人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)四边形中的最值问题(一)专题练习(含解析)

人教版八年级下——四边形中的最值问题（一）
一、选择题（共12题）
1.如图，在平行四边形中，，AD=4，AB=2，点、分别是边
、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接
，则的最大值与最小值的差为( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，，点、分别在轴、轴
上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是( )
A. B. C. D.
3.如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到
，是的中点，是的中点，连接，若，
，则线段的最大值是( )
A. B. C. D.
5.如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形
内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方形中，是上一点，，，是上一动点．则当的值为最小值时，点的位置在( )
A. 的三等分点
B. 的中点
C. 连接与的交点
D. 以上答案都不对
7.如图，边长为的菱形中，，是异于、两点的动点，是
上的动点，满足，
的周长最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在边长是的菱形中，
于点
，
，点
是
上一
动点，则
的最小值是( )
A. B. C. D.
9.如图，正方形的边长为，点在边
上，且
，点
是边
上一
动点，则线段
的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在长方形中，，，若是上的一个动点，则
的最小值是( )
A. B. C. D.
11.如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过
点作于，于点，连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
12.菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，点的坐标为，点是
的中点，点在上，则的周长最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（共3题）
13.如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、
的中点，点在
上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是
________．
14.如图，在中，
，，
，将绕点按逆时
针方向旋转，得到
．点
为线段
中点，点
是线段
上的动点，在绕点
按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点
，则线段
长度的
最小值为________．
15.如图，在边长为的菱形中，，是边上的中点，
是边上一个动
点，将
沿着
所在的直线翻折，得到
，连接
，则
长度的
最小值为________．
三、材料题（共2题，6小题）
16. 如图，矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，
折痕为；展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与
相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．
（1）求证：．
（2）求证：是等边三角形．
（3）若为线段上一动点，求的最小值．
17. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线(不含
点)上任意一点，连接、，其中，，连接．
（1）求证：．
（2）当点在何处时，的值最小，并说明理由．
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．
参考答案
一、选择题（共12题）
1.【答案】C
【解析】解：如图，取的中点，连接、、，作于点．四边形是平行四边形，，，
，．
，
是等边三角形，
，，
，
，
．
在中，，，
．
，，
．
易知的最大值为的长，最小值为的长，
的最大值为，最小值为，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为．
2.【答案】C
【解析】解：取的中点，连接，．因为，所以当、
、三点共线时取得最大值，，，所以点到原点
的最大距离为．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：如图，连接，
则就是的最小值，
中，，点分别是的中点，
，
，
的最小值是．
故答案为：C．
4.【答案】B
【解析】解：如图，连接．
在中，，，
，
根据旋转不变性可知，．
是的中点，
．
，
又，即，
的最大值为(此时、、三点共线)．
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：设与交于点，连接，，
点与关于对称，
，
最小．
即在与的交点上时，最小，为的长度；
正方形的面积为，
．
又是等边三角形，
．
故所求最小值为．
故选A．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接，交于，连接，则此时的值最小．四边形是正方形，
，关于对称，
，
．
根据两点之间线段最短，所以此时的值最小．
故点即为所求；
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：连接，
四边形是菱形，，
，，，，为等边三角形，
，，
，，，
，，
，，，
，
，，
，
即，
为等边三角形，
的周长，
根据垂线段最短，即当时，的值最小．
在中，，．
，．
的周长最小值是．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】如图：连接，设交于点’，连接’、
四边形是菱形，
，互相垂直平分，
点关于的对称点为，
，
.
只有点运动到点时取等号，
，
是直角三角形，
，，
，
，
的最小值是．
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意，连接、，则就是所求的最小值，
在中，，．
根据勾股定理得：，
即的最小值是；
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：在长方形中，，，，
，
，
当取最小值时，的值最小，
而当时，取最小值，
故此时，
，即的最小值为，
的最小值是，
故选：B．
11.【答案】B
【解析】解：连接，
，，
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
即当时，最小，
，，
，
的最小值为：．
线段长的最小值为．
故选：B．
12.【答案】B
【解析】解：如图，连接交于，连接，此时的周长最小．作轴于．
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
设，
，
在中，，
，
，
，
，
为中点，
，
，
的周长的最小值，
故选B．
二、填空题（共3题）
13.【答案】5
【解析】
解：设交于，
如图，作关于的对称点，连接，交于，则此时的值最小．．
四边形是菱形，
，，，，，为的中点，
在上，且为的中点．
，
，．
，为中点，为中点，
．
在和中，
，
，
，
即为中点．
为中点，
、重合，
即过点．
，，
四边形是平行四边形，
．
菱形，
，，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
14.【答案】1
【解析】解：绕点旋转，当时，线段长度最小，，
，
在中，
，
，
是的中点，，
，
，
故答案为．
15.【答案】
【解析】解
如图所示：
是定值，长度取最小值时，即在上时，
过点作于点，
在边长为的菱形中，，为中点，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、材料题（共2题，6小题）
16.（1）【答案】见解析
【解析】证明：对折与重合，
点是的中点，
点是的中点，
，
垂直平分，
，
，
由翻折的性质，，
．
16.（2）【答案】见解析
【解析】由(1)知，，
，
，
为等边三角形．
16.（3）【答案】见解析
【解析】如图，
连接，，，
，，
，
，
由折叠的性质知，点与点关于直线对称，，
的最小值为，
，
的最小值为．
17.（1）【答案】见解析
【解析】证明：是等边三角形，，．，
，即．
又，
．
17.（2）【答案】见解析
【解析】解：如图：
连接，当点位于与的交点处时，
的值最小．
理由如下：连接，由知，
，
，
又，，
，
．
在中，，
，
、、、四点共线，
，，
是等边三角形，
，
，
根据“两点之间线段最短”，得最短，
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
17.（3）【答案】见解析
【解析】解：过点作交的延长线于点，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，
，
，
解得(舍去负值)，
正方形的边长为．。