2019-2020年高三数学一轮复习专项训练幂函数、二次函数(含解析)

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高三数学一轮复习典型题专题训练：函数(含解析)

高三数学一轮复习典型题专题训练函数一、填空题1、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中考试）函数()27log 43y x x =-+的定义域为_____________2、（南京市2019届高三9月学情调研）若函数f (x )＝a ＋12x －1 是奇函数，则实数a 的值为 ▲3、（苏州市2019届高三上学期期中调研）函数()lg(2)2f x x x =-++的定义域是 ▲ ．4、（无锡市2019届高三上学期期中考试）已知8a ＝2，log a x ＝3a ，则实数x ＝5、（徐州市2019届高三上学期期中质量抽测）已知奇函数()y f x =是R 上的单调函数，若函数2()()()g x f x f a x =+-只有一个零点，则实数a 的值为 ▲ ．6、（盐城市2019届高三第一学期期中考试）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为．7、（扬州市2019届高三上学期期中调研）已知函数()f x 为偶函数，且x ＞0时，32()f x x x =+，则(1)f -＝．8、（常州市武进区2019届高三上学期期中考试）已知函数()(1)()f x x px q =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 ▲9、（常州市2019届高三上学期期末）函数1ln y x =-的定义域为________.10、（海安市2019届高三上学期期末）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －4，x ＜0，log 2x ，x ＞0，若关于x 的不等式f (x )＞a 的解集为(a 2，＋∞)，则实数a 的所有可能值之和为．11、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为 ▲ ．12、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）函数有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为＿＿＿＿13、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知,a b ∈R ，函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则关于x 的不等式(2)0f x ->的解集为．14、（苏州市2019届高三上学期期末）设函数220()20x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，，，若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是．15、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－a x ＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．16、（苏州市2018高三上期初调研）已知函数()()0af x x a x=+>，当[]1,3x ∈时，函数()f x 的值域为A ，若[]8,16A ⊆，则a 的值是．17、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知k 为常数，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0ln 0,12)(x x x x x x f ，若关于x 的方程2)(+=kx x f 有且只有4个不同的解，则实数k 的取值集合为18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知函数2log (3)0()210x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，，，若1(1)2f a -=，则实数a ＝． 19、（盐城市2019届高三第三次模拟）若函数)1lg()1lg()(ax x x f +++=是偶函数，则实数a 的值_____.20、（江苏省2019年百校大联考）已知函数2,1(),1x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩ ，则不等式2()f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是．21、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．22、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ．23、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得 12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题1、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知k R ∈,函数2()(1)2f x x k x k =+-=-(1)解关于x 的不等式()2f x ＜(2)对任意(1,2),()1x f x ∈-≥恒成立，求实数k 的取值范围2、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知函数4()log log (0a f x x x a =+>且a ≠1）为增函数。

高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)

第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ，由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )，即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间．解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数；当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a，由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数；当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。

2020届高三理数一轮讲义：2.4-幂函数与二次函数(练习版)

第4节幂函数与二次函数最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数.()(2)当n>0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则k＋α＝()A.12 B.1 C.32 D.23.(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是________.4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A.f(x)＝x2－2x＋1B.f(x)＝x2－1C.f(x)＝2xD.f(x)＝2x＋16.(2018·成都诊断)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·x m2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________.考点一幂函数的图象和性质【例1】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()(2)若a＝⎝⎛⎭⎪⎫1223，b＝⎝⎛⎭⎪⎫1523，c＝⎝⎛⎭⎪⎫1213，则a，b，c的大小关系是()A.a 1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【训练1】 (1)(2018·洛阳二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数 (2)(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.考点二二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.考点三二次函数的图象及应用【例3】(1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()考点四二次函数的性质多维探究角度1二次函数的单调性与最值【例4－1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.角度2二次函数的恒成立问题【例4－2】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx ＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是() A.[－2，2] B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.[思维升华]1.幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)α的正负：α>0时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.[易错防范]1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·济宁联考)下列命题正确的是()A.y＝x0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)()A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定3.(2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A.1B.0C.－1D.24.(2018·岳阳一中质检)已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是()5.(2019·巢湖月考)已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题6.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝12，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________.7.(2019·泉州质检)若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________.8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.三、解答题9.已知奇函数y＝f(x)定义域是R，当x≥0时，f(x)＝x(1－x).(1)求出函数y＝f(x)的解析式；(2)写出函数y＝f(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)10.已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·武汉模拟)幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A.0B.1C.12D.212.(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关13.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________.14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.。

2023年高考数学一轮复习第二章函数5二次函数与幂函数练习含解析

二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________．答案 (－∞，40]∪[160，＋∞)解析依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x解析因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1，所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去，当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称，因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减，所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a 0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q<0 答案 D解析因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数，又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有p q<0，又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确．题型二二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8，即4a－2a －1－－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 教师备选若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )满足条件f (－x )＝f (x )，定义域为R ，值域为(－∞，4]，则函数解析式f (x )＝________. 答案－2x 2＋4解析 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a ) ＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (－x )＝f (x )， ∴2a ＋ab ＝0， ∴f (x )＝bx 2＋2a 2.∵f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]， ∴b <0，且2a 2＝4，∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 (1)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于( ) A ．x 2－2x ＋1 B ．x 2＋2x ＋1 C ．2x 2－2x ＋1 D ．2x 2＋2x －1答案 B解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知，在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解 f (x )＝x 2－tx －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )．解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ，当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ；当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0，∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减；当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意．综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a＋1，a >1.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4]C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2，对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( ) A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案 C解析由于函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( ) A ．－2或1 B ．－2 C ．1 D ．1或2答案 A解析因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4ac B ．2a －b ＝1 C ．a －b ＋c ＝0 D ．5a <b答案 D解析因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0，所以b 2>4ac ，故选项A 不正确；对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0，故选项C 不正确；对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( ) A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点答案 ABC解析二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确；由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确；因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确；当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确． 6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能答案 BC解析因为f (x )＝()2231m m m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )＝x 3为奇函数．因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，所以f (a )<f (－b )．因为y ＝f (x )为增函数，所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析因为f (x )是幂函数，所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案 [2,4]解析解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]，当t ＝－1时，g (t )有最小值0，当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数，当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝2－4m <0，f3＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b等于( )A ．0B ．1C.12D ．2答案 A解析由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，将两点坐标分别代入y ＝x a，y ＝x b，得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( ) A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根答案 AB解析设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1；当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)，由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1. 因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根．综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7解析由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案 [－16，＋∞)解析因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b ) ＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝f 3＝0，f1＝f －1＝0，代入得⎩⎪⎨⎪⎧9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9 ＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12，所以f (x )＝－12x 2＋x .(2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则有2n ≤12，即n ≤14.又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，f m ＝2m ，f n ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。

2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：二次函数与幂函数

课时跟踪检测(十二) 二次函数与幕函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1幕函数y= f(x)经过点(3, 3)，则f(x)是()A•偶函数，且在(0,+^ )上是增函数B. 偶函数，且在(0,+^ )上是减函数C .奇函数，且在(0 ,+^ )上是减函数D •非奇非偶函数，且在(0,+^ )上是增函数解析：选D 设幕函数的解析式为y= x a,将(3, 3)代入解析式得3 a= 3，解得1a 2，所以y= x2 .故选D.2. (2018丽水调研股函数f(x) = ax2+ bx+ c(a^ 0, x € R),对任意实数t都有f(2 + t)= f(2-1)成立，在函数值f( —1), f(1), f(2), f(5)中，最小的一个不可能是()A. f(—1)B. f(1)C. f(2)D. f(5)解析：选B 由f(2 + t)= f(2 —t)知函数y= f(x)的图象对称轴为x = 2.当a>0时，易知f(5) = f(—1) > f(1) > f(2);当a v 0 时，f(5) = f(—1) v f(1) v f(2)，故最小的不可能是f(1).3. (2018金华模拟)已知幕函数y= f(x)的图象经过点2, 4，则它的单调递增区间为( )A. (0,+^ )B. ［0,+^ )C.(―汽0)D. ( — m,+m )解析：选C设幕函数f(x)=x a,••• f(x)的图象经过点2, 1 ,••• 2a= 1,解得a= —2,则f(x) = x—2= 4,且X M 0,••• y= x2在(—s, 0)上递减，在(0,+ s)上递增，•函数f(x)的单调递增区间是(一s, 0).4. 定义：如果在函数y= f(x)定义域内的给定区间［a , b］上存在x o(a v x o< b),满足f(x。

) =f［一fa，则称函数y= f(x)是［a , b］上的“平均值函数”，x°是它的一个均值点，如yb—a=x4是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点. 现有函数f(x) = —x2+ mx+ 1是［—1,1］上的平均值函数，则实数m的取值范围是____________ .解析：因为函数f(x)=—x2+ mx+ 1是［—1,1］上的平均值函数,设X 0为均值点，所以X 。

高考数学专题《幂函数》习题含答案解析

专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

新高考数学一轮复习幂函数与二次函数重难点题型精练(含答案)

