2002年高考试题——数学(江苏)及答案[1]
2002年普通高等学校招生全国统一考试(数学)理含答案
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
2002 年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3 至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
互相垂直 点 新疆 王新敞
奎屯
M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM = BN = a
C
（0 a 2）
D
（1）求 MN 的长；
P
M
（2） a 为何值时， MN 的长最小；
Q
（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角 的
B
E
大小 新疆 王新敞 奎屯
2
4
当 a 1 ，则函数 f (x) 在 (−, a] 上单调递减，从而函数 f (x) 在 (−, a] 上的最小值为 2
f (a) = a2 +1．
若 a 1 ，则函数 f (x) 在 (−, a]上的最小值为 f (1) = 3 + a ，且 f (1) f (a) ．
2
24
2
（ii）当 x a 时，函数 f (x) = x2 + x − a +1 = (x + 1)2 − a + 3
2002年全国卷高考理科数学精彩试题及问题详解
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2002年全国卷高考理科数学试题与答案
2002 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 II 卷 (非选择题 ) 两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷 3至 9页．共 150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60 分 )一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第 I 卷 (选择题 ) 和第 II卷 (非选择题 )两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷3 至 9页．共 150 分．考试时间 120 分钟．（1）圆 ( x 1) 2y 21 的圆心到直线 y3x 的距离是3（A ）1（ B ） 3（C ）1（D ） 322（2）复数 (13 i )3 的值是22（A ） i（ B ） i （C ） 1（D ）1（3）不等式 (1 x)(1 | x |) 0 的解集是（A ） { x | 0 x 1}（ B ） { x | x 0 且 x 1}（C ） { x | 1 x 1}（ D ） { x | x 1且 x1}（4）在 (0,2 ) 内，使 sin x cosx 成立的 x 的取值范围是（A ）( ,2)( ,5)（B ） (, ) （C ） ( ,5)（D ）(,)(5,3) 4444 444 2（5）设集合 M { x | xk 1, k Z}，N{ x | xk 1,kZ} ，则2442（A ）MN（B ）MN（C ）MN（D ）MN（6）点 P(1,0) x t 2 R ）上的点的最短距离为到曲线（其中参数 ty2t（A ）0（B ） 1（C ） 2（D ）2（ 7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）3（B ）4（C ）3（D ）34555（8）正六棱柱ABCDEF A 1 B 1C 1 D 1E 1 F 1 的底面边长为 1，侧棱长为2 ，则这个棱柱侧面对角线 E 1 D 与 BC 1 所成的角是（A ） 90（B ） 60（C ） 45（D ） 30（9）函数 y x 2bx c （[0, ) ）是单调函数的充要条件是（A ） b 0（ B ） b 0（ C ） b（ D ） b 0（10）函数 y11的图象是x 1yyyy1111-1O1O1x-1OxOxx(A)(B)(C)(D)（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12 种（C ）16 种 （D ）20 种（12）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 ：“ 2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十 ?五”期间（ 2001 年－ 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十 ?五”末我国国内年生产总值约为 （A ） 115000 亿元 （ B ） 120000 亿元 （ C ） 127000 亿元（ D ） 135000 亿元第 II 卷(非选择题共 90 分 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．（13 ）函数 y a x在 [0,1] 上的最大值与最小值这和为3，则 a ＝（14 ）椭圆 5x 2ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k（15 ） ( x21)( x 2) 7 展开式中 x 3 的系数是（16 ）已知 f ( x)x 2，那么 f (1) f (2) f ( 1)f (3) f (1)f (4)f ( 1) ＝1 x 2234三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17 ）已知 sin 22sin 2 coscos 21，(0, ) ，求 sin、 tg的值2（18 ）如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 点M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM BN aC（ 0a 2 ）（1）求 MN 的长；DP（2） a 为何值时， MN 的长最小；MBQ（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角的E大小N（19）设点 P 到点 ( 1,0) 、 (1,0) 距离之差为 2m ，到 x 、 y 轴的A F距离之比为 2，求 m 的取值范围（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设 a 为实数，函数 f (x)x 2| x a | 1 ， xR（1）讨论 f (x) 的奇偶性；（2）求 f ( x) 的最小值（22）设数列 {a n } 满足： aa2na1 ， n 1,2,3,n 1 nn（I ）当 a 1 2 时，求 a 2 , a 3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式；（II ）当 a 1 3 时，证明对所的 n 1 ，有（i ） a nn 2（ii ）11 11 11 a 11 a2 1 a 31 a n2参考答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCBBCBABBC二、填空题 （13） 2（14）1（15） 1008（16）72三、解答题（17）解：由 sin 2 2sin 2 coscos2 1，得 4 sin 2 cos 2 2sin cos 22cos 22 