初中数学总复习三角函数
初中三角函数知识点总结中考复习
初中三角函数知识点总结中考复习三角函数是数学中的一门重要分支，通过研究角的度量和三角比的关系来研究几何形状的属性。
在初中阶段，三角函数主要涉及正弦函数、余弦函数和正切函数，以及它们的定义、性质和应用。
下面是初中三角函数的知识点总结，供中考复习参考。
一、角的度量：1. 角的度量单位：度（°）和弧度（rad）。
2. 角度和弧度之间的换算：1周= 360° = 2π rad。
3.角的终边与坐标轴的位置关系：正角、负角、终边在各象限的情况。
4. 角度和弧度的转换公式：度数转弧度：θ(rad) = θ(°) ×π/180；弧度转度数：θ(°) = θ(rad) × 180/π。
二、三角比的定义：1. 正弦函数（sine function）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值定义为对边与斜边的比值，记作sinA = a/c。
2. 余弦函数（cosine function）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值，记作cosA = b/c。
3. 正切函数（tangent function）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值定义为对边与邻边的比值，记作tanA = a/b。
三、三角比的性质：1. 正弦函数的周期性性质：sin(θ+2kπ) = sinθ，其中k为整数。
2. 余弦函数的周期性性质：cos(θ+2kπ) = cosθ，其中k为整数。
3. 正切函数的周期性性质：tan(θ+π) = tanθ。
4. 正弦函数和余弦函数的关系：sin(π/2 - θ) = cosθ，cos(π/2 - θ) = sinθ。
5. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系：tanθ = sinθ/cosθ。
四、特殊角的三角比：1. 零度角和360度角的三角比：sin0° = 0，sin360° = 0；cos0° = 1，cos360° = 1；tan0° = 0，tan360° = 0。
初中数学三角函数公式
初中数学三角函数公式三角函数是数学中重要的一部分，它在几何、物理等领域有广泛的应用。
在初中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数，以及它们之间的关系。
本文将详细介绍这些三角函数的定义、性质和常用公式。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，它反映了角度和边长之间的关系。
定义：设角A的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角A的正弦值sinA定义为点P的纵坐标y。
即sinA=y。
性质：1. sin(90°)=1，即sinA的最大值为1；2. sin(-A)=-sinA，即正弦函数具有奇对称性；3. sin(180°+A)=-sinA，即正弦函数具有周期性。
常用公式：1. 三角恒等式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB；2. 万能公式：sin2A=2sinAcosA；3. 正弦的平方：sin²A+cos²A=1二、余弦函数余弦函数与正弦函数相似，也是描述角度和边长之间关系的函数。
定义：设角A的终边与单位圆交于点P(x,y)，则角A的余弦值cosA定义为点P的横坐标x。
即cosA=x。
性质：1. cos(0°)=1，即cosA的最大值为1；2. cos(-A)=cosA，即余弦函数具有偶对称性；3. cos(180°+A)=-cosA，即余弦函数具有周期性。
常用公式：1. 三角恒等式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB；2. 万能公式：cos2A=cos²A-sin²A；3. 余弦的平方：sin²A+cos²A=1三、正切函数正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，它在三角函数中也是重要的一员。
定义：设角A的终边与单位圆交于点P(x,y)，且x≠0，则角A的正切值tanA定义为y/x。
即tanA=y/x。
性质：1. tan(0°)=0，即tanA的最小值为0；2. tan(-A)=-tanA，即正切函数具有奇对称性；3. tan(180°+A)=tanA，即正切函数具有周期性。
中考复习初中数学中的三角函数计算题
中考复习初中数学中的三角函数计算题三角函数是中学数学中的重要内容之一，在中考中也是一个常见的考点。
掌握好三角函数的计算方法对于解题非常有帮助。
本文将从不同角度介绍三角函数的计算问题。
一、三角函数的基本概念在介绍计算问题之前，我们首先来回顾一下三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数sin，余弦函数cos，正切函数tan等。
它们的定义如下：正弦函数sinθ = 对边 / 斜边余弦函数cosθ = 临边 / 斜边正切函数tanθ = 对边 / 临边这些基本的定义是我们进行计算的基础。
二、三角函数的计算方法1. 已知一个角度求三角函数值有时题目可能给出一个角度，要求计算该角度对应的三角函数值。
这种情况下，我们根据角度的定义可以直接计算出sin、cos、tan的值。
例如，如果给定一个角度θ，求sinθ的值，只需根据sin的定义计算出对应的比值即可。
2. 已知一个三角函数值求角度另一种情况是已知一个三角函数值，要求求出对应的角度。
这时我们需要运用反函数来计算。
例如，如果已知sinθ的值，要求求出对应的角度θ，我们需要使用反正弦函数arcsin。
3. 利用三角函数求解三角形的边长和角度三角函数不仅可以应用在一个角度的计算中，还可以在解决三角形的问题中发挥作用。
例如，已知一个三角形的两边长度和夹角，可以利用三角函数计算出第三边的长度。
