高二数学排列课件3
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_6.2.2排列数 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
中有1 种不同方法，在第2类方案中有2 种不同方法，……，在第k类
方案中有 种不同方法，那么完成这件事共有 = 1 + 2 + 3 + ⋯
+ 种不同方法。
2.分步乘法计数原理:如果完成一件事情有k个步骤，做第1步有1 种不
同方法，做第2步有2 种不同方法，……， 做第k步有 种不同方法
=
!
(−)!
=
!
0!
. 0! = 1
问题5 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
百位
十位
个位
9种
8种
9种
分析: 在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在
任意数位上，所以0是一个特殊的元素，百位是一个特殊位置。
解法1: 如果优先考虑百位上的数字，可以分三步完成：
，那么完成这件事共有 = 1 2 3 ⋯ 种不同方法。
3.排列：从个不同的元素中取出( ≥ )个元素，并按一定的顺序
排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列
（arrangement）。
环节一、创设情境，铺垫方法
问题1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、
共有( − 1)( − 2) ⋯ ( − + 1)种排法。
小结: 从个不同的元素中取出( ≥ )个元素按一定的顺序
排成一列，所有不同排列的方法总数为( − 1)( − 2) ⋯ ( −
+ 1)，排列的方法总数也称为排列数，可以用排列的英文单
词arrangement的首字母A和、组合并标记为A
右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
左 右
解：完成这件事情可以分为两个步骤：
方案中有 种不同方法，那么完成这件事共有 = 1 + 2 + 3 + ⋯
+ 种不同方法。
2.分步乘法计数原理:如果完成一件事情有k个步骤，做第1步有1 种不
同方法，做第2步有2 种不同方法，……， 做第k步有 种不同方法
=
!
(−)!
=
!
0!
. 0! = 1
问题5 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
百位
十位
个位
9种
8种
9种
分析: 在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在
任意数位上，所以0是一个特殊的元素，百位是一个特殊位置。
解法1: 如果优先考虑百位上的数字，可以分三步完成：
，那么完成这件事共有 = 1 2 3 ⋯ 种不同方法。
3.排列：从个不同的元素中取出( ≥ )个元素，并按一定的顺序
排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列
（arrangement）。
环节一、创设情境，铺垫方法
问题1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、
共有( − 1)( − 2) ⋯ ( − + 1)种排法。
小结: 从个不同的元素中取出( ≥ )个元素按一定的顺序
排成一列，所有不同排列的方法总数为( − 1)( − 2) ⋯ ( −
+ 1)，排列的方法总数也称为排列数，可以用排列的英文单
词arrangement的首字母A和、组合并标记为A
右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
左 右
解：完成这件事情可以分为两个步骤：
高二数学人教A版选修4-5课件：3.3排序不等式
【例 1】 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商品中单价为 3 元，2 元和 1 元的礼 品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【解】 由题意可知，(a1，a2，a3)＝(2,4,5)，(b1，b2，b3) ＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；
花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．
规律技巧 利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应 的两个数组，并且要排列出大小顺序，这是解决问题的关键．
【变式训练 1】 设 a1，a2，a3 为正数，且 a1＋a2＋a3＝1， 求a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值．
a3 a1 a2
解 不妨设 a3>a1>a2>0，则a13<a11<a12， 所以 a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S＝aa1a33＋aa1a12＋aa3a22＝a1＋a2＋a3＝1， 顺序和 S′＝a1a2＋a2a3＋a3a1.
思考探究 使用排序不等式的关键是什么？ 提示 使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数 (或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
1．排序原理的本质含义 两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘 积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最 小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．
3.3 排序不等式
必修4-5
本节目标
1.了解排序不等式并理解乱序和、反序和、顺序和的概念． 2．掌握排序不等式的推导和证明过程． 3．会利用排序不等式解决简单的不等式问题.
预习反馈
1．已知 x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则 M 与 N 的大小关系是( )
排列组合 局部定序与相同元素消序、隔板法 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
①定序消序问题:
例题5：
（1）有5盘菜，张三，李四，王五各选一盘
有多少种选法？
或
��
分步计数原理：
第一步：先从5盘菜里面选3盘菜。
第二步：再把3盘菜分配给3个人。
总结：
局部元素定序的解决方法：
从n个不同元素中有顺序的选取m个元
素，其中有p个元素定好了顺序！计算
①标准隔板法（原球数不变隔板法）:
将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至
少有一个名额，则不同的名额分配方法共有
______________种（用数字作答）
此题解决方法采用标准隔板法：其思想是利
用①10个志愿者在中间腾出9个空，②再次
采用插空法9个空插3个隔板，一定会出现四
堆每堆一定至少1个。
（ C )种排法。
A ,1160
E . 1260
B .
