小学数学学习的过程

第三章小学数学学习的过程
小学数学教学作为一种教师指导下的以学生为主体的数学认知活动，它要解决的根本问题是如何引导学生高效率、高质量地进行数学学习。

本章主要阐述小学数学学习及其特点；介绍现代学习理论及其对小学数学学习的影响；较为详细地探讨小学数学知识、技能和问题解决的学习。

3.1 小学数学学习概述
一、小学数学学习及其特点
小学数学学习是学生在小学阶段对数学学科的学习，是学生在教师指导下，由于获得数学知识经验而引起的比较持久的行为变化过程。

它是一个有目的、有计划、有组织、有步骤的获得数学知识、掌握数学技能、形成数学问题解决能力、发展个性品质的过程。

小学数学学习是一个复杂的心理活动。

它不仅是一个认识过程，而且交织着情感、意志以及个性心理特征等。

除原有的数学认知结构外，学生现有的思维水平与学习能力，都对数学学习起着直接的作用，影响着数学知识与技能的掌握。

另一方面，学生的情感、意志、动机、兴趣、个性品质等也都对数学学习起着推动、增强、坚持、调节控制等作用。

学生在学习数学时，要受到自身的认知因素与非认知因素的影响；同时，数学学习又促进认知因素与非认知因素的发展。

小学数学学习作为一门具体学科的学习过程，一方面具有人类学习和学生学习的共同特点；另一方面又必然还有一些反映其个性的特点。

具体来讲，小学数学学习具有以下一些主要特点。

1．小学数学学习需要感性材料的支持
由于数学学科严密的逻辑性和高度的抽象性特点以及小学生的年龄特征，决定了小学数学学习比其他学科学习更需要感性材料的支持。

因此，充分运用感性材料的直观形象性去帮助学生理解学习内容是小学数学学习特别明显的特点。

小学生在学习中要通过观察、操作等活动从感性上认识教材内容，建立表象，才能将教材中的数学知识内化成自己的数学认知结构。

2．小学数学学习需要较强的抽象思维能力
数学具有内在的逻辑体系和抽象性，数学学习和数学思维密切相关，学习数学需要较强的抽象思维能力。

思考是学生数学学习过程的本质特点。

小学生学习数学过程中的思考，既有直观思维，又有具体形象思维和抽象逻辑思维。

学生在学习数学时，需要不断地对数学对象进行分析与综合、抽象与概括、判断和推理。

3．小学数学学习是在人类发现基础上的再发现
小学数学学习是教师指导下学生对人类已有数学知识再发现的过程。

在这个过程中，学生要采用多种途径，把教材中的数学知识转化成自己的数学认知结构。

其中，数学活动是一种重要途径。

它不仅可以帮助学生建立起所学数学知识的表象，从而更好地内化。

而且还有利于学生切实经历数学知识的形成过程，感受数学与生活的密切联系。

在数学学习过程中，教师要让学生动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料，获得体验，并且类比、分析、归纳，逐渐形成自己的数学知识与技能，发展自己的数学能力。

为了降低学生“发现”的难度，教师应对人类的发现过程适当“加工”，把它“剪接”成缩短的、简化的过程。

4．小学数学学习是在教师的指导下，依据课程和教材进行的
在小学数学学习过程中，学生要通过分析、综合、比较、抽象、概括等思维方法和概念、判断、推理等思维形式去实现对抽象数学知识的理解和掌握。

