竞赛课件波的几何描述与特征现象

波的几何描述 ♠在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各点的轨迹称为波前.振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为波面．波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面． 方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线．球面波 平面波波面 o波线波面 波线 波前波前介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波前．反射定律M NA B A′ B′i r''==A B vt AB Rt AA B Rt ABB ''∴∆≅∆i r∴= 两种介质界面上的波现象 ♠折射定律 M NA B A′ B′ i r r i 12sin sin v t v t AB i r ∴==1212sin sin v i n r v ∴==1v 2vA 1B A 2 B 2i r M 'MA B 1 N 'NC C '专题13-例1 緃tan 3v t i v t ⋅==⋅橫i 60i = 一平面波遇到两种介质的界面时发生反射，设入射波与反射波的振动方向相同．如果入射波是一纵波，要使反射波是一横波，设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度的倍．问入射角为多少？专题13-例2AB v t=⋅子ACBφφ弹道波的几何描述如示:m5AC V t=⋅波1sin2Vvϕ==波子30ϕ⇒=设人在C处:子弹与人的距离即为CB=10 m子弹在离人5 m处以速度680 m/s水平飞过，当人听到子弹之啸声时，子弹离人多远？设声速为340 m/s.站在地面上的观测者发现一架飞机向他飞来，但听不到声音，一直到看见飞机的方向和水平成37°角时，才听到轰呜声，若飞机沿水平直线飞行，当时声速为336 m/s，飞机的速度是多少？飞机超音速飞行，引起圆锥面波，故飞机速度v＝V/sin37=560 m/s专题13-例3 依据惠更斯原理求解: M N r 0 r O00N c v r n ω=='M c v r n ω==00c c r n rn =''则()000011r r c a r a e r ρρ--⎛⎫ ⎪''+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭即001r r c r r e c ---=-取()()00000r r a r r r r a r c ρρ-''-+-=⋅得011a r c ρ'=-得0r 实际的地表大气密度满足 001a n ρ=-()0000111r n c ρρ'=⎛⎫-- ⎪⎝⎭故()4.58≈倍 假设大气折射率n 与空气的密度有关系 ．式中a 为常数，ρ0为地球表面的大气密度，r 0＝6400 km ，c =8772 m ，大气折射率随高度的增加而递减．为使光线能沿着地球表面的圆弧线弯曲传播，地表的空气密度应是实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率n 0=1.0003． 001r r cn a e ρ---=依据惠更斯原理求解: M N h 0h O0h h h c c h n hn +∆=由000000()()c cn ah n a R h R h h h h =++-∆+∆-+()()()()000000n ah R h n ah a h R h h ⎡⎤⎡⎤-+=--∆++∆⎣⎦⎣⎦()()000n ah h a h R h -∆=∆+0012n h R a ⎛⎫- ⎝=⎪⎭R 某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h 按照n ＝n 0－ah 的规律而减小，行星的半径为R ，行星表面某一高度h 0处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度h 0．♠驻波两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时，形成驻波．静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形不向任何方向移动，规律从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不变的；从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种振动模式．弦线或空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波．示例拍 ♠两个同方向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，产生的合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫拍．在单位时间内合振幅的极大值出现的次数叫做拍频．12222f f T πππ-⋅=121f f T =-t＝0,T t＝T/4 t＝T/2 t＝3T/4t ＝0 t ＝T/2t ＝T/4 t ＝34t ＝T 返回如图所示，一端固定在台上的弦线，用支柱支撑其R 点和S 点，另一端通过定滑轮吊一个1.6 kg 的重物，弹拨弦的RS 部分，使其振动，则R 、S 点为波节，其间产生三个波腹的驻波，这时，如在弦的附近使频率为278 Hz 的音叉发音，则5 s 内可听到10次拍音，换用频率稍大的音叉，则拍音频率减小．测得RS ＝75.0 cm ，求该驻波的波长、频率及弦线的线密度．由驻波成因知该波波长为:专题13-例6 m 250.03L λ==弦振动频率与音叉振动频率差产生拍: 12f f f =-1102785f =-1280f =Tv ρ=由mg kg/m 21.69.8140ρ⨯=kg/m 30.810-=⨯R S规律试手18问题 一个脉冲波在细绳中传播，若绳的线密度为ρ，绳中张力为T 试求脉冲波在绳上的传播速度．v v θ∆r vTT m r ρθ∆=⋅∆22sin 2v T m r θ∆=∆v T ρ=返回将一根长为100多厘米的均匀弦线沿水平的x轴放置，拉紧并使两端固定．现对离固定的右端25 cm处（取该处为原点O，如图1所示）的弦上施加一个沿垂直于弦线方向（即y轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图2所示．该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）．已知该波在弦线中的传播速度为2.5 cm/s，且波在传播和反射过程中都没有能量损失．⒈试在图1中准确地画出自O点沿弦线向右传播的波在t＝2.5 s时的波形．⒉该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播．反射点总是固定不动的．这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零．由此观点出发，试在图1中准确地画出t＝12.5 s时的波形图．图1图13-12-2图2解答2.5T =s 6.25vT λ==m 6.25 波到达右端经 再经2.5S,即t=12.5s 时 y/cmx/cm 5 10 15 20 25 0.10 0.05-0.10-0.0518.75 再经0.5S,即t=10.5s 时18.75 6.25 y/cm x/cm5 10 15 20 25 0.100.05 -0.10 -0.05252.105t ==s 脉冲波形成经 2.5t T ==s 23.75一列横波在弦线上传播，到固定端时被反射，反射波在弦线上沿反方向传播而形成驻波．反射时波长、频率、振幅均不变，但反射波与入射波使反射点的振动相差半个周期，相当于原波损失半个波再反射．在图中已画出某时刻入射波B，试用虚线画出反射波C，用实线画出驻波A．AB C当声波频率f ＝7 Hz 时，波长 :347.2m 49.6m 7v f λ===那么井深至少为波长四分之一即12.4 m 时，空气柱与音叉可发生共鸣这样一个井的深度，还可能与频率大于7Hz 、波长短于49.6 m 、但波长的 214n +倍恰等于12.4 m 的某些声波发生共鸣!有一口竖直井，井底有水，它可与f ≥７Hz 的某些频率发生共鸣．若声波在该井里的空气中的传播速度为347.2 m/s ，试问这口井至少有多深？标准声频率为250 Hz ，拍频1.5 Hz ，粘上橡皮后音叉频率减小，与标准声的拍频增大，可知音叉原频率为比标准声频率低，为248.5 Hz由共鸣时空气柱长度知 1.030.342λ-= 1.38m λ=343m/s V f λ==則 音叉与频率为250 Hz 的标准声源同时发音，产生1.5 Hz 的拍音．当音叉叉股粘上一小块橡皮泥时，拍频增大了．将该音叉放在盛水的细管口，如图所示，连续调节水面的高度，当空气柱高度相继为0.34 m 和1.03 m 时发生共鸣．求声波在空气中的声速，画出空气柱中的驻波波形图．VV f T fV λ'===(1)V v V v v f V f VT λ±=±±'==V V f VT uT VfV u λ'==='V v f VT u V vf u T V ±±'== 设定： 波源相对于介质的速度u ；观察者相对于介质的速度v ；波在介质中速度V ；观察者接收到的频率f ′；波源频率f ． ． ㈡波源固定，观察者以v 向着波源或背离波源运动．