cos 2 (2 sin 2 sin 1) 02 cos 2 (2 sin1)(sin1)∵(0, )2∴ sin 1 0 ， cos 2∴ 2sin10 ，即 sin1 2∴6∴ tg33（18）解（ I ）作 MP ∥ AB 交BC 于点 P ，NQ ∥ AB 交BE 于点 Q ，连结 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP NQ ，即 MNQP 是平行四边形∴ MN PQ由已知 CM BN a ， CB ABBE1∴ ACBF2 ， CP BQ2 a2MNPQ(1 CP)2 BQ 2 (1a )2 (a)222(a2 ) 2 1 ( 0 a2)2 2（II ）由（ I ）MN(a 2 )2122所以，当 a22时， MN22即当M、N分别为 AC、 BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为2 2（III ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵ AM AN,BM BN，G为MN的中点∴ AG MN,BG MN ，即AGB即为二面角的平面角又AG BG 6，所以，由余弦定理有4( 6 )2(6 )21cos441663244故所求二面角为arccos13（19）解：设点P的坐标为( x, y)，依题设得| y |2 ，即 y 2 x ，x 0| x |因此，点 P( x, y) 、 M (1,0) 、 N (1,0) 三点不共线，得||PM ||PN || |MN |2∵||PM ||PN|| 2 | m | 0∴0 | m | 1因此，点 P 在以 M 、N为焦点，实轴长为 2 | m |的双曲线上，故x2y21m21m2将 y2x 代入x2y 21，并解得m 2 1 m22m 2 (2 )2x1 m，因 1 m1 5m2所以 1 5 m 2解得 0 | m |55即 m 的取值范围为 (5,0)(0, 5 )55（20）解：设 2001 年末汽车保有量为 b 1 万辆， 以后各年末汽车保有量依次为 b 2 万辆， b 3 万辆，⋯，每年新增汽车x 万辆，则b 1 30 ， b 2 b 1 0.94 x对于 n 1 ，有bn 1b n 0.94 xb n 1 0.942 (1 0.94)x所以 b n1b10.94 n x (1 0.94 0.942b 1 0.94 n 1 0.94 n x0.06 x(30x ) 0.94 n0.060.06当 30x 0 ，即 x 1.8 时0.06b n 1bnb 130当 30x0 ，即 x1.8时0.06x数列 { b n } 逐项增加，可以任意靠近0.06xxlim b nlim [ (30) 0.94n 1]nn0.060.0660 万辆，即因此，如果要求汽车保有量不超过0.94 n )x0.06b n 60 （ n 1,2,3, ）则 x60 ，即 x 3.6 万辆0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆（21）解：（ I ）当 a0 时，函数 f ( x) ( x) 2 | x | 1f ( x)此时， f (x) 为偶函数当 a 0 时， f (a)a 2 1， f ( a)a 22 | a |1，f (a) f ( a) ， f (a)f ( a)此时 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当 x a 时， f ( x) x 2x a 1 ( x1 )2 a 3124当 af (x) 在 (, a] 上单调递减，从而函数f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为，则函数2f ( a) a 21．若 a1 ，则函数 f (x) 在 ( , a] 上的最小值为f (1)22（ii ）当 xa 时，函数 f ( x) x 2 x a 1( x 1 )223 a ，且 f ( 1) f ( a) ． 4 23a4若 a1 ，则函数 f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为 f (1 )3 a ，且 f ( 1) f (a)2 2 4 2若 a1 ，则函数 f (x) 在 [ a,) 上单调递增，从而函数f (x) 在 [ a,) 上的最小值为2f ( a) a 21．综上，当 a1时，函数 f (x) 的最小值为 3a2 411 当a时，函数 f ( x) 的最小值为 a 2 121 2 3当 a 的最小值为a ．时，函数 f ( x)42（22）解（ I ）由 a 12 ，得 a2a 2a1 1 31由 a 2 3 ，得 a 3 a 2 22a 2 1 4 由 a 34 ，得 a 423a 3 1 5a 3由此猜想 a n 的一个通项公式： a nn1 （ n 1）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当 n1时， a 1 3 1 2 ，不等式成立．②假设当 nk 时不等式成立，即 a kk2 ，那么a k 1 a k (a kk) 1 (k 2)( k 2 k ) 1 2k 5 k 3 ． 也就是说，当 n k 1时， a k 1 (k 1) 2据①和②，对于所有n 1，有 a nn 2 ．（ii ）由 a n 1 a n ( a n n) 1及（ i ），对 k 2 ，有a kak 1(ak 1k 1) 1a k 1 (k 1 2 k 1) 1 2a k 1 1⋯⋯ak2k 1 a2k 22 1 2k 1( a 1) 111于是11 1 ， k 21 a k 1 a 1 2k 1n11 1n1 1 n1 2 2 1k 11 a k1 a 11 a 1 k2 2 k 1 1 a 1 k 1 2k 11 a 11 3 2。
2002年高考数学试题(江苏卷)及答案
A 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数xxx f cos 2sin )(=的最小正周期是（ ）。
A.2πB. πC. π2D. π4 （2）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ）。
A.21B. 23C. 1D. 3（3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A. }10|{<≤x xB. }10|{-≠<x x x 且C. }11|{<<-x xD. }11|{-≠<x x x 且 （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A. )45,()2,4(ππππ⋃B. ),4(ππC. )45,4(ππD. )23,45(),4(ππππ⋃（5）设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）A. N M =B. N M ⊂C. N M ⊃D. φ=N M（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。
A.43 B. 54 C. 53 D. 53- （7）函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B. a+b=0C. a=bD. 022=+b a （8）已知10<<<<a y x ，则有（ ）。