又如，已知一个三角形的两边长度和一个角度，可以利用三角函数计算出另外两个角度的大小。
4. 利用三角函数解决实际问题除了在纯数学计算中应用，三角函数还可以应用在实际问题的解决中。
例如，要计算一个倾斜面上物体的滑动速度、计算两个建筑物之间的高度差等等。
在这些问题中，我们会利用三角函数的计算来求解。
三、例题分析为了更好地理解三角函数的计算问题，我们来看几个例题：例题1：已知三角形ABC中，∠B = 30°，边AC = 4cm，边BC =6cm，求边AB的长度。
解析：根据已知条件，我们可以利用余弦定理来计算边AB的长度。
初中数学三角函数公式最全汇总
初中数学三角函数公式最全汇总01定义式02 函数公式倒数关系：①②③商数关系：①②平方关系：①②③03 诱导公式公式1：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式2：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式3：任意角与的三角函数值之间的关系：公式4：与的三角函数值之间的关系：公式5：与的三角函数值之间的关系：公式6：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
04 基本公式【和差角公式】◆二角和差公式◆三角和公式【和差化积公式】口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．【积化和差公式】【倍角公式】◆二倍角公式◆三倍角公式◆四倍角公式sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4) ◆五倍角公式◆半角公式（正负由所在的象限决定）◆万能公式◆辅助角公式◆余弦定理◆三角函数公式算面积定理：在△ABC中，其面积就应该是底边对应的高的1/2，不妨设BC边对应的高是AD，那么△ABC的面积就是AD*BC*1/2。
而AD是垂直于BC的，这样△ADC就是直角三角形了，显然，由此可以得出，AD=ACsinC，将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：，同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。
◆公式：若△ABC中角A，B，C所对的三边是a,b,c：则S△ABC=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB.◆反三角函数反三角函数主要是三个：y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]y=arccos(x)，定义域[-1,1] ，值域[0,π]y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2) sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】◆反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=co t(arccotx)当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)。
初三数学三角函数值计算方法
初三数学三角函数值计算方法三角函数是初中数学中的一个重要概念，它在解决三角形和圆的相关问题中起着重要作用。
在计算三角函数值时，我们需要掌握一些常用的方法和公式。
本文将介绍初三数学中常用的三角函数值计算方法，帮助学生更好地理解和应用三角函数。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
计算正弦函数值的方法如下：- 对于已知角度的情况，可以查找三角函数表或使用计算器来求解。
例如，sin30°=0.5，sin45°=√2/2。
- 对于不常见角度的情况，可以利用三角函数的周期性进行换算。
例如，sin150°=sin(150°-180°)=-sin30°=-0.5，sin210°=sin(210°+180°)=sin30°=0.5。
- 对于任意角度的情况，可以利用正弦函数与余弦函数之间的关系进行计算。
例如，sin(180°-x)=sinx，sin(360°-x)=-sinx。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是三角函数中常用的函数之一。
计算余弦函数值的方法如下：- 对于已知角度的情况，可以查找三角函数表或使用计算器来求解。
例如，cos60°=0.5，cos90°=0。
- 对于不常见角度的情况，可以利用三角函数的周期性进行换算。
例如，cos210°=cos(210°-180°)=-cos30°=-√3/2，cos300°=cos(300°+180°)=cos120°=-0.5。
- 对于任意角度的情况，可以利用余弦函数与正弦函数之间的关系进行计算。
例如，cos(180°-x)=-cosx，cos(360°-x)=cosx。
3. 正切函数（tan）正切函数是三角函数中比较特殊的一个函数，计算正切函数值的方法如下：- 对于已知角度的情况，可以查找三角函数表或使用计算器来求解。
初中数学三角函数公式知识点总结
初中数学三角函数公式知识点总结三角函数公式表sin是对边比斜边，cos是邻边比斜边，tan是对边比邻边cot邻边比对边。
sin30是二分之一，sin45是二分之根二，sin60是二分之根三。
cos30是二分之根三，cos45是二分之根二，cos60是二分之一tan30是三分之根三，tan45是一，tan60是根三。
cot30是根三，cot45是一，cot60是三分之根三。
