基于RAMP密度插值理论的拓扑优化准则法
基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究
基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究引言：连续体结构是指由连续材料组成的结构，如桥梁、建筑物和飞机机翼等。
对于设计者来说，如何优化这些结构的拓扑是一个重要且复杂的问题。
结构拓扑优化可以帮助设计者找到一个在给定的约束条件下最优的结构形状。
在过去的几十年里，许多方法已经被提出来解决这个问题，其中变密度法是一种被广泛应用于连续体结构优化的方法。
1.变密度法的原理变密度法是一种基于材料密度的优化方法，它通过改变结构中不同区域的密度来调整结构的拓扑。
其基本思想是先将结构划分为许多小的单元，然后对每个单元中的材料密度进行调整，最终得到最优的材料密度分布。
2.变密度法的步骤（1）定义设计域：将结构划分为多个单元，并给每个单元中的材料密度分配一个初始值。
（2）定义目标函数和约束条件：目标函数是设计者所期望的结构性能，如最小重量或最大刚度。
约束条件可以包括应力约束和位移约束等。
（3）改变材料密度：通过增加或减小材料密度来调整结构的拓扑，使得目标函数在约束条件下达到最优。
（4）更新设计：根据目标函数和约束条件的要求，更新每个单元中的材料密度。
（5）重复迭代：不断重复步骤3和步骤4，直到满足预设的终止条件。
3.变密度法的优点（1）灵活性：变密度法可以产生各种不同的材料布局，适用于不同的结构类型和工程问题。
（2）低计算成本：相对于其他优化方法，变密度法的计算成本较低，可以在较短的时间内得到较好的结果。
（3）自适应性：变密度法能够根据目标函数和约束条件的变化自动调整材料密度，实时更新结构拓扑。
（4）材料节约：通过优化结构拓扑，变密度法能够使结构重量降低，从而节约材料成本。
4.变密度法的应用领域变密度法可以应用于多个领域，包括航空航天、建筑工程和交通运输等。
例如，在航空航天领域，变密度法可以用于优化航空器的机翼结构，提高飞行性能和燃油效率。
在建筑工程领域，变密度法可以用于设计高效且节约材料的建筑结构。
在交通运输领域，变密度法可以用于优化汽车车身结构，提高安全性和燃油经济性。
改进插值模型的变密度法拓扑优化研究
改进插值模型的变密度法拓扑优化研究改进插值模型的变密度法拓扑优化研究摘要：随着科技的发展，实现快速高效的拓扑优化成为了现代工程设计的重要课题。
为了解决传统拓扑优化方法在密度变化较大的区域存在的问题，本文提出了一种改进的插值模型——变密度法，用于进行拓扑优化。
通过对变密度法进行理论分析和数值仿真，本文验证了其在提高优化效果和加速优化过程方面的优越性。
一、引言拓扑优化旨在通过优化材料分布和结构连接来实现结构的轻量化和功能性的提升。
然而，传统的拓扑优化方法在处理密度变化较大的区域时常常产生过于平滑的结果，导致设计的细节信息丢失。
因此，我们需要寻找一种能够更好地处理密度变化的方法，以提高拓扑优化的效果。
二、变密度法的原理变密度法基于密度过滤函数对设计空间进行划分，并通过插值方法在不同密度区域之间建立连接。
其主要思想是将设计域划分为若干个小区域，并根据特定的密度过滤函数赋予每个区域一个相对密度值。
在不同密度区域的边界上，利用插值方法建立连接，以实现结构在区域之间的平滑过渡。
三、变密度法的改进针对传统的变密度法存在的问题，本文提出了一种改进方法，主要包括两个方面：一是改进密度过滤函数，二是改进插值方法。
3.1 改进密度过滤函数传统的密度过滤函数常常使用高斯函数或sigmoid函数，但这些函数在处理密度变化较大的区域时存在不足。
本文提出使用多项式函数作为密度过滤函数，通过调整多项式的阶数和系数来适应不同的密度变化情况，从而更好地处理密度变化较大的区域。
3.2 改进插值方法传统的插值方法常常使用线性插值或二次插值，但这些方法在处理密度变化较大的区域时往往会导致较大误差。
本文提出使用样条插值方法，通过拟合密度变化曲线来实现更准确的插值，从而提高拓扑优化的效果。