而小学生由于受自身思维发展水平的制约，在数学学习中常出现思维过程不流畅甚至中断的现象，这在客观上就需要教师对学生的学习作必要的引导。

主要体现在以下三个方面。

（1）启发和引导学生把握好思考的起点，让学生面对具体的学习任务，知道应该从什么地方想起。

（2）引导学生把握好数学思维发展的方向。

知道朝什么方向去思考才能顺利完成学习任务。

从而帮助学生克服思维过程中出现的种种障碍，保证思维过程的顺利进行。

（3）启发学生对自己的学习过程作必要的反思。

5．小学数学学习要把握住主要的学习目的
小学数学学习的主要目的，是获得现成的、系统的知识，掌握间接的经验，经历缩短的、简化的“发现”过程。

掌握数学技能，发展数学能力和个性品质。

为今后的学习奠定基础。

二、小学数学学习的分类
对数学学习进行分类，能够揭示不同类型的学习规律，便于搞清影响学习的因素，并揭示出该类学习的心理过程。

小学数学学习，按学习的深度划分，可以分为机械学习和有意义的学习；按学习的方式划分，可以分为接受学习和发现学习。

1．机械学习与有意义的学习
学生学习数学，主要是掌握前人积累的数学知识，而这些知识是用语言文字符号来表示的。

学生只有经过积极的思考，正确理解这些符号所代表的数学内容，才能将其转化为自身的精神财
富。

如果学生在学习时，不理解一些语言文字符号所表示的意义或方法，仅仅记住这些符号的组合或词句，那么这种学习就是机械学习。

例如：有的小学生在解应用题时，见“多”就加，见“少”就减，不理解其实质意义，往往导致解答错误。

有意义的学习指学生理解由符号或词句所代表的实际内容，新知识与学生头脑中已有的知识建立了非人为（非任意）的和实质性（非字面）的联系。

例如：对于“2×3”，学生不仅知道结果等于6，而且知道这是3个2连加，符号“×”表示求相同加数和的运算。

这就是有意义的学习。

小学数学学习基本上应该是有意义的学习。

但机械学习就像机械识记一样不可避免，有时甚至是必要的。

因为小学生知识、经验少，寻求新知识与原有的认知结构的结合点较困难。

他们在学习中对很多材料最初只能建立非实质性的人为联系，只能是一知半解。

只有在以后不断增长知识经验的过程中，才能逐步深化对学过的材料的理解。

2．接受学习与发现学习
接受学习指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学生，即把问题的条件、结论以及推导过程等都叙述清楚，不需要学生独立发现，只要他们积极主动地将所学的新知识与旧知识相联系，进行思维加工，就可以与旧知识融为一体。

