【精品】2019年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版含答案
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx
专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1， 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增， 则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增， 令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。
2019高考全国3卷理科数学试题及答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+=，故选C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =，则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πxy O7．执行右图程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S Mt 初始状态0 100 1 第1次循环结束100 10- 2 第2次循环结束90 1 3 此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A 6B 3C 2D ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222ab d a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴6c e a == A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+= ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 255． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足参数方程如下：()A O D x yB P CE0022552155x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴01512x μθ==+，02155y λθ==+． 两式相加得：222515152552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤ (其中5sin ϕ25cos ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小． 由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．A B (1,1)(2,0)x y -=20x y +-=yx14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________． 【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =． B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=．设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos sin |]a AB θθαθ--⋅=∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='.当AB '与a 夹角为60︒时，即π3α=， 12sin 22232πθα=． ∵22cos sin 1θθ+=，∴2|cos |θ=∴21cos |cos |22βθ==．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都须作答．第22，23题为选考题，考生据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 30A A =，27a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 30A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵127,2,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,27,4AC BC AB ===，由余弦定理22227cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得7CD =由勾股定理223AD CD AC -又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 326ABDS AD AB =⋅⋅=△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数最高气温 [)1015， [)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540， 天数2 16 36 25 7 4 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯. 则分布列为：X 200 300 500P1525 25⑵①当200n ≤时：()，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ，AB BD ． （1）证明：平面ACD 平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得：2OD =，3OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：3,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ，DB C ED A BC EODABC EyOz则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(13,1,3n =220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(20,1,3n =- 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7n n n n θ⋅==⋅20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M 的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径22||31r OQ ==+则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k +<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+20，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:20l x y += ……③联立曲线C 和3l 22204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得5ρ=即M 5．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。
专题04 二项式定理-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r rr r r T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，专题04 二项式定理由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-，可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=．故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查二项式定理的通项公式及其应用，要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式，考查分类讨论的数学思想．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用通项公式求解指定的项；一种利用通项公式考查系数、指数问题，如常数项、2x 项的系数等．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意写出通项公式是关键，通项公式是解决本类问题的核心与灵魂． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步： 第一步：考查()na b +的展开式的通项公式其通项公式为1C r n r rr n T a b -+=，通项公式是后面进行讨论和计算的基础；第二步：结合代数式的整体进行考查结合题意，考查r 的某个值的特殊情形，据此分类讨论即可求得的系数． 【方法总结】 1．二项式()()na b n *+∈N 展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现以下几个特点： （1）()na b +完全展开后的项数为()1n +；（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点．指数和为n ；（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列．如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开；（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）．2．二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n ；二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项．对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种．所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题．而二项式系数便是这个组合问题的结果． 3．系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数．注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数．二项式系数是展开式通项公式中的C rn ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定．而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数．例如：()521x +展开式中第三项为()32235C 21T x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()322335C 2180T x x =⋅⋅=，化简后的结果80为该项的系数．（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同．例如()51x + 展开式的第三项为()32235C 1T x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为10．4．有理项：系数为有理数，次数为整数的项，比如212,5x x就不是有理项． 5．()na b +与()na b -的联系 首先观察他们的通项公式，()na b +：1r n r r r n T C a b -+=；()n a b -：()()'11r rr n r r n r rr n n T C a b C a b --+=-=-．两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数．其绝对值相等．所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题．1．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】23(1)(31)x x -+的展开式中4x 的系数是 A ．27 B ．–27 C ．26 D ．–26【答案】B【解析】()()32131x x -+展开式中4x 的系数，1x -中的x 与()3231x +展开式中3x 项相乘，但()3231x +展开式中没有3x 项，1x -中的1-与()3231x +展开式中4x 项相乘，()21243C 327xx =，所以4x 的系数是27-，故选B ．【名师点睛】本题考查二项式的展开式与多项式相乘，得到项的系数，属于简单题．2．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在102()x x-的二项展开式中，6x 的系数等于 A ．–180 B ．53- C ．53D ．180【答案】D【解析】102()x x-的二项展开式的通项公式为102110C (2)r r r r T x -+=-⋅⋅， 令1026r -=，求得2r =，可得6x 的系数为2210(21C )80-⋅=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题．3．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于–80，则a = A ．–2 B ．2 C ．–4 D ．4【答案】A【解析】由题意3325C (1)80a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则． 4．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．–80 B ．–40 C ．40 D ．80【答案】C【解析】要求()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数，则x y +中x 与()52x y -展开式中23x y 相乘，以及x y +中y 与()52x y -展开式中32x y 相乘，而()52x y -展开式中，23x y 项为()()233235C 240x y x y -=-，32x y 项为()()322325C 280x y x y -=．所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的项为333333408040x y x y x y -+=，故选C ．【名师点睛】本题考查二项式展开式与多项式相乘，其中某一项的系数，属于基础题．5．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ．15 D ．1【答案】C【解析】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为66316621C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，求得2r =，故展开式中的常数项为26C 15=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】设0sin d x a x π=⎰，则6a x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为__________．（用数字填写） 【答案】60【解析】0sin d x a x π=⎰cos πcos02=-+=，则662a x x ⎛⎛= ⎝⎝，展开式的通项为(6162rrr r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =时得到常数项为(2446260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为60．【名师点睛】本题考查了定积分的计算，考查了二项式定理的运用，考查了计算能力，属于基础题．7．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】二项式63x⎛⎝的展开式中4x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】15【解析】因为二项式63x⎛ ⎝的展开式的通项为()()()1718632216611kk kkk k kk T C x x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令71842k -=得4k =， 所以展开式中4x 的系数为()446115C -=．故答案为：15．【名师点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 8．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】11【解析】()()5211x x +-=()()55211x x x -+-而()51x -展开式的通项为()515C 1rr r r T x -+=-取3r =和5r =，得()51x -展开式中含3x 和5x 项的系数分别为10和1， 所以()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为10+1=11．【名师点睛】本题考查了等价转化的数学思想，以及利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式指定项的系数问题，属于基础题．9．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________． 【答案】15．【解析】通项公式T r +16C r =（x 2）6–r1()r x-=（–1）r 6C r x 12–3r，令12–3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项为46C =15．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】()()341212x x +-展开式中4x 的系数为__________． 【答案】48【解析】因为()()()()()()333342221212141214214x x x x x x x+-=--=---，又()3214x-展开式的通项为()2134kk kk TC x +=-，令24k =得2k =，所以原式展开式中4x 的系数为()223448C -=．故答案为：48．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 11．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学】若6x ⎛+ ⎝⎭的展开式的常数项是45，则常数a 的值为__________． 【答案】3【解析】6a x ⎛+ ⎝⎭展开式的通项公式为6316·C r r r r T x -+=，令630r -=，求得2r =， 可得它的常数项为26C ·45a =，1545a ∴=，3a ∴= 故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷数学】若二项式2nm x ⎫+⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为__________． 【答案】2【解析】根据题意，2nm x ⎫⎪⎭展开式中二项式系数之和是32，有2n＝32，则n ＝5，则2nm x ⎫⎪⎭展开式的通项为T r +1＝5C r •）5–r•（2m x ）r ＝m r •5C r •552r x -，令552r-=0，可得r ＝1，则2nm x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为T 2＝m •15C ，则有m •15C ＝10，即m ＝2，故答案为：2．【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n ，并得到该二项式的通项．13．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知(12)n x +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式()211()nx x x++展开式中的常数项为__________． 【答案】35【解析】由()12nx +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =．多项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式：662166C C r r r r rr T x x x ---+==，其中0,1,2,,6r =．考虑61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项和含2x -的项： （1）令622r -=-，则4r =； （2）令620r -=，则3r =．故常数项为4366C C 152035+=+=．故答案为：35．【名师点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】()()27231x x --的展开式中，3x 的系数为__________．【答案】–455【解析】依题意，3x 的系数为332217774C (1)12C (1)9C (1)455⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=-．故答案为：–455．【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题．15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学】1(2)n x x-（n 为正整数）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x 项的系数是__________． 【答案】560-【解析】依题意可知2128n =，解得7n =，()712x x --展开式的通项公式为()()()717727721C C 2rrrr r rr x x x ----⋅-=-⋅⋅⋅，当721r -=时3r =，故含x 项的系数为()3437C 12560-⨯⨯=-．故答案为：560-．【点睛】本小题主要考查二项式系数和，考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题．。
