河南省2019年中考数学一轮复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形试卷部分课件
河南省2019年中考数学总复习 第四章 三角形
考点帮 直线与线段
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
AC +
考点帮 余角、补角及角平分线的性质
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
相等
相等
相等 相等
∠BOC
考点帮 相交线
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
相等
∠5
∠7
∠8
∠5
180°
考点帮 相交线
考点1
考点2
考点3
垂直
考点4 考点5例1来自提分技法易失分点方法帮 命题角度 1 全等三角形的性质与判定
例1
提分技法
方法帮 命题角度 2 与全等三角形有关的几何探究
例2
提分技法
方法帮 命题角度 2 与全等三角形有关的几何探究
例2
提分技法
方法帮 命题角度 2 与全等三角形有关的几何探究
例2
提分技法
方法帮 命题角度 2 与全等三角形有关的几何探究
考点1
一条
考点2 考点3 考点4 考点5
相等
平行
互补
考点帮 命题
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
PART 02
方法帮
方法帮 命题角度 1 用相交线的性质求角度
例1
D
方法帮 命题角度 2 用平行线的性质求角度
例2
提分技法
C
方法帮 命题角度 2 用平行线的性质求角度
例2
提分技法
第二节 三角形及其性质
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7
两角
夹角
对应成 比例
考点帮
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7
相似三角形
易失分点
2019年中考数学复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(讲解部分)素材
§ ４．３ 等腰三角形与直角三角形
第四章 图形的认识 ３ ９
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９１
考点一 等腰三角形
１．等腰三角形的概念、性质与判定
解析 当四边形 ＥＤＤ′Ｆ 为菱形时，△Ａ′ＤＥ 是等腰三角 形，△Ａ′ＤＥ≌△ＥＦＣ′．
理由如下： ∵ ＣＤ 是直角三角形 ＡＢＣ 的中线， ∴ ＡＤ ＝ ＣＤ ＝ ＢＤ，∴ ∠Ａ ＝ ∠ＡＣＤ． ∵ △ＡＣＤ 沿 ＤＢ 方向平移到△Ａ′Ｃ′Ｄ′，∴ ＡＣ∥Ａ′Ｃ′， ∴ ∠Ｃ′Ａ′Ｂ ＝ ∠Ａ，∠ＡＣＤ ＝ ∠Ａ′ＥＤ，∴ ∠Ｃ′Ａ′Ｂ ＝ ∠Ａ′ＥＤ， ∴ △Ａ′ＤＥ 是等腰三角形． ∵ 四边形 ＥＤＤ′Ｆ 为菱形，
概念 有两条边① 相等 的三角形是等腰三角形
等腰三 性质
角形
（１） 等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴． （２）性质 １：等腰三角形的两底角② 相等 （ 简写成“ 等 边对③ 等角 ”） （３） 性质 ２： 等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的 ④ 中线 、底边上的⑤ 高 源自互重合（ 简写成“ 三线合 一” ）
中考数学总复习课时17等腰三角形与直角三角形
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第一部分 教材同步复习
10
1 ． (2016 遵 义 ) 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ BC ， ∠ ABC ＝ 110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD ＝__3_5____度．
第一部分 教材同步复习
11
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第一部分 教材同步复习
2
2．等腰三角形的判定 (1)两边相等 有两边相等的三角形是等腰三角形． (2)两角相等 有两角相等的三角形是等腰三角形． (3)如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰 三角形． 【注意】定理中条件和结论之间的互换性，即若三角形的三线中有两线重合， 则可得到此三角形必是等腰三角形，因此以上情况可简称为“两线合一则等腰”， 这可作为等腰三角形的一种判定方法．
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第一部分 教材同步复习
5
知识点四 勾股定理
1．定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于__斜__边__c__的平方，用式子表示 为__a_2_＋__b_2_＝__c_2 ____.
中考数学复习第四章图形的初步认识与三角形第17讲等腰三角形与直角三角形
12
【思路点拨】 本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形 的内角和即可得到结论．
第一部分 教材同步复习
13
1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面
内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样
的直线最多可画__________条． A．3
第一部分 教材同步复习
6
(2)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则 AB 边上的中线长为
A．1
B．2
(A )
C．1.5
D． 3
(3)已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 cm，则斜边的长为
(B )
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
第一部分 教材同步复习
周长：c＝a＋b＋c；
周长、 面积
面积：SRt△ABC＝12ab＝12ch(其中
a，b
为两个直角边，c
为斜边，h
为斜边上
的高)
第一部分 教材同步复习
知识点四 等腰直角三角形的判定与性质
【回顾】
(1)等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为
A． 2
B．2 2
C．1
D．2
1 (2)等腰直角三角形的斜边长 2，则它的面积为___2_______.
第一部分 教材同步复习
8
(1)有一个角为⑤___9_0_°_____的三角形是直角三角形；
判 (2)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么 定 这个三角形是直角三角形；
(3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
§4.3 等腰三角形与直角三角形
３６５ 年中考 ３ 年模拟 中考数学§ ４．３ 等腰三角形与直角三角形对应学生用书起始页码 ９２ 页考点一 等腰三角形１．等腰三角形的概念、性质与判定考点二 直角三角形⎧⎪{三条对称轴 ⎪性质 等边三角形⎨ 三个内角都是④ ６０° 三个内角都相等的三角形⎪⎪判定{⎩有一个内角是⑤ ６０° 的等腰三角形 概念 有两条边① 相等 的三角形是等腰三角形性质 （ １） 等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴．（ ２ ） 性 质 １： 等 腰 三 角 形 的 两 底 角 相 等 （ 简 写 成 “ 等 边对②等角 ” ）（ ３） 性质 ２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的③ 中线 、 底边上的高相互重合（ 简写成“ 三线合一” ）判定 等角对等边概念 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形性质（ １） 直角三角形的两个锐角互余．（ ２） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑥ 一半 ． （ ３） 在直角三角形中，如果一个锐角等于 ３０°，那么它所对的直角边等于斜边的⑦ 一半 ．（ ４） 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边 ａ、ｂ 的平方和等于斜 边 ｃ 的平方，即⑧ ａ２ ＋ｂ２ ＝ｃ２判定（ １） 如果三角形一边上的中线等于这条边的⑨ 一半 ，那么这个三角形为直角三角形．（ ２） 勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的⑩ 平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章 图形的认识一、等腰三角形的性质及相关模型的应用１．“ 等边对等角” “ 三线合一” ．如图 １，在等腰△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ ＡＣ，ＡＤ 是底边上的中线，可得∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，ＡＤ 是底边上的高和顶角的角平分线．∴ ＤＥ ＝ ６－６ｘ ＝３ ３－３． 对应学生用书起始页码 ９２ 页答案 ３ ３ －３将△ＡＢＤ 绕点 Ａ 逆时针旋转 １２０° 得△ＡＣＦ，２．“ 手拉手模型” ．如图 ２，等腰△ＡＢＣ 和等腰△ＡＤＥ，公共顶点为 Ａ，∠ＢＡＣ ＝ ∠ＤＡＥ，可得△ＡＣＥ≌△ＡＢＤ．３．“ 半角模型” ．如图 ３，等腰△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ ＡＣ，点 Ｄ、Ｅ 是边＝１ 连接 ＥＦ，∴ ＣＦ ＝ ＢＤ．可证△ＡＤＥ≌△ＡＦＥ，∴ ＤＥ ＝ ＥＦ．∵ ∠ＡＣＤ ＝ ∠Ｂ ＝ ３０°， ∴ ∠ＦＣＥ ＝ ６０°．过点 Ｅ 作 ＥＨ⊥ＣＦ，交 ＣＦ 于点 Ｈ，设 ＣＥ ＝ ２ｘ，则 ＢＤ ＝ ４ｘ，ＣＨ ＝ ｘ，ＣＦ ＝ ４ｘ，ＦＨ ＝ ３ｘ，ＥＨ ＝ ３ ｘ． ＢＣ 上的两点，∠ＤＡＥ ２∠ＢＡＣ，将△ＡＥＣ 绕着点 Ａ 顺时针旋转过点 Ａ 作 ＡＭ⊥ＢＣ，交 ＢＣ 于点 Ｍ，角 α（ 注 α ＝ ∠ＢＡＣ） ，得到△ＡＦＢ，连接 ＦＤ，可得△ＡＤＦ≌△ＡＤＥ， 则 ＢＣ ＝ ２ＣＭ ＝ ２ＡＣ·ｃｏｓ ３０° ＝ ２×２ ３ × ３＝ ６，ＤＦ ＝ ＤＥ．∴ ＦＥ ＝ ＤＥ ＝ ６－６ｘ．２在 Ｒｔ△ＥＦＨ 中，ＦＥ２＝ ＦＨ２＋ＥＨ２， 即（ ６－６ｘ） ２ ＝ （ ３ｘ） ２ ＋（ ３ ｘ） ２ ，解得 ｘ１ ＝ ３－ ３ ，ｘ２ ＝ ３＋ ３（ 舍去） ．例 １ （ ２０１７ 湖北武汉，１５，３ 分） 如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ ＡＣ＝ ２ ３ ，∠ＢＡＣ ＝ １２０°，点 Ｄ，Ｅ 都在边 ＢＣ 上，∠ＤＡＥ ＝ ６０°． 若 ＢＤ ＝ ２ＣＥ，则 ＤＥ 的长为．２ ２ ∴ ＤＥ ＝ ６－６ｘ ＝ ３ ３－３．解析 如图， 将△ＡＢＤ 沿 ＡＤ 所在直线翻折得△ＡＦＤ， 连接 ＥＦ，∴ ＡＢ ＝ ＡＦ ＝ ＡＣ，ＢＤ ＝ ＤＦ，∠ＡＦＤ ＝ ∠Ｂ ＝ ３０°．