基于RAMP密度插值理论的拓扑优化准则法
基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究
基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究引言：连续体结构是指由连续材料组成的结构，如桥梁、建筑物和飞机机翼等。
对于设计者来说，如何优化这些结构的拓扑是一个重要且复杂的问题。
结构拓扑优化可以帮助设计者找到一个在给定的约束条件下最优的结构形状。
在过去的几十年里，许多方法已经被提出来解决这个问题，其中变密度法是一种被广泛应用于连续体结构优化的方法。
1.变密度法的原理变密度法是一种基于材料密度的优化方法，它通过改变结构中不同区域的密度来调整结构的拓扑。
其基本思想是先将结构划分为许多小的单元，然后对每个单元中的材料密度进行调整，最终得到最优的材料密度分布。
2.变密度法的步骤（1）定义设计域：将结构划分为多个单元，并给每个单元中的材料密度分配一个初始值。
（2）定义目标函数和约束条件：目标函数是设计者所期望的结构性能，如最小重量或最大刚度。
约束条件可以包括应力约束和位移约束等。
（3）改变材料密度：通过增加或减小材料密度来调整结构的拓扑，使得目标函数在约束条件下达到最优。
（4）更新设计：根据目标函数和约束条件的要求，更新每个单元中的材料密度。
（5）重复迭代：不断重复步骤3和步骤4，直到满足预设的终止条件。
3.变密度法的优点（1）灵活性：变密度法可以产生各种不同的材料布局，适用于不同的结构类型和工程问题。
（2）低计算成本：相对于其他优化方法，变密度法的计算成本较低，可以在较短的时间内得到较好的结果。
（3）自适应性：变密度法能够根据目标函数和约束条件的变化自动调整材料密度，实时更新结构拓扑。
（4）材料节约：通过优化结构拓扑，变密度法能够使结构重量降低，从而节约材料成本。
4.变密度法的应用领域变密度法可以应用于多个领域，包括航空航天、建筑工程和交通运输等。
例如，在航空航天领域，变密度法可以用于优化航空器的机翼结构，提高飞行性能和燃油效率。
在建筑工程领域，变密度法可以用于设计高效且节约材料的建筑结构。
在交通运输领域，变密度法可以用于优化汽车车身结构，提高安全性和燃油经济性。
改进插值模型的变密度法拓扑优化研究
改进插值模型的变密度法拓扑优化研究改进插值模型的变密度法拓扑优化研究摘要：随着科技的发展，实现快速高效的拓扑优化成为了现代工程设计的重要课题。
为了解决传统拓扑优化方法在密度变化较大的区域存在的问题，本文提出了一种改进的插值模型——变密度法，用于进行拓扑优化。
通过对变密度法进行理论分析和数值仿真，本文验证了其在提高优化效果和加速优化过程方面的优越性。
一、引言拓扑优化旨在通过优化材料分布和结构连接来实现结构的轻量化和功能性的提升。
然而，传统的拓扑优化方法在处理密度变化较大的区域时常常产生过于平滑的结果，导致设计的细节信息丢失。
因此，我们需要寻找一种能够更好地处理密度变化的方法，以提高拓扑优化的效果。
二、变密度法的原理变密度法基于密度过滤函数对设计空间进行划分，并通过插值方法在不同密度区域之间建立连接。
其主要思想是将设计域划分为若干个小区域，并根据特定的密度过滤函数赋予每个区域一个相对密度值。
在不同密度区域的边界上，利用插值方法建立连接，以实现结构在区域之间的平滑过渡。
三、变密度法的改进针对传统的变密度法存在的问题，本文提出了一种改进方法，主要包括两个方面：一是改进密度过滤函数，二是改进插值方法。
3.1 改进密度过滤函数传统的密度过滤函数常常使用高斯函数或sigmoid函数，但这些函数在处理密度变化较大的区域时存在不足。
本文提出使用多项式函数作为密度过滤函数，通过调整多项式的阶数和系数来适应不同的密度变化情况，从而更好地处理密度变化较大的区域。
3.2 改进插值方法传统的插值方法常常使用线性插值或二次插值，但这些方法在处理密度变化较大的区域时往往会导致较大误差。
本文提出使用样条插值方法，通过拟合密度变化曲线来实现更准确的插值，从而提高拓扑优化的效果。
四、数值仿真与实验结果本文通过数值仿真验证了改进的变密度法在拓扑优化中的优越性。
首先，选择了几个典型的拓扑优化案例，比较了传统变密度法和改进的变密度法在结构轻量化程度和收敛速度上的差异。
工程结构拓扑优化的理论研究及应用_满宏亮
提要本文首先介绍了国内外拓扑优化技术的研究发展现状，讨论了拓扑优化的原理、方法以及各种拓扑优化算法。
其次，着重研究了SIMP 材料插值方法，建立了基于SIMP 理论的连续体结构拓扑优化模型，选取准则优化法对其密度迭代格式进行了推导；并且利用MATLAB软件编程实现，有效地进行了平面结构的分析和拓扑优化设计。
然后，分析了拓扑优化中的数值计算不稳定性现象，研究了能够有效消除拓扑优化中的数值计算不稳定性现象的各种解决方法，并对其进行了比较。
最后，利用连续体结构拓扑优化求解理论和算法，使用结构有限元分析软件Hyperworks 对具体工程结构部件进行了拓扑优化设计研究，成功地应用到了实际工程问题中，算例结果表明了该优化方法的有效性和正确性。
关键词：有限元拓扑优化材料插值模型数值计算不稳定性优化求解算法Key words: FEA Topology optimization Material InterpolationModel Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i-目录第一章绪论 (1)1.1 前言 (1)1.2 国内外拓扑优化研究概况 (3)1.3 本文研究内容及意义 (9)第二章现代结构拓扑优化理论 (11)2.1 拓扑的概念 (11)2.1.1 拓扑学的由来 (11)2.1.2 拓扑学及拓扑性质 (13)2.2 结构拓扑优化原理和方法 (16)2.2.1 拓扑优化的基本原理 (17)2.2.2 结构拓扑优化设计方法 (17)2.2.3 拓扑优化设计方法比较 (21)2.3 拓扑优化设计的优化算法概述 (22)2.3.1 优化算法分类 (22)2.3.2 拓扑优化常用算法 (24)第三章连续体结构拓扑优化的模型建立与求解算法 (27)3.1 连续体结构拓扑优化设计的模型描述 (29)3.2 数学模型的有限元离散 (34)3.2.1 单元应变和应力.........................................34吉林大学硕士研究生学位论文-ii-3.2.2 单元平衡方程 (35)3.2.3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 (38)3.3 基于SIMP 理论的优化准则法 (39)第四章结构拓扑优化程序实现 (45)4.1 基于SIMP 理论的优化准则法迭代分析流程 (45)4.2 优化过程的MA