高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2324 13
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
高考数学模拟试题及答案(人教版)23
高考模拟试卷数学卷本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 考生注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B = 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 台体的体积公式：那么n 次独立重复试验中恰好发生 )(312211S S S S h V ++=k 次的概率：()(1)k k n kn n P k C p p -=-第Ⅰ卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x≥2},B={x|x<m+1},若B ⊆∁R A,则m 的取值范围为 ( )A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.[1,+∞)D.[-1,2] 2．已知0<a <2,复数z 的实部为1,虚部为a ,则 ||z 的取值范围是 ( )A.(1,5)B.(1,3)3．若a,b 是两个非零的平面向量,则 “|a |=|b |”是“(a+b )·(a-b )=0”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若函数2()x f x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( )5．对于函数2()cos[3()]6f x x x π=+,下列说法正确的是 ( )A. (x)f 是奇函数且在(,)66ππ-内递减 B. (x)f 是奇函数且在(,)66ππ-内递增 C. (x)f 是偶函数且在(0,)6π内递减 D. (x)f 是偶函数且在(0,)6π内递增6．若x, y满足4240,y0kx yy xx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩且z=5y-x的最小值为－8,则k的值为()A.12- B.12C.-2D.27．设随机变量ξ的分布列为下表所示且E(ξ)=1.6,则a－b= ()8．存在一点P，使线的离心率为A B C D9．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述:①AB与DE所成角的正切值是2；②AB∥CE；③V B-ACE＝16a3；④平面ABC⊥平面ACD.其中正确的有( )D.①②④10．若2()f x x px q=++的图象经过两点(,0),(,0)αβ，() AC注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．若双曲线221x ky-=的一个焦点是(3,0),则实数k =_______，该双曲线的焦点到其中一条渐近线的距离是________。
高三数学模拟试题含答案
高三数学模拟试题含答案第一题：计算题已知 a = 3，b = 5，c = 7，d = 9，请计算以下表达式的值，并给出计算过程。
1) x = a + b × c - d2) y = (a + b) × c - d3) z = a + (b × c - d)解答：1) x = 3 + 5 × 7 - 9 = 3 + 35 - 9 = 292) y = (3 + 5) × 7 - 9 = 8 × 7 - 9 = 56 - 9 = 473) z = 3 + (5 × 7 - 9) = 3 + (35 - 9) = 3 + 26 = 29第二题：选择题在下面的选项中，选择一个正确答案。
1) 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口方向与参数 a 的关系是：A. a > 0，开口向上B. a > 0，开口向下C. a < 0，开口向上D. a < 0，开口向下解答：B. a > 0，开口向下第三题：解方程请求解以下方程，并给出解的步骤。
1) 2x - 5 = 3x + 12) x^2 - 4x + 3 = 0解答：1) 2x - 5 = 3x + 1移项得：2x - 3x = 1 + 5化简得：-x = 6解得：x = -62) x^2 - 4x + 3 = 0因为该方程无法直接分解成两个一次因式相乘的形式，因此使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a代入 a = 1，b = -4，c = 3，得：x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 × 1 × 3)) / 2 × 1化简得：x = (4 ± √(16 - 12)) / 2计算得：x = (4 ± √4) / 2化简得：x = (4 ± 2) / 2分解得：x1 = (4 + 2) / 2 = 3x2 = (4 - 2) / 2 = 1因此方程的解为 x1 = 3，x2 = 1第四题：证明请证明勾股定理，即直角三角形中，直角边平方和等于斜边平方。
2024年高考数学精选模拟试卷及答案
2024年高考数学精选模拟试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现要完成下列2项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；①东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ）4．现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中,A B 两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（ ） A ．6B ．12C ．16D ．185．下列命题中正确的个数是①命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠; ①“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件; ①若p q ∧为假命题，则p ，q 为假命题;①若命题2000:,10p x R x x ∃∈++<,则:p x ⌝∀∈R ，210x x ++≥.二、多选题三、填空题四、解答题16．2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. （1）求该样本的中位数和方差；（2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.17．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18~68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[)1828，，[)2838，，[)3848，，[)4858，，[)5868，，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖概率.18．某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼.(1)一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；(2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率；(3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率.19．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛.已知成绩合格的100名参赛选手成绩的60,70,80,90,90,100的频率构成等比数列.频率分布直方图如图所示，其中[)[)[](2)若试剂A在连续进行的三轮测试中，都有2X ，则认为该试剂对药品B的酸碱值检测效果是稳定的，求出出现这种现象的概率.参考答案：a4）中位数为81.5，方差为，x=9（2）。
2023届高三新高考数学原创模拟试题(含答案解析)
2023届高三新高考数学原创模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．||OQB ．|5．若()20230112x a a x -=++A ．2-B ．-6．函数y=ax 2+bx 与y=log b aA ．．C ．．7．以()x φ表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量()2,N μσ，则概率(P ξμ-A ．()()φμσφμσ+--()() 11φφ--C ．1 μφσ-⎛⎫⎪⎝⎭．()2φμσ-8．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量1111ABCD A B C D -，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（A ．1AB ，AC ，1AD 的长度B ．AC ，1B D ，1AC 的长度D ．1AC ，BD ，1CC 的长度二、多选题三、双空题13．设i 是虚数单位，已知2i 3-是关于x 的方程220(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p =________，q =________．四、填空题五、双空题16．正方形ABCD 位于平面直角坐标系上，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，(1,1)D -．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L ：逆时针旋转90︒．（2）R ：顺时针旋转90︒．（3）S ：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A ，B ，C ，D 四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R 之后，顶点A 从(1,1)移动到(1,1)-，然后再作一次变换S 之后，A 移动到(1,1)-．对原来的正方形按1a ，2a ，L ，k a 的顺序作k 次变换记为12k a a a ，其中{,,}i a L R S ∈，1,2,,i k = ．如果经过k 次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k -恒等变换．例如，RRS 是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共________种；对于正整数n ，n -恒等变换共________种．六、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．(1)证明：PB DM ⊥．(2)求BD 与平面ADMN 所成角的正弦值．18．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持(1)在某次测量中，40AE =，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．(2)在杆AB 上有两点1A ，2A 满足1212AA AA =．当横档CD 的中点E 位于度角为(1,2)i i α=，其中1α，2α都是锐角．证明：122αα<．19．设正项数列{}n a 满足11a =，12121n n n a a a ++=-，*n ∈N ．数列{}n x 满足π0,2n x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，*n ∈N ．已知如下结论：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x (1)求{}n x 的通项公式．(2)证明：222212π11112111n n n a a a -<+++<+++ ．20．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点．椭圆C 于A ，B 两点．(1)若直线l 与x 轴垂直，并且OA OB ⊥，求a 的值．(2)若直线l 绕点F 任意转动，当A ，O ，B 不共线时，都满足AOB ∠取值范围．21．某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)i x i = 和知识竞赛成绩(1,i y i =学生编号i 123456789数学成绩i x 1009996939088858380知识竞赛成绩iy 29016022020065709010060参考答案：【详解】，，或是，，根据集合元素的互异性，集合为，共含有9．AC【分析】对于A：根据线面平行分析判断；对于D：根据线面、面面垂直的判定定理分析判断【详解】对于选项A：因为D，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF所以BC∥平面PDF，故A正确；对于选项B：因为D，E分别是且PA与AC夹角为60︒，所以异面直线对于选项C：因为E是BC的中点，且同理可得：AE BC ⊥，PE AE E = ，,PE AE ⊂平面PAE ，所以DF ⊥平面PAE ，且DF ⊂平面ABC ，所以平面PAE ⊥平面ABC ，故C 正确；对于选项D ：取底面ABC 的中心O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABC ，但PO 与平面PDF 相交，所以平面PDF 与平面ABC 不垂直，故D 错误；故选：AC.10．ABD【分析】由n S 与n a 的关系得出n a 与1n a -的关系式即可判断ABD ，通过举反例即可判断出C ．【详解】对于A ，当2n ≥时，n n S a =且11n n S a --=，两式相减可得11n n n n n a S S a a --=-=-，即10n a -=．所以{}n a 是恒为0的数列，即{}n a 是公差为0的等差数列，故A 正确；对于B ，当2n ≥时，n n S na =且11(1)n n S n a --=-，两式相减可得11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，所以1n n a a -=，即{}n a 是常数列，是公差为0的等差数列，故B 正确；对于C ，如果10a ≠，令1n =可得21a =，当2n ≥时，1n n n S a a +=且11n n n S a a --=，两式相减可得()111n n n n n n a S S a a a -+-=-=-，如果0n a ≠，则111n n a a +--=，这并不能推出{}n a 是等差数列，例如：考虑如下定义的数列{}n a ：1，1，2，2，3，3，L ，则其通项公式可写成2n a n =，21n a n -=．则()222122111(2)(1)nnn k k n n k k S a a k n n a a -+===+==+=∑∑，）DN．由（1）可知PB⊥平面BDN∠是BD与平面ADMN所成角．2AD AB BC a====，于是另一方面，22BD AB AD=+=因此，在直角三角形BDN中，sinBD与平面ADMN所成角的正弦值为(1)8 17证明见解析【分析】（1）方法一，根据三边长度，利用余弦定理，求方法二，先求sin CAE∠，再根据二倍角公式求）如图：轴垂直，则直线l ：1x =，联立直线与椭圆方程可得2b a =±．所以不妨设1,A ⎛ ⎝，所以4210b OA OB a ⋅=-= ，则b a，所以210a a --=，解得）如图：（i ）若直线AB 与x 轴垂直，由（1）可知钝角，只需4210b OA OB a ⋅=-< ，即21b a >．代入152-（舍去）．）若直线AB 与x 轴不垂直，设()11,A x y ，221b a =-，椭圆方程变为222211x y a a +=-．联立直线与椭圆方程选做（ii ）问：根据()g x 的单调性，可知：()g x 在区间π3π2π,2π()22m m m ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 即()1,m m a b +()g x 在ππ2,2π()22m m m π⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 即(),m m b a 中的值域为结合①②两式以及()1(0)g g b >，可知当N m ∈时，()g x 在πππ,π[0,22m m ⎛⎫-+++∞ ⎪⎝⎭I 当21m k =-时，()()()211,k k k A g a g b --=；当2m k =。
备战2024高考数学全真模拟卷(新高考专用)(解析版)