（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系sin2A+cos2A=1（3）倒数关系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切关系tanA= sinA/cosA(5)三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）三角函数和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]三角函数万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]三角函数半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα三角函数三倍角公式sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα三角函数倍角公式sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三角函数两角和与差公式cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)=3sinα-4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))=4cos^3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα。
初中数学三角函数知识点总结
初中数学三角函数知识点总结三角函数是初中数学中重要的内容之一，它是研究三角形中各个边和角之间关系的一门学科。
通过学习三角函数，我们可以计算未知边长和角度的大小，解决实际生活中的问题。
本文将对初中数学三角函数的知识点进行总结。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin记作。
在直角三角形中，正弦函数被定义为对边与斜边的比值。
具体地说，对于一个直角三角形，如果已知一个角的度数为θ，那么三角形中对应的一边长度与斜边的比值就是sinθ。
正弦函数的值域为[-1,1]。
二、余弦函数余弦函数是另一个非常重要的三角函数，用cos记作。
在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。
具体地说，对于一个直角三角形，如果已知一个角的度数为θ，那么三角形中对应的一边长度与斜边的比值就是cosθ。
余弦函数的值域也是[-1,1]。
三、正切函数正切函数是sin和cos的比值，用tan表示。
在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。
具体地说，对于一个直角三角形，如果已知一个角的度数为θ，那么三角形中对应的一边长度与另一边的比值就是tanθ。
正切函数的定义域为除了90度的整数倍的角度之外的所有实数。
四、三角函数的特点与性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，即对于任意角θ，sin(θ+2π) = sinθ，cos(θ+2π) = cosθ，tan(θ+π) = tanθ。
这意味着在一定范围内的角度具有相同的三角函数值。
2. 正交性：正弦函数和余弦函数是正交的，即在[0,2π]区间内，它们的乘积的积分为0。
3. 对称性：sin和cos函数具有奇偶性，即sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ。
这意味着sin和cos对于角的正负具有对称性。
4. 互逆关系：正弦函数和余弦函数是互逆的，即sin²θ + cos²θ = 1。
五、三角函数的应用三角函数在实际生活中有广泛的应用，特别是在测量、物理学等领域。
初三数学三角函数知识点
初三数学三角函数知识点初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
即a^2+b^2=c^2.2、在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则∠A的三角函数为：正弦sinA=a/c，余弦cosA=b/c，正切tanA=a/b，余切cotA=b/a。
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，余切值等于它的余角的正切值。
即tanA=cot(90°-A)，cotA=tan(90°-A)。
5、特殊角的三角函数值：0°：sin0=0，cos0=1，tan0=0，cot0=无穷大。
30°：sin30=1/2，cos30=√3/2，tan30=1/√3，cot30=√3.45°：sin45=cos45=1/√2，tan45=1，cot45=1.60°：sin60=√3/2，cos60=1/2，tan60=√3，cot60=1/√3.90°：sin90=1，cos90=0，tan90=无穷大，cot90=0.6、正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大，XXX随A的增大而减小。
解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a^2+b^2=c^2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
应用举例：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
在直角三角形中，铅垂线分割斜边成两段，比值等于正弦值或余弦值。
在直角三角形中，视线与水平线的夹角的正切值等于视线长度与水平距离的比值。
2024年中考数学总复习考点梳理第四章第六节锐角三角函数及其实际应用
/
/
)
间接
sin45°，cos30°
解答题(三
求值 2020 25(3)
4 30°，45° ，cos45°，
/
/
)
tan30°
解答题(三
第六节 锐角三角函数及其实际应用
返回目录
命题点2 锐角三角函数的实际应用(6年2考) 课标要求 1.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际 问题； 2.在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．(2022年版课 标将“能用”改为“运用”)
题情境 海等，该考法试题详见练习册.
