电大专科微积分初步期末考试试题及答案

1
微积分初步考试试题
1填空题
答案：f(x)=x 2
—1
X 2 -2x -3
(6)函数y =
的间断点是
x +1
答案：x = -1
1
(7) lim xsin —= X
答案：1
(8)若 llm sln4
x =2，贝y k = T sin kx
答案：k = 2
(9)曲线f(x)=JX+1在(1,2)点的切斜率是 1 答案：1
2
(10)曲线f(x)=e X
在(0,1)点的切线方程是
答案：y =x +e
(1) 函数f(X 2E 的定义域是
答案:
函数 f(X)= ---- 1
-- +』4 -x 2
In(X +2)
的定义域是
答案: (—2,—1)5—1,2]
函数 f(X +2) = X 2
+4x + 7，则 f(x) = 答案：f(X)= X 2
+3
(4)若函数f(X)= { i ■ 3 4 [xsi n —
+1,
! x
X c 0 在X = 0处连续，则k =
X >0 答案：k =1 (5)函数 f(X-1) =X 2
-2x ，则
(11)已知 f(X)=X 3 +3x
，贝y f'(3) =
答案:
(13)若 f(X)=xe 」，则 f "(0)
答案：f "(X)= —2e 」+xe 」
f 70) = -2
(16)若f (x)的一个原函数为ln X 2
，则f (x)=
2
答案：-
(17)若 J f (x)dx =sin 2x +c ，则 f (x)
答案：2cos2x
答案: f(X)=3x 2 +3X
In3
f '(3)=27 (1+1 n3)
(12)已知 f(X)=lnx ，贝U f “(x) =
(14)
2
函数y=3(x-1)的单调增加区间是
答案: (1,畑)
(15) 2
函数f(x)=ax +1在区间(0, +K )内单调增加，则a 应满足
答案: a >0
(18) 若 fcosxdx = 答案： sin X +c
(19) 2
答案：
-X 丄 e +c
(20)
f(sin x) dx
=
答案：
sin X +c (21) 若 J f (x)dx =
F(x) +c ，贝U Jf(2x-3)dx =
2
方程是
答案：y=2jx+1
(27)由定积分的几何意义知， r J a 2 -x 2
dx =
答案:
(29)微分方程y'+3y =0的通解为
答案：y=ce°x
(30)微分方程(y)3 +4xy ⑷=y 7
sinx 的阶数为
答案：4
2. 单项选择题
e
+e x
答案:
1
F(2x-3) +c 2
(22) 若 J f (x)dx = F(X)+c ,贝U Jxf (1 — x 2)dx
答案: --F(1 -X 2
) +C
2 (23)
1
2
L(sin x cos2x - X + x)dx
答案: —
3
d
e (24)
dx
1
答案： 0
(25)
0 JU 52x dx =
答案： 1
(26)已知曲线y = f (x)在任意点x 处切线的斜率为
1
',且曲线过(4,5),则该曲线的
(28) 微分方程y' = y, y(0)=i 的特解为
答案:
x
y =e
2
2
+1)dx =
(1)设函数y =，则该函数是( ).
A.奇函数
B.偶函数C非奇非偶函数 D .既奇又偶函数
2
A. d J f (x)dx = f (x) B . J f '(x)dx = f(X)
答案：B
(2)下列函数中为奇函数是( ). A . xsinx B . + e x
C . ln(X + J 1+X 2
) 2
D . X +x
答案：C (3)函数 x+4 + h (X + 5)的定义域为( ). A. X 答案: > -5 D B . XH -4 C . x>-5 且 XH O (4) f(x+1) =x 2
-1, A. x(x +1) C .
X(X-2) (x + 2)(x-1)
答案：C (5)当 k
时,
函数 f(x)=r +2,
L k,
X 工0
在x=0处连续.
X =0
B .
C . 2
答案：D
(6)当 k
时, 函数
wf:1
'
HO ，在x=0处连续.
=0 A. 0
B .
-1
答案：B
(7)函数 f(x) x 2
-3x +2
的间断点是(
A. X = 1,x =
2
X =3
C. X =1, X = 2, X
= 3
.无间断点
答案:
(8)若 f(X)= r cosx , 则 f(0) =
).
A. 2 答案：C
B. 1
C. -1
D. -2
(9)设 y =lg2x ，则 dy =
( ).
A 1 1 A.——dx
B . ---------- d x
2x xln10
答案：B
A . 2f(cos2x)dx
f'(cos2x)sin2xd2x
C . 2 f (cos2x)sin 2xdx
D . - f \cos2x)sin2xd2x
答案：D
答案：D
答案：C
.f(x)在 ^x 0处连续，则一定在 x 0处可微. .f(x)在x = x 0处不连续，则一定在 x 0处不可导. .可导函数的极值点一定发生在其驻点上
D.函数的极值点可能发生在不可导点上 答案：A (14) 下列函数在指定区间(亠，畑)上单调增加的是( A . sin X B
答案：B
(15) 下列等式成立的是(
(10)设y = f(x)是可微函数，则
df(cos2x)=(
).