幂函数与二次函数-重难点题型精练【新高考地区专用】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•日照模拟）已知幂函数y ＝x a 的图象经过点（2，4），则f （﹣3）＝（） A ．﹣9B ．9C ．3D ．﹣32．（5分）（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值是（） A ．﹣1B ．3C ．﹣1或3D ．1或﹣33．（5分）（2021•3月份模拟）若函数f （x ）＝x 2在区间[a ，b ]上的值域为[t ，t +1]（t ∈R ），则b ﹣a （） A ．有最大值，但无最小值 B ．既有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值4．（5分）（2020•舒城县校级模拟）已知幂函数y =x pq （p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq＜0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＞0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＜05．（5分）（2021•安阳三模）已知幂函数f （x ）＝x a 满足2f （2）＝f （16），若a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a6．（5分）（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1的图象过函数f （x ）＝m x ﹣b −12（m ＞0，且m ≠1）的图象所经过的定点，则b 的值等于（） A ．±12B ．±√22C ．2D ．±27．（5分）（2020•红河州一模）函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），且f （0）＝3，则f （b x ）与f （c x ）的大小关系是（） A ．与x 有关，不确定 B ．f （b x ）≥f （c x ） C ．f （b x ）＞f （c x ）D ．f （b x ）≤f （c x ）8．（5分）（2021•石景山区一模）已知f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0，若|f （x ）|≥ax 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，0）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•衢州月考）已知幂函数f(x)=(m +95)x m ，则下列结论正确的有（） A ．f(−32)=116B ．f （x ）的定义域是RC ．f （x ）是偶函数D ．不等式f （x ﹣1）≥f （2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]10．（5分）（2020秋•荆州期末）已知函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0），若x 1＜x 2，则（） A ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＜f （x 2） B ．当x 1+x 2＝﹣2时，f （x 1）＝f （x 2） C ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＞f （x 2）D ．f （x 1）与f （x 2）的大小与a 有关11．（5分）（2020秋•双塔区校级月考）已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）的值为负值，则下列结论可能成立的有（） A ．a +b ＞0，ab ＜0B ．a +b ＜0，ab ＞0C ．a +b ＜0，ab ＜0D ．a +b ＞0，ab ＞012．（5分）（2020秋•湖南期中）已知函数f （x ）＝2x 2﹣mx ﹣m 2，则下列命题正确的有（） A ．当m ≠0时，f （x ）＜0的解集为{x|−m2＜x ＜m}B ．当m ＝1时，∀x 1，x 2∈[1，+∞）时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0C ．∀x 1，x 2∈(−∞，14m]且x 1≠x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)D ．当m ＜0时，若0＜x 1＜x 2，则x 2f （x 1）＞x 1f （x 2）三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•襄城区校级模拟）函数y ＝log a （2x ﹣3）+√2的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则f （9）＝．14．（5分）（2020•镇海区校级模拟）设m ＞﹣1，函数f （x ）＝x 2﹣3mx +2m 2+1（x ＜m ），若存在θ≠π4+k π，使得f （sin θ）＝f （cos θ），则m 的取值范围是．15．（5分）（2020•江苏一模）已知函数f （x ）＝（m ﹣2）x 2+（m ﹣8）x （m ∈R ）是奇函数，若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，则实数a 的取值范围是．16．（5分）（2020•吉林模拟）M(94，32)是幂函数f （x ）＝x n 图象上的点，将f （x ）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，则|MT 2|+|MT 3|+…+|MT 9|＝四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•浦东新区期末）已知m 是整数，幂函数f （x ）＝x ﹣m 2+m +2在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）作出函数g （x ）＝|f （x ）﹣1|的大致图象；（3）写出g （x ）的单调区间，并用定义法证明g （x ）在区间[1，+∞）上的单调性．18．（12分）（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2（1）求g（x）、f（x）的解析式（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．19．（12分）（2020秋•高安市校级期末）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x) x．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，8]上有解，求实数k的取值范围．20．（12分）（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a的最小值；（2）存在x∈[﹣4，﹣2]，使得f（x）≥a有解，求实数a的取值范围．21．（12分）（2020秋•虹口区校级期中）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若b＝1，且f（x）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]使f（x）＞0，求实数b的取值范围．22．（12分）（2021春•吴兴区校级月考）已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减．（1）求m的值并写出f（x）的解析式；（2）试判断是否存在a＞0，使得函数g(x)=(2a−1)x−af(x)+1在（0，2]上的值域为（1，11]？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．幂函数与二次函数-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•日照模拟）已知幂函数y＝x a的图象经过点（2，4），则f（﹣3）＝（）A．﹣9B．9C．3D．﹣3【解题思路】根据幂函数的图象过点（2，4）求出函数解析式，再计算所求的函数值．【解答过程】解：因为幂函数y＝x a的图象过点（2，4），所以2a＝4，a＝2，y＝f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝（﹣3）2＝9．故选：B．2．（5分）（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．1或﹣3【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，由此求得m的值．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m2−2在（0，+∞）上为增函数，∴m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，求得m＝3，故选：B．3．（5分）（2021•3月份模拟）若函数f（x）＝x2在区间[a，b]上的值域为[t，t+1]（t∈R），则b﹣a（）A．有最大值，但无最小值B．既有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值【解题思路】根据二次函数的对称轴与a，b的位置关系，可知对ab进行分类讨论，进而确定函数在[a，b]上取得的值域，进而确定b﹣a的范围．【解答过程】解：由题意知a＜b．当ab≤0时，t＝0，则b2≤1，a2≤1，即b≤1，a≥﹣1，所以0＜b﹣a≤2，则b﹣a有最大值；当ab＞0时，不妨设0＜a＜b，则b2﹣a2＝1，所以b−a=1a+b，显然b﹣a有最大值无最小值，故选：A ．4．（5分）（2020•舒城县校级模拟）已知幂函数y =x pq （p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q ＜0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＞0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq ＜0【解题思路】通过研究函数的图象与性质，得出p 、q 的取值情况即可．【解答过程】解：因为函数为偶函数，所以p 为偶数，且由图象形状判定pq ＜0．又因p 、q 互质，所以q 为奇数．所以选D ．故选：D ．5．（5分）（2021•安阳三模）已知幂函数f （x ）＝x a 满足2f （2）＝f （16），若a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解题思路】根据题意求出幂函数f （x ）的解析式，判断f （x ）是定义域上的单调增函数，再比较log 42、ln 2和5−12的大小，即可得出结论．【解答过程】解：幂函数f （x ）＝x a 中，2f （2）＝f （16），所以2×2a ＝16a ，即2a +1＝24a ，所以a +1＝4a ，解得a =13，所以f （x ）=x 13，所以f （x ）是定义域为R 上的单调增函数；又a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），且log 42=12，ln 2＞ln √e =12，5−12=1√512，所以5−12＜log 42＜ln 2，即f （5−12）＜f （log 42）＜f （ln 2），所以b ＞a ＞c ．故选：C ．6．（5分）（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1的图象过函数f （x ）＝m x ﹣b −12（m＞0，且m ≠1）的图象所经过的定点，则b 的值等于（） A ．±12B ．±√22C ．2D ．±2【解题思路】根据函数g （x ）是幂函数求出a 的值，再写出指数函数f （x ）图象所过的定点，代入g （x ）中求得b 的值．【解答过程】解：函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1是幂函数， ∴2a ﹣1＝1，解得a ＝1， ∴g （x ）＝x 2；令x ﹣b ＝0，解得x ＝b ，∴函数f （x ）＝m x ﹣b −12的图象经过定点（b ，12），∴b 2=12，解得b ＝±√22．故选：B ．7．（5分）（2020•红河州一模）函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），且f （0）＝3，则f （b x ）与f （c x ）的大小关系是（） A ．与x 有关，不确定 B ．f （b x ）≥f （c x ） C ．f （b x ）＞f （c x ）D ．f （b x ）≤f （c x ）【解题思路】根据题意，由二次函数的性质分析可得b 、c 的值，则有b x ＝2x ，c x ＝3x ，由指数的性质分情况讨论x 的值，比较f （b x ）和f （c x ）的大小，综合即可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），则有b2=1，即b ＝2，又由f （0）＝3，则c ＝3， b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x ＜0，则有c x ＜b x ＜1，而f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，此时有f （b x ）＜f （c x ），若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f （b x ）＝f （c x ），若x ＞0，则有1＜b x ＜c x ，而f （x ）在（1，+∞）上为增函数，此时有f （b x ）＜f （c x ），综合可得f （b x ）≤f （c x ），故选：D ．8．（5分）（2021•石景山区一模）已知f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0，若|f （x ）|≥ax 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，0）【解题思路】先画出函数f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0和|f （x ）|的图象；利用图象再结合答案即可解决本题．【解答过程】解：函数f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0的图象如图：|f（x）|的图象如图：因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以y＝ax的图象应在y＝|f（x）|的图象的下方，故须斜率为负，或为0．当斜率为负时，排除答案A，C；当a＝0，y＝0满足要求，排除D．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•衢州月考）已知幂函数f(x)=(m+95)x m，则下列结论正确的有（）A．f(−32)=1 16B．f（x）的定义域是RC．f（x）是偶函数D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]【解题思路】先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数f（x）的解析式，可判定选项A，B的正确，利用偶函数的定义判定选项C的正误，利用函数f（x）的奇偶性和单调性解选项D的不等式．【解答过程】解：幂函数f(x)=(m+95)x m，∴m+95=1，∴m=−4 5，∴f（x）=x−45，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故选项B错误，∵f （﹣32）=(−32)−45=116， ∴选项A 正确， f （x ）=x−45=1√x 5，定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f （﹣x ）=1√(−x)45=1√x 5=f （x ），∴f （x ）是偶函数，选项C 正确， ∵f （x ）=x−45，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，不等式f （x ﹣1）≥f （2）等价于f （|x ﹣1|）≥f （2）， ∴{x −1≠0|x −1|≤2解得：﹣1≤x ＜1，或1＜x ≤3，故选项D 正确，故选：ACD ．10．（5分）（2020秋•荆州期末）已知函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0），若x 1＜x 2，则（） A ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＜f （x 2） B ．当x 1+x 2＝﹣2时，f （x 1）＝f （x 2） C ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＞f （x 2）D ．f （x 1）与f （x 2）的大小与a 有关【解题思路】根据二次函数的图象及二次函数的对称轴，即可判断出每个选项的正误．【解答过程】解：二次函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0）的图象开口向上，对称轴为x ＝﹣1，当x 1+x 2＝﹣2时，x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，此时f （x 1）＝f （x 2），选项B 正确；当x 1+x 2＞﹣2时，x 1与x 2的中点大于﹣1，又x 1＜x 2， ∴点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离， ∴f （x 1）＜f （x 2），选项A 正确，C 错误；显然当a ＞0时，f （x 1）与f （x 2）的大小与a 无关，选项D 错误．故选：AB ．11．（5分）（2020秋•双塔区校级月考）已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）的值为负值，则下列结论可能成立的有（） A ．