第六节 锐角三角函数及其实际应用
返回目录
教材改编题课前测
1. [北师九下P25习题改编]如图为东西
流向且河岸平行的一段河道，A，B分别
为两岸上一点，且点B在点A的正北方向，
由点A向正东方向走a米到达点C，此时测
第1题图
得点B在点C的北偏西55°方向上，则河道AB的宽为( D )
背靠背 、俯
实验楼
角
30°， 45°
结果保 留根号
教学楼 的高度
人教九下 P75例4( 改变角度
背景)
第六节 锐角三角函数及其实际应用
返回目录
命题趋势·新考法分析 新考法— 《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》和《课程标准(2022年版)》中均指出： —真实问 情境创设的真实性．近两年真实问题情境全国新增考查较多，如河南、陕西、武汉、威
第六节 锐角三角函数及其实际应用
考点 4 锐角三角函数的实际应用(6年2考)
在视线与水平线所成的锐角中，视线 仰角、
在水平线上方的角叫仰角，视线在水 俯角
平线下方的角叫俯角，如图
中考复习初中数学三角函数复习重点整理
中考复习初中数学三角函数复习重点整理数学三角函数是中学数学中一个较为重要的内容，对于中考来说，复习三角函数是非常重要的。
下面是初中数学三角函数的复习重点整理。
一、基本概念1. 角度与弧度制：角度制是我们常用的度数表示方法，弧度制是更精确的表示方法，可以通过角度制与弧度制的换算进行转化。
2. 正弦、余弦和正切：正弦是一个角的对边与斜边的比值，余弦是一个角的邻边与斜边的比值，正切是一个角的对边与邻边的比值。
3. 特殊角的三角函数值：例如，30°的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3。
二、基本关系1. 三角函数的正负：在不同象限中，正弦、余弦和正切的正负情况是不同的，要根据象限关系来确定正负值。
2. 三角函数的基本关系：在一个直角三角形中，正弦、余弦和正切之间存在一定的关系，可以通过正弦定理、余弦定理和正切定理进行推导和计算。
三、诱导公式1. 正弦和余弦的诱导公式：通过三角函数的基本关系，可以得到正弦和余弦的诱导公式，例如，sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
2. 正切的诱导公式：通过正切的定义和基本关系，可以得到正切的诱导公式，例如，tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)。
四、同角三角函数间的关系1. 同角三角函数的关系：在一个直角三角形中，正弦、余弦和正切之间存在一定的关系，例如，tanα=sinα/cosα。
2. 同角三角函数的平方和关系：例如，sin²α+cos²α=1，tan²α+1=sec²α，等等。
五、解三角形问题1. 利用正弦定理和余弦定理解三角形问题：通过正弦定理和余弦定理，可以求解各种类型的三角形问题，例如，已知两边和夹角，求第三边或第三角；已知两边和一个对角，求其他未知量等等。
六、图象与性质1. 正弦曲线、余弦曲线和正切曲线：三角函数的图象具有一定的特点，通过观察和探究，可以得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的性质。
初中数学知识归纳直角三角形的三角函数
初中数学知识归纳直角三角形的三角函数在数学中，直角三角形是我们学习三角函数的基础。
直角三角形由三条边组成，其中一条边为直角边，与直角相邻的两条边称为斜边和另一直角边。
本文将对初中数学中与直角三角形的三角函数相关的知识进行归纳。
一、直角三角形的基本概念在直角三角形ABC中，C为直角，a、b分别为直角边，c为斜边。
根据勾股定理可得：c² = a² + b²二、直角三角形的三角函数直角三角形的三个特殊角为30°、45°、60°，记作∠CAB的正弦、余弦、正切分别为sinA、cosA、tanA。
三、三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）定义：在直角三角形ABC中，∠CAB的正弦是直角边a与斜边c 的比值。
sinA = a/c2. 余弦函数（cosine function）定义：在直角三角形ABC中，∠CAB的余弦是直角边b与斜边c 的比值。
cosA = b/c3. 正切函数（tangent function）定义：在直角三角形ABC中，∠CAB的正切是直角边a与直角边b的比值。
tanA = a/b四、三角函数的性质1. 正弦函数的性质1) 在直角三角形ABC中，sinA = cosB2) 在直角三角形ABC中，sinB = cosA3) sin²A + cos²A = 12. 余弦函数的性质1) 在直角三角形ABC中，cosA = sinB2) 在直角三角形ABC中，cosB = sinA3) cos²A + sin²A = 13. 正切函数的性质1) 在直角三角形ABC中，tanA = 1/tanB2) 在直角三角形ABC中，tanB = 1/tanA3) tanA = sinA/cosA五、特殊角的三角函数值1. 30°角（记作∠CAB为30°）在直角三角形ABC中，a = 1/2 * c，b = √3/2 * c，c = 2asin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3 = √3/32. 45°角（记作∠CAB为45°）在直角三角形ABC中，a = b = 1/√2 * c，c = a√2sin45° = cos45° = 1/√2，tan45° = 13. 60°角（记作∠CAB为60°）在直角三角形ABC中，a = √3/2 * c，b = 1/2 * c，c = 2bsin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3六、应用举例1. 已知直角三角形中∠CAB为30°，且斜边c = 2，求直角边的值。
初中数学中的三角函数知识有哪些
初中数学中的三角函数知识有哪些三角函数是初中阶段数学学习的重要内容之一，它涉及到角度的概念、正弦、余弦、正切等函数的定义与性质。
以下将详细介绍初中数学中的三角函数知识。
一、角度的概念在学习三角函数之前，我们首先需要了解角度的概念。
角度是由两条射线共同确定的，一条射线称为始边，另一条射线称为终边。
顺时针旋转成的角度为负角度，逆时针旋转成的角度为正角度。
常用的角度单位有度和弧度。
二、弧度制与角度制的转换1. 弧度制到角度制的转换：已知角的弧度数x，可以通过下式将其转换为角度数：角度数 = x ×180°/π；2. 角度制到弧度制的转换：已知角的角度数y(单位为度)，可以通过下式将其转换为弧度数：弧度数= y × π/180°。
三、正弦、余弦、正切函数1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值定义为对边与斜边的比值。
对于角A的正弦值，可以表示为sin(A)。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值定义为邻边与斜边的比值。
对于角A的余弦值，可以表示为cos(A)。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值定义为对边与邻边的比值。
对于角A的正切值，可以表示为tan(A)。
四、三角函数的定义域和值域1. 正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数，值域在闭区间[-1, 1]之间。
2. 正切函数的定义域是所有余切值不为零的实数，值域为全体实数。