2019年高考理科数学全国卷3含答案
数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B = ()A .{}1,0,1-B .{}0,1C .{}1,1-D .{}0,1,22.若(1i)2i z +=，则=z ()A .1i--B .1+i-C .1i-D .1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A .0.5B .0.6C .0.7D .0.84.()()42121++x x 的展开式中3x 的系数为()A .12B .16C .20D .245.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134=+a a a ，则3=a ()A .16B .8C .4D .26.已知曲线e ln x y a x x =+在点1（，）ae 处的切线方程为2=+y x b ，则()A.–1==，a e bB.1==，a e b C.–11==，a e b D.–11==-a e b ，7.函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图象大致为()A.B.C .D.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，⊥平面平面ECD ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A.=BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线B.≠BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线C.=BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线D.≠BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于()毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共18页）数学试卷第4页（共18页）A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-10.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则PFO△的面积为()A .324B .322C .22D .3211.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则()A .23323log 1224ff f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞B .23323124l 2og f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞C .23332124log 2f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞D .23323lo 122g 4f f f--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞12.设函数()si 5n f x x ωπ+⎛⎫= ⎪⎝⎭()0ω＞，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是()A .①④B .②③C .①②③D .①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a ，b 为单位向量，且·0=a b，若2=-c a ，则cos ,=a c .14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =.15.设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为.16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥-O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，，，，E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为30.9 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019年高考数学(理)真题汇编：专题03 导数及其应用
专题03 导数及其应用1、【2019高考全国Ⅲ理数】已知曲线e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．e,1a b ==-B ．e,1a b ==C ．1e 1,a b -==D ．1,e 1b a -==-2、【2019高考全国Ⅲ理数】设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3、【2019高考天津卷理数】已知R a ∈，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e4、【2019高考全国Ⅰ理数】曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 5、【2019高考浙江卷】已知R a ∈，函数3()f x ax x =-，若存在R t ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 6、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________7、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e,1)--(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是_________8、【2019高考北京卷理数】设函数f （x ）=e x+a e −x（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．9、【2019高考全国Ⅰ理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：1.()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； 2.()f x 有且仅有2个零点．10、【2019高考全国Ⅱ理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.1.讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；2.设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00l (,)n A x x 处的切线也是曲线exy =的切线.11、【2019高考全国Ⅲ理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. 1.讨论()f x 的单调性；2.是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.12、【2019高考天津卷理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.1.求()f x 的单调区间；2.当,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣π⎦π时，证明()()02f x g x x ⎛⎫π+-≥ ⎪⎝⎭；3.设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m ⎛⎫+π+π ⎝π⎪⎭内的零点，其中N n ∈，证明20022sin cos n n n x x e x -ππ+-π<-.13、【2019高考浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>1.当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；2.对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.14、【2019高考江苏卷】设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为()f x 的导函数．1.若a b c ==，(4)8f =，求a 的值；2.若,a b b c ≠=，且()f x 和'()f x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求()f x 的极小值；3.若0,01,1a b c =<≤=，且()f x 的极大值为M ，求证:427M ≤． 15、【2019高考北京卷理数】已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：详解：'ln 1,xy ae x =++1'|12x k y ae ===+= 1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．2答案及解析： 答案：D解析：()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，12555wx w ππ≤+≤π+，1229510w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确．当010x π<<时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002w +=+=<ππππππ． ∴③正确，故选D ．3答案及解析： 答案：C解析：首先(0)0f ≥，即0a ≥， 当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x =，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点， 故max()()g x g e e ==，所以a e ≤。
2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版) 平面向量
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为25=-c a b ，0⋅=a b ， 所以225⋅=-⋅a c a a b 2=，222||4||455||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以专题 平面向量点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r， 则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤，即≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|． （1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义 备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的．单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量．相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ． 说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0； （2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||aa ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差）已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）．数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．（2）向量数量积的性质设a，b为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cos θ；②a⊥b⇔a·b=0；③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a，b反向时，a·b=–|a||b|．特别地，a·a=a2=|a|2或|a④|a·b|≤|a||b|，当且仅当a与b共线，即a∥b时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b．（3）向量数量积的运算律①交换律：a·b=b·a；②数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；③分配律：（a+b）·c=a·c+b·c．（4）平面向量数量积的几何意义①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫作向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫作向量a在向量b的方向上的投影．②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则①θ为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线；②θ为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线；③当a·b>0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）；④当a·b<0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）．【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC uuu r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC uuu r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB ACu u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC uuu r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a，b为非零向量，且a∥b，则a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．（2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a．8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a ，b >∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】A【解析】∵()23=，a ，()12=-，b ，∴()()22324-=--，，a b ＝（4，1-）， ∴·(2)-a a b ＝83-＝5，故选A ． 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为 A ．12-B ．12C ．3-D ．3【答案】A【解析】因为向量()23=，a ，()2x =，b ，所以()2221x -=--，a b ， 又·(2)3-=a a b ，所以()22233x --=，解得12x =-．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型． 3．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．0【答案】A【解析】解法一：取BC 的中点为N 点，根据向量加法的平行四边形法则得到2AB AC AN +=u u u v u u u v u u u v ，()·2AM AB AC AM AN +=⋅u u u uv u u u v u u u v u u u u v u u u v ，平面向量,AB AC u u u v u u u v的模都为2，AN 是直角三角形ABC由向量投影的几何意义得到222cos 2 4.AM AN AM AN AN θ⋅=⋅==u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v故选A ．解法二：根据题意，以AB 为x 轴，AC 为y 轴建立平面直角坐标系， 则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，如图所示：设(,)M x y ，则(,),(2,2)AM x y AB AC =+=u u u u r u u u r u u u r ，所以()2()AM AB AC x y ⋅+=+u u u u r u u u r u u u r，而直线BC 的方程为2x y +=且M 在直线BC 上，所以()2()4AM AB AC x y ⋅+=+=u u u u r u u u r u u u r， 故选A ．【名师点睛】这个题目考查了向量的加法法则以及投影的几何意义；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．【答案】B【解析】菱形ABCD 的边长为2，120ABC ∠=o ，∴2AB BD AD ===，∵E 为AB 的中点，∴12DE DA AB =+u u u v u u u v u u u v ，AC AD AB =+u u u v u u u v u u u v，∴221122DE AC AD AB AB AD ⋅=-+-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 14222cos6032=-+-⨯⨯⨯=-o．故选B ．【名师点睛】本题考查向量数量积的运算，解题的关键是选择适当的基底，然后将所有向量用同一基底表示出来，再根据定义求解，属于基础题．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=A ．2B ．-2C ．12 D ．1-2【答案】D【解析】向量()()2,1,1,λ=-=a b ，则2+=a b （4，–1+2λ），2-=a b （3，–2–λ）， 又()()22+-∥a b a b ，所以4（–2–λ）–3（–1+2λ）＝0， 解得λ12=-．故选D ． 【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题． 6．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是A ．⊥a bB ．∥a bC ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b【答案】D【解析】选项A ，⋅a b =21(1)750⨯+-⨯=-≠，所以选项A 错误； 选项B ，∵2711⨯≠-⨯，∴a 不平行于b ，所以选项B 错误；选项C ，(1,8)-=-a b ，因为()(2,1)(1,8)100⋅-=-⋅-=≠a a b 所以选项C 错误； 选项D ，(3,6)+=a b ，因为()(2,1)(3,6)0⋅+=-⋅=a a b ，所以选项D 正确，故选D ． 【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算．考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示．解决此类问题的关键是准确记住公式．7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u u r u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A B ．C D ．【答案】C【解析】由题得221cos 32AB AC a a π⋅==u u u r u u u r ， 222211()()(1)(1)22BN CM BA AN CA AM a a a a λλλλ⋅=+⋅+=---+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r =22111(+)222a λλ--，所以当1=2λ时，()f λ的最大值为232,8a a -=-∴=．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量的运算法则和基底法，考查二次函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m =A ．4B ．1C ．1-D ．4-【答案】C【解析】由⊥a b ，转化为0⋅=a b ，根据向量数量积的坐标运算可得12+20m ⨯⨯=，解得1m =-，故选C ．【名师点睛】本题考查对向量之间的位置关系的转化，数量积的坐标运算，属于简单题．