备战2024高考数学全真模拟卷（新高考专用）第一模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{}2,4B．{}0C．{}5D．{}0,5【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ð，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}U A B ⋂=ð.故选：D2．（2022·天津市第四中学模拟预测）设x ∈R ，则“502x x->-”是“14x -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】由502x x->-，得(5)(2)0x x -->，解得25x <<，由14x -<，得414x -<-<，得35x -<<，因为当25x <<时，35x -<<一定成立，而当35x -<<时，25x <<不一定成立，所以“502x x->-”是“14x -<”的充分不必要条件，故选：A3．（2022·海南海口·模拟预测）已知圆柱的侧面积等于上、下底面积之和，圆柱的体积与表面积的数值相同，则该圆柱的高为（）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【分析】根据已知条件及圆柱的侧面积、表面积和体积公式即可求解.【详解】设底面圆的半径为r ，高为h ，则由题意可知，2222π2ππ2π2πrh r r h r rh ⎧=⎨=+⎩，解得4h r ==.所以该圆柱的高为4.故选：B.4．（2022·河北秦皇岛·二模）设ln 2a =，25b =，0.22c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为()ln20,1a =∈，22log 5log 42b =>=，()0.221,2c =∈，所以b c a >>.故选：B5．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（）A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤；第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤，以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤，所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，即1111111111(1)(112233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =，又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=.故选：C.6．（2022·浙江·高三专题练习）已知在OAB 中，2OA OB ==，AB =动点P 位于线段AB 上，当·PA PO取得最小值时，向量PA 与PO的夹角的余弦值为（）A ．BC ．7-D ．7【答案】C【解析】由已知得6OAB π∠=，再由向量数量积的定义表示PA PO ⋅，根据二次函数的性质求得其最值，再由向量夹角公式可得选项.【详解】因为在OAB 中，2OA OB ==，AB =6OAB π∠=，所以PA PO PA ⋅=⋅()225+|cos |6PA AO PA PA AO PA PA π=+⋅==23344PA ⎛-≥- ⎝⎭，当且仅当2PA = 时取等号，因此在OAP △中，PO = 所以向量PA 与PO73444722+-=-，故选：C.7．（2020·全国高三专题练习）已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，BC =，若S是球面上任意一点，则三棱锥S ABC -体积的最大值为（）A ．32312+B．36+C．212+D．312+【答案】A 【详解】设ABC 外接圆圆心为O '，三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，1AB AC ==，设D 为BC 中点，连AD ，如图，则AD BC ⊥，且O '在AD 上，221()22BC AD AB =-=，设ABC 外接圆半径为r ，222231()()()242BC r AD r r =+-=+-，解得1r =，22||23OO r '∴=-=要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离最大，即S 为O O '的延长线与球面的交点，最大值为32+，所以三棱锥S ABC -体积的最大值为111132332)32)3332212ABC S ++=⨯+⨯⨯=．故选：A 8．（2022·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知不等式()3e 1xkx k x +<+恰有2个整数解，求实数k 的取值范围（）A ．32233e 5e k ≤<B ．2315e 2ek <≤C ．32233e 5e k <≤D ．2315e 2ek ≤<【答案】D【分析】原不等式()3e 1xkx k x +<+等价于，()13e x x k x ++<，设()()3g x k x =+，()1e xx f x +=，然后转化为函数的交点结合图象可求.【详解】原不等式()3e 1xkx k x +<+等价于，()13e xx k x ++<，设()()3g x k x =+，()1e x xf x +=，所以()0e xx f x -'==，得0x =．当0x <时，()0f x '>，所以在(),0∞-上单调递增，当0x >时，()0f x '<，所以在()0,∞+上单调递减，又()10f -=，且0x >时，()0f x >，因此()()3g x k x =+与()1e xx f x +=的图象如下，当0k ≤时，显然不满足条件，当0k >时，只需要满足()()()()1122f g f g ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即224e 35e k k⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2315e 2e k ≤<．故选：D ．二．多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·广东·高三专题练习）已知不共线的两个单位向量,a b ，若向量2a kb - 与2a kb +的夹角为锐角，则符合上述条件的k 值可以是（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】AB【分析】向量夹角为锐角时，数量积应大于0，从而求得参数.【详解】因为向量2a kb - 与2a kb +的夹角为锐角，所以()()222222440a kb a kb a k b k -⋅+=-=-> 且22a kb a kb -≠+ ，所以22k -<<且0k ≠，即20k -<<或02k <<，观察各选项可知符合条件的k 值可以是1-，1.故选：AB ．10．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在ABC 中，22cos cos 1A B +=，则下列说法正确的是（）A ．sin cos A B=B ．2A B π+=C ．sin sin A B 的最大值为12D ．tan tan 1A B =±【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合22cos sin 1A A +=得sin cos A B =，22111tan 1tan 1A B +=++，进而得tan tan 1A B =±，可判断AD ；进而得()cos 0A B -=或()cos 0A B +=，故2A B π-=或2A B π+=，再分别讨论sin sin A B 的最大值问题即可判断BC.【详解】解：因为22cos cos 1A B +=，22cos sin 1A A +=，所以22sin cos A B =，222222cos cos 1cos sin cos sin A BA AB B+=++所以sin cos A B =，22111tan 1tan 1A B +=++，故A 选项正确；所以，222222tan 1tan t tan tan an 1tan 1A B B A A B =+++⋅+++，即22tan t 1an B A ⋅=；所以tan tan 1A B =±，故D 选项正确；所以sin sin cos cos A B A B =±，即()cos 0A B -=或()cos 0A B +=，所以2A B π-=或2A B π+=，故B 选项错误；当2A B π-=时，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，11sin sin sin sin sin cos sin 2222A B B B B B B π⎛⎫=+==≤ ⎪⎝⎭，当且仅当4B π=时，此时3244A πππ=+=，不满足内角和定理；当2A B π+=时，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，11sin sin sin sin sin cos sin 2222A B B B B B B π⎛⎫=-==≤ ⎪⎝⎭，当且仅当4B π=时，此时244A πππ=-=，满足题意.综上，sin sin A B 的最大值为12，故C 选项正确.故选：ACD11．（2022辽宁省六校高三上学期期初联考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.68a = B.954S =C.135********a a a a a ++++= D.22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=L ，故C 正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018aa a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==L ，故D 正确；故选：ACD.12．（多选）（2022·广东潮州·二模）已如斜率为k 的直线l 经过抛物线24y x =的焦点且与此抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，8AB <，直线l 与抛物线24y x =-交于M ，N 两点，且M ，N 两点在y 轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（）．A ．12y y 为定值B ．12y y +为定值C ．k 的取值范围为()(),11,4-∞-⋃D ．存在实数k使得MN =【答案】ACD【分析】设l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得2440ky y k --=，根据根与系数的关系可判断A 、B 选项．由弦长公式122448AB x x p k =++=+<，得21k >，再联立()214y k x y x ⎧=-⎨=-⎩，M ，N 两点在y 轴的两侧，求得4k <，由此判断C ．设()33,M x y ，()44,N x y ，由弦长公式得MN 241613k k -+=，求解即可判断D 选项．【详解】解：由题意可设l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2440ky y k --=，则1244k y y k -==-为定值，故A 正确．又124y y k+=，故B 不正确．12122422y y x x k k ++=+=，则122448AB x x p k=++=+<，即21k >，联立()214y k x y x ⎧=-⎨=-⎩，得240x kx k -+-=，∵M ，N 两点在y 轴的两侧，∴()22444160k k k k ∆=--=-+>，且40k -<，∴4k <．由21k >及4k <可得1k <-或14k <<，故k 的取值范围为()(),11,4-∞-⋃，故C 正确．设()33,M x y ，()44,N x y ，则34x x k +=，344x x k =-，则MN =假设存在实数k ，则由MN =得241613k k -+=，解得1k =或3，故存在3k =满足题意．D 正确．故选：ACD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·山东潍坊市·高一期中）已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且1是它的一个零点，则不等式()20f x -<的解集为______．【答案】{}13x x <<【详解】因为1是函数()f x 的一个零点，所以()10f =，因为函数()f x 是偶函数，所以()()22f x fx -=-，所以由()20f x -<，可得()2(1)f x f -<，又因为函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以有21x -<，解得13x <<.故答案为：{}13x x <<14．（2021辽宁省锦州市第二高级中学高三检测）学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X ，求________．15．（2020·江西景德镇一中高二期中）已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，设过2F 的直线l 与C 的右支相交于A B ，两点，且112AF F F =，222BF AF =，则双曲线C 的离心率是______.【答案】53【详解】如图：设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，因为1122AF F F c ==，M 为2AF 的中点，所以12F M AF ⊥，由122AF F A a =-，得222F A c a =-，所以2212F A M F c a ==-，在12MF F △中，22112cos 2MF c a BF F F F c -∠==，22244BF AF c a ==-，所以12242BF a BF c a =+=-，在12BF F △中，()()()22222212212112241642cos 2224F F BF BF c c a c a BF F F F BF c c a +-+---∠==⨯⨯⨯-()224121616c a ac c c a +-=-，因为2121BF F MF F π∠+∠=，2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，所以()22412160216c a c a ac c c c a -+-+=-，整理可得：221616120a ac c -+=，即225830a ac c -+=，所以225830a ac c -+=，即()()530a c a c --=，所以53a c =或a c =（舍），所以离心率53c e a ==，故答案为：5316．（2020·山东高二期末）在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为r 的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R 的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r 的最大值为________；大球半径R 的最小值为________.【答案】32158【详解】当四个半径为r 的小球相切时，小球的半径最大，大球的半径最小，如图所示：四个小球的球心和大球的球心构成一个正四棱锥P ABCD -，所以4r =6，解得32r =，其中3329,23,6222PA R AB r OA OP R r R =+====--=-，在Rt PAO 中，222PA OA OP =+，即22239222R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得158R =，故答案为：（1）32；（2）158.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·山东师范大学附中高三学业考试）在①121n n S S +=+，②214a =，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足__________，__________；又知正项等差数列{}nb 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）答案见解析；（2）5352n nn T +=-．【详解】（1）选择①②：当2n ≥时，由121n n S S +=+得121n n S S -=+，两式相减，得12n n a a +=，即()1122n n a n a +=≥，由①得2121S S =+，即()12121a a a +=+，∴121112122a a =-=-=，得112a =．∴2112a a =，∴{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，∴1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选择②③：当2n ≥时，由③112n n S a +=-，得112n n S a -=-，两式相减，得122n n n a a a +=-，∴()1122n n a n a +=≥，又1212S a =-，得112a =，∴2112a a =，∴{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，∴111111222n nn n a a q --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选择①③，由于121n n S S +=+和112n n S a +=-等价，故不能选择；设等差数列{}n b 的公差为d ，0d ≥，且1b ，21b -，3b 成等比数列．()21321b b b =-，即()()22221d d +=+，解得3d =，1d =-（舍去），∴()21331n b n n =+-=-．