三角函数(课堂讲义和例题)
三角函数知识点及典型例题
三角函数知识点及典型例题三角函数知识点及典型例题§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}|360,S k k Z ββα==+?∈.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α.3、弧长公式： R4、扇形面积公式： S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）_______sin r y =α，________cos rx=α，_____tan x y =α.3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一：()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+kk k （Z k ∈）5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：22sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=-4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=??-=-5、诱导公式六：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=??+=+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=?ωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ω?ωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==f .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=，变形：cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1：21cos 2cos 2αα+=，变形2：21cos 2sin 2αα-=. 3、22tan tan 21tan ααα=- 1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式： S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.（P 11 习题13）若扇形的周长为定值l ，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P 23 练习4）已知sin （4π-x ）=-51，且0<x<="">623.（ P 24 习题9(2)）设tan α=-21，计算αααα22cos 2cos sin sin 1--。
06第六章 三角函数【讲义】
x
x
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
用心 爱心 专心
3．最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
4．三角最值问题。 例5 已知函数 y=sinx+ 1 cos x ，求函数的最大值与最小值。
2
例6
设 0< <π，求 sin
的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来
个单位，得到 y=Asin( x+ )的图象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 3 M ,0 对称，且在区间 0, 上是单调函数，求 和 的值。
是很容易的。
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与 y=Asin( x+ )(A, , >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后 再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
，得到 y=Asin( x+ )的图象；也可以由 y=sinx
x 2 , 2 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反
函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集，如果 a∈(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是 {x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa= 定理 16 若 x 0,
三角函数.讲义学生版
板块一 基础知识一、锐角三角函数的定义1. 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A ∠的锐角三角函数．2. 正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a A c =．3. 余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =．4. 正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =．5. 余切：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作cot A ，即cot b A a=． 从定义中可以看出，① 正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 、cot A 分别是正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切、余切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住．三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又s i n a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a=，所以0sin 10cos 1tan 0cot 0A A A A <<<<>>，，，．四、三角函数关系1. 同角三角函数关系：三角函数 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90︒ sin A 0 12 22 321 cos A 1 32 2212 0 tan A 0 331 3 - cot A - 3 1 330 例题精讲三角函数22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=，tan cot 1A A ⋅= 2. 互余角三角函数关系：⑴ 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-； ⑵ 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； ⑶ 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-；⑷ 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值：()cot tan 90A A =︒-．3. 锐角三角函数值的变化规律： 令1c =，锐角A ∠越小，则a 越小，则b 越大；当A ∠越大，则a 就越大，b 就越小，且a c b c <<，，所以当角度在0~90︒︒范围内变化时，正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．而正切值也是随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．可以应用0~90︒︒间的正弦值、余弦值、正切值、余切值的增减性来比较角的正弦、余弦、正切、余切值的大小，其规律是：⑴A B 、为锐角且A B >，则sin sin A B >，cos cos A B <，tan tan A B >，cot cot A B <；⑵A B 、为锐角且A B <，则s in s in A B <，cos cos A B >，tan tan A B <，cot cot A B >．该规律反过来也成立．板块二 常用公式1. 和角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅；2. 差角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+⋅；3. 倍角公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin22sin cos ααα=，22tan tan 21tan ααα=-；4. 半角公式：21cos cos 22αα+=，21cos sin 22αα-=，sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； 5. 万能公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+，221tan 2cos 1tan 2ααα-=+，22tan2tan 1tan 2ααα=-；6. 积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--，1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-，1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--．7. 和差化积公式：cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=，cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-，sin sin 2sin cos22αβαβαβ+-+=，sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=．板块一、三角函数基础【例1】 已知如图：在Rt ABC ∆中，810BC AC ==，.求sin A 和sin B 的值。
三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
三角函数讲义
