清华大学《数据结构》课程讲义第五讲

树的路径与检索效率
while if loop repleat if loop 输入检索序列：for
if 1
比较次数
if
比较次数 1
h=4
for 2
while
2 3 repeat
for
2
repeat h=3
2
loop 3
3 while
4 loop
平均比较次数=（1+2+2+3+3）/5 平均比较次数=（1+2+2+3+4）/5
a8
a9
a10 a11
a12
a13
a14
非最佳二叉排序树，级数前 n项中某些项的权值变大 二叉树的路径变大
0,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,5,5,5 i=1 i=2 i=3
PL > ∑ log 2 j
j =1
n
i=4
i=5 i=6
树的深度增大
若检索概率相等，则最佳二叉排序树具有最短路径
非线性数据结构--二叉树 堆结构
堆的定义 建堆方法 • 最大堆建堆方法 • 建堆的起点 • 建堆程序 • 把元素插入到一个堆中 堆应用
Hale Waihona Puke 1.大作业（三）--二叉排序成绩树节点设计 成绩段的分数分布不规律
成绩段： <50，50-59，60-64， 65-69，70-74，75-79，80-84，85-89，90-94，95-100 E， D， C， C+， B-， B， B+， A， AA， AA+ 2. 节点结构由数据域与两指域组成的链式存储结构，数据域由分数(int)、学 号、姓名组成，设有相同分数的学生人数小于20。 一棵成绩树 3. 特点 请各位同学自己 遍历一个成绩段的学生分数 成绩段内的学生数，初始化=0。 怎样设计节点结构？ 分数初始化=-1 成绩段内的分数分布,如节点：A[0]对应成绩是50 有相同分数的学生数 相同分数的学生信息 设计节点，这里 分的学生信息,A[1]对应成绩是51分的学生信息。 一个成绩段内有多个同学； 仅供参考。 多个同学有相同的分数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
继续在数组末端增加一个元素，等于在 它是最右 继续在数组末端增加一个元素，等于在 当前完全二叉树最右端又插入一叶子 当前完全二叉树最右端又插入一叶子 端的叶子
把元素插入到堆中
int insertMAXheap(struct node array[],struct node x,int &rn) { 检查数组空间 堆数组 int i,j; 堆元素个数+1 堆元素个数+1 if(rn==M)return(-1); rn++;i=rn;j=i/2-1; 设置父节点位置 新元素 堆元素个数
数据结构
2012.2
课程大纲
第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 第9讲 第10讲 第11讲 第12讲 数据结构—应用、概念、以及课程基础 线性表--链表、队列 堆栈、非线性数据结构-二叉树 二叉树、堆 堆、哈夫曼树 检索操作 分块检索与哈希表 排序 算法分析与图的基本概念 图结构 图应用 高级数据结构内容--索引技术
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3
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8
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1
最小堆结构类似
最大值建堆方法(1)
一棵完全二叉树已经存储在数组内
需要9次交换 (4,2) (4,1) (2,1)
关键码值 4>1,交换 继续和父节点比较 1
(5,2) (5,4) (6,3)
1<2,交换 (6,5) 2 顶点下沉 (7,5) 4>2,交换 4 5 (7,6) 6 7 3
取出堆顶 输入数组
通过建堆，可以得到一个序列的最大值在顶点（数组[0]位置） 45 23 53 12 24 90 78 建堆 90 24 78 12 23 53 45 取出堆顶 建堆 78 45 53 12 24 23 取出堆顶 建堆 53 45 12 23 24 取出堆顶 建堆 45 23 24 12 取出堆顶 建堆 24 12 23 取出堆顶 建堆 23 12 自然堆
新节点是插入到一棵顺序存储的 完全二叉树的叶子 在堆中寻找新节点 的正确位置
12
k 2 −1
一棵完全二叉树， 也是一个最大堆
11
9
i −1 k 它的父节点 2 数组下标 =序号-1 j 6 10
j 2 −1
7
1
8
4
2
11 5
12 3
i 19
十字链参考
堆结构
