人教版高中数学椭圆专题复习资料

高中数学椭圆的专题复习椭圆知识点梳理1. 椭圆的定义：1,2（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C同号，A ≠B ）。

2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

⑥通径22b a2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；如:直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。

如（1）已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：10/3）；（2）椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M的坐标为_______（答：)1,362(-）；5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；6、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2121k x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121ky y +-。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；如（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：22）；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称（答：213213,1313⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭）；特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！椭圆知识点1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。

当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。

此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。

分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。

可借助右图理解记忆：显然：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ，即122=+BC By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。

当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。

其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。

与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题。

将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。

离心率)10(<<=e ace ，因为222b a c -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e ab e 。

显然：当a b 越小时，)10(<<e e 越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(<<e e 越小，椭圆形状越趋近于圆。

椭 圆题型1:椭圆定义的运用 例1、已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B +=，则AB =______。

例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是例3、如果方程222x ky +=表示焦点在x 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 例4、已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆()2231x y ++=和圆()2234x y -+=上的点，则PM PN+的最小值为题型2： 求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.（1）经过两点)2,3(-A 、(B -；(2)经过点(2，－3)且与椭圆364922=+y x 具有共同的焦点.（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4.题型3:求椭圆的离心率（或范围）例1、ABC ∆中，．030,2,ABC A AB S ∆∠===,A B 为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为 .例2、过椭圆的一个焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，若 12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1、已知实数,x y 满足22142x y +=,则22x y x +-的范围为例2、已知P 是椭圆22221x y a b+=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，求12PF PF ⋅的最大值与最小值例3、已知点,A B 是椭圆22221x y m n+=（0,0m n >>）上两点,且AO BO λ=u u u r u u u r ,则λ=例4、如上图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1,234567,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=_____题型5：焦点三角形问题例1、已知12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 为一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >,求12PF PF 的值；例2、已知12,F F 为椭圆C:22184x y +=的两个焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点的个数为例3、若12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，p 为椭圆上的一点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围为例4、已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,且经过点（1，32） ① 求椭圆的方程; ② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求cos 21PF F ∠.题型6: 三角代换的应用例1、椭圆221169x y +=上的点到直线l:90x y +-=的距离的最小值为___________．例2、椭圆221169x y +=的内接矩形的面积的最大值为题型7：直线与椭圆的位置关系的判断例1、当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆221169x y +=相交？相切？相离？ 例2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围；题型8：弦长问题例3．求直线24y x =-被椭圆224199x y +=所截得的弦长. 例4、已知椭圆2212x y +=的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积；题型9：中点弦问题例5、求以椭圆22185x y +=内的点A （2，-1）为中点的弦所在的直线方程。