4-2 力矩 转动定律 转动惯量jm

z
M
O ri
Fi外
m i
力矩作用的效果：产生角加速度 ，——改变了物体 转动的状态，使物体转动变快或变慢。
15
比较
F

ma
牛顿二定理
M

J
定轴转动定理
F a
M
m
改变物体平动状态的原因 改变物体转动状态的原因 是物体平动惯性的量度。
J
是物体转动惯性的量度。
J 的意义：物体转动惯性的量度 .
图1
图2
J1 J2
常用的转动惯量 （P110 表）
21
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
J Jc
22
J Jc md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
13
1、刚体的定轴转动定律
M J
刚体定轴转动的角 加速度与它所受的合外 力矩成正比，与刚体的 转动惯量成反比。
z
O ri m i
转动惯量 J miri2
14
讨论 转动定律 M J
J miri2
（1） M
J （2） M J J d
dt
（3）M 0， ω不变
平动
平动
F
ma
m
r
T1
以向下为正
a1
m1： m1g T1 m1a1
(1)
m2
m1g
以向上为正
+
T2
a2
m2： T2 m2 g m2a2
定轴转动 M z J
(2)
m1
N
r
m2 g
T1r
T2r

J

1 2
mr 2
(3)
T2 mg
T1
思考：
a1 a2 ? T1 × T2 ? 滑轮质量
M

r

F
M Frsin Fd
5
4、一对力偶的力矩
M Fd

F
F
ol


F 0 M 0
M F l F l Fl
22
F'
ro
F

F 0

M 0
M Fr Fr 0
6
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量


0

t


m1 m2 gt
m1

m2

1 2
m
r

m1

m2

1 2
m
r
常数
30
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面 上，和一质量不计的绳索相连接，绳跨过一半径
为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量 为mB 的物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间无 滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦可略去不计．
长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角 速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
m
r
已知 m, m1, m2 , r, 0 0
求： t ?
思路：先求角加速度
m2
m1
受力平动 +受力矩转动
F ma
M z J
滑轮质 量不能 忽略
28
解：取地面参考系 （受力分析）
(1)两物体线加速度为多 少？ 水平和竖直两段绳的
A
mA
a
张力各为多少？
FA mAa
M J
C amtC a
(2) B 从静止落下距离 y
时，其速率是多少？
FB mBa a mB B
31
解 (1) 隔离物体,受力 分析，运动分析，取坐标，
建立方程．
A
mA
a

FN
mA FT1
PA
圆环：J mR 2 更稳定
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
定轴转动定理
M J
M / J
25
定轴转动定理 M J
细棒绕其一端 J 1 mL2
竿 子
3
长
M mgd d L sin
些 还
2
是
M
J
mg sin (L / 2)
FN
短 些 较 安 全
mL2 / 3
O
x
C
mC
mB B
顺时针为正
FT1
PC
向
FC 里

FT2
为 正
FT2
O
mB
a

PB y
32
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
a at R
J 1 mR2 2
FN
a

mA FT1
PA
O
x
FT1
FC
16
三 转动惯量
质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
质量连续分布
J mjrj2 r2dm j
z
O r dm
r2dV dm=ρdV V
dm：质量元 * r: 质点到转轴的垂直距离
dV ：体积元
单位：kg·m2
17
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
M J
37
解： 受力分析，力矩（O）分析
重力对O点的力矩
M mgd
J
d L sin
2
有： 1 mgl sin J
2
m,l
θ
O
FN
mg
d
式中 J 1 ml2 3
得 3g sin
2l
38
由角加速度的定义
2
10
二 转动定律 （1）单个质点 m
与转轴刚性连接
M rF sinθ
M rFt mr2
Ft mat mr
（2）刚体
z

M
Ft
O r 转动平面
m
Fn
F合
力
z
Fi内
Fi外
r O i m i 质量元
M i ri Fit ri Fit
miri2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
1
复习：1、矢量的标量积（点积）
a

b

ab cos
2、矢量的矢积（叉积）

c ab

大小：
|
a

b
|
ab
s in
c
方向：右手法则（右手螺旋法则）
b

a
2
一、 力矩
描述力对刚体的转
动作用．
设 F 在平面内
FM对 转r轴
解：
4m
2l l
m
2m 3m
Al
l
l
5m
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
J 2ml2 3m(2l)2 (4m 5m)( 2l)2 32ml2
19
质量连续分布
J r2dm
3. 一长为 L 的细杆，质量 m 均匀分布 ，求该
过杆的中点且垂直于杆的轴的转动惯量。
θ mg
？
3g sin
2L
o d
26
转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同
27
例: 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，一轻绳
两边分别系 m1 和 m2 两物体挂于滑轮上，绳不伸
JP