局部有序：有序关系仅限定在 父亲与孩子之间，任何一个节 点与其兄弟之间的关键码值大 小都没有必然的联系 a1 一堆元素有顺序 的聚集在一起 整体看是堆形状 结构上看，是一 棵完全二叉树 a2 堆是一棵用顺序存储 实现的完全二叉树 a3
a4
a5
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a12
a13
n <= 叶子 < n 2
L _ child (r ) = 2r + 1,
2r + 1 < n
<n
数组下标
建堆程序
未 建堆起点达树根则递减 数组[0] 未达树根则递减 数组[0] 堆元素个数 建立子堆 void buildheap(struct node *heap,int n) {int i;for(i=n/2-1;i>=0;i--)siftdown(heap,n,i);} 取较大孩子 取较大孩子 的关键码 子堆程序 void siftdown(struct node *heap,int n,int pos) {int j; 检查边界 达到叶子则终止下沉处理 assert((pos>=0)&&(pos<n)); while(!isleaf(pos,n)){ return((pos>=n/2)&&(pos<n)); j=leftchild(pos,n); 取其左孩子位置 符合堆则 if((j<(n-1))&&(heap[j].key<heap[j+1].key))j++; 查找pos是否 返回 if(heap[pos].key>=heap[j].key)return; 符合最大堆 swap(&heap[pos],&heap[j]);pos=j;} 3 } 下沉 否则父亲与较大关键码孩子交换位置
方法1：从底层最左边叶子节点开始，逐层比较每一节点与其父节点的值； A、若子节点值大，则父子位置交换； B、逐层向上比较直至根节点； C、再从这个叶子节点的兄弟开始，继续A、B过程。
从最小(倒数第二层)最右子树根开始建堆,然后对左端邻居逐一建堆(同层子 新的R，它在数组内的位置 树的根),直至树根(数组下标0) 建堆起点是最右 是它孩子的左邻 1 下一个子堆R是当 边一棵子树根
对一个数组循 环建最大堆， 其堆顶构成的 新序列递增有 序
树结构分类
后续内容
树形结构分类 判定树 排序
维持平衡的树结构 非线性数据 结构基础
支撑树 图
树的应 用领域
检索树(索引) B+树 2-3树
树
二叉树 Huffman树 堆
高级树 PR四分树 k-d树
排序二叉树 B树 线索二叉树
trie树结构 伸展树 AVL树
最佳二叉检索树
0 a0 第i层节点的路径L=i-1 1 a1 2 a3 3 a7 a4 a5 a6
第i层节点的路径总长PL(i)= 完全二叉树：Li=(i-1)·2i-1 Li×第i层上节点总数 ≤(i-1)·2i-1 所以路径为k的节点至多有2k个
a2
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因最佳二叉排序树每层的PLi=(i-1)·2i-1,其路径长度是下面展开级数的前n项和:
大作业（三）--参考作业评判
一、功能区设计 1. 总体不错； 2. 程序设计细节欠缺，比如插入操作，点击后弹出对话框，必须再次用 鼠标点击复选框后，才能输入。 二、图形界面 数据结构大作业三范例（2008011577） 1. 总体不错； 2. 节点不能拖动，缺乏树形状界面调整，反映出不熟悉应用软件风格； 三、对作业理解 1. 2. 3. 4. 没有用成绩段作为节点，而是以学号(人)为节点，因此节点数会变 得庞大； 平衡处理的很好。 层次遍历不错，这次删除了线索化 二叉树的内容，有条件的同学可以 自己做。 统计界面不错。
第五讲 堆、哈夫曼树
关于数据结构大作业（三）
参考作业评判
非线性数据结构--二叉树 哈夫曼树
树结构分类 等概率检索的最佳二叉树 • 树的路径与检索效率 • 等概率下的最佳检索树 非等概率检索的最佳二叉树 • 哈夫曼树 • 哈夫曼树算法 • 程序设计方法 • 程序结构 哈夫曼树应用举例 • 哈夫曼编码树 • 序列的归并顺序
while(A[i].grade>=0)for(int j=0;j<SUBtotal;j++){cout<<A[i].B[j].num<<endl; i++} struct node { struct student { struct stuGRADE { int total; char num[20]; total int grade; char name[20]; stuGRADE A[10]; A[2 A[1 ] ] A[0 A[9 A[3 int SUBtotal; struct node *left,*right; }; student B[20]; }; };