9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b 若,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BCD 【答案】A【解析】=Q a ，=b ，,a b 的夹角为34π，2∴-==a b==． 故选A ．【名师点睛】本题考查平面向量的模长，数量积运算，是基础题． 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D【答案】C【解析】由已知==a cos02π⋅==a b a b ，∴222(2)+=+a b a b 2222444221=+⋅+=+⨯=a a b b ，∴2+=a b C ．【名师点睛】本题考查向量的数量积运算，解题关键是掌握数量积的性质：22=a a ，把向量模的运算转化为向量的数量积．11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．32【答案】C【解析】Q ∥a b ，2(1)0x x ∴-+=，∴23x =．故选C ． 【名师点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()=+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56πB ．23π C ．π3D ．6π【答案】B【解析】因为2=a ，()⊥+a a b ，所以()2⋅+=+⋅=0a a b a a b ，2⋅=-a b ．又+a b ，()22222246+=+⋅+=-+=a b a a b b b ，故28=b 也即是=b ， 所以1cos ,||||2⋅===-a b a b a b ，又0,≤≤πa b ，故a 与b 的夹角为2π3．故选B ．【名师点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用=a ；（2）计算角，cos ,||||⋅=a ba b a b ．特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是⋅=0a b ．13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r【答案】C【解析】由已知可得点M 是靠近点B 的三等分点，又点N 是AC 的中点．22112()3312632MN MC CN BC CA AC AB AC AC AB ++-==-==-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选C ．【名师点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题．14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．【答案】–8【解析】∵∥a b ，∴–k –8=0，解得k =–8．故答案为：–8．【名师点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．【答案】13【解析】因为⊥a b ，所以2m –18=0，所以m =9，所以2+a b =（4，6）+（9，–6）=（13，0），所以2+a b =13．故答案为：13． 【名师点睛】（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平．（2）设a =(,),x y 则=a16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________． 【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故答案为：9．【名师点睛】本题主要考查了向量垂直，向量的数量积计算，属于中档题．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．【答案】3【解析】由题得()1,8m +=+a c ，因为()⊥+b a c ，所以2m +2–8=0，所以m =3．故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________． 【答案】2【解析】∵(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，∴2x ＝4，即x ＝2，故答案为：2． 【名师点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．【答案】32【解析】因为12EC ED DC AD AB =+=+u u u r u u u r u u u v u u u v u u u v ，所以13122λμ+=+=．故答案为：32．【名师点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．【答案】3【解析】因为1=b ，2⋅=a b ，所以22(2)222413-⋅=⋅-=⨯-=-=a b b a b b b ，故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及模的计算，属于基础题． 21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v，则||OP uuu v ＝__________．【答案】12x x【解析】因为PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭即()2,2，故OP =u u u v 12x x ． 【名师点睛】在三角形ABC 中，如果G 为三角形的重心，则GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r，反之也成立．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 【答案】π6【解析】向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1）若∥a b ，则sin2α-cos α=0，即2sin αcos α=cos α； 又π02α<<，∴cos α≠0，∴sin α=12，∴6απ=．故答案为：π6． 【名师点睛】本题考查向量平行坐标关系以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题．23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．【答案】2【解析】过点C 作CD AB ⊥于D ，则由垂径定理可知D 为AB 的中点．在Rt ACD △中，12AD AB = 1cos 2CAB AD A AB C ⋅∠==u u u u u r u r u u u r ，212||co 2|s 2|AB AC AB AC CAB AB ⋅==⋅∠==u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，所以2AB =u u u r ，故答案为：2．【名师点睛】本题考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积的应用，属于基础题．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．【答案】12-【解析】2(4,21)2(3,2)λλ+=--=--，a b a b ， ∵()()22+-∥a b a b ，∴()42λ--=()321λ-，解12λ=-，故答案为：12-． 【名师点睛】本题考查向量共线的的坐标运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题． 25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r(),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．【答案】8【解析】取AC 的中点D ，因为AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2AO xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r， 因为21x y +=，所以B ，O ，D 三点共线， 因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD ⊥AC ，设AD =DC =m ，则BD所以1282ABC S m =⋅=≤=△．当且仅当m =8．【名师点睛】本题主要考查平面向量的性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r，则实数m =__________．【答案】6【解析】由题得()()1,2,,3AB OC m =-=u u u r u u u r ，因为AB OC ⊥u u u r u u u r，所以–m +6=0，所以m =6．故答案为：6．【名师点睛】本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r __________．【答案】【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M ，联立直线方程与圆的方程：2222023x y x y y x +--==-+⎧⎨⎩，整理可得：251030x x -+=，故122x x +=，()()()1212122323262y y x x x x +=-++-+=-++=，据此可得：()1,1M ，OM ==u u u u v结合平面向量的运算法则有：|||2|OA OB OM +==u u u r u u u r u u u u r．故答案为：【名师点睛】本题主要考查直线与圆的关系，平面向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 【答案】3-或5【解析】因为()()1,1,,2m =-=a b ，所以()1,3m -=--a b ，又5-=a b ，所以()()222135m -+-=，解得3m =-或5m =，故答案为：3-或5． 【名师点睛】本题考查向量的坐标运算、已知模长求参数值问题，属于基础题． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________． 【答案】2【解析】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，所以2-a b =()3,32t --．由()2-⊥a b a ，得()2-⋅a b a =()3,32t --•()1,3-=3+9–6t =0，所以t =2．故答案为：2．【名师点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】24【解析】22()3AB AD AB AB BD AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r236cos(18060)3AB BC =+⋅⋅︒-︒u u u r u u u r 213666()2432=+⨯⨯⨯-=．故答案为：24．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把B ∠看成,AB BC u u u r u u u r的夹角．31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，若∥a b ，则x =__________．【答案】32-【解析】Q 向量(),1x =a ，()3,2=-b 且∥a b ，2130x ∴--⨯=，解得：32x =-，故答案为：32-． 【名师点睛】本题考查向量平行的性质，属于基础题．。
高考数学2019真题汇编-立体几何(解析版)
专题04 立体几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R =++=，即364466,π62338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=， 又90CEF ∠=︒，213,2CE x AE PA x ∴=-==，AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，，，2PA PB PC ∴===， 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ，∴3112312cm 3O EFGHV -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=， 所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.7．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m （如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α也对） 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，是不正确的，有可能m 在平面α内；但是已知了直线在平面外，故正确。
2019年高考理科数学全国卷3(附参考答案和详解)
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2019年全国高考新课标3卷理科数学试题（解析版）【杨顺国】
2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标3卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x-1NO},B={0,l,2},则ADB=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}解析：选C2.(l+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i解析：选D3.中国古建筑借助样卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A BCD解析：选A4.若sin a日，则cos2a=()7-97-9-C.8-9-D.]8解析：选B cos2a=l-2sin2 a=1--=-y y25・或+-)5的展开式中x，的系数为()xA.10B.20C.40D.809解析：选C展开式通项为Tr+i=C5r x10-2r(-)r=C5r2r x10-3r,r=2,T3=。
522七[故选C6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y=2±,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[血3艘]D.[2近，3也]解析：选A,线心距d=2带,P到直线的最大距离为3彖，最小距离为^2,|AB|=2V2,S min=2,S max=67,函数y=-x4+x，+2的图像大致为()解析：选D原函数为偶函数，设t=x2,tNO,f(t)=-t2+t+2,故选D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析：选B X〜B(10,p),DX=10p(l-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6,p=0.4时,p(X=4)=Cio4(0.4)4(0.6)6>P(X=6)= Cio6(O.4)6(0.6)4,不合。
(2019年高考全国Ⅲ卷理数)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠
(2019年高考全国Ⅲ卷理数)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
解：
（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．
由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ．
又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．
（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．
由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH
以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，
则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0
CG =（1，0
AC =（2，–1，0）．
设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则
0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪
⎩ 所以可取n =（3，6，
又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0
），所以cos ,||||2
⋅〈〉=
=n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．。
专题10 双曲线及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A．4B．2C．D．【答案】A【解析】由2,,a b c===,2PPO PF x=∴=Q，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在by xa=上，则222P Pby xa=⋅==，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【名师点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F，是双曲线22221x yCa b-=：（00a b>>，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF=，则C的离心率为AB．2专题10 双曲CD【答案】B【解析】由题可知22,PF b OF c ==，∴||PO a =， 在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==， ∵在12PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b F PF F P O F c+-∠==，∴)222224322b c bc a b cc+-=⇒=⋅，∴e =，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主，重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力．2019年高考题考查了以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等． 【答题模板】1．求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步：第一步：将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式； 第二步：利用222b c a +=和ce a=转化为关于e 的方程或不等式； 第三步：通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 2．其他问题：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min =a+c ，|PF 2|min =c –a ．（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．（4）若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △=2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2．（5）若P 是双曲线22x a22y b -=1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a ． 【方法总结】1．双曲线定义的应用策略（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． （3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置． 2．求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： ①c 2=a 2+b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a ．求轨迹方程时，满足条件：|PF 1|–|PF 2|=2a （0<2a <|F 1F 2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍． （2）待定系数法 一般步骤为①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程． 常见设法有①与双曲线22x a –22y b =1共渐近线的双曲线方程可设为22x a –22y b=λ（λ≠0）；②若双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，则双曲线方程可设为22x a –22yb =λ（λ≠0）；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为2x m +2y n=1（mn <0）；④与双曲线22x a –22y b =1共焦点的双曲线方程可设为22x a k -–22y b k+=1（–b 2<k <a 2）；⑤与椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）有共同焦点的双曲线方程可设为22x a λ-+22y b λ-=1（b 2<λ<a 2）．