高中数学高一下学期期末考试数学试题(附答案)
安徽高一高中数学期末考试带答案解析
安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的内角的对边分别为，若，则边等于（）A．B．C．D．22.在中，内角的对边分别是，若，，则为（）A．B．C．D．3.各项均为正数的等比数列，其前项和为.若，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．4.已知数列的通项为，则数列的前项和（）A．B．C．D．5.设是公差不为零的等差数列的前n项和，且，若，则当最大时，n=（）A．6B．7C．10D．96.某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．B．C．D．7.设，若是和的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．8.大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是，则此数列第项为（）A．B．C．D．9.已知等差数列的前项和为，若三点共线，为坐标原点，且（直线不过点），则等于（）A．B．C．D．10.已知，一元二次不等式对于一切实数恒成立，由又，使，则的最小值为（）A．B．C．D．11.若实数，且满足，则的大小关系是（）A．B．C．D．12.若则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量满足，且，则向量与夹角余弦值为__________．2.在中，角的对边分别是且，若的面积，则的值为__________．3.半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.4.设等比数列满足公比，，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为．三、解答题1.请推导等比数列的前项和公式.2.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，（1）若方程有两个相等的实根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求的取值范围．3.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sinAsinC＝，求C．5.已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为.（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积.6.设数列的前项和为，已知.（1）求的值，若，证明数列是等差数列；（2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意且，都有成立，求的最大值.安徽高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.的内角的对边分别为，若，则边等于（）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【解析】根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知故答案为C.【考点】解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。
河北高一高中数学期末考试带答案解析
河北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.数列的前几项为，则此数列的通项可能是（）A．B．C．D．2.对于任意实数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；正确的结论为（）A．①B．②C．③D．④3.在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（）A．B．C．D．4.直线在轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（）A．B．C．D．5.圆心为且与直线相切的圆的方程为（）A．B．C．D．6.若等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则（）A．B．C．D．7.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．8.某观察站与两灯塔的距离分别为米和米，测得灯塔在观察站西偏北，灯塔在观察站北偏东，则两灯塔间的距离为（）A．米B．米C．米D．米9.设为空间不重合的直线，是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）①//，//，则//；②，，则//；③若；④若∥，，，则∥；⑤若⑥，则A．0B．1C．2D．310.设是内一点，且的面积为2，定义，其中分别是，，的面积，若内一动点满足，则的最小值是（）A．1B．4C．9D．1211.若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．B．C．D．12.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A．B．C．D．二、填空题1.若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________．2.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________ ．3.若实数满足，则的最小值是__________．4.已知点是直线（）上一动点，、是圆：的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则______．三、解答题1.在三角形中，角所对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，求三角形的面积.2.如图，在四棱锥中，底面的平行四边形，，，平面，为的中点.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.3.已知是各项为正数的等比数列，是等差数列，且，，.（1）求和的通项公式；（2）设，，求数列的前项和为.4.已知圆，直线，.（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数，使得原上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.5.如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值.6.数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的通项公式；（3）令，求数列的前项和.河北高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.数列的前几项为，则此数列的通项可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】数列为其分母为，分子是首项为，公差为的等比数列，故通项公式为.点睛：本题主要考查根据数列的前几项，猜想数列的通项公式.首项观察到数列有部分项是分数的形式，所以考虑先将所有项都写成分数的形式，每项的分母都为，而分子是首项为，公差为的等比数列，由此可求得数列的通项公式.要注意的是，由部分项猜想的通项公式可以有多个.2.对于任意实数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；正确的结论为（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】若所以①错误；若所以②错误；③正确；若无意义所以④错误，故选C.3.在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】关于面对称的点为4.直线在轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设直线的倾斜角是，则直线的倾斜角为∵，∴直线m的斜率∴直线的斜截式方程为：，，故选：B5.圆心为且与直线相切的圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆的半径为，则由题意可得，代入圆的标准方程可得选C6.若等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】三个数成等差数列，故，即，解得，所以.7.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，由韦达定理得所以的解集为，故选B.8.某观察站与两灯塔的距离分别为米和米，测得灯塔在观察站西偏北，灯塔在观察站北偏东，则两灯塔间的距离为（）A．米B．米C．米D．米【答案】A【解析】依题意，作出上图，∵，∴由余弦定理得：，故选A.9.设为空间不重合的直线，是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）①//，//，则//；②，，则//；③若；④若∥，，，则∥；⑤若⑥，则A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】①显然正确；②可能相交；③l可能在平面内；④l可能为两个平面的交线，两个平面可能相交；⑤可能相交；⑥显然正确，故选C．【考点】空间中线面，线线，面面关系【易错点睛】解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意：（1）注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．（3）会举反例或用反证法推断命题是否正确．10.设是内一点，且的面积为2，定义，其中分别是，，的面积，若内一动点满足，则的最小值是（）A．1B．4C．9D．12【答案】C【解析】由已知得，故选C.11.若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝．12.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，当时，，当时也成立，故选C.【点睛】解本题的关键有：利用“均倒数”的定义求得；利用与的关系求得；利用裂项相消法求解.二、填空题1.若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________．【答案】或【解析】当时，，即，，即，此时两直线垂直，点到轴的距离为；当时，由题意有，解得，点到轴的距离为．【考点】1、直线与直线的位置关系；2、点到直线的距离．2.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________ ．【答案】【解析】已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为，所以圆锥的底面周长：6π，底面半径是：3，圆锥的高是：4此圆锥的体积为：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积3.若实数满足，则的最小值是__________．【答案】2【解析】三角形阴影部分为满足不等式的解集；令，则；由，当直线过点时截距最大，此时最小，故答案为4.已知点是直线（）上一动点，、是圆：的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则______．【答案】2【解析】圆的圆心为，半径为，由圆的性质可知，四边形的面积，又四边形的最小面积是，所以的最小值为为切线长）所以得最小值为，圆心到直线的距离为为的最小值，即，因为，所以.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、圆的切线长公式，圆的性质和四边形的性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把四边形的面积转化为，再确定的面积的最小值是解答的关键.三、解答题1.在三角形中，角所对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理，转化为角做，可求的A角。
四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
雅安市2023-2024学年下期期末教学质量检测高中一年级数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数所表示的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位数为（）A ．B ．9C ．D ．103．复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在梯形ABCD 中，，E 在BC 上，且，设，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，则（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则()3i 1i -172192z 1i 22i z z +-=+z =31i 515--31i 515-+11i 155-11i 155+2AB DC =12CE EB =AB a = AD b = DE = 1233a b + 1233a b - 2133a b + 2133a b - αm α⊥n α∥m n⊥m α∥n α∥m n ∥m α⊥m n ⊥n α∥m α∥m n ⊥n α⊥6．一艘船向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东方向上，航行后到B 处，看到灯塔S 在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔S 的距离（即BS 的长）为（ ）AB ．C ．D ．7．在复平面内，满足的复数对应的点为Z ，复数对应的点为，则的值不可能为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知下面给出的四个图都是正方体，A ，B 为顶点，E ，F 分别是所在棱的中点，① ②③ ④则满足直线的图形的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（ ）30︒10nmile 75︒5i 11iz --=-z 1i --0Z 0Z Z AB EF ⊥A ．讲座前问卷答题得分的中位数小于70B ．讲座后问卷答题得分的众数为90C ．