备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学(理)： 第14单元 计数原理与分布列 A卷
高考数学一轮复习单元能力提升训练：计数原理(含答案)
内蒙古大学附中2018版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升训练：计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )A ． 472B ． 252C ． 232D ． 484【答案】A2．现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、乙、丙都不再连任原职务．．．．．．．的方法种数为( ) A ．48 B ．30 C ．36 D ．32【答案】D3．现有男、女学生共7人，从男生中选1人，从女生中选2人分别参加数学、物理、化A ．男生4人，女生3人B ．男生3人，女生4人C ．男生2人，女生5人D ．男生5人，女生2人. 【答案】B4．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．40【答案】D5．八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个的连续的小球涂红色，则涂法共有( )A. 24种B. 30种C. 20种D. 36种【答案】A6．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是( )A ．−14B ．14C ．−28D ．28【答案】B7．有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一的书2本,则不同的选法有( )种A ．21B ．315C ． 143D ．153【答案】C8．9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有( )A ．60种B ．84种C ．120种D ．240种【答案】C9．某种实验中，先后要实施个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种【答案】C10．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种 B.18种 C.24种 D.36种【答案】A11．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有( )A ．15种B ．18种C ．19种D ．21种【答案】B12．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在5(23)x -的展开式中，各项系数的和为 ． [:数理化]【答案】1-14．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．【答案】26[:15．在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是【答案】-30[:16．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．【答案】108 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数： (1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.【答案】 (1)先排个位，再排首位，共有A 13·A 14·A 24=144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A 35个，以2或4结尾的四位偶数有A 12·A 14·A 24个，则共有A 35+A 12·A 14·A 24=156（个）.(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A 35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A 24个，3作千位，1作百位时有2A 13个，所以共有2A 35+3A 24+2A 13=162（个）.18．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？【答案】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A ，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B ，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为61312=⋅C C 种；第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为121314=⋅C C 种；第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为81214=⋅C C 种；第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为1224=A 种；由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38种。
高考数学一轮复习单元练习--计数原理
高考数学一轮复习单元练习--计数原理I 卷一、选择题1．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3 【答案】D2．由1，2，3，4，5，组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）A ．36B ． 32C ．28D ．24【答案】A3． 为虚数单位的二项展开式中第七项为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】C4．某建筑工地搭建的脚手架局部类似于的长方体,一建筑工人从沿脚手架到,则行走的最近线路有( )A ．种B ． 种C ． 种D ．种【答案】B 5．⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D6．某班准备从含甲、乙的名男生中选取人参加接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加,则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C7．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5 【答案】B8． 4名师范生分到两所学校实习，若甲、乙不在同一所学校，则不同的分法共有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种【答案】A9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )10(1)i -(i )120 i -210210-120 i 222⨯⨯A B 8090120180744100⨯720520600360BAA ．18B ．24C ．30D ．36 【答案】C10．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2n x 2n，则a 2＋a 4＋…＋a 2n 的值为( )A ．3n ＋12B ．3n －12C ．3n －2D ．3n【答案】B11．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6展开式的常数项是( )A ．160B ．20C ．－20D ．－160【答案】D12． (4x －2－x )6(x ∈R)展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20 【答案】CII卷二、填空题13．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【答案】63014．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________．【答案】－215．三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选正方体12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为________．【答案】2416．甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种．(用数字作答)【答案】72三、解答题17．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出． 【答案】(1) C 24＝60；(2)男、女同学分别至少有1名，共有3种情况：C 15C 34＋C 25C 24＋C 35C 14＝120；(3)120－(C 24＋C 14C 13＋C 23)＝99. 18．从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（用数字结尾）(1）甲、乙两人必须跑中间两棒；(2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； (3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒.【答案】（1）(2） (3） 19．用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.【答案】(1)先排个位，再排首位，共有A ·A ·A =144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A 个，以2或4结尾的四位偶数有A ·A ·A 个，则共有A + A ·A ·A =156（个）.(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A 个，3作千位，2、4、5作百位时有3A 个，3作千位，1作百位时有2A 个，所以共有2A +3A +2A =162（个）.20．如果⎝⎛⎭⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，求正整数n 的最小值．【答案】∵T r ＋1＝C rn (3x 2)n －r·⎝⎛⎭⎫－2x 3r＝(－1)r ·C r n ·3n －r·2r ·x2n －5r，∴若T r ＋1为常数项，必有2n －5r ＝0.∴n ＝5r 2，∵n 、r ∈N *，∴n 的最小值为5.21．已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56． (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．【答案】根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，25C 222660A A =113226480C C A =223263180A C A =1314243512142435121424352413352413即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.(1)令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72rx r2，r ≤7且r ∈N.于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ，T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3. 22．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的图案中的1,2,3,4,5,6,7所处的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，求不同的摆放方法．【答案】用间接法.7盆花在7个位置的全排列为A 77；3盆兰花在同一条直线上的排列方法有以下几类：在1,2,3，或1,4,7，或3,4,5，或5,6,7，或2,4,6，每一类的排列方法数都是A 33，4盆玫瑰花的排列方法有A 44种．故所求排列方法数共有A 77－5A 33A 44＝4320.。
2020届高三数学一轮复习强化训练精品――计数原理单元综合测试
2020届高三数学一轮复习强化训练精品――计数原理单元综合测试一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，那么不同的排法共有 种. 答案 242.直角坐标xOy 平面上，平行直线x =n (n =0,1,2,…,5)与平行直线y =n (n =0,1,2,…,5)组成的图形中，矩形共有 个. 答案 2253.二项式〔a +2b )n 中的第二项系数是8，那么它的第三项的二项式系数为 .答案 64.〔x +1〕15=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15，那么a 0+a 1+a 2+…+a 7= .答案 2145.〔2018·四川理〕从甲、乙等10名同学中选择4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，那么不同的选择方法共有 种.答案 1406.〔2018·常州模拟〕在〔1-x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数为 .答案 2077.〔1+3x 〕6(1+41x )10的展开式中的常数项为 . 答案 4 2468.〔2018·辽宁理〕一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分不照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，那么不同的安排方案共有 种.答案 369.甲、乙、丙三名同学在课余时刻负责一个运算机房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班两天，假如甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，那么能够排出不同的值班表有 种.答案 4210.假设〔1+x )n +1的展开式中含x n -1的系数为a n ，那么11a +21a +…+n a 1的值为 . 答案 12 n n 11.在〔x -x 21〕9的展开式中，x 3的系数为 〔用数字作答〕. 答案 -221 12.〔1+x 〕+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )8=a 0+a 1x +…+a 8x 8,那么a 1+a 2+a 3+…+a 8= .答案 50213.〔2018·陕西理，16〕某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分不由6名火炬手完成,假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，那么不同的传递方案共有 种.〔用数字作答〕答案 9614.〔ax -x 1〕8的展开式中x 2的系数是70，那么实数a 的值为 . 答案 ±1二、解答题〔本大题共6小题，共90分〕15.〔14分〕二次函数y =ax 2+bx +c 的系数a 、b 、c ，在集合{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，那么可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？解 由图形特点分析，a ＞0,开口向上，坐标原点在内部⇔f (0)=c ＜0;a ＜0,开口向下，原点在内部⇔f (0)=c ＞0, 因此，关于抛物线y =ax 2+bx +c 来讲，原点在其内部⇔af (0)=ac ＜0,那么确定抛物线时，可先定一正一负的a 和c ,再确定b ,故满足题设的抛物线共有C 13C 14A 22A 16=144〔条〕. 16.〔14分〕五位老师和五名学生站成一排：〔1〕五名学生必须排在一起共有多少种排法？〔2〕五名学生不能相邻共有多少种排法？〔3〕老师和学生相间隔共有多少种排法？解 〔1〕捆绑法共有A 66·A 55=86 400种排法.〔2〕插空法共有A 55·A 56=86 400种排法.〔3〕排列方式只能有两类，如下图：○□○□○□○□○□□○□○□○□○□○(用□表示老师所在位置，用○表示学生所在位置〕故有2A 55·A 55=28 800种排法.17.〔14分〕在n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式中，第6项为常数项. 〔1〕求n ;(2)求含x 2的项的系数；〔3〕求展开式中所有的有理项.解 〔1〕通项公式为T r +1=C r n x 3r n -r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 3r- =C r n r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 32r n -,因为第6项为常数项，因此r =5时， 有32r n -=0，即n =10. 