陕西省五校(长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学)2014届高三第三次模拟文科数学试题

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2014届第三次模拟考试数学（文）试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) (A) 0或2 (B)2 (C)0 (D)1或2 2.已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2xB x =-≥,则R A B = ð( ) (A))1,2(-- (B)]1,2(-- (C))0,1(- (D))0,1[-3．等差数列{}n a 中，如果14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和为( )(A)297 (B)144 (C)99 (D)66 4.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( )5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )(A)45 (B)50 (C)55 (D)606.若下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )(A)7k = (B)6k ≤ (C)6k < (D)6k > 7.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”.(A)1 (B)2 (C)3 (D)48.已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为，则ABC ∆的形状为( ) (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形9.的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )10.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2(f x f x +=，当[0,2x ∈时，23||2,[0,1),()1(),[1,2),2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩若当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为( )(A)23t ≤≤ (B)13t ≤≤ (C)14t ≤≤ (D)24t ≤≤ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .12.若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下仅在点(1,1)处取得最小值，则实数k的取值范围是 .13.函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为 .14.观察下列等式：12133+=；781011123333+++=；16171920222339333333+++++=；…… 则当n m <且,m n N ∈时，313232313333n n m m ++--++⋅⋅⋅++= .（最后结果用,m n 表示）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(A)（不等式选讲选做题）己知,(0,)x y ∈+∞<西不等式可求得实数k 的取值范围是 .(B)（几何证明选讲选做题）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，则PD 的长为 .(C)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，且11,2,()2a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.17.（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：B（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过5.0的概率. 18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4n n S a p =-，其中p 是不为零的常数．（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）当3p =时，数列{}n b 满足*1()n n n b b a n N +=+∈，12b =，求数列{}n b 的通项公式．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,,AB AA D E F =分别是11,,B A CC BC 的中点. （Ⅰ）求证：//DE 平面ABC ； （Ⅱ）求证：1B F ⊥平面AEF ； （Ⅲ）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积.20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t >在直线2a x c=（c 为半焦距）上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．21.（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =-+++在(,0)-∞上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数()f x 在R 上有三个零点，且1是其中一个零点． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求(2)f 的取值范围；（Ⅲ）设()1g x x =-，且()()f x g x >的解集为(,1)-∞，求实数a 的取值范围．长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2014届第三次模拟考试数学（文）答案第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共75分）16.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）∵()f x =2sin(2)2cos 16x x π-+-=12cos2cos222x x x -+=12cos22x x +=sin(2)6x π+. -----------------3分 ∴函数()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈.------------5分（Ⅱ）∵1()2f x =，∴1sin(2)62A π+=.又0A π<<，∴132666A πππ<+<.∴52,663A A πππ+==故. -----------------7分在ABC ∆中，∵1,2,3a b c A π=+==，∴2212cos b c bc A =+-,即143bc =-.∴1bc =. -----------------10分∴ABC S ∆=1sin 24bc A =-----------------12分 17.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）6条道路的平均得分为5.7)1098765(61=+++++.-----------------3分 ∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分（Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0”. ---------7分从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：)6,5(，)7,5(，)8,5(，)9,5(，)10,5(，)7,6(，)8,6(，)9,6(，)10,6(，)8,7(，)9,7(，)10,7(，)9,8(，)10,8(，)10,9(，共15个基本事件． -----------------9分事件A 包括)9,5(，)10,5(，)8,6(，)9,6(，)10,6(，)8,7(，)9,7(共7个基本事件， ∴157)(=A P ． 