五、三角函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都为2π，即sin(x + 2π) =sin(x)，cos(x + 2π) = cos(x)；2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；3. 三角函数的和差关系：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)，cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)；4. 三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)，tan(2x) = (2tan(x))/(1-tan²(x))。
初中数学中的三角函数知识点梳理
初中数学中的三角函数知识点梳理三角函数在初中数学中占据着重要的位置，它是解决各种几何和三角问题的基础。
在初中数学中，我们需要掌握三角函数的定义、性质以及应用。
下面将对初中数学中的三角函数知识点进行详细梳理。
一、三角函数的定义三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)三种。
这些函数都与角度x相关，其中x为角度值。
1. 正弦函数sin(x)：正弦函数是一个周期函数，其定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的周期为360度或2π弧度。
2. 余弦函数cos(x)：余弦函数也是一个周期函数，其定义域和值域与正弦函数相同。
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3. 正切函数tan(x)：正切函数的定义域是除了90度或π/2弧度的倍数的整数之外的所有实数。
正切函数在某些特殊角度值上无法取得具体的值，因此其值域是所有实数。
二、三角函数的性质1. 基本关系：正弦函数和余弦函数的关系可以由单位圆上的点坐标得出：在单位圆上，角度x对应的点的坐标为(cos(x), sin(x))。
这意味着，正弦函数与余弦函数可以相互表示。
2. 周期性：三角函数都具有周期性。
正弦函数和余弦函数的周期为360度或2π弧度，而正切函数的周期为180度或π弧度。
3. 公式与恒等式：三角函数有一系列的公式与恒等式：- 正弦函数的基本公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)- 余弦函数的基本公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)- 正切函数的基本公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b))- 正弦函数和余弦函数的和差化积公式：sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)，sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)， cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)， cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)。
初中三角函数知识点总结
初中三角函数知识点总结一、角和弧度制角是由一条射线绕着一个固定点旋转形成的。
角的单位有度和弧度两种，其中度是最常用的单位。
角的度数决定了它所对应的弧长。
一个角的弧长和它所对应的弧度数之间有一个固定的关系：1弧度等于180°/π。
二、正弦、余弦和正切在直角三角形中，我们可以根据三角形的边长来定义三个比率：正弦、余弦和正切。
1. 正弦（sine）的定义为：sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦（cosine）的定义为：cosθ = 邻边/斜边。
3. 正切（tangent）的定义为：tanθ = 对边/邻边。
三、特殊角的三角函数值在一个单位圆上，特殊角的三角函数值有着特定的规律。
1.0°、90°、180°和270°分别对应的三角函数值是：sin0° = 0, sin90° = 1, sin180° = 0, sin270° = -1；cos0° = 1, cos90° = 0, cos180° = -1, cos270° = 0；tan0° = 0, tan90° = 无穷大, tan180° = 0, tan270° = 无穷大。
2.对于30°、45°和60°，它们在单位圆上对应的三角函数值还有特殊的规律：sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2；cos30° = √3/2, cos45° = √2/2, cos60° = 1/2；tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3四、三角函数的性质三角函数有一些重要的性质：1. sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ，tan(-θ) = -tanθ。
初中数学三角函数讲解
初中数学三角函数讲解三角函数是数学中重要的一部分，它在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
在初中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数，下面就让我们来详细讲解一下这些内容。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的一种函数，它由一个单位圆上的点的纵坐标决定。
在单位圆上，给定一个角度θ，将角度的终边与单位圆相交，该点的纵坐标即为sinθ。
正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。
正弦函数具有周期性，即sin(θ + 2π) = sinθ。
正弦函数在几何学中常用于描述波的运动、摆动等。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数也是三角函数中的一种，它由一个单位圆上的点的横坐标决定。
在单位圆上，给定一个角度θ，将角度的终边与单位圆相交，该点的横坐标即为cosθ。
余弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。
余弦函数同样具有周期性，即cos(θ + 2π) = cosθ。
余弦函数在几何学中常用于描述物体的运动、周期性变化等。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种函数，它由正弦函数和余弦函数的比值得到。
正切函数的定义域是所有实数，值域是(-∞, +∞)。
正切函数的图像在某些点上会有无穷大或无穷小的情况，因此需要注意避免这些点。
正切函数的周期是π，即tan(θ + π) = tanθ。
正切函数在几何学中常用于描述斜率、角度的测量等。
4. 三角函数的性质正弦函数和余弦函数具有以下性质：- 正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，并且在一个周期内都取到这个范围内的所有值。
- 正弦函数和余弦函数都是偶函数，即sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ。
- 正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，且正弦函数的图像在y 轴上对称，余弦函数的图像在x轴上对称。
正切函数具有以下性质：- 正切函数的图像在某些点上会有无穷大或无穷小的情况，因此需要注意避免这些点。
初中数学三角函数基础知识点总结