∵ ∠ＢＡＣ ＝ １２０°，∠ＤＡＥ ＝ ６０°， ∴ ∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＥ ＝ ６０°， 又∠ＢＡＤ ＝ ∠ＦＡＤ，∴ ∠ＦＡＤ＋∠ＣＡＥ ＝ ６０°， ∴ ∠ＣＡＥ ＝ ∠ＦＡＥ，又 ＡＥ ＝ ＡＥ， ∴ △ＡＣＥ≌△ＡＦＥ， ∴ ＣＥ ＝ ＥＦ，∠ＡＦＥ ＝ ∠Ｃ ＝ ３０°， ∴ ∠ＤＦＥ ＝ ６０°．过点 Ｅ 作 ＥＨ⊥ＤＦ，交 ＤＦ 于点 Ｈ，过点 Ａ 作 ＡＭ⊥ＢＣ，交 ＢＣ 针对训练 １ （ ２０１８ 湖北武汉，１４，３ 分） 以正方形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＤ 为边作等边△ＡＤＥ，则∠ＢＥＣ 的度数是．答案 ３０°或 １５０°解析 ①当点 Ｅ 在正方形 ＡＢＣＤ 外时，如图，∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为正方形，△ＡＤＥ 为等边三角形， ∴ ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ＡＥ，∠ＢＡＤ ＝ ９０°，∠ＡＥＤ ＝ ∠ＤＡＥ ＝ ６０°， ∴ ∠ＢＡＥ ＝ １５０°，∴ ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＡＢＥ ＝ １５°，同理可得∠ＤＣＥ ＝ ∠ＤＥＣ ＝ １５°， 则∠ＢＥＣ ＝ ∠ＡＥＤ－∠ＡＥＢ－∠ＤＥＣ ＝ ３０°． 于点 Ｍ．设 ＣＥ ＝ ２ｘ，②当点 Ｅ 在正方形 ＡＢＣＤ 内时，如图，则 ＢＤ ＝ ２ＣＥ ＝ ４ｘ，ＥＦ ＝ ２ｘ，ＤＦ ＝ ４ｘ，ＦＨ ＝ ｘ，ＥＨ ＝ ３ ｘ，ＤＨ ＝ ３ｘ， 又 ＢＣ ＝ ２ＢＭ ＝ ２ＡＢ·ｃｏｓ ３０° ＝ ６， ∴ ＤＥ ＝ ６－６ｘ．在 Ｒｔ△ＤＥＨ 中，ＤＥ２ ＝ ＤＨ２ ＋ＥＨ２ ， 即（ ６－６ｘ） ２ ＝ （ ３ｘ） ２ ＋（ ３ ｘ） ２ ，解得 ｘ ＝ ３－ ３ ，ｘ ＝ ３＋ ３（ 舍去） ．∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为正方形，△ＡＤＥ 为等边三角形， ∴ ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ＡＥ，∠ＢＡＤ ＝ ９０°，∠ＡＥＤ ＝ ∠ＤＡＥ ＝ ６０°， １ ２ ２２∴ ∠ＢＡＥ ＝ ３０°，３７３８２在３３５年中考３年模拟中考数学∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＥ＝７５°，同理可得∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝７５°，则∠ＢＥＣ＝３６０°－∠ＡＥＤ－∠ＡＥＢ－∠ＤＥＣ＝１５０°．综上，∠ＢＥＣ＝３０°或１５０°．二、勾股定理的应用已知直角三角形中两边长求第三边长时，可以直接运用勾股定理计算；对于直角三角形中已知一边长和其他相关条件，求另两边长的问题，常设一边长为未知数，由勾股定理列方程求解．例２（２０１９河南，９，３分）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ＝４，ＢＣ＝３，分别以点Ａ、Ｃ为圆心，大于１ＡＣ长为半径作弧，两弧交于点Ｅ，作射线ＢＥ交ＡＤ于点Ｆ，交ＡＣ于点Ｏ．若点Ｏ是ＡＣ的中点，则ＣＤ的长为（）解析∵ 四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＢ＝６，∴ ＡＣ⊥ ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ＝６２，ＯＡ＝ＯＤ＝３２．有三种情况：①点Ｐ在ＡＤ上时，∵ ＡＤ＝６，ＰＤ＝２ＡＰ，∴ ＡＰ＝１ＡＤ＝２；②点ＰＡＣ上时，不妨设ＡＰ＝ｘ（ｘ＞０），则ＤＰ＝２ｘ，Ａ．２２Ｂ．４Ｃ．３Ｄ．１０解析连接ＦＣ，由作图方法及点Ｏ是ＡＣ的中点可知，ＢＦ垂直平分ＡＣ，∴ＡＦ＝ＣＦ，ＡＢ＝ＣＢ，易得∠１＝∠２，∵ＡＤ∥ＢＣ，∴ ∠２＝∠３，∴ ∠１＝∠３，∴ ＡＢ＝ＡＦ，∴ ＢＣ＝ＣＦ＝ＡＦ＝３，∴ ＦＤ＝ＡＤ－ＡＦ＝１．在Ｒｔ△ＤＣＦ中，由勾股定理得ＣＤ＝ＦＣ２－ＤＦ２＝２２，故选Ａ．在Ｒｔ△ＤＰＯ中，由勾股定理得ＤＰ２＝ＤＯ２＋ＯＰ２，即（２ｘ）２＝（３２）２＋（３２－ｘ）２，解得ｘ＝１４－２（负值舍去），即ＡＰ＝１４－２；③点Ｐ在ＡＢ上时，∵∠ＰＡＤ＝９０°，ＰＤ＝２ＡＰ，∴∠ＡＤＰ＝３０°，答案Ａ针对训练２（２０１８江西，１２，３分）在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，连接ＡＣ，ＢＤ，Ｐ是正方形边上或对角线上一点，若ＰＤ＝２ＡＰ，∴ＡＰ＝ＡＤｔａｎ３０°＝６×３＝２３．则ＡＰ的长为．答案２，１４－２或２３综上所述，ＡＰ的长为２，１４－２或２３．。
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等三
第二节三角形的根本概念及全等三角形,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答17全等三角形全等三角形的判定及其性质882021 解答17三角形中位线利用三角形的中位线的性质得条件，证三角形全等882021选择5全等三角形以等腰梯形为背景，判断三角形全等3填空15三角形内外角关系利用三角形的内外角关系求角362021选择5三角形中位线以测量池塘为背景，利用三角形中位线的性质得33到两点间的距离2021解答19全等三角形以等腰梯形为背景证三角形全等10填空11三角形中位线以平行四边形为背景，利用三角形中位线的性质求线段的长度3132021选择2三角形内外角的关系利用三角形的外角及内角的关系比拟大小33命题规律纵观怀化七年中考，“三角形的根本概念及全等三角形〞这一考点其余各年都有考察，根本概念考察层次偏低，全等三角形考察中等，其中，三角形内外角关系考察2次，三角形中位线考察3次，全等三角形考察3次．命题预测预计2021年怀化中考会以三角形中的重要线段，三主要考察对象，全等三角形的判定与性质也会在解答题中考察.,怀化七年中考真题及模拟)三角形的内外角关系(2次)1．(2021怀化中考)如下图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B)A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1(第1题图)(第2题图)2．(2021怀化中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC 到D，那么∠ACD＝__80°__．三角形的中位线(3次)3．(2021怀化中考)如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14 m，那么A，B间的距离是( C)A．18 m B．24 m C．28 m D．30 m(第3题图)(第4题图)4．(2021怀化中考)如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD 的中点，那么EF＝__4__．全等三角形(3次)5．(2021怀化中考)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC及BD相交于点O，那么以下判断不正确的选项是( B)A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC(第5题图)(第6题图)6．(2021怀化二模)如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上．添加以下条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是( D )A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC ＝OD C ．∠OPC ＝∠OPD D ．PC ＝PD7．(2021怀化学业考试指导)一个等腰三角形的两边长分别为2与5，那么它的周长为( C )A ．7B ．9C ．12D ．9或128．(2021鹤城模拟)三角形的两边长分别为3与6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，那么这个三角形的周长是( D )A ．2或4B ．11或13C ．11D ．139．(2021芷江模拟)在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB 边长为10，AC 边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．(2021怀化考试说明)如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE，假设AC ＝5，BC ＝3，那么BD 的长为( D )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．111．(2021怀化中考)如图，在等腰梯形ABCD 中，点E 为底边BC 的中点，连接AE ，DE.求证：AE ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠B ＝∠C，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE(SAS )，∴AE ＝DE.12．(2021怀化中考)如图，AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA 及OB 相等吗？假设相等，请说明理由．证明：(1)在△ADB 与△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )；(2)OA ＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OAB＝∠OBA，∴OA ＝OB.13．(2021怀化一模)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D，∠B ＝∠C，求证：AB ＝DC.证明：∵BE＝CF ，∴BF ＝CE ，又∵∠A＝∠D，∠B ＝∠C，∴△ABF ≌△DCE ，∴AB ＝DC.14．(2021洪江模拟)△ABN 与△ACM 的位置如下图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 与△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC.又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC，∴∠MDO ＝∠NEO.∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M ＝∠N.考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形 三边相等的三角形 三边互不相等的三角形 __等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之与__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之与大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角与定理及内外角关系4．内角与定理：三角形的内角与等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之与．