a +b ＞0，ab ＜0B ．a +b ＜0，ab ＞0C ．a +b ＜0，ab ＜0D ．a +b ＞0，ab ＞0【解题思路】利用幂函数的性质推导出f （x ）＝x 3，从而求得 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2），然后检验各个选项是否正确．【解答过程】解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3是幂函数，∴m 2﹣m ﹣1＝1，求得m ＝2 或m ＝﹣1．对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，故f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴m 2+m ﹣3＞0，∴m ＝2，f （x ）＝x 3．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）＝a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）的值为负值．若A 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＞0，不满足题意；若B 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝（a +b ）[(a −b 2)2+3b24]＜0，满足题意；若C 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＜0，满足题意；若D 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝（a +b ）[(a −b 2)2+3b24]＞0，不满足题意，故选：BC ．12．（5分）（2020秋•湖南期中）已知函数f （x ）＝2x 2﹣mx ﹣m 2，则下列命题正确的有（） A ．当m ≠0时，f （x ）＜0的解集为{x|−m2＜x ＜m}B ．当m ＝1时，∀x 1，x 2∈[1，+∞）时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0C ．∀x 1，x 2∈(−∞，14m]且x 1≠x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)D ．当m ＜0时，若0＜x 1＜x 2，则x 2f （x 1）＞x 1f （x 2）【解题思路】对于A ，分m ＞0和m ＜0时求解不等式；对于B ，根据函数的单调性判断即可；对于C ，根据函数的单调性，任取两点，根据数形结合的方式判断即可；对于D ，构造函数g （x ）=f(x)x （x ＞0），看作y ＝f （x ）在y 轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率，数形结合可判断单调性．【解答过程】解：对于A ：由2x 2﹣mx ﹣m 2＜0，当m ＞0时，原不等式的解集为{x |−m2＜x ＜m }，当m ＜0时，原不等式的解集为{x |m ＜x ＜−m2}，故AC 错误；对于B ：m ＝1时，f （x ）＝2x 2﹣x ﹣1＝2(x −14)2−98在[1，+∞）递增，则（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，故B 正确；对于C ：f （x ）在（﹣∞，14m ]递减，当x 1，x 2∈（﹣∞，14m ]时，设A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），则AB 的中点C （x 1+x 22，f(x 1)+f(x 2)2），设D （x 1+x 22，f(x 1+x 22)），数形结合得：点D 位于点C 的下方，即f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)，故C 正确；对于D ：设g （x ）=f(x)x（x ＞0），则g （x ）表示y ＝f （x ）在y 轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率，数形结合可知：g （x ）是增函数，当0＜x 1＜x 2时，g （x 1）＜g （x 2），则f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2，即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2），故D 错误；故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•襄城区校级模拟）函数y ＝log a （2x ﹣3）+√2的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则f （9）＝ 3 ．【解题思路】令2x ﹣3＝1求出x ，代入解析式求出y ，即求出定点P 的坐标，再代入幂函数f （x ）＝x α求出α的值，即可求出f （9）．【解答过程】解：由题意得，2x ﹣3＝1，解得x ＝2，此时y ＝log a （2x ﹣3）+√2=√2，则定点P 的坐标是（2，√2），又P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则2α=√2=212，得α=12，所以f(x)=x 12，则f(9)=912=3，故答案为：3．14．（5分）（2020•镇海区校级模拟）设m ＞﹣1，函数f （x ）＝x 2﹣3mx +2m 2+1（x ＜m ），若存在θ≠π4+k π，使得f （sin θ）＝f （cos θ），则m 的取值范围是 −√23＜m ＜0 ．【解题思路】由f （sin θ）＝f （cos θ）可知sin θ与cos θ关于二次函数的轴对称，解出m 与θ的关系，进而求出m 的取值范围即可．【解答过程】解；由题意可知{32m ＜m3m =cosθ+sinθ，因为θ≠π4+kπ(k ∈Z)，{m ＜0m =√23cos(θ+π4)，解得−√23＜m ＜0，故答案为：−√23＜m ＜0．15．（5分）（2020•江苏一模）已知函数f （x ）＝（m ﹣2）x 2+（m ﹣8）x （m ∈R ）是奇函数，若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，则实数a 的取值范围是（﹣∞，1）．【解题思路】由已知结合奇函数的定义可求m ，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．【解答过程】解：由奇函数的性质可得，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，即（m ﹣2）x 2﹣（m ﹣8）x ＝﹣（m ﹣2）x 2﹣（m ﹣8）x ，故m ﹣2＝0即m ＝2，此时f （x ）＝﹣6x 单调递减的奇函数，由不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，可得x 2+1＞a 恒成立，结合二次函数的性质可知，x 2+1≥1，所以a ＜1．故答案为：（﹣∞，1）16．（5分）（2020•吉林模拟）M(94，32)是幂函数f （x ）＝x n 图象上的点，将f （x ）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，则|MT 2|+|MT 3|+…+|MT 9|＝ 30【解题思路】由32=(94)n ，解得n =12．可得f （x ）=√x ．可得：g （x ）=√x −2+32，根据点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，可得：(m −32)2=n ﹣2，（m ≥32）．利用抛物线的定义及其性质即可得出．【解答过程】解：由32=(94)n ，解得n =12．∴f （x ）=√x ．可得：g （x ）=√x −2+32，∵点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上， ∴m =√n −2+32．(m −32)2=n ﹣2，（m ≥32）．抛物线(y −32)2=x ﹣2的焦点M （94，32），准线方程为x ＝2−14=74．根据抛物线的性质可得：|MT n|＝n−7 4，则|MT2|+|MT3|+…+|MT9|＝2−74+3−74+⋯⋯+9−74=(2+9)×82−8×74=30．故答案为：30．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•浦东新区期末）已知m是整数，幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）作出函数g（x）＝|f（x）﹣1|的大致图象；（3）写出g（x）的单调区间，并用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上的单调性．【解题思路】（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）作出函数g（x）＝|f（x）﹣1|的大致图象；（3）写出g（x）的单调区间，并用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上的单调性．【解答过程】解：（1）由f（x）在[0，+∞）上单调递增可得：﹣m2+m+2＞0，∴﹣1＜m＜2，又∵m∈Z，∴m＝0或m＝1，∴f（x）＝x2；（2）由于f（x）＝x2，所以g（x）＝|x2﹣1|．如图所示：（3）根据函数的图象：函数的单调减区间为：（﹣∞，﹣1]和[0，1]．函数的单调增区间为[﹣1，0]和[1，+∞）．证明：设1≤x1＜x2，所以x12−1≥0，x22−1＞0．所以g（x2）﹣g（x1）＝（x2﹣x1）（x2+x1）＞0．所以函数在区间[1，+∞）上为增函数．18．（12分）（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2（1）求g（x）、f（x）的解析式（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组{m2−3=1m＜0，求出m的值，得g（x）解析式；由f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=12，利用m的值求出f（x）的解析式；（2）根据f（x）的单调性，把f（2a﹣1）＜f（5﹣a）转化，求出解集即可．【解答过程】解：（1）幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，∴{m2−3=1 m＜0，解得m＝﹣2，∴g（x）＝x﹣2；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2，∴设f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），∴log a （﹣m +1）+log a （﹣m ﹣1）=12，即log a （m 2﹣1）＝log a 3=12，解得a ＝9， ∴f （x ）＝log 9x ；（2）∵实数a 满足f （2a ﹣1）＜f （5﹣a ），且f （x ）＝log 9x 在（0，+∞）上单调递增，∴{2a −1＞05−a ＞02a −1＜5−a ，解得{a ＞12a ＜5a ＜2；即12＜a ＜2，∴实数a 的取值范围是（12，2）．19．（12分）（2020秋•高安市校级期末）已知函数g （x ）＝ax 2﹣2ax +1+b （a ＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x)x ．（1）求a ，b 的值；（2）若不等式f （log 2x ）﹣2k log 2x ≥0在x ∈[2，8]上有解，求实数k 的取值范围．【解题思路】（1）首先判断二次函数的开口方向及单调性，再利用二次函数的性质求解．（2）利用换元法求解．【解答过程】解：（1）函数g （x ）＝a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， ∵a ＞0，∴g （x ）为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1， ∴g （x ）在区间[2，3]上是增函数， ∴{g(2)=1g(3)=4，即{b +1=13a +b +1=4 解得a ＝1，b ＝0．（2）由（1）可得g （x ）＝x 2﹣2x +1，则f(x)=x +1x −2．∴f （log 2x ）﹣2k log 2x ≥0在x ∈[2，8]上有解等价于log 2x +1log 2x −2≥2klog 2x 在x ∈[2，8]上有解．即2k ≤1(log 2x)2−2log 2x+1在x ∈[2，8]上有解令t =1log 2x ，∵x ∈[2，8]，∴t ∈[13，1]，∴2k ≤t 2﹣2t +1在t ∈[13，1]上有解，记φ（t ）＝t 2﹣2t +1＝（t ﹣1）2，则φ（t ）在[13，1]上为减函数，ϕ(t)max =ϕ(13)=49∴2k ≤49，则k ≤29，∴k 的取值范围为(−∞，29]．20．（12分）（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2ax +3．（1）若f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a 的最小值；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解，求实数a 的取值范围．【解题思路】（1）结合该图象，使用对称轴可解决此问题；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解⇔f （﹣4）≥0或f （﹣2）≥0，可解决此问题．【解答过程】解：（1）∵二次函数f （x ）＝x 2﹣2ax +3是开口向上的抛物线且对称轴方程为x ＝a ， ∴若f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则a ≥1，故a 的最小值是1；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解，即存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得x 2﹣2ax +3﹣a ≥0有解，则f （﹣4）≥0或f （﹣2）≥0，解得：a ≥−197，故a 的取值范围是：[−197，+∞）．21．（12分）（2020秋•虹口区校级期中）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）．（1）若b ＝1，且f （x ）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）若对任意a ∈[﹣1，1]，存在x ∈[﹣2，3]使f （x ）＞0，求实数b 的取值范围．【解题思路】（1）把f （x ）在[﹣2，2]上存在零点转化为f （x ）＝x 2+ax +1＝0在[﹣2，2]上有解，分参求值域．（2））先把存在x ∈[﹣2，3]，f （x ）＞0，转化为f （x ）max ＞0，求出f （x ）最大值，再把9﹣3a +b ＞0对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，分参求出b 范围．【解答过程】解：（1）当b ＝1时，f （x ）＝x 2+ax +1，∵f （x ）在[﹣2，2]上存在零点，∴f （x ）＝x 2+ax +1＝0在[﹣2，2]上有解， ∵x ≠0，∴ax ＝﹣x 2﹣1， ∴a ＝﹣x −1x ，①当x ＞0时，x +1x ≥2√1=2，当且仅当x =1x即x ＝1时取等号， ∴x +1x ≥2，∴a ＝﹣x −1x ≤−2，即a ≤﹣2．②当x ＜0时，a ＝﹣x −1x ≥2√1=2，当且仅当﹣x =−1x即x ＝﹣1时取等号， ∴a ≥2．综上所述，a 的取值范围为a ≤﹣2或a ≥2．（2）∵存在x ∈[﹣2，3]，f （x ）＞0，∴f （x ）max ＞0， ∵f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）是开口向上的二次函数， ∴f （x ）max ＝f （﹣2）＝4﹣2a +b 或f （x ）max ＝f （3）＝9﹣3a +b ∵f （3）﹣f （2）＝9﹣3a +b ﹣4+2a ﹣b ＝5﹣a ＞0， ∴f （x ）max ＝f （3）＝9﹣3a +b ，即9﹣3a +b ＞0对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，∴b ＞3a ﹣9对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，∴b ＞（3a ﹣9）max ， ∴b ＞﹣6．22．（12分）（2021春•吴兴区校级月考）已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减．（1）求m 的值并写出f （x ）的解析式；（2）试判断是否存在a ＞0，使得函数g(x)=(2a −1)x −af(x)+1在（0，2]上的值域为（1，11]？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）利用幂函数的定义以及单调性，列出关于m 的关系式，求解即可；（2）求出g （x ）的解析式，按照a ﹣1与0的大小关系进行分类讨论，利用g （x ）的单调性列出方程组，求解即可．【解答过程】解：（1）因为幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减，所以{m 2−2m −2=1m 2−4m +2＜0，解得m ＝3或m ＝﹣1（舍），所以f （x ）＝x ﹣1；（2）由（1）可得，f （x ）＝x ﹣1，所以g （x ）＝（2a ﹣1）x ﹣ax +1＝（a ﹣1）x +1，假设存在a ＞0，使得g （x ）在（0，2]上的值域为（1，11]，①当0＜a ＜1时，a ﹣1＜0，此时g （x ）在（0，2]上单调递减，不符合题意； ②当a ＝1时，g （x ）＝1，显然不成立；③当a＞1时，a﹣1＞0，g（x）在和（0，2]上单调递增，故g（2）＝2（a﹣1）+1＝11，解得a＝6．综上所述，存在a＝6使得g（x）在（0，2]上的值域为（1，11]．21。