〔2〕令32r n -=2,得r =21(n -6)=2, ∴所求的系数为C 210221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=445.(3)依照通项公式，由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤∈-Z 100Z3210r r r 令3210r -=k (k ∈Z )，那么10-2r =3k ,即r =5-23k , ∵r ∈Z ,∴k 应为偶数.∴k 可取2,0,-2,即r 可取2,5,8.因此第3项，第6项与第9项为有理项，它们分不为T 3=2445x ，T 6=863，T 9=225645-x . 18.〔16分〕4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球.〔1〕假设取出的红球的个数许多于白球的个数，那么有多少种不同的取法？〔2〕取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，假设取出4个球总分许多于5分，那么有多少种不同的取法？ 解 〔1〕依题意可知，取出的4个球中至少有2个红球，可分为三类：①全取出红球，有C 44种不同的取法；②取出的4个球中有3个红球1个白球，有C 34×C 16种取法；③取出的4个球中有2个红球2个白球，有C 24×C 26种不同的取法.由分类计数原理知，共有C 44+C 34×C 16+ C 24×C 26=115种不同的取法.〔2〕依题意知，取出的4个球中至少要有1个红球，从红白10个球中取出4个球，有C 410种不同的取法，而全是白球的取法有C 46种，从而满足题意的取法有：C 410-C 46=195〔种〕.19.〔16分〕〔a 2+1〕n 展开式中的各项系数之和等于〔516x 2+x1〕5的展开式的常数项，而〔a 2+1〕n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值〔a ∈R 〕.解 〔516x 2+x 1〕5的通项公式为 T r +1=C r 5r x -⎪⎭⎫ ⎝⎛52516·r x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1=C r 5·r -⎪⎭⎫ ⎝⎛5516·x 2520r -令20-5r =0，那么r =4，∴常数项为T 5=C 45×516=16. 又〔a 2+1〕n 展开式的各项系数之和为2n ，依题意得2n =16，n =4，由二项式系数的性质知〔a 2+1〕4展开式中系数最大的项是中间项T 3，因此C 24〔a 2〕2=54，即a 4=9，因此a =±3.20.(16分〕设〔2-3x 〕100=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 100x 100，求以下各式的值：〔1〕a 0;(2)a 1+a 2+…+a 100;(3)a 1+a 3+a 5+…+a 99;(4)(a 0+a 2+…+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2.解 〔1〕由〔2-3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100, 即a 0=2100，或令x =0，那么展开式可化为a 0=2100.〔2〕令x =1,可得a 0+a 1+a 2+…+a 100=(2-3)100.① ∴a 1+a 2+…+a 100=(2-3)100-2100.(3)令x =-1可得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 100=(2+3)100. ② 与x =1所得到的①联立相减可得，a 1+a 3+…+a 99=2)32()32(100100+--. (4)原式=［〔a 0+a 2+…+a 100〕+(a 1+a 3+…+a 99)］×［(a 0+a 2+…+a 100)-(a 1+a 3+…+a 99)］ =(a 0+a 1+a 2+…+a 100)(a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 98-a 99+a 100) =(2-3)100·〔2+3〕100=1.。
2020年高三数学复习 单元检测卷十 计数原理
单元检测卷十 计数原理(B)考生注意：1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．2．本次考试时间45分钟，满分80分． 3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．7 2．在某次运动会中，要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种 3．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )A ．800B ．5 400C ．4 320D ．3 600 4．甲组有5名男同学，3名女同学，乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种 5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48 6.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 7．从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种作物不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有( )A ．C 210A 48种B ．C 18A 59种 C ．C 19A 59种D ．C 18A 58种8．5名男生与2名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻，那么符合条件的排法共有( )A ．48种B ．192种C ．240种D ．288种9．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8等于( ) A ．－180 B ．180 C ．45 D ．－45 10.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25展开式中x 2的系数为( ) A ．120 B ．80 C ．20 D ．45 11．(1－x )(1＋x )5展开式中x 2项的系数是( )A ．4B ．5C ．8D ．12 12.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同的颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有( )A ．144种B ．216种C ．264种D ．360种 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 14．在(x －2)5(2＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数为________．15．若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为________．16．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科，3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有________种．参考答案1.答案 A解析 根据题意，若A 5m ＝2A 3m ，则有m (m －1)(m －2)(m －3)(m －4)＝2×m (m －1)(m －2)， 即(m －3)(m －4)＝2， 解得m ＝5. 2.答案 A解析 分两类：若小张或小赵入选，则有选法C 12C 12A 33＝24(种)；若小张、小赵都入选，则有选法A 22A 23＝12(种)，共有选法36种．3.答案 D解析 先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有A 55种排法，再从5个节目的6个空中隔空插入两个不同的舞蹈节目有A 26种排法，∴共有A 55·A 26＝3 600(种)排法，故选D.4.答案 D解析 分两类：(1) 甲组中选出一名女生有C 15C 13C 26＝225(种)选法； (2)乙组中选出一名女生有C 25C 16C 12＝120(种)选法．共有345种选法．故选D.5.答案 A解析 方法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C 12·C 34＋C 22·C 24＝14.故选A.方法二 从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种， 故至少有1名女生的选派方案种数为C 46－C 44＝15－1＝14.故选A.6.答案 C解析 因为展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ·⎝⎛⎭⎫－2x 3k ＝(－2)k C k 5x 10－5k，令10－5k ＝0，解得k ＝2，所以⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为(－2)2C 25＝40，故选C. 7.答案 B解析 因为甲乙两种种子不能放入第1号瓶内，所以1号瓶要从另外的8种种子中选一个展出，有C 18种结果，因为后面的问题是从9种不同的作物种子中选出5种放入5个不同的瓶子中展出， 实际上是从9个元素中选5个排列，共有A 59种结果，根据分步乘法计数原理知共有C 18A 59种结果，故选B.8.答案 B解析 甲站好中间的位置，两名女生必须相邻，有四种选法，两个女生可以交换位置，剩下的四个男生站在剩下的四个位置，有4！种排法，所以2×4×4！＝192(种)．故选B. 9.答案 B解析 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.10.答案 A解析 原式可化为⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25，其展开式中可出现x 2项的只有C 35⎝⎛⎭⎫x ＋1x 223与C 15⎝⎛⎭⎫x ＋1x 421两项，所以其展开式中x 2项分别为C 35C 02x 2⎝⎛⎭⎫1x 023＝80x 2，C 15C 14x 3·⎝⎛⎭⎫1x 121＝40x 2，则x 2项为120x 2. 11.答案 B解析 (1－x )(1＋x )5＝(1－x )(1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5)，其中可以出现x 2项的有1×10x 2和－x ×5x ，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x 2项的系数是10－5＝5， 故选B. 12.答案 B解析 由题意，4种颜色都用到，先给A ，B ，C 三点涂色，有A 34种涂法，再给D ，E ，F 涂色，因为D ，E ，F 中必有一点用到第4种颜色，有C 13种涂法，所以另外两点用到A ，B ，C 三点所用颜色中的两种，有C 23种涂法，由分步乘法计数原理得A 34C 13C 23＝216(种)．答案 3613.解析 可分两步解决．第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：①先选学习委员有4种选法，②选体育委员有3种选法． 由分步乘法计数原理可得， 不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 14.答案 480解析 (x －2)5(2＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数为C 25·(－2)2·C 24·()22＝480. 15.答案 240解析 由已知得到2n ＝64，所以n ＝6，所以展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6(－2)k x 12－3k， 令12－3k ＝0，得到k ＝4，所以展开式中的常数项为T 5＝C 46(－2)4＝240.16.答案 10解析选择两门理科学科，一门文科学科，有C23C13＝9(种)；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．。
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题12《计数原理、排列组合》
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题12《计数原理、排列组合》【题型一】、分类计数原理【题型二】、分步计数原理【题型三】、排列数、组合数计算【题型四】、排列组合常见问题及解法一、分析题意明确是分类问题还是分步问题，是排列还是组合问题二、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑三、捆绑与插空四、间接法五、隔板法六、定序问题七、排列组合综合应用【题型一】、分类计数原理【例1】某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）A.5B.6C.7D.8【思路点拨】采用列举法分类讨论。
【解析】买软件3个和元件买2个共需要320元，还剩180元可以自由支配。
下面考虑这180元的使用：1类：只再买0个软件，剩下的180元可以不买元件或买1个元件或买2个元件，共3种方法；2类：只再买1个软件，剩下的120元可以不买元件或买1个元件，共2种方法；3类：只再买2个软件，剩下的60元不可以买元件，共1种方法；4类：只再买3个软件，剩下的0元不可以买元件，共1种方法；故不同的方法共有2+1+1+3=7种。
【总结升华】选择恰当的分类标准，作到不重不漏。
本题也可以用线形规划的整数解的方法解决。
【变式训练】：【变式1】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【答案】按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.【变式2】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。
【答案】条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
高考理科数学专题练习十四《计数原理》
专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、考点45 中难某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( )A.715B.815C.115D.4152、考点45 中难某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( )A. 11 26B. 9 26C. 11 52D. 9 523、考点45 中难某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204、考点45 中难一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6B.12C.36D.725、考点45 中难某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )A.360种B.432种C.456种D.480种 6、考点45 难2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( )A.5040B.4800C.3720D.4920 7、考点46 易24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．248、考点46 易 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则=8a （ ）A.-180B.180C.45D.-45 9、考点46 易9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）A ．-1B ．1C ．-512D ．51210、考点46 中难已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-111、考点46 中难在二项式1121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,系数最大的项为( )A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项 12、考点46 中难332除以9的余数是( )A.1B.2C.4D.8第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高考数学一轮复习单元检测十计数原理A小题卷单元检测理含解析
