第6章 习题课1 天体运动各物理量与轨道半径的关系

习题课1 天体运动各物理量与轨道半径的关系
[学习目标] 1.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路.2.掌握天体的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系.
一、天体运动的分析与计算
1.基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F 引＝F 向.
2.常用关系：
(1)G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2T
2r .
(2)忽略自转时，mg ＝G Mm R 2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR 2
＝GM ，该公式通常被称为“黄金代换式”.
例1 (多选)地球半径为R 0，地面重力加速度为g ，若卫星在距地面R 0处做匀速圆周运动，则( )
A.卫星的线速度为2R 0g
2 B.卫星的角速度为 g 8R 0
C.卫星的加速度为g
2
D.卫星的加速度为g
4
答案 ABD
解析 由GMm (2R 0)2＝ma n ＝m v 22R 0＝mω2(2R 0)及GM ＝gR 0 2，可得卫星的向心加速度a n ＝g
4，角速度ω＝
g 8R 0，线速度v ＝2R 0g
2
，所以A 、B 、D 正确，C 错误. 针对训练 某着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图1所示.设轨道舱的质量为m ，月球表面的重力加速度为g ，月球的半径为R ，轨道舱到月球中心的距离为r ，引力常量为G ，试求：轨道舱的速度和周期.
图1
答案 R
g r 2πr R
r g
解析 轨道舱在月球表面时G Mm
R 2＝mg ①
轨道舱在半径为r 的轨道上做圆周运动时，有 G Mm
r 2＝m v 2r ② G Mm r 2＝m 4π2
T 2r ③ 由①②得v ＝R g r 由①③得T ＝
2πr R
r g
二、天体运行的各物理量与轨道半径的关系
设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动. (1)由G Mm
r 2＝m v 2
r 得v ＝
GM
r
，r 越大，v 越小. (2)由G Mm
r
2＝mω2r 得ω＝
GM
r 3
，r 越大，ω越小. (3)由G Mm
r
2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 得T ＝2πr 3
GM
，r 越大，T 越大. (4)由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GM
r 2，r 越大，a n 越小.
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”.
例2 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km 处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( ) A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小
D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案 D
解析 甲的速率大，由G Mm
r 2＝m v 2r ，得v ＝
GM
r
，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故B 错；由G Mm r 2＝mr 4π2
T
2，得T ＝
4π2r 3
GM
，可知甲的周期小，故A 错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C 错误；由GMm r 2＝ma n 得a n ＝GM
r 2，可知甲的向心加速度比乙的
大，故D 对.
例3 如图2所示，a 、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R 和2R (R 为地球半径).下列说法中正确的是( )
图2
A.a 、b 的线速度大小之比是2∶1
B.a 、b 的周期之比是1∶2 2
C.a 、b 的角速度大小之比是36∶4
D.a 、b 的向心加速度大小之比是9∶2 答案 C
解析 两卫星均做匀速圆周运动，F 万＝F 向，向心力选不同的表达式分别分析. 由GMm
r 2＝m v 2r 得v 1v 2
＝
r 2
r 1
＝3R 2R ＝3
2
，故A 错误. 由GMm
r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2得T 1T 2＝r 1 3r 2 3＝23
2
3
，故B 错误. 由GMm r 2＝mrω2得ω1ω2
＝
r 2 3r 1 3＝36
4
，故C 正确. 由GMm r 2＝ma n 得a n1a n2＝r 2
2
r 1 2＝94
，故D 错误.
1.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(多选)如图3所示，飞船从轨道1变轨至轨道
2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
图3
A.速度大
B.向心加速度大
C.运行周期长
D.角速度小
答案 CD
解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引＝F n ， 所以G Mm
r 2＝ma n ＝m v 2r ＝4π2mr T 2＝mrω2，
即a n ＝GM
r
2，v ＝
GM
r
，T ＝ 4π2r 3
GM
，ω＝ GM r 3(或用公式T ＝2π
ω
求解). 因为r 1<r 2，所以v 1>v 2，a n1>a n2，T 1<T 2，ω1>ω2，选项C 、D 正确.
