热学-2-1(基础物理课堂讲稿下第四讲)

显然： 显然：
LN i ∑ N =1 Nhomakorabea归一化条件: 归一化条件
dN 重要！ 重要 ∫ N = 1 (重要！)
第二章 热平衡的统计分布律
速率分布函数 分布函数F(v) (重要 重要!!) 重要 ▲ 速率分布函数 温度为T的某热平衡态系统中有 个分子 其中速率 温度为 的某热平衡态系统中有N个分子，其中速率 的某热平衡态系统中有 个分子， 的分子数: 为v1~v1+dv1的分子数 dN1 ; 求均方速率 : v2~v2+dv2的分子数 dN2 的分子数: 求平均速率 : …
3k BT 3RT = m
T
定义：星球大气稳定系数 ： 定义：星球大气稳定系数K： K = ves = 2GM s ∝ 2
v 3 Rs RT
气体分子不会逃脱星球; 若 K>>1 时, 气体分子不会逃脱星球 气体分子会逃脱星球; 若 K≤1 时, 气体分子会逃脱星球 计算结果表明：火星表面仅有CO2的稀薄气体； 计算结果表明：火星表面仅有 的稀薄气体； 太阳系中其它行星无生命。 太阳系中其它行星无生命。
v =∫
∞ 0
R = 8.31J / K mol k B = 1.38 ×10 23 J / K
:
摩尔质量
vdN 8k B T RT = ∫ vf (v )dv = = 1.59 N πm
2 1/ 2
② 方均根速率 方均根速率：
∞ v dN v =∫ 0 N
2
= [ ∫ v f (v )dv ]
m C = 2πk T B
麦克斯韦速度分布函数为： 麦克斯韦速度分布函数为：
∴ f = Ce
λ v2
m = 2πk T e B
3 2 m v2 2kBT
麦克斯韦速率分布函数为： 麦克斯韦速率分布函数为：
∴
m F = 4πv f = 4πv 2πk T B
2 2
e
v =
2
∞<v x <∞ ∞<v y <∞ ∞<vz <∞
∫∫∫
v
2
dN(vx , v y , vz ) N
=
∞<v x <∞ ∞<v y <∞ ∞<vz <∞
v 2 f (vx , v y , vz )dvxdvydz ∫∫∫
第二章 热平衡的统计分布律
▲ 速率分布函数 速率分布函数F(v)和速度分布函数 f( v )的关系 和速度分布函数 的关系 在球坐标下： 在球坐标下：
2
3
m v2 2 k BT
(证毕 证毕) 证毕
第二章 热平衡的统计分布律
◆麦克斯韦速率分布律的实验检验(1955) 麦克斯韦速率分布律的实验检验
L Q t = = v ω
∴ 只有分子速率为： 只有分子速率为：
分子堆集层
分子源
ωi vi = L
附近的那些分子才能穿 过木槽而收集板上堆集。 过木槽而收集板上堆集。
分子束
温度T 温度
ω
速度选择器
显然堆集层越厚,在这个速度 显然堆集层越厚 在这个速度 范围内的分子就越多。 范围内的分子就越多。
Di Ni ∴ = = ωi D N
l
可测
ω
L
第二章 热平衡的统计分布律
◆ 麦克斯韦分布律的一些应用 (1) 分子速率的三种统计平均值 必记 分子速率的三种统计平均值(必记 必记!!!) 平均速率： ① 平均速率：
收集容器V 收集容器
第二章 热平衡的统计分布律
(3) 星体周围大气的稳定性
2GM s 物体逃逸出星球(R 需要的速率： 物体逃逸出星球 s,Ms)需要的速率： ves = 需要的速率 Rs
G:万有引力常数 Ms:星球质量 Rs: 星球半经 万有引力常数; 星球质量; 万有引力常数 星球质量 星球表层气体气分子的方均根速率为： 星球表层气体气分子的方均根速率为： v 2 =
∴ f (v + v + v ) = Ce
2 x 2 y 2 z
2 2 λ (vx +v2 +vz ) y
= Ce
λ v2
∞ π 2π ∞ dN λv 2 2 λv 2 2 ∫ N = ∫ fdvxdvydvz = ∫0 ∫0 ∫0 Ce v sinθddv = 4πC∫0 e v dv =1
1 2 1 ∞ π 2π 2 λv2 2 ε k = ∫ ( mv ) fdvxdvydvz = m∫ ∫ ∫ v Ce v sinθddv 2 2 0 0 0 ∞ 1 3 λv 4 = m4πC ∫ e v dv = kBT 0 2 2
第二章 热平衡的统计分布律
2 0
∞
1/ 2
=
3 k BT RT = 1.73 m
③ 最概然速率： 最概然速率：
f
RT 2 k BT vP = = 1.41 m
0
vP v
v2
v
第二章 热平衡的统计分布律
(2) 气体分子碰壁数 与泻流数率 effu 气体分子碰壁数Γ与泻流数率 与泻流数率Γ
(自证或参见教材 自证或参见教材p61-62) 自证或参见教材
m 2 2 mv 2 2 k BT dN = F (v )dv = 4π dv 2πk T v e N B
3
dN 证明如下： 设： 证明如下： = fdv x dv y dv z , N
而 v x , v y , v z 独立
∴ fdvxdvydvz =ψ (vx )ψ (v y )ψ (vz )dvxdvydvz
但 dV = dxdydz 宏观小、微观大 宏观小、 2. 碰撞频繁 ~1010 次/s, 碰撞时间 碰撞频繁. 碰撞时间~10-13 s 两次碰撞间经历的路程~10-7 m, 速率 速率~500m/s 两次碰撞间经历的路程 碰撞可传递动量和能量， ∴ 碰撞可传递动量和能量，使系统稳定 微观复杂， ∴ 微观复杂，宏观稳定
Nf ( v ) dv : 表示分布在 v1～ v 2 内的分子数 .
