工程力学课件(动能定理)

0
mg 2k
取弹簧自然位置O为弹性零势能点；水平位置为重力势能零点:
V
1 2
k 0
l 2
mg
l
2
1 2
k 2l 2
m2 g 2 8k
取杆平衡位置为零势能位置:
V
1 2
k
2
02
mgh
1 2
k
02
2 0l
2l 2
02
mg l
2
即 V 1 k 2l 2
2
质点系在势力场中运动,有势力功为
求:当A运动到O点时, A ？
解:取系统为研究对象,受力分析、运动分析如图
功
W
M
2mg(1
cos )
l 2
动能 T1 0
T2 TAB TOB
1 2
mvc2
1 2
J
C
2 AB
1 2
J
2
0 OB
图中C‘为AB杆的瞬心
ωAB
VB mg mg ωOB
M VA
图中C‘为AB杆的瞬心，当A到达O时,运动分析如图，注意到
即
W12
k 2
(12
22)
式中 1 r1 l0,2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
δw F dr Ftds Ft Rd
由 M z Ft R
得 w M zd 从角 1转动到角 2过程中力 F 的功为
W12
1 2
M
zd
若 M z 常量
则 W12 M z (2 1)
0.1112
§13-5 势力场.势能.机械能守恒定律
1.势力场
力场 F F x, y, z
势力场:场力的功只与力作用点的始、末位置有关,与路径
无关.
2.势能
V M0 F dr M
M0 M
Fxdx Fydy Fzdz
M 0称势能零点
（1）重力场中心势能
V
Z0 Z
mgdz
mg
T
1 2mi
vi
2
12mi 2ri2
12
2
mi ri 2
即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质 心转动的动能之和.
上面结论也适用于刚体的任意运动.
§13-3 动能定理
mvc2
1 2
J
C
2 AB
1 2
J 0O2B
M
2mg (1
cos )
l 2
即
1 2
m(
3 4
vA
)
2
1 2
(1 12
ml
2
)(
vA2 2l
)
2Leabharlann 1 2(1 3
ml
2
)(
v
2 A
2l
)2
M 2mg(1 cos ) l
2
ωAB
整理，得
1 3
mvA2
M
2mg(1
cos )
l 2
故
vA
3 (M 2mg (1 cos ) l ) Mmg mgωOB
z
z0
（2）弹性力场的势能
V
r0 F dr k
r
2
2
2 0
0 0为零势能点,则
V k2
2
注意：各有势力可有各自的零势能点
质点系的零势能位置是指各质点都处于其零势能点的一组位 置。
例:已知 均质杆l, m 弹簧强度 k, AB水平时平衡，
弹簧变形 0
求：系统的势能
由
MA(F) 0 得
写出系统的功和动能
ω2
vc
ω1
W12 M m2gSin·S
T1 0
T2
1 2
(m1R12 )12
1 2
m2c 2
1 2
(1 2
m2R22 )22
注意到：
1
C
R1
,2
C
R2
ω2
vc
ω1
由动能定理：
T2 T1 W12
M
m2 g
Sin
·S
C 2
4
(2m1
3m2
)
(a)
S
R1
C 2
(M m2gR1 Sin )S
等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。 当系统内包含发动机或变形元件（如弹簧、可伸长绳索等），
内力的功必须考虑。
例13-1 已知:m, h, k, 其它质量不计.
求: max
解:质点的运动在I位置和II位置时， 速度都是零。故有
T1 0, T2 0,
0
0
mg(h
max
)
k 2
2 max
在 1 70时静止释放，冲断试件后摆至 2 29
求:冲断试件需用的能量
解:系统仅受重力作用
T1 0,T2 0
0 0 mgl(1 cos1) mgl(1 cos2 ) Wk
得冲断试件需要的能量为
Wk 78.92J
例13-4 已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运 动, 摩擦系数f, 初静止
AB
B
l
,
OB
B
l
C
ABCC
3 2
l
AB
A AB·2l
由于欲求VA，
将所有运动量用v
表示：
A
AB
OB
vA 2l
vc
3 4 vA
由动能定理
W T2 T1
1 2
mvc2
1 2
J
C
2 AB
1 2
J 0O2B
M
2mg
(1
mg
cosM) l
mg
ωOB
2
ωAB VB
AB OB
VC VA
1 2
1、质点的动能定理
将 m d F 两端点乘 dr ,
dt
得 m d F dr 由于 m d d(1 m2 ), F dr w,
2
因此 d(1 m 2 ) w
2
上式称为质点动能定理的微分形式，即
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
d(1 m 2 ) w
2
积分之,有
1 2
m22
1 2
m12
W12
称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个 过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的 功.
2、质点系的动能定理
由
d
(1 2
mii 2
)
wi
求和
d ( 12mii2 ) wi
得 dT wi
称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增 量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和.
m
2
VB
AB OB
VC VA
§13-4 功率、功率方程、机械效率
1、功率：单位时间力所作的功称功率
P W
dt
WF由dr
, 得
P
F dr dt
F v
Ftv
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.
作用在转动刚体上的力的功率为
P
W
dt
Mz
d
dt
M z
单位W（瓦特）,1W=1J/S
2、功率方程
记 F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
则
W12
M2 M1
(Fxdx
Fydy
Fzdz)
几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系
Fy mg
W m g(z z )
12
i
i1
i2
由 mzC mi zi
得 W12 mg(zC1 zC2 )
dT
dt
n i 1
W2
dt
n i 1
Pi
称功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质
点系的所有力的功率的代数和.
dT dt
P输入
P有用 P无用
或
P输入
P有用
P无用
dT dt
3、机械效率
有效功率
P有效
P有用
dT dt
机械效率 P有效
P输入
多级转动系统 1,2 n
例13-7 已知: P输入 5.4kw, P无用 P输入 30%
max
mg k
1 k
m2g 2 2kmgh
mg Fk
（舍去了负值）
例13-2 已知：轮O 的R1 、m1 ,质量分布在轮缘上; 均质 轮C 的R2 、m2 纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度
解: 轮C与轮O共同作为一个质点系，进行受 力分析和运动分析。
第十三章 动 能 定理
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同， 动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅 在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通 机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立 了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量 —功之间的联系，这是一种能量传递的规律。
§13-1 力的功
常力在直线运动中的功
W F cos s F s
功是代数量 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m