《离散数学》期中试卷(2011年10月)及答案

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2011 ～ 2012学年第一学期《离散数学》期中试卷

一、选择题（每小题2分，共10分）【得分： 】

1.下列命题公式等值的是( )

A. ,

B. (),()

C. (),

D. (),P Q P Q

A A

B A A B Q P Q Q P Q A A B B

⌝∧⌝∨→→⌝→→→∨⌝∨∨⌝∨∧

2．设个体域为D （正整数集合），确定下列公式为真的是（ ） A ．∀x ∃y (xy=y) B. ∃x ∀y(x+y=y) C ．∃x ∀y(x+y=x) D. ∀x ∃y(y=2x) 3. 下列哪些公式为永真蕴含式( ) A.⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P B. Q ∨P =>Q C.⌝Q=>P →Q D.P=>P →Q

4.对一阶逻辑公式∀x ∀y (P(x,y)∧Q(y,z)) ∧∃xP(x,y)的说法正确的是( )

A.x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的;

B.x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的;

C.x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的;

D.x 是约束的，y 是约束的，z 是约束的.

5．设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ ）

A.{a}∈P(A)

B. {{a}}⊆P(A)

C.{{a}}∈P(A)

D.{a}⊆P(A)

二、填空题（每空2分,共40分）【得分： 】

1.设命题公式)(R Q P G →⌝→=，则使公式G 为假的赋值是 、 和 。

2. 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则A 的幂集

()

P B=__________________，P A=_______________________，B的幂集()

-=_____________________。

()()

P A P B

3. 设谓词公式：(,)

x yP y x

∃∀,个体域:{1, 2},将其中的量词消去，写出与之等值的命题公式为 .

4．公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃zC(x，z))→D(x)中，约束变元x的辖域是，约束变元z的辖域是。5. 写出下列命题逻辑等值式：

蕴含等值式：；

德摩根律：；

分配律：；

归谬论：；

6．判断下列命题是否为真（填写“T”或“F”）：

φ⊆φ：；φ∈φ：；{φ}∈{φ，{{φ}}}：。7．设个体域为D={x|x是人}，L(x,y)：x喜欢y。将下列命题符号化：

所有的人都喜欢某些人：；

所有的人都不喜欢某些人：；

没有人喜欢所有的人：；

每个人都喜欢自己：；

三、综合题（共3小题，每小题10分，共30分）【得分：】

1.求命题公式((P∧Q)∨⌝R)→P的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。

2.写出∀x(F(x)→G(x))→∀xF(x)的前束范式。

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3．使用谓词、量词和逻辑联结词，将下列语句翻译成逻辑表达式。 1) 人无完人

2) 不是每个人都很完美 3) 你的所有朋友都很完美 4) 你的某个朋友很完美 5) 班上的某个学生不想变富

四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分）【得分： 】 1.在命题逻辑中构造下面推理的证明：

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前提：P →（Q →R ），⌝S ∨P ，Q 结论：S →R

2.试证明()()()~~~()A B A B A B A B ⋃⋂⋃=⋂⋃⋃

答案

一.选择题(每小题2分，共10分）

1 C

2 D

3 A

4 B

5 D

二.填空题(每小题2分，共40分）

1 P Q R

1 1 1

1 0 1

1 0 0

2 P(A)={φ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}} P(B)={φ，{1}，{2}，{1，2}}

P(A)-P(B)={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

3 (P(1,1)∨P(1,2))∧(P(2,1)∨P(2,2))

或（P(1,1)∧P(2,1))∨((P(1,2)∧P(2,2))

4 (A(x)→B(y,x))∧∃zC(x,z)

C(x,z)

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5 蕴含等值式：A →B ⇔﹁A ∨B

德摩根律：﹁(A ∧B)⇔﹁A ∨﹁B ；﹁(A ∨B)⇔﹁A ∧﹁B

分配律：A ∧(B ∨C)⇔(A ∧B)∨(A ∧C)；A ∨(B ∧C)⇔(A ∨B)∧(A ∨C)

归谬论：(A →B)∧(A →﹁B)⇔﹁A

6 T

F

F

7 ∀x ∃yL(x,y)

∀x ∃y ﹁L(x,y)

﹁∃x ∀yL(x,y)

∀xL(x,x)

三.综合题（每小题10分，共30分）

1 ((P ∧Q)∨﹁R)→P ⇔ ﹁((P ∧Q)∨﹁R)∨P ⇔ (﹁(P ∧Q)∧R)∨P ⇔ ((﹁P ∨﹁Q)∧R)∨P ⇔ (﹁P ∨﹁Q ∨P)∧(R ∨P) ⇔ R ∨P ⇔ R ∨P ∨0 ⇔ R ∨P ∨(Q ∧﹁Q) ⇔ (R ∨P ∨Q)∧(R ∨P ∨﹁Q) ⇔ (P ∨Q ∨R)∧(P ∨﹁Q ∨R) ⇔ M0∧M2(主合取范式) ⇔ m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7（主析取范式）

成真赋值：

m1:001

m3:011

m4:100

m5:101

m6:110

m7:111

成假赋值：

000

010

2 论域：所有人；F(x):x 是完美的；G(x)：x 是你的朋友；

1) 人无完人

﹁∃xF(x)；不存在人x ，x 是完美的