TLAB 编程实现 (47)4.3 计算实例 (48)4.3.1 单一工况简支梁算例 (48)4.3.2 单一工况悬臂梁算例 (49)4.3.3 多工况简支梁算例 (50)第五章连续体结构拓扑优化中数值不稳定问题的研究 (51)5.1 多孔材料问题 (52)5.2 棋盘格式问题 (52)5.2.1 棋盘格现象 (52)5.2.2 棋盘格式产生的原因 (53)5.2.3 棋盘格解决方法 (53)5.3 网格依赖性问题 (56)5.3.1 网格依赖性现象 (56)5.3.2 网格依赖性问题产生的原因 (57)5.3.3 网格依赖性解决方法 (57)5.4 局部极值问题 (59)5.5 克服数值不稳定现象几种主要方法的比较.......................60目录-iii-第六章拓扑优化技术的应用 (61)6.1 拓扑优化分析软件介绍 (61)6.2 拓扑优化技术的应用举例 (65)6.3 拓扑优化技术应用算例 (67)6.3.1 算例一某型轿车车门内板的拓扑优化 (67)6.3.2 算例二某型轿车控制臂的拓扑优化 (71)第七章全文总结与展望 (75)7.1 全文总结 (75)7.2 研究展望 (76)参考文献 (77)摘要 (I)Abstract (I)致谢.......................................................... I-1-第一章绪论1.1 前言近年来，随着计算机技术和数值方法的快速发展，工程中许多大型复杂结构问题都可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到解决。
拓扑优化_精品文档
-1整数变量问题变为0～1间的连续变量优化模型，获得方程（在设计变
量上松弛整数约束）的最直接方式是考虑以下问题：
min u,
uout
N
s.t.: min 1 min e Ke u f e1
N
vee V
e1
0 e 1, e 1,2,, N
其中 e 可取0-1之间的值
（6）
然而这种方程会导致较大区域内 e 是在0-1之间的值，所以必须添加额外 的约束来避免这种“灰色”区域。要求是优化结果基本上都在 e 1 或
而对于结构拓扑优化来说，其所关心的是离散结构中杆件之间的最优 连接关系或连续体中开孔的数量及位置等。拓扑优化力图通过寻求结构的 最优拓扑布局(结构内有无孔洞，孔洞的数量、位置、结构内杆件的相互 联接方式)，使得结构能够在满足一切有关平衡、应力、位移等约束条件 的情形下，将外荷载传递到支座，同时使得结构的某种性能指标达到最优。 拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有无穷多种形式， 并且这些拓扑形式难以定量的描述即参数化。
结构渐进优化法(简称ESO法)
通过将无效的或低效的材料 一步步去掉，获得优化拓扑，方法通 用性好，可解决尺寸优化，还可同时 实现形状与拓扑优化(主要包括应力， 位移／刚度和临界应力等约束问题的 优化)。
2.问题的设定
柔顺机构的拓扑优化
首先假设线性弹性材料有微小的变形
柔顺结构的一个重要运用在于机电系统（MicroElectroMechanical Systems(MEMS),在该系统中小规模的计算使得很难利用刚体结构来实现铰链、 轴承以及滑块处的机动性。
如果我们只考虑线性弹性材料（只发生微小变形）的分析问题，则决定 输出位移的的有限元方法公式为：
拓扑优化密度法
拓扑优化密度法是一种基于数学模型的优化方法，用于在给定的设计空间中，通过优化材料的分布，得到最优的结构形态。
该方法将结构分解为离散的单元，每个单元可以是实体或空洞。
每个单元的材料密度可以表示为一个介于0和1之间的数值，其中0代表空洞，1代表实体。
通过对每个单元的材料密度进行优化，可以得到最优的结构形态。
拓扑优化密度法通常使用有限元分析(Finite Element Analysis，FEA)来评估结构的性能。
在每次优化迭代中，根据当前的材料密度分布，进行有限元分析，计算结构的性能指标，如刚度、强度、自重等。
然后，根据预先设定的优化目标和约束条件，通过数学优化算法，更新材料密度分布，以获得更优的结构形态。
这个过程循环迭代，直到达到设计要求或收敛。
拓扑优化密度法通常使用COMSOL Multiphysics软件进行实现。
COMSOL软件提供了一种密度拓扑功能，可以提高拓扑优化的易用性。
该功能作为密度方法使用（参考文献3），这意味着控制参数可以通过插值函数更改材料参数。
固体和流体力学的插值函数已经内置到该功能中，并应用在COMSOL Multiphysics案例库的所有示例模型中。
此外，为了简化拓扑优化问题的解决方案，COMSOL软件提供了一种密度拓扑功能。
拓扑优化和密度方法顾名思义，拓扑优化是一种能够针对给定的目标函数和约束条件为工程结构找出新的更好拓扑的方法。
该方法通过引入一组设计变量来描述这些新拓扑，即描述设计空间中材料是否存在。
这些变量被定义在网格的每个单元内或网格的每个节点上。
因此，更改这些设计变量类似于更改拓扑。
这意味着结构中的孔可以出现、消失和合并，并且边界可以采用任意形状。
请注意，拓扑优化是一个复杂的过程，需要仔细地定义和调整各种参数以获得最佳的结果。
建议在使用这种技术时寻求专业建议或咨询相关领域的专家。
拓扑优化算法
拓扑优化算法一、引言拓扑优化算法是一种旨在找到结构优化方案的方法，该方案会最大程度地提高性能或减少成本。
在各个领域中，如工程设计、网络规划和材料科学等，拓扑优化算法都起到了至关重要的作用。
本文将从算法原理、应用领域、算法分类和应用案例等方面进行深入探讨。
二、算法原理拓扑优化算法基于拓扑结构来进行设计优化。
它通过改变结构的形状和连接方式，以最大程度地提高结构的性能。
算法原理主要包括以下几个方面：1. 基本原理•首先，需要定义一个结构的初始拓扑。
•其次，根据特定的目标函数和约束条件，通过优化算法对拓扑进行调整。
•最后，通过对不同的拓扑变量进行优化，得到最优的结构设计。
2. 目标函数和约束条件•目标函数是用来衡量结构性能的函数，如材料强度、柔韧性和减震能力等。
•约束条件是在优化过程中需要满足的条件，如体积限制、稳定性要求等。
3. 优化算法拓扑优化算法主要有以下几种： - 拉格朗日乘子法 - 梯度法 - 遗传算法 - 粒子群算法三、应用领域拓扑优化算法在各个领域中得到了广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 工程设计在工程设计中，拓扑优化算法能够帮助提高结构的强度和刚度，减少材料用量和重量。
常见的应用包括飞机翼设计、桥梁设计和汽车车身设计等。
2. 材料科学拓扑优化算法在材料科学中被用来设计新型的材料结构。
通过改变材料的拓扑结构，能够实现特定的性能，如隔音、隔热和导热等。
