正态分布
正态分布
2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).
这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)
P{X
x}
P
X
x
P
X
1 2
5
1
2
2
0.9772
P{0
X
1.6}
P
0
1 2
X 1 2
1.6 1
2
0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05
0.12}
P
0.12 0.06
X
10.05 0.06
0.12
0.06
2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2
正态分布通俗讲解
正态分布通俗讲解
正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是一种二维概率分布。
它的特点是以均值为中心，形成对称的钟形曲线。
你可以把正态分布看作是在一条直线上不同位置的尺子的测量结果的集合。
在正态分布中，大部分的值都集中在均值附近，而离均值越远的值出现的概率越小。
这就是为什么我们经常听到“68-95-99.7
规则”，这是指在一个标准正态分布中，大约68%的值会落在
均值的正负一个标准差范围内，约95%的值会落在正负两个
标准差范围内，约99.7%的值会落在正负三个标准差范围内。
正态分布可以用来描述许多自然界和社会现象，比如身高、体重、智力等。
它在统计学中有重要的应用，可以用来研究样本的分布情况、进行推断和预测。
正态分布的方程是一个具有钟形曲线的函数，它的形式是一个指数函数的幂次方，其中幂次方的指数是一个负数。
方程的形式虽然复杂，但我们可以通过计算机软件或统计表格轻松地计算和绘制正态分布曲线。
总之，正态分布是一种常见的概率分布，它描述了许多自然界和社会现象的分布情况。
理解正态分布有助于我们分析数据、做出推断和预测，对于统计学和实际应用都非常重要。
正态分布概念
图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
f (X)
1
1( X )2
e2
2
(-＜X＜ )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝σ
解析：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
2.于是概率密度函数的解析式为 f(x)＝2 1πe－x－4202，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
正态分布 (Normal distribution)
正态分布
概述
正态分布是描述连续型变量值分布 的曲线，医学上许多资料近似服从正态 分布。
正态分布在统计推断上有重要的作用。 直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
频数（f）
25 20 15 10
5 0
2.30～ 2.90～ 3.50～ 4.10～ 4.70～ 5.30～
(5)最值性:当 x=μ时, f, ( x)取得最大值
1
2
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越
分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体
的分布越集中．
(6) 几 何 性 : 参 数 μ 和 σ
y
的统计意义:E(x)=μ,曲
线的位置由μ决定
;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状
由σ决定.
正态分布
三． 特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。 特别地 N（0，1）称为标准正态分布 （z分布、u分布）
四．正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1，标准正态分布下1.96~1.96部分的面积为0.95 （可以通过积分 求得）。也就是说|u|>1.96的面积为0.05，对 任意的x，-x~x区间面积为多少呢？统计学家 已将此编制成了正态分布界值表，不过表中 的面积是指p(u<x), 也记作φ（x）。
3． 正态分布是许多统计方法的理论 基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、 Poisson分布的极限分布也是正态分布。
4．估计频数分布
例 出生体重低于2500克为低体重儿。若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为 3200克，标准差为350克，估计该地当 年低体重儿所占的比例。2． 源自计医学正常值范围x u s