学生姓名年级授课时间教师姓名课时 2三角函数讲义（1）——任意角及任意角的三角函数，基本关系与诱导公式，两角和与差公式【高考会这样考】1．考查三角函数的定义及应用．2．考查三角函数值符号的确定．3．考查同角三角函数的基本关系式．4．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．5．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值．6．利用三角公式考查角的变换、角的范围基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线4．同角三角函数的基本关系5．诱导公式6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式7．二倍角的正弦、余弦、正切公式及降幂公式8．辅助角公式函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．考向探究 题型一：角的集合表示及象限角的判定【例题1】下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )． A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋94π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )【例题2】若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限【变式1】若α 是第二象限的角，则2α所在的象限是( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第二、三象限题型二：三角函数的定义【例题3】已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－12【变式2】已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24 m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．题型三：弧度制的应用【例题4】已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【变式3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？题型四：三角函数线及其应用【例题5】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：sin α≥32；【例题6】下列不等式中正确的是( )A ．π74sin π75sin> B ．⎪⎭⎫⎝⎛->7πtan π815tanC ．⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πsin 5πsin D ．⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-π49cos π53cos 【变式4】求函数的定义域：y ＝2cos x －1；【变式5】若2ππ24ππ2+≤≤+k k α，k ∈Z ，则sin α 与cos α 的大小关系是( ) A ．sin α ＞cos αB ．sin α ＜cos αC ．sin α ≥cos αD ．sin α ≤cos α题型五：利用同角三角函数关系化简与求值【例题7】已知sin 45α=,并且α是第二象限的角,那么tan α的值等于( )A.43-B.34-C.34D.43【变式6】已知tan 13α=-,计算:sin 2cos (1)5cos sin αααα+-; 21(2)2sin cos cos ααα+.题型六：利用诱导公式化简与求值【例题8】.如果sin(π1)2α+=-,那么cos 3()2πα-等于 ( )A.12B.12- C.32-D.32【例题9】已知cos(π6－θ)＝a (|a |≤1)，则cos(56π＋θ)的值是________． 【变式7】已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan (π＋α)，求f ⎝⎛⎭⎫31π3.题型七：诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例题10】已知sin 3()25πα-=,则cos(π2)α-等于( )A.725B.2425C.725-D.2425-【变式8】记cos(-80)=k ,那么tan100等于( )A.21k k - B.21k k -- C.21k k - D.21k k--题型八：和差角公式的运用【例题11】计算sin105=( ) A ．624--B ．624-C ．624+-D ．624+【例题12】计算cos18cos42cos72cos48-=( )A ．12-B ．12C ．32-D ．32【例题13】已知,(,)4αβ3π∈π，3sin()5αβ+=-，12sin()413βπ-=，则c o s ()4απ+= .【变式9】已知1t a n 3α=-，5cos ,5β=,(0,)αβ∈π,则tan()αβ+的值等于 .题型九：二倍角公式的运用 【例题14】化简1sin8+=( )A ．sin 4cos4+B ．sin 4cos4--C ．sin 4D ．cos 4【例题15】已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A.1925B.1625C.1425D.725【变式10】已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-【变式11】cos10cos80sin 20⋅= .题型十：“22sin cos sin()a b a b θθθϕ+=++”的应用【例题16】函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）A.5π B.2πC.πD.2π【例题17】函数x x y cos 3sin +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 ．【变式12】函数2sin cos 3cos 3y x x x =+-的图象的一个对称中心是（ ） A.23(,)32π- B.53(,)62π- C.23(,)32π- D.(,3)3π-巩固训练1.角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A ．α＝－βB ．α＝180°＋βC ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z )D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角3．把405°化为弧度为( )A ．π3683B ．π47 C ．π613 D ．π49 4．已知α ＝2rad ，则α 是第( )象限角A ．一B ．二C ．三D ．四5.(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.456．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 7.已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.8．当x ∈[0，2π ]时，使得不等式22cos ≥x 成立的x 的取值范围是( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,4πB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4π,4πD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,4π74π,09.(2012·东莞模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.4510．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )A.12 B ．2 C ．－12 D ．－211.已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．.12.已知sin θ＝2cos θ，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.2313.（2010，广东文16）设函数()3sin()6f x x πω=+，0,(,)x ω>∈-∞+∞ ，且以2π为最小正周期． （1）求(0)f ； （2）求()f x 的解析式；（3）若94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值．14.（2011铁一中三模16）已知：函数()2sin 2cos()f x x x π=++． （1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若函数()f x 的图象过点6(,)5α，344ππα<<.求()4f πα+的值．15.已知,αβ均为锐角，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，则cos β= . 16.已知24βαπ3π<<<，且12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-. (1)求,αβαβ-+的取值范围； (2)求cos2β的值.17.（福建文）若a ∈（0， 2π），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于A ．22B ． 33C ． 2D ． 318.（上海文）函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
(经典讲义)高一数学下必修四第一章三角函数
高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1）⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k kαα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z终边在x轴上的角的集合为{}180,k kαα=⋅∈Z终边在y轴上的角的集合为{}18090,k kαα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k kαα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k kββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*nnα∈N所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭问题1各是第几象限角问题：已知α角是第三象限角，则2α，2问题21．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