新高考数学一轮复习幂函数与二次函数重难点题型精讲(含答案)

幂函数与二次函数-重难点题型精讲1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0}2.二次函数的图象和性质R R【题型1 幂函数的图象及性质】【例1】（2021•宜春模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f （0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解题思路】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断a，b，c的大小关系．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8），∴m﹣1＝1，且m n＝8，求得m ＝2，n ＝3，故f （x ）＝x 3．∵a ＝f （20.3）＝20.9＞1，b ＝f （0.32）＝0.36∈（0，1），c ＝f （log 20.3）=(log 20.3)3＜0， ∴a ＞b ＞c ，故选：D ．【变式1-1】（2021•阳泉三模）已知点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上，设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【解题思路】推导出f （x ）＝x 3，从而45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．【解答过程】解：点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， ∴f （2）＝2n ＝8，解得n ＝3，∴f （x ）＝x 3，设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)， ∴45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0， ∴a ，b ，c 的大小关系是b ＞a ＞c ．故选：A ．【变式1-2】（2020•金安区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，设a ＝f （sin2π7），b ＝f （cos2π7），c ＝f （tan2π7），则（） A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解题思路】根据幂函数的定义与奇函数的定义，求出m 、n 的值，写出f （x ），判断其单调性，再根据cos2π7、sin2π7和tan2π7的大小比较f （cos2π7）与f （sin2π7）、f （tan2π7）的大小．【解答过程】解：根据幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，得m ＝1，且﹣2+n ＝0，解得n ＝2；∴f （x ）＝x 3，且在定义域R 上是单调增函数；又0＜π4＜2π7＜π2，∴cos2π7＜sin2π7＜1＜tan2π7，∴f （cos 2π7）＜f （sin 2π7）＜f （tan 2π7），即b ＜a ＜c ．故选：A ．【变式1-3】（2020•三明模拟）已知幂函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x ﹣t ，对于任意x 1∈[1，5）时，总存在x 2∈[1，5）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（） A ．∅B ．t ≥7或t ≤1C ．t ＞7或t ＜1D ．1≤t ≤7【解题思路】先利用幂函数的定义和单调性，求出m 的值，得到函数f （x ）的解析式，设函数f （x ）在[1，5）的值域为集合A ，函数g （x ）在[1，5）的值域为集合B ，利用函数的单调性分别求出集合A ，集合B ，由题意可得A ⊆B ，利用集合间的包含关系列出不等式组，即可求出t 的取值范围．【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m −1)2x m 2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，∴{(m −1)2=1m 2−4m +2＞0，解得m ＝0，∴f （x ）＝x 2，当x 1∈[1，5）时，f （x 1）∈[1，25），设集合A ＝[1，25），又当x 2∈[1，5）时，g （x 2）∈[2﹣t ，32﹣t ），设集合B ＝[2﹣t ，32﹣t ），由题意得：A ⊆B ，∴{2−t ≤132−t ≥25，解得：1≤t ≤7，故选：D ．【题型2 二次函数的图象及性质】【例2】（2020•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是（） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]【解题思路】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m 是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答．【解答过程】解：由题意可知：当m ＝0时，由f （x ）＝0 知，﹣3x +1＝0，∴x =13＞0，符合题意；当m＞0时，由f（0）＝1可知：{△=(m−3)2−4m≥0−m−32m＞0，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）＝1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选：D．【变式2-1】（2020秋•龙岩期中）已知二次函数f（x）＝ax2+（a﹣5）x+a2﹣6（a≠0）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0）两点，且﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则a的取值范围是（）A．(2，1+2√3)B．(2，2√3−1)C．(1+2√3，+∞)D．(−∞，2−2√3)【解题思路】由已知结合二次函数的实根分布中特殊点函数值的符号建立关于a的不等式，可求．【解答过程】解：若a＞0，则{f(−1)=a2−1＞0f(1)=a2+2a−11＜0 f(2)=a2+6a−11＞0，解得2＜a＜2√3−1；若a＜0，则{f(−1)=a2−1＜0f(1)=a2+2a−11＞0f(2)=a2+6a−16＜0，不等式组无解．故a的取值范围是(2，2√3−1)．故选：B．【变式2-2】（2020秋•咸阳期末）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝1时，函数f（x）的图象恰好在函数g（x）＝2x+b的图象上方（f（x）≥g（x）且恰好能取到等号），求实数b的值．【解题思路】（Ⅰ）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出b的值即可．【解答过程】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2，对称轴是x＝a，若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）；（Ⅱ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+2，f（x）﹣g（x）＝x2﹣4x+3﹣b，由题意得f（x）﹣g（x）≥0，即x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，故△＝16﹣12+4b ≤0，解得：b ≤﹣1，当f （x ）≥g （x ）且恰好能取到等号，即f （x ）＝g （x ）时，b ＝﹣1．【变式2-3】（2020秋•越秀区期末）问题：是否存在二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0，b ，c ∈R ）同时满足下列条件：f （0）＝3，f （x ）的最大值为4，____？若存在，求出f （x ）的解析式；若不存在，请说明理由．在①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．【解题思路】由f （0）＝3，可求得c ＝3，由条件可得函数的对称轴，又f （x ）的最大值为4，可得关于a ，b 的方程组，求解即可．【解答过程】解：由f （0）＝3，可得c ＝3，则f （x ）＝ax 2+bx +3，若选择①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，可得f （x ）的对称轴为x ＝1，所以−b2a =1，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （1）＝4，即a +b +3＝4，解得a ＝﹣1，b ＝2，此时f （x ）＝﹣x 2+2x +3；若选择②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，可得f （x ）关于x ＝2对称，则−b2a =2，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （2）＝4，即4a +2b +3＝4，解得a =−14，b ＝1，此时f （x ）=−14x 2+x +3；若选择③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)，可得f （x ）关于x =12对称，则−b2a =12，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （12）＝4，即14a +12b +3＝4，解得a ＝﹣4，b ＝﹣4，此时f （x ）＝﹣4x 2﹣4x +3．【题型3 二次函数的最值问题】【例3】（2020春•滨海新区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在x ∈[﹣1，2]．上有最大值是4，则实数a 的值为（） A ．﹣1或3B ．﹣4或0C ．﹣1或0D ．﹣4或3【解题思路】由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知函数f （x ）在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．从而分类讨论求解．【解答过程】解：由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知，函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．若函数f （x ）在﹣1上取得最大值4，则 {−a ≥121−2a +a 2=4，解得a ＝﹣1，若函数f （x ）在2上取得最大值4，则 {−a ≤124+4a +a 2=4，解得a ＝0，故选：C ．【变式3-1】（2020秋•仓山区校级期中）如果函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3在区间[0，2]上有最小值3，那么实数a 的值为．【解题思路】由二次函数对称轴结合定义域进行讨论即可解决此题．【解答过程】解：函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3的对称轴是：x =a2．当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，2]上的最小值a 2﹣2a +3＝3，解得：a ＝0或2（舍去）；当0＜a2＜2，即0＜a ＜4时，f （x ）的最小值是f （a2）＝﹣2a +3＝3，解得：a ＝0（舍去）；a 2≥2，即a ≥4时，f （x ）的最小值是f （2）＝4×22﹣4a ×2+a 2﹣2a +3＝a 2﹣8a +19＝3，解得：a 1＝a 2＝4．综上，a 的值是0或4．故答案为：0或4．【变式3-2】（2020•浙江模拟）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1，则当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为．【解题思路】由题知{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，进而求出a ，b ，c ，所以f （x ）＝f （1）(x 2+x 2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f（0）（1﹣x 2）再由题知对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1分别再讨论﹣2≤x ≤﹣1与1≤x ≤2区间最值，最后得出最值．【解答过程】解：由题意{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，有得{a =12[f(1)+f(−1)−2f(0)]b =12[f(1)−f(−1)]c =f(0)所以f （x ）＝f （1）(x 2+x2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f （0）（1﹣x 2）对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1所以当﹣2≤x ＜﹣1时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+|| =(x 2+x2)+(x 2−x2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7当1＜x ≤2时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+||=(x 2+x 2)+(x 2−x 2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7综上所述，当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为7．【变式3-3】（2021春•浦东新区校级期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3．（1）若f （a +1）＝f （2a ），求a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）在x ∈[2，3]的最小值为5﹣a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]？若存在，请求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据已知条件，得到（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3解方程即可求出结果；（2）由于f （x ）的对称轴为x =a−22，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求出最小值即可；（3）根据题意转化为 m ，n 是方程 x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x 的两个根，结合韦达定理得到 m +n ＝2+mn ，分离常数，根据m ，n 为整数即可求解．【解答过程】解：（1）因为f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3，且 f （a +1）＝f （2a ），所以（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3，整理得2a 2+a ﹣3＝0，解得a ＝1或−32；（2）f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3 的对称轴为 x =a−22，因为 x ∈[2，3]， ①当a−22≤2，即 a ≤6，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝22﹣2（a ﹣2）+a ﹣3＝5﹣a ，符合题意；②当2＜a−22＜3，即6＜a ＜8，则f （x ）在(2，a−22)上单调递减，在(a−22，3)单调递增，所以f(x)min =f(a−22)=(a−22)2−a−22(a −2)+a −3=−a 2+8a−164=5﹣a ，则a ＝6，与6＜a ＜8矛盾，不符合题意； ③a−22≥3，即a ≥8，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递减，所以f(x)min =f(3)=32−3(a −2)+a −3=12−2a =5−a ，则a ＝7，与a ≥8矛盾，不符合题意，综上a ≤6，因此实数a 的取值范围为（﹣∞，6]；（3）因为关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]， ①若a−22≤m ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递增，所以{f(m)=mf(n)=n，即m ，n 是方程x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x ，即x 2﹣（a ﹣1）x +a ﹣3＝0的两个根，由韦达定理得{m +n =a −1mn =a −3，所以 m +n ＝2+mn ，所以m （1﹣n ）＝2﹣n ，当n ＝1时，m 不存在，舍去，当n ≠1时，m =2−n 1−n =11−n +1，所以当n ＝0时，m ＝2；当n ＝2时，m ＝0，又因为m ＜n ，所以n ＝2，m ＝0，经检验，此时a ＝3，关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；②若m ＜a−22≤n ，则f （x ）在(m ，a−22)上单调递减，在(a−22，n +1)上单调递增，所以{f(a−22)≥m f(n)=n f(m)=n ，即{(a−22)2−(a −2)⋅a−22+a −3≥m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n，所以{−a 2+8a −16≥4m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n ，即x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3﹣n ＝0有两个不相等的实数根，且m +n ＝2﹣a ，由于m ，n 为整数，则a 为整数，则a =n 2+n−3n−1=n +2−1n−1，当n ＝0时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；当n ＝2时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验符合题意；故m ＝﹣1，n ＝2； ③若a−22≥n ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递减，所以{f(m)=nf(n)=m，即{m 2−(a −2)⋅m +a −3=n n 2−(a −2)⋅n +a −3=m ，则m ＝n ，不合题意舍去．综上：存在这样的m ，n 为整数，且m ＝﹣1，n ＝2．【题型4 二次函数的恒成立问题】【例4】（2021•4月份模拟）对于任意a ∈[﹣1，1]，函数f （x ）＝x 2+（a ﹣4）x +4﹣2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是（） A ．（1，3） B ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C ．（1，2）D ．（3，+∞）【解题思路】把二次函数的恒成立问题转化为y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x 的取值范围．【解答过程】解：原问题可转化为关于a 的一次函数y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需{(−1)⋅(x −2)+x 2−4x +4＞01×(x −2)+x 2−4x +4＞0， ∴{x ＞3，或x ＜2x ＜1，或x ＞2， ∴x ＜1或x ＞3．故选：B ．【变式4-1】（2020春•玉林期末）已知函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（）A ．（﹣∞，72）B ．（72，+∞）C ．（﹣∞，143）D ．（143，+∞）【解题思路】由题意可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，结合y ＝g （x ）的图象，只需g （1）＜0，且g （2）＜0，解不等式可得所求范围．【解答过程】解：函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，由于y ＝g （x ）的图象为开口向上的抛物线，只需g （1）＜0且g （2）＜0，所以{1+4−k −k +2＜04+2(4−k)−k +2＜0，即{k ＞72k ＞143，可得k ＞143．故选：D ．【变式4-2】（2020春•浙江期中）已知f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ，若f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，0]C ．[0，+∞）D ．[﹣1，0]【解题思路】利用分段思想，分类讨论，结合二次函数性质即可求解．【解答过程】解：f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ={x 2−x +2a ，x ≥a x 2+x ，x ＜a ，∵f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，∴①{x 2−x ≤−2a x ≥a 恒成立，此时a ≤﹣1；②{x 2+x ≤0x ＜a在x ∈[﹣1，1]恒成立，此时a ≤0；综上核对a ≤0，故选：B ．【变式4-3】（2021春•虹口区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2．（1）若对于任意x ∈R ，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，求实数x 的取值范围．【解题思路】（1）利用二次函数的图象与性质可得△≤0，从而可求得a 的取值范围；（2）f （x ）≥0恒成立等价于f （x ）min ≥0，利用二次函数的图象与性质对a 分类讨论，求出f （x ）的最小值，结合题意即可求解a 的取值范围；（3）将函数f （x ）看作关于a 的函数g （a ），结合题意可得关于x 的不等式组即可求解x 的取值范围．【解答过程】解：（1）f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2≥0恒成立，可得△＝4a 2﹣4（2﹣a ）≤0，解得﹣2≤a ≤1，即实数a 的取值范围是[﹣2，1]．（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，则f （x ）min ≥0，函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2的对称轴为x ＝﹣a ，当﹣a ＜﹣1，即a ＞1时，f （x ）min ＝f （﹣1）＝3﹣3a ≥0，解得a ≤1，矛盾，舍去；当﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，f （x ）min ＝f （1）＝3+a ≥0，可得﹣3≤a ＜﹣1，当﹣1≤﹣a ≤1，即﹣1≤a ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣a ）＝﹣a 2﹣a +2≥0，可得﹣1≤a ≤1，综上所述，求实数a 的取值范围是[﹣3，1]．（3）对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，等价于对于任意a ∈[﹣1，1]，g （a ）＝（2x ﹣1）a +x 2+2＞0，所以{g(−1)=x 2−2x +3＞0g(1)=x 2+2x +1＞0，解得x ≠1，所以实数x 的取值范围是{x |x ≠﹣1}．。

2020年高考数学一轮复习专题09幂函数与二次函数(含解析)

