3-2柯西-古萨定理

在D 内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则
c
f ( z )dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
由 f ( z )解析，u, v 在D上可微，且
u v u v . ， y x x y
由牛顿-莱布尼兹公式知,
0 z cos zdz [ zsinz cosz]
i sin i cos i 1
i
i 0
e 1 e e 1 e 1 e 1. i 1 2i 2
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
由改进的Green公式
( v ) u [ ]dxdy 0 C udx vdy x y D u v v d x u d y [ ]dxdy 0 C x y D
1 e 1 （ ） dz 例求 z3 z2 | z | 1
f ( z )dz 0.
c
并注意定理成立的条件.
2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点. 2i , n 0 1 常用结论: n1 dz (z a) n 0. 0, 3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及 牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等 数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.
§3.2 柯西-古萨基本定理
1、Cauchy-Goursat基本定理 2、 Cauchy-Goursat定理的推广 3、不定积分 4、小结与思考
首先回顾高等数学中的Green定理:
设单连通区域D由分段光滑曲线L围成，函 数P ( x , y )及Q( x , y )在D上具有一阶连续偏导数 ， 则有： Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D 其中，L是D的取正向的边界曲线。
2 2 1 1 3 2 ln 2 2 ln 2 i ln 2 ln 2 i. 2 2 4 32 8 8
5、小结与思考
1. 通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定理:
如果函数 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, 那末函数 f ( z ) 沿 D 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零:
其中 C 及 Ck 均取正方向;
D
例
2z 1 计算积分 C z 2 z dz, C为包含圆周 z 1 y 在内的任何正向简单闭曲线.
C1 C2

2z 1 解 因为函数 2 在复平面 z z 内有两个奇点z 0 和 z 1,
依题意知, C也包含这两个奇点，
o
1
x
C
如果函数在区域内的导数为一个常数的任何两个原函数相差如果在区域内有一个原函数那末它就有无穷多个原函数其全体原函数可表示为为任意常数记作的不定积分为任意常数的原函数的一般表达式如果函数在单连通域内处处解析的一个原函数那末这里内的两点复积分的newtonleibnitz公式有了以上定理复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算
1.问题的提出
设 D 为一单连通区域 , z0 为 D 中一点. f (z) 如果 f ( z ) 在 D内解析, 那末 在 z0 不解析. z z0 f (z) 所以 dz 一般不为零, C z z 0
C 为 D 内围绕 z0 的闭曲线.
根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.
z
定理二
如果函数 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析 , 那末函数 F ( z ) f ( )d 必为D 内的一个解
z0 z
析函数 , 并且 F ( z ) f ( z ).
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似.
2. 原函数的定义:
如果函数 ( z ) 在区域 D 内的导数为f ( z ), 即 ( z ) f ( z ), 那末称 ( z ) 为 f ( z ) 在区域 D 内 的一个原函数.
A
F E
E
C1
︵ ︵ ︵ ︵ AEB BE AA AEB BB BE A AA, ︵ ︵ ︵ ︵ AAF BBFA AA AF B BB BFA ,
AA F BBFA
f ( z )dz 0.
B
B
D
由
f ( z )dz AEBBE A A
A
F E
E
C1
B
B
即
或
f ( z )dz f ( z )dz 0, C
C1

D
f ( z )dz f ( z )dz . C C
1
如果我们把这两条简单 闭曲线 C 及 C1 看 成一条复合闭路 , 的正方向为 : 外面的闭曲线C 按逆时针进行,

内部的闭曲线C1 按顺时针进行 ,
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
例2
i
试沿区域 Im( z ) 0, Re( z ) 0 内的圆弧 z 1,
ln( z 1) 求 dz 的值. 1 z 1 ln( z 1) 在所设区域内解析 , 解 函数 z 1 ln 2 ( z 1) 它的一个原函数为 , 2 i i ln( z 1) ln 2 ( z 1) 1 2 2 d z [ln ( 1 i ) ln 2] 1 z 1 2 2 1
周线,它们互不包含也互不相交, 并且由 C的内部, C1 , C 2 , , C n的外部围城多连通区域D,
则称C+C1-+C2-+· · · +Cn为复周线,D为其内部,记 为I(C).
C
C1
Cn
C3
C2
D
复合闭路定理 定理 设C C1 C2 Cn 是复周线, D I (C )
显然 F ( z ) f ( )d 是 f ( z ) 的一个原函数.
z0 z
原函数之间的关系: f ( z ) 的任何两个原函数相差一个常数.
如果 f ( z ) 在区域 D 内有一个原函数 F ( z ),
那末它就有无穷多个原函数,
其全体原函数可表示为: F ( z) c (c 为任意常数).
C
2.Cauchy积分公式
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单 闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末
3
1、Cauchy积分定理 定理 柯西－古萨基本定理
设D为单连通域 ,如果函数 f ( z ) A( D ) 则对 D 内的任何一条封闭曲线 C , 有

c
f ( z )dz 0.
此定理常称为柯西积分定理.
注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.
C
D
注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 函数 f ( z )
z
解：
1 ez 1 （ ） dz z3 z2 | z | 1

| z | 1

1 ez 1 dz dz z3 z2 | z | 1
0 （根据柯西古萨定理）
7
2. 复合闭路定理
设函数 f ( z ) 在多连通域内解析 ,
C 及 C1 为 D 内的任意两条简 单闭曲线(正向为逆时针方向 ), C 及 C1 为边界的区域D1 全含于 D.
F ( z ) f ( )d
z0
z
f ( z )dz F ( z ) c
z
z1
0
f ( z )dz G ( z1 ) G ( z0 )
§3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式 一、解析函数的Cauchy积分公式 二、解析函数的高阶导数定理 三Δ、解析函数的与调和函数

z1 z0
f ( z )dz ( z1 ) ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 F 内的两点.
注: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟 微积分学中类似的方法去计算.
例1 解
求 z cos zdz 的值.
0
i
因为 z cos z 是解析函数, 它的一个原函数是 zsinz cosz ,
如果: ( 1) f ( z ) A( D), ( 2) f ( z ) C( D),
f ( z )dz f ( z )dz 0,
C k 1 n Ck n
C
C1
Cn
C3
f ( z )dz f ( z )dz,
C k 1 Ck
C2
D D
z0
C1 C2
z1
C1
z0
C2
z1
f ( z )dz f ( z )dz z C C
1 2
z1
0
f ( z )dz
如果固定 z0 , 让 z1 在 D 内变动, 并令 z1 z,
便可确定D内的一个单值函数 F ( z ) f ( )d .
z0
在 C内作两个互不包含也互不相交的圆周C1 和 C2 , C1 只包含奇点z 0, C2 只包含奇点z 1,
则 :C C1 +C2 构成复周线 根据复合闭路定理,
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz dz 2 2 z z z z z z C1 C2 C 1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f ( z ) 的连续性,
在 C 上函数 f ( z ) 的值将随着 的缩小而逐渐 接近于它在圆心z0 处的值,
C
f (z) f ( z0 ) dz 将接近于 dz . ( 缩小) C z z z z0 0 1 f ( z0 ) dz 2if ( z0 ). dz f ( z 0 ) C z z0 z z0
2
改进的Green定理:(Gaursat 1925)
设单连通区域D由分段光滑曲线L围成，函 P Q Q P 数P ( x , y )及Q( x , y )在D上存在 , ，且 y x x y 在D上连续，则有： Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D 其中，L是D的取正向的边界曲线。
3. 不定积分的定义:
称 f ( z ) 的原函数的一般表达式 F ( z ) c (c 为任意常数)为 f ( z ) 的不定积分, 记作

f ( z )dz F ( z ) c.
定理3.8 (复积分的Newton-Leibnitz公式)
如果函数 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数, 那末
y
0 2i 2i 0
C1
C2

4i .
o
1
x

3、原函数与不定积分
定理一
如果函数 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, 那末积分 C 无关.
由定理可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点 和终点有关

C
f ( z )dz 与连结起点及终点的路线
如果起点为z0 , 终点为 z1 ,
A
D1
C
A
C1
B
B
D
作两段不相交的弧段AA 和 BB,
︵
︵
为了讨论方便, 添加字符 E , E , F , F , 显然曲线 AEBBE AA, AAF BBFA均为封闭曲线 . 因为它们的内部全含于D,
故 f ( z )dz 0, AEBBE A A
C
F
A
D1


f ( z )dz 0, 得 AA F BBFA
︵ ︵
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz AA A A C
C1

f ( z )dz f ( z )dz 0, BB BB
︵ ︵
C
F
A
D1
(即沿 的正向进行时, 的 内部总在 的左手边),
那末
A
D1
C
F
A
F E
E
C1
B
B

f ( z )dz 0.
D
解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理
2. 复周线情形的Cauchy定理
设 C 为周线, C1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的