单元检测十计数原理(A)(小题卷)考生注意：1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．2．本次考试时间45分钟，满分80分．3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能被选聘上)，则不同的选聘方法的种数为( )A．60B．36C．24D．42答案 A解析当4名大学毕业生都被聘上时，则有C24A33＝6×6＝36(种)不同的选聘方法；当4名大学毕业生有3名被选聘上时，则有A34＝24(种)不同的选聘方法．由分类加法计数原理，可得不同的选聘方法种数为36＋24＝60，故选A.2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字，且大于3000的四位数，这样的四位数有( ) A．250个B．249个C．48个D．24个答案 C解析先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类加法计数原理，可得满足题设条件的四位数共有A34＋A34＝2A34＝2×4×3×2＝48(个)，故选C.3．有四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则比赛中可能出现的最少的平局场数是( )A．0B．1C．2D．3答案 B解析四支队得分总和最多为3×6＝18，若没有平局，又没有全胜的队，则四支队的得分只可能有6,3,0三种选择，必有两队得分相同，与四队得分各不相同矛盾，所以最少平局场数是1，如四队得分为7,6,3,1时符合题意，故选B.4．某班上午有5节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各1节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是( ) A．16B．24C．8D．12答案 A解析根据题意分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排在第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课法的种数是2×2×4＝16，故选A.5．8名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场)，规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是( ) A．14B．13C．12D．11答案 C解析由题意可知8名选手所得分数从高到低为14,12,10,8,6,4,2,0时，满足第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是12.6．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的两会宣传片，1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且两会宣传片与公益广告不能连续播放，2个两会宣传片也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是( )A．48B．98C．108D．120答案 C解析首选排列3个商业广告，有A33种结果，再在3个商业广告形成的4个空中排入另外3个广告，注意最后一个位置的特殊性，共有C13A23种结果，故不同的播放方式的种数为A33C13A23＝108.7．C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为( )A．C321B．C320C．C420D．C421答案 D解析C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝C15＋C25＋C36＋…＋C1720＝C26＋C36＋…＋C1720＝…＝C1721＝C421，故选D.8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝270，则a等于( )A．3B．2C．1D．－1答案 A解析二项式(a－x)5展开式的通项公式为T k＋1＝C k5a5－k(－x)k，其中T3＝C25a3(－x)2＝10a3x2，所以a2＝10a3＝270，解得a＝3.9．在(1＋x－x2)10的展开式中，x3的系数为( )A．10B．30C．45D．210答案 B解析(1＋x－x2)10表示10个1＋x－x2相乘，x3的组成可分为3个x或1个x2,1个x组成，故展开式中x3的系数为C310＋(－1)·C110·C19＝120－90＝30，故选B.10．某班班会准备从包含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言的顺序不能相邻，那么不同发言顺序的种数为( ) A．720B．520C．600D．360答案 C解析分两种情况讨论：若甲、乙2人只有1人参加，有C12C35A44＝480(种)情况；若甲、乙2人都参加且发言的顺序不相邻，有C22C25A22A23＝120(种)情况，则不同发言顺序的种数为480＋120＝600.11．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合A中满足条件“x21＋x22＋x23＋x24≤4”的元素个数为( )A．60B．65C．80D．81答案 D解析由题意可得x21＋x22＋x23＋x24≤4成立，需要分五种情况讨论：①当x21＋x22＋x23＋x24＝0时，只有1种情况，即x1＝x2＝x3＝x4＝0；②当x21＋x22＋x23＋x24＝1时，即x1＝±1，x2＝x3＝x4＝0，有2C14＝8种；③当x21＋x22＋x23＋x24＝2时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝x4＝0，有4C24＝24种；④当x21＋x22＋x23＋x24＝3时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝0，有8C34＝32种；⑤当x21＋x22＋x23＋x24＝4时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝±1，有16种，综合以上五种情况，则总共有81种，故选D.12．已知关于x的等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)→(b1，b2，b3，b4)，则f(4,3,2,1)等于( ) A．(1,2,3,4) B．(0,3,4,0)C．(0，－3,4，－1) D．(－1,0,2，－2)答案 C解析因为x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝[(x＋1)－1]4＋a1[(x＋1)－1]3＋a2[(x＋1)－1]2＋a3[(x＋1)－1]＋a4，所以f(4,3,2,1)＝[(x＋1)－1]4＋4[(x＋1)－1]3＋3[(x＋1)－1]2＋2[(x＋1)－1]＋1，所以b1＝C14(－1)＋4C03＝0，b2＝C24(－1)2＋4C13(－1)＋3C02＝－3，b3＝C34(－1)3＋4C23(－1)2＋3C12(－1)＋2＝4，b4＝C44(－1)4＋4C33(－1)3＋3C22(－1)2＋2(－1)＋1＝－1，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若C2n A22＝42，则n！3！(n－3)！＝________. 答案35解析 由n (n －1)2×2＝42，解得n ＝7，所以n ！3！(n －3)！＝7！3！4！＝35. 14．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市某农业经济部门决定派出5位相关专家对3个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣1位专家，其中甲、乙两位专家需要被派遣至同一地区，则不同派遣方案的种数为________．(用数字作答)答案 36解析 由题意可知，可分为两类，第一类：甲、乙在同一个地区时，剩余的3人分为2组，将3组派遣到3个地区，共有C 23A 33＝18(种)不同派遣方式；第二类：甲、乙和剩余的3人中的1人在同一个地区，另外2人分别在两个地区，共有C 13A 33＝18(种)不同的派遣方式．由分类加法计数原理可得不同的派遣方式共有18＋18＝36(种)．15．在(x －2y )(2x ＋y )5的展开式中，x 2y 4的系数为________．答案 －70解析 (2x ＋y )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k y k ，令5－k ＝1，得k ＝4，令5－k ＝2，得k ＝3，所以(x －2y )(2x ＋y )5的展开式中，x 2y 4的系数为C 45×2－2C 35×22＝－70.16．若(x －1)5－2x 4＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋a 4(x －2)4＋a 5(x －2)5，则a 2＝________.答案 －38解析 令x －2＝t ，则x ＝t ＋2.由条件可得(t ＋1)5－2(t ＋2)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，故t 2的系数为C 35－2C 24×22＝－38，即a 2＝－38.。
高考数学一轮复习分类加法计数原理专题检测(带答案)
高考数学一轮复习分类加法计数原理专题检测（带答案）完成一件事，有n类方法，在第1类方法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法‥‥‥，在第n类方法中有mn种不同的方法，以下是分类加法计数原理专题检测，请考生及时练习。
一、选择题1.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，那么不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种解析先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B 有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4321=24种涂法;二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有432=24种，D只需不与C同色即可，故D 有2种涂法.故不同的涂法共有24+242=72种.答案 A2.如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，假定相邻区域不能涂同一种颜色，那么不同的涂法共有().A.400种B.460种C.480种D.496种解析从A末尾，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，不同涂法有654(1+3)=480(种)，应选C.答案 C3.某省高中学校自实施素质教育以来，先生社团失掉迅猛开展，某校高一重生中的五名同窗计划参与春晖文学社、舞者轮滑俱乐部、篮球之家、围棋苑四个社团.假定每个社团至少有一名同窗参与，每名同窗至少参与一个社团且只能参与一个社团.且同窗甲不参与围棋苑，那么不同的参与方法的种数为().A.72B.108C.180D.216解析设五名同窗区分为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，假设甲不参与围棋苑，有以下两种状况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参与围棋苑，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有CA种方法，故共有CCA种参与方法;(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参与围棋苑，有C 种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参与方法;综合(1)(2)，共有CCA+CA=180种参与方法.答案 C.有4位教员在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教员不能在本班监考，那么监考的方法有()A.8种B.9种C.10种D.11种解析分四步完成，共有3311=9种.答案 B.从6人中选4人区分到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市旅游，要求每个城市有一人旅游，每人只旅游一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎旅游，那么不同的选择方案共有().A.300种B.240种C.144种D.96种解析甲、乙两人不去巴黎旅游状况较多，采用扫除法，契合条件的选择方案有CA-CA=240.答案 B.4位同窗从甲、乙、丙3门课程中选修1门，那么恰有2人选修课程甲的不同选法有().A.12种B.24种C.30种D.36种解析分三步，第一步先从4位同窗中选2人选修课程甲.共有C种不同选法，第二步给第3位同窗选课程，有2种选法.第三步给第4位同窗选课程，也有2种不同选法.故共有C22=24(种).答案 B二、填空题.将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的方式随机陈列，设Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的数，那么满足N1解析由数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA=60;剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA=4，由分步计数原理满足条件的陈列个数是240.答案 240.数字1,2,3，，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，那么一切填写空格的方法共有________种.解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只要两种不同的填法，关于它们的每一种填法，5只要两种填法.关于5的每一种填法，6、7、8只要3种不同的填法，由分步计数原理知共有223=12种填法.答案 12.假设把个位数是1，且恰有3个数字相反的四位数叫做好数，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有反双数字的四位数中，好数共有________个.解析当相反的数字不是1时，有C个;当相反的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理得共有好数C+CC=12个. 答案 12给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在一切不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如以下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种.(结果用数值表示)三、解答题.如下图三组平行线区分有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形?(2)共有多少个平行四边形?解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是逐一对应的，由分步计数原理知共可构成mnk个三角形. (2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是逐一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CC+CC+CC个平行四边形..设集合M={-3，-2，-1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，bM.(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限内的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?解 (1)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相反，由分步乘法计数原理得N=66=36(个).(2)分两步，第一步确定横坐标有3种，第二步确定纵坐标有2种，依据分步乘法计数原理得N=32=6个.(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有5种，依据分步乘法计数原理得N=65=30个..现布置一份5天的任务值班表，每天有一团体值班，共有5团体，每团体都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一团体值班，问此值班表共有多少种不同的排法?可将星期一、二、三、四、五分给5团体，相邻的数字不分给同一团体.星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法;星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法;星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法;同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有54444=1 280种不同的排法..集合A={a1，a2，a3，a4}，B={0,1,2,3}，f是从A到B的映射.(1)假定B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个?(2)假定B中的元素0必无原象，这样的f有多少个?(3)假定f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4，这样的f又有多少个?(1)显然对应是逐一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4321=24(个).(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法.所以不同的f共有34=81(个). (3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法;第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有CC=12种方法;第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有CC=6种方法;第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有CC=12种方法.所以不同的f共有1+12+6+12=31(个).分类加法计数原理专题检测及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝广阔考生可以考上理想的大学。