A. 0)(log <xy aB. 1)(log 0<<xy aC. 2)(log 1<<xy aD.2)(log >xy a（9）函数111--=x yA. 在（+∞-,1）内单调递增B. 在（+∞-,1）内单调递减C. 在（+∞,1）内单调递增D. 在（+∞,1）内单调递减（10） 极坐标方程θρcos =与1cos =θρ（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2 A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“五十⋅”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“五十⋅”末，我国国内生产总值约为（ ）。
2002高考数学全国卷及答案理2002高考数学全国卷及答案理
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围聘进来的员工化学教案有两个星期的无薪试用期化学教案如果在这两个星期内的表现没有令老板满意化学教案（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；ADE（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形14.∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ） 21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--m y m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2002年高考理科数学试题及答案
2002年高考理科数学试题及答案2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线3y x =的距离是（A ）21 （B ）23（C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1（3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 （A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππY （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππY（5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M I（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53（D ）53-（8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数cbx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是（A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b（10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知12cos cos 2sin 2sin2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF上移动，若a BN CM ==（20<<a ） （1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ （21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x xx f ，R x ∈ADE（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{na 满足：121+-=+n n n na a a，Λ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测na 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n an（ii ）2111111111321≤++++++++n a a a aΛ参考答案 一、选择题二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题 （17）解：由12cos cos 2sin 2sin2=-+αααα，得cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈ ∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα= ∴33=αtg（18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α 又46==BG AG ，所以，由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α故所求二面角为31arccos -=πα （19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得 2||||||||=<-MN PN PM ∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(m m m x --=，因012>-m所以0512>-m解得55||0<<m即m 的取值范围为)55,0()0,55(Y -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，xb b+⨯=94.012对于1>n ，有Λ)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b+++++⨯=+Λxb nn06.094.0194.01-+⨯=nx x 94.0)06.030(06.0⨯-+=当006.030≥-x ，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n Λ当006.030<-x ，即8.1>x 时 数列}{nb 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （Λ,3,2,1=n ）则6006.0≤x ，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数 当0≠a 时，1)(2+=aa f ，1||2)(2++=-a aa f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数 （II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x xx f当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=aa f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为af -=-43)21(，且)()21(a f f ≤- 若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=aa f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43． （22）解（I ）由21=a，得311212=+-=a a a由32=a ，得4122223=+-=a a a由43=a，得5133234=+-=a a a由此猜想na 的一个通项公式：1+=n a n（1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ． 也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2nan ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a an n n 及（i ），对2≥k ，有 1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k Λ于是11211111-⋅+≤+k ka a，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2002年高考数学试题(江苏卷)及答案