1280
C. 1220
D.1240
步骤分析： 第一步：全部全排列
第二步：消序（有几组相
同元素 ， 就除以几组各自相同元素个数的全
排列）。我们把它叫做“密西西比法则”
②局部元素相同消序问题
例3如果把mississippi(密西西比）这
个单词打乱顺序进行随机排列，请问
球，投放方法有______种方法？
解题分析：第一步：选不放球的1个盒子。4个盒子中任选一个不放球方法
数为：C =4
第二步：题目转化为将10个球放入剩余3个不同盒子中，在采用标准
隔板法，从9个空隙中插2个隔板。C =36
高二数学排列组合概率PPT课件
轮船2
第1页/共64页
问题2 某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，从甲 地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。那 么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
B
a
甲
乙
A
丙
C
b
显然，从甲地经过乙地到丙地的不同走法，正好是完成两个 步骤的方法种数的乘积，即3×2=6（种）
第2页/共64页
由问题1可得 分类计数原理： 若完成一件事有n类办法，在第一类办法中有k1种
N=3×2=6
第6页/共64页
单击鼠标继续
1．在读书活动中，指定不同的政治书3本、文艺书5本、 科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同 的选法？
2．某班有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任选1 人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女三好 学生各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？
第8页/共64页
扩展：快速调整魔方
问题1 北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的飞机票？
这个问题，就是从3个民航站中，每次取出2个，按 照起点在前、终点在后的顺序排列，求一共有多少种不 同排法的问题。
起点站 北京 上海 广州
终点站
上海 广州
北京 广州
北京 上海
飞机票
北京→上海 北京→广州
N k1 k2 ... kn 种不同的方法。
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例题解析
例1 书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不 同的数学书，下层放有4本不同的外语书。求：
（1）从中任取1本，有多少种不同取法？ （2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种 不同的取法？
解 （1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法是从上层取
排列组合课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
典型例题
考点二 （部分相同元素的排列）
用分别写有字母a,b,e,e,r的五张卡片排成一排,有多少种排列方法?
a、b、e、e、r
a
e
r
b
e
a
e
r
b
e
A55 5 4 3 2 1
解： 2 =
=5 4 3 =60
A2
2 1
a
r
b
解：A53 =60
6.2.2排列数
典型例题
考点三 （圆环排列）
=4×3×2=24
6.2.2排列数
探究新知
思考： ， ，
是多少？
1. ：假定有排好顺序的2个空位
第1位
第2位
2.
：假定有排好顺序的个空位
第1位
第2位
第位
第3位
...
种
( − )种
= ( − )
同理： = ( − )( − ��)
B
C
D
E
6.2.2排列数
练习2
典型例题
3名男生和5名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
（3）全体站成一排，甲不站两端； 特殊位置、元素——优先
甲
1
2
3
4
5
解：
3（考虑特殊位置）
6
乙
7
丙
A
8
A72 A66 =7 6 6 5 4 3 2 1 =30240
B
C
D
（4）从1，2，3三个数中取2个数作商，求商的个数.
√
（5）学校有3个校门，从1个校门入校，另1个校门出校，出入方式多少种√
（6）平面上有3个不共线的点，这三个点可确定多少条直线？多少射线？
排列、排列数(第一课时)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
特别地，当m=n时，称为全排列 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一 个全排列. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n！表示，于是，n个元素 的全排列数公式可以写成_A__nn＝__n_！__=_n_×_(n_-_1_)_×_(n_-_2_)_×_··_·_···×3×2×1 .
例3 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1
盘菜，共有多少种不同的取法？
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选
一种，共有多少种不同的选法？
课本P16 例2
思考：这两个问题的区别在哪里？
分析：（1）可以看成一个排列. （2）不能看成一个排列。因为其元素可重复
6.2.1-6.2.2 排列与排列数（第一课时）
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学 参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
相同的元素改变了顺 序对研究的问题而言， 就是不同的结果
如图所示，共有6种不同的选法.