初中数学三角函数基础知识点总结初中数学三角函数基础知识点总结篇1三角和的公式sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)倍角公式tan2A = 2tanA/(1-tan2 A)Sin2A=2SinA?CosACos2A = Cos^2 A--Sin2 A =2Cos2 A-1 =1-2sin^2 A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3;cos3A = 4(cosA)3 -3cosAtan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a)三角函数特殊值α=0° sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞α=15°(π/12) sinα=(√6-√2)/4 cosα=(√6+√2)/4 tαnα=2-√3 cotα=2+√3 secα=√6-√2 cscα=√6+√2α=22.5°(π/8) sinα=√(2-√2)/2cosα=√(2+√2)/2 tαnα=√2-1 cotα=√2+1 secα=√(4-2√2) cscα=√(4+2√2)a=30°(π/6) sinα=1/2 cosα=√3/2 tαnα=√3/3 cotα=√3 secα=2√3/3 cscα=2α=45°(π/4) sinα=√2/2 cosα=√2/2 tαnα=1cotα=1 secα=√2 cscα=√2α=60°(π/3) sinα=√3/2 cosα=1/2 tαnα=√3cotα=√3/3 secα=2 cscα=2√3/3α=67.5°(3π/8) sinα=√(2+√2)/2 cosα=√(2-√2)/2 tαnα=√2+1 cotα=√2-1 secα=√(4+2√2)cscα=√(4-2√2)α=75°(5π/12) sinα=(√6+√2)/4 cosα=(√6-√2)/4 tαnα=2+√3 cotα=2-√3 secα=√6+√2cscα=√6-√2α=90°(π/2) sinα=1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=1α=180°(π) sinα=0 cosα=-1 tαnα=0 cotα→∞ secα=-1 cscα→∞α=270°(3π/2) sinα=-1 cosα=0 tαnα→∞cotα=0 secα→∞ cscα=-1α=360°(2π) sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞三角函数记忆顺口溜1三角函数记忆口诀“奇、偶”指的是π/2的倍数的`奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
初中数学总复习专题12 三角函数
专题12 三角函数阅读与思考三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系． （1）平方关系：1cos sin 22=+αα； （2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =； （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα．2．善于解直角三角形．从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形， 关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解【例1】在△ABC 中，BC ＝1992，AC ＝1993，AB ＝19931992+，则=C A cos sin ．（河北省竞赛试题）解题思路：通过计算，寻找BC 2，AC 2，AB 2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A ＝600，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ． 求AD ，BC 的长．（精确到1m ，732.13≈）图2图1F EAE AABDDBDB解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A ，所以连结AC 不行．延长AD 和BC 交于一点E （如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A ；或过点D 作矩形ABEF （如图2）来求解．【例3】如图，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若31tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10． （1）求△ANE 的面积； （2）求ENB ∠sin 的值．解题思路：将31tan =∠AEN 与DC ＋CE ＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．【例4】如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2），过D 作DF ⊥CB 于F ，设DE =x ，建立关于x 的方程．【例5】若直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦是方程02=++q px x 的两个根． （1）那么，实数p ，q 应满足哪些条件？（2）如果p ，q 满足这些条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦？（江苏省竞赛试题）解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法．C【例6】设a ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n≥3．求证：nnnc b a <+．（福建省竞赛试题）解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．能力训练A 级1．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC 于E ．若BD ＝8，43sin =∠CBD ，则AE ＝ ． 2．已知00900≤≤α，则ααsin sin 45+-=y 的最大值是 ，最小值是 ．（上海市理科实验班招生考试试题）3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠BAC ＝300，BC ＝1，D 为BC 边上的一点，ADC ∠tan 是方程2)1(5)1(322=+-+xx x x 的一个较大的根，则CD ＝ ．东第5题图第1题图第3题图E BAO4．已知△ABC 的两边长a ＝3，c ＝5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，则A sin 的值为 ． （哈尔滨中考试题） 5．如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东600距离500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ） A ．250mB ．3250mC ．33500mD ．2250m6．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝300，D 是AC 的中点，则DBC ∠cot 的值是（ ） A ．3B ．32C ．23D ．43 （大连市中考试题）7．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） （黄冈市中考试题） A ．27海里B ．214海里C ．7海里D ．14海里8．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（ ） A ．36B ．35C ．34D ．33第7题图第6题图第8题图东北BA OA9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB ＝150厘米，∠BAC ＝300，另一根辅助支架DE ＝76厘米，∠CED ＝600．