（2）312n n n n n c a b -==，231132131222n nn T ⨯-⨯--=+++ ，2311311321343122222n n n n n T +⨯-⨯---=++++ ，∴21113331533112222222n n n n n n n T ++--=+++-=-- ，∴5352n nn T +=-．18．（2020·山东省淄博实验中学高三月考）已知向量,12x m ⎫=⎪⎭ ，2cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，函数1()2f x m n =⋅- ．（1）若,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()f x 的取值范围；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()1f B =，5a =，b =ABC 的面积．【答案】（1）1(,22-；（2）2.【详解】（1）向量2,1),(cos ,cos )222x x x m n == ，∴231cos cos (1cos )22222x x x m n x x =+=++ ．由此可得函数11()cos sin()226f x m n x x x π=-=+=+ ，又 (,)36x ππ∈-，得(,)663x πππ+∈-1sin()(62x π∴+∈-，即()f x 的取值范围是13(,22-；(2)()sin()6f x x π=+，f ∴（B ）sin()16B π=+=，又(66B ππ+∈ ，76π，62B ππ∴+=，可得3B π=．5,a b ==，∴根据正弦定理sin sin a b A B =，可得5sin sin 13sin 2a B A b π⨯===，由a b <得A B <，所以6A π=，因此()2C A B ππ=-+=，可得ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，ABC ∴的面积11522S ab ==⨯⨯．19．（2020·山东宁阳县一中高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC =M 为BC 的中点.（1）证明：AM PM ⊥；（2）求二面角P AM D --的大小；（3）求点D 到平面APM 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45 ；（3）263.【详解】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ．PCD 为正三角形，PE CD ∴⊥， 平面PCD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥平面ABCD AM PE∴⊥ 四边形ABCD 是矩形ADE ∴V 、ECM 、ABM 均为直角三角形由勾股定理可求得：EM =，AM =，3AE =222EM AM AE ∴+=AM EM∴⊥又PE EM E AM =∴⊥ 平面PEMAM PM∴⊥（2）由（1）可知EM AM ⊥，PM AM⊥PME ∴∠是二面角P AM D --的平面角tan 1PE PME EM ∴∠===45PME ∴∠=︒∴二面角P AM D --为45︒（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则P ADM D PAM V V --=，∴11··33ADM PAM S PE S d =而1·2ADM S AD CD ==在Rt PEM 中，由勾股定理可求得PM =1·32PAM S AM PM ∴== ，所以：11333d ⨯=⨯⨯d ∴=即点D 到平面PAM 的距离为3.20．（2020·山东师范大学附中高三学业考试）冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．（1）由上面等高条形图，填写22⨯列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为23，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．()2P K k≥0.1000.0500.0100.0050.001 k 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨.【详解】（1）根据所给等高条形图，得到22⨯的列联表：A 材料B 材料合计成功453075不成功52025合计50501002K 的观测值()210045205301250507525K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关．（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元．易知X 可得0，0.1，0.2，0.3．()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21321120.13327P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2231260.23327P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2110.3327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）X 00.10.20.3P 8271227627127修复费用的期望：()8126100.10.20.30.127272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．所以石墨烯发热膜的定价至少为0.111 2.1++=万元/吨，才能实现预期的利润目标．21．（2020·五莲县教学研究室高二期中）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值；（3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =．（2）抛物线C 的准线方程为1x =-．设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=．其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=．由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-，故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k -=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭，所以2y k =，代入抛物线方程得21x k =，所以211(A k ，12k ，221(B k ，22k，||AB=因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k =-==244t =+，当且仅当0t =时取等号．当且仅时取等号．故||AB 的最小值为4．22．（2020·山东高三期中）设函数()()22ln f x x a x a x =-++，()2ln 4g x a x x b =-+，其中0a >，b R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2a >且方程()()f x g x =在()1,+∞，上有两个不相等的实数根1x ，2x ，求证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.【详解】（1）()()()()()221222220a x x x a x a a x x a x x x xf ⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭=-++'>==1°若12a <，即02a <<时，令()0f x '>，得02a x <<或1x >，令()0f x '<，得12a x <<．()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减2°若12a =，即2a =时，()()2210x f x x-'=恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增3°若12a >，即2a >时，令()0f x '>得01x <<或2a x >，令()0f x '<得12a x <<()f x 在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减综上：02a <<时，()f x 在,02a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增2a =时，()f x 在()0,∞+上单增2a >时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增（2）方程()()f x g x =即()22ln x a x a x b ---=在()1,+∞上有两个不等实根1x 和2x 不妨设121x x <<则()21112ln x a x a x b ---=①()22222ln x a x a x b ---=②①-②得221122112222ln ln +--=+--x x x x a x x x x 因为2a >，由（1）知，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增即1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>故若证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，只需证1222+>x x a ，即证12a x x <+只需证22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--<++--因为12x x <，所以1122ln ln x x x x +<+即需证：()()22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +-->++--整理得：()1212122ln ln x x x x x x --<+即证12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+令()120,1x t x =∈，()()21ln 1t h t t t -=-+()()()22101t h t t t -'=>+显然()h t 在()0,1上单增．所以()()10h t h <=故1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭得证。
高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学高三第三次调研考试
高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学高三第三次调研考试数 学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数321iz i i =+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（） （A ）12i +（B ）1i -（C ）1i -（D ）12i -（2）已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z zB ∈∈+==,,，则B 的子集个数为（）（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）8（3）已知2.12=a ，8.021-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2log 25=c ，则c b a ,,的大小关系为（）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c a b <<（D ）a c b <<（4）已知向量()1,3a =，()3,b m =，若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m ＝（）（A ）3 （B ）3-（CD ）-（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且65101=-+a a a ，则11S =（）（A ）55 （B ）66 （C ）110 （D ）132 （6）已知34cos sin =+θθ)40(πθ<<，则θθcos sin -的值为（） （A ）32（B ）32-（C ）31（D ）31-（7）已知圆O ：224x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为（）（A ）B （C）（D ）-或（8）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（）（A ）1007（B ） （C ）（D ）3024（9）已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为（）（A ）03=±y x （B ）03=±y x （C ）02=±y x （D ）02=±y x （10）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2(1)4n n S a n++=，则n a =（） （A ）2n n （B ）12n n -（C ）2nn （D ）12n n - （11）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（） （A ）π42616++ （B ）π32616++ （C ）π42610++ （D ）π32610++（12）如图，偶函数()x f 的图象如字母M ，奇函数()x g 的图象如字母N ， 若方程()()0=x g f ，()()0=x f g 的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（）（A ）18 （B ）16 （C ）14 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
高三数学试卷模拟题及答案
高三数学试卷模拟题及答案
第一部分：选择题
1.下列函数中，是奇函数的是（） A. y=x3+x B. y=2x2−3x C.
y=2x+x D. y=x2−x
答案：A
2.在等差数列 $2, 5, 8, \\ldots$ 中，第n项为a n，则a10=（） A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
答案：D
3.若 $\\log_2 a = 3$，$\\log_5 b = 2$，则 $\\log_{10}(a^2b)=$ （） A.
12 B. 15 C. 18 D. 24
答案：A
4.已知P是(−1,3)点到直线2x−y+1=0的距离，Q是(−2,1)点到
直线x−3y+1=0的距离，则P:Q=（） A. 2:1 B. 1:2 C. 3:1 D. 1:3
答案：B
5.函数 $f(x)=\\frac{x}{x-3}$，则f(f(x))的定义域是（） A. x eq3 B.
x eq0 C. x eq3且x eq0 D. 全体实数
答案：A
第二部分：解答题
1.已知函数 $f(x)=\\log_ax$，a eq1，求证：
$f(x)+f\\left(\\frac{1}{x}\\right)=0$ 成立的充分必要条件是a=1或a=−1。
（证明过程略）
2.某数列的前n项和S n满足关系式S n=2n2+n，求该数列的通项公
式。
（解答过程略）
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(1,2)，且对称轴为直线
x=2，求a,b,c的值。
（解答过程略）
以上为高三数学试卷模拟题及答案，同学们可以仔细查阅，认真思考，争取取
得好成绩。
2024年河北高考数学模拟试卷及答案
2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
高考数学模拟试题及答案 (二十套)
【解析】
【分析】
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出 平面 ，分别取棱 、 、 、 、 、 的中点 、 、 、 、 、 ，比较 和六边形 的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面 与棱 、 的交点 、 ，判断四边形 的形状可判断C选项的正误；将矩形 与矩形 延展为一个平面，利用 、 、 三点共线得知 最短，利用平行线分线段成比例定理求得 ，可判断D选项的正误.
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,则 ， ，所以B正确.
对于选项C、D， ，
令 ，即 ，所以 ,则令 ,
,令 ,得
由函数 的图像性质可知:
时， ， 单调递减.
时， ， 单调递增.
所以 时， 取得极小值，
即当 时 取得极小值，
又 ,即
又因为在 上 单调递减，所以
所以 时， 取得极小值，
即当 时 取得极大值，
又 ，即
所以
当 时，
所以当 ，即 时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.
