高中数学必修四[人教A版]1.2《任意角的三角函数》ppt课件

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人教版高一数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系(课件)

知识探究（一）：基本关系
思考1：如图，设α是一个任意角，它
的终边与单位圆交于点P，那么，正弦
线MP和余弦线OM的长度有什么内在联
系？由此能得到什么结论？
y P
1
MO
x
思考2：上述关系反应了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？
y P
P Ox
思考3：设角α的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
，
，
，
由此可得sinα，cosα，tanα满足什
么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？
思考5：平方关系和商数关系是反应同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.
知识探究（二）：基本变形思考1：对于平方关系可作哪些变形？
sin2 cos2 1
思考2：对于商数关系哪些变形？
可作
思考3：结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？
思考4：若已知sinα的值，如何求cosα 和tanα的值？
思考5：若已知tanα的值，如何求sinα 和cosα的值？
理论迁移
例1 求证：
例2 已知
,求
若α是第三象限角，则
若α是第四象限角，则
，的值.
，
.
，
.
例3 已知tanα=2，求下列各式的值.
（1）
；（2）
5 2
例4 已知求
，的值.
小结作业
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.

2014年人教A版必修四课件 1.2 任意角的三角函数

r= x + y , a | MP | y sina = = , o M x | OP | r | OM | x cosa = = , | OP | r | MP | y tana = = . 于是得 | OM | x
【终边上一点的坐标定义三角函数】点P(x, y)是角 a 终边上任一点(除原点), r 是点P y 到原点的距离, 即 r = |OP| = x 2 + y 2 , 1 P(x, y) y 正弦: sina = , r 余弦: cosa = x , -1 o x r y 正切: tana = , x 当点P(x, y)取角 a 终边与单位圆的交点时, r =1, 则a 的三角函数为: y 正弦: sina = = y, 余弦: cosa = x = x. r r
【终边在坐标轴上的角的三角函数】终边在 x 轴非负半轴上时, (如图)
y 0 =0, sina = = r r cosa = x = r =1, r r y 0 =0. tana = = x x
终边与其它半轴重合时同理.
y
a的终边
o
P

x
练习: (课本15页) 3. 填表: 角a 角 a 的弧度数 sin a cos a 0º 0 90º 180º 270º 360º 3 2 2 2 -1 0 0 1 0
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎样定义的? 在直角坐标系中, 如果知道锐角 a 终边上一点的坐标, 你能求出 a 的三角函数吗?
对边 sina = 斜边邻边 cosa = 斜边
对边 tana = 邻边
作PM⊥x 轴于M, 设 |OP| = r, 则
2 2
y (x, y) P ·
本章内容

人教A版高中数学必修四(1.2.1-1任意角的三角函数)

sin
tan y x
cos
y x2 y2
x x2 y2
y
O
x
tan y
x
P(x，y)
知识探究（二）：三角函数符号与公式
思考1：当角α在某个象限时，设其终边与单位圆交于点P（x，y），根据三角函数定义，sinα，cosα，tanα的函数值符号是否确定？为什么？
sin y
y
α的终边
sin y α的终边 y
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
思考6：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα， tanα的值是否存在？是否惟一？
sin y α的终边
cos x P(x，y)
tan y (x 0)
x
y
Ox
思考7：对应关系 sin y ，cos x ，
4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.
作业： P15 练习：1，2，5，7.
3，4，6 做在书上
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
cos x
P(x，y)
tan y (x 0)
Ox
x
思考2：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα 的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？
sin y
cos x

《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-2-1任意角的三角函数-2

(1)sinβ________sinα. (2)cosα________cosβ. (3)tanβ________tanα. 答：(1)> (2)> (3)>
(1)三角函数线的特征：①三角函数线的位置：正弦线为角α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段，余弦线在x 轴上，正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．
在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解：直线y＝
3 2
交单位圆于A，B两点，连接OA与OB，则
OA与OB围成的区域(图(1)的阴影部分)即为角α的终边范围．
故满足条件的角的集合为{α|
π 3
＋2kπ≤α≤
2π 3
＋2kπ，k∈
解析：因为π4<1<2π，如图所示：
由三角函数线可得sin1> 22>cos1，故sin1－cos1>0. 答案：>
(2)下列关系式中正确的是( ) A．sin10°<cos10°<sin160° B．sin160°<sin10°<cos10° C．sin10°<sin160°<cos10° D．sin160°<cos10°<sin10°
【解】如图(1)． ∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12. ∴函数定义域为2kπ－π3，2kπ＋3π(k∈Z)．