问题2 从１、２、３、４这四个数字中，取出3个数字排成一个三 位数，共可得多少个不同的三位数？
分析：
树形图：
１
４种 ３种 ２种
４× ３×２＝２４种
２
３
123、213是不同的。相 同的元素改变了顺序是 不同的结果
４
２３４ １３４ １２４ １２３ ３４ ２４２３ ３４ １４１３ ２４ １４１２ ２３ １３１？
将上述问题中被取出的对象叫做元素，那么 问题1可以叙述为：从3个不同的元素 a,b, c 中任意取出2个，并按 照一定的顺序排列，共有多少种不同的排列方法？ 问题2可以叙述为：从4个不同的元素 a,b,c, d 中任意取出3个，并 按照一定的顺序排列，共有多少种不同的排列方法？
2019高二数学人教A版选修4-5课件：3.3 排序不等式
又 x＋y＋z＝1，xy2＋yz2＋zx2≥1，且仅当 x＝y＝z＝13时，等号成立． 故 t＝xy2＋yz2＋zx2的最小值为 1.
典例精析
题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题
例 4 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min 和
30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条件下，
预习反馈
2.若 a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则 a1bj1＋a2bj2＋a3bj3 中最大值是 a1b1＋a2b2＋a3b3 (其中 j1，j2，j3 是 1,2,3 的任一排列)．( ) 3.若 a≥b，c≥d，则 ac＋bd≥ad＋bc.( ) 【答案】 2.√ 3.√
课堂探究
教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排
作业布置
同步练习：3.3排序不等式
归纳小结
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系 的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2) 若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据 具体环境分类讨论．
练一练
2．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an. 【证明】 不妨设 0＜a1≤a2≤…≤an，则 a21≤a22≤…≤a2n，a11≥a12≥…≥a1n. 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以 aa212＋aa223＋…＋aan2－n 1＋aa2n1≥a21·a11＋a22·a12＋…＋a2n·a1n，即aa122＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an.
典例精析
题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题
例 4 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min 和
30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条件下，
预习反馈
2.若 a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则 a1bj1＋a2bj2＋a3bj3 中最大值是 a1b1＋a2b2＋a3b3 (其中 j1，j2，j3 是 1,2,3 的任一排列)．( ) 3.若 a≥b，c≥d，则 ac＋bd≥ad＋bc.( ) 【答案】 2.√ 3.√
课堂探究
教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排
作业布置
同步练习：3.3排序不等式
归纳小结
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系 的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2) 若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据 具体环境分类讨论．
练一练
2．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an. 【证明】 不妨设 0＜a1≤a2≤…≤an，则 a21≤a22≤…≤a2n，a11≥a12≥…≥a1n. 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以 aa212＋aa223＋…＋aan2－n 1＋aa2n1≥a21·a11＋a22·a12＋…＋a2n·a1n，即aa122＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an.
排列组合的应用课件高二下学期数学人教A版选择性
插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元 素插空．
排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题方法．
思考：在生活中有哪些实例与计数问题有关？
实例 广场上的一个圆形花坛有五个区域，编号分别为1，2，3， 4，5，如右图. 现在有5种不同颜色的花可以用来布置花坛，为 了体现植物的多彩缤纷，相邻的区域要摆放不同颜色的花，且在 同一个区域内只能用一种颜色的花，绿化部门有什么种摆放方案？
A33 AB AB型
分类
BA型
BA
2×
C12
A
2 2
C12
A
2 2
AB AB
BA
优
限
BA
法
C12 A 22
AB 对称
BA
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？ 捆绑
插空
分步： 先排ABDE，最后排C.
A
2 2
A33
3
=36
__AB C EC D_C_ _C_E AB C D_C_
A14 A55 = 480
A32
A
4 4
=
144
A55
A
2 2
=
240
A33 A34 = 144
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？
×
（2）两边位置站男生； 男
（3）甲乙两人相邻；
（4）三名男生全不相邻.