3. 电力系统规划拓扑优化算法在电力系统规划中能够优化电网的拓扑结构，以提高电网的可靠性和稳定性。
通过合理安排输电线路和变电站等设施，能够减少功耗和线损。
4. 通信网络规划在通信网络规划中，拓扑优化算法能够优化网络的拓扑结构，以提高网络的传输性能和抗干扰能力。
通过合理布置路由器和光纤等设备，能够减少信号传输时延和丢包率。
四、算法分类拓扑优化算法可以被分为两类：连续拓扑优化算法和离散拓扑优化算法。
1. 连续拓扑优化算法连续拓扑优化算法将结构建模为连续的介质，通过对介质的密度进行优化来改变结构的形状。
高等数学中的拓扑优化方法及应用
高等数学中的拓扑优化方法及应用拓扑学是一门和几何密切相关的数学分支，它研究的是空间形状和空间变化的本质特征。
在现代科学和工程领域中，拓扑学已经成为了一种重要的分析和优化工具。
在高等数学中，拓扑优化方法被广泛应用于各种实际问题的求解中，本文将介绍拓扑优化方法及其在实际问题中的应用。
一、拓扑优化方法的基本原理拓扑优化方法是建立在数学拓扑学基础上的。
其核心思想是通过对结构与形状的分析和优化，使得结构在满足约束条件的前提下达到最优。
通过调整物体内部的材料结构物理性质，从而改变物体的外形和性能，这种方法称为拓扑优化方法。
基本步骤：1、表示优化部件的有限元网格，将优化部件离散化为有限元网格。
2、将网格中的单元分为设计区域和非设计区域，其中设计区域用于优化。
3、引入设计变量，对设计区域进行编码以表示设计变量，每一个编码均对应了一种设计组合。
4、使用拓扑优化算法对每个设计组合进行优化，找到最优解。
5、生成CAD，最终生成优化后的效果。
二、拓扑优化方法在实际问题中的应用1、高速火车的运动稳定性高速火车行驶时，其稳定性非常重要。
工程师需要考虑高速火车的动力性能和空气动力学力学条件，以确保火车在高速行驶时保持稳定。
在实际工程中，拓扑优化方法被广泛应用于高速火车的稳定性问题的研究中。
通过优化车体的形状和密度分布，可以优化火车的运动稳定性。
2、结构优化在机械、航空航天、建筑等领域中，优化结构是必不可少的一步。
通过拓扑优化方法可以优化各种结构的形状和材料分布，从而使结构在满足约束条件的前提下达到最优。
例如在航空航天中，通过对飞机的翼型进行优化，可以使得飞机的升力系数达到最大。
3、光学元件设计光学元件在各个领域中都有广泛的应用。
光学元件的设计优化是一个需要进行的重要性问题，其中拓扑优化方法可以被用于优化光学元件的形状和材料分布，从而提高光学元件的性能。
例如在太阳能电池板中，通过对太阳能电池板的形状和材料分布进行优化，可以优化太阳能的捕获效率。
拓扑优化算法
拓扑优化算法拓扑优化算法是在对拓扑结构进行优化的过程中使用的一种方法。
其目的是通过调整网络的连接方式，使得网络的性能得到改善。
拓扑优化算法可以应用于各种网络拓扑，如计算机网络、通信网络、物流网络等。
它的基本原理是通过调整网络节点之间的连接关系，来改变网络的结构，从而达到优化网络性能的目的。
拓扑优化算法通常包括以下几个步骤：1. 首先，需要明确需要优化的网络性能指标。
不同的网络系统可能关注的性能指标不同，比如计算机网络可能关注的是网络延迟、吞吐量等；而物流网络可能关注的是运输成本、效率等。
2. 接下来，需要根据具体的网络拓扑结构，构建网络模型。
网络模型可以采用图论中的图结构来表示，其中节点表示网络中的元素，边表示节点之间的连接关系。
3. 然后，需要制定优化目标函数。
目标函数是指在拓扑优化过程中需要最小化或最大化的函数，通常与网络性能指标相关。
4. 在明确了目标函数之后，可以使用优化算法对网络拓扑进行优化。
常用的优化算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法可以通过调整网络节点之间的连接关系，找到一个近似最优的网络拓扑。
5. 最后，需要对优化结果进行评估。
评估可以采用模拟实验、仿真实验等方法，来验证优化结果的有效性。
拓扑优化算法的研究和应用广泛，可以应用于各种实际问题。
比如，在计算机网络中，通过优化网络拓扑可以提高网络的传输速度和稳定性；在物流网络中，通过优化网络拓扑可以降低运输成本和提高效率。
除了上述步骤外，还有一些值得注意的点：- 在网络拓扑优化过程中，需要考虑到现有网络的约束条件。
比如，在计算机网络中，网络节点之间的连接关系可能受到物理设备的限制。
在优化过程中需要遵守这些约束条件。
- 拓扑优化算法可以采用启发式算法来近似求解最优解。
启发式算法是一种通过启发性规则来指导搜索过程的算法，可以在较短的时间内找到较好的解。
典型的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法等。
- 还可以使用多目标优化算法来解决拓扑优化问题。
拓扑优化方法
Ke
d
Be TD d eHBed
K de deNe TN ed
上 式 中 N e 为 单 元 形 状 函 数 , i 为 振 型 , 为 单 元 密 度 。
均匀化理论 其基本思想是:将结构看成是含单一微结构的单胞在板平面内周期重复构造而成的，并且在宏观和细 观两种尺度上描述总体结构的位移和应力。 总体结构的位移和应力可展开成关于两种尺度之比ε(0 <ε<< 1) 的渐近展开式。
从其优化问题的求解方法上一般分为 ➢ 优化准则法 Optimality Criteria(OC) methods ➢ 序列线性规划法 Sequential Linear Programming (SLP)methods ➢ 序列二次规划法 Sequential Quadratic Programming ➢ 移动渐进法 Method of Moving Asymptotes (MMA)
述结构的最优拓扑。
四、拓扑优化方法分类
从其物理模型的描述方法上一般分为 ➢ 基结构法(The Ground Structural Method) ➢ 均匀化方法(The Homogenization Method) ➢ 渐进结构优化方法(The Evolutionary Structural Optimization) ➢ 相对密度法(The Artificial Materials Method)
结构优化与材料优化
第一节 概述 第二节 结构优化设计的准则法 第三节 结构的拓扑优化方法 第四节 功能材料优化设计 第五节 柔性机构优化设计 第六节 结构多学科设计优化
第一节 概述
结构轻量化，提高有效载荷是飞行器设计者追求的永恒主题。随着计算技术、材料科学、制造技 术的飞速发展，传统的设计、制造方法及结构形式已无法满足先进结构性能与功能的要求，独特 的服役力学环境对结构设计提出了前所未有的基础科学问题。事实表明，火箭或人造卫星的结构 重量每减少一公斤，将获得整体重量减少一百公斤的增量系数；近年来，复合材料，蜂窝层板及 泡沫材料等轻质结构由于其抗冲击、减震、吸能、隔音、散热等优越性能而受到普遍的关注，在 先进飞行器设计中应用日益广泛, 而这些优异特性的根本在于进行结构优化设计和材料优化设计。
