2020年人教版八年级数学上册 章节专项提高练习《整式的乘除与因式分解》(含答案)
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识．在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便．因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题．（1）填空： ①()242221144x x x x ⎡⎤+=++-=⎢⎥⎣⎦（ ）22x -=（ ）（ ） ②()()242116=644⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦=（ ）（ ）=（ ）⨯ （ ） （2）解决问题，计算：4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】（1）①212x +，221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，②26，26，2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，42.530.5，；（2）14541 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式计算可得；（2）利用前面所得规律变形即可．【详解】（1）()242221144x x x x ⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 22212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221122x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2422211666624⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 2211666622⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭42.530.5=⨯ 故答案为：①212x +，221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，②26，26，2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，42.530.5，； （2）4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222211116666888822221111555577772222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42.530.372.556.530.520.556.542.5⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 14541= 【点睛】本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子232x x ++和223x x +-分解因式，如图：()()23212x x x x ++=++；()()223123x x x x +-=-+．请你仿照以上方法，探索解决下列问题：（1）分解因式：2712y y ；（2）分解因式：2321x x --．【答案】（1）（x ﹣3）（x ﹣4）；（2）（x ﹣1）（3x+1）．【解析】【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案； （2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.【详解】（1）y 2﹣7y+12=（x ﹣3）（x ﹣4）；（2）3x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）（3x+1）.【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.3．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 中纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2- 【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2， ∴xy=()222()2x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：3245x x +-.解答：把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，由此确定多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设()()322451x x x x mx n +-=-++，分别求出m ，n 的值.再代入()()322451x x x x mx n +-=-++，就容易分解多项式3245x x +-，这种分解因式的方法叫做“试根法”.（1）求上述式子中m ，n 的值；（2）请你用“试根法”分解因式：3299x x x +--.【答案】（1）5m =，5n =；（2）()()()133x x x ++-【解析】【分析】（1）先找出一个x 的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．【详解】解：（1）把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，∴多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设322451x x x x mx n ，得出：3232451x x x m x n m x n ，∴14m ，0n m，∴5m =，5n =， （2）把1x =-代入3299x x x +--，多项式的值为0，∴多项式3299x x x +--中有因式()1x +，于是可设322329911x x x x x mx n x m x n m x n ，∴11m +=，9n m，9n =- ∴0m =，9n =-，∴3229133991x x x x x x x x【点睛】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．5．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________；（2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．①正数②非负数 ③ 0【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①【解析】【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；（2）材料所给方法进行解答即可；（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.【详解】解：（1）281x x +-=2816116x x ++--2(4)17x +-.（2）原式=22118x x -+--=2(1)9x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-．（3）222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++=()()221211x y -+-+＞11故答案为①.【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.6．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦. （1）上述分解因式的方法是______________法.（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.（3）分解因式：21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++++.【答案】（1）提公因式 ; （2）()20201x + ；（3）()11n x ++【解析】【分析】（1）用的是提公因式法； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.【详解】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．（2）()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()41x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x + ……由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）]+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，=（1+x ）2（1+x ）+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，=（1+x ）3+x （1+x ）3+…+x （1+x ）n ，=（1+x ）n +x （x+1）n ，=（1+x ）n+1．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．7．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c ＝10，ab+ac+bc ＝35，∴102＝a 2+b 2+c 2+2×35，∴a 2+b 2+c 2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b ）（a+2b ）＝xa 2+yb 2+zab ，∴2a 2+5ab+2b 2＝xa 2+yb 2+zab ，∴225x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z ＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x 3﹣1×1•x ＝x 3﹣x ，新几何体的体积＝（x+1）（x ﹣1）x ，∴x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x ．故答案为：x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x ．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．8．（探究）如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，有阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用字母表示）（应用）请应用这个公式完成下列各题①已知22412m n -=，24m n +=，则2m n -的值为②计算：(2)(2)a b c a b c +--+（拓展）①()()()()24832(21)21212121+1+++++结果的个位数字为 ②计算：222222221009998974321-+-++-+-【答案】[探究]（1）a 2﹣b 2；（a +b ）（a ﹣b ）；（2）（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；[应用]①3；②4a 2﹣b 2+2bc ﹣c 2；[拓展]①6；②5050．【解析】【分析】[探究]（1）由面积公式可得答案；（2）公式由（1）直接可得；[应用]①用平方差公式分解4m 2﹣n 2，将已知值代入可求解；②将三项恰当组分成两组，先用平方差，再用完全平方公式展开后合并同类项即可；[拓展]①将原式乘以（2﹣1），就可以反复运用平方差公式化简，最后按照循环规律可得解；②将原式从左向右依次两项一组，运用平方差公式分解，化为100+99+98+…+4+3+2+1，从而可得答案．【详解】（1）图①按照正方形面积公式可得：a 2﹣b 2；图②按照长方形面积公式可得：（a +b ）（a ﹣b ）．故答案为：a 2﹣b 2；（a +b ）（a ﹣b ）．（2）令（1）中两式相等可得：（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2故答案为：（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2．【应用】①∵4m 2﹣n 2=12，2m +n =4，4m 2﹣n 2=（2m +n ）（2m ﹣n ），∴（2m ﹣n ）=12÷4=3． 故答案为：3．②（2a +b ﹣c ）（2a ﹣b +c ）=[2a +（b ﹣c ）][2a ﹣（b ﹣c ）]=4a 2﹣（b ﹣c ）2=4a 2﹣b 2+2bc ﹣c 2【拓展】①原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1=（216﹣1）…（232+1）+1=264﹣1+1=264．∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4=16．故答案为：6．②原式=（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）=100+99+98+97+…+4+3+2+1=5050．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．9．观察：22213-=；2222432110-+-=；22222265432121-+-+-=．探究：（1）2222222287654321-+-+-+-= ．（直接写出答案）（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-= ．（直接写出答案）应用：（3）如图，20个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为20cm ，向里依次为19cm 、18cm 、……1cm ，那么在这个图形中，所有阴影部分的面积和是多少？（结果保留π）【答案】（1）36；（2）83n -；（3）210π【解析】【分析】（1）根据已知条件，直接结算可得；（2）根据观察可得规律：结果就是底数和；其实是运用平方差公式得到；（3）根据题意列出式子，()()()()()22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+-，再根据上面规律简便运算．【详解】（1）2222222287654321-+-+-+-=15+21=36；（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-=[][][][]()()2(21)2(21)(22)(23)(22)(23)2121n n n n n n n n +-•--+-+-•---++•-2(21)(22)(23)21n n n n =+-+-+-++=83n -；（3）由题意可得阴影面积是：()()()()()22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+- =2019181716154321ππππππππππ++++++++++=()1202012π⨯⨯+ =210π【点睛】 考核知识点：因式分解在运算中的应用．观察并找出规律，利用平方差公式分析问题是关键．10．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：=m2+2n2，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若（）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=，b=（2）若（2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．试题解析：(1)∵)2，∴2+3n2∴a=m2+3n2，b=2mn.故a=m2+3n2，b=2mn；（2）由题意，得223 {42a m nmn=+=∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13。
《整式的乘法与因式分解》单元检测题(含答案)
故选A．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘除法,合并同类项,以及幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.下列等式成立的是( )
A.3a2-2a2=1B.(2x+y)2=4x2+y2C.a2-4=(a-2)2D.2a2b·3a2b2=6a4b3
【答案】D
【解析】
【分析】
考点：因式分解-运用公式法．
12.如果实数x、y满足方程组 那么x2-y2的值为______.
【答案】﹣ .
【解析】
,
由②得x+y= ,
则x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)= ,
故答案为 ．
13.已知m﹣n=2,mn=﹣1,则(1+2m)(1﹣2n)的值为__．
【答案】9
【解析】
∵m−n=2,mn=−1,
【详解】A.原式=−m(a+1),故A错误；
B.原式=(a+1)(a−1),故B错误；
C.原式=(a−3)2,故C正确；
D.该多项式不能因式分解,故D错误,
故选:C
【点睛】本题主要考查因式分解,熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.
4.计算1.252 017× 的值是( )
A. B. C. 1D. -1
故选A．
【点睛】此题是因式分解的应用,主要考查了完全平方公式,提公因式,解本题的关键是用完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2．
8.n是整数,式子 [1﹣(﹣1)n](n2﹣1)计算的结果()
A.是0
B.总是奇数
C.总是偶数
D.可能是奇数也可能是偶数
【答案】C
【解析】
八年级数学上册整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2] =12（a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2） =12×（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ） =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ，故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]正确； （2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2] =12×（1+1+4） =12×6 =3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．2．观察以下等式：（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1（x+3）（x2-3x+9）=x3+27（x+6）（x2-6x+36）=x3+216．．．．．．．．．．．．(1)按以上等式的规律，填空：（a+b）（___________________）=a3+b3(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.(3)利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）【答案】（1）a2-ab+b2；（2）详见解析；（3）2y3．【解析】【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．【详解】（1）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）（a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3；（3）（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）=x3+y3-（x3-y3）=2y3．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．3．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数).【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n＋1.【解析】【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．【详解】(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]＝(1＋x)n(1＋x)＝(1＋x)n＋1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.4．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．【答案】（1）4192，7324；（2）42.【解析】【分析】（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．【详解】解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为4192；7324．（2）∵P为“半期数”∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣c=900a+9c+511．∵Q =200+10a +c ，∴441Q ﹣4P =88991，∴441（200+10a +c ）﹣4（900a +9c +511）=88991 化简得：2a +c =7①当a =1时，c =5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a =2时，c =3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a =3时，c =1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P '可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P 的“伴随数”，∴F （5614）=a 2+c 2﹣2bd =25+1﹣2×6×4=﹣22；F （4561）=a 2+c 2﹣2bd =16+36﹣2×5×1=42；F （6145）=a 2+c 2﹣2bd =36+16﹣2×1×5=42；∴F （P '）的最大值为42．【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b +2c ﹣a ﹣d |最小时，称此时的m '是m 的“伴随数”来确定伴随数．5．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个． 点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．6．阅读下列材料：1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．例如：分解因式3223x x +-．∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．设()()322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有 1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积；②分解因式323x x ++；（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3【解析】【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．【详解】解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．故答案为：x=-1；（x+1）②设另一个因式为（x 2+ax+b ），（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b=x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b∴a+1=0 ，a=-1， b=3∴多项式的另一因式为x 2-x+3．∴3223=(1)(3)x x x x x +++-+．（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解， ∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩①②， ∴②-①，得m-n=3∴m n -的值为3．【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．7．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b ）（a+2b ）＝xa 2+yb 2+zab ，∴2a 2+5ab+2b 2＝xa 2+yb 2+zab ，∴225x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z ＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x 3﹣1×1•x ＝x 3﹣x ，新几何体的体积＝（x+1）（x ﹣1）x ，∴x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x ．故答案为：x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x ．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．8．探究题：观察下列式子：（x 2-1）÷（x -1）=x +1；（x 3-1）÷（x -1）=x 2+x +1；（x 4-1）÷（x -1）=x 3+x 2+x +1；（x 5-1）÷（x -1）=x 4+x 3+x 2+x +1；（1）你能得到一般情况下(1)(1)n x x -÷-的结果吗？（n 为正整数）（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．【答案】（1）12n n x x --++…+1；（2）6421-． 【解析】【分析】（1）根据已知的式子可得到的式子是关于x 的一个式子，最高次数是n-1，共有n 项； （2）把2当作x ，即可把所求的式子看成是两个二项式的商的形式，逆用（1）的结果即可求解．【详解】由题意可得：（1）()()1211n n n x x x x ---÷-=++ (1)（2）()()234626364641222222212121+++++⋯++=-÷-=-． 【点睛】 考查了多项式与多项式的除法，观察所给式子，发现运算规律是解题的关键.9．观察：22213-=；2222432110-+-=；22222265432121-+-+-=． 探究：（1）2222222287654321-+-+-+-= ．（直接写出答案）（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-= ．（直接写出答案） 应用：（3）如图，20个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为20cm ，向里依次为19cm 、18cm 、……1cm ，那么在这个图形中，所有阴影部分的面积和是多少？（结果保留π）【答案】（1）36；（2）83n -；（3）210π【解析】【分析】（1）根据已知条件，直接结算可得；（2）根据观察可得规律：结果就是底数和；其实是运用平方差公式得到；（3）根据题意列出式子，()()()()()22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+-，再根据上面规律简便运算．【详解】（1）2222222287654321-+-+-+-=15+21=36；（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-=[][][][]()()2(21)2(21)(22)(23)(22)(23)2121n n n n n n n n +-•--+-+-•---++•-2(21)(22)(23)21n n n n =+-+-+-++=83n -；（3）由题意可得阴影面积是：()()()()()22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+- =2019181716154321ππππππππππ++++++++++=()1202012π⨯⨯+ =210π【点睛】 考核知识点：因式分解在运算中的应用．观察并找出规律，利用平方差公式分析问题是关键．10．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2=（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：=m2+2n2，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若（）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=，b=（2）若（2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．试题解析：(1)∵)2，∴2+3n2∴a=m2+3n2，b=2mn.故a=m2+3n2，b=2mn；（2）由题意，得223 {42a m nmn=+=∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13。