高中数学必修四课件：1-2-0-1 任意角的三角函数的定义

第一章 1.2 第1课时
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[小结]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．
第一章 1.2 第1课时
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第一章 1.2 第1课时
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[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
第一章 1.2 第1课时
第一章 1.2 第1课时
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(1)判断下列各式的符号．
①sin3·cos4·tan5；
②α 是第二象限角，sinα·cosα.
(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则θ2是第(
A．一
B．三
C．一或三
D．任意象限角
)象限角．
第一章 1.2 第1课时
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已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有( )
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
[答案] A
第一章 1.2 第1课时
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3．公式一(k∈Z) sin(α＋2kπ)＝ sinα ， cos(α＋2kπ)＝ cosα ， tan(α＋2kπ)＝ tanα .

人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt

cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当时，在直角坐标系中， y 角的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.

课件_人教版数学必修四《任意角的三角函数》PPT课件_优秀版

例1、任意角的三角函数第一定义
（其中
P sin y 知识
）探究
(x, y)
OP 点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
1 练习已知角的终边过点
，
求的三个三角函数值.
以原点O为圆心，以单位
例6.作出 2 的正弦线、余弦线、正切线：
3
求的三个三角函数值.
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
α y 点在初中与我原们点是的如距何离定义的锐角终三边角函数的？
解：在直角坐标系中，作
P 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
α 以原点O为圆心，以单位
而 48是第一象限角，所以 ta n6(7)20。
练习确定 cos 16 的三角函数值的符号：
5
解： cos 16 cos( 6 2 ) cos 6
5
5
5
例5 求 cos 9 的三角函数值：
4
解： cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
练习求 tan 19 的三角函数值
﹒
交点，然cos后再利3用, 定义求
B
三角函数值6。 2
tan 3
63
2、任意角的三角函数第二定义：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P与原点的距离 r x2 y2 0
那么① y 叫做的正弦，即 sin y
y
r
r
②
x r
叫做的余弦，即 cos x
r
O
y ③x
叫做的正切，即 tan y x 0

必修四第一章三角函数1.2.2

数学必修 ④ · 人教 A 版
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第一章三角函数
[思路分析] tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝ sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为 cos2α的表达式求解．
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第一章三角函数
[解析] (1)tanα＝3＝csoinsαα>0， ∴α 是第一或第三象限角．当 α 是第一象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
sinα＝3
10 10
．
cosα＝
10 10
当 α 是第三象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 sin2α 写成 sinα2，前
者是 α 的正弦的平方，后者是 α2 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并
能正确书写．
数
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋
人
教
A
版
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第一章三角函数
3．化简 1－sin2440°＝____c_o_s_8_0_°_____．

必修四第一章三角函数1.2.1第一课时

(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则2θ是第
象限角．
A．一
数
学必
C．一或三
修
④
·
人
教
A
版
B．三 D．任意象限角
( C)
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第一章三角函数
[解析] (1)①π2<3<π，π<4<32π，32π<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标
(a，b)，则对应角的正弦值 sinα＝ a2b＋b2，余弦值 cosα＝ a2a＋b2，正切值 tanα数学Fra bibliotek必＝ab．
修 ④
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参
·
人教
数进行分类讨论．
A
版
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第一章三角函数
3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
(A)
4．(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于 25 _____5_．
数学必
[解析] 由三角函数的定义，tanα＝yx＝2，cosα＝xr＝ 55，∴tanα·cosα＝255．
人教
函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
A
版

高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)

tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10

'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的定义来推导的.要正确记忆三个三角函数在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基本关系求某个角的三角函数值例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin

y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做的余弦，记作cos，即 cos x y y （3）叫做的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢?

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第一章三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容索引
01 明目标
知重点
填要点记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.

