不等式选讲——基本不等式的推广

不等式选讲——基本不等式的

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不等式选讲——基本不等式的推广

学习目标

1．在掌握二维基本不等式的基础上推广到三维基本不等式，并会应用三维基本不等式；

2．了解n 维基本不等式。

学习重点和难点

1．重点：三维基本不等式的理解和应用。

2．难点：三维基本不等式的理解和应用。

学习过程

一．自学、思考、练习

（一）问题导引

1．对于二维基本不等式,0,a b

a b >+≥a b =时等号成立，你能把它推广到三维的情景吗？并证明三维

基本不等式。

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2．写出n 维基本不等式。

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____________________________________________________________________________________ (二)知识的应用

例1．设,,a b c 是不全相等的正数，求证：

（1）222()()9a b c a

b c abc ++++≥； （2）()()9a b c b c a b c a a b c

++++≥； 例2．求下列函数的最小值：

（1）241y x x

=+

()0x >； （2）23y x x =+()0x >； （3）

()21y x x =-()01x <<；

（4） ()21y x x =-()01x << 例3．若0a b >>, 求216()a b a b +

-的最小值 例4．体积为V 的圆柱体，它的高h 和底半径r 应当采用怎样的比，才能使表面积S 最小？

三．自我测试

1．若,x y R +∈，且4x y +≤，下列各式成立的是（ ）

A ．1x y ≤+4

1 B ．111x y +≥ C 2≥ D ．1xy ≥21 2．若,x y R ∈且满足32x y

+=，则3271x y ++的最小值是（ ）

A ．339

B ．1+22

C ．6

D ．7

3．设a b c >> n ∈N ，且c

a n c

b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6

4．若3()3x f x x

=+且(0,1]x ∈，则()f x 的最小值是（ ）

5．（06重庆）若,,0a b c

>且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为（ ）

A 1

B 1

C ．2

D ． 2

6．若103

x <<，则()213x x -的最大值是 .此时，x = .

7．若a 是正实数，222310a b +=，则的最大值是 .

8．若正数a , b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 .

9．若实数,x y 满足0xy

>，且22x y =，则2xy x +的最小值是 . 10．函数23(0)x y x =

<的值域是 .

11≤对所有正数,x y 都成立，试问k 的最小值是 12．将一长、宽分别为15、10的长方形铁皮截去四角（每角为边长为x 的正方形如图）后折成一个长方体的无盖容器，问切去的正方形边长是多小时？才能使容器的容积最大？