2020版数学人教A版必修5学案:第一章 1.2 第1课时 距离、高度问题 Word版含解析
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§1.2应用举例
第1课时距离、高度问题
学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
知识点一实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示.
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为140°(如图所示).
(3)方向角
①正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.
②东南方向:指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示).类似还有东北方向、西南方向等.
知识点二距离问题
知识点三高度问题
1.南偏东30°指正南为始边,在水平面内向东旋转30°.(√)
2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.(√)
3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.( √ )
4.高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决.( √ )
题型一 距离问题
命题角度1 不可通又不可视的两点间距离
例1 (1)如图所示,为了测量某湖泊两侧A ,B 间的距离,李宁同学首先选定了与A ,B 不共线的一点C ,然后给出了三种测量方案:(△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别记为a ,b ,c ): ①测量A ,B ,b ;②测量a ,b ,C ;③测量A ,B ,a . 则一定能确定A ,B 间距离的所有方案的个数为( )
A .3
B .2
C .1
D .0 答案 A
解析 因为A ,B 间是湖泊,可视不可达,故三个方案涉及的量均可测,并能用这些量解三角形求出AB .
(2)A ,B 两地之间隔着一个山岗如图,现选择另一点C ,测得CA =7 km ,CB =5 km ,C =60°,则A ,B 两点之间的距离为 km.
答案
39
解析 由余弦定理,得
AB 2=CA 2+CB 2-2CA ·CB ·cos C =72+52-2×7×5×12=39,
∴AB =39.
反思感悟 解实际应用题,通常要把实际问题抽象为数学问题,然后解决. 命题角度2 可视不可达的两点间的距离
例2 如图所示,在一岸边选定两点A ,B ,望对岸标记物C ,测得∠CAB =30°,∠CBA =75°,AB =120 m ,则BC 为 m.
答案 60(6-2)
解析 由题意知,∠ACB =180°-30°-75°=75°, 由正弦定理,BC =AB sin ∠ACB ·sin ∠CAB =120sin 75°·sin 30°
=
1206+24
×1
2=60(6-2). 反思感悟 求可视不可达的两点间的距离时,由于构造的三角形的两边均不可直接测量,故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.
命题角度3 测量两个不可到达点间的距离
例3 如图,为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度,在海岸上选取距离1千米的两个观察点C ,D ,在某天10:00观察到该船在A 处,此时测得∠ADC =30°,2分钟后该船行驶至B 处,此时测得∠ACB =60°,∠BCD =45°,∠ADB =60°,则船速为
千米/分钟.
答案
6
4
解析 在△ACD 中,CD =1,∠ADC =30°, ∠ACD =∠ACB +∠BCD =105°, ∴∠CAD =180°-30°-105°=45°. 由正弦定理,AD =CD sin ∠CAD ·sin ∠ACD
=
122
·6+2
4=3+12.
同理,在△BCD 中,
BD =CD sin ∠CBD ·sin ∠BCD =122
·2
2
=1.
在△ADB 中,AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB =⎝
⎛⎭
⎪⎫3+122+12-2·3+12·
1·12=32.
∴AB =
62,∴船速为6
4
千米/分钟. 反思感悟 本方案的实质是把求不可到达的两点A ,B 之间的距离转化为例1中的题型.
题型二 高度问题
命题角度1 在同一铅垂面内的高度问题
例4 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处,又测得山顶的仰角为65°,则山的高度为 m .(精确到1 m) 答案 811
解析 如图,过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ,
因为∠DAC =20°, 所以∠ADE =160°,
于是∠ADB =360°-160°-65°=135°. 又∠BAD =35°-20°=15°,所以∠ABD =30°. 在△ABD 中,由正弦定理,得
AB =AD sin ∠ADB sin ∠ABD =1 000×sin 135°
sin 30°=1 0002(m).
在Rt △ABC 中,BC =AB sin 35°≈811(m). 所以山的高度为811 m.
反思感悟 (1)底部可到达,此类问题可直接构造直角三角形.
(2)底部不可到达,但仍在同一与地面垂直的平面内,此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上,观测者一直向“目标物”前进.
命题角度2 不在同一铅垂面内的高度问题
例5 如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ,测得∠BDC =45°,则塔AB 的高是( )
A .10 m
B .10 2 m
C .10 3 m
D .10 6 m 答案 D
解析 在△BCD 中,CD =10 m ,∠BDC =45°, ∠BCD =15°+90°=105°,∠DBC =30°, 由正弦定理,得BC sin ∠BDC =CD sin ∠DBC ,
BC =10sin 45°sin 30°=102(m).
在Rt △ABC 中,tan 60°=
AB
BC
,AB =BC ×tan 60°=106(m). 反思感悟 此类问题特点:底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”,解决办法是把目标高度转化为地平面内某量,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
三角形测量中的数学抽象
典例 如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径:一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .山路AC 长为1 260 m ,经测量,cos A =1213,cos C =3
5
.求索道AB 的长.
解 在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =3
5,
所以sin A =513,sin C =4
5.