2002年高考数学试题(江苏卷)及答案2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数xxx f cos 2sin )(=的最小正周期是（ ）。
A. 2π B. π C. π2 D.π4 （2）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ）。
A. 21 B. 23 C. 1 D.3（3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A. }10|{<≤x xB. }10|{-≠<x x x 且C. }11|{<<-x xD. }11|{-≠<x x x 且（4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A. )45,()2,4(ππππ⋃B. ),4(ππC. )45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ⋃（5）设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ） A. N M = B. N M ⊂ C. N M ⊃ D. φ=N M I（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。
A. 43B. 54C. 53D. 53- （7）函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B. a+b=0C. a=bD. 022=+b a（8）已知10<<<<a y x ，则有（ ）。
A. 0)(log <xy aB. 1)(log 0<<xy aC. 2)(log 1<<xy aD.2)(log >xy aO21 x O21xO21 x O21xA （9）函数111--=x y A. 在（+∞-,1）内单调递增 B. 在（+∞-,1）内单调递减C. 在（+∞,1）内单调递增D. 在（+∞,1）内单调递减（10） 极坐标方程θρcos =与21cos =θρ的图形是（ ）。
[2002年][高考真题][江苏卷][综合][答案]
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江苏、河南卷 综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分300分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共180分）一、本大题共30道选择题，每题6分，共180分。
每题有一个最符合题目要求的答案。
图1表示某树木年轮截面的一部分，标号①、②、③分别表示5年时间段的年轮。
该树生长地区7月气温最低，但仍高于0℃。
回答l ～3题。
图1 图21．植物生长与气候变化密切相关，在气温变化较稳定的前提下，图2中表示①、②、③三 个时间段逐年降水量的图依次是A ．甲、乙、丙B ．丙、乙、甲C ．乙、甲、丙D ．丙、甲、乙2．该树生长地点可能在A ．30°S ，118°EB ．23.5°N ，130°EC ．44°S ，173°ED ．30°N ，118°E3．该树生长地区所属自然带可能为 A ．亚寒带针叶林带 B ．亚热带常绿硬叶林带C ．热带雨林带D ．温带草原带 近年来，我国房地产业发展迅速，越来越多的居民乔迁新居，居住条件和环境显著改善。
请读图3，运用以下公式及相关知识回答4～7题。
①某地正午太阳高度的大小：||90δϕ-︒-=H甲乙丙式中 H为正午太阳高度；ϕ中为当地纬度，取正值；δ为太阳直射点的纬度，当地夏半年取正值，冬半年取负值。
②tan35°≈0.7 tan45°＝l tan60°≈1.7324．房地产开发商在某城市（北纬30度）建造了两幢商品住宅楼（图3），某户居民买到了北楼一层的一套房子，于春节前住进后发现正午前后太阳光线被南楼挡住。
请问，该房子一年中正午太阳光线被南楼挡住的时间大约是A．l个月B．3个月C．6个月D．9个月5．该住户据此认定自己享受中午阳光的权益受到损害，向房地产开发商提出了交涉。
经协商，房地产开发商给予一定的资金补偿。
在此案例中，该住户的主张是基于A．索偿权B．自主选择权C．知情权D．安全权6．为避免这种纠纷，房地产开发商在建楼时，应该使北楼所有朝南房屋在正午时终年都能被太阳照射。
精编2002年高考真题江苏卷综合答案资料
江苏、河南卷综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分300分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共180分）一、本大题共30道选择题，每题6分，共180分。
每题有一个最符合题目要求的答案。
图1表示某树木年轮截面的一部分，标号①、②、③分别表示5年时间段的年轮。
该树生长地区7月气温最低，但仍高于0℃。
回答l ～3题。
图1 图21．植物生长与气候变化密切相关，在气温变化较稳定的前提下，图2中表示①、②、③三 个时间段逐年降水量的图依次是A ．甲、乙、丙B ．丙、乙、甲C ．乙、甲、丙D ．丙、甲、乙2．该树生长地点可能在A ．30°S ，118°EB ．23.5°N ，130°EC ．44°S ，173°ED ．30°N ，118°E3．该树生长地区所属自然带可能为 A ．亚寒带针叶林带 B ．亚热带常绿硬叶林带C ．热带雨林带D ．温带草原带 近年来，我国房地产业发展迅速，越来越多的居民乔迁新居，居住条件和环境显著改善。
请读图3，运用以下公式及相关知识回答4～7题。
①某地正午太阳高度的大小：||90δϕ-︒-=H甲乙丙式中 H为正午太阳高度；中为当地纬度，取正值；为太阳直射点的纬度，当地夏半年取正值，冬半年取负值。
②tan35°≈0.7 tan45°＝l tan60°≈1.7324．房地产开发商在某城市（北纬30度）建造了两幢商品住宅楼（图3），某户居民买到了北楼一层的一套房子，于春节前住进后发现正午前后太阳光线被南楼挡住。
请问，该房子一年中正午太阳光线被南楼挡住的时间大约是A．l个月B．3个月C．6个月D．9个月5．该住户据此认定自己享受中午阳光的权益受到损害，向房地产开发商提出了交涉。
经协商，房地产开发商给予一定的资金补偿。
在此案例中，该住户的主张是基于A．索偿权B．自主选择权C．知情权D．安全权6．为避免这种纠纷，房地产开发商在建楼时，应该使北楼所有朝南房屋在正午时终年都能被太阳照射。
2002年高考.广东、河南、江苏卷数学试题及解答
24
42
A.M＝N
B.MN
C.NM
D.M∩N＝φ
B
6.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角
的余弦值是(2002 年广东、江苏、河南(6)5 分)
3
4
3
3
A.
B.
C.