四、数值仿真与实验结果本文通过数值仿真验证了改进的变密度法在拓扑优化中的优越性。
首先，选择了几个典型的拓扑优化案例，比较了传统变密度法和改进的变密度法在结构轻量化程度和收敛速度上的差异。
工程结构拓扑优化的理论研究及应用_满宏亮
提要本文首先介绍了国内外拓扑优化技术的研究发展现状，讨论了拓扑优化的原理、方法以及各种拓扑优化算法。
其次，着重研究了SIMP 材料插值方法，建立了基于SIMP 理论的连续体结构拓扑优化模型，选取准则优化法对其密度迭代格式进行了推导；并且利用MATLAB软件编程实现，有效地进行了平面结构的分析和拓扑优化设计。
然后，分析了拓扑优化中的数值计算不稳定性现象，研究了能够有效消除拓扑优化中的数值计算不稳定性现象的各种解决方法，并对其进行了比较。
最后，利用连续体结构拓扑优化求解理论和算法，使用结构有限元分析软件Hyperworks 对具体工程结构部件进行了拓扑优化设计研究，成功地应用到了实际工程问题中，算例结果表明了该优化方法的有效性和正确性。
关键词：有限元拓扑优化材料插值模型数值计算不稳定性优化求解算法Key words: FEA Topology optimization Material InterpolationModel Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i-目录第一章绪论 (1)1.1 前言 (1)1.2 国内外拓扑优化研究概况 (3)1.3 本文研究内容及意义 (9)第二章现代结构拓扑优化理论 (11)2.1 拓扑的概念 (11)2.1.1 拓扑学的由来 (11)2.1.2 拓扑学及拓扑性质 (13)2.2 结构拓扑优化原理和方法 (16)2.2.1 拓扑优化的基本原理 (17)2.2.2 结构拓扑优化设计方法 (17)2.2.3 拓扑优化设计方法比较 (21)2.3 拓扑优化设计的优化算法概述 (22)2.3.1 优化算法分类 (22)2.3.2 拓扑优化常用算法 (24)第三章连续体结构拓扑优化的模型建立与求解算法 (27)3.1 连续体结构拓扑优化设计的模型描述 (29)3.2 数学模型的有限元离散 (34)3.2.1 单元应变和应力.........................................34吉林大学硕士研究生学位论文-ii-3.2.2 单元平衡方程 (35)3.2.3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 (38)3.3 基于SIMP 理论的优化准则法 (39)第四章结构拓扑优化程序实现 (45)4.1 基于SIMP 理论的优化准则法迭代分析流程 (45)4.2 优化过程的MA TLAB 编程实现 (47)4.3 计算实例 (48)4.3.1 单一工况简支梁算例 (48)4.3.2 单一工况悬臂梁算例 (49)4.3.3 多工况简支梁算例 (50)第五章连续体结构拓扑优化中数值不稳定问题的研究 (51)5.1 多孔材料问题 (52)5.2 棋盘格式问题 (52)5.2.1 棋盘格现象 (52)5.2.2 棋盘格式产生的原因 (53)5.2.3 棋盘格解决方法 (53)5.3 网格依赖性问题 (56)5.3.1 网格依赖性现象 (56)5.3.2 网格依赖性问题产生的原因 (57)5.3.3 网格依赖性解决方法 (57)5.4 局部极值问题 (59)5.5 克服数值不稳定现象几种主要方法的比较.......................60目录-iii-第六章拓扑优化技术的应用 (61)6.1 拓扑优化分析软件介绍 (61)6.2 拓扑优化技术的应用举例 (65)6.3 拓扑优化技术应用算例 (67)6.3.1 算例一某型轿车车门内板的拓扑优化 (67)6.3.2 算例二某型轿车控制臂的拓扑优化 (71)第七章全文总结与展望 (75)7.1 全文总结 (75)7.2 研究展望 (76)参考文献 (77)摘要 (I)Abstract (I)致谢.......................................................... I-1-第一章绪论1.1 前言近年来，随着计算机技术和数值方法的快速发展，工程中许多大型复杂结构问题都可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到解决。