计数原理知识梳理-2024届高三数学一轮复习
计数原理知识梳理一、两个原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．推广：如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1＋m 2＋…＋m n ．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．推广：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…,做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1×m 2×…×m n ．(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； ②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复； ③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法． 5.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定． 6. 应用两种原理解题要注意 (1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏．7.与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. (2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．二、排列与组合 1.排列；如果与顺序无关，则是组合． 2.排列数、组合数的定义、公式、性质全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，全排列数公式：所有全排列的个数，即(1)(2)21!nn A n n n n =⨯-⨯-⋅⋅⋅⨯⨯=．3.排列、组合问题的求解常用方法与技巧解排列组合综合问题，先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，具体有下面几种常用方法： (1)特殊元素或特殊位置优先法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．优先安排．(2)相邻问题捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (3)相间问题插空法：对不相邻问题，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．(4)定序问题倍除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理． (6)分球问题隔板法：相同元素的分配问题常用“隔板法”,每组至少一个．(7) 分组分配问题的策略：对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．对于整体均分，分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！．(8)间接法：正难则反、等价转化的方法，比如“至少”或“至多”含有几个元素的题型． 三、二项式定理 1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝(n ∈N *)，等号右边的式子称为()na b +的二项展开式．(2)通项公式：T k ＋1＝ ，它表示第 项；注意：(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题． 2.二项展开式的特征：（1）二项展开式共有 项；（2）二项式系数依次为组合数012,,,,,,knn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3）各项次数都等于二项式的幂指数n ；（4）字母a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0开始按升幂排列到n ． 注意：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是特指相应的组合数C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关． 3.4.(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ .(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝ .5.求二项展开式中特定项(或系数)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k ；第三步，把k 代入通项中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 6.求三项展开式中某些特定项(或系数)的策略(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．7.二项式定理中的字母可取任意数或式，在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.8.二项展开式中系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，注意解出k 后要检验首末两项．。
专题14 计数原理(原卷版)-3年高考2年模拟1年原创备战2020高考精品系列之数学(理)
专题14计数原理考纲解读三年高考分析1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.3.二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.排列组合的运用和二项式定理是考查的重点，解题时常用到二项式展开式的通项公式，排列数和组合数的计算，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题为主，中等难度.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.1．【2019年新课标3理科04】（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（）A ．12B ．16C ．20D ．242．【2018年新课标3理科05】（x 2）5的展开式中x 4的系数为（）A ．10B ．20C ．40D ．803．【2017年新课标1理科06】（1）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（）A ．15B ．20C ．30D ．354．【2017年新课标2理科06】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种5．【2017年新课标3理科04】（x +y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．806．【2019年天津理科10】（2x）8的展开式中的常数项为．7．【2019年浙江13】在二项式（x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．8．【2018年江苏06】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．9．【2018年新课标1理科15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）10．【2018年浙江14】二项式（）8的展开式的常数项是．11．【2018年浙江16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）12．【2018年上海03】在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．13．【2018年天津理科10】在（x）5的展开式中，x2的系数为．14．【2017年浙江13】已知多项式（x+1）3（x+2）2＝x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4＝，a5＝．15．【2017年浙江16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）16．【2017年上海02】若排列数6×5×4，则m＝．17．【2017年天津理科14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）18．【2019年江苏24】设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．1．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查】若二项式6nx⎛-⎝的展开式中含有常数项，则n 的值可以是（）A ．8B ．9C ．10D ．112．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（）A ．20B ．15C ．10D ．53．【甘肃省天水市一中2019届高三下学期第五次模拟考试】中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（）A ．1818A 种B ．2020A 种C ．231031810A A A 种D ．218218A A 种4．【吉林省长春市2019届高三质量监测（四)】某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有（）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种5．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月)考试】某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生的性别相同的概率是（）A ．B ．C ．D ．6．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】安排3名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．240种B ．150种C ．125种D ．120种7．【山东省青岛市2019届高考模拟检测】的展开式中的系数是（）A ．10B ．4C ．-10D ．-48．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试】某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为()A ．10B ．12C ．16D ．209．【湖北省2019届高三4月份调研考试】甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（）A ．36种B ．30种C ．24种D ．12种10．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式2(*)nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（）A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟】在102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，6x 的系数等于_______.12．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二)】设20|sin |n x dx π=⎰在，则12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为______．13．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A 专业不能作为第一、第二志愿，则他共有______种不同的填法（用数字作答）．14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】若()()()()50251251111a x a x a x a x -+-+++++-= ，则2a =_________．15．【内蒙古2019届高三高考一模】“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的4个热点,则“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为______．16．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】12本相同的资料书配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共有_____种．17．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习】2019年3月2日，昌平“回天”地区开展了7种不同类型的“三月雷锋月,回天有我”社会服务活动.其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展，3种活动只在上午开展，2种活动只在下午开展.小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是___________.18．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】()5212x x +-展开式中的6x的系数为_______19．【浙江省台州市2018-2019学年高二下学期期末】已知(1)n x +的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．(Ⅰ)求n 的值和这两项的二项式系数；(Ⅱ)在342(1)(1)(1)n x x x +++++++ 的展开式中，求含2x 项的系数（结果用数字表示）．20．【新疆自治区北京大学附属中学新疆分校2018-2019学年高二下学期期中】六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在两端；（2）甲，乙必须相邻；（3）甲，乙不相邻.(4)甲，乙之间恰有两人1．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有m 种不同的选法；从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有n 种不同的选法，则m n +=_____．2．()()32131x x -+的展开式中4x 的系数是________3．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.4．记()()()()62601261111x a a x a x a x -=+++++++ ，则0246a a a a +++=_________5．一条街道上有10盏路灯，将路灯依次排列并编号1到10．有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯．则符合要求的开法总数______．。
备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学(理)： 第14单元 计数原理与分布列 B卷 含答案