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数 为10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张 压的95%双侧正常值范围。 ±1.96s =10.1±1.96×0.93 即 8.28~11.92 kPa 95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知95%健 康者的测定值在此范围之内，并非告知 凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在 此范围之外皆不健康，所以不可将之作 为诊断标准。
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正 态分布，某指标x~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95
正态分布完整ppt课件
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布
65 66.72 u1 0.8269 2.08 70 66.72 u2 1.5769 2.08
S
X
在65-70cm 的比例为29.67%+44.29%=73.96
标准正态变量（u）=－0.8269 表示从u=－∞到u=－0.8269范围内的X 比例为20.33%。 （u）=1.5769 可表示u=∞到u=1.5769范围内比例为 0.0571。
e
u2 2
du
u
X
U=－1.96，表示从－到－1.96区间曲线 下的面积为2.57%。 U=－1，表示从－到－1区间曲线下的面 积为15.87%。
例：某地经大量调查得男童坐高 X 66.72cm ，S=2.08cm，估计总 体中坐高在65-70cm的人群比例。
解：将X1=65和X2=70转换为u值，查表
Normal Distribution
µ ý ¨ © Æ Ê £ f£
30 20 10 0
14161820222426283032-
正 态 分 布
statistics statistics statistics
¡ ¦ ¨ © ¼ Á £ kg£
（2）
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 12.0 14.5 17.0 19.5 22.0 24.5 27.0 29.5 32.0
1.曲线下ab区间面积的含义
1）表示X值在ab区间占全部例数（X）的百分 比或表示X值在ab区间出现的概率（P）。 2）X在曲线下整个面积分布为100%
或X值在曲线范围内出现的概率为1。
2.估计曲线下面积的方法
正态分布及原理
7
3σ原理
若质量特性值X服从正态分布,那么,在 ±3σ 范 围内包含了99.73% 的质量特性值。
正态分布中心与规格中心重合时u±3σ u±6σ的
不合格率(未考虑偏移) 规格区域
0.001ppm 1350ppm
1350ppm 0.001ppm
±3σ ±6σ
8
3σ原理推理过程
pL P( X u 3 ) (3) 1 (3) 1 0.99865
解:经标准化变换后可得
P(8<x<14)=
(14 10) (8 10) (2) (1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
P(1.7<x<2.6)=( 2.06.3
2)
(1.7 2
2)
(2)
(1)
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
主要用于具有计件值特征的质量特性值 分布规律的研究.
泊松分布 （计点值）
P( X k) ke , k 0,1,2,...,
k!
主要用于计点值特征的质量特性值分布 规律的研究
14
二项分布的平均值和标准差
平均值x np
标准差 npq
其中：n 样本大小 p 总体的不合格率 q 总体的合格率
1>若x~ N(10, 22),通过标准化变换u=
x 10
2 ~N(0,1)
2>若x~ N(2, 0.32),通过标准化变换u=
x 2 ~N(0,1)
0.3
5
不合格品率的计算(实例1)
1>设 x~ N(10, 22) 和 x~ N(2, 0.32), 概率
什么是正态分布
什么是正态分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
定理
由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
将一般正态分布转化成标准正态分布。
若
服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。
故该变换被称为标准化变换。
（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X （当前值）范围内的面积比例。
）。
正态分布
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1Βιβλιοθήκη 若 固定,随值的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积 的随概着率越 大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概率越越小大, 落。在区间 ( a, a]
