应用多元统计分析课后习题答案高惠璇

x1 y2 (2)第二次配方.由于 x y y 1 2 2
14
第二章
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2
多元正态分布及参数的估计
2 x x 2 x1 x2 22x1 14x2 65 y y 22 y2 14( y1 y2 ) 65 y 14 y1 49 y 8 y2 16 ( y1 7) ( y2 4)
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 ));
2
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 )).
2
5
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 2 , 2 1
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
3 解三:两次配方法
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 2 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) 2 x12
2 1 x1 2 1 1 1 1 1 因2 x 2 x1 x2 x ( x1 , x2 ) , 而 BB, 1 1 x2 1 1 1 0 1 0 y1 1 1 x1 x1 x2 2 2 2 2 令y , 则 2 x 2 x x x y y 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 2 1 2
12
第二章
1 2
多元正态分布及参数的估计

2 1
解二:比较系数法 1 1 f ( x , x ) exp 设 ( 2 x 2 2
1 21 2
2 x2 2 x1 x2 22x1 14x2 65)
1 2 2 2 2 exp 2 2 [ ( x ) 2 ( x )( x ) ( x ) 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 ] 2 2 1 2 1 2 (1 )
2 2 2 2
x1 y2 即 1 x y y 1 2 2 2 1 2 ( 2 x x 2 x x 22 x 14 x 65 ) 1 2 1 2 12 1 2 1 2[( y1 7 ) 2 ( y2 4) 2 ] e e 2 2
g ( y1 , y2 )
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章
或者记
多元正态分布及参数的估计
Y1 X 1 X 2 1 1 X 1 Y CX Y2 X 1 X 2 1 1 X 2
则 Y ~ N 2 (C , CC)
类似地有

1 2 2 ( 2 x1 22 x1 65 x1 14 x1 49 ) 2
f 2 ( x2 )
X 2 ~ N (3,2).

f (x , x )dx
1 2 1
1 2 2
e
1 ( x2 3) 2 4
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第二章
多元正态分布及参数的估计
u e

1 1 ( u 2 u1 ) 2 ( u 2 u1 ) 2 1 2 2 du2 u1 e du2 du1 (u2 u1 )e 2
1 2
u e
2 u1 2 2 1
du1 1
0
2
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第二章
所以
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
4
第二章
(2) 因
多元正态分布及参数的估计
1 2 2 2(1 ) 0 X1 X 2 Y ~ N2 , 2(1 ) 0 X1 X 2 1 2
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相 互独立.
7
第二章
(2) 因
(1) ( 2)
多元正态分布及参数的估计
(1) ( 2) X X 2(1 2 ) O Y (1) ( 2) ~ N 2 p , ( 1 ) ( 2 ) O 2(1 2 ) X X
2 2 1 1 1 / 2
41 2 2 22 2 2 14 2 1
65
1 4 3 2
13
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 2
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且 4 1 1 E( X ) , D( X )
X (1) X ( 2) I p I p X (1) Y (1) ( 2) CX ( 2) X X I p I p X
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第二章
多元正态分布及参数的估计
I p 1 I p 2 2 I p 1 Ip Ip Ip
多元正态分布及参数的估计
4 1 1 E( X ) , D( X ) 3 1 2 1 1 1 且f ( x1 , x2 ) exp[ ( x ) ( x )] 2 2
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65) 2

e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
dx2 e
1 ( x1 7 ) 2 2
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第二章
多元正态分布及参数的估计
1 ( x2 x1 7 ) 2 2
1 e e dx2 2 1 2 1 ( x 8 x 16 ) ( x2 x1 7 ) 2 1 1 1 1 2 e 2 e dx2 2 2 1 ( x1 4 ) 2 1 e 2 X1 ~ N (4,1). 2
所以
X X
(1) (1)
( 2) ( 2)
~ N p ( ,2(1 2 ));
(1) ( 2)
X X
~ N p ( ,2(1 2 )).
(1) ( 2)
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
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第二章
多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
比较上下式相应的系数,可得:
1 2 1 12 2 2 2 12 1 1 2 1 2 2 2 22 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 14 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 f ( x1 , x2 ) exp (2 x1 x2 2 x1 x2 22x1 14x2 65) 2 2
试求X的均值和协方差阵. 解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
1 2 2 ( 2 x1 22 x1 65) ( x2 2 x1x2 14 x2 ) 1 1 2 f1 ( x1 ) f (x1 , x2 )dx2 e 2 e dx2 2
(1) X (1) X ( 2) ~ N 2 p ( 2) , X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布. 解 :(1) 令
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又 1 1 2 Cov(Y1 , Y2 ) 1 1 1 1 0 1 1
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
0 1 7 4 0 1 0 1 1 1 1 1 4 3 , 1 1 I 2 1 1 1 2
设函数 g ( y1 , y2 ) 是随机向量Y的密度函数.
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第二章
(3) 随机向量
多元正态分布及参数的估计
7 Y1 Y ~ N 2 , I 2 Y2 4
(4) 由于
X 1 0 1 Y1 X CY X 2 1 1 Y2
1 2
2 1


1 1 2 2 u1u2 exp[ (2u1 u2 2u1u2 )]du1du 2 2 2 u 1

1
u1e
2 u1 2

2
( u 2 u1 ) 2 1 u2e 2 du2 du1 2
1 2


则 Y ~ N2 p (C, CC)
Ip 因D(Y ) CD( X )C I p 1 2 1 2 1 2 I p 2 1 Ip Ip Ip
O 2(1 2 ) O 2(1 2 )
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y), 其中：
2
第二章
多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中 1 2 1 , 1 . 2 （1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章
多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
2 0.5 1 0.5 1 0 , A 0.5 0 0.5, d 2 . 0
试求Y=AX+d的分布.
1 1 2 1 1 1 因ΣY CC 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 2 2(1 ) 2(1 ) 1 11 1 0
u1 x1 4 令 u2 x2 3
12 Cov( X 1 , X 2 ) E[( X 1 E( X 1 ))(X 2 E( X 2 )]
E[( X 1 4)( X 2 3)] ( x1 4)( x2 3) f ( x1 , x2 )dx1dx2