A.月跑步里程最小值出现在2月
B.月跑步里程逐月增加
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷(三模)含解析
2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷（三模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数0z ≠，则“1z =”是“1R z z +∈”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C 充要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】当1z ==时，即221a b +=，12R z a z+=∈，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要，得到答案.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，当1z ==时，即221a b +=，2211i i i 2R i a b z a b a b a z a b a b-+=++=++=∈++，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要性.综上所述：“1z =”是“1R z z +∈”的充分不必要条件.故选：A2.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（）A.tan ba ϕ=B.cos ϕ=C.tan a bϕ=D.sin ϕ=【正确答案】C【分析】先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan a bϕ=.【详解】sin cos y a x b x=+x x ⎫=+⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=，函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C.本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题.3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【正确答案】D【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：()20.9P x ≥=，故()20.1P x <=，因为6242+=，所以根据对称性得.()()620.1P x P x ≥=<=故选：D.4.中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=++⋅）A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L【正确答案】B【分析】由勾股定理算出高h ，即可由公式求体积.【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为h ，则22222202112239236711.591.752224h 骣骣琪琪琪=-=-==琪琪琪桫桫桫，故(223120112371.2cm 2.4L 3V 棱台=⨯+≈≈.故选：B5.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示.其中()()()()12,6,4,8,n n A n B n A B Ω===⋃=则事件A 与事件B （）A.是互斥事件，不是独立事件B.不是互斥事件，是独立事件C.既是互斥事件，也是独立事件D.既不是互斥事件，也不是独立事件【正确答案】B【分析】由()4n A B = 可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【详解】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω==== ，所以()2n A B = ，()4n A B = ，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=，所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选：B.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =--，且函数()1f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-，则20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.925B.1625C.3425D.4125【正确答案】C【分析】由函数(1)f x +是偶函数，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，从而有()(2)f x f x -=+，再结合()2()f x f x =--可得函数()f x 的周期为4，然后利用周期和()2()f x f x =--将20235化到[]1,0-上即可求解.【详解】因为函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+，因为()2()f x f x =--，所以()(2)2f x f x ++=，所以(2)(4)2f x f x +++=，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，所以33()(101204)()53525f f f =⨯+=，因为233334()2(21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦，所以202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：C.7.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB CD ，相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y ⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为（）A.5B.105C.5D.5【正确答案】B【分析】设(),,P m n PA t =，进而得,,,A B C D 的坐标，进而根据对称性得()()3,,2,2A t t C t t ，再代入椭圆方程整理得2235b a =，最后求解离心率即可.【详解】解：设(),,P m n PA t =，则()(),,,3A m n t B m n t +-，()(),,5,C m t n D m t n +-，由题知,A B 关于x 轴对称，,C D 关于y 轴对称，所以30n t n t ++-=，50m t m t ++-=，即n t =，2m t =，所以()()3,,2,2C t t A t t ，所以2222222291441t t a b t t a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22229144a b a b +=+，所以2253a b=，即2235b a =，所以椭圆E的离心率为5e ===.故选：B8.已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A.log 2log 2log 2x y z x y z >>B.log 2log 2log 2y z x y z x >>C.log 2log 2log 2x z y x z y >>D.log 2log 2log 2y x z y x z>>【正确答案】B【分析】由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0，∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞，()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增，()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0，∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<，∴log 2log 2log 2y z x y z x >>．故选B ．本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在9x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256C.常数项为84D.有理项有2项【正确答案】BC【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】9x⎛⎝的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为92，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为82256=，故B 正确；展开式的通项为139922199C C ,09,N rr r r rr T x x x r r ---+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，令3902r -=，解得6r =．故常数项为6399C C 84==，故C 正确；有理项中x 的指数为整数，故0r =，2，4，6，8，故有理项有5项，故D 错误．故选：BC10.下列说法正确的是（）A.若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B.若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C.设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“lα⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D.若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补【正确答案】AB【分析】对于选项ABC ，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；对于选项D ，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.【详解】选项A ，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a 与平面α平行，与条件相矛盾，故选项A 正确；选项B ，由面面平行的判定定理可知选项B 正确；选项C ，当直线,m n 不相交时，由线面垂直的判定定理知：l m ⊥且l n ⊥时，得不到l α⊥，故选项C 错误；选项D ，当11//αβ，αβ⊥时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90︒,平面1α与平面1β所成的二面角为0︒，故选项D 错误.故选：AB11.定义在R 上的函数()()π2sin N 3f x x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭满足在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确．．．的是（）A.()f x 的最小正周期为π2B.将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后关于原点对称C.()f x 图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABC【分析】根据题意可求出ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知π23T T <<，于是36ω<<，于是πππ0263ππ3ππ632ωω⎧-≤-+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，∴45ω<≤，又N ω*∈，∴5ω=，∴()π2sin 53f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由2π2π==5T ω，则()f x 的最小正周期为25π，故A 错误；对于B ，因为ππ4π4π2π2sin 52sin 52sin 52π2sin 533333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin 53g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2π02sin 3g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 不关于原点对称，故B 错误；对于C ，由π7π2sin 166f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，由π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πππ5,323x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：ABC ．12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足||||5PM PN ⋅=，则下列结论正确的是（）A.点P 的横坐标的取值范围是⎡⎣B.OP 的取值范围是[]1,3C.PMN 面积的最大值为52D.PM PN +的取值范围是⎡⎤⎣⎦【正确答案】BC【分析】设出点P 的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A ；利用几何意义并结合求函数值域判断B ；利用三角形面积公式计算判断C ；取点计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，对于A ，2222222225[(2)][(2)](2)(2)(4)x y x y x x x =++-+≥+-=-，当且仅当0y =时取等号，解不等式22(4)25x -≤得：33x -≤≤，即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-，A 错误；对于B ，2222[(4)4][(4)4]25x y x x y x +++++-=，则224x y ++=显然209x ≤≤，因此||[1,3]OP ==，B 正确；对于C ，PMN 的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN =∠≤=，当且仅当90MPN ∠= 时取等号，当90MPN ∠= 时，点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上，由222244x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39454x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，516PM PN +=+=，D 错误.故选：BC易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则AB 在CD上的投影为______.【正确答案】2105【分析】先求AB ，CD，再求AB ，CD ，AB CD ⋅ ，利用向量夹角余弦公式求夹角，再由投影向量的模长公式求解.【详解】因为()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，所以()2,2AB =，()1,3CD =- ，所以AB ==，CD == ，264AB CD ⋅=-+= ，设向量AB 与CD 的夹角为θ，5cos 5|||AB CD AB CD θ⋅===，那么AB 在CD上的投影为5210cos 55AB θ==|故答案为.514.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．【正确答案】10π【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，24π20πR R =⇒=，又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足22252l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，而圆柱的侧面积2πS rl =，0l >，因为22222l l r r lr ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即102r =，l =时等号成立，所以5lr ≤，2π10πS rl =≤，故10π15.已知实数a b c d ,,,成等比数列，且函数()ln 2y x x =+-，当x b =时取到极大值c ，则ad 等于______.【正确答案】1-【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.【详解】令()()ln 2f x x x =+-，则函数()()ln 2f x x x =+-的定义域为()2,-+∞，导函数11()122x f x x x --'=-=++，当()2,1x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 在()2,1--上单调递增，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()1,-+∞上单调递减，所以当=1x -时，函数()ln 2y x x =+-取极大值，极大值为1，所以1,1b c =-=，故bc 1=-，又a b c d ,,,成等比数列，所以1ad bc ==-，故答案为.1-16.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按()1,1，再按()4,4），则()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变的概率为______.()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4【正确答案】41120【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】要使得()2,3的状态发生改变，则需要按()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3这五个开关中的一个，要使得()4,1的状态发生改变，则需要按()3,1，()4,1，()4,2这三个开关中的一个，所以要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，故所求概率为222853216A A A 41A 120++=.故41120关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，是解题的关键.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知{}n a 为等差数列，且11a =，()6423a a a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，{}n b 的前n 项和为n S ，求127128n S ≤成立的n 的最大值.【正确答案】（1）n a n =（2）7【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；（2）代入等比数列的前n 项和公式即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为：d ，()6423a a a =-，11a =∴()111533a d a d a d +=+--，∴1d =.∴()1111n a a n d n n =+-=+-=，即n a n =.【小问2详解】()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，nan =，∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列{}n b 为等比数列，所以11112211212n n nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--由127128nS ≤，即112712128n -≤，化简得：111282n ≤，解得17n ≤≤，()*n ∈N ，所以，要使127128nS ≤成立的n 的最大值为：7.18.已知函数()()sin 0,π2,0f x M x M ϕωϕω⎛⎫>>⎭<⎪⎝＝＋）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=，求2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围.【正确答案】（1）()π26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）利用最大值和最小值，求出M ，通过函数的周期求出ω，由经过π,16⎛⎫⎪⎝⎭，求出φ，即可求出()f x 的解析式；（2）利用()2cos cos a c B b C －＝，结合正弦定理，求出cos B ，利用函数的解析式2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，通过A 的范围求出函数的取值范围.【小问1详解】由图象知函数()f x 的最大值为1，最小值为1-，所以1M =由图象知函数()f x 的周期5ππ4π126T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以ω2=，将点π,16⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得πsin φ13⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为πφ2<，所以πφ6=，所以()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()2cos cos a c B b C -=得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，2sin cos sin A B A =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，π3B =，2π3A C +=，由（1）πsin 26A f A ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2π03A <<，ππ5π666A <+<，所以π1sin 62A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以1,122A f ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.所以2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.19.如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，//FD EA ，且112FD EA ==.（1）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；（2）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【正确答案】（1）答案见解析（2）6【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得所作直线必平行面ABCD 与面ECF 的交线，因此先作两平面交线，再在平面ABCD 内作交线的平行线.（2）建立空间直角坐标系，求直线EB 的方向向量和平面ECF 的法向量，利用向量夹角公式求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【小问1详解】延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，取线段CD 的中点M ，连接KM ，直线KM 即为所求．证明如下：延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，因为//FD EA ，所以FDA EAN ∽，又12FD EA =，所以12ND NA =，所以ND DA BC ==，又//ND BC ，所以四边形BCND 为平行四边形，所以//CN BD ，取CD 的中点M ，连接KM ，∵,K M 分别为,BC CD 的中点，∴//KM BD ，∴//KM CN ．∵CN ⊂平面EFC ，KM ⊄平面EFC ，∴//KM 平面EFC．【小问2详解】以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,1A E B C F ，所以()()()2,2,2,2,0,2,0,2,1EC EB EF =-=-=-，设平面ECF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n EC n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =得，1,2x z ==，平面ECF 的一个法向量(1,1,2)n =.设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，则3sin cos ,6E EB n E B B n nθ⋅====⋅.所以直线EB 与平面ECF所成角的正弦值为6.20.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.xyt1021ii x=∑101iii x y=∑1021ii t=∑101iii t y=∑2017.580.4 1.5.0.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110i i t t ==∑（1）根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()112211ˆnni ii i i i n ni ii i u u vv u vnu v u u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.【正确答案】（1）()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%（2）（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【小问1详解】由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.8101.580.4ˆ427.7101.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.【小问2详解】设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.21.已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+线C 仅有一个公共点.（1）求双曲线C 的方程（2）设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.【正确答案】（1）2211616x y -=（2）证明见解析【分析】（1可得a b =，再联立直线与双曲线利用判别式可得C 的方程；（2）设2l 方程，及M N ，的坐标，由过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，可得点H 为2016,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.再证AN MH ⊥即可.【小问1详解】因为双曲线C 2222a b a+=，即22a b =，所以双曲线C 的方程为222x y a -=，联立直线1l 与双曲线C 的方程2222y x x y a⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得(2222x x a -+=，即))2216480a +++=，因为1l 与双曲线C 仅有一个公共点，所以()22164480a ∆=-+=，解得216a =,故双曲线C 的方程为2211616x y -=.