正态分布（Normaldistribution）也称“常态分布”，又名高斯分布
正态分布（Normaldistribution）也称“常态分布”，⼜名⾼斯分布常⽤希腊字母符号：
正态分布公式
曲线可以表⽰为：称x服从正态分布，记为 X~N(m,s2)，其中µ为均值，s为标zhuan准差，X∈（-∞，+ ∞ )。
其中根号2侧部分可以看成密度函数的积分为1，你就可以看成为了凑出来1特意设置的⼀个框架⽆实际意义。
标准正态分布另正态分布的µ为0，s为1。
判断⼀组数是否符合正态分布主要看 P值是否⼤于0.05。
1、∫
不定积分
不定积分的定义为：若函数f(x)在某区间 I 上存在⼀个原函数F(x)，则称F(x)+C（C为任意常数）为f(x)在该区间上的不定积分，记为
2、∮
闭合曲⾯积分
3、∝
⽆穷⼩
4、∞
⽆穷⼤
5、∨
集合符号，并
6、∧
集合符号，交
7、∑
求和符号，连加
8、∏
求积符号，连乘
9、∪
逻辑符号，并
10、≌
全等
11、∈
集合符号，属于
12、∵
因为
13、∴
所以
14、∽
相似
15、√
开⽅。
统计学中的正态分布
统计学中的正态分布正态分布，又被称为高斯分布或钟形曲线，是统计学中应用广泛的一种概率分布。
它在自然界的许多现象中都能被观察到，对于理解数据分布和进行推断具有重要意义。
本文将介绍正态分布的定义、性质以及在统计学中的应用。
一、正态分布的定义与性质正态分布的数学定义如下：若随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ^2)，其中μ为均值，σ^2为方差，并且X的取值范围为负无穷到正无穷。
正态分布曲线呈钟形，中心对称，其形状由μ和σ^2决定。
正态分布的性质有以下几点：1. 对称性：正态分布曲线以均值μ为对称轴，左右两侧的面积相等。
2. 峰度：正态分布曲线在均值μ处有一个峰值，峰度取决于方差σ^2的大小。
当σ^2较小时，峰度较高；当σ^2较大时，峰度较低。
3. 标准正态分布：当μ=0，σ^2=1时，称为标准正态分布。
标准正态分布的概率密度函数可以表示为φ(x)，在统计推断中经常使用。
二、正态分布的应用正态分布在统计学中应用广泛，主要包括以下几个方面：1. 参数估计：在许多实际问题中，我们需要对总体的均值和方差进行估计。
基于正态分布的性质，可以使用最大似然估计或贝叶斯估计等方法进行参数估计。
2. 假设检验：假设检验是统计推断的一种重要方法，正态分布在假设检验中扮演着关键角色。
通过计算样本均值与总体均值的差异，以及样本方差与总体方差的比较，可以进行关于总体参数的假设检验。
3. 区间估计：在估计总体参数时，除了点估计外，还可以进行区间估计。
在正态分布下，可以使用置信区间估计总体均值或总体方差，并对估计结果进行解释和判断。
4. 统计建模：正态分布是许多统计模型的基础假设。
如线性回归模型、方差分析模型等，这些模型都基于正态分布假设，并利用正态分布的性质进行参数估计与推断。
5. 数据分析与预测：正态分布在数据分析与预测中也有广泛应用。
例如，通过分析数据的分布情况，我们可以判断数据是否符合正态分布，进而选择合适的统计方法和模型进行分析与预测。
正态分布公式
正态分布公式
正态分布标准化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。
标准正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
正态分布的定义
标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。
标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。
统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。
正态分布
μ= - 2
μ=0
μ=2
σ=1时，μ变化时曲线变化的情况
正态分布的两个参数对曲线的影响
σ=1
σ =1.5 σ =2
μ= 0 μ=0时，σ变化时曲线变化的情况
正态概率密度曲线下的面积
正态曲线下面积分布规律
正态概率密度曲线下面积分布规律
(μ－1.96σ, μ＋1.96σ) 占曲线下总面积的95% 即在该区间内包含95%的观察值； 此区间观察值出现的概率为95％
异常 正常 单侧下限
例如：肺活量
正常 异常 单侧上限
例如：血铅含量
异常
正常
异常
双侧下限 双侧上限
例如：白细胞计数
如何选定适当的百分界限？
制定医学参考值范围的方法 ➢ 正态分布法 ➢ 百分位数法
正态分布法
适用: 指标服从正态分布或近似正态分布 公式：
双侧95%参考值范围：X 1.96S 单侧95%参考值范围： X 1.64S (上限)
某市120名9岁男孩肺活量(L)的频数分布
n=1000, 组距细分
n→∞
1. 正态分布的概念
正态分布曲线呈对称分布，在均数处最高， 两侧不断降低，逐渐与横轴接近，但不会和 横轴相交的钟形曲线
若指标或变量 X 的频率(或频率密度)曲线逼 近数学上的正态分布曲线，则称该指标服从 正态分布。
2. 正态分布的特征
正态分布与参考值范围