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0的概率为157.-----------------12分18.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）证明：因为*4()n n S a p n N =-∈,则*114(,2)n n S a p n N n --=-∈≥， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得143n n a a -=．-----------------4分 由4n n S a p =-，令1n =，得114a a a =-，解得31p a =．所以{}n a 是首项为3p，公比为43的等比数列． -----------------6分 （Ⅱ）当3p =时，由（Ⅰ）知，则14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+= ，得114()3n n n b b -+-= ， -----------------8分当2n ≥时，可得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ， -----------------10分当1n =时，上式也成立．∴数列{}n b 的通项公式为1*43()1()3n n b n N -=-∈． -----------------12分 19.（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）取AB 中点O ，连接,CO DO ，∵111//,2DO AA DO AA =，∴//,DO CE DO CE =. ∴四边形DOCE 是平行四边形.∴//DE CO ，又∵,DE ABC CO ABC ⊄⊂平面平面，∴//DE 平面ABC . -----------------4分 （Ⅱ）∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴面ABC ⊥面11BB C C .∴AF ⊥面11BB C C ，∴1AF B F ⊥.设11AB AA ==，则113,222B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=. ∴1B F EF ⊥.又AF EF F = ，∴1B F ⊥平面AEF . -----------------8分（Ⅲ）∵点D 是线段1AB 的中点，∴点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距离的12.而1B F ==，∴三棱锥D AEF -的高为；在Rt AEF ∆中，,2EF AF ==，所以三棱锥D AEF -的底面面积为2a ，故三棱锥D AEF -的体积为2311316a =. -----------------12分20.（本小题满分13分）【解析】（Ⅰ）由点(2,)M t 在直线2a x c =上，得22a c=，故212c c +=， ∴1c =． 从而a =． -----------------2分 所以椭圆方程为2212x y +=． -----------------4分 （Ⅱ）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=．即222(1)()124t t x y -+-=+． 其圆心为(1,)2t,半径r =-----------------6分 因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2， 所以圆心到直线3450x y --=的距离2td ==． 所以32552t t --=，解得4t =．所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=．----------------9分（Ⅲ）方法一：由平几知：2ON OK OM =，直线:OM 2t y x =，直线:FN 2(1)y x t=--， 由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+． ----------------11分∴2224||(1)2244t ON t ==+⋅⋅=+． 所以线段ON-----------------13分 方法二：设00(,)N x y ，则000000(1,),(2,),(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=．0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+=． -----------------11分 又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+= ．所以，ON ==-----------------13分21.（本小题满分14分）【解析】（Ⅰ）∵f （x ）=－x 3+ax 2+bx+c ，∴()232f x x ax b '=-++．------------------1分∵f （x ）在在(,0)-∞上是减函数，在(0,1)上是增函数，∴当0x =时，()f x 取到极小值，即(0)0f '=．∴0b =．----------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32()f x x ax c =++，∵1是函数()f x 的一个零点，即(1)0f =，∴1c a =-．----------------------5分 ∵()2320f x x ax '=-+=的两个根分别为10x =，223a x =． 又∵()f x 在(0,1)上是增函数，且函数()f x 在R 上有三个零点，∴2213a x =>，即32a >． ----------------------7分∴5(2)84(1)372f a a a =-++-=->-．故(2)f 的取值范围为5(,)2-+∞． ----------------------9分（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知()321f x x ax a =-++-，且32a >．∵1是函数()f x 的一个零点，∴(1)0f =， ∵()1g x x =-，∴(1)0g =，∴点(1,0)是函数()f x 和函数()g x 的图像的一个交点．---------------------10分结合函数()f x 和函数()g x 的图像及其增减特征可知，当且仅当函数()f x 和函数()g x 的图像只有一个交点(1,0)时，()()f x g x >的解集为(,1)-∞．即方程组321,1y x y x ax a =-⎧⎨=-++-⎩①只有一组解：1,0.x y =⎧⎨=⎩-----------------11分 由3211x ax a x -++-=-，得()()()321110x a x x ---+-=． 即()()()()()2111110x x x a x x x -++--++-=． 即()()()21120x x a x a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦．∴1x =或()()2120x a x a +-+-=． ----------------------12分由方程()()2120x a x a +-+-=②得()()2214227a a a a ∆=---=+-．∵32a >，当0∆<，即2270a a +-<，解得312a <<．----------------------13分此时方程②无实数解，方程组①只有一个解1,0.x y =⎧⎨=⎩所以312a <<时，()()f x g x >的解集为(,1)-∞．---------------------14分 （Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知()321f x x ax a =-++-，且32a >．∵1是函数()f x 的一个零点()2()(1)11f x x x a x a ⎡⎤∴=--+-+-⎣⎦又()()f x g x >的解集为(,1)-∞，∴2()()(1)[(1)2]0f x g x x x a x a -=--+-+->的解集为(,1)-∞．-------------------10分 ()2120∴+-+->x a x a 恒成立．()()214120a a ∴∆=--⨯⨯-<． -----------------12分()2227018a a a ∴+-<∴+<．33311222⎛⎫>∴<<∴ ⎪⎝⎭a a a 又的取值范围为．--------------------14分。