自适应课件(北航)5(3)

lim g (t ) 0
证明：令
f (t ) g 2 (t )
g ，由于 g (t ) 、 (t ) L¥ ，则 f (t ) 是一致连续的，又由
于 g (t ) L2 ，所以
0
由Barbalat定理有
ゥ
g 2 (t )dt
0
f (t )dt <
t ゥ
lim f (t ) 0 ,
V ( x (k )) V ( x( k 1)) V ( x( k )) 为负定；
def
3） x(k ) ¥ 时，有 V ( x (k )) ¥ 。
则原点平衡状态 x 0 为全局渐进稳定。
如果上述第（2）条为负半定，其他条件不变，则加上下面一条后，原点平 衡状态 x 0 为全局渐进稳定。
结论。它在1960年前后被引入控制理论界，并很快成为研究系统稳定性的主要工
具，本节介绍李雅普诺夫第二方法。 设自治系统状态方程
x f ( x, t ), x(t0 ) x0 , t [t , )
的解为：
x (t , x0 , t0 )
(5-30)
式中，
x0为系统初始条件，t 0 为初始时刻，
导的标量函数 V ( x, t ) ，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对 x 0 状态有
（1）V ( x, t ) 正定； （2）dV / dt 非正定；
（3）在任意起于 x 0 的运动轨线上，使所有 V ( x, t ) 不恒为零；
则该系统是平衡状态渐近稳定的。如果满足
x ?
则 x 0 是全局渐近稳定的。
则称平衡状态
xe 是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。假若 ( ) > 0
与 t 0 无关，则称
其为李雅普诺夫意义下一致渐近稳定。 几何意义： xe 的 领域内出发的运动轨线 (t, 如图5-5所示。
x0 , t0 )
最终均趋于平衡状态
xe