2.(行星各运动参量与轨道半径的关系)如图4所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是( )
图4
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 答案 C
解析 根据万有引力定律F ＝G Mm
r 2可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引
力不同，A 项错误；由G Mm r 2＝m 4π2
T
2r ，得T ＝2π
r 3
GM
，因为各小行星的轨道半径r 大于地球的轨道半径，所以它们的周期均大于地球的周期，B 项错误；向心加速度a n ＝F m ＝G M
r 2，内
侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C 项正确；由G Mm
r 2＝m v 2
r 得线速度v ＝
GM
r
，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度小于地球绕太阳的线速度，D 项错误. 3.(天体运动各参量的比较)如图5所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
图5
A.甲的向心加速度比乙的小
B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大 答案 A
解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力.由牛顿第二定律G Mm r 2＝ma n ＝m 4π2T 2r ＝mω2
r ＝m v 2r ，可得a n ＝GM r 2，T ＝2π
r 3
GM
，ω＝ GM
r 3
，v ＝ GM
r
.由已知条件可得a 甲＜a 乙，T 甲＞T 乙，ω甲＜ω乙，v 甲＜v 乙，故正确选项为A.
4.(天体运动的分析与计算)如图6所示，A 、B 为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h 1、h 2，已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，求：
图6
(1)A 的线速度大小v 1； (2)A 、B 的角速度之比ω1∶ω2. 答案 (1)
gR 2
R ＋h 1
(2) (R ＋h 2)3
(R ＋h 1)3
解析 (1)设地球质量为M ，行星质量为m ，
由万有引力提供向心力，对A 有：GMm
(R ＋h 1)2＝m v 1 2R ＋h 1① 在地球表面对质量为m ′的物体有：m ′g ＝G Mm ′R 2②
由①②得v 1＝
gR 2
R ＋h 1
(2)由G Mm (R ＋h )2＝mω2
(R ＋h )得ω＝ GM
(R ＋h )3
所以A 、B 的角速度之比ω1ω2
＝
(R ＋h 2)3
(R ＋h 1)3
.
课时作业
一、选择题(1～7为单项选择题，8～10为多项选择题)
1.把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( ) A.周期越大 B.线速度越大 C.角速度越大 D.向心加速度越大
答案 A
解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G Mm
r 2＝m
v 2r 得v ＝
GM r ，可知r 越大，线速度越小，B 错误.由G Mm
r
2＝mω2r 得ω＝ GM
r 3
，可知r 越大，角速度越小，C 错误.由r 3T 2＝k 知，r 越大，T 越大，A 对.由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GM
r 2，可
知r 越大，向心加速度a 越小，D 错误.
2.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速率分别为v 1和v 2.那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) A.19
18 B. 1918
C.
1819
D.1819
答案 C
解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G Mm
(r ＋h )2＝m v 2r ＋h ，那么卫星的线速度跟其
轨道半径的平方根成反比，则有v 1v 2
＝
r ＋h 2
r ＋h 1
＝
1819
. 3.两颗行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为M A M B ＝p ，两行星半径之比为R A R B ＝q ，则两个卫星的周期之比T a
T b 为( )
A.pq
B.q p
C.p
p q
D.q
q p
答案 D
解析 卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有：G Mm R 2＝mR (2πT
)2
，得T ＝
4π2R 3GM ，解得：T a
T b
＝q q
p
，故D 正确，A 、B 、C 错误. 4. a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图1所示，下列说法中正确的是( )
图1
A.a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度
B.b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度
C.a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度
D.a 、c 存在在P 点相撞的危险 答案 A
解析 由G Mm r 2＝m v 2
r ＝mω2
r ＝m 4π2T 2r ＝ma n 可知，选项B 、C 错误，选项A 正确；因a 、c 轨
道半径相同，周期相同，既然图示时刻不相撞，以后就不可能相撞了，选项D 错误. 5.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e ”.该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1
480，母星的体积约为太阳的
60倍.假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e ”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e ”与地球的( )
A.轨道半径之比约为
360
480 B.轨道半径之比约为
3
604802
C.向心加速度之比约为3
60×4802
D.向心加速度之比约为3
60×480 答案 B
解析 由公式G Mm r 2＝m (2π
T )2r ，可得通式r ＝
3
GMT 2
4π2
，设“55 Cancri e ”的轨道半径为r 1，地球轨道半径为r 2，则r 1
r 2
＝
3
M 1M 2·T 1 2
T 2
2＝ 3
604802，从而判断A 错，B 对；再由G Mm
r
2＝ma n 得通式a n ＝G M r 2，则a n1a n2＝M 1M 2·r 2
2
r 1 2＝
3
M 1M 2·T 2
4
T 1
4＝3
60×4804，所以C 、D 皆错. 6.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( ) A.m v 2
GN B.m v 4GN C.N v 2Gm D.N v 4Gm
答案 B
解析 设卫星的质量为m ′
由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2
R ①
m ′v 2
R
＝m ′g ②
由已知条件：m 的重力为N 得N ＝mg ③ 由③得g ＝N
m ，代入②得：R ＝m v 2
N
代入①得M ＝m v 4
GN
，故B 项正确.
7. 如图2所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同.已知卫星甲的公转周期为T ，每经过最短时间9T ，卫星乙都要运动到与卫星甲同居地球一侧且三者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为( )
图2
A.98T
B.89T
C.109
T D.910
T
答案 A
解析 由(2πT －2π
T 乙)t ＝2π①
t ＝9T ②
由①②得T 乙＝9
8
T ，选项A 正确.
8.火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的1.5倍.根据以上数据，下列说法中正确的是( ) A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B.火星公转的周期比地球的长 C.火星公转的线速度比地球的大 D.火星公转的向心加速度比地球的大 答案 AB
解析 由G Mm R 2＝mg 得g ＝G M R 2，计算得A 对；由G Mm r 2＝m (2π
T )2r 得T ＝2π
r 3
GM
，计算得B 对；周期长的线速度小(或由v ＝ GM
r
判断轨道半径大的线速度小)，C 错；公转的向心加速度a n ＝G M
r
2，计算得D 错.
9.土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系，则下列判断正确的是( ) A.若v 2∝R 则该层是土星的卫星群 B.若v ∝R 则该层是土星的一部分 C.若v ∝1
R 则该层是土星的一部分
D.若v 2∝1
R 则该层是土星的卫星群
答案 BD
解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v ＝ωR 知v ∝R ，B 正确，C 错误；若是土星的卫星群，则由G Mm R 2＝m v 2R ，得v 2∝1
R ，故A 错误，D 正确.
10.科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示：a ＋b ＝常量，则当a ＝b 时，ab 乘积最大)( ) A.地球与月球间的万有引力将变大 B.地球与月球间的万有引力将变小
C.月球绕地球运行的周期将变大
D.月球绕地球运行的周期将变小 答案 BD
解析 万有引力公式F ＝GMm
r 2中，G 和r 不变，因地球和月球的总质量不变，当M 增大而m
减小时，两者的乘积减小，万有引力减小，故选项A 错误，选项B 正确；又GMm r 2＝mr 4π2
T 2，
T ＝
4π2r 3
GM
，M 增大，则T 减小，故选项C 错误，选项D 正确. 二、非选择题
11.两行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比M A ∶M B ＝2∶1，两行星半径之比R A ∶R B ＝1∶2，则两个卫星周期之比T a ∶T b ＝________，向心加速度之比为________. 答案 1∶4 8∶1
解析 卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，有：G Mm R 2＝m 4π2
T 2R ，得T ＝2π
R 3
GM . 故T a T b
＝ R A
3R B
3· M B M A ＝14，由G Mm R 2＝ma ，得a ＝G M
R
2， 故a a a b ＝M A M B ·R B
2
R A 2＝81
. 12.某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为M .现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常量为G .
(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R 1，若忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度v 1为多大？
(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为R 2，周期为T 2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m 卫为多大？ 答案 (1)
GM R 1 (2)4π2R 2
3
GT 2 2
－M 解析 (1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m 1，
有G Mm 1R 1 2＝m 1v 1
2R 1
，解得v 1＝
GM
R 1
. (2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为m 2，则有
G (M ＋m 卫)m 2R 2 2＝m 2R 24π2
T 2 2 解得m 卫＝4π2R 2 3GT 2 2
－M . 13.我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道.这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星.设“高分一号”轨道的离地高度为h ，地球半径为R ，地面重力加速度为g ，求“高分一号”在时间t 内，绕地球运转多少圈？
答案 t 2π gR 2(R ＋h )3
解析 在地球表面mg ＝GMm R
2 在轨道上GMm (R ＋h )
2＝m (R ＋h )4π2T 2 所以T ＝2π
(R ＋h )3GM ＝2π(R ＋h )3gR 2
故n ＝t T ＝t 2π gR 2(R ＋h )3.。