三角函数的概念(精讲)(解析版)
5.2 三角函数的概念考点一三角函数的定义-，则cosα=（）【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边经过点(4,3)A ．45B ．35C ．35D ．45-（2）（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）若角600°的终边上有一点（-4，a ），则a 的值是（ ）A ．B ．±C ．-D（3）（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知角α的终边上一点的坐标为（sin 43π，cos 43π），则角α的最小正值为（ ） A ．76πB ．116πC ．56π D ．43π 【答案】（1）D （2）C （3）A【解析】（1）∵已知角α的终边经过点(4,3)-,∴4,3,5x y r =-===．∴4cos 5x r α==-.故选：D ．（2）∵角600︒的终边上有一点()4,a -，根据三角函数的定义可得tan 6004a︒=-，即()4tan 6004tan 540604tan 60a =-︒=-+=-︒=-，故选C.（3）由题意41sin cos32πα==-，又4sin 03π<，点(sin ,cos )33ππ44在第三象限，即α是第三象限角， ∴72,6k k Z παπ=+∈，最小正值为76π．故选：A ．【一隅三反】1．（2020·辽宁沈河·沈阳二中高一期末）如果角α的终边过点(2sin 30,2cos30)P ︒︒-，那么sin α等于（ ）A ．12-B ．12C ．D ．【答案】C【解析】由题意得(1,P ，它与原点的距离为2，∴sin α=.故选：C.2．（2020·永州市第四中学高一月考）若一个α角的终边上有一点()4,P a -且sin cos αα⋅=，则a 的值为( )A ．B ．±C ．－或D 【答案】C【解析】由已知，得()224sin44aaαα-==∴=-+，解得a=-C．3．（2020·河南高一期末）已知点()8,6cos60P m-在角α的终边上，且3tan4α=，则m的值为（）A．2-B．2C．-D．【答案】A【解析】16cos60632m m m=⨯=，即点()8,3P m-，由三角函数的定义可得33tan84mα==-，解得2m=-.故选：A.考点二三角函数值正负判断【例3】（2020·辽宁高一期末）若sin tan0αα<，且costanαα<，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】2sinsin tan0cosαααα=<，cos0α∴<，又2cos costan sinαααα=<，则sin0α<.因此，角α为第三象限角.故选：C.【一隅三反】1．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）已知点()tan,sinPαα在第三象限，则角α的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】点()tan,sinPαα在第三象限，∴tan0α<，sin0α<，由tan0α<，知角α的终边所在的象限为第二象限或第四象限，由sin 0α<，知角α的终边所在的象限为第三象限或第四象限， 综上，角α的终边所在的象限为第四象限.故选：D. 2．（2020·昆明市官渡区第一中学高一月考）若－2π<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】∵－2π<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B 3．（2020·山东滨州·高二期末）“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件.故选：A考点三 三角函数线【例3】（1）（2020·辽宁沈阳·高一期中）下列关系式中，正确的是（ ） A ．sin1cos1tan1<< B ．cos1sin1tan1<< C ．tan1sin1cos1<<D ．cos1tan1sin1<< （2）（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））对于下列四个命题： ①sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②2517cos cos 44ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③tan138tan143︒>︒； ④tan 40sin 40︒>︒. 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】（1）B （2）B【解析】（1）画出1弧度的正弦线，余弦线和正切线，如图所示：则sin1,cos1,tan1MP OM AT ===，比较,,OM MP AT 的长度， 得cos1sin1tan1<< .故选：B.（2）根据正弦函数的性质，可知：sin y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增1810ππ->-，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①正确； 由诱导公式，可得：2525cos cos 6cos 444ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1717cos cos 4cos 444ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2517cos cos 44ππ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②错误； 根据正切函数的性质，可知：tan y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，138143︒<︒，tan138tan143∴<︒︒，③错误；画出2409πα==的正弦线和正切线，如下： ︒=tan 40AT ,︒=sin 40MP ，所以tan 40sin 40︒>︒，故④正确.故选：B【一隅三反】1．（2019·重庆）sin4,cos4,tan4a b c===则,,a b c的的大小关系是( )A．a b c<<B．b a c<<C．a c b<<D．c b a<<【答案】A【解析】设4α=,则5π3π42α<<,作出角α的三角函数线,如下图,则sin0MPα=<,cos0OMα=<,tan0ATα=>,又在OMP中,ππ,42MOP⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,则MP OM>,故sin cos0tanααα<<<,即sin4cos40tan4<<<.故选:A.2．（2020·湖南长沙·高一月考）设sin1,cos1,tan1a b c===，则,,a b c的大小关系为（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>【答案】C【解析】以O 为圆心作单位圆，与x 轴正半轴交于点A ，作1POA ∠=交单位圆第一象限于点P ，做PB x ⊥轴，作AT x ⊥轴交OP 的延长线于点T ，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB =，sin1BP =，tan1AT =， 因为ππ124>>，AT BP OB ∴>>∴tan1sin1cos1>>∴c a b >>故选：C 3．（2019·伊美区第二中学高一月考）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2]π内α的取值范围是（ ）． A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当0k =时，42ππα<<或54ππα<<．02απ，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．考点四 同角三角函数【例4】（1）（2020·镇原中学高一期末）若1sin 2α=，π(,π)2α∈，则cos α= 。
三角函数知识点及例题讲解
三角函数知识点1.特殊角的三角函数值：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==）3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-m m（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。
如(；(3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===L 等），.。
（4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。
三角函数第一讲讲义
第1讲 三角函数【复习指导】高考中一般以基础题为主，难度基本为容易题或中档题，涉及到的问题主要有三个方面——三角函数的图象与性质、三角变换和解三角形。
【考点1】 三角函数的定义及应用【例1】已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( A )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－12【变式1】(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝_-8_______.【考点2】 同名角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．【例2】（1）已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan (π＋α)，求f ⎝⎛⎭⎫31π3.（2）若 ，求的值．答案：（1）1/2 （2）18【变式2】(1) 已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．（2）已知 ， ，则答案：（1） （2）【考点3】 “五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． (3) 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示【例3】设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． (1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解 (1)周期T ＝2π＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表如下：图象如图：【考点4】三角函数的图象和性质的综合应用(1)当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．【例4】►已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，初相为π6，振幅为2（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求函数()f x 的对称中心和对称轴；（4）求当函数()f x 取得最大值是X 的集合。