连续体结构拓扑优化方法及应用
连续体结构拓扑优化方法及应用一、引言连续体结构是指由连续材料构成的结构，其特点是具有连续的物理和力学性质。
拓扑优化是一种通过改变结构的连通性来优化结构形状的方法。
在过去的几十年中，连续体结构拓扑优化方法得到了广泛的研究和应用。
本文将介绍连续体结构拓扑优化的基本原理和常用方法，并讨论其在工程设计、航空航天、汽车制造等领域的应用。
二、连续体结构拓扑优化的基本原理连续体结构拓扑优化的目标是通过改变结构的连通性，使结构在满足给定约束条件下具有最佳的性能。
其基本原理是将结构划分为离散的单元，通过增加或删除这些单元来改变结构的拓扑形状。
拓扑优化的目标函数通常包括结构的重量、刚度、自然频率等性能指标，约束条件则包括材料的强度、位移限制等。
三、常用的连续体结构拓扑优化方法1. 基于密度法的拓扑优化方法基于密度法的拓扑优化方法是最早提出的一种方法，其基本思想是将结构中的每个单元赋予一个密度值，通过改变密度值来控制单元的存在与否。
当密度值为0时，表示该单元不存在；当密度值为1时，表示该单元完全存在。
通过优化密度分布，可以得到最佳的结构拓扑形状。
2. 基于演化算法的拓扑优化方法基于演化算法的拓扑优化方法是一种启发式的搜索方法，常用的算法包括遗传算法、粒子群优化算法等。
这些算法通过模拟生物进化、群体行为等过程，逐步搜索最佳的结构拓扑形状。
相比于基于密度法的方法，基于演化算法的方法更适用于复杂的结构优化问题。
3. 基于灵敏度分析的拓扑优化方法基于灵敏度分析的拓扑优化方法是一种基于结构响应的方法。
通过计算结构的灵敏度矩阵，可以得到结构在不同单元上的响应变化情况。
进而可以根据灵敏度分析的结果，调整单元的密度分布，以实现结构形状的优化。
四、连续体结构拓扑优化的应用1. 工程设计连续体结构拓扑优化在工程设计中的应用非常广泛。
通过优化结构的拓扑形状，可以减少结构的重量，提高结构的刚度和强度。
这对于提高工程设备的性能和降低成本具有重要意义。
基于变密度法的调整座拓扑优化设计
2019.36科学技术创新基于变密度法的调整座拓扑优化设计姜玉涛1赵天伟2周利明1雷瑶2牛新立1（1、黑龙江新诺机器人自动化有限公司，黑龙江哈尔滨1500002、中国核工业二三建设有限公司，北京101300）1拓扑优化简介拓扑优化是从结构优化中衍生出来的一个分支，属于计算力学范畴，最初由Michell在桁架理论中首次提出拓扑优化的概念。
随后众多学者针对这一全新的概念展开了大量的研究。
拓扑优化根据设计变量的不同，分为离散体拓扑优化和连续体拓扑优化。
由于离散变量的目标函数和约束函数是不连续的，不可微的，因此其研究难度相比较于连续体拓扑优化复杂。
1988年Bendsoe等人提出基于均匀化法的连续体拓扑优化理论，开启了连续体拓扑优化的先河。
此后相继提出相对密度法、渐进优化法[1-3]、变密度法[2]等拓扑优化的数学模型。
不同于Bendsoe 等人提出基于均匀化法[2]，变密度法认为设计域中任何位置的材料都对应一种材料的微结构。
变密度法把材料作为设计变量，通过特定的材料插值模型，结合特定的惩罚函数对处于中间密度的材料结构进行优化，使迭代结果收敛于0到1之间。
不同于均匀化法，变密度法不引入真实的材料结构，程序简单，优化效率高，广泛应用于各大主流结构优化软件的内核中。
2拓扑优化的数学模型及算法2.1基于变密度法的拓扑优化数学模型变密度法引入一种假想的相对密度在0到1之间的可变材料，假设设计材料的弹性模量与密度成非线性关系。
采用惩罚函数约束密度介于0到1的单元，在一定的材料用量下，寻找结构最小柔顺性的结构材料的最佳分布形式。
以结构最大柔顺度为设计目标函数，体积为约束的数学模型[4]如下：其中：X为设计变量；x e为单元设计变量（e=1，2，...，N，N为设计变量数目）；C(X)为结构的柔顺度；F为载荷矩阵；U为位移矩阵；K为整体刚度矩阵；U和K分别为单元位移矩阵和单元刚度矩阵，V(X)为在设计变量状态下的结构有效体积；V0为设计变量取1状态下的结构有效体积，f为材料用量的百分比（体积系数）；（这里取1和0.01）；P为惩罚因子（一般为P=3）。
基于密度法的连续体拓扑优化设计研究
基于密度法的连续体拓扑优化设计研究基于密度法的连续体拓扑优化设计研究摘要：连续体拓扑优化设计是一种基于密度法的优化方法，通过改变材料分布来实现结构体积的最优配置，以提高结构的性能和效率。
本文以连续体拓扑优化设计为研究对象，综述了其基本原理和方法，并探讨了其在工程实践中的应用前景。
1.引言连续体拓扑优化设计是一种基于密度法的优化技术，通过对结构内部材料密度的分布进行优化，实现结构物的最优配置，以提高结构体积的效率。
该方法在工程领域具有广泛的应用前景，可以应用于航空、汽车、船舶等领域的结构设计和优化。
2.基本原理连续体拓扑优化设计的基本原理是基于拉格朗日乘子法和有限元离散的数学模型。
通过引入一个密度变量来表示每个单元的材料状态，根据基于材料密度和拓扑结构的约束条件，建立目标函数和约束条件，并利用优化算法来求解最优解。
3.方法与步骤连续体拓扑优化设计的方法与步骤包括：(1) 建立有限元模型：将结构物分割为有限个单元，建立有限元模型，指定加载条件和约束条件。
(2) 引入密度变量：将每个单元的材料状态表示为一个密度变量，取值范围为0到1，0表示材料为空，1表示材料满。
(3) 建立目标函数和约束条件：以最小化结构的体积为目标函数，同时满足结构的强度和刚度约束条件。
(4) 进行优化求解：利用优化算法，如遗传算法、蚁群算法等，对目标函数和约束条件进行优化求解。
(5) 结果分析与优化：分析优化结果，对结构进行进一步优化设计，获得理想的结构形态和材料布局。
4.应用前景连续体拓扑优化设计在工程实践中具有广泛的应用前景。
一方面，它可以应用于航空、汽车、船舶等领域，提高结构的强度和刚度，在满足约束条件的前提下降低结构的重量和体积。
另一方面，它还可以应用于新材料的研发和设计中，根据不同材料的特性进行优化设计，提高材料的性能和效率。
5.挑战与展望在连续体拓扑优化设计的研究和应用中，仍存在一些挑战与问题。
一方面，连续体拓扑优化设计需要大量的计算资源和时间，对计算能力和算法效率提出了要求。
基于节点密度的连续体结构拓扑优化+方法研究及其应用
TH122 621
密级
公开
硕
士
学
位
论
文
基于节点密度的连续体结构拓扑优化 方法研究及其应用
学 位 申 请 人： 学 指 科 导 专 教 业： 师：
严双桥 机械制造及其自动化 杜义贤 副教授
二○一五年六月