【小问2详解】设(2:2l y x m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y 则M N 、满足222,16,y x m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得2234160x mx m +++=，所以1243x x m +=-，212163m x x +=，如图所示，过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，则AH 的方程为122y x =--.代入2216x y -=得238800x x --=，即4x =-（舍去）或203x =.所以点H 为2016,33⎛⎫-⎪⎝⎭.所以()()()()()()21122122116322162320320443AN MHy y x m x m x m k k x x x x ⎛⎫+ ⎪++++⎝⎭==-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()2222212122212122241683163212632316312328016163280m m m m x x x m x x x m m x x x x x m m x +-++++++++==++--+---，22221632611632644m m x m m x -++==----+所以MH AN ⊥，故H 为AMN 的垂心，得证.关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求AMN 一条垂线与双曲线的交点H ，再证另两条过交点H 的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.22.已知()21ln 22f x a x x x =+-（R a ∈且0a ≠），()cos sin g x x x x =+．（1）求()g x 在[],ππ-上的最小值；（2）如果对任意的[]1,x ππ∈-，存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()212f x ag x x -≤成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）-1（2）()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对()g x 求导，因为()g x 为偶函数，求出()g x 在()0,x π∈的单调性，即可求出[],ππ-上的最小值；（2）由（1）知，()g x 在[],ππ-上的最小值为1-，所以21,x e e⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立，即2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x xx x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．【小问1详解】()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，显然()g x 为偶函数，当0x >时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x >，()0g x '>，∴()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x <，()0g x '<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-，∴()g x 在()0,π上的最小值为1-．由偶函数图象的对称性可知()g x 在(),ππ-上的最小值为1-．【小问2详解】先证ln 1≤-x x ，设()ln 1h x x x =-+，则()111x h x x x-'=-=，令()001h x x '>⇒<<，令()01h x x '⇒，∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．()()10h x h ≤=故ln 1≤-x x ①恒成立．由题意可得21,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立．由①可知22ln 10x x ->≥，参变分离得2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x x x x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．()()()()()()2221111ln 1ln 122'ln ln x x x x x x x x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫----⋅--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--由①知ln 1≤-x x 得ln 1x x -≥-，∴1114ln 111202222xx x x x x --++-+=-=>≥令()'01x x e ϕ>⇒<<，令()1'01x x eϕ<⇒<<，∴()x ϕ在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增．∴()()min 112x ϕϕ==-，∴12a ≥-，又已知0a ≠故a 的取值范围为()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。
2024年新高考数学模拟卷A卷(解析版)
2024年新高考数学模拟卷A 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}2468M =，，，，{}2|280N x x x =--≤，则M N ⋂=（）A ．{}2,4B ．{}2,4,6C ．{}2,4,6,8D ．[]24，【答案】A【详解】由题意{}2|280{|24}N x x x x x =--≤=-≤≤，∴{2,4}M N ⋂=．故选：A ．2．复数2(2)i z i-=i 为虚数单位，则A ．25B ．C ．5D ．【答案】C【详解】()()()223443,1i i i z i i--⨯-===--()()2243 5.z -+-=3．已知()1,3a =-，()2,1b =- ，且()()2//a b ka b +-，则实数k =（）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】D【详解】 (1,3)=- a ，()2,1b =- ，(1ka b k ∴-= ，3)(2---，1)(2k =+，13)k --，2(3,1)a b +=--，()//(2)ka b a b +-，(2)3(13)k k ∴-+=---，∴解得：12k =-．故选：D ．4．已知函数2,(1)()4,(1)x a x ax x f x a x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩，若()y f x =在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．()2,4C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【详解】()f x 在(),-∞+∞上单调递增；∴2112211414aa a a a a a a⎧≥⎪≥⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪≤⎩⎪-++≤⎩，解得24a ≤≤；所以实数a 的取值范围为[]2,4．故选：A ．5．若椭圆X ：()22211x y a a +=>与双曲线H ：2213x y -=的离心率之和为736，则=a （）A ．2B 3C 2D ．1【答案】A【详解】椭圆X ：()22210x y aa +=>H ：2213x y -==，=2a=.故选：A.6．设过点(0,P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．19BC ．19-D ．【答案】A【详解】解法1：如图，圆22410x yx +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r ，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，得2sin 3APC APC ∠∠=，则221cos cos sin 09APB APC APC∠=∠-∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，所以1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选A.解法2：如图，圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB+-⋅∠=+-⋅∠，且πACB APB ∠=-∠，则448cos 5510cos APB ACB +-∠=+-∠，即44cos 55cos APB ACB -∠=-∠，解得1cos 09APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，则1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选：A.解法3：圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =线方程为0x=，则圆心到切点的距离2d r =<，不合题意；若切线斜率存在，则设切线方程为y kx =，即0kx y -=，则圆心到切线的距离d =120,k k ==-1212sin tan 1cos k k k k ααα-==+，又α为锐角，由22sin cos 1αα+=解得1cos 9α=.故选：A.7．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件【答案】B【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足.故选：B8．若ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan αβ+=（）A ．－1B ．1C ．－2D ．2【答案】A【详解】解法一：由题得()()2sin sin cos 2222βαααβαβ⎫-=-+-⎪⎪⎝⎭，所以2sin sin 2cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=-++，即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ++-=，即()()sin cos 0αβαβ+++=，显然()cos 0αβ+≠，故()tan 1αβ+=-.解法二：令π4αθ-=，则π4αθ=+，所以ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为π2sin sin sin 2βθθβ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin sin cos βθθβ=-，所以2sin sin cos cos sin sin βθθβθβ=+，即cos cos sin sin 0θβθβ-=，所以()cos 0θβ+=，则ππ2k θβ+=+，k ∈Z ，所以()πππ3πtan tan tan πtan 14424k αβθβ⎛⎫⎛⎫+=++=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈Z .故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024年高考数学全真模拟试题
2024年高考数学全真模拟试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A ＝｛x ｜ x² 3x ＋ 2 ＝ 0}，B ＝｛1, 2}，则A ∩ B ＝（）A ｛1}B ｛2}C ｛1, 2}D ∅2、复数 z ＝（1 ＋ i）（2 i），则｜z| ＝（）A 2B 5C 10D 2 23、已知向量 a ＝（1，2），b ＝（2，－1），则 a·b ＝（）A 0B 3C 4D 54、函数 f(x) ＝ sin(2x ＋π/3)的最小正周期为（）A πB 2πC π/2D 4π5、若直线 l₁：x ＋ 2y 3 ＝ 0 与直线 l₂：2x my ＋ 1 ＝ 0 平行，则 m ＝（）A －4B －1C 1D 46、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ，若 a₁＝ 1，d ＝ 2，则S₅＝（）A 25B 20C 15D 107、从 5 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加某项活动，至少有 1 名女生的选法有（）A 80 种B 70 种C 65 种D 60 种8、抛物线 y²＝ 8x 的焦点到准线的距离为（）A 2B 4C 8D 169、已知函数 f(x) ＝ x³ 3x ＋ 1，则函数 f(x) 的单调递增区间是（）A （∞，－1）和（1，＋∞）B （－1，1）C （∞，－1）D （1，＋∞）10、若函数 f(x) ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）在区间2，4上的最大值与最小值之差为 1，则 a ＝（）A 2B 4C 1/2D 1/411、若圆 C：x²＋ y² 2x 4y ＋ 1 ＝ 0 关于直线 l：ax ＋ by 1 ＝ 0（a ＞ 0，b ＞ 0）对称，则 1/a ＋ 2/b 的最小值为（）A 4B 6C 8D 1012、已知函数 f(x) ＝2sin(ωx ＋φ)（ω ＞ 0，｜φ| ＜π/2）的图象过点（0，1），且在区间（π/12，5π/12）上单调递减，则ω 的最大值为（）A 11B 9C 7D 5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、曲线 y ＝ x³ 3x²＋ 1 在点（1，－1）处的切线方程为________。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷134
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系． 【重点知识梳理】 1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：anan －1＝q(n≥2，q 为非零常数)，或an ＋1an ＝q(n ∈N*，q 为非零常数)．2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q ，则其通项公式为an ＝a1qn －1； 通项公式的推广：an ＝amqn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，Sn ＝na1；当q≠1时，Sn ＝a1（1－qn ） 1－q ＝a1－anq1－q .3．等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G2＝ab.(2)若{an}为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n(k ，l ，m ，n ∈N*)，则ak·al ＝am·an ．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…仍是等比数列，公比为qm ．(4)当q≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 仍成等比数列，其公比为qn ． 【高频考点突破】考点一 等比数列中基本量的求解【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于() A.152 B.314 C.334 D.172(2)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则an ＝________．(3)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an ＝1，则n ＝________．规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【变式探究】在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n 项和．考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝() A ．4 B ．5 C ．6 D ．7(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n 项和为Sn ，若S10S5＝3132，则公比q ＝________．规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则am·an ＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【变式探究】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为() A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±33(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．42 考点三 等比数列的判定与证明【例3】已知数列{an}的前n 项和为Sn ，数列{bn}中，b1＝a1，bn ＝an －an －1(n≥2)，且an ＋Sn ＝n. (1)设cn ＝an －1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．规律方法 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明anan －1＝q(n≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a2n ＝an －1·an ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【变式探究】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n 项和为Sn ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn ＋54是等比数列． 【真题感悟】【高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中56a =+526c =-b =．【高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =. 1．（·重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A ．a1，a3，a9成等比数列B ．a2，a3，a6成等比数列C ．a 2，a4，a8成等比数列D ．a3，a6，a9，成等比数列2．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.3．（·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．4．（·全国卷） 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．35．（·湖北卷） 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．6．（·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜32.7．（·山东卷） 已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.8.（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．9．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．10．（·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}， 集合A ＝{x|x ＝x1＋x2q ＋…＋xnqn －1，xi ∈M ，i ＝1，2，…，n}． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s ，t ∈A ，s ＝a1＋a2q ＋…＋anqn －1，t ＝b1＋b2q ＋…＋bnqn －1，其中ai ，bi ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若an<bn ，则s<t.11．（·新课标全国卷Ⅰ）若数列{an}的前n 项和Sn ＝23an ＋13，则{an}的通项公式是an ＝________． 12．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为An ，第n 项之后各项an ＋1，an ＋2，…的最小值记为Bn ，dn ＝An －Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N*，an ＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d 是非负整数，证明：dn ＝－d(n ＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d 的等差数列； (3)证明：若a1＝2，dn ＝1(n ＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 13．（·北京卷）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q ＝________；前n 项和Sn ＝________．14．（·江西卷）等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．2415．（·江苏卷）在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝3. 则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an 的最大正整数n 的值为________．16．（·湖南卷） 设Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn ＝(－1)nan －12n ，n ∈N*，则 (1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．17．（·辽宁卷） 已知等比数列{}an 是递增数列，Sn 是{}an 的前n 项和，若a1，a3是方程x2－5x ＋4＝0的两个根，则S6＝________．18．（·全国卷）已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．19．（·全国卷）已知数列{an}满足3an ＋1＋an ＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于( ) A ．－6(1－3－10) B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)20．（·陕西卷）设{an}是公比为q 的等比数列． (1)推导{an}的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an ＋1}不是等比数列．21．（·四川卷）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．22．（·新课标全国卷Ⅱ） 等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－1923．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【押题专练】1．在等比数列{an}中，an ＞0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝ ()A ．9B ．6C ．3D ．2 2．记等比数列{an}的前n 项积为Ⅱn ，若a4·a5＝2，则Ⅱ8＝()A ．256B ．81C ．16D ．13．在正项等比数列{an}中，an ＋1＜an ，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7＝ () A.56B.65C.23D.324．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，a4－a1＝78，S3＝39，设bn ＝log3an ，那么数列{bn}的前10项和为()A ．log371B.692C ．50D ．555．已知数列{an}满足log3an ＋1＝log3an ＋1(n ∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log 13(a5＋a7＋a9)的值是 ()A ．－15B ．－5C ．5D.156．数列{an}中，已知对任意n ∈N*，a 1＋a2＋a3＋…＋an ＝3n －1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n 等于 () A ．(3n －1)2B.12(9n －1)C ．9n －1D.14(3n －1)7．已知等比数列{an}的公比为q ，记bn ＝am(n －1)＋1＋am(n －1)＋2＋…＋am(n －1)＋m ，cn ＝am(n －1)＋1·am(n －1)＋2·…·am(n －1)＋m(m ，n ∈N*)，则以下结论一定正确的是()A ．数列{bn}为等差数列，公差为qmB ．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC ．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D ．数列{cn}为等比数列，公比为qmm8．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1b2的值是________．9．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1·a2n －1＝4n ，则数列{an}的通项公式是______． 10．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________． 11．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn －an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n 项和．12．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an ，an ＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn ，Tn)在直线y ＝－12x ＋1上，其中Tn 是数列{bn}的前n 项和．(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn}是等比数列．13．等比数列{cn}满足cn ＋1＋cn ＝10·4n －1(n ∈N*)，数列{an}的前n 项和为Sn ，且an ＝log2cn. (1)求an ，Sn ；(2)数列{bn}满足bn ＝14Sn －1，Tn 为数列{bn}的前n 项和，是否存在正整数m ，k(1＜m ＜k)，使得T1，Tm ，Tk 成等比数列？若存在，求出所有m ，k 的值；若不存在，请说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【热点题型】题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1)D (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →， 所以AB →＝85AN →－45AM →， 所以λ＋μ＝45. (2)设BP →＝kBN →，k ∈R. 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k(AN →－AB →)＝AB →＋k(14AC →－AB →)＝(1－k)AB →＋k 4AC →， 且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 【提分秘籍】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【举一反三】已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3D ．0题型二平面向量的坐标运算例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴MN →＝(9，－18)． 