D.－
4
5
5
5
C
7.函数 f(x)＝x|x＋a|＋b 是奇函数的充要条件是(2002 年广东、江苏、河南(7)5 分)
A.ab＝0
B.a＋b＝0
C.a＝b
D.a2＋b2＝0
D
8.已知 0＜x＜y＜a＜1，则有(2002 年广东、江苏、河南(8)5 分)
A.loga(xy)＜0 D
B.0＜loga(xy)＜1
C.1＜loga(xy)＜2 D.loga(xy)＞2
1 9.函数 y＝1－ (2002 年广东、江苏、河南(9)5 分)
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2002 年全国普通高等学校招生考试（广东、江苏、河南卷）
数学试题 及解答
一、选择题(每小题 5 分，12 个小题共计 60 分)
sin2x 1.函数 f(x)＝ 的最小正周期为(2002 年广东、江苏、河南(1)5 分)
1＋x2
2
3
4
2
江苏、河南(16)4 分)
三、解答题(6 各小题共计 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.已知复数 z＝1＋i，求实数 a,b 使得 az＋2b－z ＝(a＋2z)2.(2002 年广东、江苏、河南(17)12 分)
2002年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2002年高考试题——数学(江苏)及答案[1]
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A 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数xxx f cos 2sin )(=的最小正周期是（ ）。
A.2πB. πC. π2D. π4 （2）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ）。
A.21 B. 23 C. 1 D. 3 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A. }10|{<≤x xB. }10|{-≠<x x x 且C. }11|{<<-x xD. }11|{-≠<x x x 且 （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A. )45,()2,4(ππππ⋃ B. ),4(ππ C. )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ⋃ （5）设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）A. N M =B. N M ⊂C. N M ⊃D. φ=N M（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。
A.43 B. 54 C. 53 D. 53- （7）函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B. a+b=0C. a=bD. 022=+b a （8）已知10<<<<a y x ，则有（ ）。
A. 0)(log <xy aB. 1)(log 0<<xy aC. 2)(log 1<<xy aD.2)(log >xy a （9）函数111--=x y A. 在（+∞-,1）内单调递增 B. 在（+∞-,1）内单调递减 C. 在（+∞,1）内单调递增 D. 在（+∞,1）内单调递减（10） 极坐标方程θρcos =与1cos =θρ（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2 A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“五十⋅”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“五十⋅”末，我国国内生产总值约为（ ）。
2002年全国卷高考理科数学试题与答案
2002 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 II 卷 (非选择题 ) 两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷 3至 9页．共 150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60 分 )一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第 I 卷 (选择题 ) 和第 II卷 (非选择题 )两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷3 至 9页．共 150 分．考试时间 120 分钟．（1）圆 ( x 1) 2y 21 的圆心到直线 y3x 的距离是3（A ）1（ B ） 3（C ）1（D ） 322（2）复数 (13 i )3 的值是22（A ） i（ B ） i （C ） 1（D ）1（3）不等式 (1 x)(1 | x |) 0 的解集是（A ） { x | 0 x 1}（ B ） { x | x 0 且 x 1}（C ） { x | 1 x 1}（ D ） { x | x 1且 x1}（4）在 (0,2 ) 内，使 sin x cosx 成立的 x 的取值范围是（A ）( ,2)( ,5)（B ） (, ) （C ） ( ,5)（D ）(,)(5,3) 4444 444 2（5）设集合 M { x | xk 1, k Z}，N{ x | xk 1,kZ} ，则2442（A ）MN（B ）MN（C ）MN（D ）MN（6）点 P(1,0) x t 2 R ）上的点的最短距离为到曲线（其中参数 ty2t（A ）0（B ） 1（C ） 2（D ）2（ 7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）3（B ）4（C ）3（D ）34555（8）正六棱柱ABCDEF A 1 B 1C 1 D 1E 1 F 1 的底面边长为 1，侧棱长为2 ，则这个棱柱侧面对角线 E 1 D 与 BC 1 所成的角是（A ） 90（B ） 60（C ） 45（D ） 30（9）函数 y x 2bx c （[0, ) ）是单调函数的充要条件是（A ） b 0（ B ） b 0（ C ） b（ D ） b 0（10）函数 y11的图象是x 1yyyy1111-1O1O1x-1OxOxx(A)(B)(C)(D)（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12 种（C ）16 种 （D ）20 种（12）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 ：“ 2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十 ?五”期间（ 2001 年－ 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十 ?五”末我国国内年生产总值约为 （A ） 115000 亿元 （ B ） 120000 亿元 （ C ） 127000 亿元（ D ） 135000 亿元第 II 卷(非选择题共 90 分 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．（13 ）函数 y a x在 [0,1] 上的最大值与最小值这和为3，则 a ＝（14 ）椭圆 5x 2ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k（15 ） ( x21)( x 2) 7 展开式中 x 3 的系数是（16 ）已知 f ( x)x 2，那么 f (1) f (2) f ( 1)f (3) f (1)f (4)f ( 1) ＝1 x 2234三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17 ）已知 sin 22sin 2 coscos 21，(0, ) ，求 sin、 tg的值2（18 ）如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 点M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM BN aC（ 0a 2 ）（1）求 MN 的长；DP（2） a 为何值时， MN 的长最小；MBQ（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角的E大小N（19）设点 P 到点 ( 1,0) 、 (1,0) 距离之差为 2m ，到 x 、 y 轴的A F距离之比为 2，求 m 的取值范围（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设 a 为实数，函数 f (x)x 2| x a | 1 ， xR（1）讨论 f (x) 的奇偶性；（2）求 f ( x) 的最小值（22）设数列 {a n } 满足： aa2na1 ， n 1,2,3,n 1 nn（I ）当 a 1 2 时，求 a 2 , a 3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式；（II ）当 a 1 3 时，证明对所的 n 1 ，有（i ） a nn 2（ii ）11 11 11 a 11 a2 1 a 31 a n2参考答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCBBCBABBC二、填空题 （13） 2（14）1（15） 1008（16）72三、解答题（17）解：由 sin 2 2sin 2 coscos2 1，得 4 sin 2 cos 2 2sin cos 22cos 22 cos 2 (2 sin 2 sin 1) 02 cos 2 (2 sin1)(sin1)∵(0, )2∴ sin 1 0 ， cos 2∴ 2sin10 ，即 sin1 2∴6∴ tg33（18）解（ I ）作 MP ∥ AB 交BC 于点 P ，NQ ∥ AB 交BE 于点 Q ，连结 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP NQ ，即 MNQP 是平行四边形∴ MN PQ由已知 CM BN a ， CB ABBE1∴ ACBF2 ， CP BQ2 a2MNPQ(1 CP)2 BQ 2 (1a )2 (a)222(a2 ) 2 1 ( 0 a2)2 2（II ）由（ I ）MN(a 2 )2122所以，当 a22时， MN22即当M、N分别为 AC、 BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为2 2（III ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵ AM AN,BM BN，G为MN的中点∴ AG MN,BG MN ，即AGB即为二面角的平面角又AG BG 6，所以，由余弦定理有4( 6 )2(6 )21cos441663244故所求二面角为arccos13（19）解：设点P的坐标为( x, y)，依题设得| y |2 ，即 y 2 x ，x 0| x |因此，点 P( x, y) 、 M (1,0) 、 N (1,0) 三点不共线，得||PM ||PN || |MN |2∵||PM ||PN|| 2 | m | 0∴0 | m | 1因此，点 P 在以 M 、N为焦点，实轴长为 2 | m |的双曲线上，故x2y21m21m2将 y2x 代入x2y 21，并解得m 2 1 m22m 2 (2 )2x1 m，因 1 m1 5m2所以 1 5 m 2解得 0 | m |55即 m 的取值范围为 (5,0)(0, 5 )55（20）解：设 2001 年末汽车保有量为 b 1 万辆， 以后各年末汽车保有量依次为 b 2 万辆， b 3 万辆，⋯，每年新增汽车x 万辆，则b 1 30 ， b 2 b 1 0.94 x对于 n 1 ，有bn 1b n 0.94 xb n 1 0.942 (1 0.94)x所以 b n1b10.94 n x (1 0.94 0.942b 1 0.94 n 1 0.94 n x0.06 x(30x ) 0.94 n0.060.06当 30x 0 ，即 x 1.8 时0.06b n 1bnb 130当 30x0 ，即 x1.8时0.06x数列 { b n } 逐项增加，可以任意靠近0.06xxlim b nlim [ (30) 0.94n 1]nn0.060.0660 万辆，即因此，如果要求汽车保有量不超过0.94 n )x0.06b n 60 （ n 1,2,3, ）则 x60 ，即 x 3.6 万辆0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆（21）解：（ I ）当 a0 时，函数 f ( x) ( x) 2 | x | 1f ( x)此时， f (x) 为偶函数当 a 0 时， f (a)a 2 1， f ( a)a 22 | a |1，f (a) f ( a) ， f (a)f ( a)此时 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当 x a 时， f ( x) x 2x a 1 ( x1 )2 a 3124当 af (x) 在 (, a] 上单调递减，从而函数f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为，则函数2f ( a) a 21．若 a1 ，则函数 f (x) 在 ( , a] 上的最小值为f (1)22（ii ）当 xa 时，函数 f ( x) x 2 x a 1( x 1 )223 a ，且 f ( 1) f ( a) ． 4 23a4若 a1 ，则函数 f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为 f (1 )3 a ，且 f ( 1) f (a)2 2 4 2若 a1 ，则函数 f (x) 在 [ a,) 上单调递增，从而函数f (x) 在 [ a,) 上的最小值为2f ( a) a 21．综上，当 a1时，函数 f (x) 的最小值为 3a2 411 当a时，函数 f ( x) 的最小值为 a 2 121 2 3当 a 的最小值为a ．时，函数 f ( x)42（22）解（ I ）由 a 12 ，得 a2a 2a1 1 31由 a 2 3 ，得 a 3 a 2 22a 2 1 4 由 a 34 ，得 a 423a 3 1 5a 3由此猜想 a n 的一个通项公式： a nn1 （ n 1）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当 n1时， a 1 3 1 2 ，不等式成立．②假设当 nk 时不等式成立，即 a kk2 ，那么a k 1 a k (a kk) 1 (k 2)( k 2 k ) 1 2k 5 k 3 ． 也就是说，当 n k 1时， a k 1 (k 1) 2据①和②，对于所有n 1，有 a nn 2 ．（ii ）由 a n 1 a n ( a n n) 1及（ i ），对 k 2 ，有a kak 1(ak 1k 1) 1a k 1 (k 1 2 k 1) 1 2a k 1 1⋯⋯ak2k 1 a2k 22 1 2k 1( a 1) 111于是11 1 ， k 21 a k 1 a 1 2k 1n11 1n1 1 n1 2 2 1k 11 a k1 a 11 a 1 k2 2 k 1 1 a 1 k 1 2k 11 a 11 3 2。
2002年高考.全国卷.理科数学试题及答案
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（17）已知 sin 2 2 sin 2 cos cos 2 1， (0, ) ，求 sin 、 tg 的值 2
（18）如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直 点
M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM BN a
（III）取 MN 的中点 G ，连结 AG 、 BG ， ∵ AM AN , BM BN ， G 为 MN 的中点
∴ AG MN , BG MN ，即 AGB 即为二面角的平面角
又 AG BG
6
，所以，由余弦定理有
4
cos
(
6 )2 4
(
6 )2 4
1 1
2 6 6
3
44
故所求二面角为 arccos 1 3
也就是说，当 n k 1时， ak1 (k 1) 2
据①和②，对于所有 n 1，有 an n 2 ．
（ii）由 an1 an (an n) 1及（i），对 k 2 ，有
ak ak1 (ak1 k 1) 1
ak1 (k 1 2 k 1) 1 2ak1 1
（6）点
P(1,0)
到曲线
x
t2
（其中参数 t
R
）上的点的最短距离为
y 2t
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（A）0
（B）1
（C） 2
（D）2
（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个
圆锥轴截面顶角的余弦值是
（A） 3 4
（B） 4 5
（C） 3 5
（D） 3 5
（19）解：设点 P 的坐标为 (x, y) ，依题设得 | y | 2 ，即 y 2x ， x 0 ) 、 N (1,0) 三点不共线，得
2002年高考数学试题