万rtial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master of Science in Engineering
Mechanical Manufacture and Automation Associate Prof. Du Yixian
China Three Gorges University Yichang, 443002, P.R.China June, 2015
万方数据
三峡大学学位论文原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明 确方式标明，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
学位论文作者签名：_______________ 日 期：_______________
I
万方数据
内 容 摘 要
全文以基于节点密度的连续体拓扑优化作为研究对象， 主要讨论拓扑优化中具有 高阶连续性的密度场的构造方法及中间密度节点的抑制方法， 并将该方法应用于微结 构优化中。 首先，针对连续体拓扑优化中存在的棋盘格和网格依赖性问题，采用双线性插值 函数，建立了基于节点密度的拓扑优化密度插值模型，构造了光滑的密度场，从而使 设计区域的密度场函数具有C0连续性，在数学本质上抑制了棋盘格现象；然后提出了 一种改进的敏度更新技术，通过建立过滤半径与网格密度之间的关系，使过滤半径随 着网格密度的增加而保持不变， 将改进的敏度过滤法应用于基于节点密度法的拓扑优 化中，消除了网格依赖性现象。 然后，针对SIMP模型中删除大量的相对密度比较大的节点这种不合理的惩罚方 式，提出一种新的密度惩罚方法，在优化迭代求解过程中，该方法能将相对密度小于 某一给定值的节点密度向0方向惩罚，而大于该给定值的节点密度向1方向惩罚，避免 了删除大量中间密度节点，减少了中间密度节点数量，通过数值算例表明：该方法可 以得到边界更加清晰的拓扑优化结果。 最后，采用均匀化方法，对微结构宏观等效弹性性能进行了推导，编写了宏观等 效弹性性能计算程序，通过算例验证了其正确性；针对在微结构优化中也会存在棋盘 格式和灰度单元等数值不稳定现象，将本文提出的方法应用到材料微结构拓扑优化 中， 数值算例表明采用本文的节点密度拓扑优化方法得到具有极端弹性性能的拓扑结 构，并且没有出现棋盘格式。 关键词：拓扑优化；节点密度；双线性插值；均匀化法；微结构优化
基于密度体积插值方法的结构拓扑优化
基于密度体积插值方法的结构拓扑优化许小奎;郭宝峰;金淼【摘要】A density-volume interpolation scheme applied in the variable density method was pro-posed,which was used for controlling grayscale elements in the topology optimization of continuum structures.In the new interpolation scheme,a linear relationship was established between the element stiffness and the relative density to ensure that the element stiffness changed smoothly with the chan-ges of relative density in each iteration.And a penalty function was established between the element volume and the relative density in order to penalize the intermediate densities,which is better for re-ducing the number of grayscale elements acompained with the intermediate densities approaching both ends.The new interpolation scheme was introduced into the minimum volume optimization problems subj ected to displacement constraints.The examples show that the optimization process changes little when increasing the penalty and it indicates that this algorithm is relatively stable.When solving the topology optimization problems with the same structures,it shows that there are less grayscale ele-ments in the optimization results by using the new interpolation scheme than the results optimized by the SIMP and RAMP method.It is because a large penalty may be implemented on intermediate densi-ty in the new interpolation scheme.%针对变密度法结构拓扑优化中灰度单元的控制问题,提出了一种密度体积插值方法.该方法构造的刚度与相对密度之间的线性关系保证了迭代中单元刚度变化的稳定性;构造体积与相对密度之间的惩罚关系以实现惩罚中间密度,同时更有利于在中间密度向两端逼近的同时降低灰度单元的数量.应用该插值方法对位移约束体积最小化问题进行求解,所得结果显示,增大惩罚程度,优化过程浮动较小,算法相对稳定.与应用SIMP方法和RAMP方法的优化结果相比较可知,在求解同一结构拓扑优化问题时,采用该方法且增大惩罚程度后的优化结果中灰度单元减少明显.【期刊名称】《中国机械工程》【年(卷),期】2017(028)011【总页数】5页(P1269-1273)【关键词】插值方法;变密度法;位移约束;拓扑优化【作者】许小奎;郭宝峰;金淼【作者单位】燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室,秦皇岛,066004;燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室,秦皇岛,066004;燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室,秦皇岛,066004【正文语种】中文【中图分类】TH122;O343自1988年BENDSOE等[1]提出用于求解连续体拓扑优化的均匀化方法以来，连续体结构拓扑优化一直是结构优化领域研究的热点。