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段四线定义性质 图形中线连接一个顶点及它对边中点的线段BD ＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°续表角平分线一个内角的平分线及这个角的对边相交，顶点及交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝12BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定类型图形条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA ∠B1＝是AAS∠B 2， ∠C 1＝∠C 2， A 1C 1＝A 2C 2 A 1B 1＝A 2B 2， ∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是 __SAS __续表直角 三角 形的 判定A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2，是__HL __【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS 一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2021 洪江模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．假设调整木条的夹角时不破坏此木框，那么任意两个螺丝间距离的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．10【解析】4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，那么三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，那么三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，那么三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，那么三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7. 【学生解答】C1．(2021岳阳中考)以下长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2021原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，那么∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B ＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【学生解答】A2．(2021乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE ＝60°，那么∠A＝( C )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，那么OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE ＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∴OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【学生解答】1.253．(2021枣庄中考)如图，△ABC 的面积为6，AC ＝3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，那么线段BP 的长不可能是( A )A ．3B ．4C ．5.5D ．10全等三角形的证明及性质【例4】如图，点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，，且DC ＝DM ，试探究线段ME 及BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC ，在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD ，又AC ＝BC ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD ，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM ＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.4．(2021南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，以下结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA ＝DC ，其中正确结论的序号是__①②③__．图形旋转中全等三角形的判定及性质【例5】(2021 苏州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)假设EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE.(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 与△FCE中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)第 11 页 由(1)可知△BCD≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E ，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.5．(2021怀化三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF⊥AC，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F.求证：AB ＝BF.提示：证Rt △ABC ≌Rt △FBD 即可．6．(2021淄博中考)如图，△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.求证：(1)AE ＝AF ；(2)BE ＝12(AB ＋AC)． 证明：(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF ，∠CAD ＝∠AFE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ；(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G ，∴∠AGC ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE.∵∠AEF ＝∠AFE，∴∠AGC ＝∠ACG，∴AG ＝AC.∵BM＝CM ，EM ∥CG ，∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．。
2019届中考数学一轮复习讲义第27讲等腰三角形
2019届中考数学一轮复习讲义考点二十七：等腰三角形聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 °②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则b<a2④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠ A ,底角为∠ B、/ C，则∠ A=180—2 ∠ B，/ B= ∠180 AC=—22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
学！科网推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 :有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二•等边三角形1•定义三条边都相等的三角形是等边三角形• 2.性质:3•判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1•定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线2•性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3•判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2018黑龙江齐齐哈尔中考模拟）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的和谐分割线”.如图，线段CD是ABC的和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相【解析】试题分析：T △比CDS AEA∙G∕∙Z⅛CD=Z44h ,'∕Δ⅛CD是等腰三角形，,∕Z ADC>Z BCD J.'.Z AD OZA J即AC≠CD,①⅛AC?=AJ）时’ ZACD=ZADC=^ =67, .∖ZACE=670+4S C=113° *■②当DADC 时，ZCD=ZjL= 46 Q R √.ZACB=46" +46' =93Q J 故答案为M时或财-考点：1∙相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.【举一反三】如图，AD , CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC , ∠ CAD=20 ,则∠ ACE的度数是( )A. 20 °B. 35 °C. 40 °D. 70 °【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析；先⅛据等腰三角形的⅛m及三角形内角和定S⅛⅛ZCAfr=2ZCADM0% ZB=ZACH £( IS^ZCAB) =70°.再禾U用角平分线定义即可得出ZX*E W√ACB=3實.徉解::AD 是∆ABC 的中线』AB-AC J. ZaAD=20%/.ZCAB=2ZQAD=40S ZB=ZACB=I (IS^-ZCAB) =70t.ICE是AABC的甬平分线，∕÷ ZACE=i ZACB=JS ci.Z故选:B.点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70是解题的关键.考点典例二、等腰三角形的多解问题1【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰ABC中，AD BC交直线BC于点D ,若AD -BC ,2则ABC的顶角的度数为 ____________ .【答案】30°或150°或90°. 