《整式的乘除与因式分解》培优训练及答案
整式的乘除与因式分解一、选择题：1．下列计算正确的是（ ）A ．105532a a a =+B ．632a a a =⋅C ．532)(a a =D ． 8210a a a =÷2．下列计算结果正确的是（ ）A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a3．两个三次多项式相加，结果一定是 （ ）A ．三次多项式B ．六次多项式C ．零次多项式D ．不超过三次的多项式4．把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后，余下的部分是（ ）A ．()1+xB ．()1+-xC ．xD ．()2+-x5．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是 （ ）A 、2B 、0C 、－2D 、－56．已知代数式12x a －1y 3与－3x －b y 2a+b 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A ．2,1a b =-⎧⎨=-⎩B ．2,1a b =⎧⎨=⎩C ．2,1a b =⎧⎨=-⎩D ．2,1a b =-⎧⎨=⎩7．已知2239494b b a b a n m =÷，则（ ）A ．3,4==n mB ．1,4==n mC ．3,1==n mD ．3,2==n m8．如图，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（）A ．m 2+12mnB ．22mn n -C ．22m mn+ D ．222m n +9．若2()9a b +=，2()4a b -=，则ab 的值是（ ）A 、54B 、－54C 、1D 、－1 二、填空题： 1．分解因式2233ax ay -= ．2．分解因式ab b a 8)2(2+- =_______．3．分解因式221218x x -+= ．4．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ ．5．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．6. 已知a+b=5，ab=3，求下列各式的值：（1）a 2+b 2= ；（2）-3a 2+ab-3b 2= ．7. 已知522=+b a ，()()223232a b a b --+＝－48，则a b +＝________． 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 ．9．观察下列等式： 第一行 3＝4－1第二行 5＝9－4第三行 7＝16－9第四行 9＝25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____________ ．三、解答题：1．计算题（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2 （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）（3）222)(4)(2)x y x y x y --+（ （4）221(2)(2))x x x x x-+-+－（2．因式分解（1）3123x x - （2）2222)1(2ax x a -+（3）xy y x 2122--+ （4）)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3．解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4．已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值5．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．四．综合拓展：1．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状．2．已知2006x+2006y=1，x+3y=2006，试求2x 2+8xy+6y 2的值五．巩固练习：1．若n221623=÷，则n 等于（ ）A ．10B ．5C ．3D ．62．计算：xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是（ ） A ．xy y x 232- B ．22322+-xy y x C ．1232+--xy y x D ．12322+--xy y x3．下列计算正确的是（ ）A ．x y x y x 221222223=⋅÷ B ．57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C ．mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D ．22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4．已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-，则这个多项式为＿＿＿5．若（a+b ）2=13（a-b ）2=7求a 2+b 2和ab 的值。
经典资料：初二数学《整式的乘除与因式分解》习题(含答案)
整式的乘除与因式分解 一、选择题 1．下列计算中，运算正确的有几个（ (1) a +a =a
5 5 10
）
2
(2)
(a+b) =a +b (3) (-a+b)(-a-b)=a B 、1 个
5 3
3
3
3
-b
2
(4)
(a-b) = -(b-a) D 、3 个
3
3
A、 0 个
3 5
C ） C
、2 个
2 2 2 2
B D
2
+ab-2b
2
7,
a b
3, 则 3 2
与
的值分别是 C.5,1 D. 10,
（
ห้องสมุดไป่ตู้
） 3 2
B. 2,
b
2
， a b 的值等于
2
1 2 1 2．已知 a－ =3 ，则 a ＋ 2 a a
2 2
・ k ＝ ________________ ；
3．如果 x － kx ＋ 9y 是一个完全平方式，则常数
部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一 个等式，则这个等式是（ A． a -b =(a+b)(a-b) C ． (a-b) =a -2ab+b 6． 已知 a b A. 4,1 二、填空题 1．若 a b
3 , ab 2 ，则 a
2 2 2 2 2 2 2
） ． (a+b) =a +2ab+b ． (a+2b)(a-b)=a
y=2； 7． 2（ x+y+z）； 8． B
第4 页 共 4 页
2
八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
八年级数学上册 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．11D ．12【答案】C【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12∴p+q=m ，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m 的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.2．下列能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．21x -B ．()21x x +C ．21x +D ．2x x - 【答案】A【解析】根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，A 选项：()()2111x x x -=+-，可知能用平方差公式进行因式分解.故选：A.3．利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是A ．245x -B ．2425x -C ．2254x -D ．2425x + 【答案】C【解析】【分析】平方差公式是（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2.【详解】解：()()()()()2225252525425254x x x x x x ---=--+=--=-， 故选择C.【点睛】本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式.4．下列分解因式正确的是( )A ．22a 9(a 3)-=-B ．()24a a a 4a -+=-+C ．22a 6a 9(a 3)++=+D ．()2a 2a 1a a 21-+=-+【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的方法（提公因式法，运用公式法），逐个进行分析即可.【详解】A. ()2a 9a 3a 3-=-+）（，分解因式不正确；B. ()24a a a 4a -+=--，分解因式不正确；C. 22a 6a 9(a 3)++=+ ，分解因式正确；D. ()2a 2a 1a 1-+=-2，分解因式不正确.故选：C【点睛】本题考核知识点：因式分解.解题关键点：掌握因式分解的方法.5．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）A ．92-xB ．2269a ab b -+-C ．22x y --D ．21x -【答案】C【解析】【分析】根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．【详解】A 、x 2-9，可用平方差公式，故A 能用公式法分解因式；B 、-a 2+6ab-9 b 2能用完全平方公式，故B 能用公式法分解因式；C 、-x 2-y 2不能用平方差公式分解因式，故C 正确；D 、x 2-1可用平方差公式，故D 能用公式法分解因式；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．6．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()22a a b a ab +=+D ．222()2a b a ab b -=-+【答案】A【解析】【分析】 根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．【详解】图1中阴影部分的面积为：22a b -，图2中的面积为：()()a b a b +-，则22()()a b a b a b +-=-故选：A.【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．7．若33×9m =311 ，则m 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案.【详解】∵33×9m =311 ，∴33×(32)m =311，∴33+2m =311，∴3+2m=11，∴2m=8，解得m=4，故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．8．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（）A．3-，4-B．3-，4 C．3，4-D．3，4【答案】A【解析】【分析】根据题意可得规律为712a bab+=-⎧⎨=⎩，再逐一判断即可.【详解】根据题意得，a，b的值只要满足712a bab+=-⎧⎨=⎩即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.9．下列各运算中，计算正确的是（）A．a12÷a3=a4B．（3a2）3=9a6C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a2【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意；B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意；C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意；D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．10．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( )A ．3xyB ．-3xyC ．-1D ．1【答案】A【解析】【分析】【详解】 解：∵左边=-3xy （4y-2x-1）=-12xy 2+6x 2y+3xy右边=-12xy 2+6x 2y+□，∴□内上应填写3xy故选：A ．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）【答案】5【解析】【分析】根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m 应是3或-5；若用完全平方公式分解，m 应是4，若用提公因式法分解，m 的值应是0，排除3、-5、4、0的数即可.【详解】当m=5时，原式为245x x -+，不能因式分解，故答案为：5.【点睛】此题考查多项式的因式分解方法，熟记每种分解的因式的特点及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟练运用解题.12．（1）已知32m a =，33n b =，则()()332243mn m n m a b a b a +-⋅⋅=______． （2）对于一切实数x ，等式()()212x px q x x -+=+-均成立，则24p q -的值为______．（3）已知多项式2223286x xy y x y +--+-可以分解为()()22x y m x y n ++-+的形式，则3211m n +-的值是______． （4）如果2310x x x +++=，则232016x x x x +++⋅⋅⋅+=______．【答案】（1）5-; （2）9; （3）78-; （4）0. 【解析】【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方，将32m a =整体代入即可；（2）将等式后面部分展开，即可求出p 、q 的值，代入即可；（3）根据多项式乘法法则求出()()22x y m x y n ++-+，即可得到关于m 、n 的方程组，解之即可求得m 、n 、的值，代入计算即可；（4）4个一组提取公因式，整体代入即可.【详解】（1）32m a =，33n a =，()()()()332222343333m n m n m m n m n a b a b a a b a b ∴+-⋅⋅=+-22232343125=+-⨯=+-=-（2）222x px q x x -+=--对一切实数x 均成立，1p ∴=，2q =-249p q ∴-=（3）()()222223286x y m x y n x xy y x y ++-+=+--+-，()()22222322223286x xy y m n x n m y mn x xy y x y ∴+-+++-+=+--+- 21,28,6,m n n m mn +=-⎧⎪∴-=⎨⎪=-⎩解得2,3.m n =-⎧⎨=⎩ 321718m n +∴=-- （4）2310x x x +++=，232016x x x x ∴+++⋅⋅⋅+()()2320132311x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅++++000=+⋅⋅⋅+=故答案为： −5；9；78-；0. 【点睛】本题主要考察幂的运算及整式的乘法，掌握其运算法则是关键.13．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.14．若4x 2+20x + a 2是一个完全平方式，则a 的值是 __ ．【答案】±5【解析】225,5a a ==±15．若m+1m =3，则m 2+21m =_____． 【答案】7【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+21m =7， 故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．16．分解因式：4ax 2-ay 2=________________.【答案】a （2x+y ）（2x-y ）【解析】【分析】首先提取公因式a ，再利用平方差进行分解即可．【详解】原式=a （4x 2-y 2）=a （2x+y ）（2x-y ），故答案为a （2x+y ）（2x-y ）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17．因式分解：223ax 12ay -=______．【答案】()()3a x 2y x 2y +-【解析】【分析】先提公因式3a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】原式()223a x 4y =-()()3a x 2y x 2y =+-，故答案为：()()3a x 2y x 2y +-．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．若()2242x ax x ++=-，则a =_____．【答案】-4【解析】【分析】直接利用完全平方公式得出a 的值．【详解】解：∵()2242x ax x ++=-，∴4a =-故答案为：4-【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．19．已知x 2+2x ＝3，则代数式（x +1）2﹣（x +2）（x ﹣2）+x 2的值为_____．【答案】8【解析】【分析】利用完全平方公式及平方差公式把原式第一项和第二项展开，去括号合并同类项得到最简结果，把x 2+2x ＝3代入即可得答案.【详解】原式=x 2+2x+1-(x 2-4)+x 2=x 2+2x+1-x 2+4+x 2=x 2+2x+5.∵x 2+2x ＝3，∴原式=3+5=8.故答案为8【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．20．若=2m x ，=3n x ，则2m n x +的值为_____.【答案】18【解析】【分析】先把x m+2n变形为x m（x n）2，再把x m=2，x n=3代入计算即可．【详解】∵x m=2，x n=3，∴x m+2n=x m x2n=x m（x n）2=2×32=2×9=18；故答案为18．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．。
人教版2020-2021八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解单元综合培优提升训练题(附答案)
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………人教版2020-2021八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解单元综合培优提升训练题（附答案）一、单选题1．下列代数式符合表中运算关系的是（ ）.a0.5 3 b0.253 运算结果 1 3A ．1ab -B ．21a b -C ．2a bD ．12a b -2．计算(-2)1999+(-2)2000等于( )A ．-23999B ．-2C ．-21999D ．219993．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a 2+b 2+c 2—ab －bc －ca 的值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．34．当a <0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n 的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 5．设2020x y z ++=，且201920202021x y z ==，则3333x y z xyz ++-=（ ） A ．673B ．20203C ．20213D ．6746．已知2210x x +-=，则4252x x x -+的值为（ ） A ．0B ．1-C ．2D ．17．如图，在长方形ABCD 中放入一个边长为8的大正方形ALMN 和两个边长为6的小正方形(正方形DEFG 和正方形HIJK )．3个阴影部分的面积满足31222S S S +-=，则长方形ABCD 的面积为( )A ．100B ．96C ．90D ．868．已知(x －2015)2＋(x －2017)2＝34，则(x －2016)2的值是( ) A ．4B ．8C ．12D ．16○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………9．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-；…已知按一定规律排列的一组数：1001011021992002,2,2,,2,2，若1002S =，用含S 的式子表示这组数据的和是( ) A ．22S S -B ．22S S +C ．222S S -D ．2222S S --10．有足够多的如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼成一个长为(2)a b +，宽为()a b +的长方形，则需要A 、B 、C 类卡片的张数分别为( )A ．1、2、3B ．2、1、3C ．1、3、2D ．2、3、111．若m 、n 、p 是正整数，则()pm na a ⋅等（ ）A ．m np a a ⋅B ．mp np a +C ．nmp aD ．mp an a ⋅ 二、填空题 12．计算：=_____．13．如果＜0，那么________．14．已知（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，则（a ﹣2017）2的值是 .15．在实数范围内分解因式：4244x x -+=_____________． 16．已知2b ac =，2a b x +=，2c by +=，求a c x y +的值_______．17．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、⋯、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是____．18．计算：248(21)(21(21)(21)++++）=_____.（结果中保留幂的形式）19．如图，有一张边长为x 的正方形ABCD 纸板，在它的一个角上切去一个边长为y 的正方形AEFG ，剩下图形的面积是32，过点F 作FH ⊥DC ，垂足为H.将长方形GFHD 切下，与长方形EBCH 重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD 的面积是____.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………20．已知a +1a =7，则a 2+21a的值是_________． 21．多项式x 2-x+k 恰能分解成两个多项式之积，其中一个为x-2,则k=____ 22．在实数范围内因式分解：22967x y xy --=__________．三、解答题23．你能求（x 一1）（x 99+x 98+x 97+…+x+1）的值吗?遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形人手，分别计算下列各式的值． （1）（x －1）（x+1） =_____________； （2）（x —1）（ x 2+x+1） =_____________； （3）（x －1）（x 3+ x 2+x+1） =____________； …由此我们可以得到：（4）（x 一1）（ x 99+x 98+x 97+…+x+1） =___________， 请你利用上面的结论，完成下列的计算： （5）299+298+297+…+2+1；24．（1）若2213m n +=，3m n +=，求mn 的值；（2）请仿照上述方法解答下列问题：若22(2017)(2019)5a b a b --+-+=，求代数式2019(2017)(2019)a b a b ---+的值.25．分解因式：22232108x xy y x y --++-.26．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点()0A a ，点，()0B b ，，且a b 、满足24420a a a b -++-=，点P 在直线AB 的左侧，且45APB ∠=． （1）求a b 、的值；（2）若点P 在x 轴上，求点P 的坐标；○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………27．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放,测得的线段长度如图所示，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子.（1）用含有a ，b 的代数式表示该长方体盒子的体积，并化简. （2）若a=12，b=2，求此长方体盒子的体积.28．已知222323,49a ab ab b -=+=，求整式2283a b +的值. 29．已知13x x +=，求21()x x-和441x x +的值. 30．因式分解: (1) 1－x 2＋2xy －y 2 (2) 25(x +y)2－36（x －y )2 31．我们来定义下面两种数（1）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数＝（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数：例如：对于整数251．它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1．∵22+12＝5，∴251是一个平方和数，又例如：对于整数3254，它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，∵32+42＝25∴3254是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数； （2）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数＝2×最左边数×最右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，∵2×1×3＝6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，∵2×3×5＝30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………b 表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：①若一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为 ；若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为 ；②若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则a ，b 应满足什么数量关系？请说明理由．③若625a b （即这是个最左边数为a ，中间数为625，最右边数为b 的整数，以下类同）是一个平方和数，600a b 是一个双倍积数，a +b 的值为 ，a ﹣b 的值为 ，a 2﹣b 2的值为 ．32．阅读下面的文字,回答后面的问题： 求的值.解：令将等式两边同时乘以5得到:②-①得:∴即问题:(1)求的值； (2)求的值.33．探究题：（1）问题发现：如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE .填空：①AEB ∠的度数为______（直接写出结论，不用证明）. ②线段AD 、BE 之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）. （2）拓展探究：如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE .请判断AEB ∠的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题：在（2）问的条件下，若AD x y =+，CM x y =-，试求ABE ∆的面积（用x ，y 表示）.34．在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知2()49a b -=，18ab =，求代数式22a b +的值．可以这样思考：因为2()49a b -=，18ab = 所以22249a b ab +-= 即2221849a b +-⨯= 所以224921885a b +=+⨯= 举一反三：（1）已知2()12a b -=，2()28a b +=，求ab 的值．（2）已知14a a+=， 则441a a+的值．（3）已知21x x +=，求432222019x x x x +--+的值．参考答案1．B【解析】试题分析：根据表格所给的数，代入A可知0.5×0.25-1=2，故不正确；代入B可得0.52×0.25-1=0.5×4=1，32×3-1=3，故正确；代入C可知0.52×0.25=0.0625，故正确；代入D可知0.5-1×0.252=0.125，故不正确.故选：B.点睛：此题主要考察了代数式的化简求值，解题关键是利用表格数值直接向各式中代入即可，且注意负整数指数1(0)ppa aa-=≠的应用.2．D【解析】【分析】把(-2)2000分解成(-2)1999×(-2)1，然后再提取公因式(-2)1999，然后就得出次答案.【详解】(-2)1999+(-2)2000=(-2)1999+(-2)1999×(-2)1=(-2)1999×(1-2)=(-2)1999×(-1)=21999所以，除了D，其他选项都错.故正确选项为：D.【点睛】此题考核知识点：同底数幂乘法公式a m∙a n=a m+n的运用. 解题的关键:借助公式，灵活将式子变形，运用提公因式，便可以得出结果.3．D【解析】【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac＝a （a ﹣b ）+b （b ﹣c ）+c （c ﹣a ）当a ＝2012x +2011，b ＝2012x +2012，c ＝2012x +2013时，a -b =－1，b －c =－1，c －a =2，原式＝（2012x +2011）×（﹣1）+（2012x +2012）×（﹣1）+（2012x +2013）×2 ＝﹣2012x ﹣2011﹣2012x ﹣2012+2012x ×2+2013×2 ＝3． 故选D ． 【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目． 4．A【解析】（－a ）5·（－a ）2n =（－a ）2n+5，因为a <0，所以－a >0，所以（－a ）2n+5>0，故选A ． 5．B 【解析】 【分析】 令201920202021x y za ===，可将x 、z 的值用y 与a 表示，利用2020x y z ++=求出a 的值，然后将所求的式子化简成只含有y 与a 的式子，再代入求解即可. 【详解】 设201920202021x y za === 则2019,2020,2021x a y a z a x y a z y a ===⎧⎪=-⎨⎪=+⎩将x ，y ，z 的值代入2020x y z ++=可得：2019202020212020a a a ++= 解得：13a =33223223()()(2)33x y a y a y ay a y ay a y a =-=--+=-+- 33223223()()(2)33z y a y a y ay a y ay a y a =+=+++=+++223233()()3()33xyz y y a y a y y a y a y =-+=-=- 3333x y z xyz ∴++-32233322332(33)(33)(33)y ay a y a y y ay a y a y a y =-+-+++++-- 29a y = 292020a a =⋅3192020()3=⨯⨯20203= 故选：B. 【点睛】本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令201920202021x y za ===求出x ，y ，z 之间的等式关系是解题关键. 6．A 【解析】 【分析】先利用已知条件得到x 2＝1－2x ，利用整体代入得到原式＝2(12)5(12)+2x x x ---，利用多项式乘多项式得到原式＝21445102x x x x -+-++，再将x 2＝1－2x 代入进而可求得答案． 【详解】解：∵2210x x +-=， ∴212x x =-，∴42252(12)5(12)+2x x x x x x -+=---21445102x x x x =-+-++ 844(12)x x =-+-8448x x =-+-0=，故选：A ．【点睛】本题考查了整体代入的方法，整式乘法的运算法则，灵活运用整体思想及熟练掌握整式乘法的运算法则是解决本题的关键． 7．C 【解析】 【分析】设长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，则由已知及图形可得1S ，2S ，3S 的长、宽及面积如何表示，根据312219S S S +-=，可整体求得ab 的值，即长方形ABCD 的面积． 【详解】解：设长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，则由已知及图形可得：1S 的长为：862-=，宽为：8b -，故12(8)S b =-2S 的长为：8614a a +-=-，宽为：6612b b +-=-，故2(14)(12)S a b =--；3S 的长为：8a -，宽为：6b -，故3(8)(6)S a b =--．∵31222S S S +-=，2(8)(6)2(8)(14)(12)19a b b a b ∴--+----=整理得882ab ∴-= 90ab ∴=故选：C ． 【点睛】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 8．D 【解析】(x －2 015)2＋(x －2 017)2 =(x －2 016+1)2＋(x －2 016-1)2=22(2016)2(2016)1(2016)2(2016)1x x x x -+-++---+=22(2016)2x -+=34∴2(2016)16x -=故选D.点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把(x －2 015)2＋(x －2 017)2化为 (x －2 016+1)2＋(x －2 016-1)2，利用完全平方公式展开，化简后即可求得(x －2 016)2的值，注意要把x-2016当作一个整体.9．A【解析】【分析】由题意得出()100101102199200991010002222222=122+++++++++，再利用整体代入思想即可得出答案．【详解】解：由题意得：这组数据的和为：10010110219920022222+++++()00100991=21222++++ ()100101=2122+-()100101=221- ()100100=2221⨯-∵1002S =，∴原式=()2212S S S S ⨯-=-, 故选：A ．【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：3112222222=2n n n -++++++-，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．10．B【解析】拼成大长方形的面积是(2a+b)(a+b)=2a 2+3ab+b 2，即需要2个边长为a 的正方形，1个边长为b 的正方形，3个边长分别为a ，b 的长方形卡片.【详解】解：∵(2a+b)(a+b)=2a 2+2ab+ab+b 2=2a 2+3ab+b 2∴需要A 、B 、C 类卡片的张数分别为：2，1，3.故选：B【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，利用各个面积之和等于总面积解决问题，数形结合是解答此题的关键.11．B【解析】试题分析：根据同底数幂相乘以及幂的乘方，可知()p m n a a ⋅=()()p m n p m n mp np a a a +++==.故选：B12．1【解析】【分析】根据平方差公式可以使本题解答比较简便.【详解】解：====1.【点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算.【解析】∵＜0,∴a、b 是异号，①当a<0时，则b>0,所以1,1,1a ab b ab a b ab ab-=-===- 所以1111aab b a b ab++=-+-=-； ②当a>0时，b<0,所以1,1,1aab b ab a b ab ab -==-==-， 所以1111aab b a b ab++=-+-=-; 故答案是：-1.14．9【解析】（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，（a ﹣2016）2+（a －2018）2=20，令t =a －2017，∴（t +1）2+（t －1）2=20,2t 2=18，t 2=9，∴（a ﹣2017）2=9.故答案为9. 点睛：掌握用换元法解方程的方法.15．22(2)(2)x x +【解析】首先利用完全平方公式进行因式分解，然后利用平方差公式进行因式分解即原式=()222x -=((2222x x -+. 16．2【解析】【分析】 由2a b x +=，2c b y +=得12x a b =+，12y c b =+，据此将原式变形为2a a b ++2c c b +进行化简变形即可得出答案.【详解】∵2a b x +=，2c b y +=， ∴12x a b=+，12y c b =+， ∴a c x y +=2a a b ++2c c b +=()()()222ab ac c a b a b b c +++++， ∵2b ac =，∴原式=()()()2222ab b c a b a b b c +++++=()()()()22b a b c a b a b b c +++++=()2b c b c++=2. 所以答案为2.【点睛】本题主要考查了代数式的变形，熟练掌握相关概念是解题关键.17．22a a -【解析】【分析】由等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-，得出规律：231222222n n ，那么505152991002222223100(2222)2349(2222)，将规律代入计算即可．【详解】解：232222；23422222++=-；2345222222+++=-；⋯231222222n n ， 5051529910022222231002349(2222)(2222)10150(22)(22) 1015022，10150222(2)22a ，∴原式22a a =-，故答案是：22a a -．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．18．216﹣1．【解析】【分析】观察式子，显然可用平方差公式简便计算，但要在（2+1）的前面拼凑因数（2﹣1），而2﹣1=1，不影响算式的结果．【详解】原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1．故答案为：216﹣1．【点睛】通过观察式子的特点，注意凑成平方差公式可简便计算．19．36.【解析】【分析】根据题意列出2232,8x y x y -=+=，求出x-y=4，解方程组得到x 的值即可得到答案.【详解】由题意得： 2232,8x y x y -=+= ∵22()()x y x y x y -=+-，解方程组48x y x y -=⎧⎨+=⎩，得62x y =⎧⎨=⎩， ∴正方形ABCD 面积为236x =，故填：36.【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可. 20．47【解析】分析：本题考查的是完全平方公式的运用. 解析：∵222112,a a a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭+1a =7，∴22217247.a a +=-= 故答案为47. 点睛：本题的关键是灵活运用完全平方公式， 222112,a a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭本题还运用了整体带入的思想.21．-2【解析】试题分析：根据乘法公式2()()()x p q x pq x p x q +++=++可知-2+q=-1，-2×q=k，解得q=1，代入可得k=-2.22．11933xy xy ⎛⎫⎛+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为222189399x y xy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.【详解】解：22967x y xy --2227=939x y xy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 222117=9+3999x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 218=939xy ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11=93333xy xy ⎛⎫⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=9xy xy ⎛- ⎝⎭⎝⎭故答案为：11933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.23．（1）21x - ； （2）31x -； （3）41x -；（4）1001x -；（5）10021-．【解析】【分析】（1）直接运用平方差公式计算即可；（2）（3）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（4）根据（1）（2）（3）总结规律，运算规律即可解答；（5）将299+298+297+…+2+1写成（2-1）(299+298+297+…+2+1)，再利用规律解答即可．【详解】解：（1）（x －1）（x+1） =21x - ；（2）（x —1）（ x 2+x+1） =31x -；（3）（x －1）（x 3+ x 2+x+1） =41x -；(4) （x 一1）（ x 99+x 98+x 97+…+x+1）=1001x -(5) 299+298+297+…+2+1=（2-1）(299+298+297+…+2+1)=10021-．【点睛】本题考查整式的混合运算能力以及分析、总结和归纳能力，掌握多项式乘多项式运算法则并总结出代数式的规律是解答本题的关键．24．（1）﹣2；（2）﹣4038．【解析】【分析】（1）把m +n =3两边平方，利用完全平方公式化简，将m 2+n 2=13代入计算即可求出mn 的值； （2）利用完全平方公式求出（a ﹣b ﹣2017）（2019﹣a +b ）的值，代入原式计算即可求出值．【详解】（1）把m +n =3两边平方得：（m +n ）2=9，即m 2+n 2+2mn =9，把m 2+n 2=13代入得：2mn =﹣4，即mn =﹣2；（2）由题意得：4=[（a ﹣b ﹣2017）+（2019﹣a +b ）]2=（a ﹣b ﹣2017）2+（2019﹣a +b ）2+2（a ﹣b ﹣2017）（2019﹣a +b ），把（a ﹣b ﹣2017）2+（2019﹣a +b ）2=5代入得：（a ﹣b ﹣2017）（2019﹣a +b ）12=-， 则原式201912==--4038． 故答案为：﹣4038．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．25．(34)(2)x y x y -++-【解析】【分析】首先利用补项法再利用完全平方公式分解即可，再利用平方差公式分解得出．【详解】解：x 2-2xy-3y 2+2x+10y-8=x 2+（2x-2xy ）-3y 2+10y-8=x 2+2x （1-y ）-3y 2+10y-8=x 2+2x （1-y ）+（1-y ）2-（1-y ）2-3y 2+10y-8=[x+（1-y ）]2-1+2y-y 2-3y 2+10y-8=[x+（1-y ）]2-（4y 2-12y+9）=[x+（1-y ）]2-（2y-3）2=[x+（1-y ）-（2y-3）][x+（1-y ）+（2y-3）]=（x-3y+4）（x+y-2）．【点睛】此题是因式分解-双十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解．26．（1）a ＝2，b ＝4；（2）P （4，0）；（3）P （﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．【解析】【分析】（1）将244a a -+利用完全平方公式变形得到（a-2）2+|2a-b|＝0，即可求出a 、b 的值； （2）由b 的值得到OB=4，根据45APB ∠=得到OP=OB=4，即可得到点P 的坐标； （3）由45APB ∠=可分两种情况求使ABP ∆为直角三角形，当∠ABP ＝90°时，当∠BAP ＝90°时，利用等腰三角形的性质证明三角形全等，由此得到点P 的坐标.【详解】（1）∵a 2-4a+4+|2a-b|＝0，∴（a-2）2+|2a-b|＝0，∴a ＝2，b ＝4．（2）由（1）知，b ＝4，∴B （0，4）．∴OB ＝4．∵点P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB ＝45°∴OP ＝OB ＝4，∴P （4，0）．（3）由（1）知 a ＝﹣2，b ＝4，∴A（2,0），B（0,4）∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP＝45°.∴AB＝PB .过点P 作PC⊥OB 于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90 °，∴∠ABO＝∠BPC .在△AOB 和△BCP 中，AOB BCP90ABO BPCAB PB︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB≌△BCP(AAS) .∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2 .∴OC＝OB﹣BC＝2.②当∠BAP ＝90°时，过点P'作P'D ⊥OA 于D ，同①的方法得，△ADP'≌△BOA.∴DP'＝OA ＝2，AD ＝OB ＝4.∴OD ＝AD ﹣OA ＝2.∴P'（﹣2，-2）.即：满足条件的点P （﹣4，2）或（﹣2，﹣2）.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，完全平方公式，三角形全等的判定及性质，分类讨论直角三角形形成的点的坐标.27．（1）234ab b - (2) 10 【解析】【分析】（1）由题意可：折成一个无盖的长方体盒子的长、宽都为b ，高为4a b -，由此列式得出答案即可．（2）把a=12，b=2代入（1）中求得的代数式求值即可.【详解】（1）由题意知，折成的长方体盒子长、宽都为b ，高为4a b -， 故此长方体盒子的体积是：b 2•4a b -＝234ab b -． （2）当a=12，b=2时，234ab b - =2312224⨯-=10 答：长方体盒子的体积为10.【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确得出长方体的长、宽、高是解题关键．【解析】【分析】先观察已知代数式中都含有ab 项，而所求代数式中没有ab 项，则将第一个等式两边乘以4，第二个等式两边乘以3，两个等式相加可把含ab 的项消去，即可求解.【详解】解：∵22323a ab -=①，∴①4⨯得：281292a ab -=，∵249ab b +=②，∴②3⨯得：212327ab b +=，①+②得：2839227=119+=+a b ，所以，整式的值为119.故答案为119.【点睛】本题考查了代数式求值，技巧性较高.由于不容易求出a 、b 的值，故可考虑等量转换的方法. 29．5；47【解析】【分析】 把已知条件13x x+=两边平方，利用完全平方公式展开，然后整理即可得到221x x +的值；与221x x +的值的过程同理可求441x x +的值. 【详解】22211()()4345x x x x-=+-=-=； ∵221()3x x+=， ∴22129x x ++=，即2217x x+=，∴2422421127247 x xx x⎛⎫+=+-=-=⎪⎝⎭【点睛】本题考查了完全平方公式，利用1xx和互为倒数乘积是1是解题的关键，完全平方公式：()2222a b a ab b±=±+．30．（1）(1+x-y)(1-x+y)；（2）（11x-y）（-x+11y）.【解析】【分析】（1）变形为1－(x2-2xy+y2)，再利用完全平方公式可变为1－(x-y)2，最后用平方差公式分解即可；（2）利用平方差公式分解因式.【详解】（1）1－x2＋2xy－y2 =1－(x2-2xy+y2)= 1－(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y)；（2）25(x+y)2－36（x－y)2=[5（x+y）]2-[6（x-y）]2=[5（x+y）+6（x-y）][ 5（x+y）-6（x-y）]=（11x-y）（-x+11y）.故答案是：（1）(1+x-y)(1-x+y)；（2）（11x-y）（-x+11y）.【点睛】本题考查了用公式法分解因式，关键是熟悉公式的特点，根据公式特点进行有目的的变形．31．①390，241或142；②a＝b，理由详见解析；③35，±5，±175【解析】【分析】①根据题意构造a、b关系式计算即可；②根据定义，这个整数既为平方和数，又是双倍积数则有a2+b2=2ab，由完全平方公式问题可解；③根据定义可知a2+b2=625，2ab=600，再由完全平方公式和平方差公式问题可解；【详解】解：①若一个三位整数为平方和数，且十位数为9由已知9＝a2+b2由a、b为0﹣9整数，则试数可知a＝0，b＝3或a＝3，b＝0由于百位数字不能为0故此数为390若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为44＝2ab，即ab＝2由a、b为0﹣9整数则a＝2，b＝1或a＝1，b＝2则此数为241或142故答案为390，241或142②a＝b若一个整数既为平方和数，又是双倍积数则有a2+b2＝2ab∴（a﹣b）2＝0则a＝b③若625a b是一个平方和数∴a2+b2＝625若600a b是一个双倍积数∴2ab＝600∴a2+b2+2ab＝625+600＝1225＝352a2+b2﹣2ab＝625﹣600＝25＝252∴a+b＝35a﹣b＝±5∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝±175故答案为35，±5，±175【点睛】本题考查因式分解相关问题，涉及到完全平方公式和平方差公式，解答时注意按照题意构造等式.32．（1）（2）【解析】【分析】 （1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.【详解】解：（1）令将等式两边同时乘以2得到:②-①得: ∴即 （2）令将等式两边同时乘以3得到: ②-①得:【点睛】此题重点考察学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键. 33．（1）①60AEB ∠=︒；②AD BE =；（2）90AEB =︒∠，2AE BE CM =+， 理由见解析； （3）223122x xy y +-. 【解析】【分析】（1）由条件易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数；（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD ＝BE ；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM ＝DM ＝ME ，从而证到AE ＝2CH ＋BE ；（3）由（2）知，BE ＝AD ＝x ＋y ，AE ＝BE ＋2CM ＝x ＋y ＋2（x−y ）＝3x−y ，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°．∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．∴∠ADC ＝∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝60°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝120°．∴∠BEC ＝120°．∴∠AEB ＝∠BEC −∠CED ＝60°．②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ．故答案为①60AEB ∠=︒.②AD BE =.（2）猜想：①90AEB =︒∠，②2AE BE CM =+.理由如下：如图，∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴CA CB =，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒.∴ACD BCE ∠=∠.在ACD ∆和BCE ∆中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACD BCE SAS ∆≅∆，∴AD BE =，ADC BEC ∠∠=.∵DCE ∆为等腰直角三角形，∴45CDE CED ∠=∠=︒.∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴135ADC ∠=︒，∴135BEC ∠=︒.∴90AEB BEC CED ∠=∠-∠=︒.∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =.∵90DCE ∠=︒，∴DM ME CM ==，∴2AE AD DE BE CM =+=+.（3）由（2）知，BE AD x y ==+，()223AE BE CM x y x y x y =+=++-=-，∴12AEB S AE BE ∆=⋅ ()()132x y x y =+- 223122x xy y =+-.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．34．（1）4；（2）194；（3）2018【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据1a 4,a+=可得到21a （）+a ，然后再根据21a （）+a 得到441a +a；（3）把432222019x x x x +--+局部进行提取公因式，然后将21x x +=整体代入即可【详解】（1）因为（a-b ）2=12, （a+b ）2=18所以（a+b ）2-（a-b ）2＝28-12所以 a ２+b ２+2ab-( a ２+b ２-2ab)＝１6即 4ab=16ab=4 （2）因为1a 4,a +=所以21a 16,a （）+= 所以2211216a a a a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以221a 216,a ++=所以221a 14a ，+=所以221a 196a +=（），所以441a 2196a ++=， 所以441a 194a +=， （3）因为21x x +=，所以432222019x x x x +--+＝433222019++--+x x x x x＝2232)2201(9++--+x x x x x x＝23222019+--+x x x x＝22)(22019+--+x x x x x＝222019--+x x x＝22019--+x x＝2()2019-++x x＝-1+2019＝2018【点睛】能够读懂题意，学会运用整体思想解题是本题关键。
人教版八年级上册数学《整式的乘除与因式分解》单元测试卷(含答案)
