2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<,{|24}B x x =<<，则A B =（ ）
（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 【答案】C
【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，故选C ．
（2）【2015年山东，理2】若复数z 满足
i 1i
z
=-，其中i 是虚数单位,则z =（ ） （A)1i - (B ）1i + （C ）1i -- (D)1i -+ 【答案】A
【解析】2(1i)i i i 1i z =-=-+=+，1i z =-,故选A ．
（3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3
y x π
=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ）
（A)向左平移12
π
个单位（B ）向右平移
12
π
个单位(C ）向左平移
3π个单位（D)向右平移3
π
个单位 【答案】B
【解析】sin 4()12y x π
=-
，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移
12
π
个单位,故选B ．
(4)【2015年山东,理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ）
（A ）232a - (B ）234a - （C)234a （D ）23
2
a
【答案】D
【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，
2223
()()cos1202
BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，故选D ．
（5）【2015年山东,理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）
（A ）(,4)-∞ (B)(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5)
【答案】A
【解析】当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则
14x ≤<；当5x ≥时,1(5)42x x ---=<不成立．综上4x <，故选A ． （6）【2015年山东,理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
若z ax y =+的最大值为4,则a =（ ）
（A)3 （B)2 （C ）—2 （D ）-3 【答案】B 【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥,即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；
当01a ≤-<,即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足10a -<≤;当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >,故选B ． （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2
ABC π
∠=
,//AD BC ,222BC AD AB ===．将梯形ABCD
绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A ）23π （B)43π （C)53
π (D ）2π 【答案】C
【解析】2215121133
V π
ππ=⋅⋅-⋅⋅=，故选C ．
(8)【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件,其长
度误差落在区间()3,6内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则
()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)
（A)4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D)31.74% 【答案】D
【解析】1
(36)(95.44%68.26%)13.59%2
P ξ<<=-=，故选D ．
(9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线
所在的直线的斜率为（ ）
（A ）53-或35
- （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或3
4-
【答案】D
【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=,
则22|3223|1,|55|11
k k d k k k ----=
=+=++,解得43k =-或3
4-,故选D ． （10）【2015年山东，理10】设函数31,1,
()2,
1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（ ）
（A ）2[,1]3 （B)[0,1] （C ）2
[,)3
+∞ （D ）[1,)+∞
【答案】C
【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311
a a <⎧⎨-≥⎩，解得2
3a ≥，故选C ．
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：
01011330122555012337
7774;4;4;4;
C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，0121
21212121n n n n n C C C C -----++++= ．
【答案】14n -
【解析】012
1012
1
2
1212121212121211(2222)
2
n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------+++
+=+++
+ 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422
n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= (12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4
x x m π
∀∈≤"是真命题，则实数m 的最小值为 ．
【答案】1
【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan 14
m π
≥=,于是实数m 的最小值为1．
（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．
【答案】
116
【解析】1
1
200111111236
T xdx x dx =++=+
+=⎰⎰．
（14）【2015年山东,理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-,则a b += ．
【答案】3
2
-
【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001
a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，则13
222a b +=-=-．
（15)【2015年山东,理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线
2
2:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为 ． 【答案】3
2
【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b
y x a =±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a
-
22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2
p
F ，则22222AF
pb p
a a k p
b b a
-==,即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 三、解答题:本大题共6题，共75分．
（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12
A
f a ==,求ABC ∆面积．
解：（Ⅰ）由111111
()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222
f x x x x x x π=-++=-+=-,
由222,2
2
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈得,4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈,
则()f x 的递增区间为[,],44
k k k Z π
π
ππ-+∈；
由3222,22k x k k Z π
πππ+
≤≤+
∈得3,44
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈,
则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππ
ππ++∈．
(Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==，6
A π
=，而1a =，
由余弦定理可得2212cos 23(23)6
b c bc bc bc bc π
=+-≥-=-,当且仅当b c =时等号成立,
即1
2323
bc ≤
=+-,11123sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+=
==≤故ABC ∆面积的最大值为23
4+． （17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中，
2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ;
(Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=,求平面FGH 与平面
ACFD 所成角（锐角)的大小．
解：（Ⅰ）证明：连接DG ,DC ，设DC 与GF 交于点T ，
在三棱台DEF ABC -中,2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点,DF AC ，则//DF GC ，
所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ． 又在BDC ∆，是BC 的中点，则TH DB ，
又BD ⊄平面FGH ,TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．
（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，
则GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直,以点G 为坐标原点，
,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,
设2AB =,则1,22,2DE CF AC AG ====,
22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(
,,0)22
B C F H ---, 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =，则2200
n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222
22022
20x y x z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 取21x =，则221,2y z ==,2(1,1,2)n =，
1211
cos ,2
112n n <>==++，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60．
（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n
n S =+．
(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
解：（Ⅰ）由233n n S =+可得111(33)32a S ==+=，11111
(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥，
而11133a -=≠，则13,1