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）．
14．将4位女生和4位男生分为两组参加不同的两个兴趣小组，一组3个男生1个女生，余下的组成另外一组，则不同的选法共有___种（用数字填写答案）．
（1）求 的值及频率分布直方图中的 值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取 人，求此 人都不能录取为专科的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取 名学生进行调研，
用 表示所抽取的 名学生中为自招的人数，求随机变量 的分布列和数学期望．
1．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（）种．
A． B． C． D．
2．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ）
备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学（理）： 第14单元 计数原理与分布列 B卷 含答案
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单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）
第14单元计数原理与分布列
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习单元质检卷十一 计数原理Word版含解析
单元质检卷十一计数原理(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.从6个盒子中选出3个来装东西,则甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A.16种B.18种C.22种D.37种2.(2018陕西延安6月模拟)展开式中含x2的项的系数为()A.120B.80C.20D.453. (2018辽宁沈阳质量监测一)若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置,则共有()种不同的站法.A.4B.8C.12D.244.在(x2+x+1)(x-1)6的展开式中,x4的系数是()A.-10B.-5C.5D.105.小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶,则小明取出啤酒的方式共有()A.18种B.27种C.37种D.212种6. (2018江西南昌模拟)某校毕业典礼由6个节目组成,为考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A.120种B.156种C.188种D.240种7.(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是()A.-4B.-2C.2D.48.(2018湖北宜昌考前训练) 若(5x+4)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)-(a1+a3)=()A.-1B.1C.2D.-29.(2018云南昆明模拟)从一颗骰子的六个面中任意选取三个面,其中只有两个面相邻的不同的选法共有( )A.20种B.16种C.12种D.8种10. (2018山东潍坊三模)若n=2x d x+1,则二项式的展开式中的常数项为()A. B.-C. D.-11.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A.50种B.51种C.140种D.141种12.(2018江西南昌二轮检测)甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择骑共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则他们坐车不同的搭配方式有()A.12种B.11种C.10种D.9种二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2018广东东莞考前冲刺)x+(2x-1)5的展开式的常数项为. (用数字作答)14.有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.15.(2018广东汕头5月冲刺)已知x+(2x-1)5展开式中的常数项为30,则实数a=.16.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播1个商业广告与2个不同的公益宣传广告,且要求2个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有种.参考答案单元质检卷十一计数原理1.A从6个盒子中选出3个来装东西,有种选法,甲、乙都未被选中的情况有种,所以甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有-=20-4=16种,故选A.2.A原式可化为:,其展开式中可出现x2项的只有23与21两项,所以其展开式中x2项分别为x223=80x2,x321=40x2,则含x2项的系数为120x2.故选A.3.B由不对号入座的结论可知,另三个人排队不对号入座的方法共有2种,据此结合分步乘法计数原理可知,满足题意的站法共有: 2×4=8种.故选B项.4.D x2x2(-1)4+x x3(-1)3+x4(-1)2=10x4,所以x4的系数为10,故选D.5.C由题意知,取出啤酒的方式有三类,第一类:取6次,每次取出4瓶,只有1种方式;第二类:取8次,每次取出3瓶,只有1种方式;第三类:取7次,3次都取4瓶和4次都取3瓶,取法为=35(种),共计37种取法,故选C.6.A根据题意,由于节目甲必须排在前三位,分3种情况讨论:①甲排在第一位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有4×2×6=48种编排方法;②甲排在第二位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有3×2×6=36种编排方法;③甲排在第三位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有3×2×6=36种编排方法.则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种.故选A.7.C(1+2)3的展开式中常数项是1,含x的项是(2)2=12x;1-5的展开式中常数项是1,含x的项是(-)3=-10x,故(1+2)3(1-)5的展开式中含x项的系数为1×(-10)+1×12=2.8.A∵(5x+4)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,令x=-1,则(-1)3=a0-a1+a2-a3,∴(a0+a2)-(a1+a3)=-1,故选A.9.C从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有=20种情况,其中有三个面彼此相邻的有8种情况,所以只有两个面相邻的不同的选法共有20-8=12种.故选C.10.A由题意n=2x d x+1=2×x2+1=10,即二项式为,则展开式的通项为T r+1=-=--,当r=8时,得到常数项为-=,故选A.11.D因为第一天和第七天吃的水果数相同,所以6次变化中“多一个”或“少一个”的天数必须相同,且“多一个”或“少一个”的天数可能是0,1,2,3,共4种情况,所以共有+++=141(种),故选D.12.B解法一:不对号入座的递推公式为:a1=0,a2=1,a n=(n-1)(a n-1+a n-2)(n≥3 ,据此可得:a3=2,a4=9,a5=44,即五个人不对号入座的方法为44种,由排列组合的对称性可知:若甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则坐车不同的搭配方式有=11种.故选B.解法二:设五位妈妈分别为ABCDE,五个小孩分别为abcde,对五个小孩进行排列后坐五位妈妈的车,由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,故排列的第五个位置一定是a,对其余的四个小孩进行排列:bcde,bced,bdce,bdec,becd,bedc;cbde,cbed,cdbe,cdeb,cebd,cedb;dbce,dbec,dcbe,dceb,debc,decb;ebcd,ebdc,ecbd,ecdb,edbc,edcb.共有24种排列方法,其中满足题意的排列方法为:bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,共有11种.故选B.13.30因为(2x-1)5的展开式中含x项的系数为21(-1)4=10 ,所以x+(2x-1)5的展开式的常数项为3×10=30.14.36从4名优秀学生中选出2名组成复合元素,共有种选法,再把3个元素(包含一个复合元素)保送到甲、乙、丙3所学校,有种方法.根据分步乘法计数原理知,不同的保送方案共有=36(种).15.3(2x-1)5= [(2x)5+…+(2x)(-1)4+(-1)5],∴展开式中的常数项为··2x=30,解得a=3,故答案为3.16.120由题意知,要在该时间段只保留其中的2个商业广告,有=20种情况,增播1个商业广告,利用插空法有3种情况,再在2个空中插入2个不同的公益宣传广告,共有2种情况.根据分步乘法计数原理知,共有20×3×2=120种播放顺序.。
2020届高考总复习单元滚动测试卷理科数学答案
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备战2020年高考数学一轮复习第14单元计数原理与分布列单元训练A卷理含解析
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第14单元 计数原理与分布列注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为（ ） A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种2．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A ．6B ．12C ．16D ．183．在521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（ ） A ．50- B ．30-C ．30D ．504．已知，若，则（ ）A ．1B ．1-C ．-81D ．815．已知随机变量服从正态分布，若，则为（ ）A ．0．7B ．0．5C ．0．4D ．0．356．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0．4，在第二个路口遇到红灯的概率为0．5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0．2．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ） A ．0．2B ．0．3C ．0．4D ．0．57．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动． 设所选3人中女生人数为，则数学期望（ ）A ．45B ．1C ．75D ．28．已知随机变量ξ的分布列如下，则E （ξ）的最大值是（ ）A ．58-B ．1564-C ．14-D ．1964-9．一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（ ） A ．37216B ．3772C ．29D ．22710．2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ） A ．144种B ．24种C ．12种D ．6种11．若0a >，0b >，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分02d 2d abx x x x +⎰⎰的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．济南市某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为，现有甲、乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点下车是等可能的．则甲、乙此卷只装订不密封班级 姓名准考证号 考场号 座位号两人不在同一站点下车的概率为（ ）A ．23B ．34C ．35D ．12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．“五一”小长假快到了，某单位安排甲、乙、丙、丁四人于5月1日至5月4日值班，一人一天，甲的值班只能安排在5月1日或5月4日且甲、乙的值班日期不能相邻的排法有______种． 14．平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上．如果任取3点作为顶点作三角形， 那么一共可作_________个三角形．（结果用数值表示） 15．已知二项式62a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭展开式中含3x 项的系数为160，则实数a 的值为_____． 16．若9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，当5126a =时，实数a 的值为________三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）5名男生3名女生参加升旗仪式：（1）站两横排，3名女生站前排，5名男生站后排有多少种站法？（2）站两纵列，每列4人，每列都有女生且女生站在男生前面，有多少种排列方法？18．（12分）已知在n的展开式中，第6项为常数项． （1）求n ；（2）求含2x 的项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．19．（12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”．为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名．（1）求频数分布表中x，y的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%．若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X，求X的分布列及数学期望．注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息．20．（12分）在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．（1）若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；（2）设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．21．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果3n =，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n =，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．22．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,,,,A B B C C D D E +++八个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3 %, 7 %, 16 %，24 %, 24 %, 16 %，7 %, 3 %．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70]，[51,60],[41,50]，[31,40],[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校2017级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A 的学生原始成绩统计如下（1）从物理成绩获得等级A 的学生中任取3名，求恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率； （2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到1名同学的物理高考成绩等级为B +或A 结束(最多抽取1000人)，设抽取的学生个数为ζ，求随机变量ζ的数学期望(注：1000460.9 1.710-≈⨯)．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第14单元 计数原理与分布列 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】采用插空法可得安排方法有323461272A A =⨯=种，本题正确选项C ．