拓扑优化_精品文档
-1整数变量问题变为0～1间的连续变量优化模型，获得方程（在设计变
量上松弛整数约束）的最直接方式是考虑以下问题：
min u,
uout
N
s.t.: min 1 min e Ke u f e1
N
vee V
e1
0 e 1, e 1,2,, N
其中 e 可取0-1之间的值
（6）
然而这种方程会导致较大区域内 e 是在0-1之间的值，所以必须添加额外 的约束来避免这种“灰色”区域。要求是优化结果基本上都在 e 1 或
而对于结构拓扑优化来说，其所关心的是离散结构中杆件之间的最优 连接关系或连续体中开孔的数量及位置等。拓扑优化力图通过寻求结构的 最优拓扑布局(结构内有无孔洞，孔洞的数量、位置、结构内杆件的相互 联接方式)，使得结构能够在满足一切有关平衡、应力、位移等约束条件 的情形下，将外荷载传递到支座，同时使得结构的某种性能指标达到最优。 拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有无穷多种形式， 并且这些拓扑形式难以定量的描述即参数化。
结构渐进优化法(简称ESO法)
通过将无效的或低效的材料 一步步去掉，获得优化拓扑，方法通 用性好，可解决尺寸优化，还可同时 实现形状与拓扑优化(主要包括应力， 位移／刚度和临界应力等约束问题的 优化)。
2.问题的设定
柔顺机构的拓扑优化
首先假设线性弹性材料有微小的变形
柔顺结构的一个重要运用在于机电系统（MicroElectroMechanical Systems(MEMS),在该系统中小规模的计算使得很难利用刚体结构来实现铰链、 轴承以及滑块处的机动性。
如果我们只考虑线性弹性材料（只发生微小变形）的分析问题，则决定 输出位移的的有限元方法公式为：
拓扑优化密度法
拓扑优化密度法是一种基于数学模型的优化方法，用于在给定的设计空间中，通过优化材料的分布，得到最优的结构形态。
该方法将结构分解为离散的单元，每个单元可以是实体或空洞。
每个单元的材料密度可以表示为一个介于0和1之间的数值，其中0代表空洞，1代表实体。
通过对每个单元的材料密度进行优化，可以得到最优的结构形态。
拓扑优化密度法通常使用有限元分析(Finite Element Analysis，FEA)来评估结构的性能。
在每次优化迭代中，根据当前的材料密度分布，进行有限元分析，计算结构的性能指标，如刚度、强度、自重等。
然后，根据预先设定的优化目标和约束条件，通过数学优化算法，更新材料密度分布，以获得更优的结构形态。
这个过程循环迭代，直到达到设计要求或收敛。
拓扑优化密度法通常使用COMSOL Multiphysics软件进行实现。
COMSOL软件提供了一种密度拓扑功能，可以提高拓扑优化的易用性。
该功能作为密度方法使用（参考文献3），这意味着控制参数可以通过插值函数更改材料参数。
固体和流体力学的插值函数已经内置到该功能中，并应用在COMSOL Multiphysics案例库的所有示例模型中。
此外，为了简化拓扑优化问题的解决方案，COMSOL软件提供了一种密度拓扑功能。
拓扑优化和密度方法顾名思义，拓扑优化是一种能够针对给定的目标函数和约束条件为工程结构找出新的更好拓扑的方法。
该方法通过引入一组设计变量来描述这些新拓扑，即描述设计空间中材料是否存在。
这些变量被定义在网格的每个单元内或网格的每个节点上。
因此，更改这些设计变量类似于更改拓扑。
这意味着结构中的孔可以出现、消失和合并，并且边界可以采用任意形状。
请注意，拓扑优化是一个复杂的过程，需要仔细地定义和调整各种参数以获得最佳的结果。
建议在使用这种技术时寻求专业建议或咨询相关领域的专家。
拓扑优化算法