以这种方式获得的知识容易贮存，而且过程较科学，程式较稳定，时间较经济。

发现学习的主要特征是不把学习的主要内容以定论的形式提供给学生，而要让学生自己去独立发现，然后内化。

这些经过自己发现而组织到认知结构中去的材料最容易保持。

所以发现学习对于激发内部动机、掌握学习方法和培养创造精神都是有益的。

不过，小学数学学习中的发现学习，只能就少数课题进行，并且一般都是在教师指导下进行的。

发现学习显然比接受学习复杂得多，所花的时间也较多。

一般地说，学生的数学知识，大量是通过接受学习获得的，而各种数学问题的解决，则往往通过发现学习来实现。

3．两种划分的关系
有意义学习和机械学习、发现学习和接受学习是划分学习的两个维度。

这两个维度之间存在着交叉，即接受学习可以是机械学习，也可以是有意义学习；发现学习同样可以是机械学习或有意义学习。

在讨论发现学习与接受学习时，往往有这样一种认识，即接受学习会导致机械学习，只有发现学习才能导致有意义学习。

这种认识是片面的。

因为学习有无意义，并不决定于学习形式，而是由学习内容和学习者决定的。

只要教师能将具有逻辑意义的学习材料，同学生已有的认知结构联系起来，使学生理解材料的真正含义，不管采用发现学习，还是采用接受学习，都是有意义学习。

如果学生无学习的心向，就是采用发现学习的形式，结果仍然导致机械学习。

例如：
在采用发现法学习圆周率时，如果一些学生无意去探索，最后只记住了π=3.14…这个结论，那么这些学生所进行的学习还是机械学习。

在小学数学学习过程中，有意义的接受学习是学生获得数学知识的主要途径。

因为学生不可能也没有必要对前人积累起来的数学知识，再经过自己的重新发现。

但是，我们也必须看到，发现学习有利于培养学生的实践操作能力、探索能力和创新能力。

对于接受前人已发现的知识，还是应该以有意义的接受学习为主，辅之以有意义的引导发现学习。

如果按照学习的内容划分，小学数学学习还可以分为数学知识的学习、数学技能的学习和数学问题解决的学习，我们将在3.3—3.5对此进行探讨。

三、小学数学学习的一般过程
1．数学认知结构
感知到的信息在人脑中被转移、简化、储存、恢复和运用的全过程，就是认知。

在认知活动中，输入的信息被加工和改造，人脑中的知识便按照各人的理解深度和广度，结合自己的认知特点，形成了一个具有内部规律的整体结构，这就是认知结构。

数学认知结构是学生关于数学学习内容的认知结构。

实际上，就是学生头脑中的数学知识结构。

数学认知结构是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物。

对于学生来说，数学知识结构是前人研究数学的经验总结，是客观的、外在的东西。

而数学认知结构是学生学习数学时在头脑中逐步形成的智能活动模式，是主观的、内在的东西。

不同的学生，其数学认知结构的特点也不同。

同一知识内容，可以形成不同的认知结构。

数学认知结构有正误优劣之分，在一定程度上，体现了学习数学的能力。

所以，单纯的数学知识积累，并不等于良好的数学认知结构的形成。

但是，数学认知结构不可能离开数学知识结构而产生，它是从教科书及课堂教学的知识结构转化而来的，体现了数学知识与数学认知的统一。

形成了一定的数学认知结构后，一旦大脑接受到新的数学信息，学生就能不自觉地、甚至是自动地用相应的认知结构对信息进行处理和加工。

所以，数学认知结构在数学认知活动中发挥着积极的作用，是不断学习新知识的基础。

同时，随着数学认知活动的进行，学生的数学认知结构又会不断分化改组，扩大加深，变得更加精确和完善。

所以，数学认知结构是在数学认知活动中形成的，并经历了由简单到复杂、由低级到高级的发展过程。

2．小学生数学认知的基本方式
现代认知心理学的研究表明：学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过
程中学生在教师的指导下，把教材的知识结构转化成自己的数学认知结构。

小学生的数学认知结构主要是通过同化和顺应两种方式去建构的，同化和顺应是小学生数学认知的基本方式。

（1）同化
如果新知识与原有认知结构中的某些知识有着适当的联系，学生就把新知识纳入原有的认知结构中，从而扩大原有的认知结构，这一过程叫做同化。

很明显，同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的学习。

例如，如果原有的认知结构中已有了乘数是一位数、两位数的乘法运算知识，那么再学习乘数是三位数的乘法时，就可以根据“用乘数哪一位上的数去乘被乘数，所得积的末位就与哪一位对齐”这一联系点，将新知识纳入原有的数学认知结构。

（2）顺应
如果在原有的认知结构中没有适当的知识与新知识相联系，那么就要对原有的数学认知结构进行改组，使之能接纳新的知识，这一过程称为顺应。

例如，小学生开始学习分数时，由于分数与原有的整数认知结构不一致，所以，就不能简单地依靠同化方式在原有的整数认知结构基础上学习，而要对整数认知结构进行改造，通过分数的初步认识的学习，使计数单位在个、十、百、… 的基础上，增添各种分数单位，逐步顺应分数的学习。

我们说同化和顺应是两种不同的认知方式，这主要是为了研究的方便，其实在实际运用中，两者是辩证统一的，甚至是密不可分的，它们往往同时存在于某个学习过程中。

就其活动方式和发挥的作用来讲，同化主要是改造新的学习内容使其与原有认知结构相吻合，便于新知识直接纳入原有认知结构；顺应则是改造原有认知结构以适应新知识的学习。

小学数学学习中，同化和顺应总是相辅相成、互为补充的。

3．小学数学学习的一般过程
小学数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程。

这个过程包括三个阶段：输入阶段，新旧知识相互作用（同化或顺应）阶段和操作阶段。

其一般模式如图3—1所示：
图3—1
（1）输入阶段
学习起源于学习情境。

输入阶段实际上就是给学生创设学习情境，提供新的学习内容，激发
预期目
标
情境
学习动机，使学生在心理上产生学习新知识的需要（即心向），这是输入阶段的关键。

在此阶段，教师所提供的学习内容应适应学生的能力和兴趣。

（2）相互作用阶段
产生学习需要后，学生以原有的数学认知结构为基础，对新的学习内容进行加工，以便进入相互作用阶段，即同化或顺应阶段。

这一阶段要么改造新的数学知识，使之能纳入原有的认知结构（同化），或者改造原有的认知结构，以适应新的学习内容的需要（顺应），从而产生新的数学认知结构。

（3）操作阶段
操作，是指用新的数学认知结构去解决问题。

使刚产生的新的数学认知结构臻于完善。

数学学习过程的三个阶段是紧密相联的。

任一阶段的学习出了问题都会影响数学学习的质量。

从上面的分析可以看出：学生原有的数学认知结构总是学习新知识的基础。

所以，数学教师首先要考虑学生已经知道了什么，掌握到何种程度，然后再考虑教学内容的深度和广度、呈现序列等问题，确保学生原有的认知结构和新的数学知识相互作用的顺利进行。