2．【答案】B【解析】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住b ，c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B ． 3．【答案】B【解析】521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式21x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选x -，其余的3个因式都选1，相乘可得含2x 的项； 或者有3个因式选x -，有1个因式选1x，1个因式选1，相乘可得含2x 的项， 故2x 项的系数为()231552230C C C +-⋅⋅=-，故选B ． 4．【答案】B 【解析】令，得；令，得，所以，即，令，得．故选B ．5．【答案】C 【解析】因为，所以2642μ+==， 所以11(24)(2)0.10.422P P ξξ≤<=-<=-=，故选C ．6．【答案】D【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C ， 则()0.4P A =，()0.5P B =，()0.2P AB =，()0.2(|)0.5()0.4P AB P B A P A ===， 故选D ．7．【答案】B【解析】因为，所以()3436105C P C ξ===，()214236315C C P C ξ===，()124236125C C P C ξ===，因此1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=，故选B ． 8．【答案】B【解析】根据分布列的性质的到，所有的概率和为1，且每个概率都介于0和1之间，得到0b a -=，0，根据公式得到()111114444E a b b b ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得到()21144E b b ξ=-+-， 根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到1564-． 此时18b =，经检验适合题意．故答案为B ． 9．【答案】A【解析】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白）， 其中（白黑黑白）的取法种数为22212433327⨯⨯⨯=， （黑黑白白）的取法种数为22211444324⨯⨯⨯=， （黑白黑白）的取法种数为22211443318⨯⨯⨯=， 综上共有21137272418216++=，故选A ．10．【答案】D【解析】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有22A 2=种安排方法，其他两名运动员有22A 2=种安排方法，共计2×2＝4种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有22A 2=种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4+2＝6种不同的安排方法，故选D ． 11．【答案】C【解析】二项式6()ax b +的展开式的通项为6616C rrr rr T ab x--+=，当63,3r r -==时，二次项系数为3336C 20a b =，1ab ∴=，而定积分022d 2222d a b a b x x x x ab +=+=≥⎰⎰，当且仅当a b =时取等号，故选C ．12．【答案】A 【解析】设事件“甲、乙两人不在同一站下车”，因为甲、乙两人在同在站下车的概率为1133⨯；甲、乙两人在同在站下车的概率为1133⨯；甲、乙两人在同在站下车的概率为1133⨯；所以甲、乙两人在同在一站下车的概率为1113333⨯⨯=， 则()12133P A =-=，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】8【解析】若甲在5月1日值班，则乙只能在，5月3日或5月4日两天值班一天，剩余两人任意安排，此时有1222C A 4=，若甲在5月4日值班，则乙只能在5月1日或5月4日值班一天，此时有1222C A 4=，则共有种排法，故答案为8．14．【答案】220【解析】根据题意，在12个点中，任取3个，有312121110C 22032⨯⨯==⨯种取法，又由平面的12个点中，任何3点不在同一直线上，则可以做220个三角形，故答案为220． 15．【答案】2-【解析】二项式62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()12316C r r r r T a x -+=⋅-⋅，令1233r -=，解得3r =，可得展开中含3x 项的系数为()336C 160a ⋅-=，则实数2a =-，本题正确结果2-． 16．【答案】0或2【解析】因为9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，将原式变形为()911x a ++-⎡⎤⎣⎦，通项为()()919C 11rrrr T x a -+=+-，5126a =对应()51x +的系数，故得到95r -=，4r =，系数为()449C 112602a a -=⇒=或．故答案为0或2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）720；（2）1440．【解析】（1）分两步求解：①先排前排的3名女生，有336A =种不同的方法；②再排后排的5名男生，有55120A =种不同的方法．由分步乘法计数原理可得共有35356120720A A =⨯=种不同的站法．（2）将3名女生分为两组，有13C 种方法，然后选择其中的一列将1名女生排在最前的一个位置上，有12C 种方法，然后再从5名男生中选取3名排在该女生的后边，有35A 种方法；然后再排另外一列，将剩余的2名女生排再该列的前边有22A 种方法，再将剩余的2名男生排在这2名女生的后边，有22A 种方法．由分步乘法计数原理可得不同的排列方法有11322325221440C C A A A =种．18．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638，245256x ．【解析】（1）11331331C C 2n rrn rrr r r n n T x x x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231C 2r n rr n x -⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭． ∵第6项为常数项，∴=5r 时，有203n r-=，∴10n =． （2）令223n r -=，得1(6)22r n =-=，∴所求的系数为2210145C 24⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （3）根据通项公式，由题意得：010r r ≤≤⎧⎨∈⎩Z ，令102()3r k k -=∈Z ，则1023r k -=，即1033522k r k -==-． ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2，0，-2， ∴2,5,8r =，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为222210145C 24x x ⎛⎫⋅-⋅= ⎪⎝⎭，5510163C 28⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，882102145C 2256x x -⎛⎫⋅-⋅= ⎪⎝⎭． 所以有理项为2454x ，638，245256x． 19．【答案】（1）640480x y =⎧⎨=⎩；（2）680元．【解析】（1）据题意，得160120080x y x y -=⎧⎨+=-⎩，所以640480x y =⎧⎨=⎩．（2）据640:4804:3=，得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人．10000元使用“余额宝”的利息为10000 2.8%280⨯=（元）． 10000元使用“财富通”的利息为10000 4.2%420⨯=（元）． X 所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）． 2043272(560)7C C P X C ===，1143274(700)7C C C P X ===，2034271(840)7C C C P X ===． X 的分布列为所以()241560700840680777E X =⨯+⨯+⨯=（元）． 20．【答案】（1）910；（2）见解析． 【解析】（1）设A 为“甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率”，()44245419111010A P A C A =-=-=．（2）0,1,2,3,4,5ξ=，每一位同学承担A 任务的概率为14，不承担A 任务的概率为34． 5053(0)4124341024P C ξ⎛⎫== ⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎪⎭，5413(11405441024)P C ξ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭==， 3225311354(2)1245P C ξ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎝⎭==⎭，233531445(3)5124P C ξ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===， 144531415(4)12440P C ξ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪=⎝⎝⎭==⎭，5551(141025)4P C ξ⎛⎪⎭=⎫ ⎝==， 故ξ的分布列如下：所以()1024512512102410244E ξ=++++=． 21．【答案】（1）364；（2）分布列见解析，506.25．【解析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ， 第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品全是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ， 这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B =，且11A B 与22A B 互斥，所以()()()()()()()1122111222||P A P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+41113161616264=⨯+⨯=． （2）X 可能的取值为400，500，800，并且1(800)4P X ==，1(500)16P X ==， 1111(400)116416P X ==--=，故X 的分布列如下：故400500800506.2516164EX =⨯+⨯+⨯=． 22．【答案】（1）0．29；（2）见解析．【解析】（1）设物理成绩获得等级A 的学生原始成绩为x ，其等级成绩为y ． 由转换公式931008291x y x y --=--，得9(82)9111y x =-+． 由9(82)919511y x =-+≥，得86.987x ≥≈． 显然原始成绩满足87x ≥的同学有12人，获得等级A 的学生有30人，恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率为：2112183302970.291015C C P C ==≈． （2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩为B +或A 的概率为3%+7%=0.1． 学生个数ζ的可能取值为1,2,3,,1000⋯；()10.1P ζ==，(2)0.90.1P ζ==⨯，2(3)0.90.1P ζ==⨯，，()9989990.90.1P ζ==⨯，999(1000)0.9P ζ==，其数学期望是：2998999()10.120.90.130.90.19990.90.110000.9E ζ=⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯2999100010.120.90.130.90.110000.90.110000.9=⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯()299910000.1120.930.910000.910000.9=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 其中：2999120.930.910000.9S =+⨯+⨯++⨯①299910000.910.920.99990.910000.9S =⨯+⨯++⨯+⨯②应用错位相减法“①式-②式”得299910000.110.90.90.910000.9S =++++-⨯()10001000110.910000.90.1⨯-=-⨯，1000100(101000100)0.9S =-⨯+⨯故10001000()0.1100(101000100)0.910000.9E ζ⎡⎤=⨯-⨯+⨯+⨯⎣⎦()10001010.910=⨯-≈．。
2020高考全国卷一轮复习理科数学(所有内容)
集合的并集!$# 集合的交集!## 集合的补集0*!
图形 表示
知识梳理
一集合与元素 !$集 合 中 元 素 的 三 个 特 性&! ! ! !'! ! ! !' !!!!$
意义 !""")!或")#" !""")!且")#" !""")* 且"*!"
四常见结论与等价关系 !##$!1!!!!(!$#$!1!!!!( $0*!%$!$!!!!(0* $0*!%$!!!!$
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222222222222222222222 第一章!集合与常用逻辑用语
#!!! 命题及充要条件
激活思维
!" 选修! !"'练习#改编下列命题中#真命题是 $!!% )* 命题)若(0&10#则(&1* +* 命题)若"$&#则"#$3*的逆命题 ,* 命题)若"&##则"#%&"2#&(*的否命题 -* 命题)相似三角形的对应角相等*的逆否命题
高三数学一轮复习单元训练计数原理
大学附中2021届高三数学一轮复习单元训练：计数原理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．满分是150分．考试时间是是120分钟．第一卷(选择题 一共60分)一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．设m ∈N*，且m ＜25，那么(25－m)(26－m)…(30－m)等于( )A ．625m A -B ．2530m m A --C ．630m A -D ．530m A - 【答案】C2．把10)x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )A ．135B ．135-C ．-D ．【答案】D3．球面上有七个点，其中四个点在同一个大圆上，其余无三点一共一个大圆，也无两点与球心一共线，那么经过球心与球面上的任意两点可作球的大圆有( )A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个 【答案】B4．西大附中数学组有实习教师一共5名，现将他们分配到高二年级的1、2、3三个班实习，每班至少1名，最多2名，那么不同的分配方案有( )A ．30种B ．90种C ．180种D ．270种 【答案】B5．6位好朋友在一次元旦聚会中进展礼品交换，任意两位朋友之间最多交换一次，进展交换的两位朋友互赠一份礼品，这6位好朋友之间一共进展了13次互换，那么收到4份礼品的同学人数为( )A ．1或者4B ．2或者4C ．2或者3D ．1或者3 【答案】B6．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋bi ，其中虚数有( )A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个 【答案】C7．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，那么不同的开灯方案有( )A ．60B ．20种C ．10种D ．8种 【答案】C8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T n n +⋯++=21，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数〞，数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数〞为2021，那么数列8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数〞为( )A ．2021B ．2009C ．2021D ．2021【答案】A9．现有男、女学生一共7人，从男生中选1人，从女生中选2人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，一共有108种不同方案，那么男、女生人数分别是( )A ．男生4人，女生3人B ．男生3人，女生4人C ．男生2人，女生5人D ．男生5人，女生2人. 【答案】B10．某班由24名女生和36名男生组成，现要组织20名学生外参观，假设这20名学生按性别分层抽样产生，那么参观团的组成法一共有( )A ．824C 1236C 种B ．81224.36AC 种 C ．10102436C C 种D ．2060C 种【答案】A11．3张不同的电影票全局部给10个人,每人至多一张,那么有不同分法的种数是( )A ．1260B ．120C ．240D ．720【答案】D12．方案在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个工程的比赛，每个工程的比赛只能安排在一个体育馆进展，那么在同一个体育馆比赛的工程不超过2项的安排方案一共有( )A ．24种B ．36种C ．42种D ．60种 【答案】D第二卷(非选择题 一共90分)二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在题中横线上)13．n x )1( 的展开式中，某一项的系数为7，那么展开式中第三项的系数是________．【答案】2114．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，赠送给5位朋友，每位朋友1本，那么不同的赠送方法一共有 种.【答案】1015．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．假设每天安排3人，那么不同的安排方案一共有 种(用数字答题)。