【解析】 试题分析：①BC 为腰,1∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= BC ,/∙∠2②BC 为底，如图3,CAD= - ×80 °90 °2腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 【举一反三】（湖南省衡阳市船山实验中学 2017-2018学年八年级上期末模拟）等腰三角形的一个内角为 70°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（）ACD=30° ,如图1 , AD 在△ABC 内部时, 顶角∠ C=30 ,如图2，AD 在△ABC 外部时,顶角∠ ACB=180 - 30o=150°,∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= I BC,∙∙∙ AD=BD=CD , ∙∙∙ ∠ B= ∠ BAD , ∠ C= ∠ CAD , /. ∠ BAD+ ∠【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边∙顶角∠ BAC=90 ,来源学科网ZXXMA. 35 °B. 20 °C. 35 °或20 °D. 无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35° 70°是底角，顶角是40°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C.考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】已知:在附鳥中,悴F T&I,为的中点V-銅，：■,垂足分别为点,且册•罔•求证:1是等边三角形.【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题【答案】证明见解析MMfi】分析；由等腥三角形的性质得SUZR=NG再用HL证明I∆CTF,得到厶IYG从而得到ZAQNG即可得到结论，徉解:「密FU /.Z5=ZC.∖'DElAB f DFLBC J ,\ZD£^=ZDFO90&.丁D为的卫匚中⅛jλΣfA=DC.又YDE=D F, -IR L AAE实RlACDF (HL),--ZJi=N方-ΞZ^C?：-AA^C是等边三角形- 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质•解题的关键是证明∠ A=∠ C.【举一反三】(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟 )如图所示，AABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ , PR=PS, PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S, ?则对下面四个结论判断正确的是()①点P在∠ BAC的平分线上，②AS=AR , ③QP// AR , ④厶BRP^Δ QSP.A.全部正确；B.仅①和②正确；C.仅②③正确；D.仅①和③正确【答案】A【解析】试题解析：∙∙∙PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S.∙∙∙∠ARP= ∠ ASP=90 .∙∙∙ PR=PS, AP=AP..∙. Rt △A RP也Rt AASP.∙∙∙ AR=AS ,故（2）正确，∠ BAP= ∠ CAP..AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确.∙AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.∙∙∙ AQ=PQ.∙点Q是AC的中点.∙PQ是边AB对的中位线.∙PQ // AB ,故（3）正确.∙.∙∠ B= ∠ C=60 ,∠ BRP= ∠ CSP=90 , BP=CP.•••△ BRPQSP,故（4）正确.•全部正确.•故选A.考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】.如图，MM中，川,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作的平分线交•于点；②作边的垂直平分线，'与！相交于点；③连接•，'.请你观察图形解答下列问题：（1） __________________________________________ 线段PA^B^C之间的数量关系是（2）若曲吭-潜，求的度数.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题【答案】（1）•：'「二-b 二V; （2）80°【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC;（2）根据等腰三角形的性质得：∠ ABC= ∠ ACB=70 ,由三角形的内角和得：∠BAC=180 -2 ×0°=40°，由角平分线定义得：∠ BAD= ∠ CAD=20 ,最后利用三角形外角的性质可得结论.详解：（1）如图，PA=PB=PC ,理由是：∙∙∙ AB=AC , AM 平分∠ BAC ,∙∙∙ AD是BC的垂直平分线，∙∙∙ PB=PC ,∙∙∙ EP是AB的垂直平分线，∙PA=PB,∙PA=PB=PC ;故答案为：PA=PB=PC ;⑵ 丁AE=AG/.Z ABC-Z ACE-VO O J.∖ ZBAC=I 80o-2^70c=40e,TANl 平分ZBAC,.,.ZBAD=ZCAD=2fl D,TPA=PB=PG・∖ ZABP= Z BAP=ZACP»20C,/. ZBPc=ZABP-Z BAC+Z ACP=20 i→0fr-2 =So S.点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键.【举一反三】（2018广西钦州市中考模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90 ,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB ）为半径作弧，两弧相交于点M和点N ,作直线MN 交AB于点D ,交BC于点巳若AC=3 , AB=5 ,则DE等于（）A. B. C.D.【答案】C【解析】根据勾股定理求出BC ,根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ,根据勾股定理求出AE ,再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC==4,连接AE，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得AC +CE =AE+ （4-AE ）即3=AE解得：AE=在Rt △ADEAD= AB=勾股定理得) DE +(=(解得：DE=故选C.课时作业☆能力提升一、选择题1. （2018年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一））如图，在△ABC中，AB=AC , AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40，24,则AB为（）S CA. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】试题解析：∙∙∙DE是AB的垂直平分线，ME = RE :的周长任「Δ EHC的周长I = EE + EC + IiC =AE^ Ec [ IiC = AC + 甘：.∙. I总盒强:的周长—M 泪的周长=AB ,∣ΛZP=40-24=16.故选C.点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.2. （2017黑龙江大庆）如图，ΔABD是以BD3. 已知 汀 口耽：，用尺规作图的方法在 冋上确定一点冈，使Un ,则符合要求的作图痕迹是ΔBCD 中，∠ DBC=90° ∠ BCD=60° DC 中点为E , AD 与BE 的延长线交于点 F ,则∠ AF B 的度数为（）A. 30 °B.15 °C.45 °D.25 °【答案】B【解析】解：τ∠ DBC=90° E 为 DC 中点，∙∙∙ BE=CE=CD ,τ∠ BCD=60° Λ∠ CBE=60° ∕∙∠ DBF=30°∙∠ ABF=75° ∙∠ AFB=180° - 90° - 75°=15° 故选B .为斜边的等腰直角三角形, •••△ ABD 是等腰直角三角形，∙∠ ABD=45° , A.【答案】D【解折】分析：夷使PZPC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB 的中垂线才能满足遗个条件，故D 正确. 详解：D 选项中作的是AB 的中垂线，.∖PA=PB.'.PB-PC-BC J∕r PA+PC=BC故选D*点睛：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出 PA=PB .4.（河北省故城县运河中学 2017-2018学年八年级（上）期末）等边三角形的边长为 2,则该三角形的面积为（）A. D. 3 【答案】CB.C.【解析】如图，作CD丄AB ,贝U CD是等边△ABC底边AB上的高,根据等腰三角形的三线合一，可得AD=I ,所以，在直角ΔADC中，利用勾股定理，可求出CD= =面积计算公式，解答，代入出S AABC = ×2×故选：C．5. （2017-2018 学年苏州市工业园区金鸡湖学校期末复习）如图，在于占4八、、于占4八、、边的中点，连接则下列结论①②为等边三角形.下面判断正确是( )A. ①正确B. ②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确【答案】C【解析】试题解析：①∙∙∙BM丄AC于点M, CN丄AB于点N , P为BC边的中点,PN= ∙∙∙ PM=PN ,正确；②∙∙∙∠ A=60 , BM 丄AC 于点M , CN 丄AB 于点N ,∙∠ ABM= ∠ ACN=30 ,在 AABC 中，∠ BCN+ ∠ CBlvF 180° -60 °-30 °×2=60° , •••点P 是BC 的中点，BM 丄AC , CN 丄AB , ∙ PM=PN=PB=PC ,∙∠ BPN=2 ∠ BCN , ∠ CPM=2 ∠ CBM ,∙∠ BPN+ ∠ CPM=2 (∠ BCN+ ∠ CBM ) =2×60°=120° , ∙∠ MPN=60 ,•••△ PMN 是等边三角形，正确； 所以①②都正确.PM= BCBC ,故选C .6.在平面直角坐标系中，点 A （ J2 ,迈）,B （ 3J2 , 3丿2 ）,动点C 在X 轴上，若以A 、B 、C 三点为 顶点的三角形是等腰三 角形，则点C 的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】B . 【解析】试爾分析:SC≡√∕AB 所在的M ⅛⅛Sy = X ,Λ⅛ AB 的中垂线所在的直线野二 V 丁点BZCgZ 的中点坐 ⅛⅛（2∙d, 2 如 把 x=2√∑,产 2√Σ 代AF = -K+占，解得 b=4√2, …朋的中垂线所在的S÷⅞≡y = -χ+4√2 , .'.C 1 ¢4^, O ）J決点启为圆^以期的长为半^画弧P 与-轴的交点为点55 ^B √（3√2 -√2）z + （3√2 -√2）z =4, V3√2>4,圆心，以朋的长九半径画弧 与耳轴沒有交点.综上，可得若以久趴€三点为顶点的三角形是等腰三角形P 则点f 的个数为取故选亠考点：1.等腰三角形的判定；2•坐标与图形性质；3•分类讨论；4 •综合题；5•压轴题.7（浙江省上杭县西南片区 2017-2018学年八年级上册期末模拟 ）如图，在 MBC 中，∠ B= ∠ C, AD 为AABC 的中线，那么下列结论错误的是（）A. AABD ACDB. AD为ΔABC的高线C. ADD. ΔABC是等边三角形为ΔABC的角平分线【答案】D【解析】试题解析：τ∠ B= ∠ C, ∙∙∙ AB=AC ,∙∙∙ AD是△ABC的中线，∙AD丄BC ,∠ BAD= ∠ CAD ,即AD是ΔABC的高，AD为△ABC的角平分线,∙∠ADB= ∠ ADC=9°0 ，在ΔABD和ΔACD中•••△ ABD BΔ ACD ,即选项A、B、C 都正确，根据已知只能推出AC=AB ，不能推出AC、AB 和BC 的关系，即不能得出△ABC 是等边三角形，选项D 错误，故选D ．