江西省南昌市八一中学2021-2104学年高一数学文理分科测试试题(1)

高一文理分科测试数学试题
第I 卷
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求
的)
1. 设集合A= {}
}13,04
x x x B x
x ->=<-⎧⎨⎩，那么A
B=（ ）
A.∅
B.（3，4）
C.（－2，1）
D.（4+∞）
2．当10<<a 时,在同一坐标系中,函数x y a y a x
log ==-与的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．函数)34(log )(22
1+-=x x x f 的递增区间是（ ）
A ．），（1∞-
B ．），（∞+3
C ．），（2∞-
D ．）
，（∞+2 4．在等差数列{}n a 中，假设24681080a a a a a ++++=，那么781
2
a a -
的值为（ ） A ．4
B ．6
C ．10
D ． 8
5．如图，执行程序框图后，输出的结果为（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．32 6．阅读以下程序： INPUT x IF x< 0 THEN y=x ﹡x-3﹡x+5 ELSE
y=(x -1) ﹡ (x -1) END IF PRINT y END
假设输出y=9, 那么输入的x 值应该是（ ） A ．-1 B ．4或-1 C ．4 D ．2或-2 7、假设0,0x y >>，且
28
1x y
+=，那么xy 有（ ）第5题图 A ．最小值64 B ．最大值64 C ．最小值
164 D ．最大值12
x
y
1 1
o
x
y o 1 1 o y x
1 1 o
y
x 1 1
8．假设对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜－1
B ．D ．a ≥1
C ．| a |＜1
| a |≤1
9．一个均匀的正方体玩具，各面上别离标有数字-1，-2，-3，1，2，3，持续掷两次，向上一面的数字别离为a ，b ，那么向量（a ，b ）与（1，-1）的夹角为锐角的概率是（ ） A ．
512 B ．712 C ．13 D ．12
10、如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位
置为0p （2，2-），角速度为1，那么点p 到x 轴距离
d 关于时刻t 的函数图像大致为 ( )
第II 卷
二、填空题(此题共有5小题，每题填对得5分，此题总分值25分.)
11. 某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h ，不然视为违规扣分，某天有1000辆汽车通过了该路段，通过雷达测速取得这些汽车运行时速的频率散布直方图，如下图，那么违规扣分的汽车大约为_____辆。

12. 在区间[,]22ππ
-
上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到2
1
之间的概率为 13. 设,cos sin )cos (sin αααα⋅=+f 则)6
(sin
π
f 的值为
14.等差数列{a n }的公差为1，它的前n 项和为S n ，且S 12是{S n }中唯一的最小项，那么a 6的取值范围为 ．
15.以下命题：
①ABC ∆中，假设A B <,那么cos2cos2A B <；
②假设A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，那么
C B A ++
14的最小值为π9
③已知16
sin
62sin 6
n n a n ππ
=+
+()n N *∈，那么数列{}n a 中的最小项为193； ④假设函数2()log (1)f x x =+，且0a b c <<<，那么
()()()
f a f b f c a b c
<<
； ⑤函数22()25413f x x x x x =-++-+的最小值为29.
其中所有正确命题的序号是
三、 解答题（此题共6小题，共75分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤）
16. （本小题总分值12分）在某次数学考试中，从高一年级300名男生和300名女生中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下：
（1）依照样本统计结果，估量全年级90分以上的共有多少人？
（2）假设记不低于90分者为优秀，那么在抽取的样本里不低于86分的男生和女生中各选一人，求两人均为优秀的概率。

17（本小题总分值12分）已知函数
21
()cos cos 2
f x x x x =--，.x R ∈ （1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边别离,,,a b c 且3c =,()0f C =，假设sin()2sin ,A C A +=求,a b 的值． 18．（本小题总分值12分）设1122(,),(,)a x y b x y ==，概念一种运算：1212(,)a b x x y y ⊗=。

已知8
(
,2)p π
=，
1(,1)2m =，1(,)42
n π=-。

（1）证明：()
p m n ⊗⊥；
（2）点00(,)P x y 在函数()sin g x x =的图象上运动，点(,)Q x y 在函数()y f x =的图象上运动，且知足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）
，求函数()f x 的单调递减区间。

19（本小题总分值12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11=a ，且1log log 212+=+n n a a ，数列
{}n n a b -是等差数列，首项为1，公差为2,其中*∈N n .
①求数列{}n a 的通项公式； ②求数列{}n b 的前n 项和n S .
20. （本小题总分值13分）已知概念在R 上的函数2
()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中a R ∈).
（Ⅰ）解关于x 的不等式()0f x >;
（Ⅱ）假设不等式()3f x x ≥-对任意2x >恒成立,求a 的取值范围.
21. （本小题总分值14分）已知数列{}n a 中，112311
1,23()2
n n n a a a a na a n N *++=+++⋅⋅⋅+=∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}2n n a 的前n 项和n T ；
（Ⅲ）假设存在n N *∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值.
故两人均为优秀的概率P=
12
5 12分
18．（此题总分值12分）
解：（Ⅰ）8(,2)p π=，1(,1)2m =，依题意得4(,2)p m π⊗=，又1(,)42
n π=-，
41
()2()042
p m n ππ⊗⋅=
⨯+⨯-=， 2分 ∴()p m n ⊗⊥． -------------------------------------------------------4分 （Ⅱ ）00(,sin )OP x x =，(,)OQ x y =，4分
由OQ m OP n =⊗+得001
1
(,)(,sin )2
42
x y x x π
=+
-， -6分 即00
1241
sin 2
x x y x π⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ----7分 消去0x ，得11sin(2)cos 22
22y x x π
=-
-
=--，即1
()cos 22
f x x =---------10分 令222()k x k k Z πππ-≤≤∈得()2
k x k k Z π
ππ-
≤≤∈--11分
∴函数的单调递减区间是()2
k x k k Z π
ππ-
≤≤∈--12分
19解：（1）由题可得：
21
=+n
n a a ，∴ 数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列。

∴12-=n n a .……………………………………6分 （2）由题知：122,121-+=⇒-=--n b n a b n n n n ， ∴(
)()12
2
1212
22121
2-+=-+++⋅⋅⋅+++=-n n
n S n
n n .…………12分
20解：（Ⅰ） ()(2)[(1)]f x x x a =---，
而12211x x a a -=-+=+，()0f x >等价于(2)[(1)]0x x a --->，于是
当1a <-时，12x x <，原不等式的解集为(,2)(1,)a -∞-+∞；…………2分 当1a =-时，12x x =，原不等式的解集为(,2)
(2,)-∞+∞；…………4分 当1a >-时，12x x >，原不等式的解集为(,1)
(2,)a -∞-+∞…………7分
（Ⅱ）不等式()3f x x ≥-，即245
2
x x a x -+≥--恒成立…………9分
又当2x >时，2452x x x -+--=1
(2)22x x --+≤--(当且仅当3x =时取“=”号). …………11分
∴2a ≥-…………13分
21解：（Ⅰ）
12311
232
n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=
，n N *∈① 12323(1)2
n n n
a a a n a a ∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥② ①-②：1122n n n n n na a a ++=
-，131
22
n n n n a a ++∴=，…………2分 即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又22a =2，
2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.
223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,1
23,2n n n a n n
-=⎧⎪
=⎨⋅≥⎪⎩ .…………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅，
∴当1n =时，11T =；
当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①
12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,② ①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅
=1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅
111
()3(2)22
n n T n n -∴=
+-≥，又11T =也知足 111
()3()22
n n T n n N -*∴=
+-∈ .…………9分。