2022高考数学(人教A版)单元测试卷——第14单元 计数原理(含答案)
2022高考数学单元测试卷第14单元计数原理1、从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A．32个B．34个C．36个D．38个2、某地环保部门召集家企业的负责人座谈，其中甲企业有人到会，其余家企业各有人到会，会上有人发言，则发言的人来自家不同企业的可能情况的种数为（）A．B．C．D．3、4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A． B. C.24 D.124、设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则（）A．B．C．D．15、西大附中数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的1、2、3三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）A．30种B．90种C．180种D．270种6、100件产品中有5件是次品,现从中抽取4件,至少有一件合格品的抽法种数为（）A． B.C. D.-7、七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（）A．1440 B．3600 C．4320 D．48008、某中学一天的功课表有6节课, 其中上午4节, 下午2节, 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有（）A．600种 B. 480种 C.408种 D. 384种9、某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有()．A．210种B．420种C．630种D．840种10、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（）A．144种B．96种C．48种D．34种11、从9道选择题与3道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有（）A、10种B、12种C、13种D、14种12、将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )A．80B．120C．140D．5013、用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的排列是随机的，恰好组成“MA THEMATICIAN”一词的概率14、式子可表示为15、若把单词“error”中字母的拼写顺序写错了,则可能出现的错误的种数是16、在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为．17、已知A，B，C为△ABC的三个内角，且A<B<C，sinB＝，cos(2A＋C)＝－，求cos2A的值．18、计算：．19、对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．所有不同的染色方法记为（1）求；（2）求20、（1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，求．（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中的有理项．21、用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数?(1)被4整除;(2)比21034大的偶数;(3)左起第二、四位是奇数的偶数.22、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选出5名参加赈灾医疗队，其中(1)内科医生甲与外科医生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？参考答案1、答案A由题意，将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6，从每一小组中取一个，利用分步计数原理，即可求解。
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课时跟踪检测（五十二）分类加法计数原理与分步乘法计数原理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. a, b, c, 选法的种数是（d, e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同）A. 20 B . 16C . 10D . 6解析：选B当a当组长时，则共有 1 X 4 = 4（种）选法；当a不当组长时，因为a不能当副组长，则共有4X 3= 12（种）选法.因此共有4+ 12= 16种选法.2. （2019江山模拟）某班班干部有5名男生，4名女生，从中各选一名干部参加学生党校培训，则不同的选法种数有（）A. 9B. 20C. 16D. 24解析：选B 先选男生，有5种不同的选法，再选女生，有4种不同的选法.由分步乘法计数原理可知：N = 5X 4 = 20.3. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B, C, D中选择，其他四个号码可以从0〜9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1, 3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A. 180种B. 360 种C. 720种D. 960 种解析：选D 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5X 3 X 4X 4X 4=960（种）.4. 从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是 _____________ ; 3的倍数的个数有_________ .解析：从1,3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0,可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法.故所求奇数的个数为3X 3 X 2= 18.若有0, 则另两个数分别为1,2或2,4,则不同的三位数有2 X 2X 2 = 8种，若有3，则另两个数分别为1,2或2,4，则不同的三位数有 3 X 2X 2= 12种，所以满足条件的3的倍数的个数为8 +12= 20 个.答案：18 205. （2018温州八校）将三个分别标有A, B, C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则1号盒子中无球的不同放法种数有____________ 种；1号盒子中有球的不同放法种数有________ 种.解析：1号盒子无球的不同放法有33= 27种，1号盒子有球的不同放法有43- 33= 64-27= 37 种.答案：27 37二保咼考，全练题型做到咼考达标1•设集合A = {- 1,0,1}，集合B= {0,1,2,3}，定义A*B = {（x, y）|x€ A n B, y€ A U B}, 则A*B中元素的个数是（）A. 7B. 10C. 25D. 52解析：选 B 因为集合 A = { - 1,0,1},集合B= {0,1,2,3}，所以 A n B= {0,1} ,A U B = {-1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得有2X 5 = 10（个）.2.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为（）A. 56B. 54C. 53D. 52解析：选D 在8个数中任取2个不同的数共有8X 7= 56（个）对数值，但在这56个对数值中，lo g24= log39, 10字2= log93, log23= log49, log32= log94，即满足条件的对数值共有56- 4= 52（个）.3. （2019嘉兴四高适应性考试）将3封信投入6个不同的信箱内，则不同的投法种数有（）A. 9B. 18C. 216D. 729解析：选C 将3封信投入6个不同的信箱内，每封信都有6种不同的投法，所以满足条件的不同投法种数有63= 216种.4.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（）A. 144个B. 120 个C. 96个D. 72 个解析：选B 当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A4个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C1A4个偶数.故符合条件的偶数共有2A：+ C3A4= 120（个）.5. 如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有（）D . 120 种 解析：选C 如图，设四个直角三角形顺次为C —>D 顺序涂色，下面分两种情况：（1） A , C 不同色（注意：B ，D 可同色、也可不同色， D 只要不与A ，C 同色，所以D 可 以从剩余的2种颜色中任意取一色）：有4X 3X 2X 2= 48（种）不同的涂法.（2） A , C 同色（注意：B , D 可同色、也可不同色， D 只要不与A , C 同色，所以D 可以 从剩余的3种颜色中任意取一色）:有4X 3X 1X 3= 36（种）不同的涂法.故共有48+ 36= 84（种） 不同的涂色方法.故选 C.6. 集合 N = {a , b , c}? {- 5,— 4,— 2,1,4}，若关于 x 的不等式 ax 2+ bx + c v 0 恒有实数解，则满足条件的集合 N 的个数是 _________ .解析：依题意知，集合 N 最多有C 3= 10（个），其中对于不等式 ax 2 + bx + c v 0没有实 数解的情况可转化为需要满足 a > 0,且△= b 2— 4ac < 0,因此只有当a , c 同号时才有可能， 共有2种情况，因此满足条件的集合 N 的个数是10— 2 = 8.答案：87. 在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为"驼峰数”，比如“102,” “ 546为“驼峰数”.由数字 1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有 _____________ 个.其中偶数有 __________ 个.解析：十位上的数为 1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为 2时，有 324,423,共 2 个，所以共有 6+ 2= 8（个）.偶数为 214,312,314,412,324，共 5 个.答案：85 8.如图所示，用五种不同的颜色分别给 A , B , C , D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 ________ 种.解析：按区域分四步：第一步， A 区域有5种颜色可选；第二步，B 区域有4种颜色可选；第三步，C 区域有3种颜色可选；第四步，D 区域也有3种颜色可选.由 分步乘法计数原理，共有 5X 4X 3X 3= 180（种）不同的涂色方法.答案：1809. ___________ 已知△ ABC 三边a , b , c 的长都是整数，且 a < b < c ,如果b = 25，则符合条件的 三角形共有 ____ 个.解析：根据三边构成三角形的条件可知， c v 25+ a.C . 84 种» B第一类：当a= 1, b= 25时，c可取25,共1个值;第二类，当a= 2, b= 25时，c可取25,26，共2个值;当a = 25, b= 25时，c可取25,26,…，49,共25个值;所以三角形的个数为 1 + 2 +…+ 25= 325.答案：32510. 已知集合M = {—3,—2,—1, 0, 1, 2}，若a, b, c€ M,则：(1) y= ax2+ bx+ c可以表示多少个不同的二次函数；(2) y= ax2+ bx+ c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y= ax2 + bx+ c 可以表示5 X 6 X 6= 180(个)不同的二次函数.(2)y= ax2+ bx+ c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b, c的取值均有6种情况，因此y= ax2+ bx+ c可以表示2X 6X 6= 72(个)图象开口向上的二次函数.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.已知集合A={(x, y)|x2+ y2< 1, x, y€ Z}, B= {(x, y川x|w 2, |y|< 2, x, y€ Z}, 定义集合A® B = {(X1 + X2, y1+ y2)|( X1,y1) € A, (x2 ,y2)€ B}，则A® B 中元素的个数为()A. 77B. 49C. 45D. 30解析：选C A= {(x, y)|x2+ y2w 1, x, y€ Z} = {(x, y)|x = ± , y= 0;或x= 0 , y= ±1; 或x= 0 , y= 0},B= {(x , y川x|w 2 , |y|< 2 , x , y€ Z}= {(x , y)|x= —2, —1 , 0,1,2; y=—2, —1,0,1,2}, A ® B 表示点集.由X1=—1,0,1, X2=—2, —1,0,1,2 ,得x1 + X2=—3, —2, —1,0,1,2,3 ,共7 种取值可能.同理，由y1=—1,0,1 , y2=—2, —1,0,1,2，得y1+ y2=—3, —2, —1,0,1,2,3 ,共7 种取值可能.当X1+ X2=—3或3时，y1 + y2可以为一2, —1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的占八、、5当X1+ X2=—2, —1,0,1,2 时，y1 + y2可以为一3, —2, —1, 0,1,2,3 中的一个值，分别构成7个不同的点，故A® B共有2X 5 + 5X 7= 45(个)元素.2. (2019湖南十二校联考)若m , n均为非负整数，在做m+ n的加法时各位均不进位(例如：134+ 3 802= 3 936),则称(m , n)为“简单的”有序对，而m+ n称为有序对(m , n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是______________________ .解析：第1步，1= 1 + 0,1 = 0+ 1,共2种组合方式；第 2 步，9= 0 + 9,9= 1 + 8,9= 2+ 7,9 = 3+ 6,…，9= 9+ 0，共10 种组合方式；第 3 步，4= 0 + 4,4= 1 + 3,4= 2+ 2,4 = 3+ 1,4= 4 + 0,共5 种组合方式；第4步，2= 0 + 2,2= 1 + 1,2= 2+ 0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为 1 942的“简单的”有序对的个数为 2 X 10X 5 X 3= 300.答案：3003. 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求共有多少不同的染色方法.解：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分.类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论. 由题设，四棱锥S -ABCD 的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5X 4 X 3 = 60（种）染色方法.当S，A，B 染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法；若C染4,贝U D可染3或5,有2种染法；若C染5,贝U D可染3或4,有2种染法.可见，当S，A, B 已染好时，C, D还有7种染法，故不同的染色方法有60X 7= 420（种）.。