D . -dx X
⑴)若f(X)=sin X + a 3
，其中a 是常数，则
f "(X)=(
).
2
A . COSX + 3a
B . sinx+6a
C
.-sinx
cosx
答案：C
(1)函数y =(X+1)2在区间(—2,2)是( A.单调增加
B .单调减少 C.先增后减
D .先减后增
(12)满足方程 f '(X)=0的点一定是函数 =f(x)的(
A.极值点
B .最值点
C .驻点 D.
间断点
(13)下列结论中(
)不正确.
).
A. d J f (x)dx = f (x) B . J f '(x)dx = f(X)
pl
C. f f (x)dx = f(X)
dx 、
答案：C
(16) 以下等式成立的是(
答案：D
(17) Jxf7x)dx =
答案:
答案:
.y=Cx B . y=x + C 答案：
(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是( D. Jdf(X)= f(X)
A. In xdx = d(-)
X
.sin xdx=d(cosx)
C.—仮
v x
.3X d^-^ In 3
A. xf '(X)- f(X)+c
B. xf '(X)+ c
C. 1
X 2
f (X)+c 2
答案：
(18) D.
(x +1) f \x )+c
答案:
J 』
A
下列定积分中积分值为
X _x
e -e , X
2 兀 3
f (x +cosx)dx
JI
A
(19)设 A. 0
0的是(
).
—x
•［兀(x 2
+si nx)dx
• -JI
f(x)是连续的奇函数，则定积分
a -
f (x)dx =(
)
-a
B. J a f (x)dx C
J0
f(x)dx 0
D. 2f a f(x)dx
(20) 下列无穷积分收敛的是(
).
A. -be J 。

Qn xdx B .
-be 1
L 1
C. -be d -dx
'X
D.
'0
(21) 微分方程y ' = 0的通解为(
).
(6)
2
3、计算题
2
/ 八 X -3x +2
(1) lim
A dy
A.
= X + y ；
dx
B. dy
dx C.史=xy +sin X ； dx dy
D.
—
dx
=xy + y ；
答案：B
= x(y +x)
解：lim X 2 —3x+2 X 2
-4 lim (xW)
X 2 - 9
(2) lim r T x -2x-3 X 2
-9
x -2
(x-2)(x +2)
limU
T X + 2
解：lim ------ -- = lim —x —2x —3 7 (X —3)(x+3) x+3
X 2 -6x+8 ⑶四 x 2
-5x +4 解: X 2 -6x+8 解: 解: 解:
(X —3)(x+1) (x-4)(x —2) =lim 7 x+1 limH lim -------- = lim T X -5x +4 X T (X-4)(x-1) T x -1 2 1 — y ，=2xeX +x e x ^—^e x (2^1) X
3
设 y = sin4x + cos x ，求 y \
. 2
y' = 4cos4x +3cos x(-sinx)
2
= 4cosx — 3si rxcosx
设y =产+Z ，求y\
X
2j(x+1
(7)设 y =x 7x +1 ncosx ，求 y\
X 2 —4
x
ln2 c
解：]e X (4+e X )2
dx
ln 2 c
=[(4+e X )2d(4+e X )
1
(12)
gdx
1
1
f eXdx =e — ex =1
'0
JI
(13)『xsin xdx
JI
兀
4、应用题
y = X 2 +4xh = x 2
432
令y' = 2x -p =0，解得X =6是唯一驻点,
解: y' = 3x 2 + 丄(-si nx) =3x 2
-ta nx
2 cos X
2
(8) J(2x-1)10dx 解：J(2x-1)10
dx 1 1
=2 K2x_1)10d(2x_1) =22 (2x-1)11 +c
解: .1 sin-
¥dX X .1 sin jVdx X 1 1 1
fsi n-d- =cos — +c
x x x
In 2 (10) 0
e x (4+e x )2
dx
=(4 +e x )3
ln 2 1 0 =3(216-64
)
152
e
1 +5ln x •dxJ 5 1 (1 + 5ln x)d(1 +5ln x) = (1 + 5ln
x)2
=丄(36-1)
10 2
解：『xsinxdx-
-xcosxR +j02co s xdx=s i nx
(1)欲做一个底为正方形，容积为
108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?
解：设底边的边长为 x ，高为h ，
用材料为y ，由已知x 2
h =108,h 二豎
X
且八2+兰響 >0，
x X 工
说明X =6是函数的极小值点，所以当 X =6，h 二驴 =3用料最省.
6
(2)用钢板焊接一个容积为 4m 3
的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元,
S(x) =2x
x
令 S(x) =0 ,得 X =2，
此时的费用为 S(2)>d0 +40 =160 (元)
问水箱的尺寸如何选择, 可使总费最低？最低总费是多少? 解：设水箱的底边长为 x ，高为h ，表面积为S ，且有
2
所以 S(x) = X +4xh
=x2 J 6
x
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当
=2, h = 1时水箱的面积最小.。