二、填空题8. （2018广州市黄埔区中考数学一模）如图，已知ΔABC和ΔAED均为等边三角形，点D在BC边上，DE 与AB相交于点F,如果AC=12 , CD=4 ,那么BF的长度为__.答案】解析】试题分析：△ABC 和△AED 均为等边三角形，~ ?ACD, 又2017-2018 学年八年级上期末模拟 ）已知：点 P 、Q 是 △ABC 的边 BC 上的两个 ,∠BAC 的度数是（ ） 9. （ 山西省汾西县双语学校点，且 BP=PQ=QC=AP=AQA. 100 °B. 120 °C.130 °D. 150【答案】B【解析】VPctAP=AQ l l.∖ ZAP Q= ZPAQ= ZAQP=605,ZAP=BP,.∖Z B-Z TAB J Z,∖PQ-Z B÷ZPAB-SO C）,∖ZB=ZTAB=SO fi,同理ZQAC=ZC=30%.∖ZBAoZPAQ十ZPAB十ZQAOl2'O HS.故选B. I10.（浙江省宁波市东方中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰△ABC ,其中AB=AC=17cm , BC=16cm ,则三角形的面积为___________ cm2.【答案】120 【解析】利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理求出三角形的高AD= =15cm ，再利用三角形面积公式求S AABC = BC?AD=×16×15=120cm2故答案为：120.11.（浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°则等腰三角形顶角的度数是________[来]【答案】50或130【解析】首先根据题意画出图形,一种情况等腰三角形为锐角三角形，①如图 1 ,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ ABD=40 ,∙∙∙∠A=50 ,即顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，②如图2,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ DBA=40∙∙∙∠ BAD=50 ,∙∙∙∠ BAC=130 .故答案为：50或130.12.（浙师大附属秀洲实验学校 2017-2018学年九年级下学期第三次模拟 ）已知□ ABCD 中，AB=4, ABC 与 EDC 的角平分线交AD 边于点E , F ，且EF=3,则边AD 的长为 ___________________ .【答案】5或11;【解析】∙∙∙ BE 平分∠ ABC,∙∠ ABE= ∠ CBE ,•••四边形ABCD 是平行四边形，∙ AD // CB , CD=AB=4 ,∙∠ AEB= ∠ CBE∙∠ ABE= ∠ AEB ,∙ AE=AB=4 ,同理：DF=CD=4 ,分两种情况：∙ AD=AE+EF+DF=4+3+4=11∙ AF=1 , ∙ AD=AF+DF=1+4=5; ①如图1所示：∙∙∙ EF=3②如图2所示:■/ EF=4 ,AE=DF=4综上所述: AD的长为11或5;故答案为：5或11.13. （2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , CB=CD ,对角线AC , BD 相交于 点0,下列结论中：① ∠ ABC= ∠ ADC ；② AC 与BD 相互平分；③ AC ，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；1④ 四边形ABCD 的面积S= AC?BD .2试题解析：①在 △ABC 和ΔADC 中,AB AD∙∙∙ BC CD ,AC AC•••△ ABC ADC ( SSS),∙∙∙∠ ABC= ∠ ADC ,故①结论正确；②•••△ ABC BΔ ADC ,∙∠ BAC= ∠ DAC ,∙∙∙ AB=AD ,• OB=OD , AC 丄 BD ,而AB 与BC 不一定相等，所以 AO 与OC 不一定相等,故②结论不正确； ③由②可知：AC 平分四边形 ABCD 的∠ BAD 、/ BCD,1 而AB 与BC 不一定相等，所以 BD 不一定平分四边形 ABCD 的对角; 故③结论不正确；④∙∙∙ AC 丄 BD ，［来源学科网］•••四边形ABCD 1 1 1的面积 S=SSS 3 2 BD ?A O + 2 BD ?CO = 2 BD ?（AO+CO ）=AC?BD . 2故④结论正确；所以正确的有：①④考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.14.等腰三角形 中，顶角为 ，点在以为圆心，'长为半径的圆上，且为 _________ .【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】 或【解析】【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即【解答】如图：分两种情况进行讨论■■■ ^PBC = ^ABP + ^ABC= Ilo Dl 同理：^AffP r ^^BAC ）J-ABP a■ 2.BAC = 40\ LABC = tβo"-+t>*1 Λ ^P I ffC = ^AeC-= 30°.故答案为：3^或】1孑【点评】考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用15. （2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边 ABC 的内部，且PC 6,PA 8,PB 10 ,将线段PC绕点C 顺时针旋转60o得到P'C ,连接AP',则Sin PAP'的值为 ___________________ . 【答案】35∙∙∙ CP=CP =6,∠ PCP =60°•••△ CPP 为等边三角形，• PP =PC=6•••△ ABC 为等边三角形，• CB=CA , ∠ ACB=60 ,∙∠ PCB= ∠ P' CA在△PCB 和 ΔP ,CA 中 PC PCPCB PCACB CAτ 62+82=102,• PP 2+AP 2=P'A,∙ PB=P A=10,［来源学。
2019年中考数学复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 与角平分线有关的基本模型练习
方法技巧训练（一） 与角平分线有关的基本模型 方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算类型1 两个内角平分线的夹角如图1，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC＝90°＋12∠A.图1 图2 图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P＝12∠A. 解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．类型3 两外角平分线的夹角如图3，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O＝90°－12∠A. 解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图，在△ABC 中，∠A＝40°，点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC＝110°．【变式1】 若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D＝20°．第1题图 变式1图 变式2图 变式3图【变式2】 若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝70°．【变式3】 如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线．若∠A 1＝α，则∠A 2 019＝α2． 方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD 是∠ABC 的平分线，点O 是BD 上一点，OE∥BC 交AB 于点E ，则△BOE 是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．2．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5，BO 是∠ABC 的平分线，过点O 作OE⊥AB 于点E ，过点O 作OF⊥BC 于点F ，则OE ＝OF ，△BEO≌△BFO.图4 图5 图6 图7②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO 是∠ABC 的平分线，在BA ，BC 上取线段BE ＝BF ，则△BEO≌△BFO.解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段构造全等三角形． ③过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形．如图7，BD 是∠ABC 的平分线，点E 是BD 上一点，过点E 作BD 的垂线，则△BGH 是等腰三角形且BD 垂直平分GH.2.如图，在△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作BC 的平行线MN 交AB 于点M ，交AC 于点N ，则△AMN 的周长为(D )A ．10 cmB ．28 cmC ．20 cmD ．18 cm第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3．(2018·河北)如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为(B )A ．4.5B ．4C ．3D ．24．(2018·大庆)如图，∠B＝∠C＝90°，M 是BC 的中点，OM 平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B )A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°5．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点N ，且AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3，则AC 的长是16．6.如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，BD ，CE 相交于点O ，试说明BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以说明．解：BC ＝BE ＋CD.理由如下：在B C 上取点G ，使得CG ＝CD.∵∠BOC＝180°－12(∠ABC＋∠AC B)＝180°－12×(180°－60°)＝120°， ∴∠BOE＝∠COD＝60°.∵BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，∴∠EBO＝∠GBO，∠OCG＝∠OCD.在△COD 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠DCO＝∠GCO，CD ＝CG ，∴△COD≌△COG(SAS )．∠COG＝∠COD＝60°.∴∠BOG ＝120°－60°＝60°＝∠BOE.在△BOE 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BOE＝∠BOG，BO ＝BO ，∠EBO＝∠GBO，∴△BOE≌△BOG(ASA )．∴BE＝BG.∴BE＋CD ＝BG ＋CG ＝BC.7．感知：如图1，AD 平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD＋∠ACD ＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB ＝DC.应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB ＝DC ＝a ，则AB －AC 用含a 的代数式表示),图1) ,图2) ,图3)证明：过点D 作DE⊥AB 于点E ，DF⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DF ＝DE ，∴△DFC≌△DEB(AAS )．∴DC＝DB.。