【提分秘籍】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【举一反三】(1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)(2)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.题型三向量共线的坐标表示例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)(·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，若a ∥b ，则tanθ＝________.【提分秘籍】(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a ∥b(b≠0)，则a ＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【举一反三】(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D 的坐标为________．(2)△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，且p ∥q ，则角C ＝________.答案 (1)(2,4) (2)60°解析 (1)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →. 设点D 的坐标为(x ，y)，则DC →＝(4,2)－(x ，y)＝(4－x,2－y)， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． (2)因为p ∥q ，则(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0， 所以a2＋b2－c2＝ab ， 所以a2＋b2－c22ab ＝12， 结合余弦定理知， cosC ＝12，又0°<C<180°， 所以C ＝60°. 【高考风向标】1.【高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.1．（·重庆卷） 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 【答案】C【解析】∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b)⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.2．（·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B ．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.3．（·山东卷） 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2， 所以⎩⎨⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)． 由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0， 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g(x)得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k ∈Z 得kπ－π2≤x≤kπ，k ∈Z ， 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π2，kπ，k ∈Z.4．（·陕西卷） 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 【答案】12【解析】因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12. 5．（·陕西卷） 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 6．（·安徽卷） 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3 【答案】D【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x2＋y2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，3)，设P(x ，y)，则(x ，y)＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1， 所以12x －12 3y ＋13y≤1，即|3x －y|＋|2y|≤2 3.①⎩⎨⎧3x －y≥0，y≥0，3x ＋y≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y≥0，y<0，3x －3y≤2 3或 ③⎩⎨⎧3x －y<0，y≥0，－3x ＋3y≤23或④⎩⎨⎧3x －y<0，y<0，－3x －y≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.7．（·湖南卷） 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．1，2＋2 【答案】A【解析】由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c|＝x2＋y2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，|c|min ＝12＋12－1＝2－1，故选A.8．（·北京卷） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．图1－3 【答案】4【解析】以向量a 和b 的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.9．（·辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35【答案】A【解析】∵AB →＝(3，－4)，∴与AB →方向相同的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45，故选A. 10．（·天津卷） 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【答案】1211．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．【答案】2【解析】如图，建立直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，AE →·BD →＝2.12．（·重庆卷） 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ ⊥P′Q ，求圆Q 的标准方程．图1－9【解析】(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a2＋22b2＝1，从而e2＋4b2＝1. 由e ＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2＝16.故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.13．（·重庆卷） 在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【高考押题】1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 答案 B解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →) ＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ等于( ) A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb)∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 答案 A解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x＝23，y ＝13.6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________． 答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k≠18．已知A(－3,0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.9．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a ，b)． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)．∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷21344
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【热点题型】题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1)D (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →， 所以AB →＝85AN →－45AM →， 所以λ＋μ＝45. (2)设BP →＝kBN →，k ∈R. 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k(AN →－AB →)＝AB →＋k(14AC →－AB →)＝(1－k)AB →＋k 4AC →， 且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 【提分秘籍】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【举一反三】已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3D ．0题型二平面向量的坐标运算例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴MN →＝(9，－18)． 【提分秘籍】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【举一反三】(1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)(2)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.题型三向量共线的坐标表示例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)(·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，若a ∥b ，则tanθ＝________.【提分秘籍】(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a ∥b(b≠0)，则a ＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【举一反三】(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D 的坐标为________．(2)△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，且p ∥q ，则角C ＝________.答案 (1)(2,4) (2)60°解析 (1)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →. 设点D 的坐标为(x ，y)，则DC →＝(4,2)－(x ，y)＝(4－x,2－y)， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． (2)因为p ∥q ，则(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0， 所以a2＋b2－c2＝ab ， 所以a2＋b2－c22ab ＝12， 结合余弦定理知， cosC ＝12，又0°<C<180°， 所以C ＝60°. 【高考风向标】1.【高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.1．（·重庆卷） 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 【答案】C【解析】∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b)⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.2．（·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B ．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.3．（·山东卷） 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2， 所以⎩⎨⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)． 由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0， 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g(x)得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k ∈Z 得kπ－π2≤x≤kπ，k ∈Z ， 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π2，kπ，k ∈Z.4．（·陕西卷） 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 【答案】12【解析】因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12. 5．（·陕西卷） 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 6．（·安徽卷） 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3 【答案】D【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x2＋y2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，3)，设P(x ，y)，则(x ，y)＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1， 所以12x －12 3y ＋13y≤1，即|3x －y|＋|2y|≤2 3.①⎩⎨⎧3x －y≥0，y≥0，3x ＋y≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y≥0，y<0，3x －3y≤2 3或 ③⎩⎨⎧3x －y<0，y≥0，－3x ＋3y≤23或④⎩⎨⎧3x －y<0，y<0，－3x －y≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.7．（·湖南卷） 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．1，2＋2 【答案】A【解析】由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c|＝x2＋y2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，|c|min ＝12＋12－1＝2－1，故选A.8．（·北京卷） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．图1－3 【答案】4【解析】以向量a 和b 的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.9．（·辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35【答案】A【解析】∵AB →＝(3，－4)，∴与AB →方向相同的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45，故选A. 10．（·天津卷） 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【答案】1211．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．【答案】2【解析】如图，建立直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，AE →·BD →＝2.12．（·重庆卷） 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ ⊥P′Q ，求圆Q 的标准方程．图1－9【解析】(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a2＋22b2＝1，从而e2＋4b2＝1. 由e ＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2＝16.故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.13．（·重庆卷） 在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【高考押题】1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 答案 B解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →) ＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ等于( ) A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb)∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 答案 A解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x＝23，y ＝13.6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________． 答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k≠18．已知A(－3,0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.9．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a ，b)． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →， ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 【重点知识梳理】1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 Sn ＝n （a1＋an ） 2 ＝na1＋n （n －1）2d ． ②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，Sn ＝na1；(ⅱ)当q≠1时，Sn ＝a1（1－qn ）1－q ＝a1－anq1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an ＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n.【高频考点突破】 考点一 分组转化法求和【例1】设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n ∈N*，函数f(x)＝(an －an ＋1＋an ＋2)x ＋an ＋1cos x －an ＋2sin x 满足f′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{an} 的通项公式；(2)若bn ＝2⎝⎛⎭⎫an ＋12an ，求数列{bn}的前n 项和Sn.规律方法 常见可以使用公式求和的数列：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．【变式探究】在等差数列{an}中，已知公差d ＝2，a2是a1与a4的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝a n （n ＋1）2，记Tn ＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn ，求Tn.考点二 错位相减法求和【例2】 (·江西卷)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0.(1)令cn ＝anbn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.【规律方法】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn”的表达式．【变式探究】数列{an}满足a1＝1，nan ＋1＝(n ＋1)an ＋n(n ＋1)，n ∈N*.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是等差数列；(2)设bn ＝3n·an ，求数列{bn}的前n 项和Sn.考点三 裂项相消法求和【例3】正项数列{an}的前n 项和Sn 满足：S2n －(n2＋n －1)Sn －(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an ；(2)令bn ＝n ＋1（n ＋2）2a2n，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.规律方法利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．【变式探究】 (·山东卷)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.【真题感悟】【高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ） 112221n n ++--【高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n naa +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 14(31)4.9n n n T ++-⋅=【高考重庆，文16】已知等差数列{}n a满足3a=2，前3项和3S=9 2 .(Ⅰ)求{}n a的通项公式，(Ⅱ)设等比数列{}n b满足1b=1a，4b=15a，求{}n b前n项和n T.【答案】（Ⅰ）+1=2nna，（Ⅱ）21nnT.1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.2．（·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.3．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.4．（·江西卷）正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1（n＋2）2a2n ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<564.5．（·湖南卷）设Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn ＝(－1)nan －12n ，n ∈N*，则 (1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．6．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.【押题专练】1．等差数列{an}的通项公式为an ＝2n ＋1，其前n 项和为Sn ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前10项的和为 ()A ．120B ．70C ．75D ．100【答案】C2．已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n2 （当n 为奇数时），－n2（当n 为偶数时），且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A ．0B ．100C ．－100D ．10 200【答案】B3．数列a1＋2，…，ak ＋2k ，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak ＋…＋a10的值为()A ．31B ．120C ．130D ．185【答案】C4．已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1·an ＝2n(n ∈N*)，则S2 016＝() A ．22 016－1B ．3·21 008－3C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2【答案】B5．已知数列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若bn ＝1anan ＋1，那么数列{bn}的前n 项和Sn 为()A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5n n ＋1【答案】B6．数列{an}满足an ＋an ＋1＝12(n ∈N*)，且a1＝1，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S21＝() A.212B ．6C ．10D ．11【答案】B7．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝ ()A ．－100B ．0C ．100D ．10 200【答案】A8．设f(x)＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，可求得f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011的值为________．【答案】59．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．【答案】6010．在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝(－1)n(an ＋1)，记Sn 为{an}的前n 项和，则S2 013＝________．【答案】－1 00511．等比数列{an}的前n 项和Sn ＝2n －1， 则a21＋a22＋…＋a2n ＝________．【答案】13(4n －1)12．已知数列{an}的前n 项和是Sn ，且Sn ＋12an ＝1(n ∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝log 13(1－Sn ＋1)(n ∈N*)，令Tn ＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn ＋1，求Tn.13．在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表中的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷203423
