山东省临沭县青云镇中心中学高一数学上学期周清第十四周周清椭圆及其标准方程、椭圆几何性质文

第十四周周清椭圆及其标准方程、椭圆几何性质

核心知识

1．椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

集合P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

2．2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2

＋

y2

b2

＝1

(a>b>0)

y2

a2

＋

x2

b2

＝1

(a>b>0)

图形

性质范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0， a)

B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|＝2c

离心率e＝

c

a

∈(0,1)

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

自我检测

1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，求椭圆的标准方程。解析∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从

而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为x2

25＋

y2

16

＝1或

x2

16

＋

y2

25

＝1.

2. 设P 是椭圆x 225＋y 2

16

＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，求|PF 1|＋|PF 2|

解析 依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 3. 求以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

22，1，则椭圆C 的方程. 解析 由题意得，c ＝1,2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝ 1

2

＋4＋1

2

＋0＝2 2.故a ＝2，b ＝1.则椭圆的标准方程为x 2

＋y 2

2

＝1.

4. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5

5

，且过点P ()－5，4，求椭圆的方程.

解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b 2＝1，又离心率e ＝c

a

＝

55⇒e 2＝c 2

a 2＝a 2

－b 2

a 2＝15，解之得a 2＝45，

b 2

＝36，故椭圆的方程为x 2

45＋y 2

36＝1. 5. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的离心率.

解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2

＝b 2

＋c 2

⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝

2

2

.