数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题

2023高考数列专题——数列的函数性质
一、数列的单调性
解决数列单调性问题的三种方法
(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1
a n (a n
>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；
(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )
A ．[1，＋∞)
B ．(－3，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．⎝⎛⎭
⎫－9
2，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为 跟踪练习
1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n
3n ＋1
，那么这个数列是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列
2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．
3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1
．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．
二、数列的周期性
解决数列周期性问题的方法
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．
例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n
1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )
A ．2
B ．－6
C ．3
D ．1
例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝2
2－a n
(n ∈N *)，
则6S 100＝( )
A ．425
B ．428
C ．436
D ．437
跟踪练习
1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n
，若a 1＝1
2，则a 2 023＝( )
A ．－1
B ．1
2
C ．1
D ．2
三、数列的最大(小)项
求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ≤a n －1，
a n ≤a n ＋1 (n ≥2)
确定最小项；
(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫
或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，
所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫
或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数
列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．
例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a n
n
的最小值为( )
A ．29
3
B ．47－1
C ．48
5
D ．274
例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n
，则数列{a n }中的最大项是第 项． 跟踪练习
1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．
2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )
A ．1 008
B ．1 009
C ．1 010
D ．1 011
4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )
A ．当k ＝1
2时，数列{a n }为递减数列
B ．当k ＝4
5时，数列{a n }一定有最大项
C ．当0<k <1
2
时，数列{a n }为递减数列
D ．当k
1－k
为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项
5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝63
2
n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．
四、数列与函数的综合问题
例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )
A ．0
B ．252
C ．21
D ．42
跟踪练习
1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1
＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )
A ．3＋log 25
B ．8
C ．10
D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．
(1)求出数列{a n }的通项公式；
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．
3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．
高考数列专题——数列的函数性质（解析版）
一、数列的单调性
解决数列单调性问题的三种方法
(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；
(2)作商比较法：根据a n ＋1
a n (a n
>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；
(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )
A ．[1，＋∞)
B ．(－3，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．⎝⎛⎭
⎫－9
2，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即
b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．
例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).
解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.
解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<3
2，∴k <6.
跟踪练习
1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n
3n ＋1
，那么这个数列是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列
解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1
(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．
2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．
解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1
n <2，所以满足3个条件
的数列的通项公式可以是a n ＝2－1
n
．
答案：a n ＝2－1
n
(答案不唯一)
3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1
2a n ＋1
．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．
解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n
2a n ，
两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n
2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n
＝3(n ≥2)，
∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 2
1·a 1＝2≠3．
∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －
2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，n ＝1，2n
×3n －2，n ≥2.
(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a n
n ＋1有解，
①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝1
2；
②当n ≥2时，a n
n ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)
，
设f (n )＝2×3n －
2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3n
n ＋2>1，∴f (n )单调递增，
∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是1
3．
由①②可知实数λ的最小值是1
3．
二、数列的周期性
解决数列周期性问题的方法
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．
例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n
1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )
A ．2
B ．－6
C ．3
D ．1
解 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－1
2，a 4
＝1
3，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．
例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝2
2－a n
(n ∈N *)，
则6S 100＝( A )
A ．425
B ．428
C ．436
D ．437
解： 由数列的递推公式可得：
a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12
＝a 1，
据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425． 跟踪练习
1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )
A ．－1
B ．1
2
C ．1
D ．2
解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n
得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝1
2，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的
周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝1
2
．
五、数列的最大(小)项
求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；
(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫
或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，
所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫
或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数
列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．
例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a n
n 的最小值为( C )
A ．29
3
B ．47－1
C ．48
5
D ．274
解： 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28
x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)
上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝29
3
．
例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n
，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．
解： 解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1
－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119
.
解法二：根据题意，令⎩
⎪⎨⎪⎧
a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，
即⎩⎨
⎧
n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1
≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫10
11n
，
(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n
≥(n ＋2)⎝⎛⎭
⎫1011n ＋1
，解得9≤n ≤10.
又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，
∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119
. 跟踪练习
1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．
解析：当a n ＝n －2
2n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．
2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n
＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．
3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )
A ．1 008
B ．1 009
C ．1 010
D ．1 011
解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．
4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )
A ．当k ＝1
2时，数列{a n }为递减数列
B ．当k ＝4
5时，数列{a n }一定有最大项
C ．当0<k <1
2
时，数列{a n }为递减数列
D ．当k
1－k
为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项
解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝4
5时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n
>1，当n >4
时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <1
2时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为
递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈
N *，解得k ＝m
m ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故
D 正确．故选B 、C 、D ．
5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝63
2n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为
________．
解析：a n ＝63
2n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，
所以k ＝5．
六、数列与函数的综合问题
例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )
A ．0
B ．25
2
C ．21
D ．42
解： 由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)
2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故
选．
跟踪练习
1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝1
3x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则
log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )
A ．3＋log 25
B ．8
C ．10
D ．15
解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．
2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．
[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，
所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －
1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，
所以1
a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13
，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－
13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，
因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34
．
3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．
解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－1
8．
答案：⎣⎡⎦⎤－17
，－1
8。