人教版八年级上册数学《整式的乘除与因式分解》单元测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A 、﹣12B 、﹣32C 、38D 、722.利用因式分解计算：2100﹣2101=（ ）A 、﹣2B 、2C 、2100D 、﹣21003.设x 为正整数，若1x +是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）A.xB.1x -C.1x -D.2x -4.如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）A.1a +B.21a +C.221a a ++D.1a +5.因式分解：1﹣4x 2﹣4y 2+8xy ，正确的分组是（ ）A 、（1﹣4x 2）+（8xy ﹣4y 2）B 、（1﹣4x 2﹣4y 2）+8xyC 、（1+8xy ）﹣（4x 2+4y 2）D 、1﹣（4x 2+4y 2﹣8xy ）6.观察下列各式：①abx ﹣adx ；②2x 2y+6xy 2；③8m 3﹣4m 2+2m+1；④a 3+a 2b+ab 2﹣b 3；⑤（p+q ）x 2y ﹣5x 2（p+q ）+6（p+q ）2；⑥a 2（x+y ）（x ﹣y ）﹣4b （y+x ）．其中可以用提公因式法分解因式的有（ ）A 、①②⑤B 、②④⑤C 、②④⑥D 、①②⑤⑥7.如果ax （3x ﹣4x 2y+by 2）=6x 2﹣8x 3y+6xy 2成立，则a 、b 的值为（ ）A 、a=3，b=2B 、a=2，b=3C 、a=﹣3，b=2D 、a=﹣2，b=38.把多项式ac ﹣bc+a 2﹣b 2分解因式的结果是（ ）A 、（a ﹣b ）（a+b+c ）B 、（a ﹣b ）（a+b ﹣c ）C 、（a+b ）（a ﹣b ﹣c ）D 、（a+b ）（a ﹣b+c ）9.下列哪项是x 4+x 3+x 2的因式分解的结果（ ）A 、x 2（x 2+x ）B 、x （x 3+x 2+x ）C 、x 3（x+1）+x 2D 、x 2（x 2+x+1）10.直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为（ ）A 、182B 、180C 、32D 、30二 、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.计算：332(3)_____a a ⋅=12.已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ．13.如果2(1)(5)x x ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为_________．14.2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=15.若2310x x x +++=，那么220081x x x +++⋅⋅⋅+=三 、解答题（本大题共7小题，共55分）16.计算：⑴222(30.5)a b ab + ⑵2(1113)m n a b - ⑶2(25)(52)(25)x x x ----17.⑴化简：()()2121x x ++- ⑵化简：()()()12282a b a b b a b +---18.分解因式：⑴256x x ++⑵256x x -+ ⑶276x x ++ ⑷276x x -+19.分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-20.分解因式：325153x x x --+21.比较n a 与2n a +（a 为正数，n 为正整数）的大小．22.分解因式：22()4a b ab c -+-人教版八年级上册数学《整式的乘除与因式分解》单元测试卷答案解析一、选择题1.原式=（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）=（13x﹣17）（8x﹣8）∵可以分解成（ax+b）（8x+c），∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，∴a+b+c=﹣12．故选A．2.D；2100﹣2101=2100﹣2100×2=2100（1﹣2）=﹣2100．故选D．3.D；设21y x=+，则y=22(1)21112y y y x x-=-+=+-=-，故选D．4.D；∵自然数a是一个完全平方数，∴a a的算术平方根大11，∴这个平方数为：21)1a=+．故选D．5.D；1﹣4x2﹣4y2+8xy=1﹣（4x2+4y2﹣8xy）．6.D7.B8.A；ac﹣bc+a2﹣b2=c（a﹣b）+（a﹣b）（a+b）=（a﹣b）（a+b+c）．9.D10.A；设另一条直角边的长度为x，斜边的长度z，则z2﹣x2=132，且z＞x，∴（z+x）（z﹣x）=169×1，∴{z+x=169z﹣x=1，∴三角形的周长=z+x+13=169+13=182．故选A．二、填空题11.546a12.248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．13.解：原式=32(15)4x a x ax a +--+∵不含2x 项，∴150a -=，解得15a =14.原式211111************n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4411121222n n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．15.解：原式235232005231(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋅⋅⋅++++=三 、解答题16.⑴222423324(30.5)930.25a b ab a b a b a b +=++；⑵222(1113)121286169m n m m n n a b a a n b -=-+；⑶22222(25)(52)(25)(25)(25)2(25)84050x x x x x x x x ----=----=--=-+-.17.⑴23x +；⑵ 212a ab -18.⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --19.222(1)1(1)(1)a b b b b a b b -+-+-=--+20.322251535(3)(3)(51)(3)x x x x x x x x --+=---=--或322225153(51)3(51)(51)(3)x x x x x x x x --+=---=--21.方法１∵0a >，n 为正整数，∴0n a >，∵22n n a a a +=⋅，∴分三种情况：①当1a >，则21a >，2n n a a +>；②当1a =，则21a =，2n n a a +=③当01a <<，则21a <，则2n n a a +<．方法2∵0a >，n 为正整数，∴0na >，∵22n n a a a +=, ∴分三种情况：①当1a >，则21a >，2n n a a +>；②当1a =，则21a =，2n n a a +=； ③当01a <<，则21a <，则2n n a a +<．22.22()4a b ab c -+- 22224a ab b ab c =-++-222222()a ab b c a b c =++-=+- ()()a b c a b c =+-++。
人教版八年级数学上册 章节专项提高练习《整式的乘除与因式分解》(含答案)
2020年人教版八年级数学上册 章节专项提高练习《整式的乘除与因式分解》1.若(x ﹣2)(x 2+ax+b)的积中不含x 的二次项和一次项，求(2a+b+1)(2a ﹣b ﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b 的值.2.（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为 ．（2）若(4x ﹣y)2=9，(4x+y)2=169，求xy 的值．3.比较下列四个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”或“=”).(1)42+52_______2×4×5;(2)(-1)2+22_______2×(-1)×2;(3)(-3)2+312______2×(-3)×31; (4)32+32_______2×3×3;(5)请通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论.4.观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．5.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历](1)计算：(12+92)﹣(22+82)= ，﹣= ，自己任选一个有4个数的方框进行计算(2)通过计算你发现什么规律，并说明理由.6.阅读:已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.解:2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24.你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？8.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，对照两个图形的面积可以验证公式(填公式名称)请写出这个乘法公式.(2)应用(1)中的公式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2=15，x+2y=3，求x﹣2y的值；②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1.9.在形如a b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算.定义：如果23=8，所以log28=3：因为32=9，所以log39=2，根据以上信息回答下列问题：(1)计算：log381= ，log33= ，log636= ，log x16=4，则x= .(2)设a x=M，a y=N(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，猜想log a MN和log a的结果，并证明.(3)计算：①log2(2×4×8×16×32×64)；②log3；③log93+log927.10.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．参考答案1.解：(x﹣2)(x2+ax+b)=x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b=x3+(a﹣2)x2+(b﹣2a)x﹣2b，∵(x﹣2)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项，∴a﹣2=0且b﹣2a=0，解得：a=2、b=4，(2a+b+1)(2a﹣b﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b=(2a)2﹣(b+1)2﹣(a2﹣4b2)+2b=4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b=3a2+3b2﹣1，当a=2、b=4时，原式=3×22+3×42﹣1=12+48﹣1=59.2.解：（1）（b+a）2﹣（b﹣a）2=4ab（2）（4x+y）2﹣（4x﹣y）2=16xy=160，∴xy=10．3.解：(1)>.(2)>.(3)>.(4)=.(5)结论：对于任意有理数a，b，都有a2+b2≥2ab.当a≠b时，a2+b2>2ab；当a=b时，a2+b2=2ab.4.解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，故答案为：a2017﹣b20175.解：(1)(12+92)﹣(22+82)=1+81﹣4﹣64=14﹣=100+324﹣121﹣289=14，(32+112)﹣(42+102)=9+121﹣16﹣100=14，故答案为：14；(2)计算结果等于14，理由是：设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，所以[n2+(n+8)2]﹣[(n+1)2+(n+7)2]=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49=14.6.原式=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab,7.解：（1）找规律：2244120=⨯=-，22124342=⨯=-，22204564=⨯=-，22284786=⨯=-，…… 2220124503504502=⨯=- ，所以28和2012 都是神秘数．（2）()()()22222421k k k +-=+，因此由这两个连续偶数22k +和2k 构造的神秘数是4的倍数．（3）由（2）知，神秘数可以表示成()421k +，因为21k +是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为21n +和21n -，则()()2221218n n n +--=，即两个连续奇数的平方差是8的倍数． 因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．8.解：(1)图1中阴影部分面积为a 2﹣b 2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a ﹣b)， 对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b).故答案为：a 2﹣b 2，(a+b)(a ﹣b)，平方差，a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b).(2)①∵x 2﹣4y 2=(x+2y)(x ﹣2y)，∴15=3(x ﹣2y)，∴x ﹣2y=5；②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1=(264﹣1)(264+1)+1=2128﹣1+1=2128.9.解：(1)log 381=log 334=4，log 33=1，log 636=log 662=2，log x 16=4，则x=2；答案为：4；1；2；2；(2)log a MN=log a M+log a N ；log a =log a M ﹣log a N ；证明：log a MN=log a a x •a y =log a a x+y =x+y ；log a M+log a N=x+y ，则log a MN=log a M+log a N ； log a =log a =log a a x ﹣y =x ﹣y ；log a M ﹣log a N=x ﹣y ，则log a =log a M ﹣log a N ；(3)①原式=log22+log24+log28+log216+log232+log264=1+2+3+4+5+6=21；②原式=log3243﹣log381=5﹣4=1；③原式=log93×27=log981=2.一、综合题10.解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=﹣1，a=3，则a﹣b=4；（2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（2）∵x+y=2，∴y=2﹣x，则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，则x﹣1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=﹣2，∴xyz=2．。
初二数学《整式的乘除与因式分解》习题(含答案)
整式的乘除与因式分解一、选择题1．下列计算中，运算正确的有几个（）(1) a5+a5=a10(2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3A、0个B、1个C、2个D、3个2．计算（-2a3）5÷(-2a5)3的结果是（）A、— 2B、2 C、4 D、—4 3．若，则的值为（）A． B．5 C． D．2 4．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。
A、2B、-2C、±2D、±4 5．如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．(a-b)2=a2-2ab+b2D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b26．已知()b-2a3,则与的值分别=+2ba7, ()=是（）A. 4,1B. 2,32C.5,1D. 10, 32二、填空题1．若2,3=-=+ab b a ，则=+22b a ，()=-2b a2．已知a －1a =3，则a 2＋21a的值等于 · 3．如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方式，则常数k ＝________________；4．若⎩⎨⎧-=-=+31b a b a ，则a 2－b 2＝ ；5．已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝________________；6、如果一个单项式与的积为-34a 2bc,则这个单项式为________________； 7、（－2a 2b 3）3 （3ab+2a 2）=________________；8、()()()()=++++12121212242n ________________；9、如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________（单位：mm ）。
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．已知a ＝2018x ＋2018，b ＝2018x ＋2019，c ＝2018x ＋2020，则a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】【分析】 把已知的式子化成12[（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2]的形式，然后代入求解即可． 【详解】原式=12（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2ac-2bc ） =12[（a 2-2ab+b 2）+（a 2-2ac+c 2）+（b 2-2bc+c 2）] =12[（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2] =12×（1+4+1） =3，【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．3．下列计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．352()a a =C ．527a a a ⋅=D ．2222a a -= 【答案】C【解析】【详解】解：A. 222a a 2a +=，故A 错误；B. ()326a a =，故B 错误；C. 527a a a ⋅=，正确；D. 2222a a a -=，故D 错误；故选C4．如果x m =4，x n =8（m 、n 为自然数），那么x 3m ﹣n 等于（ ）A ．B ．4C ．8D ．56【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则可知：指数相减可以化为同底数幂的除法，故x 3m ﹣n 可化为x 3m ÷x n ，再根据幂的乘方可知：指数相乘可化为幂的乘方，故x 3m =（x m ）3，再代入x m =4，x n =8，即可得到结果．【详解】解：x 3m ﹣n =x 3m ÷x n =（x m ）3÷x n =43÷8=64÷8=8， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，关键是熟练掌握同底数幂的除法与幂的乘方的计算法则，并能进行逆运用．5．把228a -分解因式，结果正确的是( )A ．22(4)a -B ．22(2)a -C ．2(2)(2)a a +-D ．22(2)a +【答案】C【解析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.【详解】228a -=22(4)a -=2(2)(2)a a +-，故选C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提(公因式)，二套(公式)，三彻底.6．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A ．60B ．30C ．15D ．16 【答案】B【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b ，ab ，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b ）=10，ab=6，则a+b=5，故ab 2+a 2b=ab （b+a ）=6×5=30．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．7．若（x 2-x +m ）（x -8）中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A ．8B ．-8C ．0D ．8或-8【答案】B【解析】（x 2-x +m ）（x -8）=322328889(8)8x x mx x x m x x m x m -+-+-=-++-由于不含一次项，m+8=0,得m=-8.8．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()2444x x x -=+- B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()22212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可.【详解】A. ()()2422x x x -=+-，故不正确； B. 221x x +-在实数范围内不能因式分解，故不正确；C. ()()()222x 2x 2=12x 1x 1--=+-，正确； D. ()22212x x x x -+=-+的右边不是积的形式，故不正确； 故选C.【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.10．下列运算中正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．()325a a =C ．226235a a a +=D ．()()22224a b a b a b +--=【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A 和B ，根据合并同类项，可判断C ，根据平方差公式，可判断D ．【详解】A. 底数不变指数相加，故A 错误；B. 底数不变指数相乘，故B 错误；C. 系数相加字母部分不变，故C 错误；D. 两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D 正确；故选D.【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．因式分解：a 3-9ab 2=__________．【答案】a （a -3b ）（a +3b ）【解析】【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】a 3-9ab 2=a （a 2-9b 2）=a （a-3b ）（a+3b ）．故答案为：a （a-3b ）（a+3b ）．【点睛】本题考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．12．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.13．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．14．已知25,23a b==，求2a b +的值为________.【答案】15．【解析】【分析】逆用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．【详解】解：∵2a =5，2b =3，∴2a+b =2a ×2b =5×3=15．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了n(a b)(n +为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：0(a b)1+=，它只有一项，系数为1；系数和为1； 1(a b)a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；222(a b)a 2ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223(a b)a 3a b 3ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；⋯，则n (a b)+的展开式共有______项，系数和为______．【答案】n 1+ n 2【解析】【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b ）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b ）n 的项数以及各项系数的和即可．【详解】根据规律可得，（a+b ）n 共有（n+1）项，∵1=201+1=211+2+1=221+3+3+1=23∴（a+b ）n 各项系数的和等于2n故答案为n+1，2n【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．16．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．【答案】()23a x y -【解析】根据题意，先提公因式，再根据平方差公式分解即可得：()()22222363323ax axy ay a x xy y a x y -+=-+=-. 故答案为()23a x y -.17．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________．【答案】7或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．详解：∵x 2+2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．18．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).19．若=2m x ，=3n x ，则2m n x +的值为_____.【答案】18【解析】【分析】先把x m+2n 变形为x m （x n ）2，再把x m =2，x n =3代入计算即可．【详解】∵x m =2，x n =3，∴x m+2n =x m x 2n =x m （x n ）2=2×32=2×9=18；故答案为18．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．20．光的速度约为3×105 km/s,太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107 s 计算,则这颗恒星到地球的距离是_______km.【答案】3.6×1013【解析】【分析】根据题意列出算式，再根据单项式的运算法则进行计算．【详解】依题意，这颗恒星到地球的距离为4×3×107×3×105，=（4×3×3）×（107×105），=3.6×1013km ．故答案为：3.6×1013.【点睛】本题考查了根据实际问题列算式的能力，科学记数法相乘可以运用单项式相乘的法则进行计算．。
