第十六章：二次根式

第十六章 二次根式
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. 最简二次根式：① ； ② ； ③ . . . . ；
文字语言： . ； 文字语言： . . .
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①分母形如的二次根式.
给分子、分母同时乘以 ；
②分母形如.
给分子、分母同时乘以 .
2的区别与联系：
例一：下列各式一定是二次根式的是（）
分析：判定一个代数式是否是二次根式，要看该式子是否同时具备两个要素：（1）含有二次根号；（2）被开方数是非负数.
对应训练：
1.下列各式中，一定是二次根式的是（）
A
专题二：二次根式有意义的条件
对于非负数x,如果有x2=a，那么x就是a的算术平方根，也是a在这里a是x的平方数，它的值是一个正数或零（因为任何数的平方都不可能是负数）.由此得出：只有当a≥0时，
.
（1a≥0a<0.
（2）从具体的情况总结，如下：
a≥0； a≥0,
n
+有意义的条件： b≥0,
…
n≥0；
a>0；
1
b
有意义的条件：a≥0且b≠0；
有意义的条件：a≥0且b>0.
例二：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1；（2（3
；（4；
（5（6
分析：对于含有二次根式和分式的式子，求其有意义的条件时：首先找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，其次找分式的分母，根据分母不为0，列出所需的不等式，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是字母的取值范围.
解：（1）
1
310
3
x x
-≥≥
当，即.
（4）
3
230101
2
x x x x
+≥+>≥->-
当，且，即且.对应训练：
1.x的取值范围是（）
A、x>3
B、x≥3
C、 x>4 D 、x≥3且x≠4
2.x的取值范围是 .
3.
有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
例三：若y=
++2009，则x+y=
分析：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014
对应训练：
1.
，则x －
y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2.若x 、y 都是实数，且4，求xy 的值
3.当a 1取值最小，并求出这个最小值.
专题四：二次根式的整数部分与小数部分
例四：已知a b 是1
2
a b +
+的值. 分析：因为23<<2，即a=2；其小数部分等于此数本身减去其整数部分，即
对应训练：
1.若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

2.若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求21
x y
+的值.
专题五：二次根式的双重非负性
例五：若22(4)0a c -+-=则a b c -+ ．
分析：因为绝对值，二次根式，平方数都是非负数，且三个非负数的和为0，那么就只有一种情况：三者均为0.
对应训练：
1.若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 .
2.已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1
3.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2
－4｜＋
652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.
4、若1a b -+2005
()_____a b -=.
专题六：二次根式的性质的运用（公式2(0)a a =≥的运用）
5-x x -5a 50
,50
x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =2()x y =+
例六：化简：21a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4
分析：根据2(0)a a =≥的意义，可以发现，此式子成立的前提是被开方数大于等于0，即是只要出现这个式子，那意味着被开方数是非负数,此条件是隐含条件即解题的突破口.即30,3a a -≥≥，则
10a -≥，绝对值内为非负数则直接去掉绝对值符号，即211324a a a a -+=-+-=-.
对应训练：
1.计算：（1）2(______
-=；
（2）2______=；（3）2______-=.
2.化简：22________a -+=.
专题七：二次根式的性质的运用（公式⎩
⎨⎧<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2的应用）
例七：已知2x <, ）
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
分析： 然后根据2x <，⎩⎨
⎧<-≥==)
0a (a )
0a (a a a 2
（2x -）=2x -. 对应训练：
1.( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9
2.已知a<02a │可化简为（ ）
A ．－a
B ．a
C ．－3a
D ．3a
3.若23a <<等于（ ）
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a -
4.若a －3＜04a -的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a
5.2
得（ ）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -
6.当a ＜l 且a ≠0＝ ．
7.如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
8.实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．
o
b a
专题八：最简二次根式和同类二次根式
例八(1)
：在根式1，最简二次根式是（）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
分析：掌握最简二次根式的三个条件.
对应训练：
中的最简二次根式是 .
2.下列根式中，不是最简二次根式的是（）
A
．B．C．D．
3.下列根式不是最简二次根式的是( )
4.把下列各式化为最简二次根式：
(1)
例八(2):( )
分析：（1）观察是否是二次根式；（2）是否化为最简；（3）被开方数是否相同.
对应训练：
1.下列各组根式中，是可以合并的根式是（）
3.能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
专题九：二次根式计算——分母有理化
（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
（2）有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：
a
=
别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a+与a，，
（3）分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
例九（1）：把下列各式分母有理化
（1（2（3（4）
分析：（1）先化简在分母有理化；（2）先分母有理化在化简.
解：（1
12
33
=====；
48484812
4848
=====.
73
1
22
1.将下列各式分母有理化：
（1
（2（3） （4）
例九（2）：把下列各式分母有理化：
（1 （2（3
对应训练:
1.已知x =
y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+
2.把下列各式分母有理化：
（1)a b
≠ （2（3
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①
与
； ②
与
；
③与； ④与
．
专题十：二次根式比较大小
（1）根式变形法：当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<（2）平方法：当0,0a b >>时，①如果2
2
a b >，则a b >；②如果2
2
a b <，则a b <. （3）分母有理化法:通过分母有理化，利用分子的大小来比较. （4）分子有理化法:通过分子有理化，利用分母的大小来比较. （5）倒数法
（6）媒介传递法:适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较. （7）作差比较法:
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< （8）求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a a b b >⇔>； ②1a
a b b
<⇔<.
例十：比较的大小。

分析：选择适当的方法
1.
的大小. 2.
.
3.
. 4.
3
3的大小.
专题十一：二次根式的计算（加、减、乘、除及混合运算）例十一：
1.化简
0,0
x y
≥≥)
1.1.计算（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
2.化简：
)0
,0
(≥
>b
a
)0
,0
(>
≥y
x)0
,0
(>
≥y
x
2.1.计算：
（4
3.计算（1）；（2）
⎛
-
⎝
；
（3 （4）+
（5）
（6a b +-
（73a （8）⎝
4.计算：
（1(÷（2） 2
2 (212 +4
1
8
－348 )
（3（16（4）376-
（5） （6）2(3(4+-
（7）10115)5) （8）1(102(0)3m m >
5．已知：
，求的值．。