㈢波源以速度u 相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止uT λ 如图，此时相当于波长缩短或增长为 ，故． ㈣波源与观察者同时相对介质运动 此时相当于波以速度V ±v 通过观察者，故 ㈠波源与观察者相对介质静止 多普勒效应 ♠λ uλ'uT设“哆”音频率为f 1；低“咪”音频率为f 2，有10V v f f V u +=-20V v f f V u -=+12(120080)(1200)8(1200)(120080)5f u f u ++==--由km/h 200u =得对相向而行的乘客：对静止的路旁观察者： V f V u V u V f V u V u +-==-+前后由()()()()V v f V v V u V u V v f V v V u V u --+-==++-+超前超后由75=对同向而行的乘客： 4940=专题13-例4 车以80 km/h 速度行驶，从对面开来超高速列车，向背后奔驶而去．此间超高速车所发出的汽笛声开始若听取“哆”音，后来听到的则是降低的“咪”音（假定“哆”音和“咪”音的频率之比为8/5）．设声速为1200 km/h ，则超高速列车的时速是多少？这时，对站在路旁的人而言，超高速列车通过他前后声音的频率之比是多少？而对与超高速列车同向行驶、车速为80 km/h 的车上乘客而言，他被超高速列车追过前后所闻汽笛声音的频率之比又是多少？观察者接收到的频率先高后低，说明声源与观察者先接近后远离！作出示意图: cos A u v α=专题13-例5 A M B hα βv u A v u B cos B u v β=10cos V f f V v α=-20cos V f f V v β=+11cos 40α⇒=33cos 80β⇒=由几何关系： ()cot cot vt h αβ=+代入数据后得 m1096h ≈cot cot vth αβ=+ 飞机在上空以速度v ＝200m/s 做水平飞行，发出频率为f 0＝2000 Hz 的声波．静止在地面上的观察者测定，当飞机越过观察者上空时，观察者４s 内测出的频率从f 1＝2400 Hz 降为f 2＝1600 Hz ．已知声波在空气中速度为V ＝330 m/s ．试求飞机的飞行高度．这是测定宇宙中双星的一种方法(1) 由于B星发出的光波波长在P点位比Q点位短，可知在P点位光源是朝着地球运动的，故B星公转的方向为沿图中逆时针方向P QABP Q B A⑵vT vcλλ∆==⋅可得v＝42 km/s884010kmvtRπ⋅⨯==⑶有A、B两个星球．B星以A星为中心做匀速圆周运动，如图．由于星球离地球非常远，而且地球位于B星的轨道平面上，所以从地球上看过去，B星好象在一条直线上运动．测得B星从P点移动到Q点需要6.28×107 s．由于多普勒效应，在测定B星发出的光的波长时发现，当B星位于P点时比位于A点时短0.68×10-10 m，位于Q点时则比A点长同样的值．若位于A点时的波长测量值为4861.33×10-10 m，光速c＝3.0×108 m/s．求⑴B星公转的方向;⑵B星的公转速度是多少km/s？⑶圆周轨道的半径．设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度为u ，此即波源移动速度，由于波源向着观察者运动，接收到的频率变大，由c f f f c u+∆=-可得 882400 3.010m/s 102400cf u c f f =-=⨯⨯+∆+7200m/s= 某人造地球卫星发出频率为10 8 Hz 的无线电讯号，地面接收站接收到的讯号频率增大了2400 Hz ．已知无线电讯号在真空中的传播速度为c ＝3.0×108 m/s ，试估算人造卫星朝地面接收站方向的运动速度．接收到来自乐队的频率 103305330f f u+=+来自广播声的频率 203305330f f +=3353354()4403303303u -⨯=+則U≈1 m/s在单行道上，交通川流不息，有一支乐队沿同一方向前进．乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近，这时，乐队正同时奏出频率为440 Hz 的音调．在乐队前面街上有一固定广播设施做现场转播．旅行者发现从前面乐队直接听到的声音和从广播中听到的声音相结合产生拍，并测出三秒钟有四拍．利用测速计可测出车速为18 km/h ．试计算乐队行进的速度．已知在这个寒冷的天气下，声速为330 m/s ．一波源振动频率为2040 Hz ，以速度v s 向墙壁接近，如图，观测者在A 点所得的拍频 =3 Hz ，设声速为340m/s ，求波源移动的速度v s ．如波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，以速度=0.2 m/s 向观察者A 接近，所得到的拍频为 =4 Hz ，求波源的频率．ν∆ν'∆ ⑴A 点从声源直接接收到的声波频率10s V f f V v =+经墙反射后的声波频率 20s V f f V v =-则00s sV V f f V v V v ν∆=--+观测者 波源A S 续解代入题给数据 22234032040340ss v v ⨯=⨯-2226803400,s s v v +-==0.25m/ss v ⑵若反射面移动，则A 点从声源直接接收到的声波频率 1f f'=反射面接收到的波频率 2V v f f Vτ+''=反射到A 接收到的波频率 22V v V f f f V v V v τττ+'''==--则20.243400.2V v f f f V v ττν+⨯'∆=-⇒=⨯--3398Hz f =uR ωφθ声源移动速度为Rω，相对观察者接近或背离速度设为u ，sin()Vf f V R ωθϕ'=±+有2sin sin()r r ϕθϕ=+又()90θϕ+=当 时 f '有最值, 此时θ＝60°或θ＝300°554Hzf =最大456Hzf =最小 如图，音叉P 沿着半径r ＝8m 的圆以角速度ω=4rad/s做匀速圆周运动．