3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩
．
（Ⅱ)由3log n n n a b a =及13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩,可得31
1
1
log 3
11
3n n n n n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨
-⎪>⎪⎩ 2311123133333n n n T --=+++++,2234111123213333333n n n n n T ---=++++++，
22312231211111111111111()333333333333333
112121311321
3319392233182313
n n n n n n n n n n
n n T n n n ----=+-++++-=-+++++----+=+-=+--=-⋅⋅- 1
1321
1243n n n T -+=-
⋅ （19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数
字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次,得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除，但不能被10整除，得—1分;若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(Ⅱ）若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．
解：（Ⅰ）125,135，145，235，245,345；
（Ⅱ)X 的所有取值为-1,0，1．32112
84444333
9992111
(0),(1),(1)31442
C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-=====
0(1)13144221
EX =⨯+⨯-+⨯=．
（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22
:
1(0)x y C a b a b +=>>的离,左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心,以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;
(Ⅱ）设椭圆22
22:144x y E a b
+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线
y kx m =+交椭圆E 于,A
B 两点，
射线PO 交椭圆E 于点Q ．
（i ）求||
||OQ OP 的值；(ii
）求ABQ ∆面积最大值．
解：（Ⅰ）由椭圆22
22:1(0)x y C
a b a b
+=>>可知
c e a ==,而222a b c =+则
2,a b c ==， 左、
右焦点分别是12(,0),,0)F
F ，圆1F ：2
2()9,x y +=
圆2F ：22()1,x y +=
由两圆相交可得2
4<<，即12<，交点在椭圆C 上,
则224134b b +=⋅，整理得424510b b -+=,解得21b =，2
14
b =
(舍去）， 故21b =，2
4a =,椭圆C 的方程为2214
x y +=．
（Ⅱ）(i ）椭圆E 的方程为22
1164
x y +=，设点00(,)P x y ，满足
220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入22
1164x y +=可得点00(2,2)Q x y --
，于是
||2||OQ OP ==． （ii ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：
d =
=221164
y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，得224()16x kx m +
+=,
整理得222(14)84160k x kmx m +++-=．
2
2
2
2
2
2
6416(41)(4)16(16
4)0k m k m k m ∆=-+-=+->,||AB = 211||
||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅=+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅
=+,当且仅当22||82m m k ==+等号成立．
而直线y kx m =+与椭圆2
2:14x C y +=有交点P ，则22
44y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解, 即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解，
其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥， 则上述2282m k =+不成立，等号不成立，
设
(0,1]t =，则S ∆==(0,1]为增函数，
于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12．
（21）【2015年山东，理21】(本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a R ∈．
（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，
21(21)(1)121()(21)111
a x x ax ax a
f x a x x x x -++++-'=+-==
+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1
()1,()01
g x f x x '==>+,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点．
当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-,
若8
09a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点．
若8
9
a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <,
且1212
x x +=-，而(1)10g -=>,则121
14x x -<<-<,所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调
递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增． 因此此时函数()f x 有两个极值点；
当0a <时0∆>，但(1)10g -=>,121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调
递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减,所以函数只有一个极值点．
综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点;当8
9
a >时,()f x 的有两个
极值点．
（Ⅱ)由(Ⅰ）可知当8
09
a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，
则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >,符合题意； 当8
19
a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =, 则当(0,)x ∈+∞时,()0f x >，符合题意;
当1a >时,2(0)0,0g x <>,所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =,
则当2(0,)x x ∈时，()0f x <,不符合题意；
当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x
'=-
=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，
于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当1
1x a
>-时2(1)0ax a x +-<，
此时()0f x <，不符合题意．
综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．
另解：（Ⅰ)2()ln(1)()f x x a x x =++-,定义域为(1,)-+∞
21(21)(1)121()(21)111
a x x ax ax a
f x a x x x x -++++-'=+-==
+++, 当0a =时,1
()01
f x x '=>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．
设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=∆=--=-,
当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．
若(98)0a a ∆=-≤，即8
09a <≤时，()0g x ≥,()0f x '≥函数在(1,)-+∞为增函数，无极值点．
若(98)0a a ∆=->，即8
9
a >或0a <，而当0a <时(1)0g -≥
此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根,此时函数()f x 只有一个极值点;
当8
9
a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根,此时函数()f x 有两个极值点；
综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1;当8
9
a >时，
()f x 的极值点个数为2．
（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,0x ∀>,都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥
当1x =时，ln 20≥恒成立；
当1x >时，20x x ->,2ln(1)
0x a x x
++≥-；
当01x <<时，20x x -<，2ln(1)
0x a x x
++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立．
故当1x >时，，2ln(1)1
1x x x x +<
--(0,)∈+∞,则只需0a ≥； 当01x <<时,2ln(1)1
(,1)1
x x x x +>∈-∞---，则需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>,都有
()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可,故所求a 的取值范围是01a ≤≤． 另解：（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在
(0,)+∞上单调递增即可,于是只需0x ∀>，1
()(21)01
f x a x x '=+-≥+成立，
当1
2
x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-
∈-∞+， 则0a ≥；当12
x =
时12()023f '=>；当1
02x <<，1(1)(21)a x x ≤-+-,
令21(1,0)x t -=∈-，2
()(3)
g t t t =-+关于(1,0)t ∈-单调递增，
则2
()(1)11(13)
g t g >-=-
=--+，则1a ≤，于是01a ≤≤． 又当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =， 则当2(0,)x x ∈时，()0f x <,不符合题意；
当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+,当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x
'=-
=>++, ()h x 在(0,)+∞单调递增,因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，
于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当1
1x a
>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．
综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．
【评析】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．。