2002年全国高考数学试题（文史类）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为（A ）1,1-（B ）2,2-（C ）1（D ）1-（2）复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（A ）i -（B ）i （C ）1-（D ）1（3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）{}10|<≤x x （B ）{}10|-≠<x x x 且（C ）{}11|<<-x x （D ）{}11|-≠<x x x 且（4）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则=a（A ）21（B ）2（C ）4（D ）41 （5）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛45,2,4ππππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4ππ（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4ππππ （6）设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214|，则 （A ）N M =（B ）N M ⊂（C ）N M ⊃（D ）φ=N M（7）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（A ）1-（B ）1（C ）5（D ）5-（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥截面顶角的余弦值是（A ）43（B ）54（C ）53（D ）53- （9）已知10<<<<a y x ，则有（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a（10）函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是（A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0<b （D ）0>b（11）设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围为 （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0（B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,22（D ）),2(+∞ （12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12种（C ）16种（D ）20种二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2002年全国卷高考理科数学试题及答案
2002年全国卷高考理科数学试题及答案D（D ）1（3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 （A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ（5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53（D ）53-（8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数cbx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是（A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b（10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16xyO11(A)xyO11(B)xyO -11(C)xyO-11(D)种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ （21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{na 满足：121+-=+n n n na a a， ,3,2,1=nABCDEFPQMN（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测na 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n an（ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a参考答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D C B B C B A B B C 二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题 （17）解：由12cos cos 2sin 2sin2=-+αααα，得cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈ ∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα= ∴33=αtg（18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α 又46==BG AG ，所以，由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α故所求二面角为31arccos -=πα （19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得 2||||||||=<-MN PN PM ∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(m m m x --=，因012>-m所以0512>-m解得55||0<<m即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，xb b+⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b+++++⨯=+xb nn06.094.0194.01-+⨯=nx x 94.0)06.030(06.0⨯-+=当006.030≥-x ，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x ，即8.1>x 时 数列}{nb 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x ，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数 当0≠a 时，1)(2+=aa f ，1||2)(2++=-a aa f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数 （II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x xx f当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=aa f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为af -=-43)21(，且)()21(a f f ≤- 若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=aa f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43． （22）解（I ）由21=a，得311212=+-=a a a由32=a ，得4122223=+-=a a a由43=a，得5133234=+-=a a a由此猜想na 的一个通项公式：1+=n a n（1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ． 也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2nan ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a an n n 及（i ），对2≥k ，有 1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k ka a，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
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A 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数xxx f cos 2sin )(=的最小正周期是（ ）。
A.2πB. πC. π2D. π4 （2）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ）。
A.21 B. 23 C. 1 D. 3 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A. }10|{<≤x xB. }10|{-≠<x x x 且C. }11|{<<-x xD. }11|{-≠<x x x 且 （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A. )45,()2,4(ππππ⋃ B. ),4(ππ C. )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ⋃ （5）设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）A. N M =B. N M ⊂C. N M ⊃D. φ=N M（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。