导重法求解柔性机构多目标拓扑优化问题
导重法求解柔性机构多目标拓扑优化问题安宗文;秦浩星;孙道明【摘要】柔性机构中为同时考虑结构的刚性和机构的柔性,研究结构整体柔度最小化和结构输出位移最大化的多目标拓扑优化设计方法.建立基于RAMP插值模型的多目标拓扑优化设计模型,采用伴随敏度分析法进行目标函数敏度分析.将导重法引入到柔性机构拓扑优化问题的求解中,推导出柔性机构多目标拓扑优化问题的迭代表达式.对柔性机构的典型算例进行拓扑优化计算,算例结果表明,基于RAMP插值模型结合导重法求解柔性机构多目标拓扑优化问题具有设计变量少、收敛速度快、优化效率高的特点,上述方法的结合为求解柔性机构多目标拓扑优化问题提供了一条新途径.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2016(042)002【总页数】5页(P33-37)【关键词】柔性机构;多目标;RAMP插值模型;导重法;拓扑优化【作者】安宗文;秦浩星;孙道明【作者单位】兰州理工大学机电工程学,甘肃兰州 730050;兰州理工大学机电工程学,甘肃兰州 730050;兰州理工大学机电工程学,甘肃兰州 730050【正文语种】中文【中图分类】TH11柔性机构是一种通过弹性变形而产生机械运动的易弯曲机构[1-2].与传统机构相比,柔性机构不存在制造复杂和装配困难,因此正越来越多地用于传动系统、无线通讯和光学系统、航空航天设备、生物医疗设备、微电路集成制造和微加工等领域中[3-4].为确保柔性机构能完成预定的工作,需要具有足够的柔性,同时为保证机构本身的机械效率和工作的稳定性,还需要有足够的刚度[5].因此,对柔性机构同时考虑柔性和刚性的多目标优化设计显得尤为重要.导重法由陈树勋[5-6]最早提出,起初应用于卫星天线等桁架结构优化中,该方法在后期得到了推广.李枝东、刘辛军[7]对单工况拓扑优化问题,将导重法引入并求解了最小柔度的拓扑优化问题.文献[8]导重法结合SIMP法插值模型求解了最小柔度和最小质量拓扑优化问题,并用对偶方法对迭代表达式中的拉格朗日乘子求解方法进行了改进.许华旸、关立文等[9]用导重法对惯性载荷下以转动惯量为约束的最小柔度拓扑优化问题进行求解,对重力和离心力共同作用下的多工况拓扑优化问题迭代表达式进行了推导.本文以RAMP(rational approximation of material properties,RAMP)材料插值模型为基础,提出了以结构柔度和输出节点位移为目标拓扑优化方法,建立了多目标拓扑优化模型,推导了适用于柔性机构多目标设计的伴随矩阵分析方法,并结合导重法求解该拓扑优化模型,最后通过典型算例分析对上述理论进行了验证.柔性机构中,整体结构刚性由结构的应变能或柔度来表征,刚度越大则柔度越小,结构柔性则由互应变能或输出节点的位移来表征.结构的互应变能EMSE(mutual strain energy)、应变能ESE(strain energy)、节点位移ui(x)、柔度C分别表示如下：式中：ε是应变矩阵；是单元伴随位移矢量；D是弹性矩阵；u是单元位移矩阵；是结构整体伴随位移矢量；K是结构总刚度矩阵；U是结构整体位移列阵；L是伴随载荷矢量；C是结构的总体柔度.1.1 RAMP插值模型拓扑优化问题是将离散变量{0,1}映射成[0,1]连续变量的优化问题.通过引入惩罚函数模型以消除中间变量,使得连续变量[0,1]更好地逼近{0,1}离散变量.拓扑优化最常见的建模方法是变密度法,插值模型有SIMP(solid isotropic microstructure with penalization,SIMP)和RAMP(rational approximation of material properties,RAMP)[10],其模型分别采用幂级数和有理数建立设计变量xe与弹性模量E的关系.通过调整结构中单元弹性模量,从而改变结构总体刚度矩阵,以寻找满足约束条件的最优解.无论是SIMP法还是RAMP法都有较高的研究价值.然而SIMP法有两个明显的缺点：其一是理论上SIMP法不能获得全局最优解；其二是优化结果对惩罚因子比较敏感,最优结果不易控制.相比之下,RAMP法能有效避免上述缺点.RAMP插值模型的数学表达形式：式中：e=1,2,…,N,Ee为单元e的弹性模量；E0为满单元的弹性模量,Emin 为孔洞单元的弹性模量，Emin =E0/1 000，ΔE=E0-Emin ；xe为相对密度变量值；q 为惩罚因子；K为插值后的刚度矩阵,Ke为第e个单元的刚度矩阵；为惩罚函数.1.2 结构刚性优化模型只考虑结构的刚性时,以结构的整体柔度最小化为优化目标函数,得到质量约束下的最小柔度优化模型为式中：xe为第e个有限单元的相对密度变量；xmin 为设计变量的最小值；N为有单元的个数；ue为单元位移列矢量；ke0为单元初始刚度矩阵；m和m0分别为结构质量和结构的初始质量；f为约束因子.结构整体柔度C的敏度方程表示为1.3 结构柔性优化模型只考虑结构的柔性时,以结构的输出位移最大化为优化目标函数,得到质量约束下的最大位移优化模型为为获得输出节点的位移响应对单元密度设计变量的敏度,本文采用伴随矩阵分析法来求解,使得位移ui写成密度设计变量xe的显式表达式.当结构响应为任一节点自由度i的输出位移ui时,采用伴随矩阵求解方法可求得位移ui的敏度∂ui/∂xe.自由度i处的位移ui=LΤU,其中L称为伴随载荷.在L中处输出位移自由度i处的载荷分量值设为单位力外,其他自由度方向的力矢量数值均设为0,则位移敏度表示成：由于载荷P=KU,得到位移场U=K-1P,且则i自由度处的位移敏度为令Τ,则得到伴随矩阵方程：假设结构载荷P为恒定载荷,因此有=0,针对RAMP插值模型,由式(7)可知:其位移敏度方程为1.4 多目标拓扑优化模型结构刚度最大化和节点位移最大化存在互斥性,单纯考虑结构的刚性,将导致柔性机构不能满足预定的工作要求；单纯考虑输出节点的位移最大化,又有可能影响结构的稳定性和整体刚度.为兼顾结构的刚度和柔性要求,采用多目标优化方法,即同时优化整体结构刚度和输出节点的位移,则可以保证柔性机构在足够刚度的条件下实现输出位移的最大化,从而实现柔性机构的预定要求.多目标优化问题常用的处理方法是将其转化为单目标问题,即采用加权系数法,通过选择合适的加权系数将多个子目标函数fi(x)组合成一个新的单目标函数,该方法可表示为其中权重系数wi≥0,且满足.