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差D ．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10．若平面向量，满足，则（ ）A ．B ．向量与的夹角为C ．D ．在上的投影向量为11．如图，在棱长为1的正方体中，M 是的中点，点P 是侧面上的动点，且平面，则（ ）A ．P 在侧面B ．异面直线AB 与MP 所成角的最大值为C ．三棱锥的体积为定值D ．直线MP 与平面所成角的正切值的取值范围是第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．a b 2a b a b ==+= 2a b ⋅=- a a b - π3a b -= a b - a 32a 1111ABCD A B C D -11A B 11CDD C MP ∥1AB C 11CDD C π21A PB C -12411ABB A ⎡⎣12．某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为________．13．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，BC 边上，则________．14．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括A ，B ，C 在内的各个顶点都在球O 的球面上．若P 为球O 上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球O 的体积为V ，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数，（其中）．（1）若为实数，求m 的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数p ，q 的值．16．（15分）已知向量，．（1）若与垂直，求实数k 的值；（2）已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且，，．若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．17．（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间ABC △()πsin π2A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭6b =c =P ABC -1V 1V V=12i z m =-2i z m =-m ∈R 12z z 1m =12z z ⋅220x px q ++=()1,2a =- ()3,2b =2ka b - 2a b + 2OA a b =+ 3OB a b =+ ()3,2OC m m =-，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．（1）求图中a 的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？18．（17分）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知________．（1）求角C 的大小；（2）若点D 在AB 上，CD 平分，，，求CD 的长；（3a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．19．（17分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD 是正方形，底面ABCD ，，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点[)50,60[)60,70[]90,10085%()in cos s a C C a B +=+πsin 62a b c B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()s sin s in in C A B A -=-ABC △ACB ∠2a =c =PA ⊥PA AB =（1）平面AEF 与平面PBC 是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求二面角的大小；（3）若直线平面AEF ，求直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值．B PCD --PC ∥数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．11题选对1个得2分，选对2个得4分，全部选对的得6分，有选错的得0分；10题选对1个得3分，全部选对的得6分，有选错的得0分．9．ACD10．AD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3013．314四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）【解析】（1），因为为实数，所以，解得．故为实数时，m 的值为．（2）当时，，，则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得()()()2122232i 2i i 2i i 11m m m m z m m m m z +--+-===-++12z z 220m -=m =12z z 1m =12i z =-21i z =-()()1221i =1-3i z i z =--⋅13i -220x px q ++=()()2213i 13i 0p q -+-+=()16123i 0p q p +--+=()160,1230,p q p ⎩+-=-+⎧⎨=4,20.p q ⎧⎨⎩=-=16．（15分）【解析】（1），则，因为与垂直，所以，解得．（2），，，，因为A ，B ，C 三点共线，所以．所以，解得．17．（15分）【解析】（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0．2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为．（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得．所以，每天应该进苹果．()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=--- ()()()221,23,25,2a b +=-+=- 2ka b - 2a b +()()562420k k ----=229k =()()()21,223,27,2OA a b =+=-+= ()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=- ()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=-- ()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=--- AB AC∥()()22637m m ---=-⨯-2m =[)50,60[)60,70[]90,10010a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =[)50,60[)60,70[]90,100()506060707080809090100005005020403835kg 22..222....+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%90kg 10031007..-⨯=85%[]90,100()kg x ()0.031000.15x ⨯-=()95kg x =95kg方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果．18．（17分）【解析】（1）若选条件①，依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，，所以．又，则，所以．若选条件②．由正弦定理得，所以，，，即．因为，所以，所以．若选条件③在中，因为，，所以，90kg 10.03100.7-⨯=85%[]90,10085%()g .0.8507901095k 10.7-+⨯=-95kg cos sin a A C a +=sin sin cos si n A A C C A +=π02A <<sin 0A >i 1cos n C C +=1c os C C -=1122cos C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<ππ=66C -π3C =2sin sin s n πsin i 6A B C B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin sin sin 2s sin 1in c 2os 2B A B C B B B C ⎫++++==⎪⎪⎭sin cos cos 2sin sin B C B C B ++=i sin sin cos s n cos cos sin sin C B C B B C B C B +=++i sin s n cos sin C B B C B =+1c os C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πC ∈ππ=66C -π3C =ABC △()s sin s in in C A B A -=-πA B C ++=()()n s s s n i i in C A C A A +-=-即，化简得．又，则，故．因为，所以．（2）依题意，，即，则，在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去），所以．（3）依题意，的面积，所以．又为锐角三角形，且，则，所以．又，则，所以．由正弦定理，得，所以，所以所以a 的取值范围为．19．（17分）【解析】（1）平面平面PBC．理由如下：因为平面ABCD ，平面ABCD ，sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C A +-=-sin co 2s sin A C A =()0,πA ∈sin 0A ≠cos 12C =0πC <<π3C =1π1π1πsin sin sin 262623D a b a CD b C ⋅+⋅=⋅⋅⋅()b CD a b ⋅+=CD =ABC △22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-2742b b =+-3b =1a =-CD ==ABC △sin 1122ABC S C ab ab ===△4ab =ABC △π3C =2ππ0,32A B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭π2π63B <<π02B <<ππ62B <<tan B >sin sin B a b A =sin sin A Bb a =221s sin sin s 2in π4sin 223B a B ab B BB ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===228a <<a <<AEF ⊥PA ⊥BC ⊂所以，因为，又．所以平面PAB ，故．在中，，E 为PB 的中点，所以．因为平面PBC ，平面PBC ，，所以平面PBC ．又平面AEF ，所以平面平面PBC ．（2）不妨设，计算可得，，又，，，所以，则，作于G ，连结DG ，又，，可知，所以，所以是二面角的平面角．在中，由，，则，，连结BD ，知中，根据余弦定理，得，所以．（3）因为直线平面AEF ，平面PBC ，平面平面，所以直线直线EF ．又E 为线段PB 的中点，所以F 为线段BC 上的中点．由（2）知，所以．设BG 与EF 交点为H ，连结AH ，由（1）知，平面平面PBC ，平面平面，PA BC ⊥BC AB ⊥PA A AB = BC ⊥BC AE ⊥PAB △PA AB =AE PB ⊥PB ⊂BC ⊂PB BC B = AE ⊥AE ⊂AEF ⊥1AB =PB PD ==PC ==PB PD =BC DC =PC PC =PBC PDC △≌△PCB PCD =∠∠BG PC ⊥BC DC =CG CG =GBC GDC △≌△90DGC BGC ∠=∠=︒BGD ∠B PC D --Rt PBC △C P P BG C B B =⋅⋅1=BG =DG =BD =GBD △2221cos 22BG D D BGD DG G B BG +-=∠⋅==-120BGD ∠=︒PC ∥PC ⊂PBC AEF EF =PC ∥BG PC ⊥BG EF ⊥AEF ⊥AEF PBC EF =所以平面AEF ．所以直线AB 与平面AEF 所成角为．又由EF ，F 为BC 上的中点，可得H 为BG 的中点，可知，，又，所以．直线AB 与平面AEFBH ⊥BAH ∠PC ∥12BH BG ===1AB =sin A BA BH H B =∠=。
哈尔滨市第六中学2021-2022年度高一下学期期末考试数学试卷含答案