三角函数专题复习讲义
三角函数专题复习讲义1. 弧度与角度1.1 弧度的定义弧度（radian）是角度的一个度量单位。
它是一种以弧长为单位来衡量角度的方式。
在一个半径为1的圆中，角度θ对应的弧长与半径的比值就是角度θ的弧度表示，数学上用符号rad来表示。
1.2 角度与弧度的互相转换角度与弧度的转换关系可以用以下公式表示：- 弧度转角度：角度 = 弧度× (180/π)- 角度转弧度：弧度 = 角度× (π/180)其中π表示圆周率，约等于3.。
2. 三角函数2.1 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。
对于一个角度θ，其正弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的纵坐标。
2.2 余弦函数（cos）余弦函数是三角函数中的一种，用cos表示。
对于一个角度θ，其余弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的横坐标。
2.3 正切函数（tan）正切函数是三角函数中的一种，用tan表示。
对于一个角度θ，其正切值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点纵坐标与横坐标的比值。
3. 三角函数的基本性质3.1 周期性三角函数具有周期性，即一个三角函数图像在一个周期内重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
3.2 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)，余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)，而正切函数既不是奇数也不是偶数函数。
3.3 反函数三角函数都有反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们可以用来求解给定三角函数的值的角度。
4. 三角函数的应用4.1 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用，例如通过已知两个边长求解夹角、求解三角形的面积等。
4.2 物理应用正弦函数和余弦函数在物理学中有很多应用，例如描述质点的周期性运动、波动现象和振动等。
4.3 工程应用三角函数在工程学中也有许多应用，例如在三角测量、建筑设计和信号处理等方面的应用。
《三角函数的图象与性质》讲义
《三角函数的图象与性质》讲义一、引言三角函数是数学中的重要概念，其图象和性质在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
掌握三角函数的图象与性质，对于理解和解决相关问题具有关键意义。
二、三角函数的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦（sin）：对边与斜边的比值。
余弦（cos）：邻边与斜边的比值。
正切（tan）：对边与邻边的比值。
用角度θ表示，即：sinθ ＝对边／斜边cosθ ＝邻边／斜边tanθ ＝对边／邻边三、常见的三角函数1、正弦函数：y ＝ sin x定义域：R（全体实数）值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin x奇偶性：奇函数，即 sin(x) ＝ sin x图象特点：图象是一条波浪线，在 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ π/2 （k∈Z）处取得最小值－1。
2、余弦函数：y ＝ cos x定义域：R值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 cos(x ＋2π) ＝ cos x奇偶性：偶函数，即 cos(x) ＝ cos x图象特点：图象也是一条波浪线，在 x ＝kπ（k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ ＋π（k∈Z）处取得最小值－1。
3、正切函数：y ＝ tan x定义域：｛x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}值域：R周期性：周期为π，即 tan(x ＋π) ＝ tan x奇偶性：奇函数，即 tan(x) ＝ tan x图象特点：图象是由一系列不连续的曲线组成，在每个周期内，在x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处有垂直渐近线。
四、三角函数图象的变换1、平移变换对于正弦函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图象向左平移φ个单位；当φ ＜ 0 时，图象向右平移|φ|个单位。
对于余弦函数 y ＝ cos(x ＋φ)，规律与正弦函数相同。
2、伸缩变换对于正弦函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)，A 决定了图象的振幅，ω决定了图象的周期。
三角函数讲义(普通)
三角函数讲义——制作人：七枫一：角1 .角的推广：角的大小不在局限于360度之内2.角的形成分类正角：负角：零角：3．终边相同角：4．象限角第一象限第二象限第三象限第四象限特殊：X-Y轴角例题：1.判断：第一象限角一定是锐角终边相同的角一定相等小于90度的角都是锐角锐角都是第一象限角2.α为第一象限角，则2α为第几象限角？二：弧度制1.定义：长度等于半径r的弧长对应圆的角为一弧度（单位rad）弧度α=l/r2.Sin1=sin57.33.π=1804.相关公式：l=αr ,s=1/2lr=1/2αr2弧度制l=nπr/180,s=nπr2/360例题：1.圆的半径是6cm，则150的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是2.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，扇形的中心角的弧度数3.已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为三：任意角的三角函数α=例题：已知α的终边经过点p（5，-12），则sinα+cosα=四：三角函数的基本关系1.Sin2α+cos2α= , tanα= ,cotα= ,2.诱导公式：2kπ的关系：kπ的关系：奇偶性：变换函数名1/2kπ关系：特殊值（必记）：例题：（1）sin1πcos1πsinπcosπk kk kθθθθ++⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⋅+（）（）（）（）（k∈Z）=.（2）sinα+cosα=1/4.αꇊ（0，π），求sinα-cosα，sinα2-cos α 2五：两角公式(必记)α+β)=Cos(α+β)=Tan(α+β)=特殊：α=β倍角公式：降幂公式：分配公式：例题：已知αꇊ（0，π/2）.且cos2α=4/5，sinα+cosα=六：合角公式asinx+bcosx=七：三角函数的图像奇偶性：单调性：周期：对称轴（点）;最值例题：（1）f(x)=cos2x+asinx 在区间（π/6，π/2）是减函数。
则a 的取值范围是（2）若将函数f(x)=sin(2x+π/4)的图像向右平移α个单位，所得图像关于y 轴对称，则α的最小正值是（3）．要得到函数y =sin(2x -4π)的图象，只要将函数y =sin2x 的图象（） A ．向左平移4π B ．向右平移4πC ．向左平移8πD ．向右平移8π （4）函数y =sin(2x + )的图象的一条对称轴的方程是（） A ．x =54π B ．x =2π- C ．x =8π D ．x =4π （5）设关于x 的函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.八：解三角形正弦定理：余弦定理：例题：(1).在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是__________(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．。