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A 的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n 次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．下列运算正确的是（ ）A ．236•a a a =B ．()325a a =C ．23•a ab a b -=-D ．532a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则即可求出答案．【详解】A ．原式＝a 5，故A 错误；B ．原式＝a 6，故B 错误；C ．23•a ab a b -=-，正确；D ．原式＝a 2，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．120B ．60C ．80D ．40【答案】B【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．【详解】解：∵边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，∴a +b ＝6，ab ＝10，则a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝10×6＝60．故选：B ．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．已知4y 2+my +9是完全平方式，则m 为( )A ．6B ．±6C ．±12D ．12【答案】C【解析】【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m 的值即可．【详解】∵4y 2+my +9是完全平方式，∴m =±2×2×3=±12．故选：C ．【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.6．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．()()23x 3x 9x -+=-B ．()()()()y 1y 33y y 1+-=-+C ．()24yz 2y z z 2y 2z zy z -+=-+D ．228x 8x 22(2x 1)-+-=--【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是228x 8x 22(2x 1)-+-=--.其他不是因式分解:A,C 右边不是积的形式，B 左边不是多项式.故选D.【点睛】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．7．若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．43 B ．13 C ．43± D ．13± 【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得： kx=±2•2x•13， 解得k=±43． 故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键．8．已知三个实数a,b,c 满足a-2b+c=0，a+2b+c ＜0，则（ ）A ．b>0，b 2-ac ≤0B ．b ＜0，b 2-ac ≤0C ．b>0，b 2-ac ≥0D ．b ＜0，b 2-ac ≥0【答案】D【解析】【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为()24a c-，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b，∴a+2b+c=4b＜0，∴b＜0，∴a2+2ac+c2=4b2，即22 224a ac c b++=∴b2-ac=()22222220 444a ca ac c a ac cac-++-+-==≥，故选：D.【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 9．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（）A．3-，4-B．3-，4 C．3，4-D．3，4【答案】A【解析】【分析】根据题意可得规律为712a bab+=-⎧⎨=⎩，再逐一判断即可.【详解】根据题意得，a，b的值只要满足712a bab+=-⎧⎨=⎩即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.10．下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．a 12÷a 3=a 4B ．（3a 2）3=9a 6C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣ab+b 2D ．2a•3a=6a 2【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A 、原式=a 9，故A 选项错误，不符合题意；B 、原式=27a 6，故B 选项错误，不符合题意；C 、原式=a 2﹣2ab+b 2，故C 选项错误，不符合题意；D 、原式=6a 2，故D 选项正确，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．若a-b=1，则222a b b --的值为____________．【答案】1【解析】【分析】先局部因式分解，然后再将a-b=1代入，最后在进行计算即可.【详解】解：222a b b --=（a+b ）（a-b ）-2b=a+b-2b=a-b=1【点睛】本题考查了因式分解的应用，弄清题意、并根据灵活进行局部因式分解是解答本题的关键.12．已知212()02a b -++=，则20192020a b =__________． 【答案】12 【解析】【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得a 、b 的值，然后将20192020a b 转化为20192019()ab b ⋅的形式可求得.【详解】 ∵212()02a b -++= ∴a －2=0，12b +=0 解得：a=2，12b =- 20192020a b =20192019()a b b ⋅=()2019112⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1 2故答案为：12【点睛】 本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出a 、b 的值.13．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.14．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．15．已知2320x y --=，则23(10)(10)x y ÷＝_______．【答案】100【解析】【分析】根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.【详解】由已知可得2x-3y=2，所以()()231010x y ÷=102x ÷103y =102x-3y =102=100. 故答案为100.【点睛】此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.16．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________【答案】3322x x ⎛⎫⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.【详解】令2310x x +-=∴1x =2x =∴231x x +-=3322x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.17．因式分解：x 3﹣4x=_____．【答案】x （x+2）（x ﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x ，进而利用平方差公式分解因式．即x 3﹣4x=x （x 2﹣4）=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．因式分解：223ax 12ay -=______．【答案】()()3a x 2y x 2y +-【解析】【分析】先提公因式3a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】原式()223a x 4y =-()()3a x 2y x 2y =+-，故答案为：()()3a x 2y x 2y +-．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．19．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．【答案】a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．20．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.【答案】31-．【解析】首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．。
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解单元检测(提高,Word版 含解析)
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解单元检测（提高，Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案．【详解】解：设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2，∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ）∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，故选C ．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式．3．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B【解析】【分析】【详解】解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x-y ），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B ．4．已知20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，则222a b c ab ac bc ++---的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+分别求出a-b 、a-c 、b-c 的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.【详解】∵20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+， 20192019201920201a b x x -=+--=-20192019201920212a c x x -=+--=-20192020201920211b c x x -=+--=-∴222a b c ab ac bc ++---2221(222222)2a b c ab ac bc =++--- 2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =-++-++-+ 222111()()()222a b a c b c =-+-+- 222111(1)(2)(1)222=⨯-+⨯-+⨯- 11222=++ 3=故选D【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.5．若3x y -=，则226x y y --=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】【分析】由3x y -=得x=3+y ，然后，代入所求代数式，即可完成解答.【详解】解：由3x y -=得x=3+y代入()2222369669y y y y y y y +--=++--=故答案为C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.6．已知x -y =3，12x z -=，则()()22554y z y z -+-+的值等于（ ） A ．0B ．52C ．52-D ．25【答案】A【解析】【分析】此题应先把已知条件化简，然后求出y-z 的值，代入所求代数式求值即可．【详解】 由x-y=3，12x z -=得：()()x z x y y z ---=- 15322=-=-； 把52-代入原式，可得255252525255=0224424⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A ．【点睛】此题考查的是学生对代数式变形方法的理解，这一方法在求代数式值时是常用办法．7．如图，从边长为(4a )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】 利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1）=a 2+8a+16-a 2-2a-1=6a+15．故选D ．8．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()22a a b a ab +=+D ．222()2a b a ab b -=-+【答案】A【解析】【分析】 根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．【详解】图1中阴影部分的面积为：22a b -，图2中的面积为：()()a b a b +-，则22()()a b a b a b +-=-故选：A.【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．9．若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．43 B ．13 C ．43± D ．13± 【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得： kx=±2•2x•13， 解得k=±43． 故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键．10．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．因式分解：a 3-9ab 2=__________．【答案】a （a -3b ）（a +3b ）【解析】【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】a 3-9ab 2=a （a 2-9b 2）=a （a-3b ）（a+3b ）．故答案为：a （a-3b ）（a+3b ）．【点睛】本题考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．12．已知2320x y --=，则23(10)(10)x y ÷＝_______．【答案】100【解析】【分析】根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.【详解】由已知可得2x-3y=2，所以()()231010x y ÷=102x ÷103y =102x-3y =102=100. 故答案为100.【点睛】此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.13．把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】x +5y ＝0 x ﹣y ＝0【解析】【分析】通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.【详解】∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，∴(x +5y )(x ﹣y )＝0，∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0，故答案为：x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0．【点睛】该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分解因式.14．分解因式212x 123y xy y -+-=___________【答案】()232x 1y --【解析】根据因式分解的方法，先提公因式-3y ，再根据完全平方公式分解因式为：()()22212x 12334x 41321y xy y y x y x -+-=--+=--. 故答案为()232x 1y --.15．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________． 【答案】7或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．详解：∵x 2+2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．16．若m+1m =3，则m 2+21m=_____． 【答案】7【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+21m =7， 故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．17．长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b +ab 2的值为_____．【答案】70．【解析】【分析】由周长和面积可分别求得a+b 和ab 的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab （a+b ），代入可求得答案【详解】∵长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b=142=7，ab=10， ∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=10×7=70，故答案为：70．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab （a+b ）是解题的关键．18．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).19．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．【答案】a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．20．已知8a b +=，224a b =，则222a b ab +-=_____________． 【答案】28或36．【解析】【分析】【详解】解：∵224a b =，∴ab=±2．①当a+b=8，ab=2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×2=28； ②当a+b=8，ab=﹣2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×（﹣2）=36； 故答案为28或36．【点睛】本题考查完全平方公式；分类讨论．。
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解单元检测(提高,Word版 含解析)
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解单元检测（提高，Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a b a b +-的值为( )A B C ．2 D ．±2 【答案】A【解析】【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，可以得出（a+b ）和（a-b ）的值，即可得出答案．【详解】∵a 2+b 2=6ab ，∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，∵a ＞b ＞0，∴∴a b a b +-= 故选A.【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．3．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】B【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=9①，（x ﹣y ）2= x 2-2xy+y 2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.故选B点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..4．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）A ．30B ．20C ．60D ．40【答案】A 【解析】【分析】 设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，则2260x y -=，∵S 阴影=S △AEC +S △AED =11()()22x y x x y y -+- =1()()2x y x y -+ =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】 此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.5．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为()A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a﹣b=2，∴原式=(a+b)(a﹣b)﹣4b=2(a+b)﹣4b=2a+2b﹣4b=2(a﹣b)=4．故选：B．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2x【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【详解】A、2a2-2a+1=2a（a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x-y）=x2-y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2=（x-y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．7．下列等式由左边向右边的变形中，属于因式分解的是 ( )A．x2+5x－1=x(x+5)－1 B．x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3xC．(x+2)(x－2)=x2－4 D．x2－9=(x+3)(x－3)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【详解】解：A 、右边不是积的形式，故A 错误；B 、右边不是积的形式，故B 错误；C 、是整式的乘法，故C 错误；D 、x 2－9=(x+3)(x －3)，属于因式分解．故选D ．【点睛】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．8．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2﹣10x+8y+45的值均为（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数【答案】A【解析】【详解】因为x 2+y 2－10x +8y +45=()()225440x y -+++>, 所以x 2+y 2－10x +8y +45的值为正数,故选A.9．将多项式241x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）A ．4xB ．4x -4C ．4x 4D ．4x -【答案】B【解析】【分析】完全平方公式：()222=2a b a ab b +++，此题为开放性题目．【详解】设这个单项式为Q ，如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故Q=±4x ；如果这里首末两项是Q 和1,则乘积项是22422x x =⋅,所以Q=44x ；如果该式只有24x 项，它也是完全平方式，所以Q=−1；如果加上单项式44x -，它不是完全平方式故选B.【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方式的基本形式.10．已知a ＝96，b ＝314，c ＝275，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方可得：a ＝69=312，c ＝527=315，易得答案.【详解】因为a ＝69=312，b ＝143，c ＝527=315，所以，c>b>a故选C【点睛】本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b ，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．【答案】a 2-b 2=(a+b)(a-b)【解析】【分析】根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案.【详解】∵第一个图形的面积是a 2-b 2，第二个图形的面积是12（b ＋b ＋a ＋a ）（a －b ）＝（a ＋b ）（a －b ）， ∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：a 2-b 2=(a+b)(a-b).故答案为a 2-b 2=(a+b)(a-b).【点睛】 本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.12．因式分解：a 3-9ab 2=__________．【答案】a （a -3b ）（a +3b ）【解析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】a 3-9ab 2=a （a 2-9b 2）=a （a-3b ）（a+3b ）．故答案为：a （a-3b ）（a+3b ）．【点睛】本题考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．13．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．14．把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】x +5y ＝0 x ﹣y ＝0【解析】【分析】通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.【详解】∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，∴(x +5y )(x ﹣y )＝0，∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0，故答案为：x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0．【点睛】该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分15．分解因式212x123y xy y-+-=___________【答案】()232x1y--【解析】根据因式分解的方法，先提公因式-3y，再根据完全平方公式分解因式为：()()22212x12334x41321y xy y y x y x-+-=--+=--.故答案为()232x1y--.16．计算(-3x2y)•(13xy2)=_____________．【答案】33x y-【解析】【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可．【详解】原式=(-3)×13x2+1y1+2= -x3y3故答案为－x3y3【点睛】本题主要考查单项式乘以单项式的法则.要准确把握法则是解答此题的关键.17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．【答案】ab【解析】【分析】【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，12122{2x x ax x b+=-=解得，122{4a bx a b x +=-= ②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（2a b +）2-4×（4a b -）2=ab ． 故答案为ab.18．若2a b +=，3ab =-，则代数式32232a b a b ab ++的值为__________．【答案】-12【解析】分析：对所求代数式进行因式分解，把2a b +=，3ab =-，代入即可求解.详解：2a b +=，3ab =-，()()23223222223212.a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=-⨯=- ，故答案为：12.-点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.19．已知x 2+2x ＝3，则代数式（x +1）2﹣（x +2）（x ﹣2）+x 2的值为_____．【答案】8【解析】【分析】利用完全平方公式及平方差公式把原式第一项和第二项展开，去括号合并同类项得到最简结果，把x 2+2x ＝3代入即可得答案.【详解】原式=x 2+2x+1-(x 2-4)+x 2=x 2+2x+1-x 2+4+x 2=x 2+2x+5.∵x 2+2x ＝3，∴原式=3+5=8.故答案为8【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．20．分解因式：32231827m m n mn -+=____________________【答案】23(3)m m n -【解析】【分析】先提公因式3m，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】3322-+m18m n27mn=3m(m2-6mn+9n2)=3m(m-3n)2，故答案为：3m(m-3n)2.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．。