从而sin B =sin[π-(A +C )] =sin(A +C )
=sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=63
65
.
由
AB sin C =AC sin B ,得AB =AC sin B ·sin C =1 2606365
×4
5
=1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.
[素养评析] 数学抽象指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象.在本例中,我们舍去A ,B ,C 三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性,得到纯粹的三个点,舍掉步行、乘缆车、速度等表征,直接抽象出线段AC ,AB 的长,都属于数学抽象.
1.如图所示,设A ,B 两点在河的两岸,一测量者与A 在河的同侧,在所在的河岸边先确定一点C ,测出A ,C 的距离为50 m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°后,可以计算出A ,B 两点的距离为( )
A .50 2 m
B .50 3 m
C .25 2 m D.2522
m
答案 A
解析 ∠ABC =180°-45°-105°=30°,在△ABC 中,由AB sin 45°=50sin 30°,
得AB =100×
2
2
=50 2. 2.(2018·河南南阳八校联考)如图,要测出山上一座天文台BC 的高,从山腰A 处测得AC =60 m ,天文台最高处B 的仰角为45°,天文台底部C 的仰角为15°,则天文台BC 的高为( )
A .20 2 m
B .30 2 m
C .20 3 m
D .30 3 m
答案 B
解析 由题图,可得∠B =45°,∠BAC =30°,故BC =
AC ·sin ∠BAC sin ∠B
=60sin 30°
sin 45°=302(m). 3.如图,某人向正东方向走了x 千米,然后向右转120°,再朝新方向走了3千米,结果他离出发点恰好13 千米,那么x 的值是 .
答案 4
解析 由余弦定理,得x 2+9-3x =13, 整理得x 2-3x -4=0,解得x =4(舍负).
4.如图,为了测量A ,C 两点间的距离,选取同一平面上B ,D 两点,测出四边形ABCD 各边的长度(单位:km):AB =5,BC =8,CD =3,DA =5,A ,B ,C ,D 四点共圆,则AC 的长为 km.
答案 7
解析 因为A ,B ,C ,D 四点共圆,所以D +B =π. 在△ABC 和△ADC 中,
由余弦定理可得82+52-2×8×5×cos(π-D ) =32+52-2×3×5×cos D , 整理得cos D =-1
2
,
代入得AC 2=32+52-2×3×5×⎝⎛⎭
⎫-1
2=49,故AC =7.
1.测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题. 2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤 (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图.
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型.
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解. (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
一、选择题
1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得
塔顶A 的仰角30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD =40 m ,则电视塔的高度为( ) A .10 2 m B .20 m C .20 3 m D .40 m
答案 D
解析 设电视塔的高度为x m ,则BC =x ,BD =3x .在△BCD 中,由余弦定理得3x 2=x 2+402-2×40x ×cos 120°,即x 2-20x -800=0,解得x =-20(舍去)或x =40. 故电视塔的高度为40 m.
2.如图,在河岸AC 测量河的宽度,测量下列四组数据,较适宜的是( )
A .a ,c ,α
B .b ,c ,α
C .c ,a ,β
D .b ,α,γ 答案 D
3.甲骑电动车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上,15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( )
A .6 km
B .3 3 km
C .3 2 km
D .3 km 答案 C
解析 由题意知,AB =24×1
4=6(km),∠BAS =30°,∠ASB =75°-30°=45°.
由正弦定理,得BS =AB sin ∠BAS sin ∠ASB
=6sin 30°
sin 45°=32(km).
4.已知海上A ,B 两个小岛相距10海里,C 岛临近陆地,若从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角,从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角,则B 岛与C 岛之间的距离是( ) A .10 3 海里 B.1063 海里
C .5 2 海里
D .5 6 海里
答案 D
解析 如图所示,
C =180°-60°-75°=45°,AB =10.
由正弦定理得10sin 45°=BC sin 60°
,所以BC =56,故选D.
5.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC 的长度为4 m ,∠A =30°,则其跨度AB 的长为( )
A .12 m
B .8 m
C .3 3 m
D .4 3 m 答案 D
解析 由题意知,∠A =∠B =30°, 所以∠C =180°-30°-30°=120°, 由正弦定理,得AB sin C =AC sin B ,
即AB =AC ·sin C sin B =4·sin 120°
sin 30°
=4 3.
6.如图,甲、乙二人同时从点A 出发,甲沿正东方向走,乙沿北偏东30°方向走.当乙走了2 km 到达B 点时,甲走到C 点,此时两人相距 3 km ,则甲走的路程AC 等于( )
A .2 3 km
B .2 km C. 3 km D .1 km
答案 D 解析 依题意知
BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC , 即3=22+AC 2-2×2·AC ·cos 60°, AC 2-2AC +1=0. 解得AC =1.
7.如图所示,D ,C ,B 在地平面同一直线上,DC =10 m ,从D ,C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°,则A 点离地面的高AB 等于( )
A .10 m
B .5 3 m
C .5(3-1) m
D .5(3+1) m
答案 D
解析 方法一 设AB =x m ,则BC =x m. ∴BD =(10+x )m.