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素诚教育高中数学素质、诚实SCE 金牌数学专题系列专题：三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：2k , k Z .§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 .2、l. r3、弧长公式：l n R R . 4 、扇形面积公式：S n R21lR .180 360 2 § 1.2.1、任意角的三角函数1，那么：sin y, cos x, tany、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P x, yx 2、设点A x , y 为角终边上任意一点，那么：（设 r x2 y2）sin y x y x ， cos ， tanx， cotr r y3、sin ， cos ， tan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.y正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： ATTPO M A x5、特殊角 0°， 30° 45°， 60°， 90°， 180°， 270 等的三角函数值 .0 6 4 3 2 2 3 323 4 2sincostan§ 1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sin2 cos2 12、商数关系：tan sin .3、倒数关系：tan cot1cos§ 1.3 、三角函数的诱导公式（概括为 “奇变偶不变，符号看象限”k Z ）1、 诱导公式一 ：2、 诱导公式二 ：sin 2k sin ,sin sin , cos 2k cos , （其中： k Z ）cos cos ,tan2ktan .tantan .3、诱导公式三 ：4、诱导公式四 ：sin sin ,sin sin ,cos cos, cos cos,tantan .tantan .5、诱导公式五 ：6、诱导公式六 ：sin2cos ,sincos ,2cos2sin .cossin .2§ 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质y=sinxyy=cosxy3 73 7-5 -2 1-5-2 1222-3 2-23 2-4-7-3 -2 -3 -o 2 5 34x-4-7-2 -3o 2 54x22-1 2222 -1 221、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质： 定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用 五点法作图 .y sin x 在 x [0, 2 ] 上的五个关键点为： （0，0）（，，1）（， ，0）（，3，-1）（，2 ，0）.2 2图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质y sin x y cosx y tan x 图象定义域R值域[-1,1]x 2k , k Z时， y max 1最值 2x 2k , k Z 时， y min 12周期性T 2奇偶性奇单调性在[2k , 2k ] 上单调递增2 2k Z 在 [2k,2k 3] 上单调递减2 2对称性对称轴方程：x kk Z 2对称中心 (k , 0)§ 1.4.3 、正切函数的图象与性质yy=cotx-- o 321、记住正 2 2 22、记住余3、能够对照偶性、单调性、周期性.R { x | x k , k Z }2[-1,1] Rx 2k , k Z时， y max 1无x 2k , k Z时， y min1T 2 T偶奇在 [2 k ,2 k ] 上单调递增在(k , k ) 上单调递2 2在[2 k ,2 k] 上单调递减增对称轴方程：x k 无对称轴对称中心 ( k , 0) 对称中心 (k,0)2 2yy=tanxx3 -- 2o 3x- 2 2 2图象切函数的切函数的图象：图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇§ 1.5 、函数 y A sin x 的图象1、对于函数：y Asin xB A 0,有：振幅 A2 ，初相 ，相位 x，频率 fT 2.，周期 T12、能够讲出函数 y sin x 的图象与y AsinxB 的图象之间的平移伸缩变换关系 .① 先平移后伸缩：② 先伸缩后平移：y sin x 平移 || 个单位（左加右减）横坐标不变纵坐标变为原来的 A 倍y sin xy sin x横坐标不变y A sin x纵坐标变为原来的 A 倍y Asin x纵坐标不变y Asin x横坐标变为原来的| 1| 倍纵坐标不变y Asin x横坐标变为原来的 | 1|倍平移 |B | 个单位y Asin x B平移个单位（左加右减）平移 |B| 个单位 y Asin xy Asin x B（上加下减）（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数 y sin( x) ，x ∈ R 及函数 y cos( x)， x ∈ R(A, , 为常数，且2 ；A ≠ 0) 的周期 T||函数 ytan( x) ， xk,kZ (A, ω , 为常数，且 A ≠ 0) 的周期 T.2| |对于 y A sin( x ) 和 y Acos( x ) 来说， 对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求 函 数 yAsin(x) 图 像 的 对 称 轴 与 对 称 中 心 ， 只 需 令 xk(k Z ) 与 x k (k Z )2解出 x 即可 . 余弦函数可与正弦函数类比可得 .4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征： Aymaxymin ，Bymaxymin.22要根据周期来求 ,要用图像的关键点来求 .§ 1.6 、三角函数模型的简单应用（要求熟悉课本例题 . ）§ 3.1.1 、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值：sincostan6 26 2231244§3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 sin sin cos cos sin2、 sin sincoscos sin3、 cos cos cos sin sin4、 cos cos cossin sin5、 tantan tan .1 tan tan6、 tantan tan.1 tan tan§ 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、 sin 22 sin cos ，2、 cos2cos 2sin 2 变形 ： sincos1sin 2 .2 cos 2 121 2 sin 2.升幂公式：1 cos2 2cos 21cos22sin 2cos 21 (1 cos2 )降幂公式：2sin 21(1 cos 2 )23、 tan 22 tan . 4sin 21 cos2 1 tan2、 tan1 cos2sin 2§ 3.2 、简单的三角恒等变换 1、 注意 正切化弦、平方降次 . 2、辅助角公式y a sin x b cos xa 2b 2 sin( x ) （ 其 中 辅 助 角所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决定 , tanb).a解三角形1、正弦定理：a b c 2R .sin A sin B sin C（其中 R 为 ABC 外接圆的半径）a2R sin A,b 2R sin B,c 2R sin C ; sin Aa ,sin B b,sin C c ;2R2R2Ra :b :c sin A :sin B :sin C.用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
高中数学完整讲义——三角函数1.三角函数基本概念1
高中数学讲义题型一：任意角与弧度制【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。
A2π和2()2k k ππ-+∈Z B 3π-和223C 79π-和119πD 203π和1229π【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在.A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 .A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。
A 6rad πB 6rad π-C12rad πD 12rad π-【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ）A 1:2B 1:4 CD 1:8典例分析板块一.三角函数的基本概念高中数学讲义 【例6】 下列命题中正确的命题是（ ）A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）A. 21(2sin1cos1)2R -⋅ B21sin1cos12R ⋅ C212RD 2(1sin1cos1)R -⋅【例8】 下列说法正确的有几个（ ）（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90的角是锐角；（4）090的角是锐角。
A 1个B 2个C 3个D 4个【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855是第（ ）象限角。
A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角【例10】 下面四个命题中正确的是（ ）A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是.A.2π2π3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ， B.5π2π6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ， C.5ππ6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，D.2π2π3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，【例12】 若α是第四象限角，则180α-是（ ）A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）A 180αβ=+B 180αβ=-高中数学讲义C αβ=- D (21)180,k k Zαβ=++⋅∈【例14】与1840终边相同的最小正角为________，与1840-终边相同的最小正角是________。
第一章三角函数讲义(知识+习题)
1、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为＿＿。
（答：）；（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______（答：（－1，）；（3）若，试判断的符号（答：负）2.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
如（1）若，则的大小关系为_____(答：)；（2）若为锐角，则的大小关系为_______ （答：）；（3）函数的定义域是_______（答：）3.特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°0－1－1002-2+1002+2-4.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。
如（1）的值为________（答：）；（2）已知，则______，若为第二象限角，则________。