x0 xe xe x0

x0 xe




图5-4
所示。
实质上，李雅普诺夫意义下渐近稳定与工程意义下的稳定是等价的，李雅普 诺夫意义下不稳定等同于工程意义下的发散不稳定。
有了李雅普诺夫意义下的稳定概念之后，余下的问题是如何判定一个系统在
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平衡点的稳定性。李雅普诺夫第二方法主要定理是判定的主要工具。它借助能量
的特性来研究系统稳定性，即系统运动总是随能量变化的，如果系统能量变化始
根据矩阵迹的性质：trA trAT 和 x T Ax tr( x T Ax) tr( x x T A) ，有
tr( T R1 ) tr( T R1 )
以及
dV 1 1 eTQe eT PB r tr( T R1 ) eTQe tr(e T PB r ) tr( T R1 ) dt 2 2
x(k 1) f ( x(k )) , x(0) x0 , k 0, 1, 2,
(5-37)
式中， x 为 n 维状态， f (0) 0 表示状态空间原点 x 0 为系统平衡状态。 离散时间系统全局渐进稳定判据：对离散时间非线性时不变自治系统式（537），若存在一个相对于离散状态 x (k ) 的标量函数 V ( x(k )) ，使对任意 x(k ) R n 满足： 1） V ( x(k )) 为正定； 2）
(5-34)
式中，tr (x)是矩阵“ x ”的迹（trace），它表示矩阵对角元之和；R、P为正定对
称矩阵。
dV 1 T [e Pe e T Pe tr( T R 1 ) tr( T R 1 )] dt 2
将式（5-32）代入并整理，有
dV 1 T [e ( PA AT P )e r T T B T Pe e T PB r tr( T R 1 ) tr( T R 1 )] dt 2
e0, e0
代入式（5-32）有 B r 是由 l 个不同频率的分量构成的，则各分量 ri 是线性无关的，这里
r r1 r2 rl
T
(5-36)
从而由式（5-36）应有
0
即只有在平衡点 e 0 、 0 处，才有 V (e, ) 0 ，由定理5-3-3知，系统在平衡点 10
图5-5
图5-6
定义5-3-3 式（5.30）表示的系统的平衡状态 xe 对于任一位于状态空间的初
始状态 x0 ，若满足
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x （1） e 0为李雅普诺夫意义下稳定；
（2） lim (t, x0 , t 0 ) xe 0 t 则称平衡状态
xe 是李雅普诺夫意义下全局（或大范围）渐近稳定。
的任一初始状态 x0 出发的所有解 (t , x0 , t0 ) 都满足
(t , x0 , t 0 ) xe 剠 , t
t0
则称式（5-30）表示的系统的平衡状态 xe 0 在时刻 t 0 为李雅普诺夫意义下的稳 定。如果 > 0 与 t 0 无关，则称为李雅普诺夫意义下一致稳定。 几何意义：初始状态 x0 不越出平衡状态 xe 的邻域，相应解 (t, x0 , t0 ) 不 越出平衡状态 xe 的 邻域，那么 xe 是稳定的，如图5-4所示。 定义5-3-2 若式（5-30）所示系统的平衡状态
12 对由任意非零初始状态 x(0) R n 确定的所有自由运动，即式（5-37）所有
解 x (k ) 的轨线，V ( x (k )) 不恒为零。
设有离散时间线性时不变系统，自治状态方程为
x(k 1) G x(k ) , x(0) x0 , k 0, 1, 2,
(5-38)
5.3 李雅普诺夫稳定性与正实函数
针对用梯度法设计模型参考自适应控制系统稳定性得不到保证的问题，有人
提出基于李雅普诺夫稳定性理论设计模型参考自适应控制系统，如 Butchart (1965）、Parks (1966）。所以有必要回顾动态系统的稳定性概念和定理，以作
为后续学习内容的准备知识。
5.3.1 李雅普诺夫稳定性理论概要
t
lim g (t ) 0
该定理及其推论的意义：依据函数或信号本身的特征来判断其终值的收敛 性，而不用构造李雅普诺夫函数并验证其导数的负定性。 由于下一章将涉及李雅普诺夫稳定性定理的离散形式，所以在此也将离散时 间系统的李雅普诺夫稳定定理和判据不加证明地给出，以方便讨论。
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设有离散时间非线性时不变系统，自治状态方程为
若矩阵G为奇异，则除了原点平衡状态 xe 0 外，还有非零平衡状态；若G为非
奇异，则只有唯一平衡状态 xe 0 。
特征值判据：对离散时间线性时不变自治系统式（5-38），原点平衡状态
xe 0是渐进稳定的充分必要条件是：G的全部特征值 i (G) (i 1, 2, , n) 的幅值
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状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1）V ( x, t )是正定的； （2）dV / dt 是负定的， 则系统的原点平衡状态 xe 0 是渐近稳定的。除了以上条件外，如果
x ? V ( x, t )
亦满足，则 xe 0 是全局渐近稳定的。 定理5-3-3 对式（5-30）描述的系统，若可构造一个对时间具有连续一阶偏
性。
1892年，李雅普诺夫（A. M. Lyapunov）提出了运动稳定性的一般理论，
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即稳定性分析的第一方法和第二方法。第一方法将非线性自治系统运动方程在足
够小的邻域内进行泰勒展开，导出一次近似线性化系统，再根据线性系统特征值
在复平面上的分布推断非线性系统在邻域内的稳定性；第二方法引入具有广义能 量属性的李雅普诺夫函数，并分析其函数的定号性，建立判断系统稳定性的相应
响应运动稳定性可分为基于输入/输出描述的外部稳定性和基于状态空间描 述的内部稳定性。外部稳定性是一种零初始条件下的有界输入 / 有界输出
（Bounded-input, Bounded-output）稳定性。内部稳定性是零输入条件下自治
系统状态运动的稳定性，它等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定性。外部稳定 性与内部稳定性之间有十分紧密的联系，一般说来，内部稳定性决定外部稳定
x 为状态向量。
如果系统某一状态对所有时刻均满足
f ( xe , t ) 0
则称状态 xe 为式（5-30）所示系统的平衡状态。
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定义5-3-1 如果对任意一个实数 > 0 ，均对应存在另一依赖于 和 t 0 的实
数 ( , t0 ) > 0 ，使满足以下不等式
x0 xe „ ( , t0 )
假若 n n 正定对称矩阵 Q 和 P 满足下列方程
AT P PA Q
则该系统平衡点 e 0 、 0 是稳定的。若r是 l 个或更多不同频率的分量组成， 8
那么平衡点是渐近稳定的。 证明：选取李雅普诺夫函数为
1 V [e T Pe tr( T R 1 )] > 0 2
V ( x, t )
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定理5-3-4 设线性定常连续系统的运动方程为
x Ax
式中，x 为
n 维状态向量；A为 n n 非奇异矩阵。
其平衡点 xe 0 是全局渐近稳定的充分必要条件为：对任意给定的正定对称矩
阵Q，存在一个正定对称矩阵 P，并满足下列李雅普诺夫矩阵方程
AT P PA Q
定理5-3-5 设非线性系统的运动方程为
e Ae B r
RB T Per T
(5-32) (5-33)
式中，e为n维向量；r为 l 维向量；A、B和 分别为 n n 、 n m 和 m l 满秩
矩阵；R、P分别为 m m 、 n n 正定对称矩阵。