试卷第1页，共6页哈尔滨市第六中学2021级高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设()21i 2z -=，则z =（）A．2BC ．1D ．22．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（）A ．154.5cm B ．158cm C ．160.5cm D ．159cm 3．如图，四面体ABCD中，BD =，2AC =，M 、N 分别为BC 、AD 的中点，1MN =，则异面直线AC 与BD ）A ．3πB ．2πC ．6πD ．4π4．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：75百分位数是7，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1AO //EFB ．1A O EF ⊥C ．1AO //平面1EFB D ．1A O ⊥平面1EFB 6．甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A ，B ，C 三个景区中的一个景区旅游，甲、乙到A ，B ，C 三个景区旅游的概率分别如表，则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A 景区旅游去B 景区旅游去C 景区旅游甲0.40.2乙0.30.6A ．0.66B ．0.58C ．0.54D ．0.52试卷第2页，共6页7．四棱锥P ABCD -的外接球O 的半径为2，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AB =，则平面PAD 截球O 所得的截面面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，1PA AB BC ===，90ABC ∠= ，120PAB ∠= ，AB //DC ，2DC PC ==，则点P 到平面ABCD 的距离为（）ABC ．2D ．13二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分．）9．新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中正确的是（）A ．乡村人口数均高于城镇人口数B ．城镇人口比重的极差是50.63%C ．城镇人口数达到最高峰是第7次D ．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第6次10．已知复数1z ，2z 满足1225i z z +=-，1223i z z -=，则（）A．1z B ．22i z =+C ．123iz z ⋅=+D ．22023iz在复平面内对应的点位于第一象限试卷第3页，共6页11．已知向量)a = ，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题不正确的是（）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a，则a 与b 夹角为23πC ．与a共线的单位向量只有一个为33⎛ ⎝⎭D ．存在θ，使得a b a b+=-12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，π3BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使A 到A '，且点A '不落在底面BCD 内，若点M 为线段A C '的中点，则在ABD ∆翻折过程中，以下命题中正确的是（）A ．四面体A BCD '-的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得BM CD⊥C ．异面直线BM 与A D '所成的角为定值D ．当二面角A BD C '--的余弦值为13时，2A C '=三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加问卷调查．已知选中的两名学生都是男生的概率是352，选中的两名学生都是女生的概率是2952，则选中的两名学生是一男一女的概率是；14．有一组样本数据1x ，2x ，…，6x 如右表：由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，6y ，其中2(1,2,,6)3i i y x c i =+= ，c 为常数，则数据1y ，2y ，…，6y 的方差为；15．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠= ，45BDC ∠=，CD =，在C 点测得塔顶A 的仰角为60 ，则塔的总高度为m ；16．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为．1x 2x 3x 4x 5x 6x 567576试卷第4页，共6页四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）某高中学校为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需要了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数（认可系数=100认可程度平均分）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值和中位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．18．（本小题12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA ==(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；(2)求三棱锥11D BCB -的体积．试卷第5页，共6页19．（本小题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里消费二次和三次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出6人，再从这6人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费二次的概率．20．（本小题12分）在如图所示的几何体中，ABE ∆、BCE ∆、DCE ∆都是等腰直角三角形，AB AE DE DC ===，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ．(1)求证：AD ∥平面BCE ；(2)求直线AB 与平面EAD 所成角的正弦值．试卷第6页，共6页21．（本小题12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin a C C b c -=-．(1)求角A (2)若2c =，角B 的平分线BD 交AC 于点D，且BD =ABC ∆的面积．22．（本小题12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，点,M N 分别是边,BC CD 的中点，1AC BD O = ，AC MN G = ．沿MN 将CMN ∆翻折到PMN ∆的位置，连接PA 、PB 、PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QMN 与平面PMNQ的位置；若不存在，请说明理由．1-4.CADB 5-8.BABB 9.BC10.ACD 11.BCD 12.ABD13.51314.82715.64316.3417.(1)由图可知：10.0150.020.030.025,0.0110x x ++++=∴=，中位数：()0.50.10.150.252458010800.333-+++⨯=+=.(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在[)60,70的学生人数为：33010234⨯=++（人）.(3)由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.50.8510085⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<⨯=，∴“美食"工作需要进一步整改.18.(1)证明：ABD △中，因为2AB =，1AD =，3BD =所以222AB AD BD =+.所以AD BD ⊥，又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥，又1BD DD D = ，BD ，1DD ⊂平面11BDD B .所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B .(2)解：因为AD BC ∥，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，113B D =13B B =，1160D B B ∠=︒，所以11BB D △的面积11133333224BB D S ==△.三棱锥11D BCB -的体积1111111133313344D BCB C BB D BB D V V S BC --==⋅=⨯⨯=△19.(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为400.4100=.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为20015050-=（元），第2次消费时，公司获得的利润为2000.9515040⨯-=（元），所以公司获得的平均利润为5040452+=（元）.(3)因为20:10=2:1，所以用分层随机抽样方法抽出的6人中，消费2次的有4人，分别设为1234,,,A A A A ，消费3次的有2人，分别设为12,B B ，从中抽出2人，总的抽取方法有121314A A A A A A ，，，1112,A B A B ，23242122A A A A A B A B ，，，,343132414212A A A B A B A B A B B B ，，，，，，共15种，其中恰有1人消费两次的抽取方法有1112,A B A B ，2122A B A B ，，3132A B A B ，，4142A B A B ，，，共8种，所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为815P =20.(1)证明：分别取,EB EC 的中点,O H ，连接,,AO DH OH ，设1AB AE DE DC ====，则2EB EC ==，,,AB AE BO OE AO BE ==∴⊥ ，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE 平面,BCE BE AO =⊂平面ABE ，AO ∴⊥平面BCE ，同理可证DH ⊥平面BCE ，//AO DH ∴，又因为22AO DH ==，所以四边形AOHD 是平行四边形，//AD OH ∴，又AD ⊄Q 平面,BCE OH ⊂平面BCE ，//AD ∴平面BCE ；(2)如图，取BC 的中点为F ，则OF BE ⊥，以点O 为坐标原点，,,OB OF OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则2222220,0,,,,,,,0,0222222A B D E ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2222BA ⎛=-⎝⎭ ，则2222,0,,AE DE ⎛⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =，则2200022022a c b c ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪-=⎪⎩，令1a =，得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n=-，设直线BA 与平面EAD 夹角为θ，则6sin |cos ,|3B BA n BA n A nθ⋅=<>== ，所以直线BA 与平面EAD 夹角的正弦值为6321.(1)在 中，由正弦定理及cos 3sin a C a C b c =-得：()sin cos 3sin sin sin sin A C A C A C C =+-，整理得cos sin 3sin sin A C A C C =，而0πC <<，则cos 31A A =，即π1sin()62A +=，又0πA <<，有ππ7π666A <+<，解得π5π66A +=，所以2π3A =.(2)如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅=，即2230AD AD +-=，解得1AD =，因BD 平分ABC ∠，11sin sin 2211sin sin(π)22ABD CBD AB BD ABD AD BD ADBS AB AD BC S CDBC BD CBD CD BD ADB ⋅∠⋅∠====⋅∠⋅-∠ ，即2BC AB CD AD ==，在BDC 中，2222cos 227CD BD BC BDC CD BD CD +-∠=⋅又22227cos cos 27AD BD AB BDC BDA BD AD +-∠=-∠=-=-⋅22727CD =，即23470CD CD --=，而0CD >，解得：73CD =，有103AC AD CD =+=，所以ABC 的面积1110353sin 222323AB AC A S =⋅=⨯⨯⨯.22.(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴MN AC ⊥，∵AC PG G ⋂=，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到平面MNDB ∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB 3假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()33,0,0A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(3P ，AG PG ⊥，又AG MN ⊥，且MN PG G ⋂=，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =u r，设AQ AP λ=（01λ≤≤），∵(33,0,3AP =- ，()333AQ λλ=-，故)()3313λλ-，∴()0,2,0NM =，)()331,1,3QM λλ=- ，平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅= ，20n QM ⋅=，即)222220,33130,y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令21z =，所以()220,31y x λλ=⎧⎪⎨=⎪-⎩()()()()211,0,1,0,313131n λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设两平面夹角为θ，则()122110cos 1091n n n n λθλλ⋅==+- 12λ=，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
河南省南阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
( ) ( ) 已知复数 z = m2 - 2m - 3 + m2 - 3m - 4 i(i 为虚数单位 ) ，若__________，求实数 m 的
值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.
（2）已知 x = 1- i 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2 + ax + b = 0 的一个根，求 a, b 的值.
=
.
( ) ( ) 14．已知向量
ar
=
(3,
3)
,
r b
=
(1,
-1)
，若
ar
+
r lb
^
ar
-
r lb
，则实数 l =
.
