立体几何-直线与平面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定与性质
一、知识点梳理
1． 证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直α⊥⇒a ；
(2)判定定理1：αα⊥⇒⊥⊥=⊂l n l m l A n m n m ,,,, ；
(3)判定定理2：αα⊥⇒⊥b a b a ,//；
2． 证明线线垂直的方法
(1)定义：两条直线所成的角为90°；
(2)平面几何中证明线线垂直的方法；
(3)线面垂直的性质：b a b a ⊥⇒⊂⊥αα,；
(4)线面垂直的性质：b a b a ⊥⇒⊥αα//,.
二、例题分析
1．如果平面α外的一条直线a 与α内两条直线垂直，那么 ( )
A.α⊥a
B.α//a
C. a 与α斜交
D. 以上三种均有可能
2．下列命题
①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；
②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；
③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；
④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．其中，正确的命题有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个 D. 4个
3．在下列四个命题中，假命题为（ ）
A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内
D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
4．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ）
A ．5
B ．52
C ．35
D ．45
5．如图，在长方体AC 1中，已知AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b （b ＞a ），连结BC 1，过B l 作B 1E ⊥BC 1交CC 1于E ，交BC
1于Q ，求证：AC 1⊥平面EB l D 1
6．如图在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，SA ⊥△ABC 所在平面，又点A 在SC 和SB 上的射影分别是P 、Q ． 求证：PQ ⊥SC ．
课堂练习
1．两异面直线在平面α内的射影（ ）
A ．相交直线
B ．平行直线
C ．一条直线—个点
D ．以上三种情况均有可能
2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）
A ．有且只有—个
B ．可能存在也可能不存在
C ．有无数多个
D ．—定不存在
3．在空间，下列哪些命题是正确的（ ）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．
A ．仅②不正确
B ．仅①、④正确
C ．仅①正确
D ．四个命题都正确
4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （ ）
A ．必相交
B ．必为异面直线
C ．垂直
D ．无法确定
5．下列命题
①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；
②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；
③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；
④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．
其中，正确的命题有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．在下列四个命题中，假命题为（ ）
A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内
D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ）
A ．圆内接四边形
B ．矩形
C ．圆外切四边形
D ．平行四边形
8．AB 是平面α的斜线段，其长为a ，它在平面α内的射影A ′B 的长为b ，则垂线A ′A _________．
9．如果直线l 、m 与平面γβα,,满足：,,,,γααγβ⊥⊂⊥=m m l l 现给出以下四个结论：
①m l ⊥,//γα；②αγ且m ∥β；③αβ且l ⊥m ；④αγ且l ⊥m ；其中正确的为“_____”．（写出序号即可）
10．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．
11．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且P A ⊥平面A BCD 则在△P AB 、△PBC 、△PCD 、△P AD 、△P AC 及△PBD 中，为直角三角形有_________个．
12．给出以下四个命题
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．其中假命题的共有_________个．
13．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________．
14．如图2－38：AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所
在的平面，则BC 和PC_____________。

15．如图2－36：已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是异于A 、B 的⊙O 上任意
一点，过A 作AE ⊥PC 于E ，
求证：AE ⊥平面PBC 。

16．如图2－39：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD求证：BD⊥AC
17．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E 是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
18．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．。