（1）求垂直支架CD的长度（结果保留根号）；（2）求水箱半径OD的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：73.13,41.12≈≈）．（扬州市中考试题）图2图1BA EOD10．若α为锐角，求证：4cossin1cos1sin1>⋅++αααα．（宁波市竞赛试题）11．如图，已知AB＝CD＝1，∠ABC＝900, ∠CBD＝300，求AC的长．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）12．如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于点D，CD＝1．若AD，BD的长是关于x的方程02=++qpxx的两根，且2tantan=-BA，求p，q的值并解此二次方程．ABCB 级1．若0300<<θ，且31sin +=km θ（k 为常数，k ＜0），则m 的取值范围是 ． 2．设00450<<α，1673cos sin =⋅αα，则=αsin ． （武汉市选拔赛试题） 3．已知在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角，且2tan ,135sin ==B A ，AB ＝29cm ，则△ABC 的面积等于 ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ． （全国初中数学联赛试题） 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CAB ＝300，AD 平分∠CAB ，则CDACCD AB -的值为（ ） A ．3B ．33C ．33-D ．326-（湖北省选拔赛试题）第4题图第5题图NBAB AMD6．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD 上一点，∠ABE ＝450，则AEB∠tan的值等于（ ） （天津市竞赛试题） A ．23 B ．2 C ．25D ．3 7．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CBD ＝300，则DCAD＝（ ） A ．33 B ．22C ．12-D ．13-（山东省竞赛试题）第7题图第6题图BA BDE8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼梯AD ，BE 和一段水平天台DE 构成．已知天桥高度BC ＝4.8米，引桥水平跨度AC ＝8米． （1）求水平天台DE 的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN 的高度为3米，求两段楼梯AD 与BE 的长度之比．（参考数据：取75.037tan ,80.037cos ,60.037sin 0===） （长沙市中考试题）NA9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c ＝35．若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积．（武汉市中考试题）10．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且BEG ∠与CFH ∠都是锐角．已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 的面积为S ．（1）求证：klS2sin =θ； （2）试用S l k ,,来表示正方形ABCD 的面积．（全国初中数学联赛试题）GF11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝900，BC ＝CD ＝10，54sin =C ． (1) 求梯形ABCD 的面积；（2）点E ，F 分别是BC ，CD 上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ，求△EFC 面积的最大值，并说明此时E ，F 的位置．（济宁市中考试题）A DFB C 12．如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面．已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为300，此时，求：（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？（山东省竞赛试题）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中三角函数〖考试要求〗通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.1．1 正弦和余弦例1 已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin 2α+cos 2α=1； （2）求证：sin α+cos α≥1，讨论在什么情形下等号成立；（3）已知sin α+cos α=1，求sin 2α+cos 2α的值．证明 （1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sin α=BC/AB ，cos α=AC/AB ，所以在这种情形下ABCABC当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有sin2α+cos2α=1．（2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在这种情形下当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有sinα+cosα≥1，当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立．（3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有sin2α+cos2α=1．例2 求证：对于0°≤α≤90°，1．2 正切和余切证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα=（2）α必须满足不等式：0°＜α＜90°．如图6-2，所以tgα·ctgα=1．例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求解： x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而证明：如图6-2，设BC=a，AC=b，AB=c，则所以原式成立．点评这里α≠0°，90°．怎样理解锐角三角函数的概念？答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值．关于这点，我们看图1，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上．不难看出，B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值．根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值．这样在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数，即深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关．只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时．四个比值对应变化．