注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1（mn <0）． 3．求双曲线离心率的值（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝ca求解； （2）变用公式，整体求e ：如利用e，e； 4．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得b a的值，于是e 2＝22c a ＝222a b a +＝1＋2()b a ，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即b a个解．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±【答案】C【解析】因为双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），所以234a +=，故21a =，因此双曲线的方程为2213y x -=，所以其渐近线方程为y =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，双曲线上的点P 满足121243PF PF F F +≥u u u v u u u u v u u u u v恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A ．312e <≤B ．32e ≥C ．413e <≤D ．43e ≥【答案】C【解析】∵OP 是12F PF △的边12F F 上的中线，∴122PF PF PO+=u u u v u u u u v u u u v． ∵121243PF PF F F u u u v u u u u v u u u u v +≥，∴1283PO F F ≥u u u v u u u u v，当且仅当12,,F P F 三点共线时等号成立． 又PO a ≥u u u v ，122F F c =u u u u v ，∴86a c ≥，∴43c e a =≤，又1e >，∴413e <≤．故离心率的取值范围为41,3⎛⎤⎥⎝⎦．故选C ． 【名师点睛】解答本题时注意两点：一是注意数形结合在解题中的应用，特别是由题意得到PO a ≥u u u v；二是根据题意得到,,a b c 间的关系，再根据离心率的定义求解，属于基础题．3．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，线段2PF 的中点M ，则此双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，易求点P 的坐标为,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，中点M 的坐标为,2bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2222)2bc OM c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴224a b =，即2b a =．故选A ． 【名师点睛】本题考查双曲线的方程与简单的几何性质，考查计算能力与转化能力，属于基础题． 4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是A ．53 B ．54C ．43或53D ．53或54【答案】D【解析】33404x y y x +=⇒=-，当焦点位于横轴时，2239416b b a a =⇒=，而222c a b =+，所以22295164c a c e a a -=⇒==； 当焦点位于纵轴时，22222222416165,,3993b bc a c c a b e a a a a -=⇒==+⇒=⇒==故选D ． 【名师点睛】本题考查了通过双曲线的渐近线方程求离心率问题，解题的关键是对焦点的位置进行分类．5．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()220=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且12sin PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为AB或3 C ．2D ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 在第一象限且()00,P x y ，则1,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 过P 作直线2px =-（抛物线的准线）的垂线，垂足为E ， 则112F PE PF F ∠=∠，故112sin sin 7F PE PF F ∠=∠=， 因1F PE △为直角三角形，故可设,2p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0P x ， 且25PE PF k ==，17PF k =，所以02052242p x k k px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得043p k x k =⎧⎨=⎩或062p k x k =⎧⎨=⎩， 若043p k x k =⎧⎨=⎩，则124F F k =，22752ke k k ==-； 若062p k x k =⎧⎨=⎩，则126F F k =，33752ke k k ==-． 综上可得，选D ．【名师点睛】离心率的计算关键在于构建,,a b c 的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离．6．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试数学】已知双曲线1C ：22142-=x y ，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为 A ．3 B ．2 CD ．1【解析】由题意，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，设双曲线2C 的方程为22(0)24y x λλ-=>，则双曲线2C =A ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中根据双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，得出双曲线2C 的方程的形式，再根据离心率的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，线段2PF 的中点M 到，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】设双曲线的渐近线方程为()0,0by x a b a=±>>， 根据题意可知P 点坐标,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M为2PF 中点，所以可得,2bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以222222bc OM c c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以224a b =，即2b a =， 所以双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选A ．【名师点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】双曲线2212x y -=的离心率为A BCD【解析】由双曲线的方程2212x y -=可得：222,1a b ==，所以2223c a b =+=，所以2c e a ===．故选D ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率为 A ．43 B ．53C ．54D ．2【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程为34y x =，可得34b a =，即222916c a a -=，解得e 22516=，e 54=．故选C ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．10．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则双曲线C 的离心率为A B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为F '，如下图所示．因为线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，所以MFA △是等边三角形，边长为a c +，M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，所以有23MF MF a MF a c -=⇒='+'，在MFF '△中，由余弦定理可得：'2222cos60MF MF FF MF FF ︒=+-'⋅'， 即22430a ac c +-=，解得4a c =，即4ca=，双曲线的离心率为4，故选D ． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想．11．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为12,F F ，以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于,A B 两点，则四边形12F AF B 的面积为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】因为双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为()()12,0,0F c F c -，，双曲线的渐近线方程为y x a=±0ay -=， 以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点， 根据焦点到渐近线的距离及双曲线中a b c 、、的关系，可得223a c a ==+⎪⎩，解得a c ==A ⎝⎭，则四边形12F AF B的面积为1212122622F AF B F AF S S ==⨯⨯=．故选D ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．12．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为A ．221124x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221412x y -=【答案】D【解析】∵以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点）， ∴半径4R c ==，则圆的标准方程为()22416x y -+=，(),0A a ，b y a b a=⋅=，即(),B a b ，则()22416a b -+=，即2281616a a b -++=，即280c a -=，即816a =，则2a =，216412b =-=，则双曲线C 的方程为221412x y -=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径4c =是解决本题的关键．属于简单题．13．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知双曲线()222:10y C x b b-=>的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为 A．y =B ．2y x =±C ．3y x =± D．y =【答案】D【解析】双曲线C ：()22210y x b b-=>的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，∵1+b 2＝c 2＝4，∴b =C 的渐近线方程为y =x ，故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．14．【四川省2019届高三联合诊断数学】已知双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为F ，则点F 到C的渐近线的距离为 A ．3 BC ．a D【答案】B【解析】因为双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为()0F c ，，渐近线y x =， 所以点F到渐近线y x ===B ． 【名师点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求焦点坐标与渐近线方程，以及点到直线距离公式的应用，属于基础题．若双曲线方程为22221x y a b-=，则渐近线方程为b y x a =±．15．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】若双曲线221x y m-=的一条渐近线为20x y -=，则实数m = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】∵双曲线的方程为221x y m-=，∴双曲线的渐近线方程为yx ，又∵一条渐近线方程为y =12x ，∴m =4．故选B ． 【名师点睛】本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m 的值，属于基础题．16．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是A ．2B ．2C2D．3或2【答案】A【解析】设双曲线C 的渐近线方程为y =kx，∴k =，得双曲线的一条渐近线的方程为3y =，∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有：b c e a a ==②当焦点在y轴上时有：23a c e b a ==＝．∴求得双曲线的离心率2A ． 【名师点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c =2，213PF F S =△，则双曲线的两条渐近线的夹角为 A ．5π B ．4πC ．π6D ．π3【答案】D【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（， 可得1222PF PF a -==，可得a =1，b所以双曲线的渐近线方程为y =，可得双曲线的渐近线的夹角为π3，故选D ． 【名师点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键．18．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知抛物线2y =的焦点为双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】C【解析】抛物线2y =的焦点为)，所以双曲线中c =，由双曲线方程2221x y a-=，222+=a b c，所以a =因此双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选C ． 【名师点睛】本题考查抛物线的焦点，根据焦点求双曲线的方程和渐近线方程，属于简单题． 19．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，P 为双曲线右支上一点，若点P 关于双曲线中心O 的对称点Q 满足AP k ⨯14AQ k =，则双曲线的离心率为 A1BCD1【答案】B【解析】设(,),(,),P x y Q x y --∵AP k ⨯14AQ k =， ∴222000014y y y y y x a x a x a x a x a -----⋅=⋅==----+-， ∵22221x y a b -=，∴22222=()b y x a a-，∴222222()14b x a ax a -=-， ∴a =2b ，∴222244()a b c a ==-，∴2254a c =，∴2e =．故选B ． 20．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知双曲线C的一个焦点坐标为0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是 A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】B【解析】因为双曲线C的一个焦点坐标为),所以c =又因为双曲线C的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a=a ⇒=，c =而c =1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故选B ．【名师点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力．21．【云南省2019届高三第一次毕业生复习统一检测数学】双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是 A1B1C D 【答案】C【解析】不妨设P 在第一象限，由于12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，故()2P c ，代入双曲线方程得2222431c c a b -=，化简得4224480c a c a -+=，42810e e -+=，解得2e =，故e =C ． 【名师点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为134e =，则双曲线的离心率2e =AB ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，椭圆的离心率为134e =，不妨令4,3a c ==，则b =221167x y +=，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，可设(),,0,0P s t s t >>，可得()13,PF s t =---u u u r ，()23,PF s t =--u u u u r ，则222291167s t s t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22329499s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入双曲线方程渐近线方程n y x m =±，可得224932n m =，双曲线的离心率为：28e ===．故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线,a b 之间满足的关系是解题关键．23．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，左焦点为1F ，点()0Q （c 为半焦距）．P 是双曲线C 的右支上的动点，且1PF PQ +的最小值为6．则双曲线C 的方程为___________．【答案】2213y x -=【解析】设双曲线右焦点为2F ，则122PF PF a -=，所以122PF PQ a PF PQ +=++， 而2PF PQ +的最小值为22QF c ==，所以1PF PQ +最小值为226a c +=，又2c a =，解得12a c ==，，于是23b =，故双曲线方程为2213y x -=． 【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题．24．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 且斜率为2的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】3【解析】∵21AF AF ⊥，∴12AF F △是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴AO c =，又A 在双曲线渐近线上，∴(,)A a b ，∴12tan AF F ∠=2b ac =+， 变形可得：22230c ac a --=，()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，3ce a==．故答案为：3． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右顶点A 作x 轴垂线，交渐近线于点P ，则OP c =，AP b =．。
2019年高考理数全国卷3含答案解析
()
A.
f
log3
1 4
＞f
3 2 2
＞f
2 2 3
B.
f
log3
1 4
＞f
2 2 3
＞f
3 2 2
C.
f
3 2 2
＞f
2 2 3
＞f
log3
1 4
D.
f
2 2 3
＞f
3 2 2
＞f
log3
1 4
12.设函数
f
x
sin
x
D.0,1, 2
2.若 z(1 i) 2i ，则 z
()
A. 1 i
B. 1+i
C.1 i
D.1+i
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为
中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查
了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过
2
22
7
．得
BM 7 ，所以 BM EN ．连接 BD ， BE ，因为四边形 ABCD 为正方形，所
以 N 为 BD 的中点，即 EN , MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM ， EN 是相交 直线，故选B．
第9页
【考点】空间线线位置关系
【考查能力】空间想象
9．【答案】C
【解析】执行程序框图 x 1, s 0 ， s 0 1 1, x 1 ，不满足 x＜ 1 ，
坐标.