A.43 B. 54 C. 53 D. 53- （7）函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B. a+b=0C. a=bD. 022=+b a （8）已知10<<<<a y x ，则有（ ）。
A. 0)(log <xy aB. 1)(log 0<<xy aC. 2)(log 1<<xy aD.2)(log >xy a （9）函数111--=x y A. 在（+∞-,1）内单调递增 B. 在（+∞-,1）内单调递减 C. 在（+∞,1）内单调递增 D. 在（+∞,1）内单调递减（10） 极坐标方程θρcos =与1cos =θρ（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2 A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“五十⋅”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“五十⋅”末，我国国内生产总值约为（ ）。
A. 115 000 亿元B. 120 000亿元C. 127 000亿元 Ｄ. 135 000亿元第II 卷（非选择题共90分）二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
图1 图2 图3（13）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k= 。
（14）72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。
（15）已知)),2((2cos sin ππααα∈=，则=αtg 。
（16）已知函数,1)(22x x x f +=那么)21()2()1(f f f ++)41()4()31()3(f f f f ++++= 。
三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）已知复数i z +=1，求实数a,b 使2)2(2z a z b az +=+ （18）（本小题满分12分）设}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，34234211,,1a b b b a a b a ==+==，分别求出}{n a 及}{n b 的前10项的和10S 及10T 。
（19）（本小题满分 12分）四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD （I ）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；（II ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90。
（20）（本小题满分12分）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点。
（I ）求直线AB 的方程。
（II ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ （21）（本小题满分12分，附加题满分4分）（I ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明。
（II ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。
（III ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分。
） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。
（22）（本小题满分14分） 已知0>a ，函数2)(bx ax x f -=（I ）当b>0时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f ，证明b a 2≤（II ）当b>1时，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； （III ）当10≤<b 时，讨论：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件。
P2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。
（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）C （7）D （8）D （9）C （10）B （11）B （12）C二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分16 分。
（13）1 （14）1 008 （15）33-（16）27三. 解答题（17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。
满分12分。
解：因为i z +=12222(2)(2)(2)(2)44(2)(4)4(2)a zb z a b a b i a z a a i a a a i ∴+=++-+=+-++=+++ 因为b a ,都是实数，所以由2)2(2z a z b az +=+得⎩⎨⎧+=-+=+)2(42422a b a a a b a 两式相加，整理得0862=++a a解得：4,221-=-=a a 对应得2,121=-=b b 所以，所求实数为2-=a ，1-=b 或2,4=-=b a（18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，以及运算能力和推理能力。
满分12分。
解：因为}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列。
2342342,2b b b a a a ==+∴ 已知342342,a b b b a a ==+ 23333,2b a a b ==∴ 得：2332b b = 因为03≠b 41,2133==∴a b 由41,131==a a 知}{n a 的公差为83-=d 855291010110-=⨯+=∴d a S 由21,131==b b 知}{n b 的公比为2222-==q q 或 当22=q 时，)22(32311)1(10110+=--=q q b T当22-=q 时，)22(32311)1(10110-=--=q q b T（19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。
（I ）解：因为⊥PB 面ABCD 。
所以BA 是PA 在面ABCD 上的射影 又AB DA ⊥， 所以DA PA ⊥∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角∴60=∠PAB 而PB 是四棱锥ABCD P -的高，PB=AB a tg 360=⨯3233331a a a V =⨯⨯=∴锥 （II ）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形。
作DP AE ⊥，垂足为E ，连结EC ，则CDE ADE ∆≅∆ 90,=∠=∴CED CE AE故CEA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则AC EO ⊥ a AD AE OA a =<<=∴22在三角形AEC 中，EC AE OA EC AE AEC ⨯⨯-+=∠2)2(cos 2220)2)(2(2<-+=AEOA AE OA AE 所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90度。
（20）本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题的能力。
满分12分。
解：（I ）依题意，可设直线AB 的方程为2)1(+-=x k y代入1222=-y x ，整理得02)2()2(2)2(222=------k x k k x k （1） 记),(11y x A ，),(22y x B ，则21,x x 是方程(1)的两个不同的根所以022≠-k ，且2212)2(2k k k x x --=+ 由N （1，2）是AB 的中点得：211)(21=+x x 22)2(k k k -=-∴解得k=1，所以直线AB 的方程为1+=x y（II ）将k=1代入方程(1)得0322=--x x 解出3,121=-=x x由1+=x y 得4,021==y y 即A 、B 的坐标分别为（-1，0）和（3，4） 由CD 垂直平分AB ，得直线CD 的方程为2)1(+--=x y 即x y -=3 代入双曲线方程，整理得：01162=-+x x （2）记),(33y x C ，D ),(44y x ，以及CD 的中点为M （00,y x ） 则43,x x 是方程（2）的两个根，所以11,64343-=-=+x x x x 从而3)(21430-=+=x x x ，6300=-=x y||))C D =104]4)[(243243=-+=x x x x102||21||||===∴CD MD MC又||||MB MA ==== 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆。