九年级数学下册261二次函数概念
26-2-1二次函数的图像和性质(1)22-23学年华东师大版九年级数学下册
y=－2x2 … -８ -4. 5
-１ -0.25 ０ -0.25 -０.５ -０.１２５ ０ -０.１２５
-２ -０.５ ０ -０.５ y
1
1 1.5 2 … -１ -2.25 -４ …
-０.５ -１.１２５ -2 … -２ -4. 5 -８ …
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y 1 x2
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
不同点: 开口大小不同;
|a|越大， 抛物线的开口越小。
探究
画出函数 y x2, y 1 x2, y 2x2 的图象． 2
解: (1) 列表
x
… -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
y=－x2 … -４ -2.25
y=－
1 2
x2
…
-2
-１.１２５
-1
2
-2
(2) 描点
-3
(3) 连线 y x2
-4
-5
y 2 x2
函数y=－21 x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。
(0 ,0) y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
仪陇县第九中学九年级数学下册 第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质 1二次函数y＝ax2
26．2 二次函数的图象与性质1． 二次函数y ＝ax 2的图象与性质1．能够利用描点法作出y ＝x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x 2的性质．2．能作出二次函数y ＝－x 2的图象，并能够比较与y ＝x 2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的联系．重点会画y ＝ax 2的图象，理解其性质．难点结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．一、创设情境，引入新课导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？二、探究问题，形成概念1．函数y ＝ax 2 的图象画法及相关名称【探究1】画y ＝x 2的图象学生动手实践、尝试画y ＝x 2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y ＝x 2的图象，如图1.【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线；②图象关于y 轴对称；③有最低点，没有最高点．结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．2．函数y ＝ax 2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出两函数的图象．如图2.比较图中三个抛物线的异同．相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)；②对称轴相同，都为y 轴；③开口方向相同，它们的开口方向都向上．不同点：开口大小不同．【练一练】画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．(分析：仿照探究2的实施过程)比较函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．找出它们的异同点． 相同点：①形状都是抛物线；②顶点相同，其坐标都为(0，0)；③对称轴相同，都为y 轴；④开口方向相同，它们的开口方向都向下．不同点：开口大小不同．【归纳】y ＝ax 2的图象特征：(1)二次函数y ＝ax 2的图象是一条抛物线；(2)抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；(3)|a|越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．三、练习巩固1．已知函数y ＝(m －2)xm 2－7是二次函数，且开口向下，则m ＝________.2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的函数关系式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．3．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴．4．已知正方形周长为C (cm )，面积为S (cm 2)．(1)求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；(2)根据图象，求出S ＝1 cm 2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2.四、小结与作业小结1．抛物线y ＝ax 2 (a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点．2．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．3．当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．作业1．布置作业：教材P7“练习”中第1，2，3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．22.4 图形的位似变换图形在平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ （2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．五、例题讲解例1（教材P63的例题）分析：略（见教材P63的例题分析）解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．六、课堂练习1． 教材P64．1、22． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F 的坐标．3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P65．3， P66．5、82．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到 1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．教学反思24.6 图形与坐标学前温故在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面____．通常把其中水平的一条数轴叫做______或______，取向右为正方向；铅直的数轴叫做______或____，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做______.新课早知1．确定点的位置的方法有多种：①用______确定点的位置；②用角度和距离确定点的位置；③用棋盘坐标确定点的位置；④用经纬坐标确定点的位置，利用________来表示．2．平面直角坐标系中，图形中各点的坐标发生变化，则新旧图形的变化规律如下：(1)横坐标不变，纵坐标都乘以－1，图形关于____对称；(2)纵坐标不变，横坐标都乘以－1，图形关于____对称；(3)横、纵坐标均乘以－1，图形关于____对称；(4)如果一个图形的各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；(5)如果原图形上点的横、纵坐标保持不变，而另一个图形的横、纵坐标扩大或缩小一定倍数时，图形则相应地被________放大或缩小该倍数．3．在平面直角坐标系中，点A(3,4)、B(－4,3)，以原点O为位似中心，相似比为2，将线段AB放大，则对应点A′、B′的坐标为( )．A．A′(6,8)、B′(－8，－6)B．A′(6,8)、B′(8，－6)C．A′(－6，－8)、B′(－8,6)D．A′(－6，－8)、B′(8，－6)答案：学前温故直角坐标系x轴横轴y轴纵轴坐标原点新课早知1．平面直角坐标系经纬度2．(1)x轴(2)y轴(3)原点(4)向右(或向左) 向上(或向下)(5)横向、纵向3．D位似变化【例题】如图，把△ABC以A为位似中心，放大1倍，并分别写出变化前后各对应顶点的坐标．分析：(1)运用网格法，延长AB、AC到B′、C′，运用相似三角形性质，相似比等于对应边的比，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′，△AB′C′为所求三角形．(2)可运用相似三角形的性质求变化的坐标．解：如上图所示，网格法延长AB 至B′使AB′＝2AB ， ∵AB＝32＋32＝18＝32，则AB′＝62，延长AC 至C′使AC′＝2AC ，∵AC＝52＋1＝26，则AC′＝226，△AB′C′为所求三角形，AB′AB ＝B′C′BC ＝AC′AC＝2， ∴B′(1,4)、C′(5,0)．∴图形变化前后各对应顶点坐标为：A(－5，－2)、B(－2，1)、C(0，－1)、B′(1,4)、C′(5,0)．点拨：(1)作位似图形时，也可反向延长，即反向延长BA 、CA 到B′、C′，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′.(2)图形放大坐标变化：①用网格法易求点的坐标变化．②运用相似三角形性质求点的坐标变化，构建直角三角形，利用相似形入手求解．1．如图所示，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么(10,20)表示的位置是( )．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△ABC 与△A′B′C′关于y 轴对称，那么点A 的对应点A′的坐标为( )．A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)3．线段AB 的两端点A(1,3)、B(2，－5)．(1)把线段AB 向左平移2个单位，则点A′、B′的坐标为：A′______，B′_______.(2)线段AB 关于x 轴对称的线段A″B″，则其坐标为：A″_______，B″________.(3)把线段AB 向上平移2个单位得线段A 1B 1，A 1B 1关于y 轴对称的线段A 2B 2，那么点A 2的坐标为________，点B 2的坐标为________．4．如图所示是某城市几个景点的示意图(图中小方块是边长为1个单位长度的小正方形)．请以某个景点坐标为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置．答案：答案：1．B 2.D3．(1)(－1,3) (0，－5)(2)(1，－3) (2,5)(3)(－1,5) (－2，－3)4．分析：(1)几个景点之中，只有“金凤广场”不在格点上．故选择原点时应避开金凤广场，这样就避免太多的点的坐标是分数．(2)选择湖心岛或者动物园作原点，则其他景点均在y轴的右方或者左方，选择动物园作为坐标原点，则所有点均在第三象限．解：选择动物园作为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则湖心岛的坐标为(－6，－2)，光岳楼的坐标为(－5，－3)，山峡会馆的坐标为(－1，－3)，金凤广场的坐标为(－5.5，－5)．。
湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的概念》课件
归纳概念：
形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，a≠0)的函 数叫做x的二次函数。 称：a为二次项系数，ax2叫做二次项
b为一次项系数，bx叫做一次项 c为常数项
注意：（1）关系式都是整式
（2）自变量的最高次数是二次
（3）二次项系数不等于零
全面剖析，深入理解 提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？
三、学法指导
学生 认知结构
观察 分析 类比 概括
转变
学会
会学
应用
四、教学过程
1、 知识回顾，复习反馈 2、探究学习，归纳新知 3、全面剖析，深入理解
4、即堂练习，知识应用 5、拓展延伸 提高能力 6、师生互动，反思小结
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函 数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．
（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活 动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好 数学的愿望与信心．
教学重点：二次函数概念的理解。
教学难点：理解二次函数形成满足的条件。
驶向胜 利的彼
岸
2. 对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b 和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？ 你认为它们还是不是二次函数？
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
知识运用
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分 别指出二次项系数,一次项系数,常数项
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图像。
二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的知识对于理解高中阶段的函数学习和解决实际问题具有重要意义。
本节内容首先介绍了二次函数的定义，包括函数的表达式、自变量和函数值的限制条件等。
接着，通过实例讲解，让学生理解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。
然后，引导学生学习二次函数的性质，包括单调性、极值等。
最后，通过练习题，让学生巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本知识，对于一次函数和二次函数的概念有一定的了解。
但是，对于二次函数的性质和图像的深入理解还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决能力也有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的定义、性质和图像，能够解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。
2.难点：二次函数的图像特征的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲授法、案例教学法和练习法。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，展示二次函数的图像和实例。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，通过实例进行解释和展示。
3.练习：让学生进行练习，巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次函数的重要性和应用价值。
七. 说板书设计板书设计包括二次函数的定义、性质和图像的主要内容，以及相关的重要概念和公式。
九年级数学二次函数知识点归纳
九年级数学二次函数知识点归纳九年级数学二次函数知识点1一、基本概念1.方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2.分类：二、解方程的依据—等式性质1.a=b←→a+c=b+c2.a=b←→ac=bc（c≠0）三、解法1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程（组）解应用题一概述⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。
在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。
因此，列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系1.行程问题（匀速运动）基本关系：=vt⑴相遇问题（同时出发）：+=；⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则⑶水中航行：；2.配料问题：溶质=溶液某浓度溶液=溶质+溶剂3.增长率问题：4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率某工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
第二章 二次函数
2.1 二次函数
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数的概念和形式，学会用函数表达式表示二次
函数；
2、学会运用二次函数的概念去解决实际问题，注意二次函数
的取值范围；
导入新课
温故知新
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y
S=6a2
S x 2 30 x
归纳总结
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可
以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则
称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，
从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
练一练
1.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将
本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共
得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示
许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你
再列举一例：_____．
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习函数知识的最后一部份，也是较为重要的一部份。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质及其图象。
二次函数是初中数学中的重要知识，它不仅涉及到方程的解法，还与实际生活中的许多问题密切相关。
学生在学习本节内容时，需要掌握二次函数的基本知识，并能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了初一、初二级的函数知识，对函数的概念、性质有一定的了解。
同时，学生也学习了平面直角坐标系、图象的知识，能够理解和绘制简单的函数图象。
但是，学生对于二次函数的定义、性质及其图象的理解还较为模糊，需要通过本节课的学习进一步掌握。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质。
2.能够绘制二次函数的图象，理解二次函数图象与系数的关系。
3.能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其性质。
2.二次函数图象的绘制与分析。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质、图象及其应用的教学课件。
2.教学素材：准备一些关于二次函数的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.学具：为学生准备一些纸张、彩笔等绘画工具，方便学生绘制二次函数的图象。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如抛物线形的篮球架、跳水板等，引导学生思考这些实例与数学知识的联系，从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数的定义、性质及其图象，引导学生理解二次函数的基本知识。
3.操练（10分钟）学生分组合作，绘制一些二次函数的图象，并分析图象的性质。
教师巡回指导，解答学生的问题。
人教版九年级下册数学第二单元2二次函数图像及性质
XX教育学科教师辅导讲义组长签字：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习回顾复习二次函数概念、图像和性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题一．知识点回顾（20min.） 考点一：二次函数的概念（1）一般的，形式如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
例如：,等都是x 的二次函数（2）等号左边是y ，右边是x 的二次多项式，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。
（3）任何一个二次函数的解析式都可以化成2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的形式，因此我们也把这个2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)叫做二次函数的一般式 考点二：二次函数的图像及性质（1） 图像：二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴是y 轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0,0）（2） 性质：当a>0时，函数的开口方向向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小（3） 抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越大，抛物线的开口越大 注1：二次函数的图像及其性质是中考的重点考查内容之一，所涉及的内容包括开口，顶点，对称轴，最大（小）值，以及求二次函数的关系式，近几年的中考中常出现利用二次函数的图书图像解决实际问题的题目。
注2：利用函数的增减性进行函数值的大小比较也是重点考查内容之一，此类问题先画出二次函数的（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；例4、将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；5、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12,0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．x D A C D B 、、、D yxCBOA75. (2010，平谷，一模)已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．6、已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x ＋22x ＝5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、随堂练(30min.)xyO QPDBCA1． 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．2、如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．3、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）.(第2题图1) (第2题图2)（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点3(1,)4F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~四、归纳总结1.通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2.我还有哪些没有解决的困惑？在知识点标题上画“×”课后作业(60min)1．关于x的方程(6)16x x+=的解为（）A 、12x =，22x =B 、18x =，24x =-C 、18x =-，22x =D 、18x =，22x =-2.如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当时，它是菱形 B ．当时，它是菱形 C ．当时，它是矩形 D ．当时，它是正方形4.如图的几何体的左视图是图中的（ ）5. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是( ) A ． B ． C ．D ．6. 如图，已知梯形ABCD ，AD//BC ，AD=CD=4，BC=8，点N 在BC 上，CN=2，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使EM+MN 的值最小，此时其最小值一定等于（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．7.下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A ．2x y =B ．12y x=C ．23y x =+D ．223y x =+ 8.设(x + y )(x + 2 + y ) —15 = 0，则x + y 的值为（ ）(A)— 5 或 3 (B)—3 或 5 (C) 3 (D) 5 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 方程x ²-4x =0的解是 ．第14题10. 已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm 2．11. 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB 垂直于地面时的硬长为AC （假定AC ＞AB ），影长的最大值为m ，最小值为n ，那么下列结论：①m ＞AC ;②m =AC ;③n =AB ;④影子的长度先增大后减小．其中，正确的结论的序号是 ．12.将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．13. 在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 4(1)，那么袋中球的总数量为 个.14.如图，反比例函数图象上一点A ，过A 作AB ⊥x 轴于B ，若S △AOB =3,则反比例函数解析式为___ __；15.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD,BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=21DC ．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16.（8分）计算： （1）241221348+⨯-÷。
人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
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2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》说课稿
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.1《二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图象。
二次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
通过学习二次函数，学生可以更好地理解函数的概念，提高解决问题的能力。
本节课的内容分为三个部分：二次函数的定义，二次函数的图象，二次函数的性质。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步掌握二次函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的知识，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义，二次函数的图象，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的图象和性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的动手能力和思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学模型等教学手段，直观地展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生自主探究二次函数的定义，通过小组合作，共同完成探究任务。
3.课堂讲解：讲解二次函数的图象和性质，通过多媒体课件和教学模型，直观地展示二次函数的图象和性质。
4.巩固练习：布置一些练习题，让学生运用所学的知识解决问题，巩固所学的内容。
5.课堂小结：对所学的内容进行小结，帮助学生梳理知识体系。
九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质教
2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质1．能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x2的性质．2．猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．3．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．重点理解和掌握函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质．难点比较y＝x2和y＝－x2的图象与性质的异同．一、复习导入1．二次函数的定义是什么？2．一次函数的图象是什么？性质是什么？3．反比例函数的图象是什么？性质是什么？4．画函数的图象有哪些步骤？教师提出上述问题，学生讨论后回答问题．二、探究新知1．画二次函数y＝x2的图象引导学生利用画函数的图象的步骤画出y＝x2的图象：(1)观察y＝x2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：xy(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．2．二次函数y＝x2的图象的性质问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？问题2：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．问题5：你能描述图象的形状吗？处理方式：第一步出示问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主回答．在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0，0)，它叫做顶点．第二步出示问题4，学生自己考虑，并举手回答．在学生回答完毕后教师点拨：二次函数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x ＝ 0.所以我们以后在列表时可以对称着列出各个点的数据．第三步出示问题5，学生先交流讨论后，教师利用课件动画演示并点拨：二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，并且抛物线的开口向上．如果你在地球的另一端向斜上方扔一件物体，就是这种样子．3．二次函数y＝－x2的图象与性质问题1：回顾一下画二次函数y＝x2的图象的步骤，你认为画图时需要注意什么？问题2：二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先猜一猜，然后在教材第33页画出它的图象．问题3：类比研究y＝x2的图象的方式，请回答：(1)你能描述y＝－x2的图象的形状吗？开口方向呢？(2)y＝－x2的图象的顶点坐标是什么？(3)y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？(4)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(5)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？处理方式：先出示问题1，让学生充分回顾思考后回答：①列表的选点的对称性；②描点的准确性；③连线的平滑性．如果学生回答不全，教师可适当提示或补充．再出示问题2，先让学生猜一猜，然后带着疑问画图．学生画图完毕后，选取部分学生所画的图进行展示．最后出示问题3、4、5，选取画图优秀的同学作业作为展示，同时出示5个问题，学生自主思考，如有困难可适当讨论，思考完毕后举手回答．三、举例分析例1 (1)点A(2，4)在二次函数y＝x2的图象上吗？(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标；(3)点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上吗？在二次函数y＝－x2的图象上吗？例2 比较y＝x2与y＝－x2的图象有什么关系？处理方式：本环节问题比较大，可先留出时间让学生充分思考后，再组织交流讨论．学生可以有不同说法，只要意思正确即可．教师可以分别从相同点：开口大小、对称轴、顶点；不同点：开口方向、增减性、最值，联系：轴对称性、中心对称性等方面进行引导．四、练习巩固1．在函数y＝x2上有两点(－1，y1)，(－3，y2)，那么y1，y2，0的大小关系是( ) A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞02．如图，边长为2的正方形ABCD的中心是直角坐标系的原点O，AD∥x轴，抛物线y ＝x2和y＝－x2分别经过点A，B，C，D，将正方形成几部分，则图中阴影部分的面积为________．3．已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2.(1)求S和C之间的函数表达式，并画出图象；(2)根据图象，求出S＝1 cm2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2.五、课堂小结1．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法：(1)选择适当的x值，计算相应的y的值；(2)在坐标系中描点；(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象．2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质：函数表达式y＝x2y＝－x2开口方向向上向下对称轴y轴(直线x＝0)增减性当x＜0时，y随x的增大而减小当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而增大当x＞0时，y随x的增大而减小对称轴顶点坐标原点(0，0)最值当x＝0时，y有最小值为0当x＝0时，y有最大值为0六、课外作业教材第34～35页习题2.2第1题．本节课的设计力求体现使学生学会学习，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松、和谐，适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．由此我采用“问题—猜想—探究—应用”的学科教学模式，把主动权充分地还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐．。
北师大版九年级下册数学第2章 二次函数 2.1 二次函数的概念
第一节 二次函数的概念◆ 问题：（1）矩形周长为16cm, 它的一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 之间函数关系为 。
（2）某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。
后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。
如果养殖场减少x 个，求该地区奶牛总数y （头）与x （个）之间的函数关系式.◆ 归纳：在上述问题中，用来表示函数的式子都是关于自变量的二次整式。
小结：（1）二次函数的概念一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.a为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项.（2）二次函数的定义域二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的定义域为一切实数◆ 例题讲解：例1：判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值.(1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝x 21－23x ＋1(4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x(7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c例2：当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？例3：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系；（2） 圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．课堂练习：1、判断下列函数是否是二次函数,若是,请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。
华师版九年级数学下册第26章二次函数【说课稿】二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
y=a(x-h) 2的图像和性质（说课稿）各位领导，各位老师：大家好，今天我说课的题目是二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质第二课时y=a(x-h) 2。
下面我将围绕“教什么”，“怎么教”，“为什么这样教”三个问题，从教材分析，教法学法分析，教学过程分析，教学评价分析和板书设计这五个方面进行分析说明。
一，教材分析1 教材的地位和作用本课内容是华师版九年级下册第二十六章二次函数y=a(x-h) 2+k图像和性质第二课时。
而在本节课之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数y=ax2、y=ax2+h、的图象和性质。
因此本课的教学是在学生学过二次函数知识的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y=ax2的图象经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)的图象和性质。
从特殊到一般，最终得到二次函数y=y=a(x-h) 2+k的图象。
这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点。
所以本课的教学起着承上启下的作用。
2教学目标：①、知识与技能：使学生掌握二次函数y=a(x-h) 2的图象的作法及性质，进一步了解二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)与二次函数y=ax2（a≠0）图象的位置关系；②、过程与方法：通过引导学生作图、观察、分析进一步理解二次函数图象与性质；③、情感态度价值观：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点；进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力。
3 重点和难点：教学重点：掌握二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)图象的作法和性质；教学难点：二次函数y=ax2的图象向二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)的图象的转化过程。
二，教法学法分析根据《新课程标准》，本节课设计时体现“问题情境创设—建立数学模型—解释、应用—回顾、延伸”的教学理念。
特别在探究时通过学生动手操作和教师课件演示，让学生经历了知识的形成、发展与应用的过程，在教学过程中，鼓励学生自主探究与合作交流，引导学生观察、猜想、验证、推理与交流等数学活动。
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案一. 教材分析《二次函数》是北师大版数学九年级下册第2.1节的内容。
本节课主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像，培养学生利用二次函数解决实际问题的能力。
教材通过引入二次函数的概念，让学生从图像和解析式两个方面理解二次函数的性质，为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。
但在二次函数方面，学生可能对函数图像的解读、对称性、顶点坐标的求解等方面存在困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，理解二次函数的图像特征，掌握二次函数的性质。
2.能够从实际问题中识别二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力、数学表达能力及合作交流能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其图像特征。
2.二次函数的性质，包括对称性、顶点坐标、开口方向等。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
2.利用数形结合的方法，让学生直观地理解二次函数的图像特征。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的主体参与意识。
4.运用启发式教学，激发学生的思维，引导学生发现和总结二次函数的性质。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入二次函数的概念。
2.制作二次函数图像的课件，用于展示二次函数的图像特征。
3.准备一些关于二次函数性质的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
例如：抛物线与x轴的交点问题。
2.呈现（15分钟）展示二次函数图像的课件，让学生直观地了解二次函数的图像特征，如顶点、开口方向等。
同时，引导学生观察图像，发现二次函数的性质。
华东师大版九年级数学下册 26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质【名校课件+集体备课】
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
新课进行时
典例精析
例1 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗? （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的 坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗?在二 次函数y=－x2的图象上吗?