× A14 A55 = 480
排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题方法．
思考：在生活中有哪些实例与计数问题有关？
实例 广场上的一个圆形花坛有五个区域，编号分别为1，2，3， 4，5，如右图. 现在有5种不同颜色的花可以用来布置花坛，为 了体现植物的多彩缤纷，相邻的区域要摆放不同颜色的花，且在 同一个区域内只能用一种颜色的花，绿化部门有什么种摆放方案？
A33 AB AB型
分类
BA型
BA
2×
C12
A
2 2
C12
A
2 2
AB AB
BA
优
限
BA
法
C12 A 22
AB 对称
BA
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？ 捆绑
插空
分步： 先排ABDE，最后排C.
A
2 2
A33
3
=36
__AB C EC D_C_ _C_E AB C D_C_
A14 A55 = 480
A32
A
4 4
=
144
A55
A
2 2
=
240
A33 A34 = 144
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？
例2 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且 产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？
×
（2）两边位置站男生； 男
（3）甲乙两人相邻；
（4）三名男生全不相邻.
× A14 A55 = 480
6.2.2 排列数(课件)高二数学(新教材人教A版选择性必修第三册)
十位数字和百位数字的排法种数有
A
2 4
种
，
故
奇
数
有
A
1 3
×A
2 4
＝
3×4×3＝36(个)．
3．用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数 位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________ 个． 144 解析：先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33 ＝144(个)．
() A．720
B．360
C．240
D．120
C 解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作 一人，与其余四人全排列共有 A55种排法，但甲、乙两人之间有 A22种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A55A22＝240(种)不同的排法．
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，一 般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个“大元 素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列． 2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也 就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
解：(1)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中 选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法， 因此共有 A25A66＝14 400(种)不同排法． 方法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排 法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A55＝14 400(种)不 同排法．
专题课排列组合综合应用课件高二下学期数学人教A版选择性
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
多少种不同的选法？ 方法一 直接分类（从元素考虑）
由图可知既会英语又会日语的有
7+3-9=1人，记为甲，只会英语6人，只会日语2人。
Ⅰ类：甲去教英语，有 N1 C12 2种方法； Ⅱ类：甲去教日语，有 N2 C16 6 种方法； Ⅲ类：甲未被选中，有 N3 C16C12 12 种方法； 由分类加法计数原理得 N N1 N2 N3 20
专题课 排列组合综合应用
排列组合题 型
有条件的抽（选）取问题 多面手问题 分组分配问题
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选.
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (2)至多有两名女生当选； 解 直接法（分类加法原理，从元素角度考虑）
Ⅰ类：0名女生当选，有 N1 C85 56 种方法； Ⅱ类：1名女生当选，有 N2 C15C84 350 种方法； Ⅲ类：2名女生当选，有 N3 C52C83 560 种方法； 由分类加法原理得 N N1 N2 N3 966
英语 日语 7人 3人
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
排列课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
所以共可得到24个不同的三位数.
同样，问题2可以归结为:
从4个不同的元素a, b, c, d中任意取出3个，并按照一定的顺序 排成一列，共有多少种不同的排列方法?
所有不同排列是 abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb
如果把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题１就可 以叙述为：
从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列， 一共有多少种不同的排列方法？
不同的排列是：ab，ac，ba，bc，ca，cb
不同的排列方法种数为：N=3×2=6.
课堂练习
问题2. 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可
例2 （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取 1盘菜，共有多少种不同的取法？
解： 可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学 乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，共有 5 x 4 x 3 = 60 种不同的取法.
（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种 ，共有多少种不同的选法？ 解： 可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选
解：①比3场结束，有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲6种情况；
②比4场结束，有甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙丙 甲乙，乙丙甲丙，乙甲丙甲，乙甲丙乙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙 甲丙，丙乙甲乙12种情况；
③比5场结束，有甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙 甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，丙甲乙丙 甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙共12种。
排列数(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第三册)
解析
若 1,3,5,7 的顺序不定，则 4 个数字有 A44＝24(种)排法，
1
故 1,3,5,7 的顺序一定的排法只占全排列种数的24.
1
故有24×A77＝210(个)七位数符合条件.
6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给
同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．
例如：A32 __________
3 2 6 .
A53 ______________
5 4 3 60 .
m
*
A
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1).
(
m
,
n
N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
例3
计算：（1）
（2）
（3）
（4） ×
解：根据排列数公式可得
（1） =7 x 6 x 5 = 210
（2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840
!