拓扑优化算法一、引言拓扑优化算法是一种旨在找到结构优化方案的方法，该方案会最大程度地提高性能或减少成本。
在各个领域中，如工程设计、网络规划和材料科学等，拓扑优化算法都起到了至关重要的作用。
本文将从算法原理、应用领域、算法分类和应用案例等方面进行深入探讨。
二、算法原理拓扑优化算法基于拓扑结构来进行设计优化。
它通过改变结构的形状和连接方式，以最大程度地提高结构的性能。
算法原理主要包括以下几个方面：1. 基本原理•首先，需要定义一个结构的初始拓扑。
•其次，根据特定的目标函数和约束条件，通过优化算法对拓扑进行调整。
•最后，通过对不同的拓扑变量进行优化，得到最优的结构设计。
2. 目标函数和约束条件•目标函数是用来衡量结构性能的函数，如材料强度、柔韧性和减震能力等。
•约束条件是在优化过程中需要满足的条件，如体积限制、稳定性要求等。
3. 优化算法拓扑优化算法主要有以下几种： - 拉格朗日乘子法 - 梯度法 - 遗传算法 - 粒子群算法三、应用领域拓扑优化算法在各个领域中得到了广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 工程设计在工程设计中，拓扑优化算法能够帮助提高结构的强度和刚度，减少材料用量和重量。
常见的应用包括飞机翼设计、桥梁设计和汽车车身设计等。
2. 材料科学拓扑优化算法在材料科学中被用来设计新型的材料结构。
通过改变材料的拓扑结构，能够实现特定的性能，如隔音、隔热和导热等。
3. 电力系统规划拓扑优化算法在电力系统规划中能够优化电网的拓扑结构，以提高电网的可靠性和稳定性。
通过合理安排输电线路和变电站等设施，能够减少功耗和线损。
4. 通信网络规划在通信网络规划中，拓扑优化算法能够优化网络的拓扑结构，以提高网络的传输性能和抗干扰能力。
通过合理布置路由器和光纤等设备，能够减少信号传输时延和丢包率。
四、算法分类拓扑优化算法可以被分为两类：连续拓扑优化算法和离散拓扑优化算法。
1. 连续拓扑优化算法连续拓扑优化算法将结构建模为连续的介质，通过对介质的密度进行优化来改变结构的形状。
高等数学中的拓扑优化方法及应用
高等数学中的拓扑优化方法及应用拓扑学是一门和几何密切相关的数学分支，它研究的是空间形状和空间变化的本质特征。
在现代科学和工程领域中，拓扑学已经成为了一种重要的分析和优化工具。
在高等数学中，拓扑优化方法被广泛应用于各种实际问题的求解中，本文将介绍拓扑优化方法及其在实际问题中的应用。
一、拓扑优化方法的基本原理拓扑优化方法是建立在数学拓扑学基础上的。
其核心思想是通过对结构与形状的分析和优化，使得结构在满足约束条件的前提下达到最优。
通过调整物体内部的材料结构物理性质，从而改变物体的外形和性能，这种方法称为拓扑优化方法。
基本步骤：1、表示优化部件的有限元网格，将优化部件离散化为有限元网格。
2、将网格中的单元分为设计区域和非设计区域，其中设计区域用于优化。
3、引入设计变量，对设计区域进行编码以表示设计变量，每一个编码均对应了一种设计组合。
4、使用拓扑优化算法对每个设计组合进行优化，找到最优解。
5、生成CAD，最终生成优化后的效果。
二、拓扑优化方法在实际问题中的应用1、高速火车的运动稳定性高速火车行驶时，其稳定性非常重要。
工程师需要考虑高速火车的动力性能和空气动力学力学条件，以确保火车在高速行驶时保持稳定。
在实际工程中，拓扑优化方法被广泛应用于高速火车的稳定性问题的研究中。
通过优化车体的形状和密度分布，可以优化火车的运动稳定性。
2、结构优化在机械、航空航天、建筑等领域中，优化结构是必不可少的一步。
通过拓扑优化方法可以优化各种结构的形状和材料分布，从而使结构在满足约束条件的前提下达到最优。
例如在航空航天中，通过对飞机的翼型进行优化，可以使得飞机的升力系数达到最大。
3、光学元件设计光学元件在各个领域中都有广泛的应用。
光学元件的设计优化是一个需要进行的重要性问题，其中拓扑优化方法可以被用于优化光学元件的形状和材料分布，从而提高光学元件的性能。
例如在太阳能电池板中，通过对太阳能电池板的形状和材料分布进行优化，可以优化太阳能的捕获效率。