正态分布的概念和特征(normal distribution) 标准正态分布 (standard normal distribution) 正态分布的应用(参考值范围)
一、正态分布概念和特征
频率(%)
25
某
产
20
品
正态分布及其计算
正态分布的方差
总结词
方差是衡量数据离散程度或波动范围的统计量。
详细描述
方差是衡量数据离散程度或波动范围的统计量，用于描述数据分布的宽度或分散 情况。在正态分布中，方差的大小决定了分布的宽度，即数据点离期望值的平均 距离。方差越大，数据分布越分散；方差越小，数据分布越集中。
正态分布的偏度与峰度
总结词
偏度描述数据分布的不对称性，峰度描述数据分布的尖锐程度。
详细描述
偏度是描述数据分布不对称性的统计量，用于衡量数据分布偏向某一方向的程度。正态分布的偏度接近0， 表示分布相对对称。峰度是描述数据分布尖锐程度的统计量，用于衡量数据分布曲线的峰部特征。正态分 布的峰度接近3，表示分布相对平坦。
03
CHAPTER
1 2 3
遗传学研究
正态分布用于描述基因频率和遗传特征的分布情 况，分析遗传变异和遗传疾病的风险。
临床试验
在临床试验中，正态分布用于描述患者生理指标 和治疗效果的分布情况，评估药物的有效性和安 全性。
生态学研究
在生态学研究中，正态分布用于描述物种数量和 种群密度的分布情况，分析生态系统的稳定性和 变化趋势。
正态分布及其计算
目录
CONTENTS
• 正态分布的简介 • 正态分布的计算 • 正态分布的性质 • 正态分布的假设检验 • 正态分布在实际中的应用
01
CHAPTER
正态分布的简介
正态分布的定义
正态分布是一种概率分布，描述了许 多自然现象的概率规律。在正态分布 中，数据点的概率密度函数呈现钟形 曲线，且曲线关于均值对称。
布规律。
02
CHAPTER
正态分布的计算
正态分布的期望值
总结词
统计分布的正态分布
统计分布的正态分布正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一。
它的特点是以均值为中心对称，呈钟形曲线。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，它可以帮助我们理解和解释一系列现象。
本文将介绍正态分布的特点、应用、统计推断以及一些实例。
正态分布的特点正态分布的曲线呈钟形，左右对称，其形状由均值和标准差决定。
均值决定曲线的中心位置，标准差决定曲线的宽度。
一般而言，正态分布的均值为0，标准差为1，这样的分布称为标准正态分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/(σ√2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示某个特定值x的概率密度，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布的曲线图通常被称为钟形曲线或高斯曲线。
正态分布的应用正态分布在现实生活中广泛应用，特别是在统计学和自然科学领域。
下面列举一些常见的应用场景：1. 身体特征：身高、体重等身体特征往往呈现正态分布。
大多数人的身高集中在平均身高附近，极端身高的人较少。
2. 考试成绩：在大规模考试中，考试分数往往呈现正态分布。
绝大多数学生的成绩集中在平均分附近，优秀和较差的学生属于少数。
3. 生产质量控制：正态分布可以指导生产质量控制。
通过收集产品的测量数据，可以分析产品的特征是否符合正态分布，进而评估生产过程的稳定性和准确性。
4. 自然现象：许多自然现象也可以用正态分布来描述，例如天气预测中的温度分布、地震中的震级分布等。
正态分布的统计推断正态分布在统计推断中扮演着重要角色。
根据中心极限定理，当我们从总体中抽取多个样本时，样本均值的分布将会逐渐接近正态分布。
这个特性使得正态分布成为统计推断中一些重要方法的基础。
1. 参数估计：对于一个未知总体的均值或标准差，我们可以通过采集样本数据来估计总体参数。
通过计算样本均值和样本标准差，可以利用正态分布的性质得到总体参数的估计值。
正态分布
正态分布
正态分布也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率分布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占有重要地位的一种理论分布。
自然界、人类社会、心理与教育中大量现象均按正态形式分布。
例如能力的高低，学生成绩的好坏，人们的社会态度，行为表现以及身高、体重等身体状态。
正态分布是由阿伯拉罕·德莫弗尔(Abraham de Moivre)1733年发现的。
其他几位学者如拉普拉斯(Marquis de Laplace)、高斯 (Carl Friedrich Gauss)对正态分布的研究也做出了贡献，故有时称正态分布为高斯分布。
一、正态分布的特征
(一)正态分布的函数(又称密度函数)为
(5—2)
式中π是圆周率3．14159…
e是自然对数的底2．71828…
x为随机变量取值一∞<x<∞
μ为理论的（x）平均数
σ2为理论的方差, σ为标准偏差
y为概率密度即正态分布上的纵坐标。