（3） =!=7 x 6 x 5 = 210
（4） × =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720
解析
5 张参观券全部分给 4 人，分给同一人的 2 张参观券连号，方法数为：1
和 2，2 和 3，3 和 4，4 和 5，四种连号，其他号码各为一组，分给 4 人，共有
若 1,3,5,7 的顺序不定，则 4 个数字有 A44＝24(种)排法，
1
故 1,3,5,7 的顺序一定的排法只占全排列种数的24.
1
故有24×A77＝210(个)七位数符合条件.
6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给
同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．
例如：A32 __________
3 2 6 .
A53 ______________
5 4 3 60 .
m
*
A
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1).
(
m
,
n
N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
例3
计算：（1）
（2）
（3）
（4） ×
解：根据排列数公式可得
（1） =7 x 6 x 5 = 210
（2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840
!
（3） =!=7 x 6 x 5 = 210
（4） × =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720
解析
5 张参观券全部分给 4 人，分给同一人的 2 张参观券连号，方法数为：1
和 2，2 和 3，3 和 4，4 和 5，四种连号，其他号码各为一组，分给 4 人，共有
排列数课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
“ ≤ 且， ∈ ∗ ”的运用.
练习
方法技巧：
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程要对排
列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活的运用如下变式：
①! = ( − 1)!
；②
=
−1
−1 ；③
∙ ! = ( + 1)! − !
(2)(方法一 间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的排法有A22 × A66 种,故甲、
乙不相邻的排法有A77 − A22 × A66 =3 600(种).
(方法二 插空法)将其余 5 人全排列,有A55 种排法,5 人之间及两端共有 6 个位
置,任选 2 个排甲、乙两人,有A26 种排法.故共有A55 × A26 =3 600(种)排法.
=
( − ) × ⋯ × 2 × 1
!
= − =
.
− ( − )！
6！
2！
.
新知探索
特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排
l
列.这时，排列数公式中 = ，即有 = × ( − 1) × ( − 2) × ⋯ × 3 × 3 × 1.
素中任取个元素的每一种排列对应的是什么事件.
(3)对于相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法.
[提醒]避免排列的重复和遗漏.
课堂小结
全排列：将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积.正整数1到
的连乘积，叫做的阶乘，用!表示.3.排列数公式：
∗
(1)乘积形式：
=
(
−
1)(
题型3
排列组合及二项式定理复习计数原理(课件)2022-2023学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
组合数性质：
C
m n
C nm n
C
m n
C
m n
1
Cm n1
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题主置最,排先然需分常,排后以先析用末排免安法也位首不排和是共位合特元最有共要殊素基_有求元_分本_的_素_析的_元,法方再素C是法处占31C解,理了若41 决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
高二下学期数学人教A版选修2-3第一章第二节排列数的基本性质课件
有什么关系？
思考3：(n-1)(n-2)…(n-m)用排列数符号如何表示？
它与
Am n
有什么关系？
Am n1
n
m n
Anm
思考3：(n-1)(n-2)…(n-m)用排列数符号如何表示？
它与
Am n
有什么关系？
Am n1
n
m n
Anm
思考4：考察恒等式n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=[(n-m)+m]
1
进一步用阶乘如何表示
Am n
？
思考3：将排列数公式变形为
Am n
(
n(n 1)(n n m)(n m
2)...2 1 1)...2
1
进一步用阶乘如何表示
Am n
？
Am n! n (n m)!
思考3：将排列数公式变形为
Am n
(
n(n 1)(n n m)(n m
2)...2 1 1)...2
2.由排列数公式可以派生出许多性质，反映了排列数 公式具有灵活多变的特点，通过对这些性质的探究，可以 提高思维的变通性，具体内容不要求记忆.
3.排列数有两个公式，求具体的排列数一般用定义公 式，分析排列数之间的关系一般用阶乘公式.
作业
《同步导练》第四课时
定的顺序排成一列. 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有
不同排列的个数.
2.排列数公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)...(n m 1) n
3.排列数公式源于分步乘法计数原理，对排列数 公式作进一步的变形与拓展，可以得出排列数的一些 基本性质.
探究（一）：阶乘的概念
(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n-m)+m(n-1)(n2)…(n-m+1)，用排列数表示可得什么结论？
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理第三节组合与组合数课件
相同点 不同点
从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象
与对象的顺序有关 （先选后排）
与对象的顺序无关 （只选不排）
2.组合数
从 n 个不同对象中取出 m（m≤n）个对象的所有组合 的个数，称为从 n 个不同对象中取出m个对象的组合数. 用符号 Cmn 表示.