23.[选修 4–5：不等式选讲]（10 分） 设 x, y, z R ，且 x y z 1 . （1）求 (x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 的最小值； （2）若 (x 2)2 ( y 1)2 (z a)2≥ 1 成立，证明： a≤ 3 或 a≥1. 3
2019年高考全国三卷数学试题及答案
2019年全国卷Ⅲ高考理数试题1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A．{}1,0,1-B．{}0,1C．{}1,1-D．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z =A．1i--B．1+i-C．1i-D．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A．12B．16C．20D．245．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A．16B．8C．4D．26．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e）处的切线方程为y =2x +b ，则A．e 1a b ==-，B．a=e，b =1C．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-7．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A．B．C．D．11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin（5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④13．已知a ，b 为单位向量，且a ·b=0，若2=-c a ，则cos ,=a c ___________.14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.15．设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．19．（12分）图1是由矩形ADEB ，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.20．（12分）已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.（二）选考题：共10分。
2019年卷理数高考真题文档版(含答案解析)
（A） 3
（B） 5
（C）3
（2）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
（D）5
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
x 1 3t,
（3）已知直线
l
的参数方程为
y
2
4t
（t
为参数），则点（1，0）到直线
l
的距离是
（A） 1 5
（B） 2 5
（C） 4 5
（D） 6 5
（4）已知椭圆
x2 a2
y2 b2
（Ⅱ）由 cos B 1 得 sin B 3 .
2
2
由正弦定理得 sin C c sin B 5 3 .
b
14
在△ABC 中，∠B是钝角，
所以∠C为锐角. 所以 cos C 1 sin2 C 11 .
14
所以 sin(B C) sin B cos C cos B sin C 4 3 . 7
函数，则 a 的取值范围是___________．
（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次
为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买
水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的
绝密★本科目考试启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知复数 z=2+i，则 z z
专题05 等比数列-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，联立等比数列的通项公式和前n 项和公式构成方程组，可以知其三求其二，属于基础题．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= ．（2）6m =．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．专题05 等比数列（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=．由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】1．熟练掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式．2．掌握与等比数列有关的数列求和的常见方法.3.了解等比数列与指数函数的关系．【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等比数列通项形如指数函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【方法总结】1．等比数列的判定与证明常用方法如下： （1）定义法．1n n a a +=q （q 为常数且q ≠0）或-1n n aa =q （q 为常数且q ≠0，n ≥2）⇔{a n }为等比数列； （2）等比中项法．21n a +=a n ·a n+2（a n ≠0，n ∈N *）⇔{a n }为等比数列；（3）通项公式法．a n =a 1q n –1（其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *）⇔{a n }为等比数列；（4）前n 项和公式法．若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n =–aq n +a （a ≠0，q ≠0，q ≠1），则数列{a n }是公比为q 的等比数列．由a n+1=qa n ，q ≠0，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0．证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足22a ≠a 1·a 3，或者存在一个正整数m ，使得21m a +≠a m ·a m+2即可．2．等比数列的基本运算方法：（1）通项法：等比数列由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行．（2）对于等比数列的相关问题，一般给出两个条件就可以通过列方程（组）求出a 1，q ．如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题． 例如：①若已知n ，a n ，S n ，先验证q=1是否成立，若q ≠1，可以通过列方程组-111,(1-),1-n n n n a a q a q S q ⎧=⎪⎨=⎪⎩求出关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．②若已知数列{a n }中的两项a n 和a m ，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组-11-11,,n n m ma a q a a q ⎧=⎨=⎩两式相除可先求出q ，然后代入其中一式求得a 1，进一步求得S n ．另外，还可以利用公式a n =a m ·q n –m 直接求得q ，可减少运算量．（3）对称设元法：一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为…，xq，x ，xq ，…；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为…，3x q ，x q，xq ，xq 3，…（注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况）．这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便． 3．错位相减法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求解，一般是在等式的两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．若{b n }的公比为参数（字母），则应对公比分等于1和不等于1两种情况讨论．1．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在等比数列{}n a 中，若23a =，524a =-，则1a =A ．23 B ．23- C ．32-D ．32【答案】C 【解析】因为3528a q a ==-，所以2q =-，从而132a =-．故选C ． 【名师点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，属于基础题．2．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在等比数列{}n a 中，若22a =，554a =-，则1a = A ．23B ．23-C ．32-D ．32【答案】B 【解析】因为35227a q a ==-，所以3q =-，从而2123a a q ==-．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量运算，属于基础题．3．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵正项等比数列{}n a 中，512a =，()26753a a a q q +=+=，∴26q q +=． ∵0q >，解得，2q =或3q =-（舍），∴1132a =，∵()1231122132 (1232)n nn a a a a --++++==-，∴()1221123232n n nn -->⨯．整理得，()1152n n n ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，∴112n <≤，经检验12n =满足题意，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．4．【四川省巴中市2019届高三零诊考试数学】记n S 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2=2，S 3=–6．则{a n }的通项公式为A ．(2)nn a =- B ．2nn a =- C ．(3)nn a =-D ．3nn a =-【答案】A【解析】根据题意，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，又由22S =，36S =-，则有()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得12a =-，2q =-，则()2nn a =-，故选A ． 【名师点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题．5．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】已知等比数列{}n a 中的各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则101189a a a a +=+ A．1+B．1C．3+D．3-【答案】C【解析】因为等比数列{a n }中的各项都是正数，设公比为q ，得q >0， 且1321,,22a a a 成等差数列，可得3122a a a =+，即a 1q 2＝a 1+2a 1q ， 因为10a ≠，得q 2–2q –1＝0，解得q ＝或q ＝1（舍），则101189a a a a +=+()28989q a a a a +=+q 2＝C ． 【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则64a a = A ．1 B ．3 C ．6 D ．9【答案】D【解析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q >0） 由题意可得2312a ⨯＝13a +22a ，即q 2–2q –3＝0， 解得q ＝–1（舍去），或q ＝3，故64a a =q 2＝9．故选D ．【名师点睛】本题考查等差中项的应用和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题．7．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ．若639S S =，562S =，则1a =A ．3 BC D ．2【答案】D【解析】等比数列{a n }中，若S 6＝9S 3，则q ≠±1， 若S 6＝9S 3，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得q 3＝8，则q ＝2，又由S 5＝62，则有S 5＝()5111a q q--＝31a 1＝62，解得a 1＝2，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．8．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【答案】C【解析】()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，∴47a a +56a a ＝4， 由等比数列的性质可得：110a a ＝…＝47a a ＝56a a ＝2， 则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a •10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．【名师点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n +1（n ∈N *），其中a 是常数，则a =A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】n =1时，a 1=S 1=2a +1．n ≥2时，a n =S n –S n –1=a •2n +1–（a •2n –1+1），化为a n =a •2n –1， 对于上式n =1时也成立， ∴2a +1=a ，解得a =–1．故选B ．【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．【河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S =，1030S =，则15S =A ．90B ．125C ．155D ．180【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以51051510,,S S S S S --成等比数列，因为5105,30S S ==，所以105151025,255125S S S S -=-=⨯=， 故1512530155.S =+=故选C ．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n nS S S S S --也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题．11．【甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122a a -=，236a a -=，则4S =A ．–60B ．–40C ．20D ．40【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ，由12232,6a a a a -=-=，可得1121126a a q a q a q -=⎧⎨-=⎩，解得131q a =⎧⎨=-⎩， 故()441134013S -⨯-==--，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 12．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =A ．16B ．13C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()45713a a a a q +=+＝q 4，()891113a a a a q +=+，所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或q 4＝–5（舍），所以q 2＝2，13a a +211a a q =+=13a ＝1，所以1a 13=． 故选B ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，要求熟练掌握等比数列的性质的应用，比较基础．13．【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S = A ．10 B ．7 C ．8 D ．4【答案】C【解析】由题意得13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，38S ∴=，故选C ． 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题．14．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为A ．1B ．1或12CD．±【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故234q =，因为{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =C ． 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q m n p q ∈+=+N ，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --为等比数列（0n S ≠）且公比为nq ．15．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模）数学】已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或【答案】C【解析】等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =， 若1q =，37a =，33721S =⨯=，符合题意；若1q ≠，则()213171211a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解得12q =-，即公比q 的值为1或12-，故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题．等比数列基本量的运算是等比11数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．16．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学】已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a = A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】由已知1291a a a =，又2192837465a a a a a a a a a ====，所以951a =，即51a =，所以41112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，116a =，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型．17．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T = A ．1024 B ．2048 C ．4096 D ．8192【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得761a =，故61a =，即511a q =．又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以36312832424096a T T a q ⎛⎫===== ⎪⎝⎭．故选C ．【点睛】本题考查等比数列的性质、等比数列的通项公式，考查计算化简的能力，属中档题．。
专题18 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）(,82． 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A C A B A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+． 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦专题18 解三角形综合定理求解），最后考查△ABC 是锐角三角形这个条件的利用。