15．若四面体各棱的长是1或 2 ，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写 出一个可能的值）
试卷第41 页，共33 页
四、双空题
16．如图所示，有一块三角形的空地，已知
B．若 m ^ a, m ^ b ，则a //b C．若 m ^ a, n//b ，且 m ^ n ，则a //b
D．若 m ^ a, n//b ，且 m // n ，则a ^ b
10．已知复数
z1
满足
z1
=
1+ i
i
，
z2
=
x
+
yi
，x，
y
ÎR
，
z1
，
z2
所对应的向量分别为
uuuur OZ1
，
uuuur OZ2
【详解】因为
z
=
3+ 1-
4i 2i
=
(3 + (1-
4i)(1+2i) 2i)(1+2i)
河北高一高中数学期末考试带答案解析
河北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如右图所示，直线的斜率分别为则A．B．C．D．2.已知，，，那么下列不等关系一定正确的是A．B．C．D．3.已知点B是点A（2，-3，5）关于平面xoy的对称点，则点B的坐标为A．（2，3，5）B．（-2，-3，5）C．（2，-3，-5）D．（-2，-3，-5）4.方案一）已知，那么等于A．B．C．D．55.（方案二）下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体是w.w.w.k.s.5 u.c.o.mA．(1)(2)B．（2）（3）C．(3)(4)D．(1)(4)6.等差数列中，则该数列前9项的和等于A．45B．36C．27D．187.已知两条直线和垂直，则等于A．B．1C．0或D．1或8.（方案一）平面向量 ,，则在方向上的投影为A．B．C．D．9.（方案二）球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是A BC D10.如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ， 则图中互相垂直的平面有 A ．3对 B ．2对 C ．1对D ．0对11. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 A ．5B ．4C ．3D ．212.直线与圆相切，则实数等于A ．B ．C ．D ．13.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是A ．B ．C ．8D ．214.周长为2的直角三角形面积的最大值为A ．B ．C ．D ．二、填空题1.;2.（普通高中做）直线的倾斜角的大小为 ;3.(示范性高中做)已知圆C ：，过点M (5,6)的直线l 与圆C 交于P 、Q 两点，若,，则直线l 的斜率为 ;4.已知{ a n }是各项为正数的等比数列，且a 1 = 1，a 2 + a 3 = 6，则数列{ a n }前10项的和S 10= ；5.已知数列满足，且，则该数列的前509项的和为 .三、解答题1.（本小题满分10分） 求不等式的解集.2.（本小题满分12分） （方案一）已知：, 与的夹角为，() 当m 为何值时，与垂直?3.（方案二）如图是一个长方体被削去一部分后的多面体的直观图，它的正视图和侧视图已经画出.（单位：cm ）. （Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）（普通高中做）求三棱锥的体积.(示范性高中做)求多面体的体积.4.（本小题满分12分）如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量.现有的测量器材只有测角仪和皮尺.现在选定了一条水平基线HG,使得H 、G 、B 三点在同一条直线上.请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由.（测角仪的高为h ）5.（本小题满分12分） （普通高中做） 画出不等式组所表示的平面区域(用阴影表示).若目标函数，求z 的最大值.6.（示范性高中做）某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料，总费用不超过9万元，此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为元/吨和200元/吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元 问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 7.（本小题满分12分）已知直线l 过点P （1，1），并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求:（Ⅰ）直线l 的方程； （Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为的圆的方程．8.（普通高中做） 已知等差数列中，为的前项和，.（Ⅰ）求的通项与；（Ⅱ）当为何值时，为最大？最大值为多少？9.（示范性高中做） 已知数列的首项前项和为，且（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前n 项和.河北高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1. 如右图所示，直线的斜率分别为则A ．B ．C ．D ．【答案】C2.已知，，，那么下列不等关系一定正确的是A．B．C．D．【答案】A【解析】略3.已知点B是点A（2，-3，5）关于平面xoy的对称点，则点B的坐标为A．（2，3，5）B．（-2，-3，5）C．（2，-3，-5）D．（-2，-3，-5）【答案】C【解析】略4.方案一）已知，那么等于A．B．C．D．5【答案】B【解析】略5.（方案二）下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体是w.w.w.k.s.5 u.c.o.mA．(1)(2)B．（2）（3）C．(3)(4)D．(1)(4)【答案】D【解析】略6.等差数列中，则该数列前9项的和等于A．45B．36C．27D．18【答案】B【解析】略7.已知两条直线和垂直，则等于A．B．1C．0或D．1或【答案】D【解析】略8.（方案一）平面向量 ,，则在方向上的投影为A．B．C．D．【解析】略9.（方案二）球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是A BC D【答案】C【解析】略10.如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有A．3对B．2对C．1对D．0对【答案】 A【解析】略11.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A．5B．4C．3D．2【答案】C【解析】略12.直线与圆相切，则实数等于A．B．C．D．【答案】C【解析】略13.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是A．B．C．8D．2【答案】D【解析】略14.周长为2的直角三角形面积的最大值为A．B．C．D．【答案】B【解析】略二、填空题1. ;【答案】【解析】略2.（普通高中做）直线的倾斜角的大小为 ;【答案】; , 【解析】略3.(示范性高中做)已知圆C ：，过点M (5,6)的直线l 与圆C 交于P 、Q 两点，若,，则直线l 的斜率为 ;【答案】2 【解析】略4.已知{ a n }是各项为正数的等比数列，且a 1 = 1，a 2 + a 3 = 6，则数列{ a n }前10项的和S 10= ； 【答案】 1023 【解析】略5.已知数列满足，且，则该数列的前509项的和为 . 【答案】 2 【解析】略三、解答题1.（本小题满分10分） 求不等式的解集. 【答案】 【解析】不等式可化为……………3分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m方程有两个实数根，……………6分w. 所以不等式的解集为……………10分2.（本小题满分12分） （方案一）已知：, 与的夹角为， () 当m 为何值时，与垂直? 【答案】【解析】（方案一）解：与垂直…………12分3.（方案二）如图是一个长方体被削去一部分后的多面体的直观图，它的正视图和侧视图已经画出.（单位：cm ）. （Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）（普通高中做）求三棱锥的体积.(示范性高中做)求多面体的体积.【答案】（普通高中做） 4 ( cm 3 ) (示范性高中做)8( cm 3 ) 【解析】（ 方案二 ）解：（Ⅰ）俯视图------6分（Ⅱ）（普通高中做）由已知易知是三棱锥的高,( cm3) ……12分w.w.w.k.s.5.u.（示范性高中做）由题意知所求的多面体是以点为顶点，以四边形ABCD为底面的四棱锥.易知四边形ABCD是矩形.AB=3,AD=---------8分过点D作DG⊥AG4.（本小题满分12分）如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量.现有的测量器材只有测角仪和皮尺.现在选定了一条水平基线HG,使得H、G、B三点在同一条直线上.请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由.（测角仪的高为h）【答案】【解析】解：如图，测出的度数，测出的度数，测量出HG的长度. 即可计算出建筑物的高度AB. ……………6分理由如下:设：,HG=s.在由正弦定理得，所以 .在建筑物的高AB="EB+AE=" ……………12分5.（本小题满分12分）（普通高中做）画出不等式组所表示的平面区域(用阴影表示).若目标函数，求z的最大值.【答案】【解析】（普通高中做）解：不等式组表示的平面区域如图所示.阴影部分是一个直角三角形.------6分目标函数变形为当上面的直线经过可行域上的点（0，3）时，截距最大，z最大，------12分6.（示范性高中做）某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料，总费用不超过9万元，此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为元/吨和200元/吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【答案】【解析】（示范性高中做）解：设公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为吨和吨，总收益为元，由题意得目标函数为……………4分二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域.如图：作直线， 即平移直线，从图中可知，当直线过点时， 目标函数取得最大值 ……………8分 联立解得点的坐标为 （元）……………12分7.（本小题满分12分）已知直线l 过点P （1，1），并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求:（Ⅰ）直线l 的方程； （Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为的圆的方程．【答案】，【解析】（Ⅰ）依题意可设A 、，则， ，解得，． …………4分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m即，又l 过点P，易得AB 方程为．………………6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）设圆的半径为R ，则，其中d 为弦心距，，可得，故所求圆的方程为．………………12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8.（普通高中做） 已知等差数列中，为的前项和，.（Ⅰ）求的通项与；（Ⅱ）当为何值时，为最大？最大值为多少？【答案】当时前项和最大，最大值为16【解析】（普通高中做） 解:（Ⅰ）由已知得……………………………………2分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得 ………………………………………………4分 则……………………………………6分（Ⅱ）当时前项和最大，最大值为16…………………………12分9.（示范性高中做）已知数列的首项前项和为，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n项和.【答案】，=【解析】（示范性高中做）解：（I）由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而；…………6分（II）由（I）知因为==-=……………12分。
河南省周口市(太康一高、郸城一高、淮阳中学)等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