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【热点题型】题型一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.∴函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X.列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 01 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－2【提分秘籍】作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【举一反三】设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．解 (1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表： 2x －π3－π3π2π32π53πx 0 π6 512π 23π 1112π π f(x)121－112图象如图．题型二利用三角函数图象求其解析式例2、(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f(0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．解析 (1)由三角函数图象得 T 2＝11π12－7π12＝π3， 即T ＝2π3，所以ω＝2πT ＝3.又x ＝7π12是函数单调增区间中的一个零点， 所以3×7π12＋φ＝3π2＋2kπ， 解得φ＝－π4＋2kπ，k ∈Z ， 所以f(x)＝Acos ⎝⎛⎭⎫3x －π4.由f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，得A ＝223，所以f(x)＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以f(0)＝223·cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝23.法二 以⎝⎛⎭⎫π3，0为第二个“零点”，⎝⎛⎭⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.答案 (1)C (2)f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 【提分秘籍】已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【举一反三】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )A ．－32B ．－62 C.3 D ．－ 3(2)函数f(x)＝Asin(ω＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为______．解析 (1)由题意得f(0)＝0， 即Acos φ＝0，因为0＜φ＜π，A ＞0，所以φ＝π2，由FG ＝2， 得T 2＝πω＝2，即ω＝π2，E 的纵坐标为yE ＝2sin 60°＝3， 所以A ＝3，故f(x)＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2＝－3sin π2x ，所以f(1)＝－ 3.故选D.(2)由三角函数图象可得A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，所以周期 T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，2所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，0＜φ＜π，解得φ＝π6， 所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝1.答案 (1)D (2)1题型三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)， 由题意知x20＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g(x)得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6. 因此g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k ∈Z 得kπ－π2≤x≤kπ，k ∈Z. 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π2，kπ，k ∈Z.【提分秘籍】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f(x)化为y ＝asin x ＋bcos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【举一反三】已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值； (2)求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．解 (1)f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin （ωx ＋φ）－12cos （ωx ＋φ） ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，则φ－π6＝π2＋kπ(k ∈Z)，所以φ＝2π3＋kπ(k ∈Z)， 又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3， 所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx.由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2. 故f(x)＝2cos 2x.因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x －2sin 2x＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 令π4－2x ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，y 有最大值22， 所以当x ＝－kπ－π8(k ∈Z)时，y 有最大值2 2. 【高考风向标】【高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B.【高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2π3π22πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12sin()A x ωϕ+0 5 0 5- 0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.1．(·天津卷) 已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π【答案】C 【解析】∵f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx1＋π6＝π6＋2k1π(k1∈Z)或 ωx2＋π6＝5π6＋2k2π(k2∈Z)，则ω(x2－x1)＝2π3＋2(k2－k1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.2．(·安徽卷) 若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π4 【答案】C【解析】方法一：将f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝kπ＋π2，k ∈Z ，即φ＝kπ2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.3．(·重庆卷) 将函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．【答案】224．(·北京卷) 函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．【解析】(1)f(x)的最小正周期为π. x0＝7π6，y0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f(x)取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f(x)取得最小值－3.5．(·福建卷) 已知函数f(x)＝2cos x(sin x ＋cos x)．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 【解析】方法一：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.方法二：f(x)＝2sin xcos x ＋2cos2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π. 由2kπ－π2≤2x ＋π4≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k ∈Z.所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k ∈Z.6．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A ．l1⊥l4B ．l1∥l4C ．l1与l4既不垂直也不平行D ．l1与l4的位置关系不确定 【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC 是直线l2，AD 是直线l3，则DD1是直线l4，此时l1∥l4；设BB1是直线l1，BC 是直线l2，A1D1是直线l3，则C1D1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．7．(·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．【答案】(1)f(8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.8．(·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 【答案】B【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2kπ≤2x －23π≤π2＋2kπ，k ∈Z ，即π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋kπ，7π12＋kπ，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．9．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 【答案】1【解析】 f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.10．(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 【答案】A11．(·山东卷) 函数y ＝32sin 2x ＋cos2x 的最小正周期为________． 【答案】π【解析】因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .12．(·陕西卷) 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 【答案】B 【解析】T ＝2π2＝π.134．(·浙江卷) 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位 【答案】A【解析】y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.14．(·四川卷) 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度 【答案】A【解析】由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.15.(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k ∈Z ，由－π2＋2kπ≤3x ＋π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos2α－sin2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αco s π4－sin αsi n π4(cos2α－sin2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2kπ，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 【高考押题】1．函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 最小正周期为T ＝2π12＝4π.答案D2．将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 解析 将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A.答案 A3．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象 ( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析 ∵y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12的图象，故选A.答案 A4．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析 由图象知f(x)的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝⎛⎭⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，即φ＝2kπ－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A.答案 A5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．y ＝f(x)是奇函数 B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称6．将函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝______．即f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝sin π4＝22.答案 227．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f(x)＝________．解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f(2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6.答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π68．设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f(x)的最小正周期为________．9．已知函数f(x)＝4cos x·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．解 (1)f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ＝4cos x·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)列表：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x ＋π6π6π2 π 3π2 2π 13π6 f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π612－21画图如下：10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f(t)＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t<24， 所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f(x)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f(t )>11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t<24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t<18.所以在10时至18时实验室需要降温．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．【重点知识梳理】1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒l⊥α性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．【高频考点突破】考点一 直线与平面垂直的判定与性质【例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE.【变式探究】 (·山东卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．求证：(1)AP ∥平面BEF ； (2)BE ⊥平面PAC.考点二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．求证：(1)CE ∥平面PAD ；(2)平面EFG⊥平面EMN.【变式探究】 (·江苏卷)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.考点三线面角、二面角的求法【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A－PD－C的正弦值．【变式探究】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小．【真题感悟】1.【高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．C D B ⊥P2.【高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V，求12V V 的值． 3.【高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1324
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【重点知识梳理】 1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)，或an －an －1＝d(n≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d ，则其通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：an ＝am ＋(n －m)d(m ，n ∈N*)． (2)等差数列的前n 项和公式 Sn ＝n （a1＋an ）2＝na1＋n （n －1）2d(其中n ∈N*，a1为首项，d 为公差，an 为第n 项)． 3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{an}为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d ，则ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…(k ，m ∈N*)是公差为md 的等差数列． (4)数列Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…也是等差数列． (5)S2n －1＝(2n －1)an.(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n.数列{an}是等差数列⇔Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d ＜0，则Sn 存在最大值；若a1＜0，d ＞0，则Sn 存在最小值． 【高频考点突破】考点一 等差数列的性质及基本量的求解【例1】 (1)设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝() A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2(2)(·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d ＞0.设{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，S2·S3＝36. ①求d 及Sn ；②求m ，k(m ，k ∈N*)的值，使得am ＋am ＋1＋am ＋2＋…＋am ＋k ＝65.规律方法 (1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【变式探究】 (1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A ．0B ．37C ．100D ．－37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________． 考点二 等差数列的判定与证明【例2】若数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋2SnSn －1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an －an －1＝d(n≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2an ＋1＝an ＋an ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【变式探究】已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝Snn ＋c ，是否存在非零实数c 使得{bn}为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．考点三 等差数列前n 项和的最值问题【例3】等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n 项和为Sn ，且S5＝S12，则当n 为何值时，Sn 有最大值？规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【变式探究】 (1)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn 取最大值时，n 的值是()A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n 项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n 的值为()A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和Sn 的最大值为________． 【真题感悟】【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12 【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d =．1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.2．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．3．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．144．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A ．d<0 B ．d>0 C ．a1d<0 D ．a1d>07．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．(1)证明：an ＋2－an ＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.10．（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．12．（·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()图1－3A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3 B．4 C．5 D．615．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．16．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n 项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.17．（·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.19．（·四川卷） 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．21．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【押题专练】1．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S33－S22＝1，则其公差d ＝ ()A.12 B ．2 C ．3D ．42．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝()A ．2B ．－2C.12D ．－123．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 () A ．24B ．39C ．104D ．524．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak ＝24，则正整数k 的值为 () A ．9B ．10C ．11D ．125．已知数列{an}满足an ＋1＝an －57，且a1＝5，设{an}的前n 项和为Sn ，则使得Sn 取得最大值的序号n 的值为() A ．7B ．8C ．7或8D ．8或96．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为 ()A.53B.103C.56D.1167．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，(n ＋1)Sn ＜nSn ＋1(n ∈N*)．若a8a7＜－1，则 () A ．Sn 的最大值是S8B ．Sn 的最小值是S8C ．Sn 的最大值是S7D ．Sn 的最小值是S78．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________．9．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________． 10．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________． 11．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1<0，S2 015＝0. (1)求Sn 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使an≥Sn.12．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为Sn ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{bn}的通项bn ＝Snn ，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n 项和Tn. 高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 【热点题型】题型一 分组转化法求和例1、已知数列{an}的通项公式是an ＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n 项和Sn. 