∴tan ∠ADB =AB DB =x 10+x =3
3.
解得x =5(3+1) m.
∴A 点离地面的高AB 等于5(3+1) m. 方法二 ∵∠ACB =45°,∴∠ACD =135°, ∴∠CAD =180°-135°-30°=15°. 由正弦定理,得AC =CD
sin ∠CAD
·sin ∠ADC
=
10sin 15°·sin 30°=20
6-2
. ∴AB =AC sin 45°=5(3+1)m. 二、填空题
8.一艘船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4 h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔间的距离为 km. 答案 30 2 解析 如图所示,
在△ABC 中,∠BAC =30°,∠ACB =105°,则∠ABC =45°, AC =60 km ,根据正弦定理,得
BC =AC sin ∠BAC sin ∠ABC
=60sin 30°sin 45°=302(km).
9.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10 cm 捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回它的出发点,则x = cm. 答案
106
3
解析 如图所示,
设蜘蛛原来在O 点,先爬行到A 点,再爬行到B 点,
则在△AOB 中,AB =10 cm ,∠OAB =75°,∠ABO =45°,则∠AOB =60°,由正弦定理知 x =AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB =10×sin 45°sin 60°=1063 (cm).
三、解答题
10.如图所示,A ,B 是水平面上的两个点,相距800 m ,在A 点测得山顶C 的仰角为45°,∠BAD =120°,又在B 点测得∠ABD =45°
,其中D 点是点C 到水平面的垂足,求山高CD .
解 由于CD ⊥平面ABD ,∠CAD =45°,所以CD =AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可,
在△ABD 中,∠BDA =180°-45°-120°=15°, 由
AB sin 15°=AD
sin 45°
, 得AD =AB ·sin 45°
sin 15°=800×
2
26-2
4=800(3+1)(m).
即山的高度为800(3+1) m.
11.如图所示,在地面上共线的三点A ,
B ,
C 处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB =BC =60 m ,求建筑物的高度.
解 设建筑物的高度为h ,由题图知, P A =2h ,PB =2h ,PC =233
h ,
∴在△PBA 和△PBC 中,分别由余弦定理,
得cos ∠PBA =602+2h 2-4h 2
2×60×2h ,①
cos ∠PBC =602+2h 2-4
3
h 2
2×60×2h .②
∵∠PBA +∠PBC =180°, ∴cos ∠PBA +cos ∠PBC =0.③
由①②③,解得h =306或h =-306(舍去),即建筑物的高度为30 6 m.
12.一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由A 点开始做匀速直线运动,到达点B 时,发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动,如图所示,已知AB =4 2 dm ,AD =17 dm ,∠BAD =45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?
解 设机器人最快可在点C 处截住足球,点C 在线段AD 上,连接BC ,如图所示,
设BC =x dm ,
由题意知CD =2x dm ,AC =AD -CD =(17-2x )dm. 在△ABC 中,
由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A , 即x 2=(42)2+(17-2x )2-82(17-2x )cos 45°, 解得x 1=5,x 2=373
.
所以AC =17-2x =7(dm)或AC =-23
3
(dm)(舍去).
所以该机器人最快可在线段AD 上离A 点7 dm 的点C 处截住足球.
13.某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处,观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶.公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时,汽车到A 的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A 的距离缩短了10千米.则汽车到达M 汽车站还需行驶 千米. 答案 15
解析 由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B 处.
在△ABC 中,AC =31,BC =20,AB =21, 由余弦定理,得cos C =AC 2+BC 2-AB 22AC ×BC =23
31,
则sin 2C =1-cos 2C =432312,sin C =123
31,
所以sin ∠MAC =sin(120°-C ) =sin 120°cos C -cos 120°sin C =353
62.
在△MAC 中,由正弦定理,
得MC =AC sin ∠MAC sin ∠AMC =3132×353
62=35.
从而有MB =MC -BC =15.
故汽车到达M 汽车站还需行驶15千米.
14.在某次地震时,震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ,C ,D .已知B ,C 两市相距20 km ,C ,D 相距34 km ,C 市在B ,D 两市之间,如图所示,某时刻C 市感到地表震动,8 s 后B 市感到地表震动,20 s 后D 市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A 到B ,C ,D 三市的距离.
解 在△ABC 中,由题意得AB -AC =1.5×8=12(km). 在△ACD 中,由题意得AD -AC =1.5×20=30(km). 设AC =x km ,AB =(12+x )km ,AD =(30+x )km. 在△ABC 中,cos ∠ACB =x 2+400-(12+x )2
2×20×x
=
256-24x 40x =32-3x
5x
, 在△ACD 中,cos ∠ACD =x 2+1 156-(30+x )2
68x
=
256-60x 68x =64-15x
17x
.
∵B ,C ,D 在一条直线上,∴64-15x 17x =-32-3x
5x ,
即
64-15x 17=3x -325,解得x =48
7
. ∴AB =1327 km ,AD =258
7
km.
即震中A 到B ,C ,D 三市的距离分别为1327 km ,487 km ,258
7
km.。