人教版2020-2021八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解单元综合能力提升训练题2(附答案)
人教版2020-2021八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解单元综合能力提升训练题2（附答案） 一、单选题 1．下列运算正确的是 A ．3a 2－a 2＝3 B ．(a 2)3＝a 5 C ．a 3·a 6＝a 9 D ．(2a 2)2＝4a 2 2．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（ ） A ．()()m n m n -+ B ．()()x y x y --+ C ．(2)(2)x y y x +- D ．()()a b c a b c +--+ 3．下列运算正确的是（ ） A ．a 3+a 3=2a 6 B ．（-2ab 2）3=-6a 3b 6 C ．（28a 3－14a 2+7a ）÷7a =4a 2－2a D ．a 2·a 3=a 5 4．计算（﹣x 2y ）3的结果是（ ） A ．﹣x 5y 3 B ．﹣x 6y C ．x 6y 3 D ．﹣x 6y 3 5．若|3|a +与|4|b -互为相反数，则b a 的值为（ ） A ．81 B ．81- C ．12- D ．12 6．已知(x+y)2=7，(x-y)2=5，则xy 的值是( ) A ．1 B ．1- C ．12 D ．12- 7．下列计算正确的是（ ）． A ．236a a a ⋅= B ．()21a a a a +=+ C ．()222a b a b -=- D ．235a b ab += 8．已知：222450x y x y +-++=，则x+y 的值（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 9．下列等式，其中正确的个数是（） ①()323696x y x y -=-②()326n n a a -=③()361839a a =④()()35247()a a a a --+-=⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯ A ．1个 B ．2个 C ．3 D ．4 10．已知2a +5b ﹣4＝0，则4a ×32b ＝（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 11．若3x y +=+3x y -=-的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3- 12．将3-a b ab 进行因式分解，正确的是( ) A ．()2a a b b - B ．()21ab a - C ．()()11ab a a +- D ．()21ab a - 二、填空题 13．分解因式：12m 2n 2﹣12m 2n +3m 2＝_____． 14．若代数式243x x ++可以表示为()()211x a x b -+-+的形式，则a b +=__________．15．因式分解：2x 3﹣4x 2+2x ＝_____．16． 已知1x m =+和2x =时，多项式246x x ++的值相等，则m 的值等于 ______ ．17．计算:2201720192018⨯-=___________.18．求值：222221111111111234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----= ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.19．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，且满足a 2+b 2+c 2=ab +bc +ac ，关于此三角形的形状有下列判断：①是锐角三角形；②是直角三角形；③是钝角三角形；④是等边三角形．其中正确说法的是__________．(把你认为正确结论的序号都填上)20．计算：2020(0.25)－×20194＝_________．21．不等式215x x +>-的解集是_________；分解因式：222x -=____________． 22．已知实数a ，b 满足4a b -=-，则221122a ab b -+=______．23．若()443231x ax bx cx dx e +=++++，则a b c d -+-=________．三、解答题24．探究：如何把多项式x 2+8x +15因式分解？（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答： ；（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道(x +a )(x +b )=x 2+(a+b )x +ab ，将该式从右到左地使用，即可对形如x 2+(a+b )x +ab 的多项式进行因式分解，即：x 2+(a+b )x +ab=(x +a )(x +b )此类多项式x 2+(a+b )x +ab 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（2）猜想并填空： x 2+8x +15= x 2+[( ) +( )]x + ( )×( )=(x + )(x + ) （3）上面多项式x 2+8x +15的因式分解是否正确，我们需要验证．请写出验证过程． （4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ① x 2+8x +12 ② x 2-x -12 25．先化简，再求值：（m ﹣2）2﹣（n +2）（n ﹣2）﹣m （m ﹣1），其中2m 2+12m +18+|2n ﹣3|＝0． 26．已知：x 2﹣y 2=12，x+y=3，求2x 2﹣2xy 的值．27．阅读下面的材料并解答后面的问题： （阅读） 小亮：你能求出x 2+4x ﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能．求解过程如下： 因为x 2+4x ﹣3＝x 2+4x +4﹣4﹣3＝（x 2+4x +4）﹣（4+3）＝（x +2）2﹣7． 而（x +22）≥0，所以x 2+4x ﹣3的最小值是﹣7． （1）小华的求解过程正确吗？ （2）你能否求出x 2﹣5x +4的最小值？如果能，写出你的求解过程． 28．（1）已知a b 、互为相反数，、c d 互为倒数，求552763a b cd +-+的值； （2）已知16x =，225y =，且||x y x y +=+，求代数式x y -的值． 29．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边． （1）分别将多项式ac ﹣bc ，﹣a 2+2ab ﹣b 2进行因式分解； （2）若ac ﹣bc ＝﹣a 2+2ab ﹣b 2，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 30．阅读下列材料，然后解答后面的问题： 利用完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+，通过配方可对22a b +进行适当的变形，如222()2a b a b ab +=+-或222()2a b a b ab +=-+，从而使某些问题得到解决， 例：已知5a b +=，3ab =．求22a b +的值． 解：2222()2523a b a b ab +=+-=-⨯=19 问题：已知：1,3a b ab +==-，求下列代数式的值． （1）22a b ab +； （2）2()a b -．（3）已知16a a +=，求221()a a +的值． 31．仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式x 2+5x +m 有一个因式是x +2，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式x +n ，得x 2+5x +m ＝（x +2）（x +n ）， 则x 2+5x +m ＝x 2+（n +2）x +2n ， ∴n +2＝5，m ＝2n ，解得n ＝3，m ＝6， ∴另一个因式为x +3，m 的值为6． 请依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2x 2+bx ﹣6可分解为（2x +3）（x ﹣2），求b 的值；（2）已知二次三项式2x 2+9x ﹣k 有一个因式是2x ﹣1，请把多项式2x 2+9x ﹣k 分解因式． 32．计算：m •（﹣m ）2﹣（﹣2m ）3．33．观察下列分解因式的过程：x 2＋2xy －3y 2解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－y 2－3y 2＝(x 2＋2xy ＋y 2)－4y 2＝(x ＋y)2－(2y)2＝(x ＋y ＋2y)(x ＋y －2y)＝(x ＋3y)(x －y)像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.（1）请你运用上述配方法分解因式：x 2＋4xy －5y 2（2）代数式x 2＋2x ＋y 2－6y ＋15是否存在最小值？如果存在，请求出当x 、y 分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由.34．如图，将一张长方形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为mcm 的大正方形，两块是边长都为ncm 的小正方形，五块是长宽分别是mcm 、ncm 的完全相同的小长方形，且m n >.若5个小长方形的面积和为2110cm ，四个正方形的面积和为2200cm ，试求该矩形大铁皮的周长．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 35．解答下列问题 （1）已知2x ＝3，2y ＝5，求2x+y 的值； （2）已知3m ＝4，3n ＝2，求2313m n -+的值； （3）若2320x x --=，求2(23)(2)(210)x x x --+-的值．参考答案1．C【解析】【分析】【详解】试题分析：A 正确答案为2a 2；B ．正确答案为a 6 ； C ．正确；D 正确答案为4a 4． 2．B【解析】【分析】根据平方差公式逐项判断即可得．【详解】A 、22()()m n m n m n -+=-，能用平方差公式，此项不符题意；B 、222()()()2x y x y x y x xy y --+=-+=---，能用完全平方公式，此项符合题意；C 、2222(2)(2)(2)4x y y x y x y x +-=-=-，能用平方差公式，此项不符题意；D 、[][]()()()()a b c a b c a b c a b c +--+=+-⋅--，能用平方差公式，此项不符题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记并灵活运用公式是解题关键．3．D【解析】【分析】根据合并同类项、积的乘方、多项式除以单项式、同底数幂的乘法分别计算出结果即可作出判断．【详解】A 、3332a a a +=，错误，不符合题意；B 、2336(2)8ab a b -=-，错误，不符合题意；C 、()322281477421a a a a a a -+÷=-+，错误，不符合题意；D 、235·a a a =，正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、多项式除以单项式、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．D【解析】【分析】根据积的乘方法则求出即可．【详解】解：（﹣x 2y ）3＝﹣x 6y 3，故选：D ．【点睛】此题考查积的乘方和幂的乘方的应用，能熟练地运用法则进行计算是解题的关键． 5．A【解析】【分析】先根据相反数的意义列出方程，再根据绝对值的非负性求得a 、b 的值，然后代数求值即可得解．【详解】 解：∵若3a +与4b -互为相反数 ∴340a b ++-=∴3040a b +=⎧⎨-=⎩∴34a b =-⎧⎨=⎩∴()4381b a =-=．故选：A本题考查了相反数的意义、绝对值的非负性以及代数求值，是中考常考题型，要数量掌握． 6．C【解析】【分析】(x+y)2=7，(x-y)2=5作差，然后使用平方差公式运算，即可求出答案．【详解】解：∵(x+y)2=7，(x-y)2=5，∴(x+y)2-(x-y)2=(x+y+x-y)(x+y-x+y)=2，∴2x•2y=2∴xy=12故选C ．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．7．B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项的法则进行计算即可．【详解】A 、235a a a ⋅=，该选项错误，不符合题意；B 、()21a a a a +=+，该选项正确，符合题意； C 、()2222a b a ab b -=-+，该选项错误，不符合题意；D 、23a b +，不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．8．B【分析】先把式子222450x y x y +-++=化成22(1)(2)0x y -++=的形式，再根据非负数的性质求出x 、y 的值，代入求解即可得到答案；【详解】解：化简222450x y x y +-++=即：22(1)(2)0x y -++=，∴10x -=，20y +=，解得：x 1,y 2==-，∴1(2)1x y +=+-=-，故选：B ．【点睛】本题主要考查非负数的性质，几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0，学会把原式化成22(1)(2)0x y -++=的形式是解题的关键．9．A【解析】【分析】按照幂的乘方与积的乘方法则，求出每个式子的值，再根据结果判断即可．【详解】①()32369x y x y -=-，故①错误； ②()326n n a a -=-，故②错误；③()3618327a a =，故③错误； ④()()3521144()a a a a a --+--=，故④错误； ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯，故⑤正确，则正确的个数是1．故选：A ．本题考查幂的乘方与积的乘方．幂的乘方法则为：幂的乘方，底数不变，指数相乘，()nm mn a a =（m ，n 都是正整数）；积的乘方法则为：积的乘方，等于每一个因数乘方的积，()=⋅m m m ab a b （m ，n 都是正整数）．10．B【解析】【分析】先根据2a+5b-4=0，可求2a+5b=4，再利用（am ）n =am n 对4a ×32b =变形，然后再把2a+5b 的值整体代入计算即可．【详解】解：∵2a +5b ﹣4＝0，∴2a +5b ＝4，则4a ×32b ＝22a ×25b ＝22a +5b ＝24＝16． 故选B ．【点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则.11．B【解析】【分析】利用平方差公式进行分解因式后计算即可得到答案.【详解】∵3x y +=+3x y -=-=，故选：B .【点睛】此题考查平方差公式分解因式，22()()a b a b a b -=+-，熟记公式并运用解题是关键. 12．C【解析】多项式3-a b ab 有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；13．3m 2（2n ﹣1）2【解析】【分析】首先提取公因式3m 2，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】12m 2n 2﹣12m 2n +3m 2＝3m 2（4n 2﹣4n +1）＝3m 2（2n ﹣1）2．故答案为：3m 2（2n ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 14．14【解析】【分析】先将所求代数式进行整理化简，，再利用已知条件与243x x ++比较，一次项系数以及常数项对应相等，从得到关于a 、b 的方程组，解方程组即可得解．【详解】解：∵()()211x a x b -+-+ 221x x ax a b =-++-+()221x a x b a =+-++-243x x =++∴2413a b a -=⎧⎨+-=⎩∴68a b =⎧⎨=⎩∴14a b +=．故答案是：14【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算、二元一次方程组以及代数求值，能够根据已知条件得到关于a 、b 的方程组是解决本题的关键．15．2x （x ﹣1）2【解析】【分析】先提取公因式2x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】2x 3﹣4x 2+2x＝2x （x 2﹣2x +1）＝2x （x ﹣1）2．故答案为：2x （x ﹣1）2．【点睛】考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题关键是熟练应用完全平方公式因式分解． 16．7-或1【解析】【分析】根据1x m =+和2x =时，多项式246x x ++的值相等，得出()2(1)416m m ++++ 22426=+⨯+，解方程即可．【详解】解：1x m =+和2x =时，多项式246x x ++的值相等，()22(1)4162426m m ∴++++=+⨯+，化简整理，得()2(1)41120m m +++-=， ()()16120m m +++-=，解得7m =-或1．故答案为7-或1．【点睛】本题考查多项式以及代数式求值，正确理解题意是解题的关键．17．-1【解析】2017×2019-2018²=(2018-1)(2018+1)-2018²=2018²-1²-2018²=-1故答案为:-1.18．1120【解析】【分析】由题意平方差公式把每一项展开，然后直接约分运算即可得出答案.【详解】 解：222221111111111234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1111111111111111...1111223344991010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =132435810911 (223344991010)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =1120故填1120.【点睛】本题考查有理数幂的化简与求值，熟练掌握平方差公式把每一项展开是解题的关键. 19．①④【解析】【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质得出a=b=c ．进而判断即可．【详解】解：∵a 2+b 2+c 2=ab+bc+ca ，∴2a 2+2b 2+2c 2=2ab+2bc+2ca ，即（a-b ）2+（b-c ）2+（a-c ）2=0，∴a=b=c ，∴此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形．故答案是：①④．【点睛】此题考查了因式分解的应用，根据式子特点，将原式转化为完全平方公式是解题的关键． 20．14【解析】【分析】先将2020(0.25)-写成201911()44⨯的形式，再利用积的乘方逆运算将指数相同的因数相乘即可得到答案.【详解】 2020(0.25)－×20194，2019201911()444=⨯⨯， 201911(4)44=⨯⨯， =14，故答案为：14. 【点睛】 此题考查高次幂的乘法运算，同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算，正确掌握公式是解此题的关键.21．5x >- ()()211x x +-【解析】【分析】根据不等式的基本性质求得不等式的解集，根据提公因式法和公式法进行因式分解即可．【详解】解：215x x +>-，215x x +>-，315x >-5x >-；22222(1)x x -=-2(1)(1)x x =-+，故答案为：5x >-；2(1)(1)x x -+．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法以及综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握不等式的基本性质以及因式分解的方法是解决本题的关键．22．8【解析】【分析】 利用完全平方公式得到221122a ab b -+＝12（a−b ）2，然后把足a−b ＝-4代入计算即可． 【详解】 221122a ab b -+＝222(2)1a ab b -+=12（a−b ）2＝12×(-4)2＝8． 故答案为：8．【点睛】本题考查了完全平方公式：：（a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．把原式适当变形是解答此题的关键. 23．15【解析】【分析】先利用完全平方公式计算一次，再用多项式乘以多项式计算，结果合并后等于432ax bx cx dx e ++++，利用等式对应相等的性质，可求a 、b 、c 、d 、e ，代入所求式子求值即可．【详解】∵()431x +=226(9)1x x ++=4328110854121x x x x ++++， ∴432ax bx cx dx e ++++=4328110854121x x x x ++++，∴a=81，b=108，c=54，d=12，e=1，∴a b c d -+-=81-108+54-12=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则，完全平方公式以及等式对应相等的性质． 24．（1）不能；（2）3，5，3，5，3，5，（3）见解析；（4）①()()26x x ++ ；② ()()34x x +-【解析】【分析】（1）根据是否符合完全平方式的结构特征进行判断即可；（2）根据“把一次项系数分解成两个数的和，并且这两个数的积等于常数项”进行填空即可；（3）运用多项式乘以多项式进行验证即可；（4）根据前面总结得出的分解因式方法，得出结果即可．【详解】（1）∵x 2+8x +15不是完全平方式，∴x 2+8x +15不能用完全平方公式进行因式分解.故答案为：不能；（2）∵8=5+3，15=5×3∴x 2+8x +15= x 2+[( 3) +( 5 )]x + ( 3)×( 5)=(x + 3 )(x + 5 )， 故答案为：3，5，3，5，3，5，（3）（x+3）(x+5)=x 2+3x+5x+15= x 2+8x+15;（4）① x 2+8x +12= x 2+（6+2）x +（6×2）=（x+6）(x+2);② x 2-x -12= x 2+(3-4)x +[3×(-4)]=(x-3)(x+4)【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25．3144【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，合并同类项，再求出m 、n 的值，最后代入求出即可．【详解】解：（m ﹣2）2﹣（n +2）（n ﹣2）﹣m （m ﹣1）＝m 2﹣4m +4﹣n 2+4﹣m 2+m＝﹣n 2﹣3m +8，∵2m 2+12m +18+|2n ﹣3|＝0，∴2（m +3）2+|2n ﹣3|＝0，∴m +3＝0，2n ﹣3＝0，∴m ＝﹣3，n ＝32， 当m ＝﹣3，n ＝32时， 原式＝233()3(3)81424--⨯-+=．【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负之和为零，则各自为零，整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．26．2x2﹣2xy=28．【解析】【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．【详解】∵x2﹣y2=12，∴（x+y）（x﹣y）=12，∵x+y=3①，∴x﹣y=4②，①+②得，2x=7，∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数值求值，二元一次方程组的特殊解法等，求出x-y=4是解本题的关键.27．（1）正确;（2）最小值J是94，过程见解析【解析】【分析】（1）、（2）对于x2+4x﹣3和x2﹣5x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．【详解】解：（1）正确（2）能．过程如下：x2﹣5x+4＝x2﹣52x+2516﹣2516+4＝（x﹣54）2﹣94，∵（x﹣54）2≥0，∴x 2﹣5x +4的最小值是94-． 【点睛】 考核知识点：乘法公式的应用.运用乘法公式进行变形求值是关键.28．（1）3-（2）11或21【解析】【分析】（1）根据题意可得0a b += 、1cd =，将所求代数式整理变形后将其代入即可求解； （2）根据已知条件可得16x =、5y =±，再分两种情况进行代数计算求值即可得解．【详解】解：（1）∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数∴0a b += ，1cd = ∴552763a b ad +-+ ()52763a b cd +-=+ 5027613⨯-=⨯+ 3=-；（2）∵16x =，225y =∴16x =±，5y =±∵||x y x y +=+∴16x =，5y =±∴①当16x =，5y =时，16511x y -=-=；②当16x =，5y =-时，()16521x y -=--=．故答案是：（1）3-（2）11或21【点睛】考查了代数式求值，本题关键是运用相反数、倒数、绝对值概念、平方根以及整体代入的思想．29．（1）ac ﹣bc ＝c （a ﹣b ），﹣a 2+2ab ﹣b 2＝﹣（a ﹣b ）2；（2）△ABC 的形状是等腰三角形．理由见解析.【解析】【分析】（1）ac ﹣bc 提出公因式c 得c （a ﹣b ）；﹣a 2+2ab ﹣b 2提出负号得﹣（a 2﹣2ab +b 2）再利用完全公式法得﹣（a ﹣b ）2；（2）利用上面因式分解的结果，写出等式c （a ﹣b ）＝﹣（a ﹣b ）2，移项后得到 c （a ﹣b ）+（a ﹣b ）2＝0，再利用提公因式法得到（a ﹣b ）（c +a ﹣b ）＝0，得到a ﹣b ＝0，c +a ﹣b ≠0，得出△ABC 的形状是等腰三角形．【详解】解:（1）ac ﹣bc ＝c （a ﹣b ）﹣a 2+2ab ﹣b 2＝﹣（a 2﹣2ab +b 2）＝﹣（a ﹣b ）2（2）∵ac ﹣bc ＝﹣a 2+2ab ﹣b 2∴c （a ﹣b ）＝﹣（a ﹣b ）2c （a ﹣b ）+（a ﹣b ）2＝0（a ﹣b ）（c +a ﹣b ）＝0∵a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，满足两边之和大于第三边，即c +a ﹣b ＞0∴a ﹣b ＝0即a ＝b故△ABC 的形状是等腰三角形．【点睛】考核知识点:因式分解应用.因式分解分析问题是关键.30．（1）-3；（2）13；（3）34．【解析】【分析】（1）提取公因式ab ，再把所给条件式代入求值即可；（2）括号展开，进行配方，变形为（a+b ）2-4ab ，再把所给条件式代入求值即可； （3）把所求代数式221()a a 变形为（a+1a）2-2，再把已知条件代入求值即可. 【详解】（1） 22a b ab +；原式．=ab （a+b ）．∵1,3a b ab +==-∴原式=1×（-3）=-3（2）2()a b -．原式=（a+b ）2-4ab ．∵1,3a b ab +==-∴原式=12-4×（-3）=1+12=13（3）221a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ =（a+1a ）2-2 ×a×1a = （a+1a ）2-2 ∵16a a+= ∴原式=62-2=34【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形在整式和分式求值中的应用，熟练掌握相关公式及其变形，是解题的关键．31．（1）b ＝﹣1；（2）（2x ﹣1）（x +5）．【解析】【分析】（1）根据多项式乘法法则计算，由对应项的系数相等即可求得b 的值；（2）设另一个因式是(x +n )，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m 、a 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】（1）∵(2x +3)(x ﹣2)=2x 2﹣x ﹣6=2x 2+bx ﹣6，∴b =﹣1．（2）设另一个因式为(x +n )，得2x 2+9x ﹣k =(2x ﹣1)(x +n )，则2x 2+9x ﹣k =2x 2+(2n ﹣1)x ﹣n ，∴2n ﹣1=9，﹣k =﹣n ，解得：n =5，k =5，∴2x 2+9x ﹣k =2x 2+9x ﹣5=(2x ﹣1)(x +5)．【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解答本题的关键．32．9m 3【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则计算得出答案．【详解】m •（﹣m ）2﹣（﹣2m ）3＝m •m 2+8m 3＝m 3+8m 3＝9m 3．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 33．(1) ()()x y x y ＋5－；（2）当x=﹣1， y=3时原式有最小值；最小值是5.【解析】【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可；（2）根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可.【详解】(1)2222224545=x xy y x xy y y y ＋－＋＋4－4－ ()()()22222==43x xy y y x y y ＋＋4－9＋2－ ()()()()3==3x y y x y y x y x y ＋2＋＋2－＋5－；（2）22222615=2691015x x y y x x y y ＋＋－＋＋＋1＋－＋－＋ ()()22=5x y ＋1＋－3＋；∵()2x ≥＋10， ()2y ≥－30，∴当10x =＋即x=﹣1，y －3=0即y=3时原式有最小值，最小值是5.【点睛】此题主要考查了配方法分解因式，正确理解问题情境是解题关键．34．72【解析】【分析】先根据题意求出mn ＝22，m 2+n 2＝100，根据完全平方公式求出m +n ，再求出答案即可．【详解】解：∵5个小长方形的面积和为110cm 2，四个正方形的面积和为200cm 2，∴5mn ＝110，2m 2+2n 2＝200，∴mn ＝22，m 2+n 2＝100，∴（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝100+2×22＝144，∵m 、n 为正数，∴m +n ＝12，∴该矩形的周长为2（m +2n +2m +n ）＝6（m +n ）＝6×12＝72（cm ），【点睛】本题考查了长方形的性质，完全平方公式和列代数式等知识点，能正确列出代数式是解此题的关键．35．（1）15；（2）6；（3）33．【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法、除法法则计算即可；（3）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则化简，再由2320x x --=可得232x x -=，代入计算即可．【详解】（1）解：∵2x ＝3，2y ＝5，∴2x+y =2x ×2y=3×5=15；（2）解：∵3m ＝4，3n ＝2，∴2313m n -+=231(3)(3)3m n ÷⨯=23423÷⨯=16÷8×3=6；（3）解：2(23)(2)(210)x x x --+-=22(4129)(2620)x x x x -+---=22629x x -+=()22329x x -+∵2320x x --=，∴232x x -=，∴原式=2×2+29=33．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则与积的乘方法则、多项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则和公式是解题的关键．。