组合数的计算：（排列 组合）
从n个不同对象中取出m个做排列，方法数为A
（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？
（可以从两个角度研究这个问题）
法1. “不取红球”，也就是 “取出的5个球均为白球”， 问题等同于“从7个不同白球中取出5个白球”， 仍是组合问题.
所以不同的取法有：C57
C72
76 21
21 种.
，， .
（（22））两当个上标的时和，等（于下3标）. ；如果不取红球，共有多少种不同的取法？
（连乘形式）
n!
（2） Cmn
A
m n
A
m m
n m!
m!
n!
n m!m!
（阶乘形式）
特殊组合数：
（1）当
m
0
时，C0n
n! n!0!
1（注意
0! 1）；
（2）当 m 1 时，C1n
n! n n 1 !1!
；
结合具体问题来直观解 释这3个组合数的含义.
（3）当 m
n
时，Cnn
n! 0!n!
876 3 21
56
适当运用组合数的性质， 可起到简化计算的效果
C85
87654 5 43 21
56
（2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？
因为红球只有1个，所以取出的红球已经确定下来， 只需再从剩余的7个白球中取出4个即可，
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终有一日，老井老了。老井老了，出水并不少，水的味道也还是那么甜美。可村子里新出现的压水井是那么便利，不用出家门，往压水井里倒点引水，压几下，水就汩汩地流出来了，谁还会跑那么 远去担水呢？没有谁，除了村里的一些老者。
后来又有了提水井，连引水都不用了，抓着木柄斜着往上一提，水就流出来了，更是方便快捷。再后来是抽水井，动动手，推推闸刀就可以了。至于现在，家家都用上了自来水，精Байду номын сангаас的水龙头轻轻 捻动，水就喷涌而出了。
老井自然慢慢也就无人问津了，井口长满了青苔和杂草，草长的很茂盛。井，就藏在草丛中，藏在村子的角落，藏在远去的时光中，它就像被村子集体给遗弃了一样，无人光顾，无人过问。
井口原先还用石板盖着，说是保护，说不定哪一天兴许还用的上。后来还盖着，说是怕不懂事的孩子在这儿玩掉进去。再后来，不知道什么时候就被填埋了，有一次我从那儿经过，只看见一个半人 深的圆坑。几年后再去，坑也没有了，它已经成了一户人家院子的一部分。
时日流逝，村里一番一番的孩子慢慢长大并学会了汲水和担水。平静的水面，随着水桶的起落，烂银子似地荡漾波光，村里的大街小巷留着担水时洒水的痕迹和欢笑。村子里时时能听到木桶击水或 者桶帮与井壁磕碰的声响。老井、清新甘美的井水，还有井边的许多故事都已经沁入体内，沁入村子的角角落落，老井也日复一日年复一年地无私养育着整个村子。球迷网
后来又有了提水井，连引水都不用了，抓着木柄斜着往上一提，水就流出来了，更是方便快捷。再后来是抽水井，动动手，推推闸刀就可以了。至于现在，家家都用上了自来水，精Байду номын сангаас的水龙头轻轻 捻动，水就喷涌而出了。
老井自然慢慢也就无人问津了，井口长满了青苔和杂草，草长的很茂盛。井，就藏在草丛中，藏在村子的角落，藏在远去的时光中，它就像被村子集体给遗弃了一样，无人光顾，无人过问。
井口原先还用石板盖着，说是保护，说不定哪一天兴许还用的上。后来还盖着，说是怕不懂事的孩子在这儿玩掉进去。再后来，不知道什么时候就被填埋了，有一次我从那儿经过，只看见一个半人 深的圆坑。几年后再去，坑也没有了，它已经成了一户人家院子的一部分。
时日流逝，村里一番一番的孩子慢慢长大并学会了汲水和担水。平静的水面，随着水桶的起落，烂银子似地荡漾波光，村里的大街小巷留着担水时洒水的痕迹和欢笑。村子里时时能听到木桶击水或 者桶帮与井壁磕碰的声响。老井、清新甘美的井水，还有井边的许多故事都已经沁入体内，沁入村子的角角落落，老井也日复一日年复一年地无私养育着整个村子。球迷网