依上面的公式，当x＝μ时，上式可写作当σ＝1时＝0．3989 在中央点的y最高，即y的最大值为0．3989。
正态分布的名词解释
正态分布的名词解释
正态分布是一种在统计学中广泛使用的分布,具有许多重要的性质。
它是一种连续型分布,其概率密度函数具有两个均值和两个标准差。
在概率论和统计学中,正态分布被广泛应用于模拟和分析随机现象。
正态分布的密度函数可以写成这样:
f(x;μ,σ2)
其中,x是正态分布的随机变量,μ是均值,σ2是标准差。
在实际应用中,通常使用符号f表示概率密度函数,x表示正态分布的随机变量,μ表示均值,σ2表示标准差。
正态分布具有以下重要性质:
1. 正态分布具有对称性:概率密度函数在均值两侧相等。
2. 正态分布具有钟形曲线形状:概率密度函数的形状类似于钟形曲线,从左到右逐渐下降,从下到上逐渐上升。
3. 正态分布具有分布性质:概率密度函数在任意区间内的取值都符合正态分布的性质。
4. 正态分布的模拟和推断:可以使用正态分布来模拟随机现象,并通过概率分布和统计量来计算随机变量的平均值和标准差。
除了正态分布本身,还有许多与它相关的工具和技术,例如正态分布的参数估计、假设检验、方差分析等。
在实际应用中,我们通常需要使用多个工具和技术来进行分析、建模和预测。
正态分布是一种重要的随机现象,在概率论和统计学中具有广泛的应用。
了解正态分布的性质、使用方法和相关的技术支持,可以帮助我们更好地理解和分
析随机现象。
正态分布值
正态分布值
正态分布（或称为高斯分布）是统计学中常见的概率分布，在自然、社会和工程领域中都有广泛的应用。
正态分布的概率密度函数为：
f(x|μ,σ) = 1 σ 2π√ e− x−μ2 2σ2 f (x | μ, σ) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2其中，μ是均值，σ是标准差。
一般情况下，我们使用标准正态分布，即均值μ=0，标准差σ=1的正态分布。
以下是一些常见的正态分布的取值：
1. 在标准正态分布中，当x=-1时，正态分布的取值为0.24197。
2. 在标准正态分布中，当x=0时，正态分布的取值为0.39894。
3. 在标准正态分布中，当x=1时，正态分布的取值为0.24197。
需要注意的是，正态分布是一个连续分布，其取值可以从负无穷到正无穷的所有实数。
因此，正态分布的值取决于具体的均值和标准差，其取值不仅仅局限于上述列举的几个数值。
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x
当-x<0时 ( x ) P ( X x )
P( X x) 1 P( X x)
1 ( x ) (0 x 4.99)
当x 5时, ( x ) 1;当x 5时, ( x ) 0
P ( a X b) ( b) ( a)
或
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 个单位，向上伸长(或压缩)
1
图形。
个单位，即可得一般正态分布概率密度的
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 ( x )
,
既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到 最大值: 1 f ( ) 2
2
X
~N(0,1)
根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布，然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为：
( x ), 0 ( y ) 分布函数分别为： ( x ), 0 ( y )
P ( X a ) P (Y a
a
0 (
a
)
)
a X b a Y b
a Y b a b Y
P (a X b) P (
a
Y
b
)
)
0 (
P ( X h) 0.01
h 168 2.33 h 184cm 7
例6 某凶杀案中有A、B两个嫌疑人，从各 自住处到凶杀现场所需时间X（分钟） 均服从 正态分布。A所用时间服从 N (50,102 )，B所用 2 时间服从 N (60,4 )。如果仅有65分钟可用， 问谁的作案嫌疑较大？
即及格人数占全体考生的84.13%，及格 的有100人，故全体考生人数为
100 n 0.8413
(1)不及格人数在全体考生中所占比例为 1-84.13%=15.87%,则不及格人数为:
100 19人 15.87% n 15.87% 0.8413
(2)前20名考生所占比例为
20 0.8413 0.16826 16.8% 20 n 100
P(|X| 2)=2 0(2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 0(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N ( , )时， P (| Y | ) 0.6826 P (| Y | 2 ) 0.9544
b
) 0 (
a
例2 若X ~ N ( 3,4), 求P ( X 2), P ( X 3),
P ( X 3 2).