周口市（太康一高、郸城一高、淮阳中学）等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学（人教版）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）A. B. C. D.2.已知向量，若，则实数（ ）A.-2B.2C.-1D.13.从这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为（）A.B. C. D.4.已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（ ）A.若，则可能平行､异面或者相交B.若，则与可能平行､相交或者C.若，则D.若，则5.已知向量，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D.6.在正方体中，三棱锥的体积为72，则正方体的棱长为（）i z1i 1z =-z z =1i -1i +2i +2i-()212,,1,a x b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭a b ⊥ x =22,33,44,5512131656,m n αm ∥,n α∥α,m n m ∥,m n α⊥n αn α⊂,m m n α⊥⊥n α⊂,m n αα⊥⊂m n⊥)(),2sin ,2cos ,24a b a b ααββ==-=b a 2b 2a12b - 12a- 1111ABCD A B C D -11B A DC -1111ABCD A B C D -A.3B.4C.6D.87.经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间（单位：小时）统计如下：甲群体总人数为40，该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时，方差为2；乙群体总人数为20，该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时，方差为1，若将这两个群体混合后得到丙样本，则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为（ ）A.B. C. D.38.在中，角所对的边竹别是，若的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示为四边形的平面图，其中，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（）A.B.C.四边形为等腰梯形D.四边形的周长为10.设是一个随机试验中的三个事件，且与互斥，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若事件相互独立，则C.D.32179177ABC ,,A B C ,,a b c 6,b ac==B π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ABCD AB ∥,24,,CD AB CD AD AB AD ==⊥=A B C D ''''45x A y ∠'''= A D ''=4A B ''=A B C D ''''A B C D ''''6+,,A B C ()()14,,35P A P B A ==C ()715P A B +=()215P AB =,A B ()415P AB =()29P AC =()13P AC =11.在三棱锥中，底面为球心，作一个表面积为的球，设三棱锥外接球的半径为，则下列说法正确的是（ ）A.的最小值为1B.的最小值为C.当取得最小值时，球与侧面的交线长为D.当取得最小值时，球与侧面的交线长为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为复数的共轭复数，且满足，则复数的实部为__________.13.在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为__________.14.已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为__________.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了全面提高学生素质，促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计，得到如下的样本数据的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长；（3）若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数.16.（15分）已知复数为虚数单位，.（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围；A BCD -AB ⊥,2,1,tan BCD AD BC CBD ∠===B 6πA BCD -R R R 32R B ACD π6R B ACD π3z z 2z z +=z 11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,17,18ABC ,M N ,BC AC BM CNBC CA=AM MN ⋅ a ()1223i,2i,i z a a z a =-+-=+a ∈R 1z a（2）若是方程的根，求.17.（15分）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明､小王､小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是，小明､小红两名同学都解答错误的概率是，小王､小红两名同学都正确解出的概率是.设小明､小王､小红正确解出该道题分别为事件，三个事件两两独立，且.（1）求三名同学都正确解出这道题的概率；（2）求小王正确解出这道题的概率.18.（17分）如图，为三棱锥的高，且点在的内部.点为的中点，且，直线平面.（1）求直线与平面所成角的大小.（2）若直线分别与直线所成的角相等，且.①求二面角的大小；②求三棱锥的体积.19.（17分）三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.已知整边三角形的内角所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若，当取最小值时，求整边三角形的面积.12z z +()220x x b b -+=∈R 2z 3411214,,A B C ,,A B C ()()()()P ABC P A P B P C =PO P ABC -O ABC D AP 2AD AO ==OD ∥PBC AP ABC AP ,BP CP BO CO PO ==P BC A --P ABC -ABC ,,A B C ,,a b c 22cos sin sin 2cos2A AB B -=2a c b +=2C A =a ABC数学（人教版）参考答案1.B 【解析】因为，所以，故.故选B.2.A 【解析】因为，所以，解得.故选A.3.B 【解析】从这4个数中一次性地任取两个数的所有可能的结果有，，共6种，其中满足两个数的和大于87的结果有，共2种，所以任取两个数的和大于87的概率.故选B.4.C 【解析】若，则可能平行､异面或者相交，故A正确；若，则与可能平行､相交或者，故B正确；若，则与可能平行，也可能，故C错误；若，由线面垂直的性质定理可知，故D正确.故选C.5.D 【解析】因为，所以，又因为，所以，所以在上的投影向量为.故选D.6.C 【解析】设正方体的棱长为，易知三棱锥为正四面体，则其棱长为，解得，故正方体的棱长为6.故选C.7.B 【解析】丙样本每天使用电脑时间的平均数为（小时），故丙样本每天使用电脑时间的方差为.故选B.8.C 【解析】，当且仅当时取等号，1i1z=-111iiz=+=-1iz=+a b⊥20x+=2x=-22,33,44,55()()()()22,33,22,44,22,55,33,44()()33,55,44,55()()33,55,44,552163P==m∥,nα∥α,m nm∥,m nα⊥nαnα⊂,m m nα⊥⊥nαnα⊂,m nαα⊥⊂m n⊥24a b-=224416a b a b+-⋅=22||2,||4a b==1a b⋅=-ba21||2a ba aa⋅⋅=-1111ABCD A B C D-a11B A DC-=321)7233a==6a=1111ABCD A B C D-40820723603⨯+⨯=4060⨯2223202317281736039⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2222218122a cb ac bac Bac ac ac+--===-…a c=3，即.故选C.9.BC 【解析】由题意可画出其直观图如下，其中A 错误，B 正确；过点分别作，垂足分别为点，故，，故，则四边形为等腰梯形，故C 正确；故四边形的周长为，即D 错误.故选BC.10.BD 【解析】对于选项，因为，，所以，所以A 选项错误；对于选项，因为事件相互独立，所以，所以选项正确；对于C 选项，因为事件与互斥，故，所以选项错误；对于D 选项，，所以选项正确.故选BD.11.AC 【解析】因为底面，故，设，则，由，且，得在中，由余弦定理得.设的外接圆半径为，在cos 1B B ∴…3cos B B +…πsin 3B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()ππ4πππ2ππ0,π,,,,,0,3333333B B B B ⎛⎫⎛⎤⎛⎤∈∴+∈∴+∈∴∈ ⎪ ⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎦A B ''∥,4,C D A B AB C D ===''''''12,2CD A D AD '=='=,D C '',D M A B C N A B '''⊥'⊥'',M N sin451A M D M C N A D ''''==='= 1NB A B C D A M ''''-'=-='B C ''=A B C D ''''A B C D ''''426++=+A ()()()()()1,3P A B P A P B P AB P A +=+-=()()47,515P B P A B =+=()()()()147235153P AB P A P B P A B =+-+=+-=B ,A B ()()()415P AB P A P B ==B AC ()0P AC =C ()()()13P AC P A P AC =-=D AB ⊥BCD ,,AB BD AB BC AB CD ⊥⊥⊥BDA ∠θ=2cos ,2sin BD AB θθ==tan CBD ∠=()0,πCBD ∠∈sin CBD CBD ∠∠==BCD 22222cos 14cos CD BC BD BC BD CBD ∠θθ=+-⋅⋅=+-BCD r中，由正弦定理得，则，当时，取得最小值1，故A 正确，B 错误.此时，又，所以.又因为，所以平面，过点作交于点，则，所以侧面.而，设球的半径为，则，所以.由，设，则点在侧面上的轨迹长即为球与侧面的交线长.取研究，当在上时，，所以；当在上时，在中，由正弦定理得.因为，所以，故，.因为，所以，所以点在侧面上的运动轨迹是半径为1，圆心角为的圆弧，弧长为，所以当取得最小值时，球与侧面的交线长为，故C 正确，D 错误.故选AC.12.1 【解析】设，为虚数单位，则，由题意可得，解得，故的实部为1.13.15.5 【解析】因为，所以这组数据的上四分位数是.14. 【解析】设，其中，则BCD 22222334,cos sin 82CD r r CBD θθ∠==+2222111sin cos 82R r θθθ=+=+cos θ=R CD AC ===2AD =CD AC ⊥CD AB ⊥CD ⊥ABC B BE AC ⊥AC E CD BE ⊥BE ⊥ACD BE =B d 24π6πd =232d =2312-=1EF =F ACD B ACD Rt ACD 1F CD 11CE EF ==145CEF ∠=2F AD ACD 22sin sin EF AE CAD AF E ∠∠==21sin 2AF E ∠=45CAD ∠= 2150AF E ∠< 230AF E ∠= 2105AEF ∠= 145CEF ∠= 1230F EF ∠= F ACD 30 ππ62π2π6⋅=R B ACD π6i,,z a b a b =+∈R i i z a b =-()()i i 22z z a b a b a +=++-==1a =z 1275%9⨯=151615.52+=43-,BM tBC CN tCA == 01t <<()()AM MN MA NM BA BM CB BM CN⋅=⋅=-⋅+-，所以当时，取得最大值.15.解：（1）由题意知，，解得.（2）由题意知，该校学生这天参加社会实践活动的平均时长为23.4（分钟）.（3）由题意知，该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数为（人）.16.解：（1）因为在复平面内对应的点位于第一象限，所以解得.（2）由题意可得，故，即，所以解得，故.17.解：（1）由题意得，，所以三名同学都正确解出这道题的概率为.（2）因为，所以.