拓扑优化算法
拓扑优化算法拓扑优化算法是在对拓扑结构进行优化的过程中使用的一种方法。
其目的是通过调整网络的连接方式，使得网络的性能得到改善。
拓扑优化算法可以应用于各种网络拓扑，如计算机网络、通信网络、物流网络等。
它的基本原理是通过调整网络节点之间的连接关系，来改变网络的结构，从而达到优化网络性能的目的。
拓扑优化算法通常包括以下几个步骤：1. 首先，需要明确需要优化的网络性能指标。
不同的网络系统可能关注的性能指标不同，比如计算机网络可能关注的是网络延迟、吞吐量等；而物流网络可能关注的是运输成本、效率等。
2. 接下来，需要根据具体的网络拓扑结构，构建网络模型。
网络模型可以采用图论中的图结构来表示，其中节点表示网络中的元素，边表示节点之间的连接关系。
3. 然后，需要制定优化目标函数。
目标函数是指在拓扑优化过程中需要最小化或最大化的函数，通常与网络性能指标相关。
4. 在明确了目标函数之后，可以使用优化算法对网络拓扑进行优化。
常用的优化算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法可以通过调整网络节点之间的连接关系，找到一个近似最优的网络拓扑。
5. 最后，需要对优化结果进行评估。
评估可以采用模拟实验、仿真实验等方法，来验证优化结果的有效性。
拓扑优化算法的研究和应用广泛，可以应用于各种实际问题。
比如，在计算机网络中，通过优化网络拓扑可以提高网络的传输速度和稳定性；在物流网络中，通过优化网络拓扑可以降低运输成本和提高效率。
除了上述步骤外，还有一些值得注意的点：- 在网络拓扑优化过程中，需要考虑到现有网络的约束条件。
比如，在计算机网络中，网络节点之间的连接关系可能受到物理设备的限制。
在优化过程中需要遵守这些约束条件。
- 拓扑优化算法可以采用启发式算法来近似求解最优解。
启发式算法是一种通过启发性规则来指导搜索过程的算法，可以在较短的时间内找到较好的解。
典型的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法等。
- 还可以使用多目标优化算法来解决拓扑优化问题。
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（ ６ ）
Ｌ ． Ｅ 。 （ ７ ）
Ｅ
上式中 Ｋ、 Ｃ（ ） Ｃ、 Ｉ 都是 的函数 。Ｋ０ Ｄ 表示优化前的结构总刚度矩阵 ，０ ｋ 优化前的单元 刚度矩阵 ，
为单元数 目， ｋ 为第 ｉ 单元优化后的单位刚度矩阵， 表示单元位移向量， Ｃ表示结构的柔度 ， ｚ 表 Ｃ（ ） 示敏度 ， Ｅ为插值后的弹性模量， ０ Ｅ 实体弹性模量。Ｒ ＭＰ模型中结构单元弹性模量的控制参数是 ｚ 和 Ａ Ｐ， Ｐ取不同值时 ， 同的中间密度单元 ． 导致单元弹性模量参数有逼近 ０ Ｅ 的趋势。 不 ２ ７ 或 。
基 于 Ｒ ＭＰ插 值理论 的优化 准 则 ， 实现优化 准 则的迭代 算 法 ， 维算例说 明 了算 法正 确性 、 Ａ 并 二
有效性 。 关键词 ： 密度插 值 法 ； 拓扑 优化 ； 化 准则 ； ＡＭＰ 优 Ｒ 中图分 类号 ： ２ ＴＨ１ ３ 文献标 识码 ： Ａ
０ 引 言
ｉ １ ＝
∑
ｉ １ ＝
。
（） ８
ｆ ： Ｖ
Ｓ． ： ￡ Ｆ
＝
Ｖ
１＜ ０
Ｉ Ｌ
（） ９
≤ １
式中， 为优化后的单元体积， 为优化后结构体积， 为 目标优化体积 ， 为单元位移列 向量。为 避免总刚度矩阵奇异 ， 取单元最小相对密度 ｚ ｉ ．０５ ＝００ １ ． 利用拉格朗 日 乘子法将上述约束最优化问题（ ） ８ 转换为无约束最优化问题进行求优 。则拓扑优化 问题 的拉 格 朗 日函数 为 ：
（． １华南理工大学机械工程学院， 广州 广 东 ５０４ ；． 州大学， １６０ ２ 贵 信息工程 学院， 贵州 贵阳 ５００ ；． 阳 ５０ ３ ３ 贵 特殊钢有限责任公 司， 贵州 贵 阳 ５ ００ ） ５０５
