 ， 则 f x1 f x2 __________ __ 又因为 f x 为偶函数，所以 f x1 ____， f x2 ____， 又因为 f x 在0, 上是减函数，所以 f x1 f x2 ___0 ， 所以 f x1 ___ f x2 , 所以f x1 ___ f x2 ， 因此， f x 在 ,0上是增函数. 2．已知函数 f x