人教版2020-2021八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解单元综合能力提升训练题3(附答案)
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版2020-2021八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解单元综合能力提升训练题3（附答案） 一、单选题 1．下面的计算不正确的是（ ） A ．5a 3﹣a 3=4a 3 B ．2m •3n =6m +n C ．2m •2n =2m +n D ．﹣a 2•（﹣a 3）=a 5 2．下列计算正确的是（ ） A ．3a ﹣a=2 B ．a 2•a 3=a 6 C ．a 2+2a 2=3a 2 D ．（a+b ）2=a 2+b 2 3．下列分解因式正确的是（ ） A ．100p 2﹣25q 2=（10+5q ）（10﹣5q ） B ．x 2+x ﹣6=（x+3）（x ﹣2） C ．﹣4m 2﹣n 2=﹣（2m+n ）（2m ﹣n ） D ．2211()42x x x --+=-- 4．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．a 2+（﹣b ）2 B ．﹣x 2+9 C ．﹣x 2﹣y 2 D ．5m 2﹣20mn 5．已知代数式x 2+y 2+4x-6y+17的值是( ) A ．负数 B ．非正数 C ．非负数 D ．正数 6．若 ()22+14x k x -+ 是完全平方式，则 k 的值为（ ） A ．±1 B ．3± C ．1- 或 3 D ．1 或 3- 7．若22(3)16x m x --+是关于x 的完全平方式，则m 是（ ） A ．7或1- B ．1- C ．7 D ．5或1 8．计算﹣(﹣2x 3y 4)4的结果是( ) A ．16x 12y 16 B ．﹣16x 12y 16 C ．16x 7y 8 D ．﹣16x 7y 8 9．已知3,2a b ab +=-=，则(a-b) ²的值是（ ） A ．1 B ．4 C ．16 D ．9 10．计算：（4x 3﹣2x ）÷（﹣2x ）-1的结果是（ ） A ．2x 2 B ．﹣2x 2 C ．﹣2x 2+2 D ．﹣2 11．已知1x 1x -=，则221x x +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12．下列计算正确的是（ ） A ．3a 3+a 2=4a 5 B ．（4a ）2=8a 2 C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2 D ．2a 2•a 3=2a 5 二、填空题 1212○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 14．阅读材料后解决问题： 计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1）（28+1） =（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） =（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） =（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=__15．已知23m =，1128n =， 则3(31)m n +-=_______16．月球距地球的距离大约3.84×105千米，一架飞船的速度为6×102千米/小时，则乘坐飞船大约需要的时间为_____________小时.17．计算：2(93)(3)x x x -+÷-=_____，33242(2)()x x x ÷=_______.18．已知23(5)0x y ++-=，那么2(5)x y +=________．19．若3a b +=，则226a b b -+的值为__________.20．在实数范围内分解因式：425x -= _______________ .21．分解因式：22ax 2axy ay -+=______．22．因式分解：221218ax ax a -+=______．23．已知1x =，2015y =，则2(34)(34)16x y x y y +-+的值为__________．24．若代数式2a 2+3a+1的值是6，则代数式6a 2+9a+5的值为_______．三、解答题25．已知18x x +=，求1x x -的值26．计算：（6x 4﹣8x 3）÷（﹣2x 2）﹣（3x+2）（1﹣x ）．27．化简：()()2()2a b a b a b ++-+28．已知x 2+x ﹣1=0，则x 3+x 2﹣x +3的值为_____．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 29．利用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，可对22a b +进行适当变形：如()22222222a b a ab b ab a b ab +=++-=+-或()22222222a b a ab b ab a b ab +=-++=-+ 从而使某些问题得到解决，计算：（1）14a a -=，求221a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）已知2,3a b ab -==，求44a b +的值. 30．先化简，再求值：(a +1)2-(a +1)(a -1) a=12- 31．已知x m =5，x n =7，求x 2m+n 的值． 32．把下列各式分解因式： （1）21850a - ； （2）4224817216x x y y -+. 33．若n 为正整数，且x 2n ＝4，求(3x 3n )2－4(－x 2)2n 的值． 34．如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为am ，计算： （1）窗户的面积； （2）窗框的总长； （3）若a ＝1，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米25元，窗框每米20元，窗框的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用是多少元（π取3.14，结果保留整数）. 35．若一个长方体的长、宽、高分别是4×103cm 、2×103cm 、103cm ，则这个长方体的体积是多少？ 36．计算： （1）234()()()a a a -⋅-⋅-；（2）724()()x x x -⋅-⋅； （3）345()()()a b b a a b -⋅-⋅-；（4）214222n n ++⨯-⨯．参考答案1．B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则逐项进行计算即可得.【详解】A. 5a3﹣a3=4a3，正确，故不符合题意；B. 2m与3n的底数不相同，故B选项错误，符合题意；C. 2m•2n=2m+n，正确，故不符合题意；D. ﹣a2•（﹣a3）=a5，正确，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握相关法则是解题的关键.2．C【解析】根据合并同类项法则，可知3a-a=2a，故不正确；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知a2•a3=a5，故不正确；根据合并同类项法则，可知a2+2a2=3a2，故正确；根据整式的乘法---完全平方公式，可知（a+b）2=a2+2ab+b2，故不正确.故选：C.3．B【解析】分析: 各项利用因式分解的方法判断即可得到结果.详解: A、100p2﹣25q2=（10p+5q）（10p﹣5q），错误；B、x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2），正确；C、﹣4m2﹣n2不能分解因式，错误；D、21 4x x--+不能分解，错误，故选：B．点睛: 此题考查了因式分解-运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.4．B【解析】A 选项，因为2222()a b a b +-=+，所以A 中式子不能用“平方差”公式分解因式； B 选项，因为22293x x -+=-，所以B 中式子可以用“平方差”公式分解因式；C 选项，因为22x y --中两个项同号，所以C 中式子不能用“平方差”公式分解因式；D 选项，因为2520m mn -不能写成两个式子的平方差的形式，所以D 中式子不能用“平方差”公式分解因式.故选B.点睛：能够用“平方差”公式分解因式的式子需具备以下特点：（1）式子由两个部分组成，且两个部分异号；（2）式子中的两个部分要能够改写为两个数（或式子）的平方差的形式（即22a b -的形式）.5．D【解析】【分析】根据完全平方公式进行配方，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．【详解】x 2+y 2+4x-6y+17，=x 2+4x+4+y 2-6y+9+4，=（x+2）2+（y-3）2+4，∵（x+2）2≥0，（y-3）2≥0，∴（x+2）2+（y-3）2+4≥4，故x 2+y 2+4x-6y+17的值一定是正数．故选D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，偶次方非负数的性质，根据完全平方公式配方成非负数和的形式是解题的关键．6．D【解析】【详解】解：∵x2﹣2（k+1）x+4是完全平方式，∴x2﹣2（k+1）x+4=（x±2）2∴﹣2（k+1）=±4，∴k1=﹣3，k2=1．故选D．点睛：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．7．A【解析】分析：这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍．详解：∵多项式x2-2（m-3）x+16是完全平方式，∴x2-2（m-3）x+16=（x±4）2，∴m-3=±4，则m的值为：-1或7．故选：A．点睛：此题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．8．B【解析】【分析】根据积的乘方法则计算:等于把积中的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘．【详解】解:﹣（﹣2x3y4）4=-(-1)4*x3*4y4*4=﹣16x12y16故选：B．【点睛】本题考查了积的乘方运算法则，掌握对应积乘方运算法则是解题关键．9．A【解析】试题解析：∵a+b=-3，ab=2，∴（a-b ）2=a 2+b 2-2ab ，=a 2+b 2+2ab-4ab ，=（a+b ）2-4ab ，=（-3）2-4×2，=9-8，=1．故选A ．10．B【解析】【分析】先利用整式的除法运算法则计算，再合并同类项即可得出答案．【详解】（4x 3﹣2x ）÷（﹣2x ）－1＝﹣2x 2+1－1=﹣2x 2． 故选B ．【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题的关键．11．D【解析】【分析】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．【详解】∵x-1x=1， ∴（x-1x ）2=1， 即x 2-2+21x =1， ∴x 2+21x =3． 故选D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于乘积二倍项不含字母．12．D【解析】【分析】根据合并同类项法则、积的乘方的运算法则、完全平方公式、单项式乘法法则逐项进行计算即可得.【详解】A、3a3与a2不是同类项，不能合并，故A选项错误；B、（4a）2=16a2，故B选项错误；C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C选项错误；D、2a2•a3=2a5，故D选项正确，故选D．【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.13．1.5【解析】试题解析：∵12x2+xy+12y2，=12（x2+2xy+y2），=12（x+y）2，∴当=12×3=1.5．故答案为：1.5．点睛：因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．14．128312．【解析】【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【详解】（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1） =12（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1） =12（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1） =128312- ． 故答案是：128312-． 【点睛】考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．15．-27【解析】分析：分别利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简求出即可．详解：∵2m =3，312128n n -==，∴31224m n -÷=， ∴m +2n =－2，∴331m n +-（）=3(21)--=-27． 故答案为：-27．点睛：本题主要考查了同底数幂的除法等知识，正确掌握运算法则是解题的关键． 16．640【解析】【分析】用月球距地球的距离除以飞船的速度就可以得到乘坐飞船所需要的时间.【详解】(3.84×105)(÷6×102)=640小时.【点睛】本题考察学生利用科学计数法运算的能力，掌握距离、速度和时间之间等量关系是解答本题的关键.17．3x-1 4x【解析】【分析】直接利用多项式除以单项式运算法则求出答案，首先利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则化简进而利用单项式除以单项式运算法则得出答案．【详解】(−9x2+3x)÷(−3x)=3x−1，x3(2x3)2÷(x4)2=x3×4x6÷x8=4x9÷x8=4x，故答案为：3x−1，4x.【点睛】本题考查了整式的除法，解题的关键是先进行乘方运算再进行单项式除法.18．100【解析】【分析】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将代数式化简再代值计算．【详解】解：∵|x+3|+（y-5）2=0，∴x=-3，y=5；原式=[5×（-3）+5]2=（-15+5）2=100．故答案为100．【点睛】本题考查了非负数的性质，化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材．19．9【解析】分析：先将226a b b -+化为()()6a b a b b +-+，再将3a b +=代入所化式子计算即可. 详解：∵3a b +=，∴226a b b -+=()()6a b a b b +-+=3()6a b b -+=336a b b -+=3()a b +=9.故答案为：9.点睛：“能够把226a b b -+化为()()6a b a b b +-+”是解答本题的关键.20．（x 2+5）【解析】【分析】根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：425x -= ()22x -25=()()2255x x +-=（x 2+5）故故答案为（x 2+5）【点睛】本题考察了利用平方差公式进行分解因式，分解时记得要分解完全.21．2a(x y)-【解析】【分析】先提公因式a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】22ax 2axy ay -+，()22a x 2xy y =-+，2a(x y)=-．故答案为2a(x y)-．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.分解因式的步骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底.22．22(3)a x -【解析】【分析】先提公因式2a ，然后利用完全平方公式进行分解因式即可得.【详解】原式=2a(x 2-6x+9)=2a(x-3) 2故答案为：2a(x-3) 2.【点睛】本题考查了综合应用提公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.23．9【解析】解：原式=2222916169x y y x -+=，当x =1，y =2015时，原式=9．故答案为：9． 24．20【解析】【分析】由题意列出关系式，求出2a 2+3a 的值，将所求式子变形后，把2a 2+3a 的值代入计算即可求出值．【详解】∵2a 2+3a+1=6，即2a 2+3a=5，∴6a 2+9a+5=3（2a 2+3a ）+5=20．故答案为：20．【点睛】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是利用整体代入的思想进行解答．25．±2【解析】试题分析：运用完全平方公式进行变形求解即可.试题解析:因为已知1x x +=1x x -）2=（x+1x )2-4=8-4=4，所以1x x-=±2． 26．3x ﹣2【解析】【分析】先根据整式的除法法则进行计算,再利用整式的乘法法则进行计算,最后合并同类项.【详解】原式=﹣3x 2+4x ﹣3x +3x 2﹣2+2x,=3x ﹣2．【点睛】本题主要考查整式的乘法,除法,减法运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握整式乘法,除法,减法运算法则.27．23a ab +．【解析】分析：先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得．详解：原式222222223a ab b a ab ab b a ab =++++--=+．点睛：本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式法则．28．3【解析】分析：先将所求的代数式前三项提取公因式x ，再把已知条件整体代入法求解即可．详解：∵210x x +-=，∴3223(1)303 3.x x x x x x +-+=+-+=+=故答案为3.点睛：考查因式分解的应用，将所求的代数式前三项提取公因式x 是解题的关键,注意整体代入思想在数学中的应用.29．（1）18；（2）82.【解析】分析：（1）把已知条件两边平方，然后整理即可求解；（2）先求出()2222a b a b ab +=-+的值，然后根据()24422222a b a b a b +=+-即可求出a 4+b 4的值． 详解：（1）∵14a a -= ∴2222111-24218a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）2,3a b ab -== ∴()2222222310a b a b ab +=-+=+⨯= ∴()24422222a b a b a b +=+- 22102382=-⨯=.点睛：本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形为已知条件的形式，进而得出结果即可.30．2a+2,1【解析】试题分析：先分别利用完全平方公式、平方差公式进行展开，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可.试题解析：原式=2222211)21122a a a a a a a ++--=++-+=+（ ， 当a=-12时，原式=1. 31．175【解析】试题分析：逆用同底数幂的乘法法则计算即可.试题解析：∵x m =5，x n =7，∴x 2m+n =x m •x m •x n =5×5×7=175．点睛：本题考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解决本题的关键是会正确运用同底数幂的乘法法则．32．（1）2（3a ＋5）（3a －5）（2）（3x ＋2y ）2（3x －2y ）2【解析】【分析】(1)、首先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；(2)、首先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式进行因式分解得出答案．【详解】（1）原式＝2（9a 2－25）＝2（3a ＋5）（3a －5）；（2）原式＝（9x 2-4y 2）2＝[（3x ＋2y ）（3x －2y ）] 2＝（3x ＋2y ）2（3x －2y ）2．【点睛】本题主要考查的就是因式分解，属于简单题型．在因式分解的时候，首先考虑提取公因式，然后再利用平方差公式或完全平方公式进行因式分解，在因式分解的时候一定要注意要彻底．33．512【解析】试题分析：试题解析：根据积的乘方和幂的乘方的运算法则，把所给的代数式都化为以x 2n 为底数的幂，再代入求值即可.试题解析：原式＝9x 6n －4x 4n＝9(x 2n )3－4(x 2n )2.∵x 2n ＝4，∴原式＝9×43－4×42＝512.点睛：本题考查了幂的乘方和积的乘方，解题的关键是先把所给的整式化成含有x 2n 次方的形式．34．（1）（4+2）a 2m 2（2）（15+π）am （3）502 【解析】【分析】（1）窗户的面积=4个小正方形的面积+半圆的面积；（2）窗框用料的总长度为所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+3条半径；（3）总费用为：玻璃钱+窗框钱．【详解】解：(1)窗户的面积为42π⎛⎫+⎪⎝⎭a 2m 2. (2)15a+22a π=(15＋π)a 所以窗框的总长为(15＋π)a m.(3) 当a=1时，42π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ a 2×25＋(15＋π)a ×20＝251002π⎛⎫+ ⎪⎝⎭×12＋(300＋20π)×1＝400＋652π≈502． 答：制作这种窗户需要的费用约是502元．【点睛】本题考查了列代数式表示实际问题，关键分清数量关系，抓住关键词语，正确的列出代数式，然后再代入求值即可.35．8×109【解析】试题分析：根据长方体的体积公式：v=abh ，把数据代入公式进行解答即可．试题解析：4×103×2×103×103＝8×109(cm 3) 36．（1）原式9a =；（2）原式13x =-；（3）原式12()a b =-；（4）原式232n +=⨯．【解析】试题分析：按照同底数幂的运算法则进行运算即可.试题解析：（1）原式()()2349a a a a =-⋅-⋅=． （2）原式72413x x x x =-⋅⋅=-． （3）原式()()()()34512a b a b a b a b =-⋅-⋅-=-．（4）原式2212222n n ++=⨯-⨯ 4222n n ++=- ()22221n +=- 232n +=⨯．。