考查的很全面，是一道很好的考题．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin cos 0A A =，a，b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【答案】（1）4c = ；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =． 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=． 解得6c =-（舍去），4c =．（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=． 故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅． 又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【命题意图】主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题．主要考查考生的数学运算能力．【命题规律】考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用．解三角形是高考的一个必考热点，多为解答题，有时也以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要命题角度有：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何、天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类考题在近两年高考中虽没涉及，但此类题深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形与其他知识相交汇问题，常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识相交汇，这一直是高考考查的重点和热点．此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题．【知识总结】1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则2．三角形中的常见结论在△ABC中，常有下列结论：（1）A+B+C=π．（2）大边对大角，大角对大边，如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的三角函数关系式：sin （A+B ）=sin C ；cos （A+B ）=–cos C ；tan （A+B ）=–tan C ；sin 2A B +=cos 2C ；cos 2A B +=sin 2C ． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B=π3，A+C=2π3． （6）在斜△ABC 中，tan A+tan B+tan C=tan A ·tan B ·tan C ．3．三角形的面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：S=12ah （h 表示边a 上的高）； （2）已知三角形的两边及其夹角：S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A ；（3）已知三角形的三边：（p=12（a+b+c ））； （4）已知三角形的三边及内切圆半径：S=12r （a+b+c ）（r 表示三角形内切圆半径）． 【方法总结】1．判断三角形的形状，主要有如下两种方法：（1）角化边．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，如：①若a=b ，则三角形为等腰三角形；②若c 2=a 2+b 2，则三角形为以角C 为直角的直角三角形；③若c 2>a 2+b 2，则三角形为以角C 为钝角的钝角三角形；④若c 2<a 2+b 2，则只能得到三角形中角C 为锐角，如果同时有a 2<c 2+b 2，b 2<a 2+c 2都成立，此三角形为锐角三角形；⑤有时可能得到两个结论a=b ，且c 2=a 2+b 2，此时三角形为等腰直角三角形．化简过程中不能随便约分，要把关系找充分，从而正确判断三角形的形状．（2）边化角．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，常见的关系有：①sin 2A=sin 2B ，即A=B 或A+B=π2，三角形为等腰三角形或直角三角形； ②A+B=π2，三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③A=B=C ，三角形为等边三角形．在这里要注意应用A+B+C=π这个结论，从而判断出三角形的形状． 注意：（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断．注意不要轻易两边同除以一个式子．（2）要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2．与三角形面积有关的问题主要有两种：一是解三角形求出有关量，利用公式求面积；二是将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量．解题时主要应用三角形面积公式S=12ab sin C ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题．3．解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．注意：（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（2）注意题目中的隐含条件，如A+B+C=π，0<A<π，b –c<a<b+c ，三角形中大边对大角等．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知在ABC △中．,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c +-=，ABC △的面积为（1）求角C 的大小；（2）若c =，求sin sin A B +的值．【答案】（1）π3；（2）32．【解析】（1）由ABC △的面积为1sin 2ab C = 由2228a b c +-=及余弦定理可得2cos 8ab C =，故tan 3C ==π； （2）∵,2cos 8,83C ab C ab ==∴=π，又2228,a b c c +-==6a b +=， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==， 得()sin sin sin 3sin sin 2a C b C C A B a b c c c +=+=+=． 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图，在ABC △中，4AB =，点D 在边BC的延长线上，已知7cos 9CAD =∠，AC AD ==（1）求sin B 的值；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）sin 3B =；（2）【解析】（1）在A C D △中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠729=+-，所以3CD =， 在ACD △中，221cos 23AC CD AD ACD AC CD +-∠==⋅． 因为()0,ACD ∠∈π，所以sin 3ACD ∠=，所以()sin sin sin ACB ACD ACD ∠=π-∠=∠=． 在ACB △中，sin sin AC AB B ACB=∠．所以3sin 4B ==，（2）()1cos cos cos 3ACB ACD ACD ∠=π-∠=-∠=-． 在ABC △中，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠．所以2100BC +-=，解得BC =所以ABC △的面积为11sin 422AB BC B ⋅=⨯= 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理、以及三角形的面积公式即可，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222333b c a +-=．（1）求sin A ；（2）若3sin sin c A B =，ABC △，求ABC △的周长．【答案】（1）1sin 3A =；（2）2+【解析】（1）因为222333b c a +-=，所以2223b c a +-=，所以222cos 23b c a A bc +-==，从而1sin 3A ===．（2）因为3sin sin c A B =，所以3ac =，即b =．因为ABC △，所以1sin 2bc A =即21123=24c =，解得2c =． 【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos b B a A A B -=，a b ¹．（1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）由sin sin cos cos b B a A A B -=-及正弦定理得，22sin sin B A -cos cos A A B B =，∴1cos21cos222B A --- A B =，cos2cos2A A B B -=-， 即2sin 22sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又a b ≠， ∴2266A B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23A B π+=， ∴()3C A B π=π-+=． （2）由12CD CA CB =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=， 即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，②由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．5．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图所示，在平面四边形ABCD 中，2BC CD ==，BCD △的面积是2．（1）求BCD ∠的大小；（2）若260ABD ACB ∠=∠=o ，求线段AD 的长．【答案】（1）90︒；（2）AD =【解析】（1）在BCD △中，2BC CD ==，12BCD S =△sin 2BC CD BCD ⨯⨯⨯=，解得sin 1BCD =， 90BCD ︒∴∠=．（2）由2BC CD ==，90BCD ︒∠=，得到45,CBD BD ︒∠==260ABD ACB ︒∠=∠=，45,45CBD CAB ︒︒∠=∴∠=，在ABC △中，由正弦定理有：sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即2sin30sin45AB ︒︒==在BAD △中由余弦定理有：(22226AD ︒=+-⨯=，AD ∴=【名师点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据． 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ，当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答．6．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()222222(2sin sin )sin a b cA B a c b B +--=+-． （1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）∵()()2222sin sin a b c A B +--= ()222sin a c b B +-． ∴()2cos 2sin sin 2cos sin ab C A B ac B B -=．∴()2sin cos sin sin A C B C A =+=，又在ABC △中，sin 0A ≠，∴1cos 2C =， 又0C <<π，∴π3C =． （2）由12CD CA CB =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=， 即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，②由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理在三角形中的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．7．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =，求ABC △周长的最大值．【答案】（1）2π3C =；（2）4+． 【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >，故1cos 2C =-，又0C <<π，所以23C π=． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+【名师点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式．解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题．8．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】在ABC ∆中，已知内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足π2sin 6a B c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积等于12，求a 的最小值． 【答案】（1）π6；（21【解析】（1）)π2sin cos 6a B c a B B c ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭，由正弦定理，得)()sin cos sin sin A B B C A B +==+，sin sin cos A B A B + sin cos cos sin A B A B =+，sin cos sin A B A B =，又据题意，sin 0B ≠cos A A =， 解得π6A =． （2）1sin 22S bc A bc =⇒=，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-(222b c bc =+≥ 4=-当且仅当b c =时取等号，即)2241a ≥-=，所以a 1． 【名师点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式求最值，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】如图所示，在ABC △中，45B D ∠=︒，是BC 边上一点，23AD AC DC ===，．（1）求ADC △的面积；（2）求BD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-∠=⨯ 22231912232+-==-⨯⨯．∴120ADC ∠=︒，故sin ADC ∠=． ∴1sin 2ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠△1232=⨯⨯=． （2）1204575BAD ADC B ∠=∠-∠=︒-︒=︒，()sin sin75sin 3045BAD ∠=︒=︒+︒sin30cos45cos30sin45=︒︒+︒︒=．在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠∠， ∴sin sin AD BAD BD B ⋅∠=∠212==+ 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos (2)cos b A c a B =-+．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，ABC △的面积为ABC △的周长．【答案】（1）23B π=；（2）6． 【解析】（1）由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B AC A B =--，即()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=．又角C 为ABC △的内角，所以sin 0C >，所以1cos 2B =-． 又()0,B ∈π，所以23B π=．（2）由1sin 2ABC S ac B ===△8ac =． 又()222236b a c ac a c ac =++=+-=，所以a c +=ABC △的周长为6．【名师点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．11．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()cos 2cos 0c B b a C +-=．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC △的面积S 的最大值．【答案】（1）π3C =；（2 【解析】（1）因为()ccos 2cos 0B b a C +-=，所以()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，所以()sin 2sin cos B C A C +=．又因为A B C ++=π，所以sin 2sin cos A A C =．又因为()0,A ∈π，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =． 又()0,C ∈π，所以π3C =． （2）据（1）求解知，π3C =， 所以222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-．又2c =，所以224a b ab =+-．又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以4ab ≤．所以ABC ∆面积的最大值()max max 11sin 4sin 223ABC S ab C π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭△ 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可求解，属于常考题型．12．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在ABC △中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，ABBD =，2AD =．（1）求ADB ∠；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）34ADB π∠=；（2）3． 【解析】（1）已知ABBD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 22AD BD AB ADB AD BD +-∠==-⨯⨯， 又因为()0,ADB ∠∈π，所以34ADB π∠=． （2）因为ADB ADC ∠+∠=π，所以4ADC π∠=， 因AD AC ⊥，所以ADC △为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S =+=⨯+⨯⨯=△△△． 13．【贵州省思南中学2018–2019学年高二下学期第二次月考数学】如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，3AD =，7AC =，13cos 14ACD ∠=．（1）求BC 的长：（2）求ABC △的面积．【答案】（1）2）4【解析】（1）∵在ACD △中，3,7AD AC ==，13cos 14ACD ∠=． ∴由余弦定理可得：2222cos =AD AC CD AC CD ACD -+⋅⋅∠， 所以2139492714CD CD +⨯⨯⨯＝﹣， 由于7CD <，∴解得5=CD ， ∵2223571cos 2352CDA +-∠==-⨯⨯，∴3CDB π∠=，又∵2DCB π∠=，∴BC = （2）在CBD △中，2DCB π∠=，3CDB π∠=，∴C 点到AB 的距离h =10BD =，∴ABC △面积113224S =⨯⨯=．【名师点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量．（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理．。