1 mR2 2

mR 2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc

1 12
mL2
O1
O1’
J

Jc

m( L)2 2

1 3
mL2
d=L/2
O2
O2’
23
同轴的转动惯量可以叠加 如: 两个圆盘对 轴的转动惯量
J

1 2
m1R12

1 2
m2 R22
R m O1
1
1
R2 O2 m2
24
圆盘：J mR 2 2
2
FT2

(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0 ，可得
A mA
FT1

FT2

mAmB g mA mB
C mC
mB B
轻绳和轻滑轮: 绳中的张力处处相等.
35
（2） B 从静止落下距离 y 时，其速率是 多少？
a
mB g
常数 A
mA mB mC 2

F

Fz

F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩
Mz
k

r

F

z
F
k Fz
F
O r
M z rF sin
7
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
刚体对转轴的合内力矩为零。

Mij 0
Z
M
O

d
rj
ri
i F
j F
M
Mij M M Fd Fd 0
8
5、求合力矩
M

r

F
M Frsin Fd
R+ T
r
R
T1
T2
对转轴：M TR 转对轴：M T2R T1r
9
FT1
OR

FT2
PC
M RFT1 RFT2
O
L
mg
M L mg cos
不可伸长
不能忽略
29
m1g T1 m1a (1)
m
T2 m2g m2a (2)
T1r
T2r

J

1 2
mr 2
(3)
m2
r
p
at


a
r
a m1
四个未知数： a, T1, T2,
三个方程 ？
绳与滑轮间无相对滑动： 解得： m1 m2 g
a at r (4)
Fit Fit miait miri
11
质元绕Z轴转动的力矩
M i ri Fit ri Fit miri2
刚体绕Z轴转动的力矩
z
Fi内
Fi外
r O i m i 质量元
Mi riFit riFit
mi ri 2
J 的计算方法 质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
1、 如图，求质点 m 对过圆心且垂 直于转动平面的转轴的转动惯量。
解：J r 2m
or
m
18
2、 由长l 的轻杆连接的 质点如图所示，求质点 系对过A垂直于纸面的轴 的转动惯量
合外力矩 合内力矩
Mi外 Mi内 miri2α
12
Mi外 Mi内 miri2α
合内力矩： Mi内 0
z
刚体对转轴的合外力矩:
O
M Mi外 (miri2 )α
令： J (miri2 )
刚体对转轴的转动惯量
M J 转动定律
PC

FT2
FT2
O
mB
a

PB y
33
a
mB g
mA mB mC 2
解 得
FT1

mA
mAmB g mB mC
2
FT2

(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
A mA
mC 0时： FT1 FT2
C mC
mB B
34
FT1

mA
mAmB g mB mC
dω dω dθ ω dω
dt dθ dt dθ
3g sin
2l
ωdω 3g sin θdθ 2l
m,l
θ mg
O FN

3g

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ωdω
2l

0
sin θdθ
代入初始条件积分得 ω 3g (1 cosθ)
l
39
小结: 一 力矩
1、定义：
M

r
常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
2
杆：
Jc

1 12
mL2
J
端

1 3
mL2
R Om
O1
O1’
d=L/2
O2
O2’
42
z
M<0
r O
F
M
z
M M>0
r O
F
4
2、合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
定轴转动 M M1 M 2 M3 代数和
3、 合力为零，但合力矩不一定为零


F
F


Fi 0 , Mi 0


F
F

Fi 0 , Mi 0
解：
L2
dm dx x
o
x dx
L
rx
2
L
J
r 2dm
x2dm 2 x2 m dx
L
L

m L
1 3

L3 8

L3 8


1 12
mL2
2
20
刚体的对轴的转动惯量与什么因素有关？
与刚体总质量有关; 与刚体对转轴的位置r有关; 与刚体质量分布有关.
J r2dm
Z F
的力矩
z
M
r
Od
F
P*
方向: 服从右手螺旋法则
大小: M Frsin Fd d r sin : 力臂
3
定义：
M

r

F
1、 定轴转动的力矩方向可用正、负号表示
取：逆时针转 动方向为Z轴正向
M 0 : 表明M的方向为 Z轴正向
M 0 : 表明M的方向与 Z轴反向
mA
C mC
匀加速直线运动 初速度为零
a mB B
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
36
例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
m,l θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转
F
大小: M Frsin Fd
方向: 服从右手螺旋法则
2、刚体的定 轴 转动定律
M J
d: 力臂
Z
R Om
40
二 转动惯量
离散质点系 J miri2 连续质点系 J r 2dm
* r: 质点到转轴的垂直距离
平行轴定理 J Jc md 2
41