又，()()()()1BA tBC CB tBC tCA BA tBC t CB tCA ⎡⎤=-⋅+-=---⎣⎦()()211t BA CB tBA CA t t BC CB t BC CA=-⋅-⋅--⋅+⋅()()2211t BA BC t AB AC t t BC t CB CA =--⋅-⋅+--⋅ ()()2212412t t t t t=---+--()()214cos604cos60414cos60t t t t t =--⋅⋅-⋅⋅+--⋅⋅()221223212333t t t ⎡⎛⎫⎤=-+-=---⎢ ⎪⎥⎝⎭⎦⎢⎣13t =AM MN ⋅ 43-0.16100.300.200.101a ++++=0.024a =50.16150.24250.30350.20450.10⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()20000.200.10600⨯+=1z 20,30,a a ->⎧⎨->⎩()2,3a ∈123i z z a +=+()2(3i)23i 0a a b +-++=()22966i 0a a b a -+-+-=2290,660,a ab a ⎧-+-=⎨-=⎩1a =22i z =+==()()()()()()3134416P ABC P A P B P C P A P BC ===⨯=316()34P A =1()4P A =1(()()12P AC P A P C ==所以，即.又，所以.所以小王正确解出这道题的概率为.18.解：（1）因为为三棱锥的高，故底面.又平面，故.因为点为的中点，故，则为等边三角形，故.又底面，则即为直线与平面所成的角，故与平面所成角的大小为.（2）①如图，延长交于点，连接.直线为过直线的平面与平面的交线，又平面，故.又为的中点，故为的中点.则，又平面平面，故，故.因为直线与直线所成的角相等，所以.1()3P C =()23P C =()()()14P BC P B P C ==()38P B =38PO P ABC -PO ⊥ABC AO ⊂ABC PO AO ⊥D AP AD AO OD ==ADO π3DAO ∠=PO ⊥ABC DAO ∠AP ABC AP ABC π3AO BC E PE PE DO APE PBC OD ∥PBC OD ∥PE D AP O AE 2,AO AD OE OD BO PO CO =======PO ⊥,,ABC BO CO ⊂ABC ,PO BO PO CO ⊥⊥PB PC =AP ,BP CP BPA CPA ∠∠=在与中，故，故.在与中，故，故，即为的平分线，又，则，且为的中点，又，则，则即为二面角的平面角，则，则二面角的大小为.②由，可知，则，故19.解：（1）证明：因为，所以，因为，所以，所以，由正弦定理，得.（2）因为，由正弦定理及余弦定理可得，BPA CPA ,,,AP AP BPA CPA PB PC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩BPA CPA ≅ AB AC =ABO ACO ,,,AO AO AB AC BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩ABO ACO ≅ BAO CAO ∠∠=AE BAC ∠AB AC =AE BC ⊥E BC PB PC =PE BC ⊥PEO ∠P BC A --π3PEO DOA ∠∠==P BC A --π32,OE BO ==BE ==BC =11432P ABC V -=⨯⨯=三棱锥22cos 2cos sin 1cos sin 2cos 2A A AB B B --==+sin sin cos 2sin cos sin A A B B A B +=-()πC A B =-+()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin sin 2sin A C B +=sin sin sin a b c A B C==2a c b +=2C A =sin sin a c A C=222cos 2b c a A bc +-=222sin22cos sin c A b c a A a A bc+-====，解得（舍）或，故，则，所以因为，所以的最小值为4，此时，所以整边三角形的面积为.()()()222bc a c a b bc a bcbc ++-+-==()()245322b c a c a c a c a c c c+-++--==c a =32c a =54b a =3cos 24c A a ==sin A ==*,,a b c ∈N a 4,5,6a b c ===ABC 1sin 2bc A =1562⨯⨯=。
辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(含答案)
本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟．第I 卷（选择题共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）1. 已知集合，则（）A. B. C. D. ［1，4]2. 复数z 满足，则复数z 的虚部是（ ）A. 2B. C. 1D. 3. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ）A.B. C. D. 4. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（）A.B.C. 2D. 5. 设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则6 已知，则（ ）A.B.C. D. 7. 圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）A. 2B.C.D. 18. 如图，已知四边形是平行四边形，分别是的中点，点P 在平面内的射影为与平面所成角的正切值为2，则直线与所成角的余弦值为（ ）.{}240,{ln 0}A x x xB x x =->=>∣∣()RA B ⋂=ð(0,4)(0,4](1,4]()2i 34i z -=+2iiπ36π18π()1,3a =()1,1b =-()4,5c =a b cλ+ λ21941147-//l αl //β//αβ//l αl β⊥αβ⊥l β⊥αβ⊥//l α//l ααβ⊥l β⊥ππsin sin cos sin 63αααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭22+πABCD ,M N ,PD BC ABCD ,N PA ABCD PA MCAB.C.D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A. 平均数3 B.标准差为C. 众数为2D. 85%分位数为510. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（ ）A. B. 是等边三角形C. 平面平面D. 二面角11. 数学家威廉·邓纳姆在书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的无言的证明，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（ ）.为35451225242585BC AD ABD △ACD V BD AC⊥ABC V ADC ⊥ABCA BC D --ABCDA. B. C. D.第II 卷（非选择题共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知向量、满足，，，则______．13. 正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为__________．14. 棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则___； _____．四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 设函数.（1）求函数的单调递增区间；sin2AD x =sin2AB x =cos2DE x=2cos ABFAEFS x S =△△ab2= a 3b = 4a b += ⋅= a b ,P ABC PA BC PB AC PC AB -======3am 11AA B B hm 1A BC 1A A BC -=a h =22()(sin cos )f x x x x =++-()f x（2）当时，求函数的值域.16. 如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．（1）若，求，的值；（2）求值；（3）求．17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．18. 在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足（1）设，，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求的值；（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围．AI 智能的出现，丰富了大家的生活，在部分领域得到了大量的应用，应用到老师的备课､拟卷中既丰富了知识量也提高了效率，下面就是AI 给出的两种组合：考生可在（I ）（II）两种的5,46x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭()f x ABCD 4AB =2AD =60BAD ︒∠=E F AB BC 2AE EB =2=CF FB DE xAB y AD =+x y AB DE ⋅cos BEF ∠111ABC A B C -6AC =10AB =3cos 5CAB ∠=18AA =D AB 1//AC 1CDB 1AC BC ⊥11A B CD -ABC V πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+⎪⎝⎭3a =2c =BE EA ⋅ABC V 2c =ABC V组合中任选一组作答，每组试题后面均有分值标注，请你做出自己的抉择（把所选题号写在答题卡上），两组试题第一问均直接写出答案即可19. 如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为__________．20. 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角余弦值．21. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD 是正方形，且，．店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中的方向捆扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B最多节省的的1⎫+⎪⎪⎭P ABCD -//,90,AB DC DAB PA ∠=⊥ ABCD 1PA AD DC ===2,AB M =PB BC ⊥PAC A MC B --1111ABCD A B C D -3AB =11AA =1111H E E F F G G H H --------彩绳长度为______．22. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.（1）求证：平面；（2）若为侧棱的中点，求证：平面；（3）设平面平面，求证：.S ABCD -ABCD E SC //SA EDB F AB //EF SAD SAB SCD l =//AB l本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷答案第I卷（选择题共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD第II卷（非选择题共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①.②.四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）函数递增区间为，（2）【16题答案】【答案】（1） （2）（3【17题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略（3）64【18题答案】【答案】（1）； （2）.AI 智能的出现，丰富了大家的生活，在部分领域得到了大量的应用，应用到老师的备课､拟卷中既丰富了知识量也提高了效率，下面就是AI 给出的两种组合：考生可在（I ）（II ）两种组合中任选一组作答，每组试题后面均有分值标注，请你做出自己的抉择（把所选题号写在答题卡上），两组试题第一问均直接写出答案即可32()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z (1-2,13x y ==-2032728【19题答案】【20题答案】【答案】（1）证明略；（2）.【21题答案】【答案】【22题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略（3）证明略23-16-。