复习思考题 3.1
1．什么是小学数学学习？它有哪些特点？
2．接受学习和发现学习各有什么特点？
3．什么叫“认知”、“认知结构”？数学认知结构与数学知识结构有什么区别？
4．小学数学认知有哪几种基本形式？各有什么特点？
5．简要叙述小学数学学习的一般过程。

3.2 现代学习理论及其对小学数学学习的影响
研究数学学习，离不开一定的理论指导，20世纪以来，国外学习理论的研究空前活跃，出现了不少新的理论。

改革开放以后，这些理论陆续被介绍到国内来，也对我国的小学数学学习产
生了较大的影响。

一、行为主义的学习理论
对数学教育具有影响的行为主义学习理论主要是桑代克的“联结说”。

桑代克是美国心理学家，他做了许多动物学习的实验，提出了联结主义的试误说。

他认为学习是刺激和反应的联结。

所谓联结是指学习者对情境所引起的反应，而这种反应又是学习者在情境中经过不断地尝试和改正错误的结果。

在桑代克的这种观点的倡导下，用训练和练习的方式学习数学可以说是20世纪30年代数学教育观念的主流。

桑代克在总结他早期实验的基础上提出了三条学习定律：准备律、练习律和效果律。

后来，他又对准备律和练习律作了修改，把它们看成是效果律的从属性原则。

效果律的基本涵义是：决定学习的最重要因素是机体的行为后果，凡是导致满意后果的行为就会被加强，而带来烦恼的行为则会被削弱或淘汰。

这些学习定律导致在数学教学中把算术内容一小块一小块地分裂成许多组成部分，以便于独立地教授和考查。

其中重要的联结被精心设计，经常加以训练，而不太重要的联结则较少训练。

教师的作用在于鉴别各种联结，然后精心组织。

其指导原则是保证小联结的学习，这样有助于学生在以后的学习序列中学习更困难的联结。

一些基于计算机辅助教学的软件包也反映出桑代克的学习原则。

学习材料以较小的单元呈现，通过所设计的活动把强化的效果最大化。

由于桑代克的学习理论不少是将动物实验推及人类，因而他的理论存在着机械主义的倾向，忽视了人类学习的社会性、主观能动作用和学习过程中理解的作用。

尽管如此，桑代克的学习理论对数学教育的影响是很大的，它在培养学生的学习情绪、引起学生的学习动机、引导学生在尝试的过程中应用推理和批判的方法、在概念、原理、法则学习之后予以必要的重复练习等方面，值得我们借鉴。

二、认知主义的学习理论
1．皮亚杰的发生认识论
著名的瑞士心理学家皮亚杰是当代认知学派的主要代表人物，他一生最大的贡献就是创立了发生认识论的理论体系，研究了人类特别是儿童认识的发展，提出了认知发展阶段。