6
课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题； 2、完成同步练习册本课时的习题。
文本
文本
文本
文本
谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
o
x
新课进行时
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流。
1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y
o
x
y=-x2
新课进行时
知识要点
二次函数y=ax2 的图象性质： 1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
新课进行时
方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右 两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我 们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域 中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去 比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补 法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。
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教 学 设 计 表
学科 数学 授课年级 九年 学校 长春市 164 中 教师姓名 季山英
章节名称 学习内容分析 学习者分析
二次函数 二次函数是初中数学重要的组成部分，是后续学习的基础。
计划学 时
一课时
学生已经学习过一次函数、反比例函数、正比例函数，对函数知识有一定的了解、学过一元二次 方程知识，对学习二次函数有一定的知识基础。 课程标准：通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。 知识与技能：通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。
学生经历探索具体问 题中数量关系和变化 规律的过程，学生在 独立完成联系的过程 中加深对概念的理 解。
经历探索具体问题中 数量关系和变化规律 的过程， 使学生深刻理 解： 看一个函数是不是 二次函数的关键是看 二次项系数是否为零。
洋学生在独立思考的 基础上， 参与对问题的 学生独立思考自主解 决，然后进行交流， 学生分组讨论，汇报 交流，学生畅所欲言 发表自己的观点。 讨论， 断联系上的表达 能力， 培养新生的合作 意识， 引导学生感受数 学的价值。让学生讨 论、交流、叙述，在应 用和问题解决中加深 对概念的理解。
教学重点及解决措施 义。 寻找、发现实际生活中的二次函数问题。通过学生探究归纳、分析体会二次函数是刻画现 教学难点及解决措施 实世界的一个有效的数学模型。
依据的理论
问题情境教学法
信息技术应用分析 知识点 二次函数 学习水平 二次函数意义 二次函数的表达式中 二次函数的表达式 各部分的名称 教学过程（可续页） 教学环节 教学内容 所用时间 教师活动 教师： 我们学习过一 活动 1 由图片中的问 题彩虹、喷水柱、拱桥 形象创设情境吸引学 生引出课题 让学生体会二次 次 函 数 和 反比 例 函 函数概念的现实 10 分钟 背景，感受其实 题 1、2 函数关系及 际意义。 表达式 的兴趣。 数， 请同学们思考问 解决问题。 题， 激发学生学习数学 学生独立思考，自主 从生活中发现数学问 创设问题情境， 让学生 学生活动 设计意图 计算机、投影仪显示内容 使用多媒体演示文稿 内容。 媒体内容与形式 使用方式 使用效果 激发学生学习兴趣， 使 学生能直观感性认识， 并加强学生的记忆。
教学目标
过程与方法:经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的 一个有效的数学模型。 情感、态度与价值观：体会数学与人们生活的联系。在探究二次函数的学习活动中，体会通分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意
上面三个实际例 教师引导学生观察， 活动 2 通过归纳、分 析， 使学生明白二次函 数的特征， 理解其解析 式的特点。 子中的变量对应 分 析 上 面 三个 函 数 规律可以用二次 15 分钟 函数来表示，并 师 并 在 黑 板上 板 书 给出二次函数的 二次函数的概念。 一般表达式。 小区要修建一块 长方形的绿地， 教师提出问题。 教师 设长为 xm 宽为 关注： 1、学生能否 活动 3 例题分析， 通过 例题分析解答， 使学生 分析问题能力得以的 提高， 解决问题能力的 提升。 ym，面积为 S 平 用 二 次 函 数表 示 数 方米， （ 1）如果 量关系， 2、学生能 用 18 米的建筑材 料修建绿地的边 元二次方程， 在对一 框 （周长） 求出 S 元 二 次 方 程进 行 分 与 x 的函数的关 类讨论。 系式，并求出 x 的取值范围。 15 分钟 否 把 问 题 转化 为 一 关系式进行比较， 教
专 家 点 评
活动 1 提出问题，探索关系。 课堂教学流程图 活动 2 归纳抽象，形成概念。 活动 3 运用知识，深化理解。 活动 4 归纳小结，布置作业。 教 学 反 思 本节课通过创设问题情境，确实激励学生的学习兴趣。使学生从自己的实际生活中发现数学问 题，体会到数学与人们生活的联系。同时也体会到二次函数是刻画现实世界一个有效的数学模型。
加深学生对知识的理 1、 二次函数的意 活动 4 通过学生对本 义。 节课的小结， 加深对二 2、 二次函数的一 次函数意义的理解。 般表达式。 言进行评价。 得到不同的发展。 5 分钟 的程度。 用鼓励的语 己的收获。 反思， 使各层次的学生 节 课 的 内 容的 理 解 结，也可以谈一谈自 识的反思。 巩固、 提高、 教师关注： 学生对本 学生看板书进行小 解， 促进学生对所学知