（答：；）5、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：如（1）下列各式中，值为的是A、 B、 C、 D、 （答：C）；6.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等），如（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知，且，，求的值（答：）；。
三角函数全章复习讲义
《锐角三角函数》【知识网络】【典型例题】类型一、锐角三角函数例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值是( )． A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．不变举一反三：【变式1】已知，如图，ABC ∆中，CE AB ⊥，BD AC ⊥，25DE BC =，求cos A 及tan A ．【变式2】如图所示，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，请你证明sin sin sin a b cA B C==． 类型二、 特殊角三角函数值的计算 例2．已知a ＝3，且2(4tan 45)0b -+=°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于( )． 举一反三： 【变式】计算：tan 60tan 45tan 60tan 45︒-︒︒⋅︒＋2sin 60°B类型三、 解直角三角形例3．如图所示，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )．A ．2B ．1类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合例4．（2016•连云港）如图，在△ABC 中，∠C=150°，AC=4，tanB=．（1）求BC 的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）举一反三：【变式】如图，设P 是矩形ABCD 的AD 边上一动点，PE AC ⊥于点E ，PF BD ⊥于F ，3AB =，4AD =． 求PE PF +的值．类型五、三角函数与实际问题例5．（2015•保康县模拟）如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米．（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°=）例6．（2015•攀枝花）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．《锐角三角函数》巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A ．2B ．12．如图所示，△ABC 中，AC ＝5，cos 2B =，3sin 5C =，则△ABC 的面积是( )A ．212B ．12C ．14D ．21 3．如图所示，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''， 则tan B '的值为( )A ．12 B ．13 C ．14 D ．4第2题图 第3题图 第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，那么小岛B 到公路l 的距离为( )．A ．25米B ．C ．3米 D ．25+ 5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm ，高为55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A ．10 cm B ．20 cm C ．30 cm D ．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度1i =α为( )． A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°第5题图 第6题图 第7题图7．如图所示，在高为2 m ，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A ．4 mB ．6 mC ．．(2+8．（2016•绵阳）如图，△ABC 中AB=AC=4，∠C=72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．如图，若AC 、BD 的延长线交于点E ，511CD AB =，则cos CEB ∠= ；tan CEB ∠= ． 10．如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为 ；CD 的长为.第9题图 第10题图 第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______．13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .ABCDE16. （2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sin α•cos β+cos α•sin β；sin （α﹣β）=sin α•cos β﹣cos α•sin β．例如sin90°=sin （60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是 ．三、解答题17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是 AE 的中点，OM 交AC 于点D ，∠BOE ＝60°，cos C ＝12，BC ＝ (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD 的坡比为，坡顶的平地BC 上有一棵小树AB ，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB 的高是多少米？19．如图所示，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC:CA ＝4:3，点P 在半圆弧AB 上运动(不与A 、B 重合)，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． (1)求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；(2)当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P 停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。
三角函数知识点及简单例题
三角函数任意角三角函数任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrx r y x x y r x r y ======ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin .这六个函数统称为三角函数.三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.三、经典例题导讲 [例1]填入不等号：（1） ；（2） tan3200_______0；（3）；（5）。
[例2] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（ ）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos < A ．1 B.2 C.3 D.4[例3] 若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第（ ）象限. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值.[例5]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+三角函数基本关系式与诱导公式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =；倒数关系：1cot tan =⋅αα 三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． [例1]已知=∈=+θπθθθcot 051cos sin ），则，（，__________ [例2]求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α； （2）cos （2π3+α）=sin α．[例3]若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值.[例4]化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．三角函数的恒等变换1.两角和、差、倍、半公式 两角和与差的三角函数公式βαβαβαs i n c o s s i n s i n )s i n (±+=± βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n( ±=±二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=半角公式2cos 12sin2αα-=， 2c o s 12c o s 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= [例1] 13.已知sincos22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 ; [例2] △ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ ）A.6516B.6556C.6516或6556D.6516-[例3]求值：213)sin124cos 122︒-︒-[例4]已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++ （1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间； （2）当0a <且[0,]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.