X 3 解： X ~ N ( 3,4) Y ~ N (0,1)
2 3 ) P ( X 2) 0 ( 2 0 (0.5)
由标准正态分布图像的对称性得：
P ( X 2.35) 1 (2.35)
1 0.9906 0.0094
P ( 1 X 2) ( 2) ( 1)
( 2) [1 (1)]
0.9773 1 0.8413
0.8186
P ( X 5.5) 1 P ( X 5.5)
y t
x
( 0
1
x
t
)dt
0 ( y )dy
x
0 (
x
2
)
X
即设X ~ N ( , ) ,则 Y
~N(0,1)
因此有：
若 X ~ N ( , ), Y
2
X
X Y
~N(0,1)
X a Y a Y
2
1 0 (0.5)
1 0.6915 0.3085
P ( X 3 ) P ( 3 X 3 )
33 33 0 ( ) 0 ( ) 2 2
0 (0) 0 (3) 0 (0) [1 0 (3)]
0.5 1 0.998650 0.49865
( x)
其图像是关于y轴 对称的钟罩形曲线， （如右所示）
特点是“两头小，中间大，关于y 轴对称”.
书末附有标准正态分布函数数值表（见 附表三）。 t2
( x ) P ( X x )
(0 x 4.99)
1 2
x
e
2
dt
表中给的是x >0时, Φ(x)的值. 当-x<0时
P ( X 3 2) P (1 X 5) 5 3 1 3 0 ( ) 0 ( ) 2 2 0 (1) 0 (1)
2 0 (1) 1
2 0.8413 1 0.6826
例3、3 准则 由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 0 (1)-1=0.6826
例1
设X ~ N (0,1), 借助标准正态分布函
数( x ), 求P ( X 2.35), P ( X 2.35), P ( 1 X 2), P ( X 5.5), P ( X 2.35).
解：由附表可直接查得：
P ( X 2.35) ( 2.35) 0.9906
(3)设第20名考生成绩为 x 0分, 则有
P ( X x0 ) 0.16826
查表可得: x0 70 0.96 10
P ( X x 0 ) 1 P ( X x0 ) x0 70 1 0 ( ) 0.16826 10 x0 70 0 ( ) 1 0.16826 0.83174 10
解： A 在65分钟内从住处及时到达凶杀现场的 概率为： 65 50 P ( X 65) 0 ( ) 10
0 (1.5) 0.9332
B 在65分钟内从住处及时到达凶杀现场的 概率为：
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
用求导的方法可以证明，
x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直方图。
红线是拟 合的正态 密度曲线
可见，某大学男大学生的身高 应服从正态分布。
人的身高高低不等，但中等身材的占大 多数，特高和特矮的只是少数，而且较 高和较矮的人数大致相近，这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点。
1 2 2 f ( x) e , ( x ) 2 2 任意， >0， 其中 和 都是常数， 2 则称X服从参数为 和 的正态分布. ( x )2
记作 X ~ N ( , 2 ) f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布有些什么性质呢？ 由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。 请看演示 正态分布
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
（一）标准正态分布的概率计算
0, 1 的正态分布称为标准正态分布.
记作：X ~ N (0,1) 其概率密度为：
1 ( x) e 2
x2 2
, x
2
P (| Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 这在统计学上称作“ 3 准则” （三倍标准差原则）.
[ 3 , 3 ] 区间内.
例4 某科统考成绩服从正态分布N (70,102 ) 及格人数为100人，计算： （1）不及格人数； （2）成绩前20名的人数在考生中所占的比例； （3）第20名考生的成绩。
( x )2 2 2
, x
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N ( , ) ,
2
X的分布函数是
( t )2 2 2
1 F ( x) 2
x
e
dt , x
பைடு நூலகம்
设X~ N ( , ) ,
2
X的分布函数是
1 F ( x) P( X x) 2 ( x )
除了我们在前面提过的身高外,在正常 条件下各种产品的质量指标，如零件的尺 寸；纤维的强度和张力；农作物的产量， 小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标 的水平或垂直偏差；信号噪声；学生的成 绩等等，都服从或近似服从正态分布.
服从正态分布 N ( , 2 ) 的随机变量 X的概率密度是
1 f ( x) e 2
x
e
( t )2 2 2
dt ,
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
正态分布 N ( , 2 ) 的图形特点