人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件

概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究概念形成概念应用概念拓展课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究概念形成概念应用概念拓展课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究概念形成概念应用概念拓展课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【探究发现】

新人教版必修4第一章第二节任意角三角函数课件

有向线段CD：方向C→D，等.
思考3：你能更好的利用有向线段的概念表示角α 的正弦吗？
sinα=MP cosα=0M O
y
P
M
x
思考4：类比的，你能在单位圆中用有向线段表示角α的余弦吗？
思考5：设α 为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα y ＋cosα >1吗？ P
MP＋OM>OP=1 O M
A(1,0)
o
P α的终边
x
o
P T
x α的终边
(Ⅲ )
(Ⅳ )
思考6：若终边函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O 和点A（1，0）.
例2.(1)试作出角α的终边，使sinα=0 . 5； (2)根据(1)求出所有满足sinα=0 . 5的角 α的集合. (3)根据(1)、(2)求出所有满足sinα≧ 0 . 5 的角α的集合.
变式：求y 2cos x 1的定义域.
正弦、余弦、正切的三角函数线。
设任意角顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边
思考2：能不去掉绝对值符号，使得线段ＭＰ的值与坐标的正负是一致呢？怎样规定？
有向线段：规定了方向的线段.
注意：
1）与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负.
2）有向线段的书写: 有向线段的起点字母在前，终点字母在后面.
y C D 有向线段AB：方向A→B；记作AB x 值为正 A o B 有向线段BA：方向B→A ；记作 BA 值为负
y tan AT x
M O
A T

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r 10
x
当是第二象限角时，sin 3 10 , tan 3 10
三三角函数
角
函 y=sinx
数 y=cosx 的
定义
y=tanx
域
定义域
R
,
k
z
5 3
5 3
oyx知例
识1 ：运利
p
用用练习：定义：求7
求6
的三个三角函数值
的正
知识运用：
只要有坐标，就用定义。
例2. 已知角α的终边经过点P(-3,-4),求α的正弦、余弦和正切.
变式： (1)已知角的终边经过点P(5，－12)，求sin cos 的值
3，y) 为角的终边上的一点，且sin
）
13 13
则y
A. 1 2
B. 1 2
C. 1 2
B. 1 4
▪
2.已知角终边上一点p x,3 x 0 ，且 cos
sin , tan
10 x 10
，求
▪ 3．求下列各角的三个三角函数值：3
（1）0；（2）；
（3）2 ．
4.在ABC中，若 sinAcosB tanC 0 ，则 ABC （B）
任意角的三角函数
初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？
sin
a c
cos
b c
tan a
b
B
c
a
A
bC
怎样将锐角的三角函数推广到任意角？
在直角坐标系中，设α是一个任意角，始边与x轴的非负半轴
重合，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原
点的距离为 r r x2 y2，那么
y
y
sin r
的终边
cos
x r
P（x,y)
tan
y
x 0
O
M
x
答案
x
角的终边在第一象限上
思考：角的正弦，余弦，正切与P点在角的终边上的位置有关吗？为什么？
在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆
y
R=1
o
x
利用单位圆定义任意角的三角函数：
如图，设是任意一个角，他的终边与单位圆交于点 P（x,y)
则 r 1，所以
y叫做a的正弦，记作sin a , 即 sin a y
x叫做a的正弦，记作cos a ，即 cos a x
y 叫做a的正切，记作tan a，
y
x
即 tan a y x 0
x
P(x,y) r
O
x
图1
▪ 由于角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数。在弧度制下，三角函数的定义域如下：
（2）角α的终边落在y=-x(x＞0)上，求sinα的值
在各象限内的角的三种三角函数值的符号
y
O
x
正弦函数
y
O
x
余弦函数
y
O
x
正切函数
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
你能举出一些角度吗？判断他们的三角函数值符号。
变式：
当不等式组tsainn
0 成立时，判断角
0
所在象限角。
▪
1.已知 P( 值为（ A
A.锐角三角形 B.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形
C.直角三角形
总结归纳
▪ 本节课我们都学到了什么？
课后作业：教材15页2、3、5、6
解： r x2 9,cos x r
10 x x
10
x2 9
又x 0 ，则 x 1，所以 r 10 ，
又y=3>0，
所以是第一或第二象限角
当是第一象限角时，sin y 3 10 , tan y 3