【提分秘籍】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【举一反三】(1)数列{an}中，an ＋1＋(－1)nan ＝2n －1，则数列{a n}前12项和等于( ) A ．76B ．78C ．80D ．82(2)已知数列{an}的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an ＝________，其前n 项和Sn ＝________.题型二错位相减法求和例2、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝(4－an)qn －1(q≠0，n ∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Sn. 【提分秘籍】(1)错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an ＝bn×cn 的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围． 【举一反三】已知首项为12的等比数列{an}是递减数列，其前n 项和为Sn ，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝an·log2an ，数列{bn}的前n 项和为Tn ，求满足不等式Tn ＋2n ＋2≥116的最大n 值．题型三裂项相消法求和例3 、已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14nanan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【提分秘籍】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．【举一反三】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n 项和Sn 满足S2n ＝an ⎝⎛⎭⎫Sn －12. (1)求Sn 的表达式；(2)设bn ＝Sn2n ＋1，求{bn}的前n 项和Tn.【高考风向标】【高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .83241=⋅=⋅a a a a 1112--==n n n q a a .1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-【高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【高考重庆，文16】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式，(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足 anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0. (1)令cn ＝anbn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.2．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.3．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【高考押题】1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和Sn 的值等于( ) A ．n2＋1－12n B ．2n2－n ＋1－12n C ．n2＋1－12n －1D ．n2－n ＋1－12n2．已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( ) A ．0B ．－100C ．100D ．102003．数列a1＋2，…，ak ＋2k ，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak ＋…＋a10的值为( )A ．31B ．120C ．130D ．1854．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－6n ，则{|an|}的前n 项和Tn 等于( )A ．6n －n2B ．n2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n21≤n≤3，n2－6n ＋18n>3D.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n21≤n≤3，n2－6n n>35．数列an ＝1n n ＋1，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．96．数列{an}满足an ＋an ＋1＝12(n ∈N*)，且a1＝1，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S21＝________.7．已知数列{an}满足an ＋an ＋1＝－1n ＋12(n ∈N*)，a1＝－12，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S ＝________.8．设f(x)＝4x 4x ＋2，若S ＝f(1)＋f(2)＋…＋f()，则S ＝________. 9．已知数列{an}是首项为a1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设bn ＋2＝143log n a (n ∈N*)，数列{cn}满足cn ＝an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n 项和Sn.10．正项数列{an}的前n 项和S n 满足：S2n －(n2＋n －1)Sn －(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)令bn ＝n ＋1n ＋22a2n ，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn<564. 高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1234
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【重点知识梳理】 1．向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a|平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定 义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a. (2)结合律： (a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)减法 求a 与b 的相反向量 －b 的和的a －b ＝a ＋(－b)运算叫做a与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．【高频考点突破】考点一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】A【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a|a|是与a 同方向的单位向量．【变式探究】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C考点二 平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝() A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b(2)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与B D 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】(1)D(2)2规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【变式探究】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b(2)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0【答案】(1)D(2)A考点三 共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【变式探究】 (1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是()A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．【答案】(1)C(2)3考点五 方程思想在平面向量的线性运算中的应用数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．【例4】如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b.试用a 和b 表示向量OM →.【真题感悟】1.【高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。
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高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．【热点题型】题型一空间几何体的三视图和直观图例1、(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．【提分秘籍】(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【举一反三】(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形题型二空间几何体的表面积与体积例2、(1)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.13(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.233B.476C ．6D ．7(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________．【提分秘籍】(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．【举一反三】(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.12 B .22C.14D.24题型三空间几何体的结构特征例3、 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．【提分秘籍】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．【举一反三】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3【高考风向标】1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π 3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1（B ）2（C ）4（D ）85.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）1112A ．822+B ．1122+C ．1422+D ．156.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A ）223π（B ）423π（）22π（）42π7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13（B ）122+（C ）23 （D ）228.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为3m .9.【高考四川，文14】在三棱住ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B1C1的中点，则三棱锥P －A1MN 的体积是______.10．（·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476 C ．6 D ．711．（·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．412．（·陕西卷）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π13．（·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16πC ．9π D.27π414．（·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H.图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．【高考押题】1．下列结论中正确的是()A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A ．20B ．15C ．12D ．103．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.32π3B ．4πC ．2πD.4π34．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A ．72cm3B ．90cm3C ．108cm3D ．138cm35．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()6．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为________．7．一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．8．如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比．9．已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm 和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．4.会进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义． 【重点知识梳理】 1．复数的有关概念内容 意义备注复数的概念 形如a ＋bi(a ∈R ，b ∈R)的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数复数相等 a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d 共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d(a ，b ，c ，d ∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ →对应的复数为z ＝a ＋bi ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋bi 的模|z|＝|a ＋bi|＝a2＋b2 2.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z ＝a ＋bi复平面内的点Z(a ，b)(a ，b ∈R)．(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)平面向量OZ →.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a ＋bi)·(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； ④除法：z1z2＝a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic2＋d2(c ＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C ，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→所对应的复数． 【高频考点突破】 考点一 复数的概念【例1】 (1)设i 是虚数单位．若复数a －103－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)若3＋bi 1－i＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．【变式探究】 (1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为() A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i(2)复数z ＝12＋i (其中i 为虚数单位)的虚部为________．考点二 复数的运算【例2】 (1)(·安徽卷)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －＝() A ．－2 B ．－2i C ．2 D ．2i(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014＝________． 规律方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i ；④a ＋bi i ＝b －ai ；⑤i4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N)．【变式探究】 (1)(·天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝()A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ＝________． 考点三 复数的几何意义【例3】 (1)(·重庆卷)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝（2－i ）2i (i 为虚数单位)，则|z|＝() A ．25 B.41 C ．5 D.5规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征． 【变式探究】(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是()A ．AB ．BC ．CD ．D(2)i 为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i ，则z2＝________．【真题感悟】1.【高考新课标1，文3】已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（）（A ）2i --（B ）2i -+（C ）2i -（D ）2i + 2.【高考山东，文2】若复数Z 满足1zi-i =，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+3.【高考湖南，文1】已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = ( )A 、1i +B 、1i -C 、 1i -+D 、1i -- 4.【高考湖北，文1】i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．15.【高考广东，文2】已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i6.【高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）A ．3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4-7.【高考安徽，文1】设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）1+3i （3）3+i （D ）1+i 8.【高考北京，文9】复数()1i i +的实部为． 9.【高考重庆，文11】复数(12i)i 的实部为________.10.【高考四川，文11】设i 是虚数单位，则复数1i i-＝_________.12i i i i i -=+=11.【高考天津，文9】i 是虚数单位,计算12i2i-+的结果为． 12.【高考上海，文3】若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . （·浙江卷）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋bi)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件（·全国卷）设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i（·北京卷）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________．（·福建卷）复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i（·广东卷）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i（·湖北卷）i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i（·湖南卷）满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i10．（·江西卷）z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i11．（·辽宁卷）设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 12．（·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3（1－i ）2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i13．（·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i ，则z1z2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i14．（·山东卷）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 15．（·四川卷）复数2－2i1＋i＝________．16．（·天津卷）i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i17．（·新课标全国卷Ⅰ] 若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.4518．（·安徽卷）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z·zi ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i19．（·北京卷）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限20．（·福建卷）已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限21．（·广东卷）若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4，2)22．（·湖北卷）在复平面内，复数z ＝2i 1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．（·湖南卷）复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限24．（·江苏卷）设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．25．（·江西卷）已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i26．（·辽宁卷）复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C. 2 D ．227．（·全国卷）(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i28．（·山东卷）复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i29．（·陕西卷）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B ．若z1＝z2，则z1＝z2 C ．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D ．若|z1|＝|z2|，则z21＝z2230．（·四川卷）如图1－1所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图1－1中表示z 的共轭复数的点是( )图1－1A ．AB ．BC ．CD ．D31．（·天津卷）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(a ＋i)(1＋i)＝bi ，则a ＋bi ＝________. 32．（·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i33．（·浙江卷] 已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3iC ．－3＋3iD ．－1＋i34．（·重庆卷）已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．【押题专练】1．若复数z 满足z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z|＝ () A ．1B ．2C. 2D.32．已知复数z ＝－2i ，则1z ＋1的虚部为() A.25i B.25 C.255iD.255 3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是()A ．若z2≥0，则z 是实数B ．若z2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z2≥0D ．若z 是纯虚数，则z2＜04．设z ＝11＋i ＋i ，则|z|＝()A.12B.22C.32 D ．25．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－bi ，则(a ＋bi)2＝() A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i6．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p1：|z|＝2; p2：z2＝2i ；p3：z 的共轭复数为1＋i; p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为() A ．p2，p3B ．p1，p2C ．p2，p4D ．p3，p48．设f(n)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．无数个9．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于______．10．若复数(m2－5m ＋6)＋(m2－3m)i(m 为实数，i 为虚数单位)是纯虚数，则m ＝________． 11．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为________． 12．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________． 13．已知复数z ＝i ＋i2＋i3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．14．定义运算|abcd|＝ad －bc.若复数x ＝1－i1＋i ，y ＝|4ixi2x ＋i|，则y ＝________．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。