摘 要： 在研 究密度插 值 法理论 和拓 扑优化 准 则基础 上 ， 以结构 整 体 柔度 最 小为 目标 ， 导 了 推
化 问题 ， 并且 令 ０ ＝ｐ ＝１Ｐ为惩 罚 因子 ， ＜ ＜ ， 通过设 定 Ｐ＞１ 中间密度 单元 进行 有 限度 的惩罚 ， 对 以尽 量 减 少 中间密度 单元 的数 目， 是结构 单元 密度尽 可 能趋于 ０或 １在优 化前 和优化 后 的材料 弹性 张 量之 间 引入 关 ，
系式 ：
２ 基于 Ｒ ＭＰ的优化准 Ａ
、 ● ●● ● ●● ●● ● ●●
、，● ●●● ●● ●Ｊ
设定以结构总体柔度为拓扑优化的 目标函数 ， 结构的体积作为优化的约束条件 ， 在给定载荷和边界条 件基础上 ， 基于 Ｒ ＭＰ Ａ 插值的优化模型为 ：
Ｎ
．
Ｎ
＝
．
ｃ＝Ｆｕ＝ Ｔ
ｕ：∑
连 续体结 构拓 扑优化 是结构 优化 中 的难 点 和热点 问题 ， 也是 结 构优 化领 域 的前 沿课 题 之一 ［ 川。拓 扑优
化中的拓扑描述方式和材料插值模型非常重要 ， 是一切后续优化方法的基础。结构拓扑优化设计实 际上就 是材料在设计空间的分布优化问题［ 。拓扑优化中常用的拓扑表达形式和材料插值模型方法有 ： 均匀化方 法； 密度法 ； 变厚度法 ； 拓扑函数描述 （ 水平集） 方法等 ， 其中密度法是 目前研究 、 应用最广泛 的材料插值模 ￣ＣＣＣ 。本文在研究拓扑优化理论及密度法插值理论基础上 ， ３４５ ］］］ 建立基于 Ｒ ＭＰ ｒｔｎｌ ｐｒｘ ａ ｏ Ａ （ａｏ ａａｐｏ ｉ ｔｎｏ ｉ ｍ ｉ ｆ
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第３ 期
李家春 ， ： 等 基于 Ｒ ＭＰ密度插值理论的拓扑优化准则法 Ａ
３ ３
Ｋ 总 体柔度 函数 ：
Ｎ Ｎ
，
Ｋ。
（） ４
ｃ＝Ｆ己＝ Ｔ ，
敏 度函数 ：
ｕ＝∑
ｉ １ ＝
＝
∑
ｉ ＝１
者
（ ５ ）
ｃ） 一蓦 （ ｚ
Ｊ ｎ ．０ ６ ｕ ｅ２ ０
（ ａ ｒ ｃｎｅ ｄｉ ） Ｎ ｔ ａＳｉ ｃ Ｅ ｉ ｎ ｕｌ ｅ ｔ ｏ 文章编号：０ ９０ ９ （０ ６ ０ —０ ２０ １ ０ —１ ３ ２ ０ ）３０ ３ —４
基于 Ｒ ＭＰ密度插值理论的拓扑优化准则法 Ａ
李家春 ， ｔ 叶帮彦 唐 霞３ 一 ，
ｃ 』＝ （） Ｄ
（ 一ｃ ｃ 叻）
（） １
其中Ｇ （） 』为插值以后的弹性张量，ｃ Ｄ （ ‰一ｃ 为实体弹性张量与空洞部分材料的弹性张量之差。 嬲） 由于 ｃ 叻远小于ｃ ， ｃ ‰ 故 叻可以忽略不计。式（） １简化为：
（） 』 Ｄ
变化而变化 ， 为直观起见用变量 代替 ｉ 单元相对密度 Ｐ ． Ｒ ＭＰ插值模型的刚度矩阵、 Ａ 柔度函数及柔度函数的敏度克表示为 ：
＿
ｍ ｔ ｉ ｒ ｅ ｉ ， ａ ｒ ｐ ｐｒｅ 材料属性的近似合理模型） ｅａ ｏ ｔｓ ｌ 材料插值方法的结构拓扑优化模型及其优化准则算法 。
１ 基于 Ｒ Ｐ材料 插 值 方 法 的 结构 拓扑 优 化模 型
通过在离散模型中引入连续变量 Ｐ和权系数Ｐ， 通过引入中间密度单元将离散优化问题转换成连续优
单元 刚度矩 阵 ：
ｋ ｉ
总刚度矩 阵 ：
ｃ ‰
（） ２
在 Ｒ ＭＰ模型中假设材料的弹性张量是各 向同性的。泊松 比为常量 ， Ａ 且与密度无关 ， 而杨 氏模量随 Ｐ
０
（） ３
收 稿 日期 ：０ ５—１ —１ ２０ １ ３
作者简介 ： 李家春 （９４一）男 ， １７ ， 贵州织金人 ， 贵州大学讲师 ， 华南理工在读博士
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第３ 卷 第３ ５ 期
２０ ０ ６年 ６月
贵 州 工 业 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲ ＬＯ ＵＩＨＯ ＵＮＩ Ｅ ＳＴ Ｏ ＮＡ ＦＧ Ｚ Ｕ Ｖ Ｒ Ｉ ＹＯＦＴ Ｃ ＯＬ Ｙ Ｅ ＨＮ ＯＧ
Ｖ１５ ０． Ｎｏ ３ ３ ．