考虑到输出节点最大位移与结构最小柔度的设计变量间存在数量级差异,因此对这两类设计变量进行归一化处理,得到多目标优化模型:式中：w为权重系数;C(X)、Cmin、Cmax分别为结构整体柔度、结构柔度的最小值和最大值；ui(X)、ui,min、ui,max分别为结构输出节点位移、位移最小值和最大值.权重系数w的取值将决定各子目标在组合目标函数中的重要程度.当w=0时,多目标问题将成为单纯的输出位移最大的单目标优化问题；当w=1时,多目标问题将成为单纯的结构柔度最小的单目标优化问题.对组合目标函数F的敏度求解可得2.1 导重法介绍拓扑优化的两个核心过程：一个是上文提及的模型建立，另一个是求解方法[11].快速而高效是求解方法的永恒追求,传统的求解方法分为两大类：准则法和数学规划法.其中,准则法对设计变量不敏感,计算收敛快,但针对不同的优化问题需要分别推导出各自的迭代准则和主动约束,通用性差；数学规划法的通用性强,能够应用于不同的优化问题,但其迭代次数多,求解效率不高.综上所述,两种方法都有各自的缺陷和局限.本文引入导重法求解拓扑优化问题,该方法弥补了准则法理论不严谨性的缺点,同时保留了数学规划法的通用性的优点,且迭代求解效率高[12].2.2 导重法求解拓扑优化模型依据导重法的定义：式中：me为等效质量,ve为第e个单元的体积,He为容重,Ge为导重,G为总导重. 又由导重法的迭代准则:引入迭代步长因子α以加速收敛,故将其写成且拉格朗日乘子式中：fm0为结构材料用量的约束限.采用导重法求解柔性机构的拓扑优化流程如图1所示.拓扑优化的一个重要内容是克服数值奇异解问题,本文采用了敏度过滤技术.算例：图2所示为三自由度全柔顺并联机构单支链拓扑优化的初始设计域,设计域网格为80×80,实体材料弹性模量为2×1011 Pa,泊松比为0.3,优化体积比f=0.3,输入载荷Fin=1 N,输出位移响应为Uout,最小过滤半径rmin=1,2,RAMP插值模型的惩罚因子q=3,迭代步长α=0.2.分别以结构输出位移最大、结构刚度最大,计算结构输出节点位移响应的最大值和最小值为ui,max=1.13,ui,min=0.08;结构柔度的最大值和最小值为Cmax=2.423,Cmin=2.359.图3为权重系数w取不同值时的拓扑优化结果.当w=1时,为结构柔度最小的单目标优化问题；当w=0时,为结构输出位移最大的单目标优化问题.分别建立结构输出端的位移和结构刚性的分目标,再构造柔性机构的多目标拓扑优化模型,分别取w 为0、0.2、0.5、0.8进行求解.权重系数w取不同的中间值时,表示结构刚度和结构输出位移的组合多目标优化问题,权重系数越大,表示结构刚性在组合目标函数中所占的比重越大；权重系数越小,表示结构输出位移响应在组合目标函数中所占的比重越大,也是结构刚性在组合目标函数中所占比重越小.由图3中的拓扑优化图形可见：随着权重系数w的取值逐渐增大,结构拓扑形状更加有利于刚性的增强,使得结构更加趋于稳定,由此验证：基于传统的单纯位移最大化为目标的柔性机构拓扑优化问题,考虑结构的刚度要求后,有利于提高结构刚度,保证机构工作的稳定性.以w=0.2为例说明,即机构的刚性要求占组合目标函数的20%,柔性占组合目标函数的80%,显然是突出了结构的柔性要求.图4为权重系数w=0.2时的目标函数收敛曲线,图中结果显示,目标函数和约束函数均收敛平稳、快速.1) 兼顾了结构的刚性和机构的柔性,即同时考虑柔性机构中结构的刚度和机构的输出位移,通过选取合适的权重系数,将多目标优化问题组合为单目标优化问题.2) 将导重法引入到柔性机构拓扑优化问题中,通过对柔性机构的计算分析,验证了导重法具有迭代公式简单、收敛平稳、计算高效的特点.【相关文献】[1] BENDSONE M P,SIGUND O.Topology optimization: theory,method and applications [M].New York:Springer,2003.[2] 崔明涛,陈建军,陈永琴,等.整体式柔性机构的多目标可靠性拓扑优化设计 [J].中国机械工程,2007,34(5):784-788.[3] 谢先海.柔顺机构的设计与分析方法研究 [D].武汉:华中科技大学,2002.[4] 张宪民.柔性机构拓扑优化设计 [J].机械工程学报,2003,39(11):47-51.[5] 陈树勋,韦齐峰,黄锦成.结构优化导重准则及其意义与合理性 [J].固体力学学报,2013,34(6):628-638.[6] 陈树勋.精密复杂结构的几种现代设计方法 [M].北京:北京航空航天大学出版社,1992.[7] 李枝东,刘辛军.导重法求解单工况的拓扑优化问题 [J].机械工程学报,2011,47(15):107-114.[8] LIU X J,LI Z D,CHEN X.A new solution for topology optimization problems with multiple loads:the guide-weight method [J].Sci China Tech Sci,2011,54(6):1505-1514. [9] 许华旸,关立文,王立平,等.惯性载荷下飞行模拟器大臂结构的拓扑优化 [J].机械工程学报,2014,50(9):14-23.[10] 左孔天,赵雨东,钟毅芳,等.微型柔性机构的多目标计算机辅助拓扑优化设计 [J].计算机辅助设计与图形学学报,2006,18(6):855-859.[11] 马成业,黎锁平,杨胜良.模糊多目标可靠性优化设计的遗传算法 [J].兰州理工大学学报,2009,35(1):156-158.[12] 叶尚辉,陈树勋.天线结构优化设计的最佳准则 [J].西北电讯工程学院学报,1982,9(1):11-28.。
基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究的开题报告
基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究的开题报告一、研究背景连续体结构的拓扑优化是一种有效的结构设计手段，可以通过优化结构的拓扑形态，实现结构质量的减轻、性能的提高，从而满足不同领域对结构轻量化和强度提升的需求。
现有的拓扑优化方法主要基于二元设计变量，即在每个节点处，只能存在结构或者空气两种状态。
基于变密度方法的拓扑优化是一种最近发展起来的新型方法，它允许在节点处存在多个密度区间，换而言之，每个节点处既可以有结构，又可以有空气或半空气状态。
二、研究内容本研究旨在基于变密度方法，研究连续体结构的拓扑优化问题。
具体研究内容包括以下两方面：1. 基于变密度方法，研究连续体结构的拓扑优化问题变密度方法是一种基于连续密度的拓扑优化方法，它能够克服传统方法的局限性，例如不连续、不光滑和不规则等问题。
本研究将采用变密度方法，研究连续体结构的拓扑优化问题。
