[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷114.doc

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[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷114
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )．
（A）AB为对称矩阵
（B）设A，B可逆，则A－1＋B－1为对称矩阵
（C）A＋B为对称矩阵
（D）kA为对称矩阵
2 设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．
3 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是( )．（A）向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示
（B）向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示
（C）向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价（D）矩阵A＝(α1，α2，…，αm)与矩阵B＝(β1，β2，…，βm)等价
4 设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．
（A）若m＜n，则方程组AX＝b一定有无穷多个解
（B）若m＞n，则方程组AX＝b一定有唯一解
（C）若r(A)＝n，则方程组AX＝b一定有唯一解
（D）若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解
5 下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定
二次型
（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
二、填空题
6 设三阶矩阵A＝(α，γ1，γ2)，B＝(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜＝3，｜B｜＝4，则｜5A－2B｜＝______ ．
7 设A为三阶矩阵，且｜A｜＝4，则＝______．
8 设n阶矩阵A满足A2＋A＝3E，则(A－3E)－1＝______．
9 设线性相关，则a＝______．
10 设η1，…，ηS是非齐次线性方程组AX＝b的一组解，则k1η1＋…＋k SηS，为方程组AX＝b的解的充分必要条件是______．
11 已知A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．
12 设则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为______．
13 没A为三阶矩阵，方程组AX＝0的基础解系为α1，α2，又λ＝－2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A 的特征向量的是( )．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14 计算行列式．
15 设A＝且AX＋｜A｜E＝A*＋X，求x．
16 设A，B为n阶矩阵，(1)求P．Q； (2)证明：当P可逆时，Q 也可逆．
17 设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1线性无关．
18 设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数t．
19 设α1，α2，α3为四维列向量组，α1，α2线性无关，α3＝3α1＋2α2，A＝(α1，α2，α3)，求AX＝0的一个基础解系．
20 设A＝且AX＝0的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX＝0的通解．
21 设A＝，已知A有三个线性无关的特征向量，且λ＝2为矩阵
A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
22 设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，其对应的线性无关的特征向量分别为，求A nβ．
23 设n阶矩阵A满足(aE－A)(bE－A)＝O且a≠b．证明：A可对角化．
24 设为A*的特征向量，求A*的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．
25 设二次型f(x1，x2，x3)＝X T AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝．(1)求正交变换X＝QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵A．
26 设二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋4x22＋2x32＋2tx1x2＋2x1x3为正定二次型，求t的范围．
27 用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)＝2x1x2＋2x1x3＋6x2x3．。