四川省成都市蓉城高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题(含答案)
成都市蓉城高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，且，则的值为（ ）A. B. 3C. 12D. 2. 下列说法正确的是（ ）A. 垂直于同一条直线的两直线平行B. 平行于同一平面的两个平面平行C 过平面外一点只有一条直线与这个平面平行D. 直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥3. 在中，已知，记，则（ ）A. 3B. 2C. 1D. 44. 定义：，在中，内角所对的边分别为，则满足的一定是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形5. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积.的()()2,4,6,a b λ==- a b ⊥ λ12-3-ABC V 1BC =,AB c AC b == b c -= a c ad bc b d ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ABC V ,,A B C ,,a b c 0cos cos a b A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ABC V ABCD EFGH -4,2,8,4AB AD EF EH ====ABCD EFGH为（ ）A. 36B. 46C. 56D. 666. 在边长为1正中，，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 7. 某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（ ）A. 线段与所在直线异面B. 线段与所在的直线平行C. 线段与所在的直线所成的角为D. 线段与所在的直线相交8. 已知向量，记.如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，且，则下列结论错误的是（ ）A.B.的的ABC V ,AB a AC b == 2,32m a b n a b =+=-+ m n 2π3π3π65π6AB GH CD EF CD GH 60︒AB EF ,a b sin ,a b a b a b ⊗= 1111ABCD A B C D -60ABC ∠=︒1112AB AA ==11AC BD ⊗= 12BA C D ⊗=C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知的内角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C.D. 若，则或10. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将的图象向右移个单位长度得到的图象.已知的图象过点，则的值可以为（ ）A. B. C. 2 D. 411. 2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体，设为外壳上的一个动点，则（ ）A. 存在无数个点，使得平面1DA D B ⊗= 1A D AC ⊗= ABC V ,,A B C ,,a b c 222b c a +=5π6A =sin2sin2A B =A B=cos cos a B b A c+=53sin ,cos 135A B ==16cos 65C =-3365-sin y x =1(0)ωω>()y f x =()y f x =π6()y g x =()y g x =2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ω141212π1111ABCD A B C D -P P //PA 1111D C B AB. 当平面平面时，点的轨迹长度为C. 当平面时，点的轨迹长度为D. 存在无数个点，使得平面平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为________.13. 坐落于四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆是四川省第五批省级爱国主义教育基地之一.南宋著名数学家秦九韶在湖州为母亲守孝三年时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，它是中国朴素理学思想运用于生活实际的伟大数学成果.书中提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为.若已知，且，则的周长为________.14. 在空间内，若，则直线与平面所成角的余弦值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知的内角所对的边分别为，向量，.（1）求角；（2）若，求面积.16. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，是棱的中点，是棱上的动点.的1PAA ⊥11CB D P 2π//PA 11A B CD P 2πP PAD ⊥PBC,m n 60︒m n - n ,,a b c ABC V ,,A B C S ABCV S =sin :sin :sin 2:A B C=S =ABC V 60AOB BOC AOC ∠=∠=∠= OA OBC ABC V ,,A B C ,,a bc ()m a =u r ()cos ,sin ,,2n A B m n BD DC == ∥A 2AB AC ⋅= ADC △ADC S △1111ABCD A B C D -ABCD E 1D D F 1BB（1）求证：平面；（2）求证：.17. 在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求的值.18. 如图，在四棱锥中，为棱的中点，底面为平行四边形，平面，直线与底面所成的角为.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知函数仅满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④.（1）请找出函数满足的三个条件，并说明理由和求出函数的解析式；（2）若函数在处取得最大值，求实数的值及的值域；（3）若函数在上的最大值比最小值大1，求实数的值.1//D B ACE AC DF ⊥ABC V ,,A B C ,,a b c 23cos 3cos c b C c B =+9cos ,16B ABC =△b πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭P ABCD -Q PC ABCD 22,30,AB AD ABD PD ==∠=︒⊥ABCD BP ABCD 45︒BC ⊥PBD A BCQ -DQ PBD ()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭π()01f =-06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x ()f x ()()πcos 23g x f x n x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π4x =n ()g x ()f x []0,t t成都市蓉城高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期末联考数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】.【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2【16题答案】【答案】（1）略（2）略【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）证明略（2） （3【19题答案】【答案】（1）理由略， （2），值域为（3）12m 15+π35b =14()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭n =-[]4,4-π4t =。
河南高一高中数学期末考试带答案解析
河南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，下列四个命题中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.函数的图象的大致形状是( )A．B．C．D．3.已知全集，，，,且，则（）A．B．C．D．4.函数的定义域为（）A．B．C．D．5.长方形的八个顶点落在球的表面上，已知，那么球的表面积为（）A．B．C．D．6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32B．C．48D．7.已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式为（）A．B．C．D．8.四棱柱中，，，则与所成角为（）A．B．C．D．9.已知直线与平行，则的值是（）A．0或1B．1或C．0或D．10.设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有的正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．②③④11.已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．12.已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂（）足．若，则到平面的距离等于A．B．C．D．1二、填空题1.已知函数，则的值是__________．2.经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是__________．3.正三棱锥中，，则二面角的大小为__________．4.已知函数在单调递减，，若，则的取值范围是__________．三、解答题1.设函数是定义域为的任意函数.(1)求证：函数是奇函数，是偶函数；(2)如果，试求(1)中的和的表达式.2.如图，直三棱柱中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)已知，，，求三棱锥的体积.3.设是常数，函数.(1)用定义证明函数是增函数；(2)试确定的值，使是奇函数；(3)当是奇函数时，求的值域.4.如图，四棱锥中，底面为菱形，平面.(1)证明：平面平面；(2)设，，求到平面的距离.5.设有一条光线从射出，并且经轴上一点反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为)；(2)设动直线，当点到的距离最大时，求所围成的三角形的内切圆(即：圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程.6.设圆的圆心在轴上，并且过两点.(1)求圆的方程；(2)设直线与圆交于两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.河南高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，下列四个命题中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】，若，则．该命题是两个平面垂直的判定定理，显然成立．故选A．两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面，故答案B错误．依次判断答案C、D也是错误的．【考点】有关平面与平面、直线与平面的命题判断．2.函数的图象的大致形状是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数解析式，去掉绝对值符号得到,那么结合指数函数底数的范围可知，两段函数在定义域内是先增后减，故排除A,,B,C.因此可知选D.【考点】函数图像点评：解决该试题的关键是要通过其性质和定义域和值域的范围来得到，属于基础题。
人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)2
B．若 , ，则
C．若 // , m ，则 m / /
D．若 m , ,n / / ，则 m n
【来源】广西梧州市 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题 【答案】C
16．已知圆 x a2 y2 1 与圆 x2 y b2 1外切，则（ ）．
A． a2 b2 4
32．已知点 A(2, a) ，圆 C : (x 1)2 y2 5
（1）若过点 A 只能作一条圆 C 的切线，求实数 a 的值及切线方程； （2）设直线 l 过点 A 但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线 l 被圆 C 截得
的弦长为 2 3 ，求实数 a 的值.