中考数学一轮复习专题解析—等腰、等边三角形
中考数学一轮复习专题解析—等腰、等边三角形复习目标1.了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形；2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定；3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题；4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性质和判定；考点梳理一、等腰、等边三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.特别提醒：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.例1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍B.顶角的一半C.顶角D.底角的一半【答案】B.【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD△AC于D，所以△ABC=△C，△BDC=90°，所以△DBC=90°-△C=90°-(180-△A)= △A，例2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分△BAC，△EBC=△E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=cm．【答案】32;【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF△BC，△AB=AC，AD平分△BAC，△AN△BC，BN=CN，△△EBC=△E=60°，△△BEM为等边三角形，△△EFD为等边三角形，△BE=30，DE=2，△DM=28，△△BEM为等边三角形，△△EMB=60°，△AN△BC，△△DNM=90°，△△NDM=30°，△NM=14，△BN=16，△BC=2BN=32，故答案为32．二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.例3．已知：在直角△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC且交AC于D.(1)若△BAC=30°，求证: AD=BD；(2)若AP平分△BAC且交BD于P，求△BPA的度数.图1 图2【答案】(1)证明：△△BAC=30°，△C=90°，△△ABC=60°又△ BD平分△ABC，△△ABD=30°，△ △BAC =△ABD，△BD=AD；(2)解法一：△△C=90°，△△BAC+△ABC=90°△=45°△ BD平分△ABC，AP平分△BAC△BAP=，△ABP=即△BAP+△ABP=45°△△APB=180°-45°=135°解法二：△△C=90°，△△BAC+△ABC=90°△=45°△BD平分△ABC，AP平分△BAC△DBC=，△PAC=△△DBC+△PAD=45°△△APB=△PDA+△PAD =△DBC+△C+△PAD=△DBC+△PAD+△C=45°+90°=135°.1．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为9m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（）A．18m B．33m C．63m D．93m【答案】C【分析】△的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三AB是Rt ABC角形的条件，可求出AB的长．【详解】解：如图，30∠=︒，9AC=m，ACB∠=︒，90BAC△AB=2BC，△222AC BC AB+=，即222+=，BC BC94解得：33BC=m，△63AB=m，故选：C．2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则△CB′C′的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【分析】依据旋转的性质可求得AB＝AB’，△AB’C’的度数，依据等边对等角的性质可得到△B＝△BB’A，于是可得到△CB’C’的度数．【详解】解：由旋转的性质可知：AB＝AB’，△BAB’＝80°，△AB＝AB’，△△B＝△BB’A＝50°．△△BB’C’＝50°＋50°＝100°．△△CB’C’＝180°−100°＝80°，故选：D．3．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，在Rt ABC中，90∠=︒，BAC将ABC绕点A顺时针旋转90︒后得到的''AB C（点B的对应点是点'B，点C的对应点是点'C），连接'∠=︒，则B的大小是（）CC．若''32CC BA．32︒B．64︒C．77︒D．87︒【答案】C【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为△CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出△C′B′A的度数，进而求出△B的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，△△CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则△CC′A=45°．△△CC′B′=32°，△△C′B′A=△C′CA+△CC′B′=45°+32°=77°，△△B=77°，故选：C．4．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）下列命题中是真命题的是（）A．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三个角对应相等的两个三角形全等C．直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半D．等边三角形是中心对称图形【答案】A【分析】根据三角形中垂线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质和等边三角形的性质判断即可．【详解】解：A、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确；B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，错误；D、等边三角形是轴对称图形，错误；故选：A．5．（2022·全国九年级课时练习）如图，点O为ABC的外心，OCP△为正三角形，=，则ADP的度数为（）∠=︒，AB ACBACOP与AC相交于D点，连接OA．若70A ．85︒B ．90︒C ．95︒D ．110︒【答案】A【分析】 利用外心的性质，得到OA 是△BAC 的平分线，OA =OC ，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可．【详解】△O 为ABC 的外心，70BAC ∠=︒，AB AC =，△OA 是△BAC 的平分线， △1352OAC BAC ∠=∠=︒，△AO CO =，△35OAC OCA ∠=∠=︒，△110AOC ∠=︒，△OCP △为正三角形，△60COP ∠=︒，△1106050AOP AOC COP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又△ADP 为AOD △的外角，△85ADP OAD AOD ∠=∠+∠=︒．故选A ．6．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG△CE于点G，交AC于点H，EF△EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：△OE＝OH；△EF＝EC；△当G为CE中点时，BF＝424-；△BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（）A．△△△B．△△△C．△△△D．△△△△【答案】D【分析】△由“ASA”可证△BOH△△COE，可得OE=OH；△过点E作EP△BC于P，EQ△AB于Q，由“ASA”可证△QEF△△PEC，可得EF=EC；△由线段的垂直平分线的性质可求BC=BE=4，由正方形的性质可求BP=PE=2可求BF的长；△通过证明△BOH△△BGE，可得BH BO=，可得BH•BG=BE•BO．BE BG【详解】解：△BG△CE，EF△EC，△△FEC＝△BGC＝90°，△四边形ABCD是正方形，△AO＝OC＝OB＝OD，AC△BD，△△ECO+△GHC＝90°＝△OBH+△BHO，△BHO＝△CHG，△△OBH＝△ECO，又△BO＝CO，△BOH＝△COE＝90°，△△BOH△△COE（ASA），△OE＝OH，故△正确；如图，过点E作EP△BC于P，EQ△AB于Q，△四边形ABCD是正方形，△△ABD＝△CBD＝45°，又△EP△BC，EQ△AB，△EQ＝EP，又△EP△BC，EQ△AB，△ABC＝90°，△四边形BPEQ是正方形，△BQ＝BP＝EP＝QE，△QEP＝90°＝△FEC，△△QEF＝△PEC，又△△EQF＝△EPC＝90°，△△QEF△△PEC（ASA），△QF＝PC，EF＝EC，故△正确；△EG＝GC，BG△EC，△BE＝BC＝4，△BP＝EP＝2，△PC＝4﹣2QF，△BF＝BQ﹣QF＝22﹣（4﹣22）＝42﹣4，故△正确；△△BOH＝△BGE＝90°，△OBH＝△GBE，△△BOH△△BGE，△BH•BG＝BE•BO，故△正确，故选：D．7．（2022·全国九年级专题练习）如图，在△P AB中，M、N是AB上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM△△P AN，则△APB的度数是________．【答案】120°【分析】由△BPM△△P AN，可得出△BPM=△A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论．【详解】解：△ △BPM△△P AN，△ △BPM＝△A，△ △PMN是等边三角形，△ △A+△APN＝60°，即△APN+△BPM＝60°，△ △APB＝△BPM+△MPN+△APN＝60°+60°=120°．