2. 研究基于变密度方法的连续体结构动态响应分析为了研究连续体结构的动态响应特性，本研究还将省略质量矩阵，通过使用标准有限元方法简化设计问题，以求解建立在质量矩阵上的动态响应问题。
三、研究意义本研究基于变密度方法，对连续体结构的拓扑优化问题和动态响应问题进行综合研究，不仅有助于提高结构的优化设计效率和减少结构的自重，同时能够为其他领域的结构优化设计提供新的思路和方法。
四、研究计划1. 研究相关文献，理解变密度方法以及相关的拓扑优化方法；2. 编写基于变密度法的拓扑优化程序，并对其进行验证和优化；3. 设计连续体结构的动态响应分析程序，并验证其有效性；4. 将拓扑优化与动态响应分析相结合，进行基于变密度方法的连续体结构综合优化分析；5. 对研究结果进行分析，撰写并提交论文。
五、预期结果预计本研究能够提出一种新的拓扑优化方法和动态响应分析方法，有效地提高结构设计效率和减少结构的自重，同时为其他领域的结构优化设计提供新的思路和方法。
同时，预计本研究的成果能够发表在相关领域的高水平学术期刊上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ ６ ）
Ｌ ． Ｅ 。 （ ７ ）
Ｅ
上式中 Ｋ、 Ｃ（ ） Ｃ、 Ｉ 都是 的函数 。Ｋ０ Ｄ 表示优化前的结构总刚度矩阵 ，０ ｋ 优化前的单元 刚度矩阵 ，
为单元数 目， ｋ 为第 ｉ 单元优化后的单位刚度矩阵， 表示单元位移向量， Ｃ表示结构的柔度 ， ｚ 表 Ｃ（ ） 示敏度 ， Ｅ为插值后的弹性模量， ０ Ｅ 实体弹性模量。Ｒ ＭＰ模型中结构单元弹性模量的控制参数是 ｚ 和 Ａ Ｐ， Ｐ取不同值时 ， 同的中间密度单元 ． 导致单元弹性模量参数有逼近 ０ Ｅ 的趋势。 不 ２ ７ 或 。
基 于 Ｒ ＭＰ插 值理论 的优化 准 则 ， 实现优化 准 则的迭代 算 法 ， 维算例说 明 了算 法正 确性 、 Ａ 并 二
有效性 。 关键词 ： 密度插 值 法 ； 拓扑 优化 ； 化 准则 ； ＡＭＰ 优 Ｒ 中图分 类号 ： ２ ＴＨ１ ３ 文献标 识码 ： Ａ
０ 引 言
ｉ １ ＝
∑
ｉ １ ＝
。
（） ８
ｆ ： Ｖ
Ｓ． ： ￡ Ｆ
＝
Ｖ
１＜ ０
Ｉ Ｌ
（） ９
≤ １
式中， 为优化后的单元体积， 为优化后结构体积， 为 目标优化体积 ， 为单元位移列 向量。为 避免总刚度矩阵奇异 ， 取单元最小相对密度 ｚ ｉ ．０５ ＝００ １ ． 利用拉格朗 日 乘子法将上述约束最优化问题（ ） ８ 转换为无约束最优化问题进行求优 。则拓扑优化 问题 的拉 格 朗 日函数 为 ：
（． １华南理工大学机械工程学院， 广州 广 东 ５０４ ；． 州大学， １６０ ２ 贵 信息工程 学院， 贵州 贵阳 ５００ ；． 阳 ５０ ３ ３ 贵 特殊钢有限责任公 司， 贵州 贵 阳 ５ ００ ） ５０５
摘 要： 在研 究密度插 值 法理论 和拓 扑优化 准 则基础 上 ， 以结构 整 体 柔度 最 小为 目标 ， 导 了 推
化 问题 ， 并且 令 ０ ＝ｐ ＝１Ｐ为惩 罚 因子 ， ＜ ＜ ， 通过设 定 Ｐ＞１ 中间密度 单元 进行 有 限度 的惩罚 ， 对 以尽 量 减 少 中间密度 单元 的数 目， 是结构 单元 密度尽 可 能趋于 ０或 １在优 化前 和优化 后 的材料 弹性 张 量之 间 引入 关 ，
系式 ：
２ 基于 Ｒ ＭＰ的优化准 Ａ
、 ● ●● ● ●● ●● ● ●●
、，● ●●● ●● ●Ｊ
设定以结构总体柔度为拓扑优化的 目标函数 ， 结构的体积作为优化的约束条件 ， 在给定载荷和边界条 件基础上 ， 基于 Ｒ ＭＰ Ａ 插值的优化模型为 ：
Ｎ
．
Ｎ
＝
．
ｃ＝Ｆｕ＝ Ｔ
ｕ：∑
连 续体结 构拓 扑优化 是结构 优化 中 的难 点 和热点 问题 ， 也是 结 构优 化领 域 的前 沿课 题 之一 ［ 川。拓 扑优
化中的拓扑描述方式和材料插值模型非常重要 ， 是一切后续优化方法的基础。结构拓扑优化设计实 际上就 是材料在设计空间的分布优化问题［ 。拓扑优化中常用的拓扑表达形式和材料插值模型方法有 ： 均匀化方 法； 密度法 ； 变厚度法 ； 拓扑函数描述 （ 水平集） 方法等 ， 其中密度法是 目前研究 、 应用最广泛 的材料插值模 ￣ＣＣＣ 。本文在研究拓扑优化理论及密度法插值理论基础上 ， ３４５ ］］］ 建立基于 Ｒ ＭＰ ｒｔｎｌ ｐｒｘ ａ ｏ Ａ （ａｏ ａａｐｏ ｉ ｔｎｏ ｉ ｍ ｉ ｆ
维普资讯 http://wLeabharlann
第３ 期
李家春 ， ： 等 基于 Ｒ ＭＰ密度插值理论的拓扑优化准则法 Ａ
３ ３
Ｋ 总 体柔度 函数 ：
Ｎ Ｎ
，
Ｋ。
（） ４
ｃ＝Ｆ己＝ Ｔ ，
敏 度函数 ：
ｕ＝∑
ｉ １ ＝
＝
∑
ｉ ＝１
者
（ ５ ）
ｃ） 一蓦 （ ｚ
Ｊ ｎ ．０ ６ ｕ ｅ２ ０
（ ａ ｒ ｃｎｅ ｄｉ ） Ｎ ｔ ａＳｉ ｃ Ｅ ｉ ｎ ｕｌ ｅ ｔ ｏ 文章编号：０ ９０ ９ （０ ６ ０ —０ ２０ １ ０ —１ ３ ２ ０ ）３０ ３ —４
基于 Ｒ ＭＰ密度插值理论的拓扑优化准则法 Ａ
李家春 ， ｔ 叶帮彦 唐 霞３ 一 ，
ｃ 』＝ （） Ｄ
（ 一ｃ ｃ 叻）
（） １
其中Ｇ （） 』为插值以后的弹性张量，ｃ Ｄ （ ‰一ｃ 为实体弹性张量与空洞部分材料的弹性张量之差。 嬲） 由于 ｃ 叻远小于ｃ ， ｃ ‰ 故 叻可以忽略不计。式（） １简化为：
（） 』 Ｄ
变化而变化 ， 为直观起见用变量 代替 ｉ 单元相对密度 Ｐ ． Ｒ ＭＰ插值模型的刚度矩阵、 Ａ 柔度函数及柔度函数的敏度克表示为 ：
＿
ｍ ｔ ｉ ｒ ｅ ｉ ， ａ ｒ ｐ ｐｒｅ 材料属性的近似合理模型） ｅａ ｏ ｔｓ ｌ 材料插值方法的结构拓扑优化模型及其优化准则算法 。
１ 基于 Ｒ Ｐ材料 插 值 方 法 的 结构 拓扑 优 化模 型
通过在离散模型中引入连续变量 Ｐ和权系数Ｐ， 通过引入中间密度单元将离散优化问题转换成连续优
单元 刚度矩 阵 ：
ｋ ｉ
总刚度矩 阵 ：
ｃ ‰
（） ２
在 Ｒ ＭＰ模型中假设材料的弹性张量是各 向同性的。泊松 比为常量 ， Ａ 且与密度无关 ， 而杨 氏模量随 Ｐ
０
（） ３
收 稿 日期 ：０ ５—１ —１ ２０ １ ３
作者简介 ： 李家春 （９４一）男 ， １７ ， 贵州织金人 ， 贵州大学讲师 ， 华南理工在读博士
维普资讯
第３ 卷 第３ ５ 期
２０ ０ ６年 ６月
贵 州 工 业 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲ ＬＯ ＵＩＨＯ ＵＮＩ Ｅ ＳＴ Ｏ ＮＡ ＦＧ Ｚ Ｕ Ｖ Ｒ Ｉ ＹＯＦＴ Ｃ ＯＬ Ｙ Ｅ ＨＮ ＯＧ
Ｖ１５ ０． Ｎｏ ３ ３ ．