【来源】江西省宜春市上高县上高二中 2019-2020 学年高二上学期第三次月考数学（理) 试题
【答案】B
7．如图，四边形 ABCD 和 ADEF 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在 线段 AE 上，设直线 CM 与 BF 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）
A．
0,
3
B．
0,
π 3
C．
0,
2
D．
0,
2
【来源】四川省乐山市 2019-2020 学年高二上学期期末数学（文)试题
6
a
1 3
，则
cos
2 3
2a
（）
A． 7 9
B． 1 3
1
C．
3
7
D．
9
【来源】河北省石家庄市第二中学 2018-2019 学年高二第二学期期末考试数学（理)试
题
【答案】A
13．已知圆 C 被两直线 x y 1 0 ， x y 3 0 分成面积相等的四部分，且截 x 轴
河南省郑州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：0x ∃>，0y >，使得不等式(5x y λ+>++成立，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（）A.52λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭B.53λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭C.54λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭D.55λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭2.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C .a b c<< D.c b a<<3.将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()()242h x g x x x =-+-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.17245.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()2xf x = B.cos ()2xf x = C.()sin 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.在ABC 中，D 为BC 上一点，且3BD DC =，ABC CAD ∠=∠，2π3BAD ∠=，则tan ABC ∠=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02α<<，()2ππ1sin 2sin 2cos cos 2714αα+=，则α=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22z z= B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin 0,0,π2πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.11π6ϕ=B.3ω=C.()f x 在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.方程()()21f x a a =-<<-在0,π]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C.若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D .若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行11.已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.()f x 的对称轴为ππ32k x =+，k ∈Z C.()f x 的对称中心为ππ(0)3,2k +，k ∈ZD.()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142x y >->-，，且21x y +=，则19214x y +++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠=∠==扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b R ∈且0a >，函数4()4x xbf x a+=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）对任意(0,)x ∈+∞，不等式()02x mf x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.17.已知ABC 的面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =，①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r，2AFFB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.已知),cos2a x x =，()2cos ,1b x =- ，记()()R f x a b x =⋅∈（1）求函数()y f x =的值域；（2）求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调减区间；（3）若()π24F x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恰有2个零点12,x x ，求实数m 的取值范围和12x x +的值．2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
2023-2024学年四川省内江市高一下学期期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省内江市高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某高中生创新能力大赛中8位选手的面试得分分别为90,86,93,91,89,95,92,94，其中位数和极差分别为( )A. 90，8B. 91.5，9C. 91，9D. 91.5，82.若复数z 满足z =i1−2i ，则z 的虚部为( )A. i5B. −25C. −i5D. −153.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业从业人员中90后占一半以上4.已知函数g (x )=2sin 2x ，函数f (x )=A sin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要得到f (x )的图象，只需将函数g (x )的图象( )A. 向左平移π6个单位B. 向右平移π6个单位C. 向右平移π3个单位D. 向左平移π3个单位5.内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年(公元1804年)得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点C与D与塔底B在同一水平面，并测得CD=202米，∠BCD=15∘,∠BDC=120∘，在点C处测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB=( )A. 106米B. 103米C. 203米D. 60米6.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=x AB+49AD，则x= ( )A. 45B. 23C. 79D. 587.暑假即将来临，某校为开展学生的社会实践活动，从甲､乙､丙､丁､戊5人中随机选3人去参加“敬老院志愿服务”活动，则乙和丙两人中只有1人入选的概率为( )A. 12B. 23C. 34D. 358.已知向量a，向量b的模长均为2，且|a−b|=|a|.若向量m=a−2c,n=c−b，且m⊥n，则|c|的最大值是( )A. 72+3 B. 52+3 C. 7+32D. 94二、多选题：本题共3小题，共15分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一下学期期末考试数学试题
一．选择题（每题5分，共60分。
每小题只有一个选项是正确的） 1．已知α＝
6
19
π，则α的终边在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2,x)，若a //b ，则x 的值为
( )
A ．1
B ．-1
C ．－2
D ．2 3．计算1－2sin 222.5°的结果等于 ( )
A.1
2
B.
22 C.3
3
D.
3
2
4.
可知用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程为
∧∧+-=a x y 7.0 ，则∧
a 的值是 （ ）
A ．3.25
B ．4.25
C ．5.25
D ．6.25
5．茎叶图0 4 9 1 1 5 6 7 94 5 2 5 甲 5432
1
01
9 8 38 6 36
4 38
乙中，甲组数据的中位数是 （ ）
A ．31
B.
5.332
36
31=+ C. 35 D. 36
6．已知(3
2)(51)M N ---，，，，且12
MP MN =，则P 点坐标为 （ ）
Ａ．(81)-， Ｂ．312⎛⎫-- ⎪⎝⎭， Ｃ．312⎛⎫
⎪⎝⎭
， Ｄ．(81)-，
7．设α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ）（4
πα+＝
( )
A. 75
B. 15 C ．－75 D ．－1
5 8．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为 ( )
A. 13
B.65
C.135
D. 65
5
9．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →
＝b ，且a ·b <0，则△ABC 的形状为 ( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形 10．执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4
11.已知一组数据6,8，x ，10的中位数与平均数相等则x 的值是 （ ） A.4或6或8 B.6或8或12 C.4或6或12 D.4或8或12
12.已知函数)2
0,0)(sin()(π
ϕϕ<
<>+=w wx x f 的图像经过点（0，2
1
），对任意的x 都
a k
有)()()(21x f x f x f ≤≤，且
12x x -的最小值为2π
，则)12
(πf 的值为（ ）
A. -
23 B. 23 C. -21 D. 2
1
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，x )，a ⊥b ，则x ＝
14.某种彩票编号为000～999，中奖规则采用系统抽样的方法，规定末两位号码是12的
为二等奖，若把二等奖的号码从小到大排列，其中前三个号码为 _______________ ；
15. 已知,2||=a ,5||=b 3-=⋅b a
，则a b +等于
16.设函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈>+=2,0,0,)(sin()(πϕϕϕw w wx x f 是常数，），)(x f 区间[31
，1]上是单调
函数，且)1()3
2
()0(f f f -==，则下列关于函数)(x f 的命题正确的是
①)(x f 的最小正周期为2 ②)(x f 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡351，上具有单调性 ③当31=
x 时，)(x f 取得最值 ④函数)6
5
(+=x f y 为奇函数 三．解答题（请在适当的位置写出解答过程，共70分）
17. （本题满分10分）已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．
(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；
(2)若向量a －λb 与2a ＋b 垂直，求λ的值．
18. （本题满分12分）已知tan α＝2，计算下列各式的值：
(1)2sin α－cos αsin α＋2cos α
； (2)3sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α. 19 .（本题满分12分） 已知向量与b 的夹角为π
3，|b |＝4，
且(＋2b )·(－3b )＝－72， 求向量的模的大小
20.（本题满分12分）已知α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－135，
求cos β的值．
21．（本题满分12分）f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．
(1)若函数f (x )的最大值是4，求a 的值 (2)求f (x )的单调递增区间； （3）若将函数f (x )的图像向右平移8
π
个单位得到函数)(x g ，请写出)(x g 的表达式（写出结果即可）
22. （本题满分12分）已知向量
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin ,2cos ,23sin ,23cos x x b x x a , 且,2,0⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈πx ()b a b a x f +-⋅=λ2,（λ为常数）求
(1) b a ⋅及b
a +;
(2)若()x f 的最小值是2
3
-,求实数λ的值.
答案 1-2
CCBCC/BBDAB/DB
13.2 14.012，112, 212 15.23 16. ①③④ 17.(1) 2552 (2) 9
52
18.(1) 43 (2) 5
12 19. 6 20.
65
16 21.(1)a=1 （2）)(6,3z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-ππππ（注：开区间闭区间均可）
（3）1)12
2sin(2)(++-
=a x x g π
22. 解：⑴x x
x x x 2cos 2
sin 23sin
2cos 23cos =⋅-⋅=⋅
2
2)2
sin 23(sin )2cos 23(cos ||x x x x b a -++=+x x 2cos 22cos 22=+= x b a x x c o s 2||,0c o s ],2
,0[=+∴>∴∈π
⑵x x x f c o s 42c o s )(λ-=2221)(c o s 2λλ---=x .1c o s 0],2
,0[≤≤∴∈x x π
①当0<λ时，当且仅当0c o s =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当λλ=≤≤x c o s ,10当且仅当
时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得:2
1
,23212=-=--λλ解得；
③当1c o s ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得2
341-=-λ
解得85=
λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，2
1
=λ为所求.。