专题09对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.基础知识融会贯通 1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)logmnab＝nmlog a b.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．重点难点突破【题型一】对数的运算【典型例题】若函数f（x）＝1+x3，则f（lg2）+f（1g）＝（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：∵f（x）＝1+x3；∴．故选：A．【再练一题】已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）．故选：A．思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【题型二】对数函数的图象及应用【典型例题】设函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣1）＝2，则a ＝（）A．3 B．1 C．2 D．4【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入y＝log2（x+a），得﹣x＝log2（﹣y+a），∴f（x）＝﹣2﹣x+a，∵f（﹣2）+f（﹣1）＝2，∴﹣22+a﹣2+a＝2，解得a＝4．故选：D．【再练一题】已知l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x），当x＞1时，f′（x），∴l1的斜率k1，l2的斜率k2，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴k1•k2•1，即x1x2＝1．直线l1：y（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y（x﹣x2）+lnx2．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x，∴S△PAB|AB|•|x P|2，∵函数y＝x在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴x11+1＝2，则0，∴01．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【题型三】对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性【典型例题】已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则a的取值范围是．【解答】解：∵已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴a＜0，且﹣a﹣1＞0，求得a＜﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1）．【再练一题】对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（）则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．命题点2 和对数函数有关的复合函数【典型例题】若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【再练一题】若函数有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（1，）B．[，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，）【解答】解：由题意，令t＝x2﹣ax（t）2，则函数f（t）＝log a t∵函数有最小值，∴a＞1要使函数有最小值，则t＝x2﹣ax有最小值，且为正数∴0∴综上，实数a的取值范围是（1，）故选：A．思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．基础知识训练1．幂函数曲线y=x b,当b>1时的图像为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据幂函数的图象与性质，可得当b>1时,图像为选项A,当0<b<1时为选项B, 当b<0时为选项C,当b=1时为选项D，故选A.2．已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】故函数上是减函数则故选3．已知幂函数的图象过，若，则值为（）A．1 B． C．3 D．9【答案】B【解析】∵幂函数幂函数的图象过，解得．则故选：B．4．若幂函数在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A． B． C． D．或4【答案】A【解析】幂函数在（0，+∞）上为增函数，，解得（舍去）故选A.5．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．2【答案】C【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.6．设函数，若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数，在第一象限为单调递增函数．由于：，所以：故选：A．7．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递减C．非奇非偶函数且在上单调递增D．非奇非偶函数且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），∴2a=，解得a=，∴函数f（x）=，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．8．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．9．已知幂函数过点A．，且在上单调递减B．，且在单调递增C．且在上单调递减D．，且在上单调递增【答案】A【解析】幂函数过点，，解得，，在上单调递减．故选：A．10．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，所以，解得，因为，所以，时，，图象关于轴对称，不满足题意；当时，，图象关于原点对称，满足题意，不等式化为，，因为函数上递减，所以，解这个不等式，得，即实数的取值范围是，故选B .11．已知函数是在上单调递增的幂函数，则( )A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．12．已知幂函数的图像过点，则下列说法正确的是（）A．是奇函数，且在上单调递增B．是偶函数，且在上单调递减C．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递增D．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），∴2α，解得α，故f（x），故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．13．已知函数的图象恒过定点P，若幂函数的图象经过点P，则的值为______．【答案】【解析】令，则恒成立故函数恒过，即幂函数的图象经过点则，解得故本题正确结果：14．若幂函数的图象经过点（2，），则f（）=______．【答案】【解析】设幂函数f（x）＝xα，α∈R；其函数图象过点（2，），∴2α，解得α；∴f（x），∴．故答案为：．15．若为幂函数，且满足，则______．【答案】【解析】为幂函数，且满足，，则，解得，，．故答案为：．16．已知幂函数满足，则______．【答案】2【解析】幂函数满足，．故答案为：2．17．已知幂函数过点（2,4）(1)求解析式(2)不等式的解集为[1,2]，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）设幂函数解析式为因为函数图像过点（2,4），所以所以所求解析式为(2) 不等式的解集为[1,2]，的解集为，是方程的两个根，，，因此；所以不等式可化为，即，解得,所以原不等式的解集为.18．已知幂函数上单调递增．求m值及解析式；若函数上的最大值为3，求实数a的值．【答案】（1）；（2）【解析】幂函数上单调递增故：解得：故：由于所以：函数函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为由于在上的最大值为3，时，上单调递增，故：，解得．时，上单调递减，故：，解得：．时，上单调递增，在上单调递减，故：，解得：舍去，或舍去，综上所述：．19．已知幂函数上单调递增，又函数. （1）求实数的值，并说明函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得，又因为上单调递增，所以，即，即，则，因为均在上单调递增，所以函数上单调递增.（2）因为，所以是奇函数，所以不等式可变为，由（1）知上单调递增，所以，解得.20．已知幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数h（x）=4f（x）-kx-8在[5，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），∴f（2）=2α=4，∴a=2，∴f（x）=x2；（2）函数h（x）=4f（x）-kx-8，∴h（x）=4x2-kx-8，对称轴为x=；当h（x）在[5，8]上为增函数时，≤5，解得k≤40；当h（x）在[5，8]上为减函数时，≥8，k≥64；所以k的取值范围为（-∞，40]∪[64，+∞）．能力提升训练1．已知函数上为增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．2．若函数上的最大值是3，则实数（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】.因为所以时，，即故选A.3．已知函数，则在[0，2］上的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】图象的对称轴方程为，故上的最小值为.答案选B.4．已知命题p：，若命题p是假命题，则的取值范围为（）A． B． C． D．或a=0【答案】B【解析】∃x∈R，ax2+x+1≤0．若命题p是假命题，即“ax2+x+1＞0恒成立”是真命题①．当a＝0 时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须，解得＜a，故实数a的取值范围为：．故选B．5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，根据韦达定理，有，观察图像可以发现，对于D选项，两个根都小于，那么它们的乘积大于，故D选项不可能成立.故选D.6．已知函数的值域为，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数的值域为，∴∴∴实数m的取值范围为故选：A7．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（1,2]【答案】A【解析】令.∵∴函数的图象是开口向下的抛物线.∵∴若，外函数为增函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.若，外函数为减函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.综上，的取值范围是.故选A.8．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是( )A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：结合二次函数的图象可知，，所以函数单调递增，排除C，D；把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，排除A，选B.法二：结合二次函数的图象可知，，所以，在中，取，得，只有选项B符合，故选:B.9．若函数有最小值，则实数的取值范围是( )A．(0,1) B． C． D．【答案】C【解析】.当a>1且有最小值时，f(x)才有最小值.∴⇒1<a<.10．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是A．f(b x)≤f(c x) B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x) D．与x有关，不确定【答案】A【解析】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．又f（0）＝3，∴c＝3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选：A．11．已知都是常数，.若的零点为，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，又为函数的零点，且，所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图像，如图所示，由图可知，故选.12．己知恒成立，则实数a的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】设对任意恒成立，即对任意都成立，当，则与讨论矛盾，当时，，则，解得，故选：B．13．函数的最小值为________．【答案】1【解析】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值1.14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】∵的对称轴为x=a，且，∴函数f（x）=在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数；∴函数f（x）=的最小值为f（a）=﹣，①当2≤a＜3时，函数f（x）=（x∈）在x=0时取得最大值，且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；2a﹣1∴②0＜a＜2时，函数f（x）=（x∈）在x=4时取得最大值，且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；，∴综上，∴；即t的取值范围是：．15．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．【答案】【解析】设二次函数顶点式为.设的两个根为，且，依题意，两边平方并化简得，即，解得.故.16．若对任意，函数总有零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数总有零点，∴对任意恒成立，∴记上单调递减，∴∴故答案为：17．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（2x）﹣m•2x+1，其中x∈[0，1]，m为常数且m∈R，求函数g（x）的最小值．【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1（2）【解析】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，且。

高三一轮复习精题组二次函数与幂函数(有详细答案)

§2.4 二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征函数性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a. (×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22. (×)(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2. (×) 2．(2013·重庆)(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为() A．9 B.92C．3 D.322答案 B解析因为(3－a)(a＋6)＝18－3a－a2＝－⎝⎛⎭⎫a＋322＋814，所以当a＝－32时，(3－a)(a＋6)的值最大，最大值为92.3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上() A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增答案 D解析由f(x)为偶函数可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，∴f (x )在区间(－5，－3)上单调递增．4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．答案 [1,2]解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1. 当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数． ∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2. ∴m ＝1，无解．当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2， y max ＝f (0)＝3.当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3， ∴m ＝0或m ＝2，无解．∴1≤m ≤2.5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________．答案 1或2解析由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.题型一二次函数的图象和性质例1 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．答案 y ＝12(x －2)2－1(2)若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是____________．答案 (－∞，－3]解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m4，∴－m4≤－1，∴m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]．题型二二次函数的应用例2 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．思维启迪利用f (x )的最小值为f (－1)＝0可列两个方程求出a 、b ；恒成立问题可以通过求函数最值解决．解 (1)由题意有f (－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．题型三幂函数的图象和性质例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2(2)若(2m ＋1)21 >(m 2＋m －1) 21，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2思维启迪 (1)由幂函数的定义可得n 2＋2n －2＝1，再利用f (x )的单调性、对称性求n ；(2)构造函数y ＝x 21，利用函数单调性求m 范围．答案 (1)B (2)D解析 (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. (2)因为函数y ＝x 21的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12.解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2，综上5－12≤m <2.思维升华 (1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即221＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 21. 由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作出函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．思维启迪 (1)因f (x )的表达式中含|x |，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图．(2)因a ∈R ，而a 的取值决定f (x )的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决．规范解答解(1)当a ＝1时， f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0x 2－x ＋1，x ≥0.[3分]作图(如右图所示)[5分](2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.[6分] 若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.[7分] 若a ≠0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a－1， f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a .当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2. 当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.[11分]综上可得，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <142a －14a －1， 14≤a ≤12.3a －2， a >12[12分]温馨提醒本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．2．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．失误与防范1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.A组专项基础训练一、选择题1．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是() A．a≤－2 B．－2<a<2C．a>2或a<－2 D．1<a<3答案 C解析∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a<－2.2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案 C解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B ，因此选C.3．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么 ( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2) 答案 D解析由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2)．4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]答案 D解析二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 5．已知f (x )＝x 21，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)B ．f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 C解析因为函数f (x )＝x 21在(0，＋∞)上是增函数，又0<a 0，∴0<m ≤14.综上0≤m ≤14.7．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________．答案 0<a ≤14解析令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .结合图象有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f (5)>0，∴0<a ≤14.8．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．答案二、四解析当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图象经过第一象限．三、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间．解 ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，∴f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② ∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①式得f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋65，∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－3]，单调减区间是[－3，＋∞)．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.B 组专项能力提升1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案 C解析当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0.当a ≥0时，a <1，∴0≤a <1.故－3<a <1.2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( )A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0C ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)＝0D ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)<0答案 A解析由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，且f (1)＝0，f (0)＝c <0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，当x >1时，f (x )>0.由a >b ，得1>b a，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的另一个根为x 1，则x 1＋1＝－b a>－1，即x 1>－2，由f (m )<0可得－2<m <1，所以1<m ＋3<4，由抛物线的图象可知，f (m ＋3)>0，选A.3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值域为________．答案－1或3解析由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1且Δ<0.∴－5＋1<a <5＋1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.4．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0.(1)求证：－20即(b a ＋1)(b a ＋2)<0，从而－2<b a<－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2b 3a )2＋4×a ＋b 3a ＝49·(b a )2＋4b 3a ＋43＝49(b a ＋32)2＋13. ∵－20，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．。

2020年高考数学一轮复习考点07二次函数与幂函数必刷题(含解析)