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，则222a b c ab ac bc ++---的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+分别求出a-b 、a-c 、b-c 的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.【详解】∵20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+， 20192019201920201a b x x -=+--=-20192019201920212a c x x -=+--=-20192020201920211b c x x -=+--=-∴222a b c ab ac bc ++---2221(222222)2a b c ab ac bc =++--- 2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =-++-++-+ 222111()()()222a b a c b c =-+-+- 222111(1)(2)(1)222=⨯-+⨯-+⨯- 11222=++ 3=故选D【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.2．如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是( )A ．3B ．6C ．3±D ．6±【答案】D【解析】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式222a ab b ±+，所以236k =±⨯=±.故选D.3．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】B【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=9①，（x ﹣y ）2= x 2-2xy+y 2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.故选B点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..4．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=， 246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】A【解析】解：∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∴a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∴a =3，b =2，c =2，∴此三角形为等腰三角形．故选A ．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．5．在2014，2015，2016，2017这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【答案】A【解析】由于22()()a b a b a b -=+-，所以22201510081007=-；222016505503=-；22201710091008=-；因+a b 与-a b 的奇偶性相同，21007⨯一奇一偶，故2014不能表示为两个整数的平方差． 故选A.6．下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（ ）A ．a 2+b 2B ．x 2+9C ．m 2﹣n 2D ．x 2+2xy+4y 2【答案】C【解析】试题分析：直接利用公式法分解因式进而判断得出答案．解：A 、a 2+b 2，无法分解因式，故此选项错误；B 、x 2+9，无法分解因式，故此选项错误；C 、m 2﹣n 2=（m+n ）（m ﹣n ），故此选项正确；D 、x 2+2xy+4y 2，无法分解因式，故此选项错误；故选C ．7．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）A ．92-xB ．2269a ab b -+-C ．22x y --D ．21x -【答案】C【解析】【分析】根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．【详解】A 、x 2-9，可用平方差公式，故A 能用公式法分解因式；B 、-a 2+6ab-9 b 2能用完全平方公式，故B 能用公式法分解因式；C 、-x 2-y 2不能用平方差公式分解因式，故C 正确；D 、x 2-1可用平方差公式，故D 能用公式法分解因式；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．8．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 2-x+2=x （x-1）+2B ．x 2-x=x （x-1）C ．x-1=x （1-1x ）D ．（x-1）2=x 2-2x+1 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、x 2-x+2=x （x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；B 、x 2-x=x （x-1），故选项正确；C 、x-1=x （1-1x），不是分解因式，故选项错误； D 、（x-1）2=x 2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．9．如图将4个长、宽分别均为a ，b 的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）A ．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2B ．a 2﹣2ab+b 2=（a ﹣b ）2C ．4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2D ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2【答案】C【解析】【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．【详解】∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，∴（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2=4ab ，即4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2．故选C ．10．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【解析】【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．因式分解：a 3-9ab 2=__________．【答案】a （a -3b ）（a +3b ）【解析】【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】a 3-9ab 2=a （a 2-9b 2）=a （a-3b ）（a+3b ）．故答案为：a （a-3b ）（a+3b ）．【点睛】本题考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．12．已知2320x y --=，则23(10)(10)x y ÷＝_______．【答案】100【解析】【分析】根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.【详解】由已知可得2x-3y=2，所以()()231010x y ÷=102x ÷103y =102x-3y =102=100. 故答案为100.【点睛】此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.13．已知：如图，△ACB 的面积为30，∠C 90=︒，BC a =，AC b =，正方形ADEB 的面积为169，则2()a b -的值为_____________．【答案】49首先根据三角形的面积可知12ab=30，可得ab=60，再利用勾股定理和正方形的面积公式求出a 2+b 2=169，因此可知（a-b ）2= a 2+b 2-2ab=169-120=49.故答案为：49. 点睛：此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，同时考查了三角形的面积计算和完全平方公式的计算.14．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.15．计算(-3x 2y)•(13xy 2)=_____________． 【答案】33x y【解析】【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可．【详解】 原式=(-3)×13x 2+1y 1+2= -x 3y 3 故答案为－x 3y 3【点睛】 本题主要考查单项式乘以单项式的法则.要准确把握法则是解答此题的关键.16．分解因式6xy 2－9x 2y －y 3 = _____________.【答案】－y(3x －y)2【解析】【分析】先提公因式-y ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】6xy 2－9x 2y －y 3=-y(9x 2-6xy+y 2)=-y(3x-y)2，故答案为：-y(3x-y)2.【点睛】本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步骤：一提（公因式），二套（套用公式），注意一定要分解到不能再分解为止.17．若2a b +=，3ab =-，则代数式32232a b a b ab ++的值为__________．【答案】-12【解析】分析：对所求代数式进行因式分解，把2a b +=，3ab =-，代入即可求解.详解：2a b +=，3ab =-，()()23223222223212.a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=-⨯=- ，故答案为：12.-点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.18．若=2m x ，=3n x ，则2m n x +的值为_____.【答案】18【解析】【分析】先把x m+2n 变形为x m （x n ）2，再把x m =2，x n =3代入计算即可．【详解】∵x m =2，x n =3，∴x m+2n =x m x 2n =x m （x n ）2=2×32=2×9=18；故答案为18．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．19．分解因式：32231827m m n mn -+=____________________【答案】23(3)m m n -【解析】【分析】先提公因式3m ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】3322m 18m n 27mn -+=3m(m 2-6mn+9n 2)=3m(m-3n)2，故答案为：3m(m-3n)2.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．20．因式分解34x x -= ．【答案】()()x x 2x 2-+-【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：()()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-．。
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2．【答案】A【解析】【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】 ()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.2．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a =b =c ，即可解决问题．【详解】∵a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）=0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0；∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣c ）2≥0，∴a ﹣b =0，b ﹣c =0，∴a =b =c ，∴△ABC 为等边三角形． 故选B ．【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边的长度，且满足a 2－b 2=c （a －b ），则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．规定一种运算：a*b=ab+a+b ，则a*（﹣b ）+a*b 的计算结果为（ ）A ．0B ．2aC ．2bD ．2ab【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵a*b=ab+a+b∴a*（﹣b ）+a*b=a （﹣b ）+a -b+ab+a+b=﹣ab+a -b+ab+a+b=2a故选B ．考点：整式的混合运算．5．如图，从边长为(4a )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】 利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1）=a 2+8a+16-a 2-2a-1=6a+15．故选D ．6．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A ．(a ＋1)(a －1)＝a 2－1B ．a 2－6a ＋9＝(a －3)2C ．x 2＋2x ＋1＝x (x ＋2x )＋1D ．－18x 4y 3＝－6x 2y 2·3x 2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B 、是因式分解，正确．C 、右边不是积的形式，错误；D 、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B ．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．8．若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ）A．43B．13C．43±D．13±【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得：kx=±2•2x•13，解得k=±43．故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2是关键．9．已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）A．b>0，b2-ac≤0 B．b＜0，b2-ac≤0C．b>0，b2-ac≥0 D．b＜0，b2-ac≥0【答案】D【解析】【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为()24a c-，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b，∴a+2b+c=4b＜0，∴b＜0，∴a2+2ac+c2=4b2，即22 224a ac c b++=∴b2-ac=()22222220 444a ca ac c a ac cac-++-+-==≥，故选：D.【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 10．下列运算中正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．()325a a =C ．226235a a a +=D ．()()22224a b a b a b +--=【答案】D【解析】【分析】 根据同底数幂的乘法，可判断A 和B ，根据合并同类项，可判断C ，根据平方差公式，可判断D ．【详解】A. 底数不变指数相加，故A 错误；B. 底数不变指数相乘，故B 错误；C. 系数相加字母部分不变，故C 错误；D. 两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D 正确；故选D.【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货.【答案】22【解析】【分析】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，根据题意列出方程组130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩，将两个方程相加得到(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，分解因式得()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，由A 和B 的单价总和是100到200之间的整数得到()(1)12921a b x y ++-=⨯，由此求得答案.【详解】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩， ∴(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，∴()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，∵A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，即100a b 200<+<，∴()(1)12921a b x y ++-=⨯，即129a b +=， 121x y +-=，∴x+y=22，故答案为：22.【点睛】此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据A 和B 的单价总和确定出x+y 的值.12．在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．【答案】a 2-b 2=(a+b)(a-b)【解析】【分析】根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案.【详解】∵第一个图形的面积是a 2-b 2，第二个图形的面积是12（b ＋b ＋a ＋a ）（a －b ）＝（a ＋b ）（a －b ）， ∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：a 2-b 2=(a+b)(a-b).故答案为a 2-b 2=(a+b)(a-b).【点睛】 本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.13．在实数范围内因式分解：22967x y xy --=__________． 【答案】122122933xy xy ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为222189399x y xy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.【详解】解：22967x y xy -- 2227=939x y xy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 222117=9+3999x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 218=939xy ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11=93333xy xy ⎛⎫⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11=933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭故答案为：9xy xy ⎛⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.14．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.15．因式分解:214y y ++=______ 【答案】212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：2222111124222y y y y y ⎛⎫⎛⎫++=+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .16．4x(m －n)＋8y(n －m)2中各项的公因式是________.【答案】4(m －n)【解析】根据题意，先变形为4x(m －n)＋8y(m －n)2，把m-n 看做一个整体，即可找到公因式4（m-n ）.故答案为：4（m-n ）.点睛：此题主要考查了提公因式法因式分解，根据公因式的特点，利用整体法确定公因式即可，关键是要把n-m 与m-n 变形为统一的式子.17．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________． 【答案】7或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．详解：∵x 2+2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．18．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______． 【答案】6【解析】 根据完全平方公式，可知（x ﹣1x ）2= x 2-2+21x =4，移项整理可得x 2+21x=6. 故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.19．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).20．若2a b +=，3ab =-，则代数式32232a b a b ab ++的值为__________．【答案】-12【解析】分析：对所求代数式进行因式分解，把2a b +=，3ab =-，代入即可求解. 详解：2a b +=，3ab =-，()()23223222223212.a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=-⨯=- ， 故答案为：12.-点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年人教版八年级数学上册 章节专项提高练习《整式的乘除与因式分解》1.若(x ﹣2)(x 2+ax+b)的积中不含x 的二次项和一次项，求(2a+b+1)(2a ﹣b ﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b 的值.2.（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为 ．（2）若(4x ﹣y)2=9，(4x+y)2=169，求xy 的值．3.比较下列四个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”或“=”).(1)42+52_______2×4×5;(2)(-1)2+22_______2×(-1)×2;(3)(-3)2+312______2×(-3)×31; (4)32+32_______2×3×3;(5)请通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论.4.观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．5.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历](1)计算：(12+92)﹣(22+82)= ，﹣= ，自己任选一个有4个数的方框进行计算 (2)通过计算你发现什么规律，并说明理由.6.阅读:已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.解:2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24.你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？8.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，对照两个图形的面积可以验证 公式(填公式名称)请写出这个乘法公式 .(2)应用(1)中的公式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2=15，x+2y=3，求x﹣2y的值；②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1.9.在形如a b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b 和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算.定义：如果23=8，所以log28=3：因为32=9，所以log39=2，根据以上信息回答下列问题：(1)计算：log381= ，log33= ，log636= ，log x16=4，则x= .(2)设a x=M，a y=N(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，猜想log a MN和log a的结果，并证明.(3)计算：①log2(2×4×8×16×32×64)；②log3；③log93+log927.10.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．参考答案1.解：(x ﹣2)(x 2+ax+b)=x 3+ax 2+bx ﹣2x 2﹣2ax ﹣2b=x 3+(a ﹣2)x 2+(b ﹣2a)x ﹣2b ，∵(x ﹣2)(x 2+ax+b)的积中不含x 的二次项和一次项，∴a ﹣2=0且b ﹣2a=0，解得：a=2、b=4，(2a+b+1)(2a ﹣b ﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b=(2a)2﹣(b+1)2﹣(a 2﹣4b 2)+2b=4a 2﹣b 2﹣2b ﹣1﹣a 2+4b 2+2b=3a 2+3b 2﹣1，当a=2、b=4时，原式=3×22+3×42﹣1=12+48﹣1=59.2.解：（1）（b+a ）2﹣（b ﹣a ）2=4ab（2）（4x+y ）2﹣（4x ﹣y ）2=16xy=160，∴xy=10．3.解：(1)>.(2)>.(3)>.(4)=.(5)结论：对于任意有理数a ，b ，都有a 2+b 2≥2ab.当a ≠b 时，a 2+b 2>2ab ；当a=b 时，a 2+b 2=2ab.4.解：（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4﹣b 4；…可得到（a ﹣b ）（a 2016+a 2015b+…+ab 2015+b 2016）=a 2017﹣b 2017，故答案为：a 2017﹣b 20175.解：(1)(12+92)﹣(22+82)=1+81﹣4﹣64=14﹣=100+324﹣121﹣289=14，(32+112)﹣(42+102)=9+121﹣16﹣100=14，故答案为：14；(2)计算结果等于14，理由是：设最小的数字为n ，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，所以[n 2+(n+8)2]﹣[(n+1)2+(n+7)2]=n 2+n 2+16n+64﹣n 2﹣2n ﹣1﹣n 2﹣14n ﹣49=14.6.原式=-4a 3b 3+6a 2b 2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab,当ab=3时,原式=-4×33+6×32-8×3=-108+54-24=-78.7.解：（1）找规律：2244120=⨯=-， 22124342=⨯=-， 22204564=⨯=-， 22284786=⨯=-， ……2220124503504502=⨯=-，所以28和2012都是神秘数．（2）()()()22222421k k k +-=+，因此由这两个连续偶数22k +和2k 构造的神秘数是4的倍数．（3）由（2）知，神秘数可以表示成()421k +，因为21k +是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为21n +和21n -，则()()2221218n n n +--=，即两个连续奇数的平方差是8的倍数． 因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．8.解：(1)图1中阴影部分面积为a 2﹣b 2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a ﹣b)，对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b).故答案为：a 2﹣b 2，(a+b)(a ﹣b)，平方差，a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b).(2)①∵x 2﹣4y 2=(x+2y)(x ﹣2y)，∴15=3(x ﹣2y)，∴x ﹣2y=5；②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1=(264﹣1)(264+1)+1=2128﹣1+1=2128.9.解：(1)log 381=log 334=4，log 33=1，log 636=log 662=2，log x 16=4，则x=2；答案为：4；1；2；2；(2)log a MN=log a M+log a N ；log a =log a M ﹣log a N ；证明：log a MN=log a a x •a y =log a a x+y =x+y ；log a M+log a N=x+y ，则log a MN=log a M+log a N ；log a =log a =log a a x ﹣y =x ﹣y ；log a M ﹣log a N=x ﹣y ，则log a =log a M ﹣log a N ；(3)①原式=log 22+log 24+log 28+log 216+log 232+log 264=1+2+3+4+5+6=21；②原式=log 3243﹣log 381=5﹣4=1；③原式=log 93×27=log 981=2.一、综合题10.解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=﹣1，a=3，则a﹣b=4；（2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（2）∵x+y=2，∴y=2﹣x，则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，则x﹣1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=﹣2，∴xyz=2．。