三角函数的图像与性质)sin(ϕω+=x A y +)0,0(>≠ωA B 中，ω,,B A 及ϕ，对正弦函数x y sin =图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.x y 2sin =向右平移6π个单位，应得)6(2sin π-=x y ，而不是)62sin(π+=x y 用“五点法”作)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 图时，将ϕω+x 看作整体，取2,0π，πππ2,23,来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 单调性的确定，基本方法是将ϕω+x 看作整体，如求增区间可由22ππ-k ≤ϕω+x ≤)(22z k k ∈+ππ解出x 的范围.若x 的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.[例1] 为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π[例2]要得到y=sin2x 的图像,只需将y=cos(2x-4л)的图像 ( ) A.向右平移8л B.向左平移8л C.向右平移4л D.向左平移4л[例3]下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（）个. A ．1 B ．2C ．3D ．4[例4]函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ[例5]已知定义在区间]32,[ππ-上的函数y π]32,6[ππ-∈x 时，函数()sin()(ϕω>+=A x A x f 其图像如图所示. （1）求函数)(x f y =在]32,[ππ- （2）求方程22)(=x f 的解.x解三角形及三角函数的应用解三角形的的常用定理:(1) 内角和定理:π=++C B A 结合诱导公式可减少角的个数.(2) 正弦定理:R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 指△ABC 外接圆的半径） )sin 21sin 21sin 21(B ac A bc C ab S ===(3) 余弦定理: 222cos 2c C ab b a =-+及其变形. (4) 勾股定理: 222c b a ABC Rt =+∆中[例1]在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
高一三角函数学生讲义 -
三角函数的概念理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成 ．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在直线y=x 上D ．在直线y=－x 上 ．3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cos α} ，tan α= ．4． tan(－3)cot5cos8的符号为 ． 5．若cos θtan θ＞0，则θ是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一、二象限角D ．第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P （－ 3 ，m ），且sin θ= 2 4m ，求cos θ与tan θ的值．例2 已知集合E=｛θ｜cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tan θ＜sin θ}，求集合E ∩F ．例3 设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，θ2是哪个象限的角? 【训练反馈】1． 已知α是钝角，那么α2是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一与第二象限角D ．不小于直角的正角2． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是 （ ）A ． 3 5B ． 45C ．－ 35D ．－ 453．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( ) A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4) B ．( π4， π2)∪(π， 5π4) C ．( π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2) D ．( π4， π2 )∪(3π4 ，π) 4．若sinx= － 35，cosx =45，则角2x 的终边位置在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－ 2π3终边相同，则α= ． 6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ．8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)²sin(sin θ)的符号为什么？9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．同角三角函数的关系及诱导公式掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1， sin α cos α=tan α，tan αcot α=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ．【知识在线】1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( )A ． 14B ． 34C ． 114D ． 942．已知sin(π+α)=－35，则 ( ) A ．cos α= 45 B ．tan α= 34 C ．cos α= －45 D ．sin(π－α)= 353．已tan α=3， 4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值为 ． 4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ= 59，那么sin2θ等于 ( ) A ． 2 2 3 B ．－2 2 3 C ．23 D ．－ 23【讲练平台】例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．．变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= － 3 2， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．【知能集成】1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos 2θ．3．要注意观察式子特征，关于sin θ、cos θ的齐次式可转化成关于tan θ的式子．4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ．【训练反馈】1．sin600°的值是 （ ）A ．12B ．－ 12C ． 32 D ．－ 322． sin(π4+α)sin （π4－α）的化简结果为 （ ）A ．cos2αB ．12cos2αC ．sin2αD ． 12sin2α3．已知sinx+cosx=15，x ∈［0，π］，则tanx 的值是 （ ）A ．－34 B ．－ 43 C ．±43 D ．－34或－434．已知tan α=－13，则12sin αcos α+cos 2α = ．5． 1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170° 的值为 ．6．证明1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α．7．已知2sin θ+cos θsin θ－3cos θ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．。
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专题1 三角函数基本概念1．角的有关概念（1）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． （2）从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．（3）若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ(或{}Z k k ∈+=,2παββ)． 2．象限角3．弧度与角度的互化（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示．（2）角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么αr l =，角α的弧度数的绝对值是rl=α（3）角度与弧度的换算①;1801rad π=①π1801=rad（4）弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，又αr l =，则扇形的面积为22121r lr S α==.叫做叫做5．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()ααsin ,cos ，即()ααsin ,cos P ，其中,sin ,cos MP OM ==αα单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan ．我们把有向线段AT MP OM 、、叫做α的余弦线、正弦线、正切线．6．对任意角的理解（1）不少同学往往容易把“小于 90的角”等同于“锐角”，把“ 90~0的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{}900<<αα，第一象限角的集合为{}Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360 αα．（2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等． 【例1】︒-870的终边在第几象限（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四【例2】已知角α的终边经过点)1-，则角α的最小正值是（ ）A ．32π B ．611πC ．65π D ．43π 【例3】若0sin <α且0tan >α，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【例4】若点P 在32π角的终边上，且P 的坐标为),1(y -，则y 等于________． 