2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题十：计数原理(4)排列与组合A
计数原理（4）排列与组合A1、若N n ∈且20n <，则()(2728()34)n n n --⋯⋯-等于( ) A.827n A -B.2734nn A --C.734n A -D.834n A -2、用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340应是第( )个数.A.6B.9C.10D.8 3、某科技小组有6名同学,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生人选时的不同选法有16种,则小组中的女生数目为( )A.2人B.3人C.4人D.5人 4、6本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( )种.A.24B.36C.48D.605、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( ) A.360 B.520 C.600 D.7206、若n 2n 31212C C -=,则n 等于( )A.3B.5C.3或5D.15 7、将5名实习生分配到三个班实习,每班至少1名,则分配方案共有( ) A.240种 B.150种 C.180种 D.60种8、现有4中不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有( )A.24种B.30种C.36种D.48种9、6名同学在毕业聚会活动中进行纪念品交换,任意2名同学之间最多交换1次,进行交换的2名同学互相交换1份纪念品,已知6名同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( )A.1或3B.1或4C.2或3D.2或410、5个男生和3个女生站成一排,则女生不站在一起的不同排法有( )A.14400种B.7200种C.2400种D.1200种11、小王，小赵，小张三人站成一排照相，则小王不站中间的概率为____________12、某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为__________.13、江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有种不同的选课组合.（用数字作答）14、我市正在建设最具幸福感城市,原计划沿渭河修建7个河滩主题公园,为提升城市品味,升级公园功能,打算减少2个河滩主题公园,两端河滩主题公园不在调整计划之列,相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整,则调整方案的种数为__________.15、将三种作物种植在如图所示的试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种?答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：由题意知本题是一个分类计数问题,首位是1,第二位是0,则后三位可以用剩下的数字全排列,共有336A =个,前两位是12,第三位是0,后两位可以用余下的两个数字进行全排列.共有222A =种结果, 前三位是123.第四位是0,最后一位是4,只有1种结果, ∴数字12340前面有6+2+1=9个数字,数字本身就是第十个数字,3答案及解析： 答案：A解析：设有女生x 人,则有男生6x -人,依题意得336616x C C --=,∴()()()65424x x x ---=,将各选项选项代入验证,可知2x =,故选A.4答案及解析： 答案：A解析：由题意,6本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙,丁两本书必须相邻,利用捆绑法,可得不同的摆放方法有322322A A A 24=种.5答案及解析： 答案：C解析：分两类:第一类,甲、乙中只有一人参加,则有134254C C A 21024480=⨯⨯=种选法.第二类,甲、乙都参加时,则有()()24235423C A A A 102412120-=⨯-=种选法.∴共有480120600+=种选法.6答案及解析： 答案：C 解析：由组合数的性质得n 2n 3=-或n 2n 312+-=,解得3n =或5n =,故选C.7答案及解析： 答案：B解析：将5名实习生分配到3个班实习,每班至少1名,有2种情况:①将5名生分成三组,一组1人,另两组都是2人,有22143522C CC 15A =种分组方法,再将3组分到3个班,共有3315A 90⋅=种不同的分配方案,②将5名生分成三组,一组3人,另两组都是1人,有11321522C C C 10A =种分组方法,再将3组分到3个班,共有3310A 60⋅=种不同的分配方案,共有9060150+=种不同的分配方案,故选B.8答案及解析： 答案：D解析：如图，设需要涂色的四个部分依次分①②③④,对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法;对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法;对于区域③,与区域①②相邻,有除①②所涂颜色之外的2种颜色可涂，有2种涂色方法；对于区域④，与区域②③相邻,有除②③所涂颜色之外的2种颜色可涂，有2种涂色方法,则不同的涂色方法有432248⨯⨯⨯=种，故选D.9答案及解析： 答案：D解析：两两交换礼物,如果每个人都有5份纪念品的话,共有5432115++++=次交换.当前只有13次交换,若缺少的两次交换都发生在同一个人身上,他只能收到3份纪念品,对应会有两人收到4份礼物,若缺少的两次交换没有发生在一个人身上,涉及交换的4个人都会收到4份纪念品,故选D.10答案及解析： 答案：A解析：我们可以在操场上进行实地排队:先让5个男生站成一排有55A 种站法,在站队时每两个男生之间留下一个空(能站且只能站一个人的位置),同时女生还可站两头,因此可供女生站的位置有六个(即“①男②男③男④男⑤男⑥”),把这6个位置编一个号码,再从这6个号码中取出3个排成一排,按它的前后顺序依次把这3个号码分给3个女生甲、乙、丙,再让3个女生对号入座,插进男生之中,最后让这8个人向左看齐,即这8个人站成一排,且女生不相邻,于是就完成了这一事件,因而有:先让5个男生排成一排,有55A 种站法,再让3个女生插入5个男生产生的6个空中,有36A 种排法,故共有5356A A 种不同站法.故选A.11答案及解析： 答案：23解析：12答案及解析：答案：20解析：13答案及解析：答案：13解析：14答案及解析：答案：6解析：任选中间5个的2个,再减去相邻的4个,故有2546C-=种不同的方案.15答案及解析：答案：由乘法原理有3×2×2×2×2=48(种)不同的种法,但这样可能只种了2种作物不符合题意,若只种两种作物,则有213211116C C⨯⨯⨯⨯= (种)不同的种法,所以满足题意的种法有48-6=42(种)不同的种植方法.解析：。
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1．4 月 30 日，庆祝东北育才学校建校 70 周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学 生代表、清华大学校长和北京大学校长各 1 人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻， 则不同的安排方法为（ ）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．96 种
2．十三届全国人大二次会议于 2019 年 3 月 5 日至15 日在北京召开，会议期间工作人员将其中的
则 P( A) 0.4 ， P(B) 0.5 ， P( AB) 0.2 ，
P( A) 0.4
，
故选 D．
7．【答案】B
【解析】因为
，所以 P
0
C43
1 ， P
1
C42C21
3
，
C63 5
C63 5
P
2
C41C22 C63
1 5
，因此 E
0 1 1 3 2 1 55 5
验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为 50% ，即取出的产品是
1 优质品的概率都为 2 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所
需的费用记为 X （单位：元），求 X 的分布列及数学期望．
此卷只装订不密封 姓名
班级
准考证号
考场号
座位号
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第 14 单元 计数原理与分布列
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（ ）
37
A．
216
37
B．
72
2
C．
9
2
D．
27
10．2020 年东京夏季奥运会将设置
米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：
每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员参加比赛，按照仰泳 蛙泳 蝶泳 自由泳的接力顺序，
的展开式中，
x2
项的系数为（
）
A． 50
B． 30
C．30
D．50
4．已知
，若
，
则 A．1
（）
B． 1
C．-81
D．81
5．已知随机变量 服从正态分布
，若
，则
为（
）
A．0．7
B．0．5
C．0．4
D．0．35
6．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概
每种泳姿 100 米且由 1 名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的 4 名
运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩
下的 2 名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ）
A．144 种
B．24 种
C．12 种
D．6 种
所以 P(2 4) 1 P( 2) 1 0.1 0.4 ，故选 C．
2
2
6．【答案】D
【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件 A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件 B ，“小明
在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件 C ，
P(B | A) P( AB) 0.2 0.5
（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到 1 名同学的物理高
考成绩等级为 B 或 A 结束(最多抽取1000 人)，设抽取的学生个数为 ，求随机变量 的数学期望 (注： 0.91000 1.7 1046 )．
单元训练金卷 ▪高三▪数学卷（A）
第 14 单元 计数原理与分布列 答 案
如果有 A 、 B 及其余一个代表团入住 a 宾馆，则余下两个代表团分别入住 b ， c ，
此时共有 C31A22 6 安排种数， 综上，共有不同的安排种数为12 ，故选 B．
3．【答案】B
【解析】
1
2 x
x
5
表示
5
个因式
1
2 x
x
的乘积，
在这 5 个因式中，有 2 个因式都选 x ，其余的 3 个因式都选 1，相乘可得含 x2 的项；
下车是等可能的．则甲、乙
2
A．
3
3
B．
4
3
C．
5
1
D．
2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．“五一”小长假快到了，某单位安排甲、乙、丙、丁四人于 5 月 1 日至 5 月 4 日值班，一人一天，
甲的值班只能安排在 5 月 1 日或 5 月 4 日且甲、乙的值班日期不能相邻的排法有______种．
元利息．
20．（12 分）在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担 A ， B ， C ， D 四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．
（1）若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）设这五位同学中承担任务 A 的人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 E ．
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 ．
21．（12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件
产品中优质品的件数记为 n ．如果 n 3 ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这 批产品通过检验；如果 n 4 ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检
1，故选
B．
8．【答案】B
【解析】根据分布列的性质的到，所有的概率和为 1，且每个概率都介于 0 和 1 之间，得到
ba 0，0，
根据公式得到
E
1
1 4
a
1 4
b
1 4
b
1 4
b
，
化简得到 E b2 1 b 1 ，
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 ． 1．【答案】C
【解析】采用插空法可得安排方法有 A33 A42 6 12 72 种，本题正确选项 C．
2．【答案】B
【解析】如果仅有 A 、 B 入住 a 宾馆，则余下三个代表团必有 2 个入住同一个宾馆， 此时共有 C32 A22 6 安排种数，
________
三、解答题：本 大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）5 名男生 3 名女生参加升旗仪式： （1）站两横排，3 名女生站前排，5 名男生站后排有多少种站法？ （2）站两纵列，每列 4 人，每列都有女生且女生站在男生前面，有多少种排列方法？
14．平面上有 12 个不同的点，其中任何 3 点不在同一直线上．如果任取 3 点作为顶点作三角形，
那么一共可作_________个三角形．（结果用数值表示）
15．已知二项式
x2
a x
6
展开式中含
x3
项的系数为160
，则实数
a
的值为_____．
16．若 (x a)9 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 L a9 (x 1)9 ，当 a5 126 时，实数 a 的值为
1200 名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共 抽取 7 人，然后从这 7 人中随机选取 2 人，假设这 2 人中每个人理财的资金有 10000 元，这 2 名市
民 2018 年理财的利息总和为 X ，求 X 的分布列及数学期望．注：平均年化收益率，也就是我们 所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为 3% ”即将 100 元钱存入某理财产品，一年可以获得 3
22．（12 分）《山东省高考改革试点方案》规定：从 2020 年高考开始，高考物理、化学等六门选考 科目的考生原始成绩从高到低划分为 A, B , B, C , C, D , D, E 八个等级．参照正态分布原则，确 定各等级人数所占比例分别为 3 %, 7 %, 16 % ， 24 %, 24 %, 16 % ， 7 %, 3 % ．选考科目成绩 计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到 [91,100],[81,90],[71,80],[61,70] ，[51,60],[41,50] ，[31,40],[21,30] 八个分数区间，得到考生的
44
根据二次函数的，经检验适合题意．故答案为 B．
9．【答案】A 【解析】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），
率为 0．4，在第二个路口遇到红灯的概率为 0．5，在两个路口连续遇到红灯的概率是 0．2．某天
早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）