∞ ∞1 dN ε = ∫ mv 2 f (v )dv : 表示分子的平均平动能. 0 2 N
⑤ ε =∫
0
第二章 热平衡的统计分布律
§2.2 麦克斯韦分布律与麦克斯韦-玻耳兹曼分布律 麦克斯韦分布律与麦克斯韦◆麦克斯韦速率分布律 (1859)
dN 表示分布在v~v+dv内的分子数占总分子的概 ② f (v)dv = : 表示分布在 内的分子数占总分子的概 N 率 ∞ ∞ dN 归一化性) 归一化性 ∫0 f (v)dv = ∫0 = 1 (归一化性
N
③ Nf (v )dv = dN : 分布在 v～v + dv 内的分子数.
④
∫
v2
v1
dN (v x , v y , v z ) N
稳定分布
v 3 = f (v x , v y , v z )dv x dv y dv z = f (v )d v
f (v x , v y , v z ) =
dN (v x , v y , v z ) Ndv x dv y dv z
为速度分布函数
求均方速率 :
2
利用数学公式： 利用数学公式：
(见教材 见教材p228) 见教材
∫
∞
0
e
λv 2
1 v dv = 4
2
π , 3 λ
∫
∞
0
e
λv 2
3 v dv = 8
4
π λ5
第二章 热平衡的统计分布律
4πC
1 π =1 3 4 λ
λ=
m 2 k BT
3 2
1 3 π 3 m4πC = k BT 5 2 8 λ 2
第二章 热平衡的统计分布律
经碰撞后达到平衡态的微观图象: 经碰撞后达到平衡态的微观图象
T 3.大量分子服从统计规律. 3.大量分子服从统计规律. 大量分子服从统计规律
T 以校中门过往学生数为例
统计规律: 大量个别、偶然事件集体、 统计规律: 大量个别、偶然事件集体、必然规律 研究目标： 研究目标：平衡态下微观粒子运动状态的统计分布规律 大量粒子微观量→统计平均方法 导出系统宏观量 大量粒子微观量 统计平均方法→导出系统宏观量 统计平均方法
2 v12dN1 + v2 dN2 +L v1dN1 + v2dN2 +L v2 = v= N N dNi dN1 dN2 解： , ,L ,L 稳定分布 很大时， 当N很大时， 很大时 N N N
稳定分布→不妨设： 稳定分布 不妨设： 不妨设
2 2 i
dN = F (v )dv N
称F(v)为速率分布函数 为速率分布函数
2
0 0 0 ∞ v 2 = ∫ v f (v ) 4πv dv = ∫ v 2 F (v )dv 2 0 0
v ∴ F (v ) = 4πv f (v )
2
第二章 热平衡的统计分布律
▲ 速率分布函数 速率分布函数f(v) 物理意义 必须理解 物理意义(必须理解 必须理解!!!)
① f (v ) = dN 表示分布在v附近单位速率间隔内的分子数 : 表示分布在 附近单位速率间隔内的分子数 Ndv 占总分子的概率即概率密度. 占总分子的概率即概率密度
又 f 应与 v x , v y , v z 坐标方向无关，故：
2 f = f (v x + v 2 + v z2 ) = ψ (v x )ψ (v y )ψ (v z ) y
取对数，分别对 v x , v y , vz 求导有：
第二章 热平衡的统计分布律
2 f ' (vx + v2 + vz2 ) y ' 1 ψ ' (vx ) 1 ψ (v y ) 1 ψ ' (vz ) = = = = λ 2 2 2 f (vx + v y + vz ) 2vx ψ (vx ) 2v y ψ (v y ) 2vz ψ (vz )