人教中考数学压轴题专题复习——一元二次方程的综合附答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．

（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．

【解析】

【分析】

（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；

（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】

（1）证明：

∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，

∴x2﹣7x+12﹣m2=0，

∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，

∵m2≥0，

∴△＞0，

∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是2，

∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，

∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，

即m的值为±，方程的另一个根是5．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.

当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

2．计算题

（1）先化简，再求值：

2

1

x

x-

÷（1+

2

1

1

x-

），其中x=2017．

（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．

【答案】（1）2018；（2）m=4

【解析】

分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；

（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

详解：（1）

2

1

x

x-

÷（1+

2

1

1

x-

）

=

22

2

11 11 x x

x x

-+

÷

--

=

()() 2

2

11 1

x x

x

x x

+-

⋅

-

=x+1，

当x=2017时，原式=2017+1=2018

（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，

解得，m=4

点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程

中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5

2

m%，购买数量和原计划一样：“美团”网

上的购买价格比原有价格下降了9

20

m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在

两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15

2

m%，求出m的值．

【答案】（1）120；（2）20．

【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”

网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5

2

m%），在“美团”网上的购买实际消费

总额：a[120（1﹣25%）﹣9

20

m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划

的预算总额增加了15

2

m%”列方程解出即可．

试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，x ≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+52

m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a

（1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52

m %）+a （72﹣ 9

20m ）（1+15m %）=144a （1+

15

2m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．

答：m 的值是20．

点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．

4．解方程：2

332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

． 【答案】x=1

5

或x=1 【解析】 【分析】

设321x

y x =

-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】

解：设321

x

y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,

∴

3121x x =--或3321

x

x =-． 解得x=

1

5

或x=1． 经检验：x=

1

5

或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=1

5

或x=1． 【点睛】

考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．