考点07 二次函数与幂函数1、如果方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是____．【答案】(－∞，－3)【解析】设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －1）2－4（4－2m ）>0，f （2）＝4＋2（2m －1）＋4－2m<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－52或m>32，m<－3，所以m<－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．2、若幂函数y ＝mx n (m ，n ∈R)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，14，则n ＝___．【答案】－23【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，8n ＝14，解得n ＝－23，故n 的值为－23. 3、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，则a ，b 的值为____．【答案】13，0 【解析】由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax 2－bx ＋3a ＋b ＝ax 2＋bx ＋3a ＋b ，即2bx ＝0对任意x 恒成立，所以b ＝0.又因为a －1＝－2a ，解得a ＝13，所以a ，b 的值分别为13，0. 4、函数y ＝－x 2＋2||x ＋3的单调减区间是____．【答案】[－1，0]和[1，＋∞)【解析】令f(x)＝－x 2＋2|x|＋3，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3， x<0，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x≥0，－（x ＋1）2＋4， x<0，所以当x≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．5、若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[]a ，a ＋2上的最大值为4，则a 的值为____．【答案】－1或1【解析】由题意得，f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴为直线x ＝1.当a≥0时，f(a ＋2)＝4，即(a ＋2)2－2(a ＋2)＋1＝4，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)；当a<0时，f(a)＝4，即a 2－2a ＋1＝4，解得a ＝－1或a ＝3(舍去)．综上，a 的值为1或－1.6、若不等式x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是___.【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)【解析】由题意得x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0，即(x 2＋1)2≥－a 2＋a ＋3，所以－a 2＋a ＋3≤1，解得a≥2或a≤－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．7、设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3，则使函数y ＝x α为奇函数且定义域为R 的所有α的值为____．【答案】1，3【解析】当α＝－1时，y ＝x －1＝1x ，此时函数的定义域为{x |x ≠0}，不符合题意；当α＝12时，y ＝x 12＝x ，此时函数的定义域为[0，＋∞)，不符合题意；当α＝1时，y ＝x ，此时函数的定义域为R ，且是奇函数，符合题意；当α＝2时，y ＝x 2，此时函数的定义域为R ，是偶函数，不符合题意；当α＝3时，y ＝x 3，此时函数的定义域为R ，且为奇函数，符合题意，综上α的值为1和3.8、求函数f(x)＝x 2－2ax ＋2(x ∈[2，4])的最小值．【答案】f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a≤4，18－8a ， a>4.【解析】f(x)图象的对称轴是直线x ＝a ，可分以下三种情况：①当a ＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min ＝f(2)＝6－4a ；②当2≤a≤4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；③当a ＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min ＝f(4)＝18－8a.综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a≤4，18－8a ， a>4.9、已知函数f(x)＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【答案】g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t≤1，t 2－2t ＋2， t>1.【解析】由题意得，f(x)＝(x －1)2＋1.①当t ＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t ＋1)＝t 2＋1;②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1;③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t 2－2t ＋2.综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t≤1，t 2－2t ＋2， t>1.10、若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g(x)的图象上，定义 h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g（x ），g （x ）， f （x ）>g （x ）.试求函数h(x)的最大值以及单调区间．【答案】1 单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).【解析】求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，则有h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x<－1或x>1，x 2，－1≤x≤1且x≠0. 根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).11、已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14. (1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；(2) 求当x 为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．【答案】(1) g(x)＝x －2(2) ①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x ＝1或x ＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．【解析】(1) 设f(x)＝x α，因为图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，所以f(x)＝x 2. 设g(x)＝x β，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，所以14＝2β，解得β＝－2，所以g(x)＝x －2.(2) 在同一平面直角坐标系下作出f(x)＝x 2与g(x)＝x－2的图象，如图所示. 由图象可知，函数f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1，1)，所以①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x ＝1或x ＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．12、已知函数f(x)＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值范围．【答案】{a |a <－1或23<a <32} 【解析】因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.因为m ∈N *，所以m ＝1或m ＝2.又函数的图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数，当m ＝2时，22－2×2－3＝－3为奇数，当m ＝1时，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1.又y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32. 故a 的取值范围为{a |a <－1或23<a <32}． 13、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)．(1) 若函数f (x )＝f (x )－mx 在区间(0，1)上单调递增，求实数m 的取值范围； (2) 求函数G (x )＝f (sin x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最值．【答案】(1) (－∞，2] (2) 最大值为0，最小值为－3【解析】(1) 因为f (x )>0的解集为(1，3)，所以二次函数与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，所以可设f (x )＝a (x －1)(x －3)．又因为函数图象过点(0，－3)，代入f (x )得3a ＝－3，解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3，所以f (x )＝－x 2＋4x －3－mx ＝－x 2＋(4－m )x －3.因为函数f (x )在区间(0，1)上单调递增，所以－4－m 2×（－1）≥1，解得m ≤2，故实数m 的取值范围是(－∞，2]．(2) 由题意得，G (x )＝－sin 2x ＋4sin x －3＝－(sin x －2)2＋1. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ∈[0，1]，所以当sin x ＝0时，G (x )min ＝－3；当sin x ＝1时，G (x )max ＝0，故函数G (x )的最大值为0，最小值为－3.14、已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2) 若该函数经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．【答案】(1) [0，＋∞) 增函数 (2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 【解析】(1) 因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，且m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m (m ＋1)为偶数．所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2) 因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.15、已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调增区间；(2) 当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a ≠0，函数y ＝f (x )在区间(m ，n )上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示)．【答案】(1) (－∞，1]，[2，＋∞) (2) f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3.(3) 2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0. 【解析】(1) 当a ＝2时，f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ）， x <2. 由图象可知，y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．(2) 因为a >2，x ∈[1，2]，所以f (x )＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24. 当1<a 2≤32，即2<a ≤3时，f (x )min ＝f (2)＝2a －4；当a 2>32，即a >3时，f (x )min ＝f (1)＝a －1，所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3. (3) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x <a . ①当a >0时，图象如图1所示.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 24，y ＝x （x －a ），得x ＝1＋22a ，所以0≤m <a 2，a <n ≤ 2＋12a . ②当a <0时，图象如图2所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x （a －x ），得x ＝1＋22a ，所以2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0.图1图2 16、已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．【答案】 (1) f (x )＝x 2(2) 2【解析】 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q 满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q)处取得． ①当q >0时，而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q－(2－3q )＝q －24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.②当q <0时，g (x )max ＝g (－1)＝2－3q ＝178， g (x )min ＝4q 2＋14q ＝－4， q 不存在．综上所述，存在q ＝2满足题意．17、设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)， f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．【答案】(1) 见解析 (2)见解析解析：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12. 又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13. 方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c 0，∴f (m －4)的符号为正．18、设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．【答案】(1) M ＝10 m ＝1 (2) 314【解析】(1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a 2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]．当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1；当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a 1＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1－2a c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a，又a ≥1，故1－12a ∈[12，1)， ∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (2a －12a )＝1－14a. g (a )＝M ＋m ＝9a －14a－1. 又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的，∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。

2023年新高考数学大一轮复习专题08 幂函数与二次函数(解析版)