【例5】弧长为π3，圆心角为 135的扇形半径为________，面积为________． 【例6】（1）如果α是第三象限的角，那么α-，α2的终边落在何处？ （2）写出终边在直线x y 3=上的角的集合．【例7】若角β的终边与 60角的终边相同，则在 360~0范围内，终边与角3β的终边相同的角为________．任意角三角函数求法1．三角函数的定义中，当()y x P ,是单位圆上的点时有y =αsin ，x =αcos ，xy=αtan ，但是若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，xy =αtan ． 2．若已知角α的终边上有异于原点的点的坐标()y x A ,，求角α的三角函数值时，则应先求r OA =，然后再利用定义r y =αsin ，r x =αcos ，xy=αtan 求解． 3． 同角三角函数的关系 平方关系：12cos 2sin =+αα 商数关系：αααcos sin tan = 常考模型一 已知一三角函数值，求另外两个三角函数值 【例8】（1）已知 31sin =α ，求αcos ，αtan 的值；（2）已知21cos -=α，且α 在第三象限，求αsin ，αtan 的值；（3）已知 2tan -=α ，且α 在第二象限，求αsin ，αcos 的值.【例9】已知角α的终边经过点()3,-m P ，且54cos -=α，则m 等于（ ）A ．411-B ．411 C ．4- D ．4 【例10】角θ的终边上有一点),(a a ，其中R a ∈且0≠a ，则θsin 的值是（ ） A ．22B ．22-C ．22或22- D ．1常考模型二 已知正切值，求齐次分式的值 齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：222222sin cos sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos sin cos a b a b c a b c c d αααααααααααααα+++⇒++或者 【例11】已知2tan =α，求：（1）ααααcos sin cos sin -+；（2）ααα222sin cos 32sin -+；（3）2cos sin sin 2++ααα．专题2 三角函数诱导公式一 六组诱导公式2αcos α对于角()Z k ∈±"2"α的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说()Z k ∈±α2的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．【例1】 585sin 的值为（ ） A ．22-B ．22 C ．23-D ．23 【例2】已知()()θπθπ--=+2cos 3sin ，2πθ<，则θ等于（ ）A ．6π-B ．3π-C ．6π D ．3π 【例3】如果()21sin =+A π，那么⎪⎭⎫⎝⎛-A 23cos π 的值是________． 【例4】如果(),cos sin 52sin tan x x x x f -=那么()5f ＝________. 【例5】若角α的终边落在第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1-【例6】已知)0,(πα-∈，31)3tan(=+απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ23cos 的值为（ ） A ．1010B ．1010-C ．10103 D ．10103-【例7】 240tan 600sin +的值等于（ ） A ．23-B ．23 C ．213-D ．213+【例8】已知()()()4cos sin ++++=βπαπx b x a x f （a ，b ，α，β为非零实数），()52011=f ，则=)2012(f （ ） A ．3B ．5C ．1D ．不能确定1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：.2222,2222;πππ=++=++-=+C B A C B A C B A 2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．【例9】在ABC ∆中，31cos =A ，则()=+C B sin ________．【例10】在ABC ∆中，若()()B A --=-ππsin 22sin ，()B A --=πcos 2cos 3，求ABC ∆的三个内角． 注意：（1）若t =+ααcos sin ，则21cos sin 2-=t αα；22cos sin t -±=-αα（2）若t =ααcos -sin ，则21sin cos 2t αα-=；22cos sin t -±=+αα（3）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα 判断ααcos sin -与a cos sin +α的符号法则 根据r y =αsin ， r x =αcos ，rx y -=-ααcos sin ，x y >∴时，0cos sin >-αα，反之亦然 52,244k k ππαππ⎛⎫∴∈++ ⎪⎝⎭，sin cos 0αα->；372,244k k ππαππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，sin cos 0αα+<． 32,244k k ππαππ⎛⎫∴∈-+⎪⎝⎭，sin cos 0αα+>；372,244k k ππαππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，sin cos 0αα+<． 【例11】已知),0(πθ∈，213cos sin -=+θθ，则θtan 的值为（ ） A ．3-或33- B ．33-C ．3-D ．23-专题3 三角函数图像与性质正弦函数x ysin =与()ϕω+=x A y sin 的图像性质关系类比于研究sin y x =的性质，只需将()sin y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成x y sin =中的x ，但在求()sin y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数()cos y A x ωϕ=+，()n y Ata x ωϕ=+的性质的方法与其类似，也是类比、转化．【例1】函数2sin 36yx，x R 的最小正周期是（）A ．3B ．23C ．32D ．π【例2】函数tan36xf x的最小正周期为（ ）A ．π3B ．π6 C．3D ．23【例3】已知函数sin 4y A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π，则函数)(x f 的图象（ ）A ．关于直线4x 对称 B ．关于直线8x 对称C ．关于点)0,4(π对称D ．关于点)0,8(π对称【例4】设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ≠0，ω>0，22ππϕ-<<的图象关于直线23x对称，它的最小正周期为π，则（ ） A ．)(x f 的图象过点10,2B ．)(x f 在2,123上是减函数C ．)(x f 的一个对称中心是5,012D ．)(x f 的一个对称中心是,06【例5】函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上对称轴的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【例6】函数)43sin(2π-=x y 的图象中两条相邻对称轴之间的距离是 ．【例7】同时具有性质：①最小正周期是π；①图象关于直线3x 对称；①在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（ ） A ．sin26xy B ．cos 23y xC ．sin 26y xD ．cos26xy【例8】函数sin26y x 的单调递增区间是（ ） A ．2,263k kkZB ．52,236k k k ZC ．,63k k k ZD ．5,36k k k Z【例9】已知函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ,πϕ<）的一段图象如下图所示， 求函数的解析式．【例10】已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9π=x 时，取得最大值12，当94π=x 时，取得最小值21-，则该函数的解析式是（ ）2A ．12sin()36y x π=-B ．1sin(3)26y x π=+C ．1sin(3)26y x π=-D ．1sin(3)26y x π=-+【例11】若函数，求()2sin(2)6f x x π=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【例12】若函数()2sin()3f x x πω=+，且2f，0f ，βα-的最小值是2，则)(x f 的单调递增区间是（ ） A ．5,1212k k k Z B ．,36k k k ZC ．22,233k kk ZD ．52,266k kkZ【例13】（1）若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的,()()66x R f x f x 有ππ∈+=-，则()6f π等于（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．3±（2）若m x x f ++=)cos(2)(ϕω，对任意实数t 都有)()4(t f t f -=+π，且()18f ，则实数m 的值为（ ） A ．1±B ．3±C ．3-或1D ．1-或3【例14】函数()()sin f x A x ωϕ=+（ω，φ是常数，ω＞0）．若()f x 在区间]1,31[上具有单调性，且2(0)(1)3f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则下列有关()f x 的每题正确的有 （请填上所有正确命题的序号）．①()f x 的最小周期为2；①31=x 是 ()f x 的对称轴； ①()f x 在]35,1[上具有单调性；①56yf x为奇函数．函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：1.−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的2.−−−−→−=−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的关键：把握先移后缩和先缩后移的区别。