2019年高考真题全国3卷理科数学(附答案解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生统一考试理科数学试题卷一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=−=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i −−B ．1+i −C ．1i −D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．245．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．26．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==−B ．,1a e b ==C ．1,1a e b −==D ．1,1a e b −==−7．函数3222x xx y −=+在[]6,6−的图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线9．执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于（ ）A ．4122−B ．5122−C ．6122−D ．7122−10．双曲线C ：2242x y −=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题13．已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r =0，若2c a =r r ，则cos ,a c <>=r r ___________.14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 15．设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D −挖去四棱锥O EFGH −后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .三、解答题17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．19．图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.20．已知函数32()2f x x ax b =−+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1−且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标. 23．设,,x y z R ∈，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a −≤或1a ≥−.参考答案1．A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴Q 11x −≤≤，∴{}11B x x =−≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=−， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z −===+++−．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归4．A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 5．C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键． 6．D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e −∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==−，故选D ．本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 7．B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x xx y f x −==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x −−−−==−=−++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f −⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f −⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 8．B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCE ， MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性． 9．C 【解析】 【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果. 【详解】输入的ε为0.01，1.01,0.50.01?x S x ==+=<不满足条件； 1101,0.01?24S x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<L 满足条件 输出676111112122222S ⎛⎫=++⋯+=−=− ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析． 10．A 【解析】 【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题． 【详解】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=Q ，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在2y x =上，112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积． 11．C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422−−−−>==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f −−⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 12．D 【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 13．23. 【解析】 【分析】根据2||c v 结合向量夹角公式求出||c v，进一步求出结果. 【详解】因为2c a =v v，0a b ⋅=vv ，所以22a c a b vv v v⋅=⋅2=，222||4||5||9c a b b =−⋅+=vv v v ，所以||3c =r ，所以cos ,a c <>=r r 22133a c a c ⋅==⨯⋅v v v v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 14．4. 【解析】 【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 15．( 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=−=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =−舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 16．118．8 【解析】 【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】由题意得， 2146423122EFGH S cm =⨯−⨯⨯⨯=， 四棱锥O −EFG 的高3cm ， ∴31123123O EFGH V cm −=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D −的体积为32466144V cm =⨯⨯=， 所以该模型体积为22114412132V V V cm =−=−=，其质量为0.9132118.8g ⨯=． 【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．17．(1) 0.35a =，0.10b =；(2) 4.05，6. 【解析】 【分析】(1)由()0.70P C =及频率和为1可解得a 和b 的值；(2)根据公式求平均数. 【详解】(1)由题得0.200.150.70a ++=，解得0.35a =，由0.050.151()10.70b P C ++=−=−，解得0.10b =.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，乙离子残留百分比的平均值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18．(1) 3B π=;(2)()82. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅V ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S V 关于C 的函数，由于ABC V 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C V 的值域. 【详解】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A CB +=或者2AC B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<−<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ−=⋅=⋅=⋅=⋅V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ−==⋅−=+.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABC S <<V . 故ABC S V的取值范围是 【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC V 是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.19．(1)见详解；(2) 30o . 【解析】 【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC V 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2)在图中找到B CG A −−对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC 的垂线，发现此垂足与A 的连线也垂直于CG .按照此思路即证. 【详解】(1)证：Q //AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥Q .AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂Q 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.(2)过B 作BH GC ⊥延长线于H ，连结AH ，因为AB ⊥平面BCGE ，所以AB GC ⊥ 而又BH GC ⊥，故GC ⊥平面HAB ，所以AH GC ⊥.又因为BH GC ⊥所以BHA ∠是二面角B CG A −−的平面角，而在BHC △中90BHC ∠=o ，又因为60FBC ∠=o 故60BCH ∠=o ，所以sin 60BH BC ==o而在ABH V 中90ABH ∠=o ,tanAB BHA BH ∠===B CG A −−的度数为30o .【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．20．(1)见详解；(2) 01a b =⎧⎨=−⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】 【分析】(1)先求()f x 的导数，再根据a 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据a 的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a ,b 的值. 【详解】(1)对32()2f x x ax b =−+求导得2'()626()3af x x ax x x =−=−.所以有当0a <时，(,)3a −∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增； 当0a =时，(,)−∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)−∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. (2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以若0a <，(,)3a −∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增； 此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =−，(1)1f =代入解得1b =−，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立.若0a =，(,)−∞+∞区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =−，(1)1f =代入解得1a b =⎧⎨=−⎩. 若02a <≤，(,0)−∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==−+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .即322()()13321a a ab a b ⎧−+=−⎪⎨⎪−+=⎩相减得32227a a −+=，即(0a a a −+=，又因为02a <≤，所以无解.若23a <≤，(,0)−∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==−+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .即322()()1331a a ab b ⎧−+=−⎪⎨⎪=⎩相减得3227a =，解得x =23a <≤，所以无解.若3a >，(,0)−∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =⎧⎨−+=−⎩解得41a b =⎧⎨=⎩.综上得01a b =⎧⎨=−⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．21．(1)见详解；(2) 3或【解析】 【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t −然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=−，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥u u u u v u u u v得出t 的值，从而求出M 坐标和EM u u u u u v 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t −,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=−，整理得112210tx y −+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y −+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y −+=.于是直线2210tx y −+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y −+=.即2(21)0tx y +−+=，当20,210x y =−+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx −−=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==−+=++=+212|||2(1)AB x x t =−==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =−u u u u r ，AB u u u r 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +−=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．22．(1) 2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([,])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=−∈,(2) )6π,)3π,2)3π,5)6π. 【解析】 【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围. (2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,])4M πρθθ=∈， 23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=−=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=−=−∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3π=θ或23πθ=，此时P 的极坐标为)3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ−=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π. 【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．(1) 43；(2)见详解. 【解析】【分析】(1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z −++++++≥−++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥等号成立当且仅当111x y z −=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=−⎪⎩时等号成立 所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43. (2) 因为2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a −+−+−++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a −=−=−，即22321323a x a y a z a +⎧=−⎪⎪+⎪=−⎨⎪+⎪=−⎪⎩时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a −+−+−++=−+−+−=+成立. 所以2(2)1a +≥成立，所以有3a −≤或1a ≥−.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.。
2019年高考新课标(全国卷3)理数-真题(word版-含解析)(汇编)
2019年高考新课标全国3卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．245．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 26．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-7．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于 A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A．4B．2C． D．11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞单调递减，则 A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点；②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增；④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
即 ，可得 ．
由于 ，所以 ，故
．
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME= B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND= A1D．
由题设知A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
11．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
2019年高考新课标(全国卷3)理数真题(word版,含解析)
2019年高考新课标全国3 卷理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。
1．已知集合A{ 1,0,1,2}， B{ x x 21}，则A BA ．1,0,1B ．0,1C ．1,1D ． 0,1,22．若 z(1i)2i ，则z=A ．1iB ．1+iC ． 1iD ． 1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著 .某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ． 0.5B ． 0.6C ． 0.7D ． 0.84．（ 1+2x 2）（ 1+x ） 4的展开式中 x 3的系数为A ．12B ． 16C ． 20D ． 245．已知各项均为正数的等比数列n项为和为531，则 a 3{ a } 的前 4 15，且 a =3a +4a=A ． 16B ． 8C ． 4D ． 26．已知曲线 y aexx ln x 在点（ 1， ae ）处的切线方程为y=2x+b ，则A． a e ，b 1B．a= e b=1C． a1D． a e 1， b 1，e ， b 17．函数 y2 x 3在 6,6 的图象大致为2x2xA ．B ．C ．D ．8．如图，点 N 为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ， M是线段ED的中点，则A ． BM=EN ，且直线C ． BM =EN ，且直线BM 、 EN 是相交直线BM 、 EN 是异面直线B ．BM ≠EN ，且直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN BM ，EN 是相交直线是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出 s 的值等于A. 21B. 2 1C. 21D. 212425262710．双曲线 C ：x 2y2=1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若4 2PO = PF ，则△ PFO 的面积为A ．3 2B ．3 2C ．2 2D ．3 24211．设 f x 是定义域为 R 的偶函数，且在0, 单调递减，则A ． f （ log 3 1 ）＞ f （32B ． f （ log 3 1）＞ f2）＞ f （32 2 ）＞ f （ 23 ）（ 2 3 2 2 ）4411 ）C ． f32D ． f 2 f （ 3（22 ）＞ f（2 3 ）＞ f （ log 3）（ 23 ）＞ 22 ）＞ f （ log 34412．设函数 fx =sin （x） (＞ 0)，已知 fx 在 0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论：5① f x 在（ 0,2 ）有且仅有 3 个极大值点；② f x 在（ 0,2 ）有且仅有 2 个极小值点③ fx 在（ 0,）单调递增；④的取值范围是12 29其中所有正确结论的编号是（）[， )105 10A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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2
21．已知曲线 C：y= x ， D为直线 y=
1
上的动点，过
D作 C的两条切线，切点分别为
2
2
A，B.