皮亚杰借用数学和逻辑的概念对个体认知发展的阶段作了深刻地说明，他把儿童认知发展分为四个主要阶段。

（1）感知运动阶段（0—2岁）
处于这一时期的儿童主要是靠感觉和动作来认知周围的事物。

（2）前运算阶段（2—7岁）
这一时期的儿童能凭借语言或某些示意手段描述事物的特征，但这一时期的儿童还不具备运
算的可逆性和守恒性。

（3）具体运算阶段（7—12岁）
儿童在这一阶段已出现逻辑思维，他们的思维已具有可逆性和守恒性，但离不开具体事物的支持。

（4）形式运算阶段（12—14、15岁）
儿童在12岁左右开始在头脑里把内容和形式分开，能进行抽象逻辑思维和命题运算。

皮亚杰认为，在儿童认知发展历程中，各阶段出现的一般年龄特征可能有一定的个体差异，但各个阶段出现的先后顺序是固定不变的。

同时，这四个阶段是一个连续不断的发展过程，后一阶段是前一阶段的延伸，前一阶段是后一阶段发展的前提和条件。

根据皮亚杰的认知发展阶段理论，小学生正处于具体运算阶段，他们也已经能够进行初步的逻辑思维，但这种思维要在感性材料支持下才能顺利进行。

因此，小学数学学习特别要注意以下两点。

（1）要重视动作和感知等直观活动，让学生先形成丰富的数学知识表象，然后再进行抽象概括。

（2）作为小学数学学习的数学知识内容不要急于符号化，要防止学生的学习陷入缺乏真正理解的徒有其表面的符号把握局面。

2．布鲁纳的认知发现学习理论
布鲁纳是美国著名教育心理学家，也是当代认知心理学派的主要代表人物，他创立的认知发现学习理论对小学数学学习有着广泛的影响。

（1）学科结构论的思想
布鲁纳在他的《教育过程》一书中明确提出了学科结构论的课程论和教学论思想，他认为“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。

”学科的基本结构，是指该学科的基本概念、基本原理和基本规律及其相互联系。

布鲁纳特别强调学生学习和掌握学科的基本结构，是因为他认为学生掌握学科的基本结构，有以下作用：
①有利于对知识的理解，“懂得基本原理可以使得学科更容易理解”。

②可以更好地记忆学科知识，他认为“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会遗忘的知识”。

③有利于知识的迁移，“如果在一门学科中把这些观念概括地学好了，就会使得在别的学科中以不同的形式再来学习它们时要容易得多”。

布鲁纳的学科结构论思想对小学数学学习有以下几方面的启示：
①选择什么样的数学知识作为小学数学课程内容，学科结构论给了我们明确的回答，那就是要选择尽量简要、尽量带有迁移力的数学知识，也就是那些有广泛适用性的数学基本概念和基本原理。

这样，可以从根本上避免由于数学知识量的扩大和质的不断更新可能给教学带来灌输主义的弊端。

②布鲁纳在《教育过程》中提出了一个大胆的假设：“任何学科的基本原理都可以用某种形式教给任何年龄的任何人。

”虽然人们普遍认为这一假设的科学性值得怀疑，实现的可能性也是有待证实的。

但是它给了我们一个重要的启示，那就是小学数学学习要重视概念和原理的早期渗透，让学生尽早以直观的形式去感知抽象数学概念的具体例证和原理的特定意义，为今后进一步掌握这些概念的科学定义和原理的理论意义打下良好的基础。

③小学数学学习应把数学基本概念、基本规律和基本原理置于学习中的中心地位。

让学生牢牢掌握这些概念和原理，然后在此基础上进行不断地扩充和联结，从而帮助学生在头脑里形成一个相对完善的、结构化的数学知识体系。

④布鲁纳认为“学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣，而不是诸如等级或往后的竞争便利等外来目标”。

激发学生学习数学的兴趣主要是培养他们对数学知识本身的兴趣，让学生通过对数学学科的爱好而产生一种内在的学习动机。

在教学中要充分挖掘小学数学教材本身所具有的激励因素，让学生明确数学与实际生活的密切联系，并感受数学在生活中的价值，以此激发学生学习数学的愿望和动机。

（2）发现学习的理论
布鲁纳认为：知识的习得过程是一个积极的认知过程，而非被动的接受过程。

因此，他大力提倡发现学习。

他认为发现学习有利于发挥学生的智慧潜力，能激发学生内在的学习动机，可以促进学生学会发现的试探方法，有利于学生对所学知识的保持。

布鲁纳的发现法主要有以下一些特征：
①发现学习有利于学生去主动地发现数学知识，并且让学生在获取数学知识的同时，探索精神和创新意识也得到切实有效的培养。

②发现学习特别关注学生的学习过程，这不仅有利于学生更好地理解数学知识的形成过程，促进数学知识之间的联系，而且还可以让学生在发现数学知识的同时，获得掌握数学知识的方法。

③发现学习强调直觉思维。

布鲁纳认为，直觉思维对于科学发现活动极为重要，直觉思维的形成过程一般不是靠言语信息，尤其不是靠教师的提示性语言文字。

直觉思维的本质是映象或图象性的。

所以，教师在学生的探究活动中要帮助学生形成丰富的想象。

④发现学习强调学习的内在动机，这为我们在教学中培养学生的求知欲，调动他们的学习积。