专题08 幂函数与二次函数【考点预测】 1.幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质 3.常见的幂函数图像及性质：R RR {|0}x x ≥ （1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 5．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. （1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，；2max 4()4ac b f x a -=.（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==. 【方法技巧与总结】1.幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下： ①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出； ②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出； ③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 3.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.n （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（） A ．2- B ．0或2 C ．0 D ．2【答案】D 【解析】【分析】根据函数为幂函数求出m ，再验证单调性可得. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =，当0m =时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意，当2m =时，()3f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意，所以2m =. 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数pqy x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q> B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q < C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q > D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q< 【答案】D 【解析】【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p 、q 的取值情况. 【详解】因函数p q y x =的图象关于y 轴对称，于是得函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数，又函数p qy x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞上单调递减，则有pq<0，又因p 、q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确. 故选：D例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12##0.5 【解析】【分析】点A 坐标代入幂函数解析式，求得a ，然后计算函数值．【详解】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：12．例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数()f x 的图象过点()8,2--，且()()13f a f a +≤--，则a 的取值范围是______．【答案】(],1-∞ 【解析】【分析】先求得幂函数()f x 的解析式，根据函数()f x 的奇偶性、单调性来求得a 的取值范围. 【详解】设()f x x α=，则()1823αα-=-⇒=，所以()13f x x =，()f x 在R 上递增，且为奇函数，所以()()()311313f a f a a a f a a =-+≤--+-⇒≤⇒≤. 故答案为：(],1-∞例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质确定结论．【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）4()y f x x -==；（2）当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【解析】（1）由题意可得：2230m m --<，解不等式结合m ∈Z 即可求解；（2）由（1）可得4(2)y ax a x -=+-，分别讨论0a =、2a =、0a ≠且2a ≠时奇偶性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数223()mm y f x x --==（m Z ∈）在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ，因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意；当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；所以4()y f x x -==，（2）4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数，当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x x x --=-==-，此时是偶函数，当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=，()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.【方法技巧与总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a ，b 满足3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，则a b +=（） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B 【解析】【分析】由已知构造函数()3e e x xf x x -=+-，利用()1f a =，()1f b =-，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.【详解】构建函数()3e e x xf x x -=+-，则()f x 为奇函数，且在R 上单调递增.由3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，得()1f a =，()()()()1f b f a f b f b a b =-⇒=-=-⇒=-，所以0a b +=. 故选：B.例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（）A ．2，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.即可判断A 、B ；对于C：判断出2>, log 1，即可判断；对于D：判断出2>，2=，即可判断.【详解】对于A 、B ：作出2x y =和2yx 在第一象限的图像如图所示：其中2x y =的图像用虚线表示，2yx 的图像用虚线表示.可得，在()0,2上，有22x x >，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.因为24<，所以2<，故A 正确；4，所以2>，故B 错误；对于C：2>,而22log log 21<=，所以log >故C 错误；对于D：2>，而2=，所以>.故D 错误.故选：A例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+ 【答案】A 【解析】【分析】分析函数()f x 的性质，作出图象，数形结合即可求解作答. 【详解】当2x <时，函数3()(1)f x x =-是增函数，函数值集合是(,1)-∞，当2x ≥时，2()f x x=是减函数，函数值集合是(]0,1，关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点，在坐标系内作出直线y k =和函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当01k <<时，直线y k =和函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()f x k =有两个不同的实根，所以实数k 的取值范围为(0,1). 故选：A例10．（2022·浙江·模拟预测）已知0a >，函数()(0)xa f x x a x =->的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】分类讨论1a =，01a <<与1a >三种情况下函数的单调性情况，从而判断. 【详解】当1a =时，()1(0)=-=>-a xx f x x x a ，此时函数()f x 为一条射线，且函数()1f x x =-在()0,∞+上为增函数，B 选项符合；当01a <<时，函数a y x =在()0,∞+上为增函数，x y a =在()0,∞+上为减函数，所以函数()=-a x f x x a 在()0,∞+上为增函数，此时函数在()0,∞+上只有一个零点，A 选项符合；当1a >时，x →+∞时，函数a y x =的增长速度远小于函数x y a =的增长速度，所以x →+∞时，函数()=-a xf x x a 一定为减函数，选项D 符合，C 不符合. 故选：C例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式()10112200221210x x x -++-≤的解集为：_________．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】【分析】将不等式化为()()10111011222211x x x x +≤-+-，构造()1011f x x x =+根据其单调性可得221x x ≤-，求解即可.【详解】不等式变形为()()101110112222110x x x x -+-++≤，所以()()10111011222211x x x x +≤-+-，令()1011f x x x =+，则有()()221f x f x ≤-，显然()f x 在R 上单调递增，则221x x ≤-，可得212x ≤，解得x ≤≤故不等式的解集为⎡⎢⎣⎦．故答案为：⎡⎢⎣⎦例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，且其图象过点(，则函数()()2log 3ag x xmx =+-的单调递增区间为___________.【答案】(),1-∞- 【解析】【分析】根据幂函数的定义及所过的点求出,a m ，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，所以31m +=，解得2m =-，又其图象过点(，所以2a 12a =，则()()212log 23g x x x =--，则2230x x -->，解得3x >或1x <-，令223x x μ=--，则函数223x x μ=--在()3,+∞上递增，在(),1-∞-上递减，又因函数12log y μ=为减函数，所以函数()g x 的单调递增区间为(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-.例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，则实数b 的取值范围是_________________________ ．【答案】(3,-- 【解析】【分析】根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，进而数形结合，将问题转化为方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】解：根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，如图：令()t f x =，因为方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，所以方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，故令()22g t t bt =++，则函数()22g t t bt =++在区间()1,2上有两个不相等的零点.所以()()100220g b g g ⎧>⎪⎪⎛⎫-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即230204620b b b +>⎧⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得3b -<<-所以实数b的取值范围是(3,--.故答案为：(3,--例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()224222mm f x m m x-+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =，()1f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出m 的值，将m 的值代入()f x 即可；（2）求出()g x 的解析式，按照1a -与0的大小关系进行分类讨论，利用()g x 的单调性列出方程组，求解即可. 【详解】（1）（1）因为幂函数()2242()22mm f x m m x-+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221420m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-(舍去)，所以1()f x x -=；（2）由（1）可得，1()f x x -=，所以()(21)1(1)1g x a x ax a x =--+=-+，假设存在0a >，使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11，①当01a <<时，10a -<，此时()g x 在(]0,2上单调递减，不符合题意； ②当1a =时，()1g x =，显然不成立；③当1a >时，10a ->，()g x 在和(]0,2上单调递增，故(2)2(1)111g a =-+=，解得6a =.综上所述，存在6a =使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11.【方法技巧与总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >，因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（） A ．(),4-∞ B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a 的不等式，进而求解. 【详解】二次函数24y x x a =-+，对称轴为2x =，开口向上，在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，要使二次函数2()4f x x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，需(1)140(2)480f a f a =-+>⎧⎨=-+<⎩，解得34a << 故实数a 的取值范围是()3,4 故选：C例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax xg x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()24x xg x =-；(2)1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】(1)根据()218f a +=求出a 即可；(2)方程()80xg x m -⋅=参变分离得222x x m --=-，换元法求值域即可.(1)由()218f a +=，可得：2318a +=，解得：32a =，∴()24x xg x =-；(2)由()80xg x m -⋅=，可得222x x m --=-，令12,44xt -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则原问题等价于y ＝m 与y ＝h (t )＝2t t -在1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有交点，数形结合可知m ∈[h (12)，h (4)]＝1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故实数m 的取值范围为：1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数()2sin 1f x x =-，[0,]x π∈． (1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的值；(2)设实数a R ∈，求方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根时a 的取值范围．【答案】(1)当0x =，π2，π时， max ()1f x =(2))2a ∈【解析】【分析】（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令()t f x =，问题转化为23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出a 的取值范围.(1)∵()521,66512,066sinx x f x sinx x x πππππ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<<≤⎪⎩或，∴当5[,]66x ππ∈时， ()max 12f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭；∴当5[0,)(,]66x πππ∈时， max ()(0)(π)1f x f f ===．故当02x ππ=，，时， max ()1f x =． (2)令()t f x =，则[0,1]t ∈，使方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根，则方程23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，令2()321g t t at =-+，则()()()201013210Δ24310012g g a a a ⎧=>⎪=-+>⎪⎪⎨=--⨯⨯>⎪⎪<<⎪⎩2a <<．故所求的a的取值范围是)2．【方法技巧与总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知2()(0)f x ax bx c a =++>，()(())g x f f x =，若()g x 的值域为[2，)+∞，()f x 的值域为[k ，)+∞，则实数k 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】设()t f x =，即有()()g x f t =，t k ，可得函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分，即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集，即有k 的范围，可得最大值为2．【详解】解：设()t f x =，由题意可得2()()g x f t at bt c ==++，t k ，函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分，即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集，即[2，)[k +∞⊆，)+∞，可得2k ，即有k 的最大值为2．故选：C ．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()22f x x x =+；(2)(],2-∞-. 【解析】【分析】（1）根据(1)(1)f x f x -+=--可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知122x x -=进行求解，求出a 的值，即可得出()f x 的表达式；（2）根据题意，可以判断出函数()g x 在区间[2,2]-上的单调性，由()()g x f x kx =-，求得()2(2)g x x k x =+-，进而可知()g x 的对称轴方程为22k x -=，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出222k -≤-，即可求出k 的取值范围. (1)解：由(1)(1)f x f x -+=--，可得()f x 的图象关于直线1x =-对称，函数()f x 的值域为[1,)-+∞，所以二次函数的顶点坐标为(1,1)--，所以设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据根与系数的关系，可得122x x +=-，121a x x a-=，因为方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=则122x x -===，解得：1a =，所以()22f x x x =+.(2)解：由于函数()g x 在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，则函数()g x 在区间[2,2]-上单调递增，又2())2(g x f x kx x x kx =-=+-，即()2(2)g x x k x =+-，所以()g x 的对称轴方程为22k x -=，则222k -≤-，即2k ≤-，故k 的取值范围为(],2-∞-.例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==【解析】【分析】（1）代入3a =解不等式组226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x 可得答案；（2）由题意(0)(2)0f f a ==，结合最大值为0最小值是4-分0=t 、22t a +=数形结合可得答案. (1)当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数2()(0,,)f x ax bx c a b c R =++≠∈同时满足下列条件：(0)3f =，()f x 的最大值为4，____？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由.在①(1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立，② 函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称，③ 函数()f x 的单调递减区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.【答案】答案见解析【解析】【分析】由(0)3f =，可求得3c =，由条件可得函数的对称轴，又()f x 的最大值为4，可得关于,a b 的方程组，求解即可. 【详解】解：由(0)3f =，可求得3c =，则2()3f x ax bx =++ 若选择① (1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立可得()f x 的对称轴为1x =，所以2ba-=1，又()f x 的最大值为4，可得0a <且(1)4f =，即34a b ++=，解得1,2a b =-=，此时2()23f x x x =-++；若选择函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称可得()f x 的对称轴为2x =，则2ba-=2，又f （x ）的最大值为4，可得0a <且(2)4f =，即4234a b ++=，解得a 14=-，1b =，此时21()34f x x x =-++若选择③ 函数f （x ）的单调递减区间是1[2+∞，），可得f （x ）关于x 12=对称，则122b a -=，又()f x 的最大值为4，可得0a <且142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即113442a b ++=解得4a b ==-，此时2()434f x x x -=-+例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足(1)(3)3,(1)1f f f -===-．（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，求a 的取值范围．【答案】（1）2()2f x x x =-；（2）[1,2]. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式，设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，根据已知条件建立方程组，从而可求出解析式；（2）根据()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，(1)1f =-，从而函数()f x 的对称轴在区间[1,1]a a -+上，1a +离对称轴远，建立关系式，从而求出a 的范围【详解】（1）设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，则 (1)3(3)933(1)1f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩解之得：1,2,0a b c ==-=2()2f x x x ∴=- （2）根据题意：111(1)11(1)a a a a -≤≤+⎧⎨+-≥--⎩解之得：12a ≤≤a ∴的取值范围为[]1,2例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得. (1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++. (2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【方法技巧与总结】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（） A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x > B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x < C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x = D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >【答案】B 【解析】【分析】根据题目条件，画出函数草图，即可判断. 【详解】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =【答案】D 【解析】【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性. 【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()()222nf x n n x n Z =+-∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（） A ．1或3- B ．1 C ．1- D ．3-【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性求得n 的值. 【详解】依题意()f x 是幂函数，所以22221230n n n n +-=⇒+-=，解得1n =或3n =-. 当1n =时，()f x x =在()0,∞+递增，不符合题意.当3n =-时，()3f x x -=在()0,∞+递减，符合题意.故选：D4．（2022·全国·高三专题练习（理））设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且该函数为奇函数的α值为（） A ．1或3 B ．1-或1C ．1-或3D ．1-、1或3【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的相关性质依次验证得解. 【详解】因为定义域为R ，所以0α>，12α≠，又函数为奇函数，所以2α≠，则满足条件的1α=或3. 故选:A5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（） A ．(),0-∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()0,∞+ D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，23(0)f x x ∴==，∴()f x 的值域是[)0,+∞.故选：D.6．（2022·北京·高三专题练习）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（）A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解【详解】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）已知3,0()3,0x xx f x e x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为（） A ．72(,)2e e-- B ．72](,2e e--C ．72(,)(,)2e e -∞--+∞D ．72(,(,2])e e-∞--+∞【答案】A 【解析】【分析】利用导数研究分段函数()f x 的性质，作出函数图形，数形结合得到124010t t e -<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果. 【详解】因为0x ≥时，()xx f x e =，则1()x xf x e-'=，令()0f x '=，则1x =，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，则()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，1(1)f e=，x →+∞时，()0f x →；0x <时，3()3f x x x =-，则2()33f x x =-'，令()0f x '=，则1x =-，所以()1,0x ∈-时，()0f x '>，则()f x 单调递增；(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，(1)4f -=-，x →-∞时，()f x →+∞；作出()f x 在R 上的图象，如图：关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，令()f x t =，则2210t kt --=有两个不同的实根12121,02t t t t =-<，，所以124010t t e-<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，令()221g t t kt =--，则()()280400010k g g g e ⎧∆=+>⎪->⎪⎪<⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得722k e e -<<-，故选：A. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】【分析】画出函数244y x x =--的图象，结合值域可得实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确. 故选： BC.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()3232x x f x =-⋅+，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是（） A ．[]30,log 2M = B ．(]3,log 2M ⊆-∞ C ．3log 2M ∈ D ．0M ∈【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，令3x t =，则()222g t t t =-+，结合()g t 的值域为[1,2]，求出t 的取值范围，进而区间M 的特征，即可得到正确选项. 【详解】令3x t =(0)t >，则222()323222(1)1()x x f x t t t g t =-⋅+=-+=-+=，由()1g t =，得1t =，即31x =，得0x =；由()2g t =，得0=t （舍）或2，即3log 2x =；根据()g t 的图象特征，知0M ∈，3log 2M ∈，(]3log 2M ⊆-∞，. 故选：BCD ．11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（） A ．e e m n > B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <【答案】AC 【解析】【分析】先判断函数()f x 的奇偶性及单调性结合不等式()()2320f m n f n -+->可得,m n 所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断. 【详解】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，因为()2310f x x '=+>，所以()f x R 上单调递增，由()()2320f m n f n -+->，得()()()2322f m n f n f n ->--=-，所以232m n n ->-，即1m n ->，m n >，因为x y e =在R 上是增函数，所以m n e e >，故A 正确；因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以ln()0m n ->，故C 正确；因为2021y x =在R 上是增函数，所以20212021m n >，故D 错误；令2,0m n ==，可验证B 错误. 故选：AC12．（2022·全国·高三专题练习）设点(),x y 满足()55340x y x x y ++++=．则点(),x y （） A ．只有有限个 B ．有无限多个C ．位于同一条直线上D ．位于同一条抛物线上【答案】BC 【解析】【分析】由已知得()()()()5533x y x y x x +++=-+-，根据5y x x =+的单调性有3x y x +=-，即可知(),x y 的性质.【详解】由题意，可得()()()()5533x y x y x x +++=-+-，又5y x x =+单调递增，得3x y x +=-，则40x y +=，故满足条件的点(),x y 有无穷多个，且都在直线40x y +=上．故选：BC 三、填空题13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______． ①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >； ③()()()1212f x x f x f x =⋅；【答案】2x （答案不唯一）；【解析】【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式. 【详解】由所给性质：()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上恒正的偶函数，且()()()1212f x x f x f x =⋅，结合偶数次幂函数的性质，如：2()f x x =满足条件. 故答案为：2x （答案不唯一）14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 【答案】-1 【解析】【分析】根据幂函数()f x x α=，当α为奇数时，函数为奇函数，0α<时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f (x )＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1. 故答案为：-1.15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛- ⎝【解析】【分析】分析函数21()2f x x ax =++的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.【详解】函数21()2f x x ax =++恒过点1(0,)2，且其图象开口向上，()ln g x x =-的零点为1，当21()2f x x ax =++的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>的零点至多有两个，不符合题意，故要使()h x 恰有3个零点，则函数()f x 在区间(0,1)上存在两个零点，如图示，故20121(1)1021Δ402a f a a ⎧<-<⎪⎪⎪=++>⎨⎪⎪=-⨯>⎪⎩解得32a -<<故答案为：3,2⎛- ⎝16．（2022·全国·高三专题练习）93,42M ⎛⎫⎪⎝⎭是幂函数()a f x x 图象上的点，将()f x 的图象向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(,)n T n m （*n ∈N ，且2n ）在()g x 的图象上，则239MT MT MT +++=______. 【答案】30 【解析】【分析】先求出函数()y g x =的解析式，得到23()2m n -=，从而得到()724n MT n n =-≥，对239MT MT MT +++利用分组求和法求和即可. 【详解】由39()24α=，得12α=，()12f x x =，123()2g x x =+.因为点(,)n m 在函数()g x 上，所以1232m n -=，即23()2m n -=.所以n MT ==7(2)4n n =-≥，所以239777(2)(3)(9)444MT MT MT +++=-+-+⋯+-7(239)84=+++-⨯811142⨯=- 30=.故答案为：30. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式3381050(1)1x x x x +-->++．【答案】()()211-∞--，，．【解析】【分析】不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，将21x +视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数()35f x x x =+，然后由函数的单调性解不等式．【详解】令()35f x x x =+，易知()f x 在R 上单调递增．原不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，即()21f f x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭．由()f x 在R 上单调递增得21x x >+，解得2x <-或11x -<<．所以原不等式的解集为()()211-∞--，，． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由幂函数的系数为1得2441+-=m m ，再根据函数为0,增函数得1m =；（2）由（1）得()216g x x x=+，再根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-. 若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件；若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<，所以120x x -<，124x x +<，12164x x >，所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦，即()()12gx g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减.【点睛】。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题07 二次函数与幂函数(解析版)