（ 1）证明：直线 AB过定点：
5
（ 2）若以 E(0 ， ) 为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE的面积 .
2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
6． D 7． B 8． B
15． (3, 15)
9． C 10． A 11． C 12．D 16．118.8
17．解：（ 1）由已知得 0.70= a+0.20+0.15 ，故 a=0.35 ．
b=1– 0.05 – 0.15 – 0.70=0.10 ． （ 2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
36 20
则 M的坐标为 ___________.
16．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型 . 如图，该模型为长方体 ABCD A1B1C1D1 挖去四棱
锥 O— EFGH后所 得几何体 ，其中 O 为长方 体的 中心， E， F， G， H 分 别为所 在棱的 中点，
AB = BC = 6cm, AA1 = 4cm ，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所
2×0.15+3 ×0.20+4 ×0.30+5 ×0.20+6 ×0.10+7 ×0.05=4.05 ． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05+4 ×0.10+5 ×0.15+6 ×0.35+7 ×0.20+8 ×0.15=6.00 ．
18．解：（ 1）由题设及正弦定理得 sin Asin A C sin B sin A ． 2
f (x) 在区间 [0 ， l] 的最小值为 f (0)= b ，最 1 ， 2 a b 1 ，即 a=0， b 1 ．
① f x 在（ 0,2 ）有且仅有 3 个极大值点
② f x 在（ 0,2 ）有且仅有 2 个极小值点
③ f x 在（ 0, ）单调递增 10
④ 的取值范围是 [ 12，29 ) 5 10
其中所有正确结论的编号是 A． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
需原料的质量为 ___________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17~21 题为必考题，每个试题考生
（一）必考题：共 60 分。
17．（ 12 分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将
共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5
B．0.6
4．（ 1+2x2 ）（ 1+x） 4 的展开式中 x3 的系数为
C． 0.7
D．0.8
A． 12
B．16
C． 20
D．24
5．已知各项均为正数的等比数列 { an } 的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3 =
a 令 f ( x) 0 ，得 x=0 或 x .
3
若 a>0 ， 则 当 x ( ,0) U a , 3
时 ， f ( x) 0 ； 当 x
a ( ,0), ,
3
单调递增，在 0, a 单调递减； 3
若 a=0， f ( x) 在 ( , ) 单调递增；
0, a 时 ， f ( x) 0 ． 故 f ( x) 在 3
A．
f
（ log
1
3
）＞
4
f （2
3
2 ）＞
f
2
（2 3）
B．
f
（ log
1
3
）＞
4
f （2
2
3 ）＞
f
3
（2 2）
C．
f
（2
3
2 ）＞
f
2
（ 2 3 ）＞
f
（log 3 1 ） 4
D．
2
f （ 2 3 ）＞
f
3
（ 2 2 ）＞
f
（log 3 1 ） 4
12．设函数 f x =sin （ x ） ( ＞ 0) ，已知 f x 在 0,2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论： 5
A． 16
B． 8
C． 4
D． 2
6．已知曲线 y aex x ln x 在点（ 1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
A． a e， b 1
B．a=e， b=1
C． a e 1， b 1
D． a e 1 ， b 1
7．函数 y
2 x3 在 2x 2 x
6,6 的图象大致为
A．
B．
C．
D．
8．如图，点 N为正方形 ABCD的中心，△ ECD为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD， M是线段 ED的中点，则
22． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
如图，在极坐标系
Ox 中， A(2,0) ， B(
2, ) ， C ( 4
2,
) ， D (2, 4
) ，弧 ?AB ， B?C ， C?D 所在圆的圆
心分别是
(1,0) ， (1, ) ， (1, 2
) ，曲线
M 1 是弧 ?AB ，曲线
uuur CG n uuur AC n
0,
即
x
0, 2 x
3z 0, y 0.
所以可取 n=（ 3，6，– 3 ）．
又平面 BCG的E 法向量可取为 m=（ 0， 1， 0），所以 cos n, m
nm | n || m |
3． 2
因此二面角 B– CG– A的大小为 30°．
20. 解：（ 1） f (x) 6x2 2ax 2x(3x a) ．
面． 由已知得 AB BE，AB BC，故 AB 平面 BCG．E 又因为 AB 平面 ABC，所以平面 ABC 平面 BCGE． （ 2）作 EH BC，垂足为 H．因为 EH 平面 BCGE，平面 BCGE 平面 ABC，所以 EH 平面 ABC．
由已知，菱形 BCG的E 边长为 2，∠ EBC=60°，可求得 BH=1， EH= 3 ． uuur
B． 1+i
C． 1 i
D． 1+i
3．《西游记》 《三国演义》 《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著
.
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况， 随机调查了 100 学生， 其中阅读过 《西游记》 或《红楼梦》
的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生
因为 sin A 0，所以 sin A C sin B． 2
由A B C
180 ，可得 sin A C
B
B
cos ，故 cos
BB 2sin cos ．
2
2
2
22
因为 cos B
0 ，故 sin B
1
，因此 B=60 °．
2
22
（ 2）由题设及（ 1）知△ ABC的面积 S△ ABC
3a． 4
csin A sin 120 C
以 H为坐标原点， HC 的方向为 x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
H– xyz，
uuur
uuur
则 A（– 1， 1， 0）， C（ 1， 0， 0）， G（ 2， 0， 3 ）， CG =（ 1， 0， 3 ）， AC =（ 2，– 1， 0）．
设平面 ACG的D 法向量为 n=（ x， y， z），则
（ 1）求 B；
（ 2）若△ ABC为锐角三角形，且 c=1，求△ ABC面积的取值范围．
19．（ 12 分）
图 1 是由矩形 ADEB、 Rt △ ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中 将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG，如图 2.
AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，
A． BM=EN，且直线 BM、 EN 是相交直线
B． BM≠EN，且直线 BM， EN 是相交直线
C． BM=EN，且直线 BM、 EN 是异面直线
D． BM≠EN，且直线 BM， EN 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的
为 0.01 ，则输出 s 的值等于
1 A. 2 24
1 B. 2 25
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
（1）证明：图 2 中的 A， C， G， D四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCG；E
（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A的大小 .
20．（ 12 分）
已知函数 f ( x) 2 x3 ax2 b . （ 1）讨论 f (x) 的单调性； （ 2）是否存在 a, b ，使得 f (x) 在区间 [0,1] 的最小值为 1且最大值为 1？若存在， 求出 a, b 的所有值；
M 2 是弧 B?C ，曲线