直角三角形

直角三角形

一基础知识1.直角三角形全等的判定（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL

2.直角三角形的性质（1）两锐角互为余角（2）斜边的中线等于斜边的一半（3）三边长满足勾股定理；即斜边长的平方等于两条直角边长的平方和（勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25）（4）030角所对的边等于斜边长的一半（5）s=12ab 二典例分析1判断正误 （1）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（2）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）

（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（）（4）有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等（ ）

（5）有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等（ ）（6）有两边和第三边的中线对应相等的两个三角形全等（ ）

（7）周长和面积对应相等的两个三角形全等（ ）（8）边与角中，有五个元素分别相等的两个三角形全等（ ）

2请判断满足下列条件的的直角三角形是否全等，若全等，请在括号内加注理由：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等（）（2）一个锐角和锐角相邻的一条直角边对应相等（）（3）一个锐角和一斜边对应相等（）

（4）两直角边对应相等（）（5）两边对应相等（）（6）两锐角对应相等（）（7）一锐角和一边对应相等（）

3如图，△ABC 中∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，DB=8，求AC 的长．

4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD ；

（2）如果BD=3AD ，求证：∠A=60°．

5如图，在△ABC 中，BA=BC ，∠B=120°，

AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，求证：AD=12DC ． 6．如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D 是AC 边 上的一个动点（不与A 、C 点重合），过点D 作AC 边的垂线，

交线段BC 于点E ，点F 是线段EC 的中点，作DH ⊥DF ，交射线AB 于点H ， 交射线CB 于点G ．

（1）求证：GD=DC ．（2）设AD=x ，HG=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围． 7（中招展示）（1）（12河北）如图7-1，AB 、CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD=38°，则∠A=____

（2）（12鸡西）Rt △ABC 中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P 是直线AB 上不同于A 、B 的一点，

且∠ACP=30°，则PB 的长为 _____

（3）（12济宁）如图7-3，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，

交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（）A ．-4和-3之间B ．3和4之间C ．-5和-4之间D ．4和5之间

（4）（12怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A ．7 B ．6 C ．5 D ．4

（5）（12新疆）如图所示7-5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，

其中两个半圆的面积S 1= 25

8π，S 2=2π，则S 3是 ____ （6）（12黔西南州）如图7-6，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ， CE ∥AD ，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB 的周长为 _______

（7）（12莱芜）在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是 _____

（8）（07河南）如图7-8，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C ．

若∠AOB=60°，OC=4，则点P 到OA 的距离PD 等于_____

（9）（05海淀区）如图所示，一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）

垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．

①请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由．

②在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

（10）（08江西）如图7-10，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A′处；

①求证：B′E=BF ；

②设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a ，b ，c 之间的一种关系，并给予证明．

8（竞赛链接）（1）如图8-1，在ABC 中，AD BC ⊥于Ｄ，

2ABC C ∠=∠，求证：22AC AB AB BC =+

（例3图） （例4图）

（例5 图） （例6图） （7-10）

（7-9） （7-8） （8-1） （7-7） （7-5）

（7-3）

（7-6） （7-1）

（2）如图8-2，四边形ＡＢＣＤ是一个梯形，

AB CD ，ABC ∠=９０°，ＡＢ＝９，ＢＣ＝８， ＣＤ＝７，Ｍ是ＡＤ的中点，MN

AD ⊥，求ＢＮ长.

（3）如图8-3，ABC 是等腰直角三角形，CA ＝CB ，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，

且DE DF ⊥，若BF ＝12，AE ＝5，求DEF 的面积.

（4）如图8-4，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC 与BD 相交于点O ，

M 、N 分别是边BD 、AC 的中点．

①求证：MN ⊥AC ；②当AC=8cm ，BD=10cm 时，求MN 的长．

三随堂练习

1.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m 处折断，倒下的部分与地面成30°角，

如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A ．10m B ．15m C ．5m D ．20m 2.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高线，图中与∠A 互余的角有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3如图（3），AB ∥DF ，AC ⊥BC 于C ，BC 与DF 交于点E ，若∠A=20°，则∠CEF 等于（）A ．110°B ．100°C ．80°D ．70 4若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．等腰直角三角形

D ．直角三角形 5如图（5）△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，P 为BC 中点，∠EPF=90°，给出四个结论①∠B=∠BAP ；

②AE=CF ；③PE=PF ；④S 四边形AEPF = 12S △ABC ，其中成立的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=10cm ，则阴影部分的面积是 ____cm 2．

7如图（7）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，

连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．求证：EG=CG ．

8如图（8）所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°．作AB 的中垂线l 分别交AB 、AC

及BC 的延长线于点D 、E 、F ，连接BE ． 求证：EF=2DE ．

四课后作业

1如图1-1，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，

点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．3.5 B ．4.2 C ．5.8 D ．7

2 如图2-1，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，

D 是AB 的中点．现将△BCD 沿BA 方向平移1cm ，得到△EFG ，FG 交AC 于H ，

则GH 的长等于 _____cm ．

3如图3-1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C 作CC 1⊥AB 于C 1，

过点C 1作C 1C 2⊥AC 于C 2，过点C 2作C 2C 3⊥AB 于C 3，…，按此作发进行下去，则AC n =______

4三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm ，则最小边的长是 _____cm ．

5如图5-1，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC=4，则PD 等于______

6．在△ABC 中，已知∠B=30°，AB=6cm ，则BC 边上的高为 ____cm ．

7．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是 ____cm ． 8．△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA 延长线上取点D ，使AD=AB ，则D ，B 两点之间的距离等于 ______

9．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC ＜AC ，若BC•AC=1

4AB 2，则∠A= _____度． 10．如图10-1，四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=4，CD=2，则BC= _____

11．房梁的一部分如图11-1，其中AC ⊥BC ，∠A=30°，AB=7.4m ，点D 是AB 的中点，

且DE ⊥AC ，垂足为E ，则BC= _____m ，DE= _____m ．

12. 有一个等腰三角形一腰上的高度是腰长的一半，则此等腰三角形的顶角是 ___度．

13.如图13-1上午8时，一条轮船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，

10时到达海岛B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°，

问以同样的速度继续前行，则上午 ____时轮船与灯塔C 距离最近．

14.如图14-1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，

将△ADC 沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ．求证：EC ∥AB ．

（8-2） （8-4） （8-3）

（图3）

（图5） （图7） （图8） （1-1） （3-1） （2-1） （5-1）

（10-1） （11-1） （13-1） （14-1）