考点07 二次函数与幂函数1．)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b. ∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.2．函数在区间的最大值是()A．0 B．C．D．1【答案】C【解析】y=log（x2﹣6x+10），可令t=x2﹣6x+10，对称轴为x=3，函数t在[1，2]递减，且y=log t在（0，+∞）递减，可得y=log（x2﹣6x+10）在[1，2]递增，可得x=2时，函数y取得最大值log（22﹣12+10）=﹣log32，故选：C．3．已知函数在R上是减函数，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到=3ax2+6x﹣1，因为函数在R上是减函数，所以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立，所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：B.4．，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x( )A．有四个相异实根B．有两个相异实根C．有一个实根D．无实数根【答案】D【解析】∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立．∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．故选D.5．函数的值域为A．B．C．D．【答案】D【解析】设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=．又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，∴y=的值域为[0，2]．故选：D．6．平行四边形中，点在边上，则的最大值为A．2 B．C．0 D．【答案】A【解析】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，，点M在边CD上，∴=﹣1，cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，则的最大值是2，故答案为：A7．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。

2020年高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习(含解析)

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确．【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2，因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2）函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．（3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2）令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042xxa -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2xm =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点．当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点．当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是．【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x x xx =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ．再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________．【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0，解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去；当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）．【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4；（2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12，又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1），又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0；当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)，令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减；因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]，由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]，因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围；（2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立，所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)，所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

高考数学一轮复习课时过关检测八幂函数与二次函数含解析

课时过关检测(八) 幂函数与二次函数A 级——基础达标1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( ) A ．是增函数 B ．不是单调函数 C ．是减函数D ．不能确定解析：A 因为函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，即mm －1＝0，解得m ＝0．所以f (x )＝－x 2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A ．2．(2022·济南质检)若f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．－13解析：C 设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13．3．(2022·浙江模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则( )A ．b <a ＋c ，c 2<ab B ．b <a ＋c ，c 2>ab C ．b >a ＋c ，c 2<abD ．b >a ＋c ，c 2>ab解析：D 由题图知，a >0，b >0，c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f (－1)＝a －b ＋c <0，所以c ＝－(a ＋b )，b >a ＋c ，所以c 2－ab ＝[－(a ＋b )]2－ab ＝a 2＋b 2＋ab >0，即c 2>ab ．故选D ．4．已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 解析：B 由题得f (x )＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，令t ＝sin x ，则f (x )＝g (t )＝－10⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2，令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由g (t )的图象，可知当－12≤t ≤0时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，所以－π6≤m ≤0．故选B ． 5．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤x 的解集是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：B 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝x 的图象，如图所示：当⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 时，解得x ＝12，由图象知⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤x 的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞故选B ． 6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0,3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3,0)解析：ABD 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，－b2a＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A 、B 、D ．7．(多选)已知函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( ) A ．函数y ＝x α的图象过原点 B ．函数y ＝x α是奇函数 C ．函数y ＝x α是单调减函数 D ．函数y ＝x α的值域为R解析：ABD 因为函数y ＝x α(α∈R )的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f (x )＝x 3，A 项，因为f (0)＝0，所以函数y ＝x 3的图象过原点，因此本说法正确；B 项，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以函数y ＝x 3是奇函数，因此本说法正确；C 项，因为y ＝x 3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D 项，因为y ＝x 3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A 、B 、D ．8．已知函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，且点P 在函数g (x )＝x α的图象上，则α＝________．解析：令2x －3＝1，得x ＝2，此时f (2)＝4，∴函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(2,4)，即P (2,4)，又∵点P 在函数g (x )＝x α的图象上，∴2α＝4，∴α＝2．答案：29．已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，∴|x |≤4，∴－4≤x ≤4．∴不等式f (|x |)≤2的解集是[－4,4]．答案：[－4,4]10．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f (x )的解析式； (2)设函数g (x )＝f x ＋2x ＋c ，若g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，求实数c 的取值范围．解：(1)∵f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3．又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2．当m ＝0或2时，f (x )＝x 3，不是偶函数；当m ＝1时，f (x )＝x 4，是偶函数．故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 4．(2)由(1)知f (x )＝x 4，则g (x )＝x 2＋2x ＋c ＝(x ＋1)2＋c －1．由g (x )>2对任意的x ∈R 恒成立，得g (x )min >2(x ∈R )． ∵g (x )min ＝g (－1)＝c －1，∴c －1>2，解得c >3．故实数c 的取值范围是(3，＋∞)．B 级——综合应用11．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x ∈[－1,0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，4]解析：B 因为f (x )＞0的解集为(－1,3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根为－1,3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x－1)2＋8＋m ，由x ∈[－1,0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1,0]上恒成立，故m ≥4，故选B ．12．(多选)若a ＋b >0，函数f (x )＝(x －a )(x ＋b )－1的零点为x 1，x 2(x 1<x 2)则( ) A ．x 1a C ．x 1＋x 2＝a －bD ．x 1＋x 2＝b －a解析：BC 设g (x )＝(x －a )(x ＋b )，则g (a )＝g (－b )＝0，f (x 1)＝g (x 1)－1＝0，g (x 1)＝1，同理g (x 2)＝1，所以x 1＋x 2＝a ＋(－b )＝a －b ，由a ＋b >0得a >－b 且a >0，又x 1<x 2，g (x )的图象是开口向上的抛物线，所以x 1<－b ，x 2>a ，故选B 、C ．13．请先阅读下列材料，然后回答问题．对于问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．故当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值．(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； (2)试研究函数y ＝2x 2＋x ＋2的最值情况．解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4，易知u ≠0，当0<u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14；当u <0时，1u<0，即f (x )<0．∴f (x )<0或f (x )≥14，即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74，∴0<y ≤87，∴函数y ＝2x 2＋x ＋2的最大值为87⎝ ⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时取到，无最小值．C 级——迁移创新14．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f ab －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f 1－f －11－－1＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1．所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2)15．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1． (1)求a ，b 的值；(2)若存在x ∈[3,4]，使g (x )<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立，求m 的取值范围； (3)设f (x )＝g x x，若不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b ＝a (x －1)2＋1＋b －a ． ∵a >0，∴g (x )在[2,3]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧g2＝1，g 3＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得g (x )＝x 2－2x ＋1，∵存在x ∈[3,4]，使g (x )<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立， ∴g (x )min ＝g (3)＝4<2m 2－tm ＋7对任意的t ∈[0,5]都成立，即－mt ＋2m 2＋3>0对任意的t ∈[0,5]都成立，其中t 看作自变量，m 看作参数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3>0，－5m ＋2m 2＋3>0，解得m ∈(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞．(3)由(1)得f (x )＝g x x ＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2，∴f (2x )－k ·2x ＝2x ＋12x －2－k ·2x≥0，令2x＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤t ≤2，则不等式可化为k ≤1＋1t 2－2t，∵不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上有解，∴k ≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t2－2t max ，又∵1＋1t2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12，12≤t ≤2⇒12≤1t ≤2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t 2－2t max ＝1，k ≤1，即实数k 的取值范围是(－∞，1]．。

山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练幂函数、二次

幂函数、二次函数1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )． A ．y ＝1x(x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数．答案 D2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．答案 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3. 答案 A4．若f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析设f (x )＝x α，由f 4f 2＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.答案 135．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析设f (x )＝x n ，∴f (4)＝12，即4n＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝4－n ＝2.答案 B6．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12B ．1C.32D ．2解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32.答案 C7、已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )．A.14 B ．－14C ．2D ．－2 解析：设f (x )＝x α，由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝1212⎛⎫⎪⎝⎭⇒α＝12，log 4f (2)＝4log 122＝14. 答案：A8、函数y ＝13x的图象是( )．解析：显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x31＞x；当x＞1时，x31＜x，知只有B选项符合．答案B9、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )．A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案 B10、若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．审题路线f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的范围．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1).11、求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a 2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (2分)(1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ； (5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24； (8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1. (11分)综上可知，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)12．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )． A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)．答案 C13．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )． A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大．答案 D14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 为增函数，由于f (x )是奇函数，故f (x )在R 上为增函数．由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．答案 C15．已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)17．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.18．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ＞0，x 2＋2xx ≤0.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ≤0，－a 2－2a ＋10＜a ≤1，2－4a a ＞1.。

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2019-2020年高三数学一轮复习专项训练幂函数、二次函数（含解析）1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )． A ．y ＝1x(x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数．答案 D2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )． A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．答案 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3. 答案 A4．若f (x )是幂函数，且满足ff＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析设f (x )＝x α，由ff＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.答案 135．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析设f (x )＝x n ，∴f (4)＝12，即4n＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝4－n ＝2.答案 B6．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12B ．1C.32D ．2解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32.答案 C7、已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )．A.14 B ．－14C ．2D ．－2 解析：设f (x )＝x α，由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭⇒α＝12，log 4f (2)＝＝14.答案：A8、函数y ＝的图象是( )．解析：显然f (－x )＝－f (x )，说明函数是奇函数，同时由当0＜x ＜1时，＞x ；当x ＞1时，＜x ，知只有B 选项符合．答案B9、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( )．A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．答案 B10、若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．审题路线 f (0)＝1求c →f (x ＋1)－f (x )＝2x 比较系数求a ，b →构造函数g (x )＝f (x )－2x －m →求g (x )min →由g (x )min ＞0可求m 的范围．解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1).11、求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a 2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (2分)(1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ； (5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24； (8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1. (11分)综上可知，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)12．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )． A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)．答案 C13．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )． A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大．答案 D14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 为增函数，由于f (x )是奇函数，故f (x )在R 上为增函数．由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．答案 C15．已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)17．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.18．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ＞，x 2＋2x x(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ，－a 2－2a ＋＜a，2－4a a ＞2019-2020年高三数学一轮复习专项训练平面向量及其坐标表示（含解析）1、如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，① b ＝AM →＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a .② 将②代入①，得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ， ∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，③将③代入②，得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．2、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若A B →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝( )．A.15B.25C.35D.45解析因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.答案 D3．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案 124．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．解析由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案 m ≠546．(xx·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1 AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案 127.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝m OA →＋n OB →，则m ＋n 的取值范围是( )． A ．(0,1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λ BA →(λ＞1)，则 OD →＝OB →＋λ BA →＝λ OA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μ OC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．答案 D考点：平面向量的坐标运算1、已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M 的坐标为(0,20)．又CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N 的坐标为(9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 2、已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝ ( )．A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 解析 (1)12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)． 3、在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析：由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案：B考点：平面向量共线的坐标表示1、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．审题路线 (1)分别求出(a ＋k c )与(2b －a )的坐标⇒利用向量平行的充要条件列方程⇒解关于k 的方程；(2)设d 的坐标⇒根据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到d 的坐标．解 (1)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．2、（1）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.12 B.14C ．1D ．2 (2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析 (1)由于a ＋λb ＝(1＋λ，2)，故(a ＋λb )∥c ⇒4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12，故选A.(2)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2 AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则 DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案 (1)A (2)(2,4)3．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基底a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .又a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.又e 1，e 2是平面内一组基向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －134．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析 a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4. 答案 45.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )． A ．(7,4) B ．(7,14) C ．(5,4) D ．(5,14) 解析设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.答案 D6.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →＝2 PA →，则( )．A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2 PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13. 答案 A7．已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，a ∥(a ＋b )，则m ＝( )．A ．2B ．－2C ．－3D ．3解析 a ＋b ＝(2，m ＋1)，由a ∥(a ＋b )，得(－1)×(m ＋1)－2×1＝0，解得m ＝－3.答案 C8．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2P C →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )．A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析 BC →＝3 PC →＝3(2 PQ →－PA →)＝6 PQ →－3 PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．答案 B9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )． ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1 OA →＋t 2 AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0，(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2 AB →，∴AM →与AB →共线，又它们有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )．A ．30° B．60° C．90° D．120°解析由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°.答案 B12．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝12，a ＝14时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 8。