这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边．[例] 求出图2中sinD，tgE的值．(3)“sinA”等是一个完整的符号．整的符号，不能看成sin与A的乘积．离开角A的“sin”没有什么意义，其他三个cosA、tgA、ctgA等也是这样．所以写时不能把“sin”与“A”分开．计算解答题3. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sinA 是方程5x 2-14x+8=0的一个根,求sinA,tgA.4. q 为三角形的一个角,如果方程10x 2-(10cosq)x-3cosq+4=0有两个相等的实数根,求tgq. 1、 讲解例题 例1计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）︒-30cos 31；（3）︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos ； （4）︒-︒+︒45tan 45cos 60sin 22例2 填空：（1）已知∠A 是锐角，且cosA = 21，则∠A = °，sinA = ；（2）已知∠B 是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °； （3）已知∠A 是锐角，且3tanA 3-= 0，则∠A = °； 例3一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。
例4在Rt △ABC 中，∠C = 90°，c a 32=，求ca，∠B 、∠A 。
〖考点复习〗1．锐角三角函数[例1]如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°,若AB ＝5，AC ＝4，则sin ∠B ＝（ ）A. 35B. 45C. 34D. 43[例2]如图, △ABC 中∠A=30º, tanB=23, AC=32, 则AB=____2．特殊角的三角函数值[例3]如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC 为2cm ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为 m 。
（精确到0.1m ，可能用到的数据41.12≈，73.13≈）[例4]计算：12-0)25(60sin 2+-︒；3．简单应用[例5]如图是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD= 度，（不考虑青蛙的身高）； 〖考题训练〗1．Rt △ABC 中，若∠C ＝90º，AC ＝3，AB ＝5，则sinB 的值为__ _____。
2．如图，在⊿ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）CB ABAA BC ODA 、43B 、34C 、53 D 、543．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ） A 、都扩大为原来的5倍 B 、都扩大为原来的10倍C 、都扩大为原来的25倍D 、都与原来相等4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,c=4,则sinA 的值是( ) A 、1515 B 、41 C 、31 D 、4155． 在直角三角形ABC 中， ∠C=90º，已知sin A =35,则cos B =_______. 6．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米(结果用含α的三角函数表示).7．如图，等腰三角形ABC 的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高AD= 。
8．计算：23tan60°+|-2|+2-1. 9．在△ABC 中，2AB =，AC =B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 .10．如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到 △A ＇P ＇B ，且BP =2，那么PP ＇的长为____________. (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°) ①．如图，tan α等于（ ）A ．12 B ．2C ．55D ． 5②．在ABC ∆中，︒=∠90C ，AB =15，sin A =13，则BC 等于（ ）A 、45B 、5C 、15D 、145③．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是（ ）A 、sinB ＝23 B 、cos B ＝23C 、tg B ＝23D 、ctg B＝23④．计算：sin 30°＝ .ABCα12⑤．计算cos 60º＋22－8 －2－1 ⑥如图，在△ABC 中，∠C=90º，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=35，则BC 的长是（ ）A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、10cm⑦．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，DE ⊥BC 于E ，若AD=2DC ，AB=4DE ，则sinB 的值为( )A 、12B 、73C 、377D 、 3420.我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.图1-3-6 图1-3-7(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式; (2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克) 解:(1)依题意,可建立的函数关系式为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤<<+-.180150,2052,150120,80,1200,16032t t t t t (2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.∵图象过点(60,385), ∴385=a(60-110)2+20.∴a=3001.∴z=3001(t-110)2+20(t>0).(3)设纯收益单价为W 元,则W=销售单价-成本单价.故W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---+<≤---<<---+-.180150,20)110(30012052,150120,20)110(300180,1200,20)110(300116032222t t t t t t t t 化简得W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+--<≤+--<<+--.180150,56)170(3001,150120,60)110(3001,1200,100)10(3001222t t t t t t ①当W=-3001(t-10)2+100(0<t<120)时,有t=10时,W 最大,最大值为100;②当W=-3001 (t-110)2+60(120≤t<150)时,由图象知有t=120时,W 最大,最大值为3259;③当W=-3001(t-170)2+56(150≤t≤180)时,有t=170时,W 最大,最大值为56.综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.。