故答案为：120°．8．（2022·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，ABC是等边三角形，6AB ，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接,BM MN，则BM MN+的最小值是________．【答案】33【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．【详解】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD是BC边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．△ABC是等边三角形，6AB=，N是AB的中点，△AC=AB=6,AN=12AB=3, CN AB⊥,△2222632733CN AC AN=--=即BM+MN的最小值为33故答案为：339．（2022·福建省福州杨桥中学九年级月考）如图，已知ABCD，120ABC∠=︒，点E为线段BC上的一点，连接AE．（1）将线段AE绕点A逆时针旋转60︒得到线段AF，点E的对应点是点F．请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：点F在ABC∠的平分线上．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1)作△DAT=△EAB，在射线AT上截取AF，使得AE=AF即可；（2)在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH. 证明ΔABH是等边三角形，证明B、H、F共线可得结论.【详解】（1）如图，线段AF即为所求；（2)证明：在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH.△四边形ABCD是平行四边形，△AD△BC，△△DAB+△ABC=180°，△△ABC =120°， △△BAH =60°， △AH =AB ，△ΔABH 是等边三角形， △△AHB =△ABH =60°， △△EAF =60°， △ △EAF =△BAH ， △ △F AH =△EAB ， 在ΔF AH 和ΔEAB 中，AF AE FAH EAB AH AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ΔF AH △ΔEAB (SAS )， △△AHF =△ABE =120°， △△AHF +△AHB =180°， △B 、H 、F 共线， △△FBA =△FBE =60°，△点F 在△ABC 的角平分线上。
中考数学复习《等腰三角形与等边三角形》
（B）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
6. 如图1-4-4-11，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，DF 经过点E，分别与AB，AC相交于点D，F，且DF∥BC. （1）求证：△DEB是等腰三角形； （2）求证：DF-BD=CF.
证明：（1）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE. ∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE. ∴∠ABE=∠DEB. ∴BD=DE. ∴△DEB是等腰三角形. （2）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE. ∵DF∥BC，∴∠FEC=∠BCE. ∴∠ACE=∠FEC. ∴EF=CF. ∵BD=DE，∴DF-BD=CF.
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第4节 等腰三角形与等边三角形
知识梳理
概念定理
1. 等腰三角形 （1）定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质 ①性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等 角）. ②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上 的高线互相重合（简称：三线合一）.
解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°. ∴∠F=90°-∠EDC=30°. （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形. ∴ED=DC=2. ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4.
（3）其他性质 ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°. ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但 顶角可为钝角（或直角）.
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
________.
④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形
1．(2022·湖州)如图，已知在锐角三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC
的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△
EBC的面积是
（ B）
A．12
B．9
C.6
ห้องสมุดไป่ตู้
D．3 2
重难点2：与直角三角形有关的证明与计算 如图①，图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是BC边上
分别航行12海里和16海里，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20海
里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿北北偏东偏5东0 °方向
航行．
50°
重难点 1：与等腰三角形有关的证明与计算 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 为 BC 上一点，E 为 AC 上一点．
(1)如图①，若∠BAC＝56°，∠BAD＝36°，AD＝AE，则∠B 的度数为
第三节 等腰三角形与直 角三角形
【考情分析】等腰三角形、直角三角形在选择题、填空题中主要考查： ①利用性质求角度；②求线段长度或取值范围；③在坐标系中求点的坐 标；④利用勾股定理及直角三角形的性质进行相关计算．在解答题中大 多结合二次函数或圆，探究等腰三角形的形状或利用等腰三角形的性质 解决存在性探究问题、直角三角形的探究问题．
是
（A ）
A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
5．(2022·贺州第6题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56
°，则∠A的度数为
（ A）
A．34°
B.44°
C．124°
D．134°
6．(2022·梧州第16题3分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分 别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5 m，BC＝3 m，那么CD ＋DE的长是44 m.
中考数学专题特训 等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【赵老师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【赵老师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433；故答案为：433或43或4。
中考数学一轮复习：等腰三角形与直角三角形
【解析】∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B＝60° ， ∴∠C＝30° ， ∴BC＝2AB＝2×2＝4， ∴AC＝ BC2－AB2＝ 42－22＝2 3. ∴△ABC 的周长为 AB＋BC＋AC＝2＋4＋2 3＝6＋2 3.
如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90° ，AB＝AD，若四边形 ABCD 的面积是 24 cm ，则 AC 的长是________cm.
知识点三
线段的中垂线
1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2．性质 线段中垂线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 3．判定 到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上， 线段的中垂线可以看作是到线段两端 点距离相等的点的集合．
知识点四
直角三角形的性质与判定
1．性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)勾股定理：a2＋ b2＝c2(在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90° )； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为 30° ； (5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．判定 (1)有一个角是 90° 的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理； (3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形； (4)有两个角互余的三角形是直角三角形．
如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA＝CQ 时，连结 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为( )
1 1 2 A. B. C. D．不能确定 3 2 3 解析：过点 P 作 PF∥BC，由已知△ABC 为等边三角形可证△APF 也为等边三角形， 于是 AP＝PF，又因为 AP＝CQ，则 PF＝CQ，于是可证△PFD≌△QCD，于是 FD＝DC； 1 另一方面，因为△APF 为等边三角形，且 PE⊥AC，则 AE＝EF，于是可得 EF＋FD＝ AC 2 1 ＝ ，故选 B. 2
河南省2019年中考数学总复习第一部分考点全解第四章三角形第15讲三角形及其性质3_10分课件
【解析】 ∵A D 是 B C 边上的高， ∠A B C ＝60° ， ∴∠B A D ＝30° . ∵∠B A C ＝50° ，
A E 平分∠B A C ，∴∠B A E ＝25° ，∴∠D A E ＝30° －25° ＝5° . 在△A B C 中，∵∠C ＝
180° －∠A B C －∠B A C ＝70° ，∴∠D A E ＋∠C ＝5° ＋70° ＝75° ，故选 A ．
一半 行于第三边，并且等于第三边的_________.