音叉发出频率为f 0＝500 Hz 的声波，声波的速度为v ＝330 m/s ．观察者Ｍ与圆周共面，与圆心Ｏ的距离为d ＝2r ． 试问当角θ为多大时，观察到的频率为最高或最低，并求其数值．专题13-例7 到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯度，温度随高度递增，这导致声速v 随高度y 变化，假定变化规律为： ．式中v 0是地面（y ＝０处）的声速，a 为比例系数．今远方地面上某声源发出一束声波，发射方向与竖直成θ角．假定在声波传播范围内 <<１，试求该声波在空间传播的轨迹，并求地面上听得最清晰的地点与声源的距离S ．220(1)v v a y =+ay 由于声速沿y 轴递增，折射角θi 逐渐增大，开始一段声传播的径迹大致如图!夜间寂静区寂静区白天 y ∆iθxy０ 0v 0θ12 第i 层 x∆根据折射定律:1122001111sin sin sin ,,,,sin sin sin i i i i v v v v v v θθθθθθ--===0sin sin ii v v θθ=可得声波波线即声传播轨迹!1θ续解第i 层声波波线视为直线,有21cot 1sin i iy x θθ∆==-∆20221sin i v v θ=-查阅 ()2222111sin a y θ=-+2022011sin sin 12a yθθ=-+2220112sin sin a y θθ=--220200cos 21sin cos a y θθθ=-220202cot 1cos a y θθ=-2sin x ω222202sin cos a y x ωθ=由0cos sin 2y x aθω=可得波线方程为 续解cos sin 2y x aθω=对待定方程 求斜率2002cos sin cos 22lim2x x x x xx a ωωθ∆→+∆+∆=∆()0000sin sin cos lim lim 2x x y x x x y x x a ωωθ∆→∆→∆→+∆-∆=∆∆ωω0cos cos 2x aθωω=0cot cos x θω=02sin aωθ=于是得声传播轨迹方程: 00cos 2sin sin 2a x y a θθ⎛⎫⋅⋅ ⎝=⎪⎪⎭可知地面上听得最清点距声源002sin a x πθ⋅=01sin 2x S a πθ==比较在海洋中声速随深度、温度和含盐量变化．已知声速随深度变化规律如图，最小声速出现在海洋表面与海底之间．坐标原点取在声速最小处，z a 、z b 分别表示海面和海底的坐标．则声速v 与z 的关系为其中b 为常量．今在x =0，z =0处放置一声源S ，在xz 平面内，从S 发出的声波的传播方向用初始发射角θ0表示．声速的不均匀将导致波射线的弯曲．试证明在zx 平面内声波的初始轨迹为圆，并求出其半径．000(0)(0)(0)v bzz v v z v bz z +⎧⎪==⎨⎪-⎩O z az b v o v z在xz 平面将海水分成与x 轴平行的n 薄层(n→∞)，各层的波速可视为不变，波在各层传播时遵循折射定律，第i 层的波速为v i ，波在该薄层两界面上的折射角为θi ，在下一层的折射角为θi +1，每经过一薄层，声波传播方向改变Δθ=θi +1－θi续解由折射定律： △z △s 1θi +θiθ∆i1θi +000sin si sin si n n i ii i v v v v θθθθ=⇒=对第i 薄层海水有1cos i i iv v b z b s θ+-=∆=⋅∆⋅()010sin sin cos sin i iiv b s θθθθ+-=⋅∆⋅0110(2cos sin )cos sin 22i i i i i v b s θθθθθθ+++-=⋅∆⋅00sin i v R b sθθ∆=∆=2i θ∆⋅cos i θ设岸的坡度为m ，水深h ，下限水深度为h 0，此处水波速率v 0并平行于岸，y 为离岸距离，又v=kh ，波线设为如图y岸Δyv 0θ∆iθi根据折射定律: 00sin sin i iv v θθ=由几何关系: cos iy θ∆⋅()1010sin sin sin i i i i v v v v y km km km θθθ++-∆∆===-002cos sinsin 2i v km θθθ∆⋅cos i S θ=∆ 走在岸边，总可以看到水波平行于岸边滚滚而来．设水波的速率与水深成正比，岸的斜度为常数，计算水波的轨迹．2θ∆00sin v R km Sθθ∆=∆=。