线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）

一﹑选择题(每小题3分,共15分)

1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+

2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )

(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--

4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

的矩阵为A ,那么( )

(A) 2331A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ (B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ (C) 2121A ⎛⎫= ⎪

-⎝⎭

(D) 1001A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分)

1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；

2. 设100210341A -⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；

3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；

4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；

5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式2

2

2

111

a

b c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ； 9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围为 ；

10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每小题9分，共27分）

1. 已知210121012A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭

，100100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 使之满足AX X B =+.

2. 求行列式

1234

2341

34124123

的值.

3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.

四﹑(10分)设有齐次线性方程组

12312312

3(1)0,(1)0,(1)0.

x x x x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪

-++=⎨⎪++-=⎩ 问当λ取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:

222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.

六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为

123: 230,: 230,: 230.

l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.

线性代数（A 卷）答案

一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A

二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-1

6. ()()()c a c b b a ---

7. 0

8. 111,,23---

9. 405t -<< 10. 11

42A I +

三﹑1. 解 由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下面求1()A I --. 由于

110111011A I ⎛⎫

⎪

-= ⎪ ⎪⎝⎭

(4分)

而

1()A I --=011111110-⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

. (7分)

所以

10111001()11101111100011X A I B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪

=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. (9分)

2. 解

1

2342

34134124123=

1023410341104121012312

341341

1014121123

= (4分) 12340113

10

00440

004

-=-- (8分) 160= (9分) .

3. 解 由于

31

12341234011301131301053307330733r r --⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪

----⎝⎭⎝⎭

324212345011300212700424r r r r -⎛⎫

⎪--- ⎪ ⎪

+ ⎪--⎝⎭ 43

123401132002120000r r -⎛⎫

⎪-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭

(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的一个最大无关组。(9分) 四﹑解 方程组的系数行列式

111111111

A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- (2分)

①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; (4分) ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为

12 1 21 1 11 2 A -⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

,

它有一个二阶子式

12

3021

-=-≠-,因此秩(A )2n =<(这里3n =),故方程组有无穷多个解.对A 施行初

等行变换,可得到方程组的一般解为

13233

3,,,

x x x x x x =⎧⎪

=⎨⎪=⎩ 其中3x 可取任意数; (7分) ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为

11 1 11 1 11 1 A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

,

显然,秩(A )1n =<(这里3n =),所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换

可得方程组的一般解为

123223

3,,

,

x x x x x x x =--⎧⎪

=⎨⎪=⎩ 其中23,x x 可取任意数. (10分)