考点二 等腰三角形的性质与判定高频考点 1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形叫做 等边三角形 _________ . 2．等腰三角形的性质
相等 ； (1)两腰相等，两个底角_________
(2)顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合，简称三线合一；
3．边、角关系
小于 第三边． (1)边的关系：三角形任意两边之和_________ 第三边，两边之差________ 大于 等于 180° ，任意一个外角_________ (2)角的关系：内角和等于_________ 与它不相邻的两个 大于 内角之和，任意一个外角_________ 任何一个与它不相邻的内角．
60° 1．性质：(1)三边相等；(2)三内角相等，且每一个内角都等于_________ ；(3)内 3 外心重合；(4)是轴对称图形，有_________ 条对称轴．
2．判定：(1)三条边都相等的三角形；(2)三个角都相等的三角形；(3)有一个角等 于 60° 的
等腰三角形
是等边三角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
考点四
直角三角形与勾股定理
【解析】 根据两边之和大于第三边，选项 A 中，∵5＋4＝9,9＝9，∴该三边不 能组成三角形，故选项 A 错误；选项 B 中，∵8＋8＝16,16＞15，∴该三边能组成三 角形，故选项 B 正确；选项 C 中，∵5＋5＝10,10＝10，∴该三边不能组成三角形， 故选项 C 错误；选项 D 中，∵6＋7＝13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故选 项 D 错误，故选 B．
河南省中考数学总复习第四章三角形作业帮(2021年整理)
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第一节角、相交线与平行线考点1 角1。
［2018甘肃白银]若一个角为65°，则它的补角的度数为( ）A.25°B。
35° C.115°D。
125°2。
[2018山东德州]如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列摆放方式中,α与β互余的是( )图（1) 图（2）图(3) 图（4)A。
图(1) B.图（2) C.图（3) D.图（4)3。
［2018河北］如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行，则此时快艇的航行方向为（)A.北偏东30°B.北偏东80°C.北偏西30°D.北偏西50°考点2 相交线4.[2018广东广州越秀区二模］如图,直线AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,若∠1=26°,则∠2的度数是( ）A.26°B。
64°C。
54°D。
以上答案都不对（第4题) (第5题)5。
［2018湖南邵阳模拟］如图，OC⊥AB于点O,∠1=∠2，则图中互余的角有对. 考点3 平行线6。
［2018广东广州]如图,直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( ）A。
∠4，∠2B.∠2，∠6C。
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3.(2017河南,14,3分)如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A.图2是点P运
动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是 .
答案 12
解析 观察题图可知BC=BA=5.当BP⊥AC时,BP=4,此时AP=CP= BC2 BP2 =3,所以AC=6,所
答案 4或4 3
解析 (1)当点A'在直线DE下方时,如图1,∵∠CA'F=90°,∠EA'F>∠CA'F,∴△A'EF为钝角三角 形,不符合;(2)①当点A'在直线DE上方时,如图2.当∠A'FE=90°时,∵DE∥AB,∴∠EDA=90°, ∴A'B∥AC.由对称知四边形ABA'C为正方形,∴AB=AC=4;②当点A'在直线DE上方时,如图3. 当∠A'EF=90°时,A'E∥AC,所以∠A'EC=∠ACE=∠A'CE,∴A'C=A'E.∵A'E=EC,∴△A'CE为 等边三角形,∴∠ACB=∠A'CB=60°,∴在Rt△ACB中,AB=AC· tan 60°=4 3 ;③当点A'在直线 DE上方时,∠EA'F<∠CA'B,不可能为90°.
②线段AD、BE之间的数量关系为 (2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上, CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关
系,并说明理由.
图1 图2
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD= 2 .若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
图3
解析 (1)①60°;②AD=BE. (2分)
(2)∠AEB=90°;AE=2CM+BE. (4分) (注:若未给出本判断结果,但后续理由说明完全正确,不扣分) 理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°, ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, ∴∠ACD=∠BCE. ∴△ACD≌△BCE. (6分) ∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°. ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. (7分)
2 1 . 2 2 1 综上所述,BM的长为1或 2 .
此时BM=B'M= BC=
1 2
5.(2014河南,11,3分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B、C为圆心,以大于 BC的
长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则 ∠ACB的度数为 .
在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,
∴CM=DM=ME. ∴DE=2CM. ∴AE=DE+AD=2CM+BE. (8分)
3 1 或 3 1 . (10分) (3) 2 2
【提示】∵PD=1,∠BPD=90°,
∴BP是以点D为圆心、1为半径的☉D的切线,点P为切点. 第一种情况:如图①,连接BD,AP,过点A作AP的垂线,交BP于点P',可证△APD≌△AP'B,PD=P'B =1. ∵CD= 2 , ∴BD=2,BP= 3, 作AM⊥PP',交PP'于点M, ∴AM= PP'= (PB-BP')=
1 如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,
△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A'B所 在直线于点F,连接A'E.当△A'EF为直角三角形时,AB的长为 .
中考数学
(河南专用)
第四章 图形的认识
§4.3 等腰三角形与直角三角形
五年中考 五年中考
A组 2014-2018年河南中考题组
1.(2016河南,6,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则
DE的长为 (
)
A.6 B.5 C.4 D.3 答案 D 在△ABC中,∠ACB=90°,∵DE垂直平分AC,∴AD=DC,DE∥BC,∴E为AB的中点,∴ DE= BC,∵BC= AB 2 AC 2 =6,∴DE= BC=3.故选D.
以S△ABC= ×6×4=12.
1 2
4.(2017河南,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC= 2 +1,点M,N分别是边BC,AB上
始终 落在边AC上.若△MB'C为直角三角 的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B'
形,则BM的长为
.
答案
2 1 或1 2
1 2
答案 105°
解析 由题意知MN垂直平分BC, ∴CD=BD, 又CD=AC,∴AC=CD=BD, ∴∠DCB=∠B=25°, ∴∠A=∠CDA=50°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°.
6.(2014河南,22,10分)
(1)问题发现 如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE. 填空: ①∠AEB的度数为 ; .
综上所述,当△A'EF为直角三角形时,AB的长为4或4 3 .
图1 图2 图3
思路分析 由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A'可以在直线DE的下方或上方.分类
讨论,当点A'在DE的下方时,△A'EF不可能为直角三角形,当点A'在直线DE上方时,∠A'EF或 ∠A'FE为90°时分别计算AB的长,显然∠EA'F<90°,可以排除. 方法总结 解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为 圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条 件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.
解析 在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°. (1)当∠MB'C=90°时,∠B'MC=∠C=45°. 设BM=x,则B'M=B'C=x, 在Rt△MB'C中,由勾股定理得MC= 2 x, ∴ 2 x+x= 2 +1,解得x=1, ∴BM=1. (2)如图,当∠B ' MC=90°时,点B '与点A重合,